REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

Statistiques : Dossier N°2

Février 1996

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2

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REPRESENTATIONS GRAPHIQUES Apprentissage

et

Evaluation

Objectif :

- Représenter graphiquement une série de données

statistiques.

Contenu :

- Explications concernant la construction :

* de diagrammes en bâtons

* d’histogrammes

* de diagrammes cumulatifs

* de diagrammes circulaires

- Exercices d’application avec corrections.

Pré-requis :

- Connaître la règle de trois

- Connaître le langage statistique (dossier 1)

- Etre capable d’utiliser un repère

- Etre capable d’utiliser un rapporteur.

Matériel nécessaire :

- compas ; rapporteur ; calculatrice.

Public concerné :

- Toute personne désirant maîtriser les représentations

graphiques de données statistiques.

3

REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

LES DIAGRAMMES

I - DIAGRAMME EN BATONS

Exemple : On a relevé la marque de 100 tracteurs dans des exploitations

agricoles du Pas-de-Calais. Les résultats sont les suivants :

Marque des tracteurs Nombre de tracteurs FENDT RENAULT MASSEY. FERGUSON JOHN DEERE FORD CASE IH FIAT

6 24 30 16 12 7 5

a) Construisons le « repère » :

- l’axe des abscisses en indiquant sa légende

«Marque des tracteurs» (variable xi)

- l’axe des ordonnées en indiquant sa légende

«Effectifs» (ni) et ses graduations.

0

48

12

16

2024

28

32

FENDT RENAULT MASSEY.F J.D FORD CASE IH FIAT

nombre de tracteurs

(ni )

marque des tracteurs

(xi )

4

b) Construction du diagramme (marque des tracteurs) :

Pour chaque marque de tracteurs on trace un trait vertical (appelé bâton) partant de l’axe des abscisses jusqu’à la hauteur de la graduation correspondante sur l’axe des ordonnées. Exemple : tracteur FENDT : l’effectif est de 6 Pour chaque marque de tracteur, nous effectuons la même démarche, ce qui donne le schéma suivant :

0

5

10

15

20

25

30

35

FEN

DT

REN

AU

LT

M.F

.

J.D

.

FOR

D

CA

SE IH

FIA

T

A RETENIR Cette représentation graphique s’appelle :

un DIAGRAMME EN BATONS.

nombre de tracteurs

marque des tracteurs

5

EXERCICE

Parmi les 160 petites exploitations de la région Nord - Pas-de-Calais, on a recensé la surface plantée en pommiers. Le résultat de l’enquête est donné dans le tableau suivant :

Surface en ha (xi) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombre d’exploitations 8 9 12 14 22 26 18 19 12 10 10

Construire le diagramme en bâtons de cette série.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

Nombre d’exploitations

(ni )

Surface en ha (xi )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6

REPONSE

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Nombre d’exploitations

(ni )

Surface en ha (xi )

7

II - HISTOGRAMME A partir d’un exemple construisons un histogramme.

Exemple n°1 : d’après le tableau reprenant la fabrication de camemberts (dossier N°1 p 12 ), nous allons faire la représentation graphique correspondante :

Poids des camemberts (g) Nombre de camemberts

[260 ; 270[

[270 ; 280[

[280 ; 290[

[290 ; 300[

[300 ; 310[

[310 ; 320[

[320 ; 330[

[330 ; 340[

1

1

4

3

8

12

7

4

a) Construction du « repère »

0

2

4

6

8

10

12

250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350

b) Construction des rectangles.

Nombre de camemberts

(ni )

Poids des camemberts

(xi )

8

Pour chaque classe nous construisons un rectangle dont la hauteur correspond à l’effectif de la classe . Exemple : pour la classe [280 ; 290[ l’effectif est de 4.

0

2

4

6

8

10

12

A RETENIR

Cette représentation graphique s’appelle un HISTOGRAMME.

Un histogramme est constitué de plusieurs rectangles.

Nombre de camemberts (ni )

Poids des camemberts (xi ) 250 260 290 280 270 300 310 320 330 340

9

EXERCICE

La série suivante donne le pourcentage en matières grasses (% M.G) dans la fabrication de fromage.

Pourcentage de M.G. Nombre de fromages

[36 ; 37[ [37 ; 38[ [38 ; 39[ [39 ; 40[ [40 ; 41[ [41 ; 42[ [42 ; 43[ [43 ; 44[

3 10 22 40 51 44 20 10

Construire l’histogramme de cette série

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

35 36 37 38 39 40 41 42 43

Nombre de fromages

Pourcentage de M.G.

