Table des matières - Apprendre... Autrement!km hm dam m dm cm mm x 10 10 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 x 102 102 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 x 103 103 1 dm = 10 cm 1 dm = 10 cm 1 dm

5à 8

Table des matières

VISION 5 ..................................................................................................................................... 5 SECTION 5.1 – SAVOIRS ..................................................................................................... 2

AIRE ET VOLUME ............................................................................................................ 2 CONVERSIONS ................................................................................................................. 2

SECTION 5.1 – MISE AU POINT ......................................................................................... 6 SECTION 5.2 – SAVOIRS ..................................................................................................... 9

VOLUME D’UN PRISME DROIT .................................................................................... 9 VOLUME D’UN CYLINDRE DROIT ............................................................................... 9 CALCUL DU VOLUME DU PRISME ET DU CYLINDRE .......................................... 11

SECTION 5.2 – MISE AU POINT ....................................................................................... 12 SECTION 5.3 – SAVOIRS ................................................................................................... 15

VOLUME DE LA PYRAMIDE........................................................................................ 15 VOLUME DU CÔNE ....................................................................................................... 16 VOLUME DE LA SPHÈRE (OU DE LA BOULE) ......................................................... 18 SOLIDES DÉCOMPOSABLES ....................................................................................... 19


RACINE CUBIQUE D’UN NOMBRE ............................................................................ 32 OUTILS ALGÉBRIQUES (RAPPEL) .............................................................................. 33 SOLIDES SEMBLABLES ................................................................................................ 36

SECTION 5.4 – MISE AU POINT ....................................................................................... 40 VISION 6 ................................................................................................................................... 58

SECTION 6.1 – SAVOIRS ................................................................................................... 59 EXPOSANTS NÉGATIFS ................................................................................................ 59 THÉORIE DES EXPOSANTS ......................................................................................... 60 EXPOSANTS FRACTIONNAIRES ................................................................................. 62


DÉCOMPOSITION EN FACTEURS ............................................................................... 66 FACTORISATION : MISE EN ÉVIDENCE SIMPLE .................................................... 66 FACTORISATION : MISE EN ÉVIDENCE DOUBLE .................................................. 69 FACTORISATION : DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS ............................................. 71 FACTORISATION: TRINÔME DE LA FORME ax2 + bx + c ....................................... 73


RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE ....... 96 PROPRIÉTÉS DES INÉQUATIONS ............................................................................... 97 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES AVEC INÉQUATIONS À UNE VARIABLE ....... 106

SECTION 6.3 – MISE AU POINT ..................................................................................... 108 VISION 7 ................................................................................................................................. 120

SECTION 7.1 – SAVOIRS ................................................................................................. 121 RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS .................................................................................... 121 RÉSOLUTION DE PROBLÈMES AVEC ÉQUATIONS À UNE VARIABLE ........... 122 LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ................................................................................ 127

RÉSOLUTION GRAPHIQUE DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS ................................ 129 CONSTRUCTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS ................................................ 130

SECTION 7.1 – MISE AU POINT ..................................................................................... 131 SECTION 7.2 – SAVOIRS ................................................................................................. 142

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS .............................. 142 CHOIX DE LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS 146


LES QUARTILES ........................................................................................................... 157 LE DIAGRAMME DE QUARTILES ............................................................................. 158

SECTION 7.3 – MISE AU POINT ..................................................................................... 162 VISION 8 ................................................................................................................................. 167

SECTION 8.1 – SAVOIRS (RAPPEL) .............................................................................. 168 EXPÉRIENCE ALÉATOIRE ..................................................Erreur ! Signet non défini. UNIVERS DES RÉSULTATS POSSIBLES ...........................Erreur ! Signet non défini. ÉVÉNEMENT ..........................................................................Erreur ! Signet non défini. ÉVÉNEMENT ÉLÉMENTAIRE .............................................Erreur ! Signet non défini. PROBABILITÉ THÉORIQUE ....................................................................................... 169 PROBABILITÉ FRÉQUENTIELLE .............................................................................. 170


EXPÉRIENCE ALÉATOIRE AVEC ORDRE OU SANS ORDRE .............................. 173 ARRANGEMENT, PERMUTATION ET COMBINAISON ......................................... 173


LES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES ..................................................................... 186 PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À UNE DIMENSION ........................................ 186 PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À DEUX DIMENSIONS ................................... 188 PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À TROIS DIMENSIONS ................................... 190

SECTION 8.3 – MISE AU POINT ..................................................................................... 191 RÉPONSES

SECTION 5.1 - MISE AU POINT (RÉPONSES) .............................................................. 196 SECTION 5.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 197 SECTION 5.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 197 SECTION 5.4 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 198 SECTION 6.1 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 200 SECTION 6.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 201 SECTION 6.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 204 SECTION 7.1 - MISE AU POINT (RÉPONSES) .............................................................. 206 SECTION 7.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 208 SECTION 7.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 209 SECTION 8.1 - MISE AU POINT (RÉPONSES) .............................................................. 210 SECTION 8.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 211 SECTION 8.3 – MISE AU POINT (RÉPONSES) ............................................................. 212

MATHÉMATIQUE 1re année du 2e cycle du secondaire

VISI N Des outils pour mesurer l’espace

VISION 5

Collège Regina Assumpta

5

Vision 5/Section 5.1/SAVOIRS 2

SECTION 5.1 – SAVOIRS

Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 8 et 9.

AIRE ET VOLUME La mesure de la surface délimitée par une figure est appelée ou

.

La mesure de l’espace occupé par un solide est appelée .

CONVERSIONS

km hm dam m dm cm mm

x 10 10

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

x 102 102

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

x 103 103

1 dm = 10 cm

1 dm = 10 cm

1 dm = 10 cm

1 dm • 1 dm • 1dm = 10 cm • 10 cm • 10 cm

1 dm3 = 1 000 cm3


Nom de l’unité de volume Symbole Exemple de contexte approprié

Kilomètre cube km3 Volume d’une montagne Hectomètre cube hm3 Volume d’un centre commercial Décamètre cube dam3 Volume d’une maison Mètre cube m3 Volume d’un réfrigérateur Décimètre cube dm3 Volume d’un téléviseur Centimètre cube cm3 Volume d’une gomme à effacer Millimètre cube mm3 Volume d’une pièce de monnaie Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, page 8. Capacité: C’est un exprimé principalement en ml, l et kl. Il existe

une équivalence entre les unités de volume et les unités de capacité.

kl hl dal l dl cl ml km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

Voici un tableau d’équivalence entre les unités de volume et de capacité :

Volume 1 m3 1 dm3 1 cm3

Capacité 1 kl 1 l 1 ml

Exemple 1

Convertis chacune des mesures suivantes. Unités de longueur et de capacité

a) 6,8 dm = mm b) 7,31 dam = hm c) 0,005 km = m d) 3,56 l = hl e) 457 ml = l f) 0,5 dal = cl g) 0,000 047 hm = mm h) 6 mm = dam i) 21,5 ml = dal j) 15 cl = l

=1 dm3 1 litre

10 10

1000

10 10

1000Unités de volume

Unités de capacité


Exemple 2

Convertis chacune des mesures suivantes. Unités de surface

a) 8 m² = cm² b) 7,1 m² = hm² c) 3,5 dam² = dm² d) 478 cm² = dm² e) 0,073 km² = dam² f) 8 340,72 mm² = cm² g) 0,000 7 m² = cm² h) 5,2 10³ dm² = dam² i) 5 421 ha = km² j) 291 km² = ha

Exemple 3

Convertis chacune des mesures suivantes. Unités de volume

a) 10,5 cm³ = mm³ b) 7 392,34 m³ = hm³ c) 48 km³ = m³ d) 6 924,5 dm³ = dam³ e) 597,996 3 hm³ = km³ f) 35,4 m³ = dm³ g) 5,8 m³ = dam³ h) 3 457 cm³ = dm³ i) 0,359 dam³ = m³ j) 20 mm³ = cm³

Exemple 4

Convertis chacune des mesures suivantes. Conversions d’unités de volume en unités de capacité

a) 25,3 l = dm³ b) 145 dl = cm³ c) 0,375 cm³ = ml d) 887 000 mm³ = dl e) 0,02 dm³ = kl f) 500,06 mm³ = l g) 339 004 cl = m³ h) 0,007 8 kl = mm³

= ml = ml = l = l = l = cl = cl = dl = dl = dl

Conversions d’unités de volume en unités de capacité

1 ha = 10 000 m² = 1 hm²


Exemple 5

Trouve le résultat de ces additions: a) 5 cm3 + 4 ml + 15 mm3 = __________ ml

b) 10 m3 + 15 cm3 = ___________ dm3

c) 150 l + 3 kl + 1 km3 = ___________ l

Vision 5/Section 5.1/MISE AU POINT 6

SECTION 5.1 – MISE AU POINT

1) Convertis les mesures suivantes :

a) 557 mbar = ___________ bar

b) 11 690 g = ____________ kg

c) 0,0023 A = ___________ mA

d) 2 120 cl = ___________ hl

e) 244 dam2 = ___________ km2

f) 335 cm3 = ___________ l

g) 0,0032 m3 = ____________ dm3

h) 1,359 kPa = ___________ Pa

i) 36 hm = cm o) 34,57 cm2 = m2

j) 3,54 m = km p) 2,035 m2 = hm2

k) 0,53 cm = m q) 35,4 m3 = dm3

l) 16,41 dam = dm r) 35,8 m3 = dam3

m) 53 hm2 = m2 s) 3457 cm3 = dm3

n) 65,7 m2 = dm2 t) 0,359 dam3 = m3

2) Convertis les mesures suivantes :

a) 8 dm3 = ml f) 144 ml = dm3

b)100 cm3 = l g) 350 kl = cm3

c) 10 m3 = ml h) 180 000 km3 = kl

d) 40 cm3 = kl i) 350 kl = ml

e)10 dam3 = l j) 1000 l = km3

3) Trouve le résultat correspondant pour chacune des sommes :

a) 3 000 mm³ + 7 dm³ + 3 dl = ml

b) 4 kl + 20 000 000 cm³ + 5 hm³ = l

Dans le Système International, il existe, en plus des préfixes que tu connais déjà, d’autres préfixes pour faciliter la tâche aux physiciens, aux chimistes et même aux informaticiens (qui parlent de mégaoctets et de gigaoctets). Un mégalitre (Ml), par exemple, vaut 1 million de litres, et un gigalitre (Gl), c’est 1000 mégalitres! Et si on va du côté des petits nombres plutôt que de celui des grands, on a qu’un micromètre ( m ), c’est 0,001 mm, et qu’un nanomètre (nm), c’est 0,001 m …


c) 314,5 dm³ + 30 004 cm³ + 5 l = dl

d) 4 dal + 62 dm³ + 1 m³ = cl

e) 1 m3 + 3 dal + 92 dm3 = cl

f) 5 l + 2113 cm3 + 302,9 dm3 = dl À la lueur de ce que tu viens de découvrir, tu peux appliquer les mêmes

conversions pour d’autres unités comme le gramme (g), le joule (J), le

hertz (Hz), le newton (N), le bell (B), le volt (V), le watt (W) et bien d’autres

unités utilisées en physique et en chimie. Ces unités sont toutes des unités

du Système International (SI).

4) Convertis ces unités.

a) 10 g = kg b) 3,2 mJ = hJ c) 150 kHz = dHz d) 42 cg = hg e) 3 dN = kN f) 2 450 mg = kg g) 620 hB = dB h) 1,5 kV = mV i) 72 V = kV j) 16 dW = hW

Convertis 68,555 heures en jours, heures, minutes et secondes?

Convertis 253 995 secondes en jours, heures, minutes et secondes?


5) Lors d’une fête d’enfants, Julie a acheté des verres pouvant contenir 375 ml. À

combien d’enfants pourra-t-elle servir un verre plein si elle a un contenant remplit

à ras bord de jus de forme cylindrique de 10 cm de rayon et de 2,5 dm de

hauteur. L’épaisseur du verre est négligeable.

6) Une piscine pouvant contenir 42,55 m3 d’eau est remplie aux 6/7 de sa capacité.

La toile de la piscine étant percée, la piscine perd environ 3254 ml d’eau par

minute. Après combien de jours sera-t-elle vide? On ne tient pas compte de

l’évaporation.



Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, page 19.

VOLUME D’UN PRISME DROIT De quelle façon pourrais-tu calculer rapidement le nombre de

cubes dans ce solide?

VOLUME D’UN CYLINDRE DROIT

Source:http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_indivisibles

De quelle façon pourrais-tu calculer rapidement l’espace occupé par cet empilement de sous (cylindre)?

Soit un cylindre droit de hauteur h. On peut considérer à

la limite ce cylindre comme étant un

de même hauteur et dont la base est un

polygone régulier ayant un très grand nombre de côtés.

L’aire de la base de ce prisme ayant un très grand

nombre de côtés est approximativement égale à l’aire

d’un disque. Dans un cercle :

C = et A =

Formule générale du volume d’un prisme : V =

où AB :

et h :

Formule générale du volume du cylindre : V =

où r :

et h :


COMMENT CALCULER LE VOLUME DES SOLIDES SUIVANTS?

Exemple 1

Il y a une pile de feuilles sur le pupitre de ton enseignant(e). Accidentellement, lors

de ton entrée en classe, tu heurtes ce pupitre. Voici ce qui se passe :

La forme de ces 2 piles a-t-elle changée ?

Les deux solides ont-ils la même hauteur?

L’aire de chacune des feuilles est-elle la même pour les deux solides?

Serais-tu en mesure de calculer le volume des deux piles de feuilles ?

Que peux-tu conclure du volume de ces deux solides?

Exemple 2

Source: http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_des_indivisibles

La forme de ces 2 piles a-t-elle changée ?

Les deux solides ont-ils la même hauteur?

L’aire de chacun des sous est-elle la même pour les deux piles?

Serais-tu en mesure de calculer le volume des deux piles de sous ?

Que peux-tu conclure du volume de ces deux piles?

Conclusion

Si deux solides ont la et la pour chacune

des sections parallèles à la base, alors ces deux solides ont le

Source : http://www3.unibo.it/ avl/storia/cavalier.htm

1598-1647

C’est ce qu’on appelle le principe de Cavalieri.


CALCUL DU VOLUME DU PRISME ET DU CYLINDRE

Exemple 3

Calcule le volume de ces prismes. a) b) c)

d) e)

Exemple 4

Trouve le volume des cylindres suivants et arrondis ta réponse au millième près.

a) b)

L = 6 cm l = 3 cm h = 4 cm

c = 8 cm h = 17 cm

c1 = 6 cm c2 = 8 cm c3 = 10 cm h = 20 cm

h = 4 dm r = 2 dm

h = 55 m d = 25 m

aB = 0,04 m c = 46 mm h = 12 cm

Pourrais-tu trouver une formule générale pour

calculer le volume d’un cube?

V cube =

c = 9 dm



1) Pour chacun des solides suivants, calcule son volume et arrondis tes réponses

au millième près.

a) h = 20 cm

r = 4 cm

V ________________________

b) (les unités sont en cm)

V = ________________________


c)

V = ________________________

d) Prisme droit à base rectangulaire avec les dimensions suivantes : h = 4 cm,

L = 9 cm et l = 7 cm.

V = ________________________

e) Prisme droit dont la base est un pentagone régulier, dont le périmètre et

l’apothème de la base sont respectivement de 15 dm et de 2 dm et dont la

mesure de la diagonale d’un rectangle latérale (segment DJ) est de 8 dm.

V ________________________

Source: www.tassignon.be/ trains/piqueur/images/fig017.jpg


2) Un cube de 10 cm d’arête fait de broches métalliques de dimensions fixes est

illustré ci-dessous. On applique une légère pression sur l’arête AB de telle sorte

que le cube se déforme en un prisme oblique à base carrée. Dans les deux cas,

les mesures des segments AB et AC (cube et prisme oblique à base carrée) sont

de 10 cm. Les dessins ne sont pas à l’échelle.

Indice : La hauteur AD du prisme oblique n’est donc pas équivalente à l’arête du

cube.

a) Quel est le volume du cube ?

b) Quel est le volume du prisme oblique ?

c) Ces deux solides ont-ils le même volume ? Justifie ta réponse.

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

A

C

A

C

30˚

D

B B

h



Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, page 30.

VOLUME DE LA PYRAMIDE

1. Les trois pyramides construites ont-elles le même volume ? Pourquoi ?

2. À quel solide ressemble l’assemblage de ces trois pyramides ?

3. Compare la hauteur du solide à la hauteur d'une pyramide. Que remarques-tu?

4. Quelle est la formule générale du volume d'un prisme ?

5. Que peux-tu dire sur le volume d'une seule pyramide ?

Conclusion :

Cette formule permet de calculer le volume des pyramides régulières et non-régulières.

Formule générale du volume d’une pyramide : V = où AB :

et h :

h

aB

aP

Apex


VOLUME DU CÔNE

Il y aura une démonstration afin de trouver la formule du volume du cône. Ton

enseignant(e) utilisera un cylindre et un cône de même rayon et de même hauteur.

1. Mais avant, quelle est la formule du volume du cylindre ?

Après avoir observé les manipulations de ton enseignant(e), que peux-tu conclure ?

2. Le cylindre est rempli par cônes.

3. Alors, on a : Volume du cône = Volume du cylindre. 4. Donc, Volume du cône = .

Conclusion :

Exemple 1

Trouve le volume de la pyramide à base carrée de 24 cm de périmètre et de 10 cm

de hauteur.

Formule générale du volume du cône : V =

où r :

et h :

apex

aCh

r


Exemple 2

Une pyramide régulière à base pentagonale mesure 615,7 mm d’apothème. Le

périmètre et l'apothème de sa base mesurent respectivement 10 dm et 13,8 cm.

Trouve le volume de la pyramide en dm3 et arrondis tes calculs au dixième près.

Exemple 3

Sachant que la hauteur et le diamètre d'un cône mesurent respectivement 27 cm et

12 cm, calcule le volume exact de ce cône.

Exemple 4

Sachant que le rayon d’un cône mesure 3 cm et que son apothème mesure 5 cm,

calcule le volume de ce cône et arrondis tes calculs au centième près.


