DM 1 CORRECTION

2B année 2012 - 2013

A=0, 2012 2012 2012 ... 2012

Ce nombre contient 2012 fois 4 chiffres après la virgule.

C’est-à-dire 8048 chiffres dans sa partie décimale.

1.

B=2012, 2012 2012 2012 ... 2012

Ce nombre contient 2013 fois 4 chiffres après la virgule.

C’est-à-dire 8052 chiffres dans sa partie décimale.

0, 2012 2012 ... 2012 + 2012, 2012 2012 ... 2012 2012

En les additionnant on constate qu’ en posant l’addition il y a 4 chiffres de plus pour B

2012, 4024 4024 ... 4024 2012

8048 chiffres après la virgule2.

A= 0, 2012 2012 2012 ... 2012 A= 2012 2012 2012 ... 2012 x 10 – 8048

A= 2012 2012 2012 ... 2012 10 8048

NB : au numérateur il y a 8048 chiffres

3.

B= 2012, 2012 2012 2012 ... 2012 B= 2012 2012 2012 ... 2012 x 10 – 8052

B= 2012 2012 2012 ... 2012 10 8052

NB : au numérateur il y a 8056 chiffres En effet 8052 chiffres constituaient la partie décimale de B et on avait 4 chiffresPour la partie entière.

10000A − C = B10 4 x A − C = B2012, 2012 … 2012 – C = 2012, 2012 … 2012

2012, 2012 … 2012 – 2012, 2012 … 2012 = C 8044 chiffres après la virgule 8052 chiffres après la virgule

Posons la soustraction !

4.

2012, 2012 … 2012- 2012, 2012 ... 2012 2012 2012

il y a donc 8044 zéros dans ce nombre.Et par conséquent, 8052 chiffres en tout dans la partie décimale.

-0, 0000 … 0000 2012 2012

8044 chiffres après la virgule

8052 chiffres après la virgule

C = -0, 0000… 00002012 2012

C = 2012 2012 x 10 -8052

C = 2,012 2012 x10 8 x 10 -8052

C = 2,012 2012 x10 -8044

Peut-on calculer le nombre A × B et donner un résultat simple ?

2012 2012 = 2012 × 100012012 2012 2012 = 2012 × 1000100012012 2012 2012 2012 = 2012 × 1000100010001

Donc A = 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8048

De même 8041 chiffres

B = 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8052

8049 chiffres

5.

10001 × 1000100010001 = 1000 2000 2000 2000 1

100010001 × 10001000100010001=1000 2000 3000 3000 3000 20001

100010001000 × 100010001000100010001= 1000 2000 3000 4000 4000 4000 3000 20001

100020003000400050006000700080009001000110012001300140015001600170018001900200021002200230024002500260027002800290030003100320033003400350036003700380039004000410042004300440045004600470048004900500051005200530054005500560057005800590060006100620063006400650066006700680069007000710072007300740075007600770078007900800081008200830084008500860087008800890090009100920093009400950096009700980099010001000100009900980097009600950094009300920091009000890088008700860085008400830082008100800079007800770076007500740073007200710070006900680067006600650064006300620061006000590058005700560055005400530052005100500049004800470046004500440043004200410040003900380037003600350034003300320031003000290028002700260025002400230022002100200019001800170016001500140013001200110010000900080007000600050004000300020001

100010001...1 0001 × 100010001...1 0001 = ???? avec 10001 cent fois dans le 1er facteur

On peut donc deviner le produit nombres de cette forme quicomposent A et B :

1 000 2000 3000… 2010 2011 2012 2012 2012 2011 2010 … 0003 0002 0001

A × B = 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8048

× 2012 × 1000100010001…10001 × 10 – 8052

A × B = 2012 ² × 1 000 2000 3000… 2012 2012 2012 … 0003 0002 0001 × 10 – 16100

Ce n’est pas une expression simple pour autant….

D=0,2012 2012 …

10000D = a + D10000D= 2012 + DEt a = 2012

D’où

9999D=2012D= 2012 / 9999

1.

2.

E=2013, 2013 2013…Comme précédemment10000E = a + E10000E = 2013000 + E

D’où

9999E=2013000E= 2013000 / 9999E= 61000 / 303

3.