10

REPONSE

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

36 37 38 39 40 41 42 43 44

Nombre de fromages

Pourcentage de M.G.

11

Exemple n°2 : le tableau ci-dessous représente le nombre d’enfants en fonction de leurs poids (kg).

Poids (kg) [35 ; 45[ [45 ; 50[ [50 ; 55[ [55 ; 60[ [60 ; 80[ Nombre d’enfants

4 6 10 8 12

Remarque : toutes les classes n’ont pas les mêmes amplitudes (voir dossier stat N°1 p 12), il faut en tenir compte pour tracer l’histogramme de cette série. De nouvelles classes sont créées ; ce qui donne le tableau suivant :

Poids (kg) Amplitude Nombre d’enfants

[35 ; 40[ [40 ; 45[ [45 ; 50[ [50 ; 55[ [55 ; 60[ [60 ; 65[ [65 ; 70[ [70 ; 75[ [75 ; 80[

5 5 5 5 5 5 5 5 5

2 2 6

10 8 3 3 3 3

2 + 2 = 4

3 + 3 + 3 + 3 = 12

EXPLICATION Ce nouveau tableau permet de construire un histogramme dont les surfaces de chaque rectangle sont proportionnelles aux effectifs. Pour tracer l’histogramme de cette série, il faut tenir compte de l’amplitude de chaque classe. La classe [35 ; 45[ d’amplitude 10 sera décomposée en 2 nouvelles classes [35 ; 40[ et [40 ; 45[ d’amplitudes 5. Ces 2 nouvelles classes doivent conserver un effectif total de 4 (effectif du départ). Cet effectif est réparti de façon égale dans les 2 classes. On fait de même pour la classe [60 ; 80[ d’effectif 12...

⎬

⎬

12

Construction de l’histogramme.

0

2

4

6

8

10

12

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Nombre d’enfants ni

Poids (kg) xi

13

EXERCICE

On a relevé le poids en kg de 100 porcs

Poids en kg Nombre de porcs

[115 ; 125[ [125 ; 135[ [135 ; 140[ [140 ; 145[ [145 ; 150[ [150 ; 155[ [155 ; 160[ [160 ; 170[

8

10 18 22 16 10 8 8

Construire l’histogramme de cette série.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Nombre de porcs (ni

Poids en kg(xi )

14

REPONSE Nouveau tableau avec des classes d’amplitudes égales.

Poids en kg Nombre de porcs Nouvelles amplitudes [115 ; 120[ [120 ; 125[ [125 ; 130[ [130 ; 135[ [135 ; 140[ [140 ; 145[ [145 ; 150[ [150 ; 155[ [155 ; 160[ [160 ; 165[ [165 ; 170[

Total

4 4 5 5

18 22 16 10 8 4 4

100

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

⎫⎬⎭8

⎫⎬⎭10

⎫⎬⎭8

Nombre de porcs (ni

Poids kg (xi )

115 120 125 155150145140135130 170 160 165

15

III - DIAGRAMME EN SECTEURS

Exercice : Etude de la répartition des camemberts suivant leur poids Reprenons le tableau sur les camemberts

Poids des camemberts (g) Nombre de camemberts

[260 ; 270[ [270 ; 280[ [280 ; 290[ [290 ; 300[ [300 ; 310[ [310 ; 320[ [320 ; 330[ [330 ; 340[

1 1 4 3 8

12 7 4

a) Construction d’un cercle :

b) Correspondance entre les effectifs et les angles : Rappel : un cercle complet représente 360°

L’effectif total de 40 est représenté par 360°.

Un effectif de 1 est représenté par 36040

9= °

Chaque classe sera représentée par une partie du disque appelée : « SECTEUR ».

90°

180°

270°

0° 360°

16

c) Complétons le tableau :

Poids des camemberts (g)

Nombre de camemberts

Angle Degrés cumulés*(somme des angles)

[260 ; 270[ [270 ; 280[ [280 ; 290[ [290 ; 300[ [300 ; 310[ [310 ; 320[ [320 ; 330[ [330 ; 340[

1 1 4 3 8

12 7 4

9° x 1 = 9° 9° x 1 = 9° 9° x 4 = 36° 9° x 3 = 27° 9° x 8 = 72° 9° x 12 = 108° 9° x 7 = 63° 9° x 4 = 36°

9 18 54 81

153 261 324 360

TOTAL 40 360° * Pour faciliter la représentation graphique on peut utiliser les degrés cumulés.

d) Construisons le diagramme en secteurs : A l’aide d’un rapporteur, on trace chaque secteur.