VOLUME DE LA SPHÈRE (OU DE LA BOULE)

Suite de l’activité de ton manuel :

Exemple 5 Quelle est le volume exact d’une boule sachant que son rayon est de 5 cm ? Exemple 6 Si l’aire d’une boule est 16 cm2, alors quel est le volume exact d’une demi-boule de

même rayon ?

Formule générale du volume de la sphère (ou de la boule!) :

le volume de la boule est :

le volume de la demi-boule est :

où r :


SOLIDES DÉCOMPOSABLES

La nature ainsi que les humains créent toutes sortes de formes plus ou moins

complexes. Souvent ces solides complexes sont décomposables en solides plus

simples, comme un prisme, un cylindre, une pyramide, un cône et une sphère. C’est

de cette façon, que l’on peut calculer plus facilement leur volume et leur aire totale.

Rappel :

L’aire totale d’un solide décomposable n’est pas la somme ou la différence

des aires totales des solides qui le composent. Il faut calculer seulement l’aire

visible.

Exemple 7

Une boîte à lunch en métal a la forme et les dimensions représentées ci-contre et le

couvercle est un demi-cylindre. Quel est le volume de cette boîte ?

Dans tes calculs, néglige la poignée et arrondis tes calculs au millième près.

Le volume total d’un solide décomposable est la ou la

des des solides qui le

composent.

17 cm 27 cm

14 cm


Exemple 8

Calcule le volume de ce solide troué, sachant que le prisme a 36 cm de longueur,

11 cm de largeur, 12 cm de hauteur et que le cylindre a un rayon de 2,5 cm.

Arrondis tes calculs au millième près.

EN RÉSUMÉ

Volume

Aire latérale

Aire totale

Prisme AL = PB • h AT = PB • h + 2AB

Cylindre

AL = 2rh

ou

AL = dh

AT = 2rh + 2r2

ou

AT = dh + 2r2

Pyramide

AL = 2

PB aP AT =

2PB aP

+ AB

Cône AL = rac AT = rac + r2

Sphère AT = 4r2

Demi-sphère AL = 2r2 AT = 3r2


Exemple 9

Soit le solide à base carrée suivant:

N’oublie pas d’écrire tes formules et d’arrondir tes calculs au millième près, afin de…

a) calculer son aire latérale.

b) calculer son aire totale.

c) calculer son volume.

6 cm

8 cm

aP = 7,6 cm


D = 10 cm

20 cm

50 cm

Exemple 10

Soit le solide suivant :

N’oublie pas d’écrire tes formules et d’arrondir tes calculs au millième près, afin de…

a) calculer son aire latérale.

b) calculer son aire totale.

c) calculer son volume.


Exemple 11 Calcule l'aire totale et le volume de ce solide. D = 8 cm et d = 2 cm

Dans un premier temps, calcule et inscris tes réponses de façon exacte, puis arrondis-les au millième près.

Aire Volume


Exemple 12 Calcule, au millième près, …

a) l’aire totale de ce cône tronqué.

b) le volume de ce cône tronqué.

Je vois très bien que ce cône tronqué est un gros cône auquel on a enlevé la pointe qui représente un petit cône…

12 cm

25 cm

7,5 cm

15 cm



1) Calcule le volume de ces pyramides à base carrée et arrondis tes calculs au

millième près. Les dessins ne sont pas à l’échelle.

a) b)

c) d)

aB = 10 cm h = 15 cm

aP = 25 cm h = 12 cm

aP = 30 cm c = 28 cm aP = 10 cm

PB = 24 cm


2) Calcule le volume de ces cônes et arrondis tes calculs au millième près. Les

dessins ne sont pas à l’échelle.

a) b)

c) d)

d = 10 cm aC = 12 cm

r = 5 cm h = 9 cm

C = 16 cm h = 10 cm

C = 20 cm aC = 21 cm


3) Quelle est l’aire totale exacte d’une demi-sphère de 12 cm de rayon ?

4) Quel est le volume exact d’une boule de rayon égal à 15 cm ?

5) Calcule l’aire et le volume de ce solide.

V ___________________ , AT _____________________

3,25 m

4 m

4,5 m

8,4 m

3,25 m

2,345 m


6) Calcule l’aire totale de ces solides et arrondis tes calculs au millième près. Les dessins ne sont pas à l’échelle.

a) b)

c) d)

hcyl. = 12 cm ac = 8 cm r = 5 cm

ac = 24 cm hcône = 17 cm

Prisme à base carrée

Cube

aP = 30 cm c = 22 cm hPrisme = 45 cm

hPyr. = 16 cm diagonale d’une face du cube (d) = 32 cm


7) Calcule le volume de ces solides et arrondis tes calculs au millième près. Les

dessins ne sont pas à l’échelle.

a) b)

c) d)

hcyl. = 12 cm ac = 8 cm r = 5 cm

ac = 24 cm hcône = 17 cm

Prisme à base carrée

Cube

aP = 30 cm c = 22 cm hPrisme = 45 cm

hPyr. = 16 cm A base du cube = 36 cm2


8) Calcule l’aire totale et le volume du solide suivant. C’est un cylindre de 30 cm de hauteur et 8 cm de rayon surmonté d’une demi-sphère de même rayon. Arrondis la réponse au millième près.

9) Voici un altère formé d’un cylindre de 2 cm de rayon et de 1 m de hauteur ainsi que de deux boules identiques de 2 dm de rayon. Quel sera le volume de métal nécessaire pour former un altère ? Donne ta réponse en décilitres et arrondis au millième près.


10) Calcule, au millième près, …

a) l’aire totale de cette pyramide à base carrée tronquée.

b) le volume de cette pyramide à base carrée tronquée.

Je vois très bien que cette pyramide tronquée est une grosse pyramide à laquelle on a enlevé la pointe qui représente une petite pyramide de même base…

22 cm

13,2 cm

10 cm

4 cm



RACINE CUBIQUE D’UN NOMBRE Exemple 1

Sachant que le volume d’un cube est 238 328 cm3, trouve la mesure de son arête.

e

Source : http ://fr.wikipedia.org/wiki/Image:Structure_d%27une_racine.PNG

La racine cubique d’un nombre (radicande) est la recherche d’un autre nombre

qui, élevé au cube, donnera le radicande.

Par exemple, la racine cubique de 1331 est égale à 11, car 113 = 1331.

N.B. La racine cubique est l’opération inverse d’élever un nombre au cube.


THÉORIE DES EXPOSANTS (RAPPEL)

Lois des exposants (a R, b R, m R, n R)

Exemples

1) a1 = a

2) a0 = 1 a 0

3) am • an = am + n R

2 3 • 2 4 = 27

a 3 • a 2 = a5

4) am an = n

m

a

a am – n a 0

3

5

5

5 52

5

3

a

a a-2 =

2

1

a

5) (am)n = am • n = amn m, n R

(2 4 ) 3 = 212

(a 2 ) 3 = a6

6) (a • b)m = am • bm = am bm m R

(32 • 7)5 = 310 • 75

(a • b)3 = a3b3

7) m

b

a

= m

m

b

a b 0

3

5

33

3

5

3

4

d

c4

4

d

c avec d 0

Le symbole « » signifie

appartient à… OU est élément de…


OUTILS ALGÉBRIQUES (RAPPEL) Exemple 2

Simplifie les expressions algébriques ou résous les équations selon le cas. Fais

tes calculs et laisse ta réponse exacte.

a) 233 ba b)

252 x c) 104x =

d) 8416 yx = e) 3232 ba f)

33

2

x

g) 3

9

8x = h) ba

64

49 = i) 3 3)9( x =

j) 3 33

30 z = k) 3 63

27 ba = l) 3 396 x =

m) 24 )26( x = n) 3

3

27x

=

o) (22 a2b3)3 (23 ab2)6 =

p) (5 cd2)3 (5 cd4)2 = q) (2c – d) (d + 3) =

r) (2x – 3) (4x + 3) =

s) (x + 7)2=

t) (3x – 4)2=


u) 2

2

4

5

3

4

yx

=

v) (a – 1)(a + 1) =

w) 103

)4(3 3

x

x) 37a6a

43

y) -4(3z – 6) – (2z + 4) = 8(z – 6) z) 4

6

3

7 22

xx

aa) 4

6a36

4a2 bb) 3

7x56x

2

3


SOLIDES SEMBLABLES Deux solides sont semblables si l’un est un agrandissement, une réduction ou la

reproduction exacte de l’autre.

*Dans des figures semblables, on remarque une régularité intéressante entre

certains rapports.

Deux solides sont semblables si :

1) Les angles homologues (correspondants) sont isométriques

2) Les mesures des arêtes homologues sont proportionnelles

N.B. Ces deux conditions sont les mêmes que pour les figures semblables (à

deux dimensions).

Toutes les mesures du rectangle

ABCD ont été

de façon à obtenir le rectangle

A’B’C’D’.

L’aire a-t-elle été triplée elle

aussi?

Toutes les mesures du prisme 1 ont

été de façon à

obtenir le prisme 2.

Que peux-tu dire au sujet de leur

volume ?

A D

CB

B '

D'

C'

Rectangle AB CD

Pris m e 1

Pris m e 2


Les rapports…

Rapport de similitude =

Rapport des aires =

Rapport des volumes = Exemple 3 Voici deux solides semblables. a) Calcule le volume de chacun des solides. b) Calcule le rapport des volumes. c) Calcule l’aire totale de chacun des solides.

c = 8 cm h = 14 cm

I

H K

L

M

N O

P

c = 32 cm h = 56 cm

I’

H’ K’

L’

M’

N’ O’

P’

Solide 1

Solide 2


d) Calcule le rapport des aires totales. e) Détermine le rapport de similitude de ces deux solides f) Compare le rapport calculé en b) avec celui trouvé en e). Qu’observes-tu?

g) Compare le rapport calculé en d) avec celui trouvé en e). Qu’observes-tu?

Exemple 4

Voici le volume de 2 cylindres semblables. Trouve le rapport de similitude simplifié de ces solides. V1= 343 et V2= 27

Exemple 5

Voici l’aire totale de 2 cubes semblables. Trouve le rapport des volumes simplifié de ces solides. A1= 864 et A2= 1350


Exemple 6

Voici l’aire d’un solide : A1 =

. Trouve l’aire d’un solide semblable plus grand dont

le rapport de similitude entre ces 2 solides est de .

Exemple 7

Le rapport des volumes de deux cylindres est de 1125

. La hauteur et le rayon du plus

petit cylindre mesurent respectivement 12 cm et 3,4 cm. Calcule l’aire totale exacte

du plus gros cylindre.



1) Identifie, dans cette expression, chacune des composantes.

1113313

2) Le volume d’un cube est de 1157,625 cm3. Calcule son aire totale exacte.

3) Soit une boule de 64 dm3 de volume. Arrondis tes réponses au millième près.

a) Calcule le diamètre de cette boule en dm.

b) Calcule le rayon de cette boule en mm.


4) Le volume d’une orange est de 300 ml. Tu coupes cette orange en deux parties égales.

Calcule au millième près, l’aire latérale de l’une des deux demi-oranges en mm2.

5) Pour chacun des solides ci-dessous, détermine la formule algébrique permettant

de calculer le rayon. Calcule ensuite la mesure exacte du rayon de chacun d’eux.

a) Cône circulaire droit de 12 cm de hauteur et dont le volume est de 64 cm3.

b) Boule de 36 m3 de volume.


c) Cylindre circulaire droit de 15 cm de hauteur dont le volume est de 13,5 dm3.

d) Demi-sphère de 1587 m2 d’aire totale.

6) Pour chacun des solides ci-dessous, trouve le polynôme simplifié représentant

l’aire totale et le volume. Laisse dans tes réponses.

a) Cube

b) Prisme à base carrée

3x cm

(x + 1) cm

(2x) dm


c) Pyramide à base carrée

d) Demi-boule

e) Cône circulaire droit

6x cm

aP = 5x cm

r = 4y dm

h=12x m

r = 5x m


7) Trouve la mesure exacte du segment AB dans le cylindre suivant sachant que

son volume est de 12 000 cm3.

8) Trouve la mesure du rayon exact du cône ci-dessous sachant que son volume

est d’environ 47,56 m3.

9) Le volume du solide ci-contre est de 10 878 m3. Sachant que le rayon de la

demi-boule est de 21 m, quelle est la hauteur exacte du cône circulaire droit?

40 cmA

B

43 dm


10) Une boîte ayant la forme d’un prisme à base carrée de 12 cm de côté contient un

objet cylindrique de 12 cm de diamètre. Cette boîte a un volume de 2880 cm3. Le

volume de l’espace inoccupé dans la boîte est de 844 cm3. Quelle est la hauteur

de la boîte et celle de l’objet cylindrique? Arrondis s’il y a lieu au millième près.

11) Le volume du solide suivant est de 21 609 m3. Si le rayon de la petite demi-

boule correspond aux 3/4 de celui de la grande demi-boule, calcule

a) le volume de chaque demi-boule. Arrondis ta réponse au millième près.

a) le rayon de chaque demi-boule. Arrondis ta réponse au millième près.


12) Le volume d’une boule est de 288 cm3. Détermine la mesure EXACTE de

l’apothème d’un cône circulaire droit ayant le même volume et le même rayon

que la boule.

13) Un cube et une pyramide à base carrée ont la même aire totale. Le cube a un

côté de dm. Si le côté de la base de la pyramide mesure

dm, quelle est la

mesure exacte de l’apothème de la pyramide?


14) Le volume d’une pyramide A correspond au double de celui d’une pyramide B,

tandis que le volume d’une pyramide C correspond au cinquième de celui d’une

pyramide A. Si le volume total des trois pyramides est de

m3, détermine :

a) le volume EXACT de chaque pyramide;

b) la hauteur de la pyramide C sachant que le côté de sa base carrée mesure

4 mètres.


15) Exprime le volume de chacun des solides ci-dessous à l’aide d’une expression

algébrique simplifiée.

a) Cube

b) Prisme droit

16) Un contenant de forme cylindrique de dm de rayon contient 9 cubes de glace

de dm de côté. Si on laisse fondre les cubes de glace, à quelle hauteur sera

l’eau obtenue par les glaçons fondus? Donne une réponse EXACTE.

xy2 cm

2y2 cm7y2 cm

(5y2 + 4) cm


17) Un cylindre de cm de rayon a le même volume qu’une boule de 2 cm de rayon.

Quelle est l’aire latérale EXACTE du cylindre?

18) L’aire totale d’un cône est de 24 dm2 et son rayon mesure 3 dm. Calcule le

volume exact de ce cône.


19) L’arête d’un cube mesure (2x - 5) cm. Détermine le polynôme simplifié représentant :

a) l’aire totale du cube;

b) le volume du cube.


20) Les dimensions d’un prisme à base rectangulaire sont exprimées par les

polynômes suivants :

Largeur : x+4 Longueur : 2x – 3 Hauteur : 3x

a) Donne l’expression algébrique simplifiée représentant l’aire totale de ce

prisme.

b) Exprime le volume de ce prisme à l’aide d’un polynôme réduit.


21) Trouve l’expression algébrique simplifiée représentant le volume de la pyramide

à base carrée suivante sachant que la hauteur est de 5x cm et que le côté

mesure (2x - 3) cm.

22) Le rapport des aires de deux cônes est de

. La hauteur du cône le plus grand

mesure 12 m, son apothème mesure 13 m. Calcule l’aire totale exacte du petit

cône.

(2x -3) cm

h = 5x cm


23) Le rapport des volumes de deux sphères (boules) est de 91,125. Le rayon de la

plus petite sphère mesure 9 cm.

a) Calcule l’aire exacte de la plus grande sphère.

b) Calcule le rapport des aires de ces deux sphères.

24) Voici le volume algébrique de 2 solides semblables. Trouve le rapport de similitude simplifié de ces solides. Il y a deux réponses possibles.

V1= 27x3y3 et V2= 216x3y3z3


25) Voici l’aire totale algébrique de 2 solides semblables. Trouve le rapport des volumes simplifié de ces solides. Il y a deux réponses possibles.

A1= 45x3y9 et A2= 5xy3

26) Voici la mesure de l’arête de 2 cubes semblables. Trouve le rapport des volumes simplifié de ces cubes. Il y a deux réponses possibles.

c1= 4x4yz2 et c2= 6x4y3z6


27) Voici le rayon de 2 cylindres semblables. Trouve le rapport d’aire simplifié de ces

cylindres 1

2

solide

solide

A

A .

r1= 4xy2z3 et r2= 8x2y2z3 – 12xy3z3

28) Voici l’aire totale algébrique d’un solide : A1 = 5x2 - 3xy + 4y2. Trouve l’aire totale d’un solide semblable dont le rapport de similitude entre ces 2 solides est de 2x. Il y a deux réponses possibles.


29) La hauteur d’une première pyramide à base carrée A mesure la moitié de la mesure du côté de sa base. Si l’aire de cette base est 16x2, quel serait le volume d’une deuxième pyramide à base carrée B semblable à la première dont le

rapport de similitude BPyramide

APyramide

est x4

3

?

30) Le rapport des volumes de deux sphères est de 27

3x

, ce qui signifie que

27

3x

sphèrepetiteladeVolume

sphèregrandeladeVolume

. Le rayon de la plus petite sphère mesure x

y

4

9 2

. Calcule le volume algébrique exact de la plus grande sphère.


Défi!!!

Le rapport des aires de deux cylindres est tel

que

49

4 2

x

cylindrepetitdutotaleAire

cylindregranddutotaleAire

. La hauteur et le rayon du plus petit

cylindre mesurent respectivement 2

7x

et 3

7x

. Calcule l’aire totale algébrique exacte du plus grand cylindre.


VISI N Du symbolisme pour généraliser

VISION 6


6



Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 82-83.

EXPOSANTS NÉGATIFS

5 513 = =

2n Puissance 5n Puissance

… … … …

25 32 55 3125

24 16 54 625

23 8 53 125

22 52

21 51

20 50

2-1

5-1

2-2

5-2

2-3

5-3

2-4

5-4

… … … …

Quelle opération dois-tu faire pour

passer d’une ligne vers une autre ?

Toutes les réponses doivent s’exprimer avec des exposants positifs.


