Département de Physique Cours - FSG · 2020. 2. 24. · 8 CHAPITRE 1. COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE 1.1.2.2 Théorème de Green-Ostrogradski De la déﬁnition de la divergence,

Université de GabèsFaculté des Sciences de GabèsDépartement de Physique

CoursDeuxième année LFPh

ELECTROMAGNETSME IChapitre 1

Kamel KhirouniRaouia Jemai

Année universitaire 2015-2016

Table des matières

1 COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE 51.1 OPERATEURS DIFFERENTIELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.5 Formules d’analyse vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 CONSEQUENCES DES THEOREMES DE STOKES-AMPERE ET DE GREEN-OSTROGRADSKI 12

1.3 COORDONNEES CURVILIGNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 RAPPEL ET COMPLEMENT DE L’ELECTROSTATIQUE 172.1 RAPPEL DES EQUATIONS DE L’ ELECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 RELATION DE CONTINUITE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Discontinuité de la composante normale du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Continuité de la composante tangentielle du champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 ENERGIE ELECTROSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.1 Rappel : Energie électrostatique d’une charge placée dans un champ électrostatique . . . 20

2.3.2 Energie électrostatique propre d’une distribution de charges ponctuelles . . . . . . . . . . 20

2.3.3 Energie électrostatique propre d’une distribution continue de charges . . . . . . . . . . . 21

2.3.4 Localisation et densité d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.5 Energie potentielle d’interaction entre deux distributions continues de charges . . . . . . . 23

2.4 DISTRIBUTION MULTIPOLAIRE DE CHARGES ELECTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Potentiel électrostatique créé par une distribution multipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.1 Résultante des forces agissant sur la distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.2 Moment agissant sur une distribution dipolaire placée dans un champ électrostatique . . . 27

2.5.3 Energie d’interaction d’une distribution dipolaire avec un champ électrostatique . . . . . 28

2.5.4 Condition d’équilibre d’une distribution dipolaire dans un champ électrostatqiue . . . . . 28

3 COMPLEMENT DE LA MAGNETOSTATIQUE 293.1 COMPLEMENT D’ELECTROCINETIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Courant et densité volumique de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 Densité surfacique de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3

4 TABLE DES MATIÈRES

3.2 RAPPEL DES EQUATIONS DE LA MAGNETOSTATIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 NOTION DU POTENTIEL VECTEUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1 Définition et expression du potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.2 Application : Calcul du champ magnétique créé par un dipôle magnétique . . . . . . . . . 333.3.3 Equation locale donnant le potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 FORCE D’INTERACTION ENTRE DEUX CIRCUITS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 EQUATIONS DE CONTINUITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.1 Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . 373.5.2 Continuité de la composante normale du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Chapitre 1

COMPLEMENT D’ ANALYSEVECTORIELLE

1.1 OPERATEURS DIFFERENTIELS

1.1.1 Gradient

1.1.1.1 Définition

Soit un champ scalaire g(−−→OM). A un déplacement élémentaire d

−→M est associée une variation élémentaire dg de g

dg = g(−−→OM + d

−→M)−g(−−→OM)

Le gradient de g en M est le vecteur noté−−−→gradMg tel que

dg =−−−→gradMg ·d

−→M (1.1)

Le gradient d’un champ scalaire g indique l’importance de la variation spatiale de g.

Remarque : s’il n’y a pas d’ambiguité, le point M dans la notation−−−→gradM est souvent omis.

1.1.1.2 Propriétés

♠−−→grad g est orthogonal à la surface d’équation g = cte.

Dem : Pour tout déplacement élémentaire d−→M sur la surface Σ d’équation g = cte, la variation dg est nulle.

Par conséquent,−−→grad g est perpendiculaire à tout déplacement d

−→M tangent à la surface Σ. Il est donc

orthogonal à la surface Σ.

♠−−→grad g est dirigé vers les g croissants.

Dem :Soient deux surfaces Σ1 et Σ2 d’équation respectivement g = g1 et g = g2 telle que g2 > g1. Soit unvecteur d

−→M dirigé de Σ1 vers Σ2. On a

dg =−−→grad g ·d−→M > 0

et par suite−−→grad g est parallèle à d

−→M.

5

6 CHAPITRE 1. COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE

Si maintenant d−→M est dirigé de Σ2 vers Σ1. On a

dg =−−→grad g ·d−→M < 0

et par suite−−→grad g est antiparallèle à d

−→M.

−−→grad g est donc toujours dirigé vers les g croissants.

♠

∫ BA

−−→grad g ·d−→M =

∫ BA

dg

= g(B)−g(A) (1.2)

La circulation∫ B

A

−−→grad g ·d−→M est donc indépendante du chemin allant de A vers B.

