Physique DM no6

DM no6 - Electromagnétisme

A rendre pour le vendredi 12 novembre

1 Solénoïde infiniCalculer soigneusement l’expression du champ magnétique

−→B créé en tout point de l’espace

par un solénoïde infini d’axe z, de rayon a, parcouru par un courant permanent I, et possédantn spires par mètre.

2 Espace entre deux plans

Le but est ici de comparer le champ électrostatique −→E et le champ magnétostatique −→

B ayantrespectivement pour sources une distribution de charge ρ(M) et une distribution de courant−→ȷ (M).

Les deux distributions sont uniformes et confinées à l’espace, illimité dans les directions u⃗x etu⃗y, compris entre les plans z = −a/2 et z = a/2.

Les densités ρ et −→ȷ sont respectivement définies, pour |z| < a/2, par ρ = cste > 0 et −→ȷ = ju⃗x,j désignant une quantité positive.

1. On considère chacun des champs en un point M(x, y, z) quelconque (extérieur ou intérieurà la distribution). À l’aide de considérations de symétries et d’invariances, établir la naturede la dépendance de chaque champ par rapport aux coordonnées ainsi que sa direction.

2. En utilisant la nature polaire ou axiale des champs−→E et

−→B , établir que ces champs sont

nuls dans le plan z = 0.3. En utilisant la propriété précédente puis, pour

−→E une "surface de Gauss" et pour

−→B un

"contour d’Ampère" bien choisis, achever le calcul de −→E et −→

B dans la région z > 0 endistinguant les expressions relatives à un point extérieur ou intérieur à la distribution.

4. Reprendre le calcul pour z < 0 et décrire l’effet sur chacun des champs de la symétrie parrapport au plan z = 0.

5. Représenter graphiquement les variations des valeurs algébriques E et B des champs enfonction de la coordonnée dont ils dépendent.

6. Commenter la topographie globale des deux champs.7. On considère la limite des deux problèmes pour a tendant vers 0, ρ et j vers l’infini, les

quantités σ = aρ et −→ȷs = a−→ȷ restant finies.Décrire le modèle correspondant en précisant la signification de σ et −→ȷs . Dans la régionz > 0, donner les expressions de chacun des champs en fonction exclusivement de σ, −→ȷs etn⃗ = u⃗z. Montrer que le modèle fait apparaître des discontinuités des champs −→

E et −→B dont

on donnera l’expression.

3 Écrantage de Debye dans un plasmaUn plasma est une phase de la matière (on l’appelle parfois quatrième état de la matière).

C’est un milieu constitué de particules neutres, d’ions et d’électrons. C’est de loin l’état de la

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matière le plus représenté dans l’univers (99% de la matière est sous forme de plasma). On entrouve dans le milieu interstellaire ou dans l’ionosphère (plasma naturel), mais on en utiliseaussi industriellement dans les tubes à décharge, les téléviseurs ou encore dans les réacteursTokamak destinés à réaliser une fusion nucléaire contrôlée. Le but de cet exercice est d’étudierles propriétés d’écrantage électrostatique dans un plasma.

On considère un plasma électriquement neutre, constitué de particules libres de charges +q(ions) et −q (électrons). On choisit comme origine un ion situé au point O. En un point Mà la distance r de O, le potentiel électrostatique est V (r). Les densités volumiques de chargespositive et négative sont respectivement

ρ+(r) = ρ0 exp(

−qV (r)

kT

)

ρ−(r) = −ρ0 exp(

qV (r)kT

) ,

où ρ0 désigne une constante, k est la constante de Boltzman, T la température et V (r) lepotentiel électrostatique.

1. Détermination du potentiel

a) Établir l’équation différentielle vérifiée par le potentiel V (r).b) Dans le cas d’une fusion nucléaire contrôlée, la température peut atteindre 10 millions

de degrés Celsius. À ces températures on peut légitimement supposer que qV ≪ kT .Résoudre l’équation différentielle précédente dans l’approximation des hautes tempé-ratures. On introduira une distance caractéristique du phénomène, appelée longueurde Debye, dont on donnera le sens physique.

c) Comparer le potentiel obtenu au potentiel créé par une charge q placée en O dans levide. Interpréter en justifiant le nom d’écrantage donné au phénomène.

2. Détermination du champ électrostatiqueDéterminer l’expression du champ électrostatique à une distance r de l’ion situé en O.

3. Étude de la distribution de charge

a) Déterminer la densité volumique de charge ρ(r) au point M .b) Calculer la charge Q(r) contenue dans une sphère de centre O et de rayon r dans

l’approximation des hautes températures. Examiner les cas r → 0 et r → ∞. Com-mentaires.

c) Déterminer la densité volumique moyenne de charge à l’intérieur d’une sphère decentre O et de rayon r.

d) Déterminer la densité radialedQ

drde charge (c’est le taux de variation de la charge

Q(r) avec le rayon r de la sphère centrée en O). Montrer qu’il existe un maximum decharges négatives à la distance d de l’ion O. Comparer cette distance à la longueurde Debye.

e) À l’aide des questions précédentes, proposer un modèle décrivant la structure del’atome.

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