THÉORIE DES EXPOSANTS

Lois des exposants (a R, b R, m R, n R)

Exemples

1) a1 = a

2) a0 = 1 a 0

3) am • an = am + n

2 3 • 2 4 = 27

a 3 • a 2 = a5

4) am an = n

m

a

a am – n a 0

3

5

7

7 72

5

3

a

a a-2 =

2

1

a

5) (am)n = am • n = amn

(2 4 ) 3 = 212

(a 2 ) 3 = a6

6) (a • b)m = am • bm = am bm

(3 2 • 7)5 = 310 • 75

(a • b)3 = a3b3

7) m

b

a

= m

m

b

a b 0

3

5

33

3

5

3

4

d

c4

4

d

c avec d 0

8) a-m = a 0

2-7 =l x -5 =l

9) ma

1

311

1 l

5

1

g l

Le symbole « » signifie

appartient à… OU est élément de…

Dans la réponse finale, on ne laissera jamais d’exposants négatifs!!


Exemple 1 Rends les exposants positifs et exprime ta réponse en notation exponentielle.

a) 231 = b) (23)-4 =

c) 73 • 2-4 = d) 7

4

25

=

e) 74 77 = f) 2

511

g) (c • d2)-w = h) d

xa

=

Exemple 2

a) 50 =

b) x0 = (x ≠ 0)

c) 5-2 =

d) 7

5

2

=

e) 34 b-2 =

f)

g)

h)

i) (a2 )-3 (a 3)–2 =

j)

531

6c

1

322

1

a

2

3

2

2 a

a


EXPOSANTS FRACTIONNAIRES

Exemple 3

a) 3 2 =

b) 5 23 =

c) 36 43 =

d) a =

e) 3

1

2

1

aa =

f) 2

1

33

2

a

b

b

a =

nm

n maa pour a R , m Z et n Z*

nba pour a et b R et n N*

n ba pour a et b R et n N*

dc a )(

1 pour a R, d R et c N*

Rappel : Z* signifie



1) Simplifie et exprime sous forme exponentielle chacune des expressions

suivantes.

a) 3c • 33c3 • 34c4 = b) 22 x 3y 2 • 22 • 32 x y 4 • 24 • 3 x 2 y 5 =

c) (22 x2y-2)3 = d) (24 a-3b2c)6 = e) (22 • 5 cd-2)4 • (2 • 3 c-1d3)-2 =

f) 4

12444 32 yx = g) 343224 32

cba =

h 4224 52 yx = i) 3 33239 32 cba =

j)

3243

433424

732

32

cba

cba=




Exemple 1

Simplifie et exprime ta réponse en notation exponentielle. N’oublie pas de rendre

tous les exposants positifs dans ta réponse finale.

a) y8z9

y5z13 =

b) w

w4

46

)52(

)52(

=

c) 23

22

73

75

ts

ts

=

d) 222

242

)32(

32

ab

ba

=

Voici les 3 étapes à faire pour simplifier une expression algébrique :

1) Enlever les parenthèses et les

2) Multiplier ou diviser les mêmes bases

3) Rendre tous les exposants positifs


e) 31

2323

)32(

2

xy

zyx =

f) 122

2323

)5(

)5(

abc

bca =

g) 1114

42

3

32

zyx

xyz =

h) 413448

4342

)32(

)532(

kji

kji =

i)

323

132

52

32

dc

dc =

-3


DÉCOMPOSITION EN FACTEURS

La décomposition en facteurs est le processus inverse de la distributivité. La factorisation est la recherche des facteurs d’un produit. Chacun des cas de facteurs vus cette année correspond à une multiplication de polynômes bien précise.

Factoriser ou décomposer en facteurs un polynôme, c’est retrouver les expressions

qui, multipliées ensemble, ont donné comme produit le polynôme initial.

FACTORISATION : MISE EN ÉVIDENCE SIMPLE

À partir d’un polynôme donné, on retrouve un facteur commun ou un diviseur

commun à TOUS les termes. Ce facteur ou ce diviseur commun que l’on met en

évidence est appelé le plus grand commun facteur (PGCF) ou le plus grand

commun diviseur (PGCD).

La mise en évidence simple se fait avant toute autre

factorisation !

Décompose en facteurs le nombre 12.

Décompose en facteurs l’expression algébrique 6x2.

Effectue… 2(3x – 5) = Factorise… 6x – 10 =

Effectue … 7t(2t + 4) = Factorise… 14t2 + 28t =


Exemple 2

Factorise (ou décompose en facteurs) les polynômes suivants.

a) 25x + 15y = Preuve :

b) 7ab + 6bc = Preuve :

c) 8xy – 4xyz = Preuve :

d) -16a3b – 12a2c = Preuve :

Comment faire une mise en évidence simple ? 1 Trouve le PGCD ou le PGCF de tous les termes du polynôme.

2 Divise chacun des termes du polynôme par ce PGCD ou PGCF.

3 Exprime les facteurs du polynôme en multipliant le diviseur (PGCD ou PGCF)

et le quotient obtenu.

LE PGCD D’UNE EXPRESSION AYANT DES VARIABLES COMMUNES DOIT

ÊTRE COMPOSÉ DE CELLES AFFECTÉES DU PLUS PETIT EXPOSANT.

UN POLYNÔME FACTORISÉ EST REPRÉSENTÉ PAR UN SEUL TERME

COMPOSÉ DE DEUX OU PLUSIEURS FACTEURS.

LES FACTEURS OBTENUS DOIVENT ÊTRE DES POLYNÔMES PREMIERS ET

SIMPLIFIÉS. UN POLYNÔME PREMIER EST UN POLYNÔME N’AYANT QUE 1 ET LUI-MÊME

COMME FACTEURS.

ATTENTION !


Exemple 3

Factorise les polynômes suivants.

a) 6x³ - 12x4y + 9x² = b) m²n4 + 7m³n² - 5m³n + m²n = c) 3(x + y) + 5a(x + y) = d) 8x²(a + b) – 7(a + b) = e) 3a²(c + d) – 6a(c + d) = f) 7x³(4x – 2y) + 14x²y(4x – 2y) = g) (a + b)(a – b) + (a + b)² = h) 2x (3a + 6b) – 4y (3a + 6b) = i) 20x2(3x + 6y) – 10xy(3x + 6y) =

j) )()(

yx5yx3

= k) y48ay12

xy6yx6²

=

l) bmbnanam

= m)

x4x6x8x12

²²³ =

Pour simplifier des expressions rationnelles, il faut exprimer le numérateur et le

dénominateur sous forme de facteurs !


FACTORISATION : MISE EN ÉVIDENCE DOUBLE

Comment faire une mise en évidence double ? 1 La mise en évidence double permet de trouver les facteurs d’un polynôme

comportant un nombre pair de plus de deux termes.

2 En groupant par paires les termes, on essaie d’abord d’effectuer la mise en

évidence simple d’un facteur commun à chaque groupe.

3 Puis, on trouve un nouveau facteur commun à mettre en évidence. Ce nouveau

facteur commun est le polynôme (entre parenthèses) trouvé à l’étape 2.


factorisation !

Décompose en facteurs : ax + ay + bx + by.

Y a-t-il une autre façon de regrouper les termes?

Décompose en facteurs : 3x2y + y – 9x2 - 3.

Y a-t-il une autre façon de regrouper les termes?

Qu’importe le regroupement, la réponse est toujours

.


Exemple 4

Factorise les polynômes suivants.

a) 6a²x + 3ax – 2a – 1 = b) 2ax + 2bx + 4ay + 4by =

c) 6ax + 12bx – 12ay – 24 by = d) 9a12

b3a3ab4a4

² =

e) a6ax4a3xa2x6x4ax3ax2

²²²² = f)

b4bx6a10ax15b2bx2a5ax5

=

Pour simplifier des expressions rationnelles, il faut exprimer le numérateur et le

dénominateur sous forme de facteurs !


FACTORISATION : DIFFÉRENCE DE DEUX CARRÉS

Observe attentivement le polynôme suivant et répond aux questions. Soit le polynôme a2 – b2. 1. Comment s’appelle ce polynôme?

2. Quelle est l’opération entre les deux quantités?

3. Comment qualifierais-tu la quantité à gauche

du signe « - »?

4. Comment qualifierais-tu la quantité à droite

du signe « - »?

5. Comment s’appelle un tel cas de factorisation?

Avant de factoriser ce binôme, effectue la double distributivité suivante : (a + b) (a – b) =

=

=

En comparant ta réponse obtenue par le produit de deux binômes et le binôme du

départ, que peux-tu conclure ?

Alors, la factorisation de a2 – b2 est .

Comment factoriser une différence de deux carrés ? La différence de deux carrés se factorise en deux facteurs. L’un est la somme des deux racines carrées et l’autre est la différence de ces deux mêmes racines.

Exemples de carrés

Carrés 12 1 22 32

(x4)2 (y5)2 (5x3)2 (7b9)2 (x+y)2 (x+y)2

Pour être un carré, le coefficient doit être un et l’exposant doit être .

Carré

(x)

Racine carrée (x)1/2

Preuve

1 1 12 = 1 4 22 = 4

9 32 = 9

x8 (x4)2 = x8

y10 (y5)2 = y10 25x6 (5x3)2 = 25x6

49b18 (7b9)2 = 49b18 (x+y)2 (x+y) (x+y)2 = (x+y)2


Exemple 5 Factorise ces polynômes.

a) 25x6 – 81 = b) –100 + x² =

c) –36 – y² = d) 7c² - 7d² = e) a²x – x + 4a² - 4 = f) (x + y)² - z² = g) (a – b)² - (x + y)² = h) (x – 4)² - (y + 3)² = i) x4 – 1 = j) x16 – 1 =

k) (3a – 2b)² - (5a + 2b)² = l) 6a29a

² =

m) 16x

x4x

²² = n)

4a9a6a9

²² =

o) ²²

²n25m16

mn10m8 = p)

))(²(²

1xx2x21x

=


factorisation !


FACTORISATION: TRINÔME DE LA FORME ax2 + bx + c

Simplifie l’expression suivante : (2x + 5) (x + 4) = Quel est le produit des coefficients des deux termes semblables?

La somme des nombres représentant les coefficients des termes semblables

est-elle égale au produit de ceux-ci?

Comment obtient-on ce produit?

Exemple 6

a) 2x2 + 5x + 3 = b) 10y4 – 9y2 + 2 =

ax2 + bx + c

Comment factoriser un trinôme de la forme ax2 + bx + c ? 1 Trouve deux nombres, n1 et n2, dont la somme donne b et le produit

donne ac.

2 Remplace le terme bx par la somme des deux termes trouvés.

3 Factorise le polynôme à quatre termes obtenu en effectuant une mise en évidence

double.

Ce terme contient toujours les racines de toutes les variables.

+ =

=

n1 + n2 = b

n1 n2 = a c

+ =

=


Exemple 7

Factorise. a) 5x² - 17x + 6 =

b) 2a² + 3ab - 5b² = c) 3

42

3

a13

3

²a =

d) 25a7a

23 ² = e) -x² - 3x + 28 =

f) 1x

1x7x6

²

² = g) 9y12y430y26y4

²²

=

h) ²²

²²yxy2xy3xy5x2

= i) 22

22

bab4a4b2ab5a2

=

La mise en évidence simple se fait avant toute autre factorisation !

+ =

=


Comment reconnaître le cas de facteurs à utiliser ?

Nombre impair de termes

Polynôme

initial

binôme trinôme Nombre pair de termes

C’est terminé, lorsque tous les facteurs sont des

polynômes premiers et simplifiés. Au besoin, reprendre l’arbre des décisions.



1) Simplifie les expressions algébriques suivantes et exprime ta réponse en notation

exponentielle.

a) 452

342

2

3 x

x =

b) 242

432

3

32

ab

ba =

c) 232

4223

7

7

cd

dc

=


d)

4222

5133

32

3

rp

rp =

e)

333

222

53

5

gh

hg =

f) 2

238

32

3

3

kj

kj=


2) Simplifie et exprime sous forme exponentielle.

a) 10682 ba b) (26 a-2b-3)-3 (2-3 ab2)-6 =

c) 634 32 33 aa d) yxyx 13 32 535

e) 73 39 32 bcba f)

yx

yx624

5

1

3

)32( 22 =


g) 3 533

533

32

32

baba

= h)

)zx7)(2(

)532(3-22 3-

3 323

y

zxy

=

i) yx

zyx8

752

32

3

= j)

32323

y

x=

k) 22

2

3

3

yb

by = l)

2

43

32

2

a

a =


3a23a

ba2b7a5

bab3a5

5a35a2

a2

y3

y3a2

Problèmes Défis

m)

22

322

22

2

3

128

3

134

32

35

32

53

xb

ay

xb

ya

=

n)

3323

7422

5

3

4

1

2

12

3436

7

32

7

2

yx

yx

yx

yx =

o)

p) 1

2n

1n2

1n

1n

aa

aa

=


3) Décompose en facteurs les polynômes suivants.

a) -16x6y6z6 32x5y5z5 4xy5 b) 5ab2 + 20bc 15c + 25

c) -6m2n3 + 4mn2 + 3n2 + n d) 7abx + 8acx 3x + 4

e) 49x8y4z2 + 56x5y2 + 42x2y2z f) -128s5t6v2 28s4t3


4) Décompose en facteurs chacun des polynômes suivants.

a) 3a(x - y) + (x - y)

b) (a + b) (a + b) + 2 (a + b)

c) 4(a - b) + (a - b)2

d) 7a2(3x + 4y) + 8b(4y + 3x)

e) 2a3(a + b) - (a + b) f) (x - y) - (x - y) (x + y)


5) Factorise les polynômes suivants.

a) x8 + x6 + x4 + x2 b) 2ax - 4bc + 6ad - 8d

c) -5ab + 15ac - 125abc + 625a2 d) a3x2 + a3y + a2bx2 + a2by

e) 12a2b4 + 3b4 - 1 - 4a2 f) 10a - 30 - 24a3 + 8a4


6) Décompose en facteurs chacun des polynômes.

a) ab 5a2 3b 15a b) 2x3 6xy 6x2y + 18y2

c) 24ac - 4a2b2 + 96bc 16ab3 d) 4(2a b) 4x(2a b)

e) 3ab2 9ax 12ab + 27x f) 10x(a + 2b) 5x2(a + 2b)


7) Simplifie chacune des expressions rationnelles en factorisant d’abord le numérateur et le dénominateur.

a) 2 4 6

6 6

2x x

x

b) 12 4 2

6 2 1

3 2

2

a a a

a a

c) 2 8 4

8 4

4 4a b ab a a

ab a

d) 2 2

2 2

2x x xy y

ax a bx b


e) 4 8 12

10 2

2x y

x a b y a b

( ) ( )

f) 8 4 4 2

2 2 6 2

2 2

2

ax bx ay by

x a b y a b

( ) ( )

g) 4 5

2 6 10 30

2 4

3 2

( )a

a b a ab

h) 4 1 16 1

1 10 40

2 2

5

a x b x

x a b

( ) ( )

( ) ( )


8) Factorise.

a) a2 - b4 b) (2y + z)2 - 36

c) 4 - a2 d) a2b4 - 4

25

e) x2 - (3 - a)2 f) x2 - b2

16

g) b2x4 - 36a2 h) 121b2 - a2

9


9) Il faut reconnaître les binômes qui sont des différences de deux carrés, même s’ils ont une drôle d’allure! Factorise-les.

a) (a - 8b)2 - (c + d)2 b) (a + b +c)2 - (m - n)2

c) 1 - (x - y + z)2 d) (x - y + 2)2 - 4

e) 4 - (x - y + 2)2 f) (3x 2y)2 (4x y)2


10) Factorise.

a) x4 + x3 + x2 + x b) x6 9x4 x2 + 9

c) a2 + 4b4 d) 5ax + 5bx + 15a 15b

e) 125(a2 16b2) 5a4(a2 16b2) f) 2m3 4mn2 m2n + 2n3

g) 27a2b 81b h) c2(a + b) (a + b)


11) Factorise et simplifie chacune des expressions rationnelles suivantes.

a) )y2x(y2)y2x(x

y8x2434433

86

b) 2 10 5

2 10 5

xy x y

xy x y

c) a

a a a

2

3 2

1

1

d) 10 20

40 80

2 2

2

x y

ab b


e) x xy x y y

x y

3 2 2 3

2

4 2 8

4

f) 2

6 3

2m m

m

g) ( )( )

( )

a a

a

2 2

2 2

4 4

4

h) 15 20 18 24

9 12

2xy y x y

x x y

( )


12) Factorise les trinômes suivants.

a) 2m2 - 11m + 12

b) 7x2 + 6x - 1

c) 5a2 + 7a + 2 d) 3a2 + 5ab - 2b2

e) 4x2 + 9xy + 2y2 f) 6m2 + 7mn - 3n2


13) Décompose en facteurs ces polynômes.

a) 4 - 4a2b2 b) 4x2 + 20xy + 25y2

c) 36a4 - a2 d) x2 - 11x + 24

e) -b2 - 3b + 28

f) 3x2 - 24x + 48


14) Factorise chacun des polynômes suivants.

a) y4 15y2 + 36 b) x8 13x4z2 + 36z4

c) 3a3 60a2 + 300a d) 2x2 + 18x 104

e) -4a2 60a 216 f) 3a4b2 51a2b2 + 48b2

g) 4x2 + 4xy 120y2

h) 2a4b2 + 20a2b2c + 50b2c2


15) Factorise et simplifie chacune des expressions rationnelles suivantes.

a) a a

a a

2

2

20

10 25

b) 2 6 8

2 10 8

2 2

2 2

a ab b

a ab b

c) 5 5

20 4

3 2 2 3

2 2

x xy x y y

x y

d) a a

a

4 2

2

2 63

9

e) a a

a a

2

2

22 120

2 44 240

f) m mn n

m n

2 25 66

11 66




RÉSOLUTION D’INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ À UNE INCONNUE

Une inéquation est une forme propositionnelle comportant une relation d’inégalité. Les quatre symboles utilisés sont : : est inférieur à

: est supérieur à

: est inférieur ou égal à

: est supérieur ou égal à

Résoudre une inéquation, c’est trouver la ou les valeurs numériques qui transforment

cette inéquation en une proposition vraie.