♠ Il en résulte de la propriété précédente que le long d’un contour fermé (A = B)∮ −−→grad g ·d−→M = 0 (1.3)

♠ l’opérateur gradient peut être associé à plusieurs grandeurs physiques. On cite par exemple le :• gradient du potentiel électrique (induit le phénomène de champ électrique• gradient de concentration (induit le phénomène de diffusion de particules• gradient de température (induit le phénomène de diffusion thermique• gradient d’indice optique (induit le phénomène de déviation du rayon lumineux

♠ En coordonnées cartésiennes, dg = ∂g∂x

dx +∂g∂y

dy +∂g∂z

dz. Par conséquent, dans ce système de coordonnées, le

vecteur−−→grad g associé au champ scalaire g a pour composantes

−−→grad g

∂g∂x∂g∂y∂g∂z

(1.4)

♠ Dans le système de coordonnées cartésiennes, on définit un vecteur nabla noté−→∇ par

−→∇ =−→ex

∂∂x

+−→ey∂∂y

+−→ez∂∂z

il s’en suit que−−→grad g =

−→∇ g

♠ Soient deux points P et M de coordonnées respectivement (x′,y′,z′) et (x,y,z). Le rayon vecteur −→PM = −→r a

pour coordonnées

x− x′y− y′z− z′

. Son module estr =

√(x− x′)2 +(y− y′)2 +(z− z′)2

1.1. OPERATEURS DIFFERENTIELS 7

On obtient facilement

−−−→gradM

1r

=−−→rr3

=−−−−→gradP

1r

(1.5)

♠ Si −→A est un vecteur uniforme et −−→OM de coordonnées

xyz

alors−−→grad (

−→A ·−−→OM) =−→A (1.6)

♠ Si −→A est un champ vectoriel, l’opérateur gradient le long du vecteur −→A est noté (−→A ·−−→grad) et il est défini par

(−→A ·−−→grad) = Ax

∂∂x

+ Ay∂∂y

+ Az∂∂z

Lorsque cet opérateur est appliqué à un champ scalaire g, on a

(−→A ·−−→grad)g = Ax

∂g∂x

+ Ay∂g∂y

+ Az∂g∂z

(1.7)

Lorsque cet opérateur est appliqué à un champ vectoriel−→G , on a

−→A ·−−→grad)

−→G =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Ax∂Gx∂x

+ Ay∂Gx∂y

+ Az∂Gx∂z

Ax∂Gy∂x

+ Ay∂Gy∂y

+ Az∂Gy∂z

Ax∂Gz∂x

+ Ay∂Gz∂y

+ Az∂Gz∂z

(1.8)

1.1.2 Divergence

1.1.2.1 Définition

Soit un champ de vecteurs−→A (M). Le flux de

−→A à travers une surface fermée Σ délimitant un volume V est

Φ =©∫∫

Σ

−→A ·d−→S

La divergence de−→A notée div

−→A est définie par

div−→A = lim

V→′

©∫∫

Σ

−→A ·d−→S

V(1.9)

Un champ de vecteurs diverge en un point M si son flux à travers une surface élémentaire entourant ce point estnon nul.


1.1.2.2 Théorème de Green-Ostrogradski

De la définition de la divergence, on déduit que

dΦ =−→A ·d−→S = div−→A dτ

où d−→S est la surface fermée élémentaire délimitant le volume élémentaire dτ. En intégrant cette égalité, on obtient

le théorème de Green-Ostrogradski

Le flux sortant d’un champ vectoriel−→A à travers une surface fermée Σ dé-

limitant un volume V est égal à l’intégrale de sa divergence sur ce volumeV

©∫∫

Σ

−→A ·d−→S =

∫∫∫V

div−→A dτ (1.10)


♣ Un champ à divergence nulle a donc un flux nul à travers toute surface fermée : il est dit à flux conservatif.♣ En coordonnée cartésiennes, on a d’après la figure (1.1

−→A ·d−→S = (Ax(x + dx,y,z)−Ax(x,y,z))dydz

+(Ay(x,y + dy,z)−Ay(x,y,z))dxdz+(Az(x,y,z + dz)−Az(x,y,z))dxdy

=∂Ax∂x

dxdydz +∂Ay∂y

dxdydz +∂Az∂z

dxdydz

= div−→A dτ

D’où

div−→A =

∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

=−→∇ ·−→A (1.11)

♣ Soit le rayon vecteur −→r =−−→OM de coordonnées cartésiennes

xyz

. En utilisant la relation (11), on obtientdiv−→r = 3

1.1.3 Rotationnel

1.1.3.1 Définition

Soit un champ de vecteur−→A . La circulation de

−→A le long d’un contour Γ est

∫Γ

−→A ·d−→` . Soit (−→e1 ,−→e2 ,−→e3 ) la base à

laquelle est rapporté l’espace.


FIGURE 1.1 – Flux à travers la surface d’un parallélépipède élémentaire

Le rotationnel du vecteur−→A est noté −→rot−→A et a pour composantes

(−→rot−→A )i = lim

dSi→0

∫Γi−→A ·d−→`

dSi, i = 1,2,3 (1.12)

où dSi est un élément de surface orthogonal à −→ei et s’appuyant sur Γi.

