DIVISION

6° Avon 2010Bernard Izard

Chapitre

07-DI

I-DEFINITIONII – DIVISION EUCLIDIENNEIII – MULTIPLES/DIVISEURSIV- CRITERES DE DIVISIBILITEV – DIVISION DECIMALEVI – REGLES / COMBINESVII- EXERCICES

I-DEFINITIONLa division est l’opération qui permet de déterminer un quotient

Ex: 56 : 7 = 8

8 est le quotient de la division de 56 par 7

7 est le diviseur

56 est le dividende

On veut eff ectuer la division euclidienne de 731 par 34

7 3 1 3 4Le dividende

Le diviseur

Méthode: Dans 73, combien de f ois 34 ? 2 f ois !

2

2 x 34 = 68

- 6 8

0 5 1

Dans 51, combien de f ois 34 ? 1 f ois !

1

- 3 4

1 7

Le quotient

Le reste

II-DIVISION EUCLIDIENNEDivision uniquement avec des entiers. Pas de virgule

731 = 34 x 21 + 17

Dividende diviseur quotient reste

Formule de la division euclidienne

DIVIDENDE = DIVISEUR X QUOTIENT + RESTE

reste < diviseur

Dans la division, on n’est pas obligé de poser la soustraction

Ex1:1237 51

1 27 43

On écrit:

1237 = 51 x 24 + 13

2

1

Ex2:

5131 17

En 51 combien de fois 17 ?

3 fois

30

3 fois 7= 21 ôté de 11 je ne peux pas, je fais 21 ôté de 21 reste 0 et je retiens 2

J’abaisse le 3

3

En 3 combien de fois 17 ? 0 fois

0

0 fois 17=0 ôté de 3 reste 3

3

J’abaisse le 1

1

En 31 combien de fois 17 ? 1 fois

1

1 fois 7=7 ôté de 1, je ne peux pas, je fais 7 ôté de 11 reste 4 et je retiens 1

4

1 fois 1 + retenue 1 =2 ôté de 3 reste 1

13 fois 1 + retenue 2 =5 ôté de 5 reste 0

0

2 1 0 1 3 1

2 4 1 6 7

2 4

1) Définitions

III-MULTIPLES/DIVISEURS

27 9

0 3

On dit que la division « tombe juste »

On dit aussi:

27 est dans la table des 9

27 est un multiple de 9

27 est divisible par 9

9 est un diviseur de 27

9 divise 27

Reste = 0

27 = 9 x 3

Un nombre entier est divisible :

Par 2 s’il est pair = s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8

Par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de 3,

exemples : 26 48 10 024

exemple : 532 587 (car 5 + 3 + 2 + 5 + 8 + 7 = 30 et 30 est dans la table de 3)

Par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est dans la table de 4,

exemples : 5 148 632 10 024

IV-CRITERES de DIVISIBILITE

On peut compter comme dans la preuve par neuf avec9 0

Par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5,

Par 9 si la somme de ses chiffres est dans la table de 9.

exemples : 855 1 250

exemple : 73 854 (car 7 + 3 + 8 + 5 + 4 = 27 et 27 est dans la table de 9)

Remarque : … un nombre divisible par 9 est donc f orcément divisible par 3.

4 5 8

5

- 4 8 0 5

2 - 1 6

4 - 4 0

0

Ici, on est obligé d’ajouter des zéros inutiles au dividende pour finir la division.

0 0 0

, 0

- 4 0 6

2

5

0

0

V-DIVISION DECIMALE1) Résultat décimal

On écrit 45 = 8 x 5,625

Divisons 45 par 8

2 3 11

2 - 2 2 1 0

, - 0

1 0 - 9 9

1 - 0

1 0

Ici, on va « retomber»à chaque fois sur le reste 10…

le quotient sera donc 2,090909090909…

0 09

0

0

1 0

1 0

9 0 9 0…

2) Résultat non décimal

On ne peut pas écrire le résultat (quotient) en écriture décimale. Ce nombre n’est pas un décimal

On abaisse un zéro fantôme

On met la virgule au quotient

23 : 11 2,091 arrondi au millième

Troncature de 2,090909… Arrondi de 2,090909…

à l’unité

au millième

2

2,090

2

2,091

Dans ce cas, il faut donner une valeur approchée du quotient sous forme d’une troncature ou d’un arrondi.