Cette nouvelle inéquation est dite équivalente avec la première forme

propositionnelle.

Il existe des propriétés pour les inéquations. Voyons si on est capable de les trouver…

À partir de la forme propositionnelle suivante : 10 20

1. additionne une même quantité aux deux membres de l’inéquation :

2. soustrais une même quantité aux deux membres de l’inéquation :

3. multiplie par une même quantité positive les deux membres de

l’inéquation :

4. multiplie par une même quantité négative les deux membres de

l’inéquation :

Thomas Harriot (1560-1621)

Explorateur, expert en navigation, mathématicien, scientiste et astronome anglais, Thomas Harriot est né à Oxford. On lui doit l’introduction de ces symboles.


5. divise par une même quantité positive les deux membres de l’inéquation :

6. divise par une même quantité négative les deux membres de l’inéquation :

PROPRIÉTÉS DES INÉQUATIONS 1) Propriété d’addition L’addition d’une _même_ quantité aux

deux membres d’une inéquation ne

modifie pas l’ensemble solution.

2) Propriété de soustraction La soustraction d’une _même_ quantité

aux deux membres d’une inéquation ne

modifie pas l’ensemble solution.

3) Propriété de multiplication La multiplication des deux membres d’une inéquation :

par un même nombre positif non-nul

ne modifie pas l’ensemble solution.

par un même nombre négatif non-nul

ne modifie pas l’ensemble solution en

autant qu’on change le ________

_____________________________.

4) Propriété de division La division des deux membres d’une inéquation :

par un même nombre positif non-nul

ne modifie pas l’ensemble solution.

par même nombre négatif non-nul ne

modifie pas l’ensemble solution en

autant qu’on change le _________

_____________________________.


De plus, lorsqu’on trouve la ou les valeurs attribuables à la variable afin que la forme

propositionnelle devienne une proposition vraie, on vient de trouver l’ensemble

solution.

L’ensemble de toutes les valeurs qu’il est possible d’attribuer à la variable s’appelle

l’ensemble de référence ou l’ensemble de définition.

On emploie les ensembles de nombres : N, Z, Q, Q’ et R, mais les ensembles N, Z et R

sont les plus utilisés.

N.B. C’est dans un de ces ensembles que proviennent les éléments de l’ensemble

solution.

Chaque ensemble solution trouvé peut être représenté :

en extension, seulement avec les ensembles de référence N et Z.

en compréhension.

graphiquement à l’aide de la droite numérique.

sous forme d’intervalles, seulement avec

l’ensemble de référence R.

Proposition Graphiquement (R) Intervalles (R)


Exemple 1

Complète le tableau suivant, à partir de chacune des inéquations :

a) 5x

Ensemble

de

référence

Extension Compréhension Graphiquement Intervalles

N

N / A *

Z

N / A *

R

N / A *

* N / A signifie que cette présentation est non-applicable.

b) 2x

Ensemble

de référence

Extension

Compréhension

Graphiquement

Intervalles

N

N / A

Z

N / A

R

N / A

Un nouveau symbole : qui signifie l’infini.


c) 2(x – 2) + 9 > 20

Ensemble

de référence

Extension

Compréhension

Graphiquement

Intervalles

N

N / A

Z

N / A

R

N / A

d) –2x > 8

Ensemble

de référence

Extension

Compréhension

Graphiquement

Intervalles

N

N / A

Z

N / A

R

N / A

Si la valeur de la variable n’est pas un entier,

laisse cette valeur sous forme fractionnaire.


e) 3x + 5 x + 7

Ensemble

de référence

Extension

Compréhension

Graphiquement

Intervalles

N

N / A

Z

N / A

R

N / A

f) 5(x – 2) + 7 > 8(x + 1) – 9

Ensemble

de référence

Extension

Compréhension

Graphiquement Intervalles

N

N / A

Z

N / A

R

N / A


Exemple 2

Résous graphiquement et sous forme d’intervalles dans R.

a) 3(a + 4) – 5(a – 4) < 6(a + 3) – (a – 2)

b) 3

5y

5

4y3

c) 32

y

3

1

5

y


Exemple 3

Résous graphiquement et écris l’ensemble solution en compréhension à partir de

l’ensemble de référence N.

a) 3

)1x(2 2

9x6

b) )4x(8)6x(53x2

c) 21)3x4( x


Exemple 4 Résous graphiquement et écris l’ensemble solution en compréhension à partir de

l’ensemble de référence Z.

a) 8n32

1n7

b) 2x – 5 – 15 + (10 + x) 0

c) 5

3y2

21y


Exemple 5 Résous et exprime l’ensemble solution en compréhension et sous forme d’intervalles

dans R.

a) 21y5

3y2

b) (x + 1) – x –

(x + 4) - 2

c) 2x)4x(

43

21x)2x(

35


RÉSOLUTION DE PROBLÈMES AVEC INÉQUATIONS À UNE VARIABLE

Le processus est pratiquement le même qu’avec la résolution de problèmes avec équations. La seule étape qui change, c’est la quatrième. On doit donner la réponse selon des critères bien précis. Exemple 6 1) Trouve le plus petit entier possible qui, multiplié par 4, est supérieur ou égal à la

somme de cet entier et de 7.

Étapes

Résolution du problème

1) Identifie l’inconnue ou les inconnues.

Quel est l’objet recherché? _________________________________

Identifie l’inconnue ou les inconnues.

_________________________________

_________________________________

2) Écris l’inéquation appropriée.

Construis une inéquation mettant en relation l’inconnue et les données du problème. _________________________________

3) Résous cette inéquation.

Résous l’inéquation posée.

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________

4) À partir de la mise en situation,

regarde les possibilités et donne une réponse complète.

Quelles sont les valeurs possibles pour x? Quelle est la valeur de l’objet recherché ? Réponds par une phrase complète. _________________________________

_________________________________

_________________________________


Exemple 7 Trouve les trois plus grands entiers consécutifs tel qu’en retranchant le premier du triple du troisième, on obtienne un résultat supérieur au quadruple du second.

Étapes





_________________________________

_________________________________

2) Écris l’inéquation appropriée.

Construis une inéquation mettant en relation l’inconnue et les données du problème. _________________________________

3) Résous cette inéquation.

Résous l’inéquation posée.

_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________


regarde les possibilités et donne une réponse complète.

Quelles sont les valeurs possibles pour x? Quelle est la valeur de l’objet recherché ? Réponds par une phrase complète. _________________________________

_________________________________

_________________________________



1) Illustre graphiquement l'ensemble solution de chacune des inéquations suivantes.

a) 8k - 5 < 35 pour k Z b) 4 y - 2 6 pour y R

c) 3 - y > 12 pour y R d) 35 8n - 5 pour n N

e) 4 - 6p < 16 pour p Z f) 8 t < 35 + 3 t pour t R

g) 64

m > -4 pour m Z h) 8 < 5 + 3m pour m R


2) Résous chacune des inéquations suivantes dans R. Exprime l’ensemble solution sous forme d’intervalles.

a) 2

3 ( x 3) < 2 b)

4

m 1 >

5

m

c) 4

x 9

4

x3 d) 4 (3 y ) < 5 (2 y + 1)

e) 3 (2 x 4) 9 f) 3 ( y + 4) < 5 y

g) 50 7t > 4t t h) 6 (4x + 7) < -4 (5 x) + 2


2) Résous chacune de ces inéquations dans l’ensemble des nombres réels. Exprime l’ensemble solution sous forme d’intervalles.

a) x43

8x5

b) 3x2

4

2x3

c) 12)x25(3 d) 52

xx

e) 4

1x

2

1x4 f) 2x

3

x2

g) 21x3

47x2 h)

3

3x)x32(4)2x(3


4) Résous chacune des inéquations suivantes dans R. Exprime l’ensemble solution graphiquement.

a) 8n32

1n7

b)

4

1x

2

1x4

c) 9a3

24a6 d) x

2

1)3x4(

e) 2

9x6

3

)1x(2

f)

5

3x3

2

1x2

g) 7

2x4

7

x2 h) 1)11x(2)x24(x5


5) Trouve l'ensemble solution des inéquations suivantes dans R. Exprime-le en compréhension.

a)3

1x4 >

2

1x b)

4

x

3

x24

3

x1

2

x23

c)3

x2)1x(

2

x d)

2

1

3

x

3

5x2

e) 86

x54

3

x7 f) )4x(8)6x(

5

3x2

g) )1x(3)1xx()2xx( 22


6) Résous ces inéquations dans R. Exprime l’ensemble solution sous forme d’intervalles.

a) 2

1

6

4a1

3

a

4

a

b) 5

32

3

35

2

3

mm

mm

c) 2

)2x(3

8

)1x(5

d)

2

x

3

1

5

1

4

x

e) 2

y35

3

1

7

y f)

4

)2x(3

3

1

2

x


g) 2

1x

6

)3x2(5

h) )4x3(

2

x)1x(3

3

2x5

i) 3

1

2

)1a(3

3

2

5

a3

j)

3

1)5x2(

2

11)3x2(

3

2


7) La différence entre le double du plus grand de quatre entiers impairs consécutifs et le plus petit de ceux-ci est au moins égale à 17. Trouve le plus petit ensemble formé de ces quatre nombres.

8) Trouve les quatre plus grands entiers impairs consécutifs dont la somme est plus petite que 105.

9) La longueur d'un rectangle est égale à 2 fois sa largeur. Si le périmètre est supérieur à 600 cm et qu’il n'excède pas 1 200 cm, quelle est la plus grande largeur possible?

10) Trouve les trois plus grands entiers pairs consécutifs dont la somme est plus petite que 61.


11) Trouve le plus petit entier tel que le produit de cet entier et de 3

7 soit inférieur à

21.

12) Trouve le plus petit entier positif tel qu’en retranchant 5 au résultat obtenu en multipliant ce nombre par 4, on obtienne un résultat supérieur à 8.

13) Trouve les trois plus grands multiples de 5 consécutifs dont la somme est inférieure ou égale à 90.

14) Trouve les entiers tels qu’en additionnant 35 au triple de ce nombre, le résultat soit supérieur au produit de cet entier par 8.


15) Tu dois maintenant trouver les dimensions minimales d’un rectangle sachant que la longueur est le double de sa largeur auquel tu dois ajouter 5 cm. Si tu désires que le périmètre soit supérieur ou égal à 80 cm, quelles doivent être les mesures entières de la longueur et de la largeur?

16) Ghislain a 123 timbres de moins que Gilles. Ensemble, ils ont moins de 403 timbres. Quel est le maximum de timbres que Ghislain peut posséder?

17) Michel a une somme d’argent égale au triple de l’avoir d’Isabelle. Michel reçoit 70$ et Isabelle dépense 8$. L’avoir de Michel devient alors inférieur au quintuple de l’avoir d’Isabelle. Quel était l’avoir minimal initial d’Isabelle ?


18) La longueur d’un terrain rectangulaire est de 5 mètres de plus que sa largeur. Son périmètre est supérieur à 370 mètres mais inférieur à 730 mètres. Représente les valeurs possibles de la largeur sur la droite numérique.

R

MATHÉMATIQUE

1re année du 2e cycle du secondaire

VISI N Des comparaisons pour décider

VISION 7


7



Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 135 et 136.

RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS Exemple 1

Résous les équations suivantes. Donne la réponse exacte.

a) -4(3z – 6) – (2z + 4) = 8(z – 6) b) 4

6xx

3

2

c) 7 – (3x2 – 7)(2x + 4) = (6x – 1)2 – 2x(24x – 13) d) 5y – y –

= y

e) 2(3x – 4)(2x + 7) = 5x(x + 6) – (x + 2)2 f) x5

28x3

3

5x2

)(


RÉSOLUTION DE PROBLÈMES AVEC ÉQUATIONS À UNE VARIABLE Chaque problème, en résolution de problèmes, demande de bien étudier la mise en situation. Il y a quatre étapes afin de compléter tout le processus. Tu dois : Identifier l’inconnue ou les inconnues; Écrire l’équation appropriée; Résoudre cette équation; À partir de la mise en situation, donner une réponse complète.

Exemple 2

Un terrain vaut cinq fois moins que la valeur de la maison. L’achat total est estimé à 310 000$. Quelle est la valeur de la maison, sachant que notre nouveau propriétaire doit payer 10 000$ pour les infrastructures?

Étapes





_________________________________

_________________________________

2) Écris l’équation appropriée.

Construis une équation mettant en relation l’inconnue et les données du problème. _________________________________

3) Résous cette équation.

Résous l’équation posée.

_________________________________

_________________________________

_________________________________


donne une réponse complète.

Quelle est la valeur de l’objet recherché ? Réponds par une phrase complète. _________________________________

_________________________________


Exemple 3

Trouve trois nombres pairs consécutifs dont le quadruple du plus grand moins le double du second donne 44.

Étapes





_________________________________

_________________________________

_________________________________





_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________




_________________________________


Exemple 4

Un examen, noté sur 100 points, comporte deux parties. Dans la première partie, chaque bonne réponse donne 2 points. Dans la seconde partie, chaque bonne réponse donne 4 points. La seconde partie compte cinq questions de moins que la première. Combien y a-t-il de questions en tout dans cet examen?

Étapes





_________________________________

_________________________________

_________________________________





_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________




_________________________________


Exemple 5 Une mère a 40 ans et sa fille, 16 ans. Il y a combien d’années que l’âge de la mère était trois fois l’âge de sa fille?

Étapes





_________________________________

_________________________________

_________________________________





_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________




_________________________________


Exemple 6 L’âge actuel de Stéphane est sept fois celui de Robert. Dans six ans, l’âge de Stéphane sera cinq fois celui de Robert. Trouve l’âge actuel de chacun.

Étapes





_________________________________

_________________________________

_________________________________





_________________________________

_________________________________

_________________________________

_________________________________




_________________________________


LES SYSTÈMES D’ÉQUATIONS Un système d’équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations.

Exemple 7

2

64

xy

xy ces 2 équations forment un système d’équations

Exemple 8

9

223

yx

xy ces 2 équations forment un système d’équations

Exemple 9

a) Quelles sont les variables contenues dans le texte? *** Identifie respectivement la

variable indépendante et celle qui est dépendante à l’aide des lettres x et y.

1.

2.

b) Quels sont les éléments clé du texte (éléments mathématico-importants!)?

1.

2.

3.

(4. )

c) Détermine une règle (équation) permettant de calculer la somme totale déboursée

par un joueur non membre selon le temps de location d’un terrain de tennis.

http://www.clg-mistral-portdebouc.ac-aix-marseille.fr/webphp/img/balle_tennis.jpg

Pour réserver un terrain de tennis à un club public, il en coûte 20$ de l’heure à un

joueur non membre contre 10$ de l’heure pour un joueur membre du club. Il faut

savoir que la carte de membre coûte 50$ pour l’année.

*4 est sous-entendu!


d) Détermine une règle (équation) permettant de calculer la somme totale déboursée

par un joueur membre selon le temps de location d’un terrain de tennis.

e) Écris le système d’équations qui représente mathématiquement le texte que tu

viens de lire.

Équation 1 :

Équation 2 :

f) Représente dans le plan cartésien ci-dessous, chaque équation que tu as obtenue.

g) Après combien d’heures de location, les montants totaux déboursés par un joueur

membre et un joueur non membre seront les mêmes?

On remarque donc qu’un système d’équations peut être « camouflé » à l’intérieur d’un texte.

Le point de rencontre des deux droites est appelé le .

La solution de ce système d’équations est donc : x = et y =


h) Pour 10 heures de location d’un terrain, combien en coûtera-t-il de plus pour un

non membre que pour un membre?

i) Pour 13 heures de location d’un terrain, combien en coûtera-t-il de plus pour un

non membre que pour un membre?

RÉSOLUTION GRAPHIQUE DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

Exemple 10

David est le nouveau propriétaire d’une maison qui nécessite plusieurs réparations. Il

doit entre autre effectuer des travaux de plomberie de grandes envergures. Comme il

n’a pas l’habileté pour le faire lui-même, il hésite entre deux compagnies qu’il a

trouvées. La compagnie Des gars d’eau demande un tarif horaire de 35$ et un coût

fixe de déplacement de 20$, tandis que la compagnie Allô plomberie demande quant

à elle 50$ de frais de déplacement et un tarif horaire de 30$. Pour quel temps de

travail du plombier le prix sera-t-il identique pour ces deux compagnies?

Ce qu’il faut faire : 1) Tracer le correspondant à chaque situation.

2) Trouver le sur le graphique.

Réponse : Après heures de travail, le coût sera identique pour les 2 compagnies et il sera de .


CONSTRUCTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS

Pour résoudre un problème, il est parfois fort avantageux d’avoir recours à un

système d’équations. On procède alors comme suit :

On débute par une attentive du problème!

On de manière claire et complète les

variables!

On cherche dans le texte les éléments mettant en les

variables.

On écrit le

On peut toujours tracer le graphique illustrant un système d’équations, mais ce n’est jamais nécessaire de le faire pour résoudre le système d’équations.

Source http://www.vienne-vehicules-utilitaires.com/images/postit.jpg

On peut représenter le système dans le

.

On peut utiliser des méthodes de résolution.

Section 7.2 …

Résolution du système



1) Résous chacune des équations suivantes. Donne une réponse exacte.

a) 4

1

2

3b

4

3

b) 2(c - 4) = (2c – 5) (c + 3)

c) 5

2x3 =

3

2

d) ( )y ( )y – = 4

y –

e) x

- 4 ( )x = ( )x

f) -5

a( )a ab +

4

6

3

7 22 a

a ( )ab



a) (2a 8) (-a 4) = 5

b) 5

x3

15

x2 = 14

c) -(n 7) 3(n + 4) = -17 d) 11 = (5x 1) 4x 2(x 2)

e)

y

y

– (y – 3)

y

=

y

f) 2(-a + 3) - 2

3(-4a – 6) = -9



a) z

- z

=

b) y – y

= 10

)25( 2y

c) u –

- = u

- u –

d) (3t 5) = 2t + 5(1 9t)

e) 2(b - 3) + 1 = 5b - (b +1)

f) 2(3x + 5)(x – 3) = -2(3x – 1) – (x + 1)2



a) 5

x =

7

2x

b) 5

7x3 =

2

x4

c) 5

3y2 =

2

1y

d) 16 + x = 3

x52

e) 34

6x

5

x2

f) 3

5x24

2

x

g) 2

1y5

3

y2

h) 2

1)2x(

6

1

2

x

3

)3x(4



a) x73

1x2x

2

5x3

b) y + – y

=

y + y

–

c) )4x2(3

1)1x3(

2

5)1x(

2

1)1x(

4

3

d) 2

1

5

1a25

2

1

3

2aa

e) )b32(4

1)1b(

3

2

2

b

6

1

2

5bb

3

4


6) La façade d'une maison présente le même nombre de fenêtres aux divers étages. Au premier, au deuxième et au troisième, chaque fenêtre a 12 carreaux; au quatrième étage, chaque fenêtre en a 8 seulement. On compte en tout 264 carreaux. Combien y a-t-il de fenêtres à chaque étage?