4

12

8

3

4

11

7

Cette représentation graphique s’appelle :

- diagramme circulaire - ou diagramme à secteurs - ou diagramme en « camembert » (même si on travaille avec d’autres

exemples : tracteurs, tailles ...)

EXERCICE

17

Etude de la clientèle d’un libre-service agricole selon la catégorie socio-professionnelle des clients.

Sans profession 21 % Cadres moyens 13 % Employés 6 % Agriculteurs 34 % Ouvriers 9 % Retraités 11 % Professions libérales 6 % Total 100 %

Faites un diagramme en « camembert » pour représenter cette clientèle. Remarque : La position du premier secteur importe peu, vous pouvez démarrer comme vous le souhaitez. On vous propose :

18

REPONSE

a) Correspondance entre les pourcentages et les degrés :

l’effectif total de 100 % est représenté par 360° un effectif de 1 % est représenté par 360/100 = 3,6° Sans profession 21 % 75,6° Cadres moyens 13 % 46,8° Employés 6 % 21,6° Agriculteurs 34 % 122,4° Ouvriers 9 % 32,4° Retraités 11 % 39,6° Professions libérales 6 % 21,6° Total 100 % 360,0°

b) Construction du diagramme en secteurs :

Employés

Agriculteurs

OuvriersRetraités

Professions libérales

Sans profession

Cadres moyens

19

IV - LES DIAGRAMMES POLAIRES (ou en ETOILE) Exemple : on a relevé la température moyenne par mois durant une année.

Janvier 5,0°C Février 5,1°C Mars 9,0°C Avril 7,4°C Mai 14,7°C Juin 15,8°C Juillet 18,8°C Août 18,4°C Septembre 16,0°C Octobre 13,2°C Novembre 5,9°C Décembre 4,2°C

Pour représenter cette série chronologique on peut utiliser la représentation graphique suivante :

02468

101214161820Janvier

Février

Mars

Avril

Mai

Juin

Juillet

Août

Septembre

Octobre

Novembre

Décembre

Cette représentation graphique s’appelle un DIAGRAMME POLAIRE - On trace un axe par valeur de caractère (ici : le mois)

- L’angle entre 2 axes est constant (ici : 360° en 12 mois : 36012

= 30°)

- Sur chaque axe on choisit une même graduation.

20

Avec ce type de diagramme il est possible de représenter les données pendant plusieurs années. Il faut joindre la dernière valeur de Décembre avec la première valeur de Janvier de l’année suivante. Pour plus de clarté il est conseillé de changer de couleur en changeant d’année et d’indiquer la légende.

EXERCICE

Une entreprise a enregistré mensuellement son chiffre d’affaires (en milliers de francs) pendant 2 années consécutives.

MOIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Année 1 28 22 27 33 35 32 30 20 29 40 47 45 Année 2 31 30 33 33 38 35 32 25 35 42 50 50 Tracer le diagramme polaire correspondant à l’évolution mensuelle du chiffre d’affaires.

21

REPONSES

1) On trace un premier axe gradué en fonction des données ; ici le chiffre d’affaires mensuel.

Dans ce cas on prendra 3 cm pour 40 milliers de francs. 2) On fait de même pour les autres axes qui seront espacés de 30°

(36012

30°= °)

Tous les axes auront la même graduation.

3) Diagramme

05

10152025303540455055Janvier

Février

Mars

Avril

Mai

Juin

Juillet

Août

Septembre

Octobre

Novembre

Décembre

Année 1Année 2

Chiffres d’Affaires Année 1 et Année 2.

22

V - COURBES CUMULATIVES Les courbes cumulatives sont construites à partir des effectifs cumulés ou des fréquences cumulées.

Reprenons l’exemple des camemberts : (voir dossier I p 16)

Poids des camemberts (g) Effectifs cumulés croissants 260 270 280 290 300 310 320 330 340

0 1 2 6 9

17 29 36 40

Comme nous l’avons vu, ce tableau permet de répondre aux questions du style : combien de camemberts pèsent moins de 290 grammes ? La réponse est : 6 fromages. Par contre, si la question est : combien de camemberts pèsent moins de 285 grammes ? Le tableau ne suffit plus car la valeur 285 n'y est pas, il faut passer à la représentation graphique.

1) Courbes des Effectifs Cumulés Croissants (E.C.C.)

a) Construction d’un repère :

On place sur l’axe des abscisses les valeurs du caractère (ici poids des camemberts) et sur l’axe des ordonnées les Effectifs Cumulés Croissants.