Troncature vient de tronquer qui signifie couper, enlever une partie.

On note par exemple :

2,1 est l’arrondi au dixième du quotient de 23 par 11 ou encore 23 ÷ 11 2,1

3 2 , 1 2 4 - 3 2

0 0 - 0

1 -1 2

0

Lorsqu’on franchit la virgule au dividende, on la franchit également au quotient.

1 8 , 0 3

2

3) Dividende avec une virgule

4) Diviseur avec une virgule

31 : 0,2 = 310 : 2

On ne change pas le résultat d’une division si l’on multiplie le dividende et le diviseur par 10 ou 100 …

On utilise cette règle

31 0,2 310 2est égal à

1) Diviser par 10, 100, 1000,…

Ex : 312 ÷ 1000 = 0,312

21,1 ÷ 10 = 2,11

6,3 ÷ 100 = 0,063

0,12 ÷ 100 = 0,0012

VI-REGLES

Pour diviser un nombre par 10..100..1000…on déplace la virgule d’un rang..deux rangs.. trois rangs .. vers la gauche et on ajoute ou supprime des zéros si nécessaire.

2) Diviser par 4 (c’est  ÷2 puis  ÷2 )

ex : 84  ÷ 4

÷2÷2

42

= 21

3) Diviser par 5 (c’est  ÷10 puis  x 2 )

ex : 160  ÷ 5

16÷10 x2

= 32

Pour diviser par 5, on multiplie par 2 et on divise par 10

Pour diviser par 4, on divise 2 fois par 2

1) Combien de fois 7 est-il contenu dans 30 ?

2) Combien de fois 6 est-il contenu dans 71 ?

3) Un diviseur est-il forcément plus petit que le dividende ?

4) Combien faut-il de boîtes à œufs (de 6) pour transporter 32 œufs ?

5) Combien de boîtes peut-on remplir complètement avec 32 œufs ?

6) On remplit 9 boîtes et il reste 4 œufs. Combien y- a-t-il d’œufs ?

7) Quelle est le nombre de places de cinéma à 6 € que l’on peut acheter avec 20 € ?

8) M. Genevoix a écrit un livre de souvenirs intitulé « trente mille jours  » Combien d’années cela fait-il ?

VII-EXERCICES4

11

Non 2:5

6

5

58

3

82 ans

9) Un rectangle a une aire de 32,5 cm². Sa longueur est 13 cm. Quelle est sa largeur ?

10) Quelle est la largeur d’un rectangle d’aire 27 cm² et de longueur 6 cm ?

11) Quelle est la longueur d’un rectangle si sa largeur est 5 cm et son périmètre 24 cm ?

12) Donner le reste et le quotient de la division de 344 par 12

13) 5 crayons coûtent 4 €. Quelle est le prix d’un crayon ?

14) Onze personnes peuvent-elles se partager 9845 € en parts égales ?

15) Un fleuriste a reçu 250 tulipes. Il prépare des bouquets de 12 tulipes. Combien peut-il préparer de bouquets ? Combien manque-t-il de tulipes pour faire un bouquet de plus ?

2,5 cm

4,5 cm

7 cm

Q=28 R=8

0,80 €

Oui car 9845:11 = 895

20 bouquets. Il manque 2 tulipes

16) Le diviseur est 26, le quotient est la moitié du diviseur et le reste est nul. Quel est le dividende ?

17) Combien de paquets de 8 serviettes faut-il prévoir pour 51 personnes ?

18) Avec 51 roses on fait des bouquets de 8 roses. Combien de roses restera –t-il ?

19) Le quotient entier est 5, le diviseur est le triple du quotient et le reste est 7. Quel est le dividende ?

20) Divisions à trous.

338

7

3

5 x 15 +7 = 82

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FIN

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