7) Partager 340$ entre trois personnes, de manière que la première ait 10$ de moins que la deuxième, et celle-ci 40$ de plus que la troisième.

8) La somme de trois nombres est 299. Il faudrait ajouter 20 au premier nombre pour

atteindre le deuxième; quant au troisième, il surpasse le deuxième de 10. Quels sont ces trois nombres?

9) Trouve trois nombres consécutifs tels que le tiers du premier, plus le quadruple du

second desquels on retranche la moitié du troisième donne 26.


10) Quatre personnes se partagent 1 460$. Pierre reçoit le quart de la part de Paul. Jacques reçoit le double de la part de Paul et Luc reçoit le cinquième de la part de Jacques. Calcule la part de chacun.

11) Si dans une classe on met 5 élèves par rangée, 4 n'ont pas de place; si l'on en met

6 par rangée, il reste 2 places. Combien y a-t-il de rangées et d'élèves?

12) Cinq personnes se sont partagé 8 591$. Trouve la part de chacune, sachant que

la deuxième a reçu les trois quarts de ce qu’a reçu la première, la troisième, les

trois quarts de ce qu’a reçu la seconde, et ainsi de suite.


13) Traduire chacune des situations décrites par un système d’équations.

a) La somme de 2 nombres est de 54 et leur différence est 30.

x : _____________________________________________________

y : _____________________________________________________

Le système est :

______________________________________________________

b) Si tu additionnes le premier de 2 nombres au double du second, la somme est

21; mais quand tu additionnes le second nombre au double du premier, le

résultat est 18.

x : ____________________________________________________

y : ____________________________________________________

Le système est :

______________________________________________________

c) Il y a 6 ans, Christophe avait 4 fois l’âge de Sylvie. Dans 4 ans, il n’aura plus

que 2 fois son âge.

x : ____________________________________________________

y : ____________________________________________________

Le système est :

______________________________________________________

d) Deux nombres sont dans le rapport 6

5. Leur somme est de 88.

x : ____________________________________________________

y : ____________________________________________________

Le système est :

______________________________________________________


e) Il y a 4 ans, Normand avait 4 fois l’âge de Bruno; dans 2 ans, Il n’aura plus que

3 fois son âge.

x : ____________________________________________________

y : ____________________________________________________

Le système est :

______________________________________________________

f) Pour 10$, Sophie achète 14 poires et 4 jus de fruits ou encore, 8 poires et 8

jus de fruits.

x : ____________________________________________________

y : ____________________________________________________

Le système est :

______________________________________________________

g) Une somme d’argent s’élève à 68,70$ et est constituée de pièces de 25 cents

et de pièces de 10 cents. On compte en tout 300 pièces de monnaie.

x : ____________________________________________________

y : ____________________________________________________

Le système est :

______________________________________________________

h) Cinq tables et 8 chaises coûtent 575$ alors que trois tables et 5 chaises

coûtent 350$.

x : ____________________________________________________

y : ____________________________________________________

Le système est :

______________________________________________________


i) Six disques et quatre DVD coûtent 116$ tandis que onze disques et 4 DVD

coûtent 183$.

x : ____________________________________________________

y : ____________________________________________________

Le système est :

______________________________________________________

j) Une somme de 24$ est constituée de 135 pièces de monnaie, les unes de 25

cents et les autres de 10 cents.

x : ____________________________________________________

y : ____________________________________________________

Le système est :

______________________________________________________

14) Détermine graphiquement le couple solution du système d’équations ci-dessous.

Réponse : Le couple solution est : ( , )


15) Détermine graphiquement le couple solution des systèmes d’équations suivants.

a) y = 22

1x et y = 4

2

1 x

Réponse : Le couple solution est :

b) y = - x et y = 23

1x

Réponse : Le couple solution est :



Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 145.

RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DE SYSTÈMES D’ÉQUATIONS

La section 7.1 de ce document nous a permis de résoudre, à l’aide de la

représentation graphique des droites, des systèmes d’équations.

Par contre, il arrive souvent que des systèmes d’équations ont malheureusement des

solutions qui, d’un point de vue graphique, sont difficilement identifiables.

En voici un exemple.

Pour être capable de résoudre avec précision un tel

système, nous étudierons deux méthodes algébriques

fiables et simples d’application.

(? , ?)


Première méthode : La comparaison

Exemple 1

Dans un immeuble, un ascenseur situé au rez-de-chaussée se met en marche

et commence son ascension. Au même moment, un deuxième ascenseur

situé au 7e étage se met également en marche et entame une descente.

Le système d’équations suivant illustre la progression de chaque ascenseur,

où x représente le temps écoulé en secondes depuis leur mise en marche

et y, l’altitude (en étage) à laquelle se situe chaque ascenseur.

y = x7

5 y = 7

7

9 x

a) Après combien de temps se rencontreront-ils?

Une chose est certaine : lorsqu’ils se rencontreront, ils seront à la

(au même ) ! Les 2 « y » seront les

mêmes alors nous pouvons poser l’équation suivante :

x7

5 = 7

7

9 x

Résolution de l’équation

Réponse : Ils se rencontreront après .

b) Où se trouveront-ils lorsqu’ils se rencontreront?

A

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6d/Feature_elevators.svg/400px-Feature_elevators.svg.png


c) La solution de ce système d’équations est donc ___________

d) Représente cette situation dans le plan cartésien suivant.

Vérifie si le couple solution qui apparaît dans le graphique correspond bien à

ce que tu as trouvé algébriquement.

En résumé…

Pour résoudre un système d’équations par la méthode de COMPARAISON

Isoler la même variable dans les 2 équations.

On pose une équation avec les 2 expressions algébriques contenant la

variable qui n’est pas isolée.

On résout l’équation obtenue.

On remplace la valeur obtenue dans l’une des équations de départ afin

de déterminer la valeur de l’autre variable.

Vérifier sa solution en remplaçant le couple trouvé dans les

2 équations de départ


Deuxième méthode : La substitution

Cette méthode de résolution est toute aussi simple et efficace que la méthode de

comparaison.On pense surtout à l’utiliser lorsqu’une variable est déjà isolée

dans une des 2 équations.

Exemple 2

Audrey et Joëlle accumulent des magazines de mode. Ensemble, elles possèdent

200 magazines et Audrey possède 110 magazines de plus que la moitié du nombre

de magazines de Joëlle. Désignons par x le nombre de magazines que possède

Audrey et y le nombre de magazines de Joëlle. Détermine le nombre de magazines

détenu par chacune d’elles.

Voici le système d’équations représentant cette situation :

x + y = 200

x = 2

1y + 110

Nous connaissons une expression algébrique pour x, il s’agit d’aller

cette variable par sa valeur algébrique dans l’autre équation.

Ce qui nous permet d’écrire :

Résolution de l’équation :

Solutions : x = _____________ et y =

Réponse : Audrey possède donc magazines et Joëlle en possède .

B

x + y = 200

x = 2

1 y + 110


En résumé…

CHOIX DE LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS

Quelle méthode est la plus efficace ?

1. Si la même variable est déjà isolée dans les 2 équations, la méthode la plus

efficace est la méthode de

2. Si une variable est déjà isolée dans une des équations, la méthode la plus

efficace est la méthode de

3. Si aucune variable n’est isolée dans l’une ou l’autre des équations, il n’y a pas

de méthode plus avantageuse!

Pour résoudre un système d’équations par la méthode de SUBSTITUTION

Isoler une variable dans une des équations.

Remplacer, dans l’autre équation, cette variable par l’expression

algébrique trouvée à l’étape 1.

Résoudre l’équation à une variable ainsi obtenue.

On remplace la valeur obtenue dans l’une des équations de départ

afin de déterminer la valeur de l’autre variable.

Vérifier sa solution en remplaçant le couple trouvé dans les 2

équations de départ.

Bien que les méthodes de comparaison et de substitution peuvent toujours être

appliquées (peu importe le système d’équations donné), il arrive souvent qu’une

méthode soit plus appropriée ou plus efficace que l’autre pour résoudre

rapidement un système d’équations.



1) Résous les systèmes d’équations suivants par la méthode de ton choix.

a) 4

134

xy

xy b)

2

57

y

xy c)

12

8

yx

yx

d) xy

xy

4

32

e) 4

5

3

15

1

xy

xy f)

13

12

1

6

yx

yx

g) 32

43

xy

xy h)

25

32

xy

xy

i) 43

3

433

yx

yx


j) 1

62

xy

yx k)

93

13

y

xy l)

012

8

yx

yx

m) yx

xy

8

22

1

4

3

n)

22

1

522

yx

yx o)

12

8

yx

yx

p) 852

43

2

yx

xy

q)

3

2

5

632

3

yx

yx

r) 4

2

3

724

xy

yx


2) Résous les systèmes d’équations suivants par la méthode de ton choix.

a) 734

1052

yx

yx b)

224

332

yx

yx c)

1252

543

yx

yx

d) 422

1628

yx

yx e)

335

1132

yx

yx f)

82

1644

yx

yx


g) 432

543

yx

xy h)

725

725

yx

yx i)

426

673

yx

yx

j) 333

546

yx

yx k)

453

31464

yx

xyx l)

136332

653224

xyyx

yxyx


Résous les problèmes suivants à l’aide de la méthode de ton choix.

3. La somme de 2 nombres est de 54 et leur différence est 30. Quels sont ces 2

nombres ?

4. Si tu additionnes le premier de 2 nombres au double du second, la somme est 21.

De plus, quand tu additionnes le second nombre au double du premier, le résultat

est 18. Quels sont ces 2 nombres ?

5. Il y a 6 ans, Christophe avait 4 fois l’âge de Sylvie. Dans 4 ans, il n’aura plus que

2 fois son âge. Quel est l’âge actuel de chacun ?


6. Deux nombres sont dans le rapport 6

5. Leur somme est de 88. Quels sont ces

deux nombres ?

7. Il y a 4 ans, Normand avait 4 fois l’âge de Bruno; dans 2 ans, Il n’aura plus que 3

fois son âge. Quel âge auront-ils dans 6 ans ?

8. Pour 10$, Sophie achète 14 poires et 4 jus de fruits ou encore, 8 poires et 8 jus de

fruits. Trouve le prix d’une poire et celui d’un jus.


9. Une somme d’argent s’élève à 68,70$ et est constituée de pièces de 25 cents et

de pièces de 10 cents. Si on compte en tout 300 pièces de monnaie, combien y a-

t-il de pièces de monnaie de chaque sorte ?

10. Cinq tables et 8 chaises coûtent 575$ alors que trois tables et 5 chaises coûtent

350$. Détermine le coût d’une table et celui d’une chaise.


11. Six disques et quatre DVD coûtent 116$ tandis que onze disques et quatre DVD

coûtent 183$. Trouve le prix d’un disque et celui d’un DVD.

12. Une somme de 24$ est constituée de 135 pièces de monnaie, les unes de 25

cents et les autres de 10 cents. Trouve le nombre de pièces de 10 cents et de 25

cents.

13. Un père a 44 ans et son fils 20. Combien y a-t-il de temps que l'âge du père était trois fois celui du fils?


14. Un maître propose 16 problèmes à un élève et lui promet 10 points pour chacun des problèmes qu'il réussira, à condition que l'élève lui remette 5 points pour chacun de ceux qu'il ne réussira pas; or, il arrive que le maître doit 70 points à l'élève. Combien celui-ci a-t-il réussi de problèmes?

15. Une mère a 30 ans et son fils a 5 ans. Dans combien d'années l'âge de la mère

sera-t-il le double de celui de l'enfant?

16. Dans la rue, il y a des automobiles et des bicyclettes. Il y en a 20 en tout. Si le total des roues est de 50, quel est le nombre d'automobiles et de bicyclettes?

17. Il y a 5 ans, Simon avait 5 fois l’âge de Lyson. Aujourd’hui il a 3 fois l’âge de

Lyson. Quel âge aura-t-il dans 8 ans ?


18. Partager 20 en deux parties telles que la somme de 5 fois l'une et de 7 fois l'autre soit 124.

19. Caroline a 9$ en pièces de 10 cents et de 5 cents. Trouve le nombre de pièces de chaque sorte, sachant qu'il y a 100 pièces en tout.

20. Une voiture roule à 30 km/h. Une moto quitte le même endroit une demi-heure plus tard et roule, dans la même direction, à 40 km/h. Au bout de combien de temps la moto aura-t-elle rejoint la voiture ?


Deuxième quartile : Q2 Premier quartile : Q1

Q1 = 2

4745

Q1 = 46

Troisième quartile : Q3

Q3 = 2

5755

Q3 = 56


Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 156 et

Manuel POINT DE VUE mathématique, volume 2, éditions HRW, pages 720-721.

LES QUARTILES

Les quartiles sont des valeurs qui partagent une distribution statistique ordonnée en

quatre sous-ensembles comprenant le même nombre de données. Chacun de ces

sous-ensembles est appelé quart.

On note généralement le premier quartile par Q1, le deuxième par Q2 et le troisième

par Q3.

Exemple 1

Voici quelques données recueillies lors d’un sondage.

43 45 45 47 49 51 51 54 55 55 57 58 59

Remarques :

Il faut d’abord s’assurer que les données sont placées en ordre croissant.

Le deuxième quartile correspond à la médiane de la distribution.

La médiane des données qui précèdent Q2 correspond à Q1.

La médiane des données qui suivent Q2 correspond à Q3.

Chaque quart contient le même nombre de données. Il y a 3 données par quart dans

cet exemple.

Il faut faire la distinction entre le quartile et le quart!

Il y a 3 quartiles (3 séparateurs), mais bien 4 quarts!

La médiane est la

valeur au centre de la

distribution.


Deuxième quartile Q2 (qui est la )

Premier quartile Q1

Q1 = 2

6157

Q1 = 59

Troisième quartile Q3

Q3 = 2

8985

Q3 = 87

L’étendue interquartile, tout comme l’étendue, est une autre mesure de dispersion

qui correspond à la différence entre le troisième quartile et le premier quartile.

Dans cet exemple, l’étendue interquartile est: .

LE DIAGRAMME DE QUARTILES

ou

LE DIAGRAMME À MOUSTACHES!

Le diagramme de quartiles nous donne de l’information sur la façon dont les données

de la distribution sont sont réparties, concentrées. Pour arriver à tracer ce

diagramme, nous avons besoin de 5 valeurs : la valeur minimale, la valeur maximale

et les 3 quartiles de la distribution. Voici les 3 étapes pour tracer ce diagramme.

Exemple 2

Voici une distribution de notes en % : 47, 57, 61, 72, 75, 82, 85, 89, 92

Étape 1 : Calculer les quartiles.

Il faut s’assurer que les données soient placées en ordre croissant.

47, 57, 61, 72, 75, 82, 85, 89, 92

http://media.canada.com/canwest/90/moustache_competition090107.jpg

Comme dans la vie de tous les

jours, la moustache se porte

fièrement en mathématiques!


Étape 2 : Construire un axe de nombre.

On peut déterminer les graduations de l’axe en considérant l’étendue de la

distribution. On place habituellement entre 10 et 20 graduations.

Rappel : L’étendue d’une distribution correspond à l’écart entre la plus grande et la

plus petite donnée.

Ici, l’étendue est de : .

Si on utilise 12 graduations avec un pas de 4, on obtient 48.

Étape 3 : Construire le diagramme de quartiles au-dessus de l’axe de nombres.

a) Positionner les 5 valeurs déterminées plus tôt sur l’axe de nombres : la valeur

minimale, la valeur maximale et les 3 quartiles de la distribution. Au-dessus de

l’axe, tracer des traits verticaux vis-à-vis ces 5 valeurs.

Valeurs : xmin = 47 Q1 = 59 Md = Q2 = 75 Q3 = 87 xmax = 92

b) Toujours au-dessus de l’axe, tracer un rectangle dont le côté gauche et le côté

droit correspondent respectivement aux traits verticaux de Q1 et Q3.

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94

xmin Q1 Md = Q2 Q3 xmax

xmin Q1 Md = Q2 Q3 xmax


c) Tracer un segment horizontal (une tige) reliant les deux traits verticaux à gauche

et un autre segment horizontal reliant les deux traits verticaux à droite.

Dans un diagramme de quartiles :

Les tiges de gauche et de droite représentent chacune un intervalle

comprenant environ des données de la distribution.

Le rectangle au centre représente un intervalle comprenant environ des

données de la distribution. Quelle définition pourrait-on associer à la longueur

de ce rectangle?

Cette année, nous avons déjà parlé de données extrêmes (ou données

aberrantes) qui sont fortement éloignées des autres. On considère qu’une donnée

est aberrante si une des tiges du diagramme est au moins une fois et demie (1,5)

plus grande que la longueur du rectangle (que l’étendue interquartile)..

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 46 50 54 58 62 66 70 74 78 82 86 90 94

xmin Q1 Q2 Q3 xmaxMd = Q2


Exemple 3

Voici les résultats à un examen de mathématique dans une classe de 36 élèves.

Trace le diagramme de quartiles correspondant à cette distribution.