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

260 270 280 290 300 310 320 330 340

b) Construction de la courbe :

Effectifs Cumulés Croissants

Poids en grammes

23

A l’aide du tableau on place les valeurs des effectifs cumulés sur le graphique. Ensuite on relie les points entre eux.

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

260 270 280 290 300 310 320 330 340

Cette représentation graphique s’appelle :

COURBE DES EFFECTIFS CUMULES CROISSANTS A partir de cette courbe, on peut répondre à la question qu'on s'était posée : combien de camemberts pèsent moins de 285 grammes ? Il suffit de chercher l'ordonnée (E.C.C.) correspondant à l'abscisse (poids) : 285 g. On trouve : 4 camemberts.

Effectifs cumulés

Poids (g)

285

24

2) Courbe des Effectifs Cumulés Décroissants (ECD)

A partir de l’exemple précédent nous obtenons le tableau suivant :(dossier 1 page 16)

Poids des camemberts (g) Effectifs Cumulés Décroissants260 270 280 290 300 310 320 330 340

40 39 38 34 31 23 11 4 0

a) Construction du repère :

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

260 270 280 290 300 310 320 330 340

Effectifs Cumulés Décroissants

Poids en gramme

25

b) Construction de la courbe des ECD :

A l’aide du tableau on place les valeurs des effectifs cumulés décroissants sur le graphique. Ensuite on relie les points entre eux.

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

260 270 280 290 300 310 320 330 340

Cette représentation graphique s’appelle :

COURBE DES EFFECTIFS CUMULES DECROISSANTS Elle permet de répondre à toutes les questions du type : combien de fromages pèsent au moins ... ? Remarque : Il est possible de tracer les courbes ECC et ECD dans le même repère.

Effectif Cumulés Décroissants

Poids en gramme

26

3) Courbe des fréquences

Comme pour les effectifs cumulés croissants ou décroissants, on peut construire les courbes des fréquences cumulées croissantes ou décroissantes. On portera toujours sur l’axe des abscisses les valeurs du caractère tandis que sur l’axe des ordonnées on portera soit :

- les Fréquences Cumulées Croissantes (FCC) - les Fréquences Cumulées Décroissantes (FCD)

Exemple : Mesure de la taille des élèves d’un lycée. 1) A partir du tableau ci-dessous tracer les courbes : FCC, FCD,

Tailles en cm Nombre d’élèves Fréquences

[158 ; 162[ [162 ; 166[ [166 ; 170[ [170 ; 174[ [174 ; 178[

25 50

200 175 50

0,05 0,10 0,40 0,35 0,10

Total 500 1,00

Tailles en cm ECC ECD FCC FCD

158 162 166 170 174 178

0 25 75

275 450 500

500 475 425 225 50 0

0,00 0,05 0,15 0,55 0,90 1,00

1,00 0,95 0,85 0,45 0,10 0,00

2) A partir des courbes répondez aux questions suivantes :

a) Quel est le pourcentage d’élèves dont la taille est inférieure à 166 cm ? b) Quel est le pourcentage d’élèves dont la taille est supérieure à 172 cm ?

27

REPONSE

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

158 162 166 170 174 178

Courbes des fréquences cumulées a) A partir de la courbe des FCC on lit directement sur l’axe des ordonnées la réponse à la question car on demande une valeur INFERIEURE à une taille. Dans ce cas il faut lire : 0,15 soit 15% des élèves ont une taille inférieure à 166 cm. b) Pour des valeurs SUPERIEURES, on lit à partir de la courbe des FCD sur l’axe des ordonnées la réponse à la question. Dans ce cas il faut lire : 0,27 soit 27%. Donc 27% des élèves ont une taille supérieure à 172 cm.

VI - Exemples d’autres représentations graphiques.

Fréquence

Tailles en cm

FCC

FCD

28

Diagramme en bandes Principe : on partage un rectangle en bandes dont les aires sont proportionnelles aux effectifs ou aux fréquences des valeurs du caractère. Exemple 1 : enquête : nombre d’enfants par famille.

En disposant côte à côte des diagrammes en bandes cela permet une comparaison rapide de deux séries statistiques. Exemple 2 : Représentation graphique de la répartition des charges de mécanisation.

Nom de l’agriculteur Capital Répartition Carburant Tiers

REPARTITION GROUPE

DURAN

DUPONT

MECA

TRACFORT

LEPETIT

LEMEILLEUR

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

FIN

0 enfant 6 enfants 4 enfants 3 enfants 2 enfants 1 enfant 5 enfants