Étape 1 :

Étape 2 :

Étape 3 :

Valeurs :

25 50 55 63 63 73 74 74 76 78 80 80 80 83 84 85 85 85 89 90 90 90 90 93 94 95 95 95 95 99 100 100 100 100 100 100

13 14 1211109876 5 4 3 2 1 0 15 16 17



1) Un midi, à la cantine de l’école, Julien demande aux personnes qu’il rencontre combien d’argent elles ont en poche. Voici les résultats obtenus (en dollars) :

10 12 5 3 6,50 8 10 7 5 10 10 2,50 0 5 4 7,50 20 21 16 14

12,50 18 15 45 10 10 5,50 4 9 0 Représente la situation par un diagramme de quartiles.

2) Le diagramme de quartiles suivant représente l’âge des différentes personnes qui se sont présentées dans un magasin de musique samedi dernier.

a) Quel est l’âge approximatif de l’aîné des clients ?

b) Quel est approximativement l’âge médian des clients de ce magasin ?

c) Quel est le pourcentage approximatif des gens qui sont âgés de 18 ans et plus ?

5040 60 2010 0 30


3) Voici l’indice d’effet de serre (en millions de tonnes métriques) pour trois sortes de gaz selon les pays étudiés.

Pays Dioxyde de

carbone Méthane

Chlorofluorocarbones (CFC)

États-Unis 540 130 350 Brésil 560 28 16 Chine 260 90 32 Inde 130 98 1

Allemagne 118 10 95 Japon 110 12 100

Royaume-Uni 69 14 71 Indonésie 110 19 9

France 41 13 69 Italie 45 6 71

Canada 48 33 36 Mexique 49 20 9 Myanmar 68 9 0 Pologne 56 7 13 Espagne 21 4 48

Source : World Resources Institute, World Resources 1990-1992, Oxford University Press, New York, 1990.

Voici un diagramme de quartiles qui représente chacune des distributions ci-dessus sur le même axe.

Dioxyde de carbone : Méthane : CFC : Q1 = 48 Q1 = 9 Q1 = 9 Médiane = 69 Médiane = 14 Médiane = 36 Q3 = 130 Q3 = 33 Q3 = 71 Minimum = 21 Minimum = 4 Minimum = 0 Maximum = 130 Maximum = 33 Maximum = 100

a) Commente la répartition des indices d’effet de serre pour le méthane par rapport à la répartition des indices pour le dioxyde de carbone.

100 50 0 150 200 300250 350 400 450 500 550

* * *

*

*CFC

Méthane

Dioxyde de carbone

* *


b) À l’aide des diagrammes de quartiles et du tableau de données, situe la position du Canada par rapport aux autres pays.

4) Les diagrammes de quartiles ci-dessous représentent le nombre moyen de jours pendant lesquels on a pu observer divers phénomènes atmosphériques. Ces données ont été recueillies à différentes stations du Canada au cours d’une année.

a) Compare la répartition de la première moitié des données associées à la foudre avec celle de la deuxième moitié.

b) À partir de la situation, interprète les données éloignées dans les cas du

brouillard et du verglas.

c) Quelle est la particularité du diagramme de quartiles associé à la neige ?

20 10 0 30 40 6050 70 80 90 100 110

Foudre

*Verglas

Neige

*Brouillard *


d) Compare les différents phénomènes atmosphériques selon le nombre médian de jours où ils se produisent.

5) Compare les répartitions des données associées à chacun de ces diagrammes de quartiles.

6) Josianne a construit le diagramme de quartiles ci-dessous : la médiane est au

milieu du premier et du troisième quartile et les tiges de chaque côté sont de la même longueur.

a) Dans une telle situation, peut-elle affirmer que la moyenne est toujours égale à la médiane ?

b) Donne une distribution de 20 données entières et dont le diagramme de

quartiles correspond à celui de Josianne qui te permettrait de calculer la moyenne la plus élevée?

Quelle est la valeur de cette moyenne?

35 30 40 2015 10 25 45

3530 40 2015 10 25 45

Diagramme B

Diagramme A

7065 75 55 50 45 60 80


VISI N Des expérimentations pour quantifier

des chances

VISION 8


8


SECTION 8.1 – SAVOIRS (RAPPEL)

Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 184 à 186.

EXPÉRIENCE ALÉATOIRE

Pour qu’une expérience soit aléatoire, elle doit répondre aux deux conditions suivantes : Son résultat relève uniquement du hasard, il est donc impossible de prédire le

résultat avec certitude.

On peut décrire, avant le début de l’expérience, l’ensemble de tous les

résultats possibles de l’expérience en question.

UNIVERS DES RÉSULTATS POSSIBLES

L’ensemble de tous les résultats possibles est désigné par qui se lit oméga .

Notation : Les résultats possibles sont séparés d’une virgule et inscrits entre { }.

ÉVÉNEMENT

Un événement est un sous-ensemble de l’univers des possibles. Notation : Un événement est noté entre { }.

ÉVÉNEMENT ÉLÉMENTAIRE

Un événement est dit élémentaire s’il est composé d’ un seul résultat de l’univers

des possibles.

Si on regroupe des éléments de , on forme un sous-ensemble de .


Exemple 1

Complète le tableau suivant :

Lancer d’une pièce de

monnaie

Lancer d’un dé

Décris l’ensemble de tous les résultats

possibles ().

Écris 2 exemples d’événement.

Donne 2 exemples d’événement élémentaire.

PROBABILITÉ THÉORIQUE

La probabilité d’un événement est une valeur indiquant la possibilité que l’événement se produise. La probabilité P d'un événement A est égale au rapport du nombre de résultats favorables au nombre de résultats possibles :

N.B. La probabilité d’un événement est un nombre compris entre et .

P(A) =

L’ARBRE DES PROBABILITES EST IDENTIQUE AU DIAGRAMME EN ARBRE EXCEPTE QU’A CHAQUE

ETAPE, ON INSCRIT LA PROBABILITE DE CHACUN DES RESULTATS SUR LA BRANCHE

CORRESPONDANTE A CE RESULTAT.


PROBABILITÉ FRÉQUENTIELLE

La probabilité fréquentielle d’un événement est le nombre obtenu à la suite d’une

expérimentation.

N.B. La probabilité fréquentielle est souvent utilisée lorsque la probabilité théorique

est impossible à calculer.

Quelle est la probabilité théorique d’obtenir face en lançant une pièce de monnaie ?

___

Si tu lances une pièce de monnaie deux fois, es-tu certain d’obtenir une fois face et

une fois pile ?

Si tu lances une pièce de monnaie trois cents fois, as-tu une idée du nombre de fois

que tu obtiendras face ?

Exemple 2

Tristan a écrit les lettres du mot "vacances" sur des cartons. Il a déposé ces cartons

dans une enveloppe. Son amie Joséphine prend une lettre au hasard.

a) Quel est l'ensemble des résultats possibles?

b) Calcule les probabilités suivantes:

1) P(e) =

2) P(a) =

3) P(n) =

4) P(c) =

5) P(v ou a) =

Probabilité fréquentielle =

Plus les essais sont nombreux, plus la probabilité fréquentielle se rapproche de la probabilité théorique !


Exemple 3

Dans une expérience aléatoire, on lance successivement deux pièces de monnaie.

Construis l’arbre des probabilités de cette expérience aléatoire. Prends bien soin d'écrire tous les résultats possibles aux terminaisons des branches !



1) On tire une carte d'un jeu de cartes à jouer (sans les jokers). Quelle est la

probabilité de:

a) tirer une figure ?

b) ne pas tirer une figure ?

2) Mathieu aime la lecture. Il se rend à la bibliothèque et doit choisir un livre parmi

3 récits d'aventures (a), 2 récits de science-fiction (f) et un roman policier (p).

a) Quel est l'ensemble des résultats possibles ?

b) Combien d'événements élémentaires peut-on former à partir de l'?

c) Énumère les événements élémentaires.

d) Calcule les probabilités suivantes.

1) P (p) = 3) P (a, f) =

2) P (a, p, f) = 4) P (a) =

3) Dans une expérience aléatoire, on lance une pièce de monnaie et on tire une

lettre du mot AVRIL.

a) Construis l’arbre des probabilités de cette expérience aléatoire.

b) Quelle est la probabilité de l'événement élémentaire {(P, I)}? Avec démarche.



Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 194 -195.

EXPÉRIENCE ALÉATOIRE AVEC ORDRE OU SANS ORDRE

Lorsque l’on effectue une expérience aléatoire, on peut décider de tenir compte ou non de l’ordre dans lequel on tire nos résultats. Par exemple, si l’on demande de tirer au hasard sans remise trois chiffres parmi les chiffres 1, 2 et 3 dans une enveloppe, les résultats possibles sont : (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) et (3, 2, 1) en tenant compte de l’ordre, alors que si on ne tient pas compte de l’ordre, la seule possibilité est (1, 2, 3).

ARRANGEMENT, PERMUTATION ET COMBINAISON Exemple 1 Pour la prochaine année scolaire, tu dois choisir une activité parascolaire parmi les 4 activités qui te sont proposées :

A) Aquaforme B) Badminton C) Curling D) Décathlon (initiation au décathlon)

Tu dois inscrire 3 choix dans l’ordre de préférence. Si tu inscris B, C et D, c’est que tu préfères Badminton à Curling, et Curling à Décathlon. Par contre, si tu inscris C, B et D, c’est que tu préfères Curling à Badminton, et Badminton à Décathlon. Donc l’ordre dans lequel tu inscris tes choix est très important. Combien de choix différents de 3 activités s’offrent à toi?

Généralement, l’univers des possibles comprend moins de résultats lorsque l’on ne tient pas compte de l’ordre.

Cette situation correspond à un(e)

Ici, on tient compte de l’ordre.


Sans faire l’arbre des résultats, sans écrire toutes les possibilités, on

aurait pu trouver la réponse avec le calcul suivant :

Il y a : - façons de choisir la première activité

- façons de choisir la 2e activité

- façons de choisir la 3e activité

d’où le calcul :

1er choix 2e choix 3e choix Résultats

C

D

B

D

B

C

C

D

A

D

A

C

B

D

A

D

A

B

B

C

A

C

A

B

B

D

C

A

C

B

A

D

B

A

D

C

A

B

C

D

(A, B, C)

(A, B, D)

(A, C, B)

(A, C, D)

(A, D, B)

(A, D, C)

(D, A, B)

(D, A, C)

(D, B, A)

(D, B, C)

(D, C, A)

(D, C, B)

(C, A, B)

(C, A, D)

(C, B, A)

(C, B, D)

(C, D, A)

(C, D, B)

(B, A, C)

(B, A, D)

(B, C, A)

(B, C, D)

(B, D, A)

(B, D, C)

Nous devons choisir 3 activités parmi les 4

offertes A, B, C et D en tenant compte de

l’ordre.

=


Exemple 2 Le (la) président(e) de ton groupe organise un dîner pizza et il (elle) a besoin de 3 personnes pour aller chercher les pizzas lorsqu’elles arriveront. Il y a 4 volontaires dans ton groupe pour aller chercher ces pizzas : Antoine (A), Brigitte (B), Christian (C) et Diane (D). Ici, choisir B, C et D est le même résultat que de choisir C, B et D. Combien y a-t-il de façons différentes de choisir 3 élèves parmi les 4 volontaires? Voici un rappel des 24 possibilités si on tenait compte de l’ordre : Voici nos 24 résultats si on tenait compte de l’ordre. On remarque bien qu’il y 6 résultats qui utilisent les mêmes lettres pour chacun des trios.

(A, B, C) (A, B, D) (A, C, B) (A, C, D) (A, D, B) (A, D, C)

(C, A, B) (C, A, D) (C, B, A) (C, B, D) (C, D, A) (C, D, B)

(D, A, B) (D, A, C) (D, B, A) (D, B, C) (D, C, A) (D, C, B)

(B, A, C) (B, A, D) (B, C, A) (B, C, D) (B, D, A) (B, D, C)

1er choix 2e choix 3e choix RésultatsNous devons choisir 3 élèves

parmi les 4 volontaires A, B, C

et D en tenant compte de l’ordre.

CDBDBC

CDADAC

BDADABBCACAB

B

D

C

A

C

B

A

D

B

A

D

C

A

B

C

D

(A, B, C)(A, B, D)(A, C, B)(A, C, D)(A, D, B)(A, D, C)

(D, A, B)(D, A, C)(D, B, A)(D, B, C)(D, C, A)(D, C, B)

(C, A, B)(C, A, D)(C, B, A)(C, B, D)(C, D, A)(C, D, B)

(B, A, C)(B, A, D)(B, C, A)(B, C, D)(B, D, A)(B, D, C)

Cette situation correspond à un(e)______________

Ici, on NE tient PAS compte de l’ordre.


On pourrait réorganiser ces 24 éléments par trios que l’on peut former avec des personnes (lettres) différentes: Réponse : Il y a donc seulement façons différentes de former des trios :

(A, B, C), (A, B, D), (A, C, D) et (B, C, D) Sans faire l’arbre des résultats, sans écrire tous les résultats, on aurait pu quand même trouver ces résultats. Si Antoine (A), Brigitte (B) et Christian (C) sont choisis pour aller chercher les pizzas, combien y a-t-il de façons de choisir ces 3 élèves? Donc, pour calculer le nombre de résultats sans tenir compte de l’ordre :

46

24

123

234

ordreldecomptetenantenrésultatunécriredfaçonsdeNombre

tsarrangemendNombrenscombinaisodeNombre

''

'

Si on ne tient pas compte de l’ordre, il n’y aura que 4 résultats différents :

(A, B, C), (A, B, D), (A, C, D) et (B, C, D)

3 2 1 = 6

1er choix 3e choix 2e choix Résultats

B

C

A

C

A

B

A

C

B

C

C

B

B

A

A

(A, B, C)

(A, C, B)

(C, A, B)

(C, B, A)

(B, A, C)

(B, C, A)

(A, C, D)

(A, D, C)

(C, A, D)

(C, D, A)

(D, A, C)

(D, C, A)

(A, B, C)

(A, C, B)

(C, A, B)

(C, B, A)

(B, A, C)

(B, C, A)

(A, B, D)

(A, D, B)

(D, A, B)

(D, B, A)

(B, A, D)

(B, D, A)

(C, B, D)

(C, D, B)

(D, B, C)

(D, C, B)

(B, C, D)

(B, D, C)

A, B et C A, B et D B, C et D A, C et D


Exemple 3 Dans un groupe de 5e secondaire, on décide de former un petit comité de deux élèves pour représenter ces derniers auprès de la direction. Les six candidats retenus sont Annie, Benoît, Christine, Denis, Éloïse et Fabrice.

a) S’il est décidé que dans les 2 élèves choisis, un seul peut rencontrer la direction et qu’il faut donc nommer un président et un vice-président (en cas d’absence du président), combien de paires d’élèves peut-on former parmi ces 6 élèves ?

Voyons toutes les possibilités : (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (A, F) et (B, A), (C, A), (D, A), (E, A), (F, A) (B, C), (B, D), (B, E), (B, F) et (C, B), (D, B), (E, B), (F, B) (C, D), (C, E), (C, F) et (D, C), (E, C), (F, C) (D, E), (D, F) et (E, D), (F, D) (E, F) et (F, E)

Il y aurait donc en tout possibilités différentes de paires d’élèves.

De quelle façon pourrait-on calculer ces possibilités sans les énumérer?

b) S’il est décidé que dans les 2 élèves choisis, ces deux derniers seront présents pour rencontrer la direction (sans poste de président et vice-président), combien de paires d’élèves peut-on former parmi ces 6 élèves ?

Voyons toutes les possibilités : (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (A, F)

et (B, C), (B, D), (B, E), (B, F) et (C, D), (C, E), (C, F) et (D, E), (D, F) et (E, F)

Il y aurait donc en tout possibilités différentes de paires d’élèves. De quelle façon pourrait-on calculer ces possibilités sans les énumérer?



Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.

Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.


Exemple 4 Supposons que dans ce même groupe de 5e secondaire, on décide plutôt de former un petit comité de trois élèves pour représenter ces derniers auprès de la direction. Les six candidats retenus sont les mêmes : Annie, Benoît, Christine, Denis, Éloïse et Fabrice.

a) S’il est décidé que dans les 3 élèves choisis, un seul peut rencontrer la direction et qu’il faut donc nommer un président, un vice-président (en cas d’absence du président) et un assistant au vice-président (en cas d’absence du vice-président), combien de trios d’élèves peut-on former parmi ces 6 élèves ?

Voyons toutes les possibilités : (A, B, C), (A, B, D), (A, B, E), (A, B, F), (B, C, D), (B, C, E), (B, C, F), … (A, C, B), (A, D, B), (A, E, B), (A, F, B), … (B, A, C), (B, A, D), (B, A, E), (B, A, F), … (B, C, A), (B, D, A), (B, E, A), (B, F, A), … (C, A, B), (D, A, B), (E, A, B), (F, A, B), … (C, B, A), (D, B, A), (E, B, A), (F, B, A), …

Bien sûr, énumérer les possibilités devient une tâche longue et pénible. De quelle façon pourrait-on calculer ces possibilités sans les énumérer?

b) S’il est décidé que dans les 3 élèves choisis, ces trois derniers seront présents pour rencontrer la direction (sans poste de président, vice-président et assistant au vice-président), combien de trios d’élèves peut-on former parmi ces 6 élèves ?

c)

Crois-tu qu’il y aurait plus ou moins de possibilités que les ___ trouvées en a)? De quelle façon pourrait-on calculer le nombre de trios d’élèves possibles sans les énumérer?

Examinons les 6 arrangements formés par Annie, Benoît et Christine trouvés en a) : (A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B), (C, B, A)


Cette situation correspond à un(e) . Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.

Ces 6 arrangements correspondent à UN SEUL trio d’élèves, étant donné qu’ils n’ont pas de postes attitrés (on ne tient pas compte de l’ordre).

Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.


Sans avoir écrit les 6 arrangements, comment pourrait-on savoir qu’il y avait 6 arrangements formés des mêmes trois personnes? (Indice : construis le diagramme en arbre correspondant aux 6 arrangements précédents.) Puisqu’il y a 6 arrangements pour une combinaison, il y a donc de combinaisons que d’arrangements. Il faudrait donc diviser le nombre total d’arrangements possibles par 6. D’où :

En conclusion :

ordreldecomptetenanten

résultatunécriredsdifférentefaçonsdenombre

ordreldecomptetenanten

possiblesrésultatsdenombre

'

'

' =


Exemple 5 Supposons que dans ce même groupe de 5e secondaire, on décide plutôt de former un petit comité de six élèves pour représenter ces derniers auprès de la direction. Les 6 candidats sont les mêmes : Annie, Benoît, Christine, Denis, Éloïse et Fabrice.

a) S’il est décidé que dans les 6 élèves choisis, chacun aura un rôle déterminé : un président, un vice-président, un trésorier, un vérificateur pour le trésorier, un secrétaire et un adjoint au secrétaire. Combien de comités d’élèves peut-on former avec ces 6 élèves ?

Voyons toutes les possibilités : (A, B, C, D, E, F), (A, B, C, D, F, E), (A, B, C, E, D, F), (A, B, D, C, E, F), …

Bien sûr, énumérer toutes les possibilités devient une tâche… interminable!

De quelle façon pourrait-on calculer toutes ces possibilités sans les énumérer?

b) S’il est décidé que dans les 6 élèves choisis, aucun rôle ne sera déterminé, c’est-à-dire que tous les élèves auront le même droit de parole sur tous les sujets. Combien de comité d’élèves peut-on former avec ces 6 élèves ?



En mathématique, le symbole « ! » se nomme « ». Par exemple, « n ! » se lit « n » et signifie : n • (n – 1) • (n – 2) • … • 3 • 2 • 1. Exemple : 4 ! = 4 • 3 • 2 • 1 = 24

La situation exige-t-elle de tenir compte

de l’ordre (disposition ordonnée)?

Dans cette disposition, utilise-t-on tous

les éléments de l’ensemble de départ?

Une disposition non ordonnée de ces

éléments est une

Oui Non

Oui Non

Une disposition ordonnée de tous

ces éléments est une .

Une disposition ordonnée de quelques

éléments est un

En résumé

Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.

Ici, on _____ ____________________ de l’ordre.



1) Un sac contient 10 billes de couleurs différentes.

a) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 5 billes de ce sac.

b) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire avec remise 5 billes de

ce sac. c) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 5 billes de

ce sac.

d) Combien y a-t-il de permutations possibles? e) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 7 billes de

ce sac.

f) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 7 billes de ce sac.


2) Un petit sac contient les 26 lettres de l’alphabet.

a) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 5 lettres de ce sac.

b) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire avec remise 5 lettres de

ce sac. c) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 5 lettres

de ce sac.

d) Combien y a-t-il de permutations possibles? Arrondis au millième près. e) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 7 lettres de

ce sac.

f) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 7 lettres de ce sac.


3) Dans une émission pour un jeu télévisé, un concurrent doit choisir une valise parmi 30 comprenant des montants cachés entre 0,01$ et 1 000 000$. Le concurrent a donc une chance sur 30 de choisir la valise comprenant le 1 000 000$. Pour la suite du jeu, il doit choisir 6 valises à éliminer parmi les 29 valises restantes. Combien y a-t-il de combinaisons possibles pour faire le choix de ces 6 valises?

4) Ma tante Gertrude est une fanatique du bingo. Elle se rend religieusement, 6 jours

par semaine, à la salle communautaire pour pratiquer son passe-temps préféré. Si le boulier utilisé contient 250 boules, calcule au millième près:

a) Le nombre d’arrangements possibles pour tirer sans remise les 5 premières

boules du boulier. b) Le nombre d’arrangements possibles pour tirer sans remise les 10 premières

boules du boulier. c) Combien y a-t-il de permutations possibles? Donne la réponse exacte.

5) Pour fabriquer une lampe de salon chez IKIKEA, on a le choix entre 3 formes

possibles pour l’abat-jour, 5 choix de couleur, 4 choix de puissance et 2 choix de matériaux utilisés. Combien y a-t-il de choix différents pour cette lampe?


6) On place le nom des 39 élèves de ta classe dans un sac pour effectuer un échange de cadeaux. Le premier nom pigé aura le choix parmi les 39 cadeaux disponibles, le 2e nom pigé choisira parmi les 38 cadeaux restants et ainsi de suite. Arrondis tes calculs (s’il y a lieu) au millième près.

a) Calcule le nombre d’arrangements possibles pour tirer sans remise les 6

premiers noms. b) Calcule le nombre d’arrangements possibles pour tirer sans remise les 11

premiers noms.

c) Combien y a-t-il de permutations possibles? d) Si les 6 premiers noms pigés avaient tous le même cadeau, calcule le nombre

de combinaisons possibles pour tirer sans remise ces 6 premiers noms. e) Si les 15 premiers noms pigés avaient tous le même cadeau, calcule le nombre

de combinaisons possibles pour tirer sans remise ces 15 premiers noms.

7) Calcule le nombre de combinaisons possibles de 6 chiffres que tu peux former si tu

décides d’acheter un billet de loto 6/49. Pour ceux et celles qui ne connaissent pas cette loterie, tu dois choisir 6 nombres compris entre 1 et 49 inclusivement.


8) Un sac contient 12 billes de couleurs différentes.

a) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 6 billes de ce sac.

b) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire avec remise 6 billes de

ce sac. c) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 6 billes de

ce sac.

d) Combien y a-t-il de permutations possibles? e) Calcule le nombre d’arrangements possibles si l’on tire sans remise 8 billes de

ce sac.

f) Calcule le nombre de combinaisons possibles si l’on tire sans remise 8 billes de ce sac.



Référence : Manuel VISIONS mathématique, volume 2, éditions CEC, pages 204 - 205

LES PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES Avant de débuter, distinguons 2 types de variables aléatoires.

1. Variable aléatoire discrète :

Une variable aléatoire est discrète si elle ne peut pas prendre toutes les valeurs

possibles d’un intervalle de nombres réels.

2. Variable aléatoire continue :

Une variable aléatoire est continue si elle peut prendre toutes les valeurs

possibles d’un intervalle de nombres réels.

PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À UNE DIMENSION

En géométrie, un objet à une dimension est représenté par un segment. Admettons

donc un segment AB de longueur L et une section D de ce segment AB.

La probabilité de choisir au hasard un élément de D est donnée par :

A

P(D) =

section D


Par exemple, on désire connaître la probabilité de choisir au hasard un point du

segment CD dans la figure suivante.

Cette probabilité est donnée par : P(point sur CD ) =

Exemple 1

Si un point est situé sur le contour du polygone régulier ci-dessous, détermine la

probabilité que ce point soit situé sur le segment AB. Son aire est de 30 dm2 et son

apothème mesure 5 dm.

=


PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À DEUX DIMENSIONS

À l’instar de la probabilité à une dimension, ce deuxième cas de probabilité

géométrique se calcule en considérant une partie de la surface d’une figure

géométrique par rapport à la surface totale de cette figure.

Ici du moins, le tout n’est plus un segment, mais une figure à deux dimensions

(figures géométriques planes).

Soit une figure géométrique plane F et une surface S de cette figure géométrique.

La probabilité de choisir au hasard un point sur la surface S est donnée par :

B

P(S) =

Surface S


Exemple 2

Voici une cible d’un jeu de fléchettes. Elle est formée de 3 cercles concentriques de

rayons mesurant respectivement 2 dm, 3 dm et 4 dm.

Détermine la probabilité exacte de :

a) lancer une fléchette dans la zone 3

b) lancer une fléchette dans la zone 2

c) lancer une fléchette dans la zone 1


PROBABILITÉS GÉOMÉTRIQUES À TROIS DIMENSIONS Soit un objet géométrique V à 3 dimensions et R une partie de l’objet V. La probabilité

de choisir au hasard un point de R est :

Exemple 3

Lors d’un jeu aquatique, l’arbitre lance aléatoirement dans une piscine un objet que

les concurrents devront chercher le plus rapidement possible. Sachant que la piscine

est d’une longueur de 30 pieds et d’une largeur de 15 pieds, détermine la probabilité

que les nageurs retrouvent l’objet lancé dans la section la moins profonde de la

piscine. Le dessin n’est pas à l’échelle.

N.B. L’objet reste en suspension dans l’eau (il ne flotte pas et ne coule pas au fond).

C

P(R) =

Profondeur5 p ieds

Profondeur 12 p ieds

Largeur 15 p ieds

Longueur 7 p ieds

Longueur 8 p ieds

Longueur 15 p ieds



1. À l’émission télévisée la Roulette chanceuse, Benoît doit faire tourner une roulette

de 1,2 dm de diamètre subdivisée en 3 portions. La portion rouge est formée par

un angle au centre de 74º, la jaune a une aire de 9π cm2 et la verte occupe le reste

de la roulette. Si la roulette s’immobilise sur le vert, Benoît est le Grand Vainqueur!

a) Détermine la probabilité que Benoît soit proclamé Grand Vainqueur.

b) Détermine la probabilité que la roulette ne s’immobilise pas sur le secteur

jaune.

2. Une piste de course de voitures téléguidées est formée de 2 demi-cercles

congrus joints par les segments AD et BC (de

même longueur). Pendant un essai routier de

la nouvelle Ferrari d’Eddy, une panne

d’électricité survient…

Détermine (au millième près), la probabilité

que la voiture s’immobilise sur le segment

BC.


3. En reliant les milieux des côtés du carré LMNO, on a formé le carré PQRS. En

reliant les points milieux des côtés de ce dernier, on a formé le carré TUVW. On a

noirci une partie de la figure. On choisit au hasard un point à l’intérieur du carré

LMNO.

Laquelle des expressions suivantes représente la probabilité que le point choisi

soit dans la partie noire?

a) 1 -

LMNO carrédu Aire

TUVW carrédu Aire

b) LMNO carrédu Aire

PQRS carrédu Aire

c) PQRS carrédu Aire

TUVW carrédu aire - PQRS carrédu Aire

d) LMNO carrédu Aire

TUVW carrédu Aire - PQRS carrédu Aire

4. La cible circulaire illustrée ci-contre est subdivisée en secteurs. Certains secteurs

sont gris, les autres sont blancs. On lance une fléchette sur cette cible alors

qu’elle tourne sur elle-même. La fléchette atteint la cible.

Quelle expression ci-dessous permet de calculer la probabilité que la fléchette

atteigne un secteur gris?

a) blancs secteurs de Nombre

gris secteurs de Nombre

b) blancs secteurs des totaleAire

gris secteurs des totaleAire

c) secteurs de totalNombre

gris secteurs de Nombre

d) gris secteurs des Aire blancs secteurs des Aire

gris secteurs des totaleAire


5. Un curseur va et vient au-dessus d’un segment AF. Le segment AF est subdivisé

en 5 segments par les points B, C, D et E.

70AFm

10ABm

5CDm

15DEm

Le point C est le milieu du segment AF.

Les segments AB, CD et EF sont ombragés.

Un système informatique commande de façon aléatoire l’arrêt du curseur.

Quelle est la probabilité que le curseur s’arrête vis-à-vis un segment ombragé?

6. Une roue de fortune circulaire est illustrée ci-contre. Deux diamètres divisent cette

roue en 4 arcs, parmi lesquels, 2 sont noircis. L’angle au centre associé à l’un des

arcs non noirci mesure x°. On fait tourner cette roue. Le hasard détermine l’arc

indiqué par le pointeur lorsqu’elle s’immobilise.

Quelle est la probabilité que le pointeur indique un arc noirci lorsque la roue

s’immobilise ?

a) 360

2360 x

b) 360

180 x

c) 360

360 x

d) 360

2x

x°


7. Météo Aujourd’hui prédit la tombée d’une météorite sur le sol québécois! Marco

intrigué effectue des recherches et s’aperçoit que la météorite va tomber sur son

terrain! (Rassure-toi Marco, il s’agit d’une petite météorite!)

L’illustration ci-dessous illustre le terrain de Marco où la partie ombragée

représente la partie gazonnée et le carré blanc, la maison.

Détermine les dimensions de la maison de Marco sachant que la probabilité que

le météorite tombe sur le gazon est de 6

5.

8. Un jeu consiste à lancer une fléchette sur une cible carrée. Un cercle et un

triangle sont dessinés sur cette cible. Si la fléchette atteint la partie ombrée, le

participant gagne un prix.

Quelle expression ci-dessous permet de calculer la probabilité de gagner un prix

à ce jeu?

a) carrédu Aire

cercledu Aire

b) carrédu Aire

edu triangl Aire - cercledu Aire

c) carrédu Aire

edu triangl Aire - carrédu Aire

d)edu triangl Aire cercledu Aire-carrédu Aire

cercledu Aire

maisongazon

RÉPONSES 195

RÉPONSES

(MISE AU POINT)

RÉPONSES 196

SECTION 5.1 - MISE AU POINT (RÉPONSES)

1)

a) 557 mbar = 0,557 bar b) 11 690 g = 11,69 kg c) 0,0023 A = 2,3 mA d) 2 120 cl = 0,212 hl e) 244 dam2 = 0,024 4 km2 f) 335 cm3 = 0,335 l g) 0,0032 m3 = 3,2 dm3 h) 1,359 kPa = 1 359 Pa i) 36 hm = 360 000 cm o) 34,57 cm2 = 0,003 457 m2 j) 3,54 m = 0,003 54 km p) 2,035 m2 = 0,000 203 5 hm2 k) 0,53 cm = 0,005 3 m q) 35,4 m3 = 35 400 dm3 l) 16,41 dam = 1 641 dm r) 35,8 m3 = 0,035 8 dam3 m) 53 hm2 = 530 000 m2 s) 3457 cm3 = 3,457 dm3 n) 65,7 m2 = 6 570 dm2 t) 0,359 dam3 = 359 m3

2)

a) 8 dm3 = 8 000 ml f) 144 ml = 0,144 dm3 b)100 cm3 = 0,1 l g) 350 kl = 350 000 000 cm3 c) 10 m3 = 10 000 000 ml h) 180 000 km3 = 180 000 000 000 000 kl d) 40 cm3 = 0,000 04 kl i) 350 kl = 350 000 000 ml e)10 dam3 = 10 000 000 l j) 1000 l = 0,000 000 001 km3

3) g) 3 000 mm³ + 7 dm³ + 3 dl = 7 303 ml h) 4 kl + 20 000 000 cm³ + 5 hm³ = 5 000 024 000 l i) 314,5 dm³ + 30 004 cm³ + 5 l = 3 495,04 dl j) 4 dal + 62 dm³ + 1 m³ = 110 200 cl k) 1 m3 + 3 dal + 92 dm3 = 112 200 cl l) 5 l + 2113 cm3 + 302,9 dm3 = 3 100,13 dl

4)

k) 10 g = 0,01 kg l) 3,2 mJ = 0,000 032 hJ m) 150 kHz = 1 500 000 dHz n) 42 cg = 0,004 2 hg o) 3 dN = 0,000 3 kN p) 2 450 mg = 0,002 45 kg q) 620 hB = 620 000 dB r) 1,5 kV = 1 500 000 mV s) 72 V = 0,072 kV t) 16 dW = 0,016 Hw

RÉPONSES 197

Pourrais-tu convertir 68,555 heures en jours, heures, minutes et secondes?

Pourrais-tu convertir 253 995 secondes en jours, heures, minutes et secondes?

5) π ml ml

≈ 20, 94 verres ≈ 20 verres pleins

6) Après environ 7,78 jours.

SECTION 5.2 – MISE AU POINT (RÉPONSES)

1)

a) V 1 005,310 cm3

b) V = 18,000 cm3

c) V = 105,000 m3

d) V = 252,000 cm3

e) V = 15 55 dm3 111,243 dm3

2)

a) V = 1 000 cm3

b) V = 100 75 cm3 ≈ 866,025 cm3

c) Non, car dans cet exemple, même si les deux solides ont la même aire de

base, ils n’ont pas la même hauteur.


1)

a) V = 2000 cm3

b) V 7696,851 cm3 ou V 7696,851 cm3 c) V 6933,957 cm3 d) V 114,468 cm3 ou V 114,473 cm3

Réponse : 2 jours, 20 heures, 33 minutes et 18 secondes

Réponse : 2 jours, 22 heures, 33 minutes et 15 secondes

RÉPONSES 198

2) a) V 285,589 cm3 ou V 285,597 cm3 b) V 235,619 cm3 c) V 670,206 cm3

d) V 1 933,755 cm3 ou V 1 933,774 cm3

3) L’aire totale exacte est de 432 cm2.

4) Le volume exact de la boule est de 4500 cm3.

5) V 195,521 m3 , AT 206,153 m2

6) a) L’aire totale est de 5 764,000 cm2

b) L’aire totale est environ de 208,996 cm2

c) L’aire totale est environ de 581,195 cm2 d) L’aire totale est environ de 3 080,601 cm2

7) a) Le volume de ce solide est environ de 26 282,906 cm3 b) Le volume de ce solide est de 408,000 cm3

c) Le volume de ce solide est environ de 1 105,971 cm3 d) Le volume de ce solide est environ de 15 292,411 cm3

8) AT 2 111,150 cm2 , VT 7 104,188 cm3

9) V 68 277,280 cm3 682,773 dl

10) a) L’aire totale de cette pyramide tronquée est environ de 495,025 cm2. b) Le volume total de cette pyramide tronquée est environ de 686,400 cm3.


1) Identifie, dans cette expression, chacune des composantes.

1113313

2) Son aire exacte est de 661,5 cm2.

3) a) Le diamètre de cette boule mesure environ 7,268 dm.

b) Le rayon de cette boule mesure environ 363,4 mm.

Racine cubique

Radical

Indice

Radicande

RÉPONSES 199

4) L’aire latérale est d’environ 10 836,867 mm2.

5) a) r = Vh

et r = 4 cm

b) r = 3

4

3

V

et r = 3 m

c) r = Vh

et r = 3 dm

d) r = 3A

et r = 23 m

6) a) AT = 24x2 dm2 , V = 8x3 dm3

b) AT = (14x² + 16x + 2) cm² , V = (3x³ + 6x² + 3x) cm³ c) AT = 96x² cm² , V = 48x³ cm³

d) AT = 48y² dm² , V = 3

128 3y dm³

e) AT = 90x² m2 , V = 100x³ m3

7) La mesure du segment AB est de 50 cm.

8) r = 32,50 dm ou r = 3,25 m

9) h = 32 m

10) La hauteur de la boîte est de 20 cm et celle du cylindre est d’environ 18,002 cm.

11) a) VG 47 744,475 m³ , VP 20 142,200 m³ b) rG ≈ 28,354 m , rP ≈ 21,266 m

12) L’apothème du cône mesure 612 cm.

13) aP = 9760

dm

14) a) Volume pyramide A : 2563

m³

Volume pyramide B : 1283

m³

Volume pyramide C : 25615

m³

b) La hauteur de la pyramide C est de 3,2 mètres.

15) a) V =

27

343 x³y6 cm³ b) V = (70y6 + 56y4) cm³

16) h = 9625π

dm

17) AL cylindre = 64π7

cm²

RÉPONSES 200

18) V = 12π dm³

19) a) AT = (24x² - 120x + 150) cm² b) V = (8x³ - 60x² + 150x – 125) cm³

20) a) AT = 22x² + 16x – 24 b) V = 6x³ + 15x² - 36x

21) V =

x³ x² x cm³

22) L’aire totale exacte est de 0,9 m2.

23) a) L’aire est de 6 561π cm2. b) Le rapport des aires est de 20,25.

24) k = 2z ou k = 12z

25) k³ = 9³27

1

yxou 9³27 yx

26) k³ = 126

126

27

8

8

27

zyou

zy

27) k² = ²912²4 yxyx

28) A2 = 20x4 – 12x³y + 16x²y² ou A2 = 54 - 3y

4x + y²

x²

29) Volume B = 2048x6

81

30) V = 16

9 6y

Défi : 441

39201960245 234 xxxcylindregranddutotaleAire


1. a) 38c8 b) 28 • 33 x6y11

c) 6

662

y

x d)

18

612242

a

cb

e) 142

646

3

52

d

c f)

2

1

32 y

x

RÉPONSES 201

g) 612

1296

32 cba

h) 2

2 52

xy

i) b

ca 3

23 32

j) 631119

7

732 c

a


1. a) 8

326

2

3 x b)

10

442

a

b

c) 14

687

d

c d)

1

7238 32

r

p

e) 7

753 53

h

g f)

2

2143

k

j

2. a) 24a3b5 b) 3

1

b

c) 4

1523 a d)

3

4

3

5

53 y

e) 3

1

2

932

1

3

1

32 cba f)

yx 5

17

5

3

5

9

5

1

3

2

g) 221

· ba 65

21

61

3 h) · · · x 3

19

y3

11

z

i) 2

1

2

13

2

3

2

3 zxy j) 3

18123

y

x

k) yb3

1 l)

6

4

2

a

m) 3

4

22

5

6

11

6

5

3

414 532

x

yba n)

10

13

5

51

20

719

7

32

x

y

o) 2a+2 · 34b aa+2ya p) a

RÉPONSES 202

3. a) -4xy5(4x5yz6 + 8x4z5 + 1) b) 5(ab2 + 4bc 3c + 5)

c) n(-6m2n2 + 4mn + 3n + 1) d) C’est un polynôme premier

e) 7x2y2(7x6y2z2 + 8x3 + 6z) f) -4s4t3(32st3v2 + 7)

4. a) (x - y) (3a + 1) b) (a + b) (a + b + 2)

c) (a - b) (4 + a - b) d) (3x + 4y) (7a² + 8b)

e) (a + b) (2a3 - 1) f) (x - y) (1 - x - y)

5. a) x²(x² + 1) (x4 + 1) b) 2(ax - 2bc + 3ad - 4d)

c) 5a(-b + 3c -25bc + 125a) d) a²(a + b) (x² + y)

e) (3b4 - 1) (4a² + 1) f) 2(5 + 4a3) (a - 3)

6. a) polynôme premier b) 2(x 3y)(x2 3y)

c) 4(6c – ab2)(a + 4b) d) 4(2a b)(1 x)

e) 3(ab2 3ax 4ab + 9x) f) 5x(a + 2b)(2 x)

7. a) x x

x

2 2 3

3 1

( )

b) 2a

c) a3 4

4

d)

x y

a b

e) 2 2 3

5

2( )

( )( )

x y

a b x y

f) 2

3

2

2

x y

x y

g) 2 5

3

2 3( )a

ab

h) 2

5 1 3( )x

8. a) (a - b²) (a + b²) b) (2y + z - 6) (2y + z + 6)

c) (2 - a) (2 + a) d) (ab² - 2

5) (ab² +

2

5)

e) (x - 3 + a) (x + 3 - a) f) (x - 1

4b) ( x +

1

4b)

g) (bx² - 6a) (bx² + 6a) h) (11b - 1

3a) (11b +

1

3a)

RÉPONSES 203

9. a) (a - 8b - c - d) (a - 8b + c + d) b) (a + b + c - m + n) (a + b + c + m - n)

c) (1 - x + y - z) (1 + x - y + z) d) (x - y) (x - y + 4)

e) (- x + y) (x - y + 4) f) –(7x – 3y)(x + y)

10. a) x(x + 1)(x2 +1) b) (x2 + 1)(x + 1)(x 1)(x + 3)(x 3)

c) C’est un binôme premier d) 5(ax + bx + 3a 3b)

e) 5(a + 4b)(a 4b)(5 + a2)(5 a2) f) (2m n)(m2 2n2)

g) 27b(a2 3) h) (a + b)(c + 1)(c 1)

11. a) 2 b) x

x

5

5

c) a

a

1

12 d)

x y

b a b

2 22

4 2

( )

e) x y 2 2 f) m3

g) 4

)2)(2(2

a

aa h)

5 6

3

y

x

12. a) (m - 4)(2m - 3) b) (7x -1)(x + 1)

c) (5a +2)(a +1) d) (3a -b)(a + 2b)

e) (4x + y)(x + 2y) f) (2m + 3n)(3m - n)

13. a) 4(1 - ab) (1 + ab) b) (2x + 5y)²

c) a²(6a - 1) ( 6a + 1) d) (x - 8) (x - 3)

e) (-b + 4) (b + 7) f) 3(x - 4)²

14. a) (y2 12) (y2 3) b) (x2 + 3z)(x2 3z)(x2 + 2z)(x2 2z)

c) 3a(a 10)2 d) 2(x + 13)(x 4)

e) -4(a + 9)(a + 6) f) 3b2(a + 4)(a 4)(a + 1)(a 1)

g) 4(x 5y)(x + 6y) h) 2b2(a2 + 5c)2

RÉPONSES 204

15. a) a

a

4

5 b)

a b

a b

c) x y

4 d) a2 + 7

e) 1

2 f)

11

n11m


1. a) k < 5 b) y 2

c) y < -9 d) n 5

e) p > -2 f) t < 7

g) m > 8 h) m > 1

2. a) 6x et - , 6[ b) 20m et ]20, c) 9x et - , 9]

d) 2

1y et ,

2

1 e)

2

7x et

,2

7 f) 6y et ,6

g) 5t et 5, h) 3x et 3,

3. a) 7

8x et [

7

8 , b)

5

14x et [

5

14, c)

2

1x et -,

2

1]

d) 10x et -, -10] e) 4

1x et -,

4

1 [ f) x > 6 et ]6,

g) 4

5x et -,

4

5 ] h)

28

3x et -,

28

3]

8 9 10 11 12 13… Z 1 R

-9 R

7 R

-2 -1 0 1 2 3 ... Z

... -1 0 1 2 3 4 5Z

2 R

0 1 2 3 4 5 6 N

RÉPONSES 205

R 4

1

R 2

1

R 14

31

R 5 R 6

R 10

1

4. a) 17n b) 4

1x

c) 20

39a d)

2

1x

e) 14

31x f)

10

1x

g) 6x h) 5x

5. a) {x R | 18

5x } b) {x R |

3

2x } c) {x R | 2x }

d) {x R |10

7x } e) {x R | 8x } f) {x R |

6

1x }

g) {x R | 0x }

6. a) 3

14a et -,

3

14] b)

5

29m et [

5

29,

c) 17

19x et ]

17

19 , d)

45

8x et -,

45

8[

e) 69

119y et [

69

119, f)

3

14x et -,

3

14 ]

g) 3x et -, 3 [ h) 7

2x et ]

7

2,

i) 9

5a et [

9

5, j)

2

5x et [

2

5,

7. Les quatre plus petits nombres impairs sont 5, 7, 9, et 11.

8. Les quatre plus grands entiers impairs sont 23, 25, 27 et 29.

9. La plus grande largeur possible est 200 cm.

10. Les trois plus grands entiers pairs sont 18, 20 et 22.

11. Le plus petit entier est – 48.

12. Le plus petit entier est 4.

13. Les trois plus grands multiples de cinq sont 25, 30 et 35.

14. Le plus grand entier est 6.

R 20

39

R -17

RÉPONSES 206

R 90 180

15. Les mesures entières pour la longueur est 29 cm et pour la largeur est 12 cm.

16. Ghislain possède un maximum de 139 timbres.

17. L’avoir initial minimal d’Isabelle est 55,01$.

18.


1) a) b = 3

7 b) c =

c) x =

9

4 d) y =

2

1

e) x =

f) a =

2) a) a = 3 b) x = 30 c) n = 3 d) x = -8

e) y =

f) a = – 6

3) a) z =

b) y =

c) u =

d) t = 0

e) b = – 2 f) x =

4) a) x = – 5 b) x = 1 c) y = – 11 d) x = 2

e) x = 10 f) x = 34 g) y = 2

33 h) x =

6

23

5) a) x = 53

17 b) y =

47

34 c) x =

67

43 d) a =

4

97

e) b = 15

46

6) Il y a 6 fenêtres par étage.

7) Les trois personnes ont 90$, 120$ et 130$.

8) Les trois nombres sont 83, 103 et 113.

9) Les trois nombres sont 6, 7 et 8.

10) L’avoir de Pierre est 100$, celui de Paul est 400$, celui de Jacques est 800$ et

celui de Luc 160$.

11) Dans la classe, il y a 6 rangées et 34 élèves.

RÉPONSES 207

12) La première personne a 2816$, la deuxième a 2112$, la troisième a 1584$, la

quatrième a 1188$ et la cinquième a 891$.

13) a) x : Le premier nombre y : Le deuxième nombre

x + y = 54 et x – y = 30

b) x : Le premier nombre y : Le second nombre

x + 2y = 21 et 2x + y = 18

c) x : L’âge actuel de Christophe. y : L’âge actuel de Sylvie.

x – 6 = 4(y – 6) et x + 4 = 2(y + 4)

d) x : Le premier nombre y : Le second nombre

6

5

y

x et x + y = 88

e) x : L’âge actuel de Normand y : L’âge actuel de Bruno

x – 4 = 4(y – 4) et x + 2 = 3(y + 2)

f) x : Le prix d’une poire y : Le prix d’un jus de fruits

10 = 14x + 4y et 10 = 8x + 8y

g) x : Nombre de pièces de 25 cents y : Nombre de pièces de 10 cents

25x + 10 y = 6870 et x + y = 300

h) x : Le prix d’une table y : Le prix d’une chaise

5x + 8y = 575 et 3x + 5y = 350

i) x : Le prix d’un disque y : Le prix d’un DVD

6x + 4y = 116 et 11x + 4y = 183

j) x : Nombre de pièces de 25 cents y : Nombre de pièces de 10 cents

25x + 10y = 2400 et x + y = 135

14) Le couple solution est : ( -2 , 2

5 )

15) a) Le couple solution est : (6 , 1)

b) Le couple solution est : (-2

3 ,

2

3)

RÉPONSES 208


1)

a) (-3 , 1) ou x = -3, y = 1 b) (-1 , -2) ou x = -1, y = -2 c) (-5 , -3) ou x = -5, y = -3

d)

2,2

1ou x =

2

1, y = 2 e)

4

1,

4

25ou x =

4

25, y =

4

1 f) (0, -3) ou x = 0, y = -3

g) 17,7 ou x = -7, y = 17 h)

7

4 ,

7

50ou x =

7

50 , y =

7

4 i)

3

4,0 ou x = 0, y =

3

4

j) (5 , 4) ou x = 5, y = 4 k) (18 , 9) ou x = 18, y = 9 l) (-5 , -3) ou x = -5, y = -3

m)

19

8,

19

2ou x =

19

2, y =

19

8 n)

3

1,

6

13ou x =

6

13, y =

3

1 o) (-5, -3) ou x = -5,y = -3

p) (-21, -10) ou x = -21, y = -10 q)

33

50,

33

32ou x =

33

32, y =

33

50 r) (10 , 19) ou x = 10, y = 19

2)

a)

1,

2

5ou x =

2

5, y = -1 b) (0 , 1) ou x = 0, y = 1 c) (-1 , -2)ou x = -1, y = -2

d) (2 , 0) ou x = 2, y = 0 e)

3

7,2 ou x = 2, y =

3

7 f) (0, 4) ou x = 0, y = 4

g)

1,

2

1ou x =

2

1, y = -1 h)

2

7,0 ou x = 0, y =

2

7 i)

1,

3

1ou x =

3

1 , y = -1

j)

2

1,

2

1ou x =

2

1, y = -

2

1 k)

4

3,

12

1ou x =

12

1, y =

4

3 l) (4 , -2) ou x = 4, y = -2

3) Ces deux nombres sont 42 et 12.


5) Christophe a 26 ans et Sylvie a 11 ans.


7) Dans 6 ans, Normand aura 58 ans et Bruno aura 22 ans.

8) Une poire coûte 50 sous et un jus de fruit coûte 75 sous.

9) Il y a 258 pièces de 25 cents et 42 pièces de 10 cents.

RÉPONSES 209

10) Une table se vend 75$ et une chaise 25$.

11) Un disque coûte 13,40$ et un DVD coûte 8,90$.

12) Il y a 70 pièces de 25 cents et 65 pièces de 10 cents.

13) Il y a 8 ans, l’âge du père était trois fois celui du fils.

14) L’élève a réussi 10 problèmes.

15) L’âge de la mère sera le double de celui de l’enfant dans 20 ans.

16) Dans la rue, il y a 5 autos et 15 bicyclettes.

17) Dans 8 ans, Simon aura 38 ans.

18) Les deux parties sont 8 et 12.

19) Caroline possède 20 pièces de cinq cents et 80 pièces de dix cents.

20) La moto rejoindra la voiture après 1h30.


1)

Ou en enlevant la donnée aberrante qui est 45$ : 2)

a) L’aîné a environ 40 ans. b) L’âge médian est d’environ 18 ans. c) La moitié (50%) des gens sont âgés de 18 ans et plus.

3) a) Pour le méthane, les indices sont concentrés très près de la médiane. On peut

même constater que 75% des indices se situent autour de la médiane. Ce n’est pas le cas pour le dioxyde de carbone.

b) 75% des pays mentionnés ont un indice d’effet de serre plus grand que celui du Canada pour le dioxyde de carbone. Pour le CFC, il y a autant de pays qui ont un plus grand indice d’effet de serre que celui du Canada que de pays qui en ont un plus petit. Pour le méthane, la Canada fait partie des 25% des pays mentionnés qui ont un grand indice d’effet de serre.

50402010 0 30

*

50402010 0 30

RÉPONSES 210

4) a) Les données de la première moitié semblent plus concentrées autour du

premier quartile. Celles de la deuxième moitié semblent plus dispersées autour du troisième quartile.

b) Ces données ont été enregistrées dans des stations météorologiques situées dans des régions à haut risque de brouillard ou de verglas.

c) Il a neigé au moins 14 jours dans les différentes stations du Canada cette année là. Les données situées entre le premier quartile et la médiane (le 2e quart) sont très concentrées par rapport aux trois autres groupes de données.

d) La chute de neige est le phénomène atmosphérique qui dure le plus longtemps au Canada et la foudre et le verglas, ceux qui durent le moins longtemps.

5) Les deux diagrammes ont la même médiane et la même étendue. Dans le diagramme A, les données semblent plus concentrées aux extrémités de la distribution. Dans le diagramme B, elles semblent plus concentrées autour de la médiane de la distribution.

6) a) Non b)

49 54 54 54 54 54 62 62 62 62 62 70 70 70 70 70 75 75 75 75

La moyenne la plus élevée est exactement de 63,95 (environ 64,0), soit 2,0 de plus que la médiane qui est de 62.


1)

a) P(figure) = 52

12 =

13

3 b) P(pas une figure) = 1 -

13

3=

13

10

2) a) = {a, f, p} b) 3 événements élémentaires

c) {a}, {f} et {p} d) 1) P (p)= 6

1 2) P (a, p, f)= 1

3) P (a, f)= 6

5 4) P (a)=

2

1

RÉPONSES 211

3) a)

b) P( (P, I) ) =10

1


1) a) 30 240 arrangements

b) 100 000 arrangements c) 252 combinaisons d) 3 628 800 permutations e) 604 800 arrangements f) 120 combinaisons

2) a) 7 893 600 arrangements b) 11 881 376 arrangements c) 65 780 combinaisons d) 26! permutations ou environ 4,033 1026 permutations e) 3 315 312 000 arrangements f) 657 800 combinaisons

3) 475 020 combinaisons

4) a) Environ 9,380 1011 arrangements b) Environ 7,947 1023 arrangements c) 250! permutations

5) 120 choix différents

6) a) 2 349 088 560 arrangements ou environ 2,349 109 arrangements b) Environ 6,690 1016 arrangements c) 2,040 1046 permutations d) 3 262 623 combinaisons possibles e) 2,514 1010 combinaisons possibles

7) Il y a exactement 13 983 816 combinaisons possibles loto 6/49.

2

1

2

1

5

1

5

1

RÉPONSES 212

8) a) 665 280 arrangements b) 2 985 984 arrangements c) 924 combinaisons d) 479 001 600 permutations e) 19 958 400 arrangements f) 495 combinaisons


1) a) P(vert) 54,0

b) P(vert ou rouge) = 0,75

2) P(s’immobilise sur BC ) 254,0

3) d

4) d

5) P(segment ombragé) = 7

3

6) a

7) Les dimensions de la maison sont de 5m par 5m.

8) b

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Table des matières - Apprendre... Autrement!km hm dam m dm cm mm x 10 10 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 x 102 102 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 x 103 103 1 dm = 10 cm 1 dm = 10 cm 1 dm