Cette définition signifie que la projection sur la normale à une surface élémentaire du rotationnel d’un champvectoriel est égale à la circulation, par unité de surface, de ce champ le long du contour associé à la surface (figure1.2-a).

FIGURE 1.2 – Projection du rotationnel d’un vecteur et caractère tournant d’un vecteur à rotationnel non nul

Un champ de vecteur à rotationnel non nul en un point, effectue donc une rotation autour de ce point puisque sacirculation sur tout contour associé au point est non nulle. Ceci permet de comprendre l’origine de la dénomination" rotationnel" (figure 1.2-b).

1.1.3.2 Théorème de Stokes-Ampère


De la définition du rotationnel, on déduit que

dC =−→A ·d−→` =−→rot−→A ·d−→S

où d−→S est l’élément de surface se posant sur l’élément de contour d

−→` .

En intégrant cette expression, on obtient le théorème de Stokes-Ampère suivant :

La circulation d’un champ vectoriel−→A le long d’un contour fermé Γ est

égale au flux de son rotationnel à travers toute surface Σ s’appuyant surce contour

∮Γ

−→A (M) ·d−→M =

∫∫Σ

−→rot−→A (Q) ·d−→S (Q) (1.13)


♠ Un champ à rotationnel nul a une circulation nulle sur tout contour fermé : il est dit à circulation conservative♠ En coordonnées cartésiennes

(−→rot−→A )xdydz =

−→A ·d−→`

= Ay(x,y,z)dy + Az(x,y + dy,z)dz

−Ay(x,y,z + dz)dy−Az(x,y,z)dz

=∂Az∂y

dydz−∂Ay∂z

dydz

FIGURE 1.3 – circulation à travers des rectangles élémentaires

Donc

(−→rot−→A )x =

∂Az∂y−

∂Ay∂z

et par suite, par permutation circulaire, on obtient


−→rot−→A =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂Az∂y−

∂Ay∂z

∂Ax∂z− ∂Az

∂x∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

=

∣∣∣∣∣∣∣∣−→ex −→ey −→ez∂∂x

∂∂y

∂∂z

Ax Ay Az

∣∣∣∣∣∣∣∣=−→∇ ∧−→A (1.14)

1.1.4 Laplacien

Le laplacien d’un champ scalaire g est noté ∆g et il est défini par

∆g = div(−−→grad g)

Le laplacien d’un champ vectoriel−→A est noté ∆

−→A et il est défini par

∆−→A =

∣∣∣∣∣∣∆Ax∆Ay∆Az

En coordonnées cartésiennes, on établit facilement que le laplacien de g est

∆g =∂2g∂x2

+∂2g∂y2

+∂2g∂z2

1.1.5 Formules d’analyse vectorielle

♠ La dérivation étant une opération linéaire, il s’en suit que les opérateurs différentielles sont linéaires.Exemple : Si U et V sont des champs scalaires,

−→A et

−→B sont des champs vectoriels et λ et µ sont des

constantes −−→grad(λU + µV ) = λ

−−→grad U + µ

−−→grad V

∆(λ−→A + µ

−→B ) = λ∆

−→A + µ∆−→B

♠ En utilisant la loi de dérivation d’un produit (( f g)′ = f ′g + f g′), on démontre les relation suivantes−−→grad(UV ) = U

−−→grad V +V

−−→grad U

−−→grad(

−→A ·−→B ) =−→A ∧−→rot −→B +−→B ∧−→rot −→A +(−→A ·

−−→grad)

−→B +(

−→B ·−−→grad)

−→A

div(U−→A ) = Udiv

−→A +−→A ·−−→gradU

div(−→A ∧−→B ) =−→B ·−→rot −→A −−→A ·−→rot −→B−→rot(U−→A ) = U−→rot −→A −−→A ∧

−−→grad U

−→rot(−→A ∧−→B ) =−→A div−→B −−→B div−→A +(−→B ·−−→grad)

−→A − (−→A ·

−−→grad)

−→B


Exemple de démonstration :

div(U−→A ) =

∂(UAx)∂x

+∂(UAy)

∂y+

∂(UAz)∂z

=∂U∂x

Ax +U∂Ax∂x

+∂U∂y

Ay +U∂Ay∂y

+∂U∂z

Az +U∂Az∂z

=∂U∂x

Ax +∂U∂y

Ay +∂U∂z

Az +U(∂Ax∂x

+∂Ay∂y

+∂Az∂z

)

=−−→grad U ·−→A +Udiv−→A

♠ En utilisant les définitions, on démontre facilement que−→rot −→rot −→A =

−−→grad(div

−→A )−∆−→A

−→rot−−→gradU =

−→0

div −→rot −→A = 0

Exemple de démonstration :

div(−→rot −→A ) = ∂∂x

[(−→rot −→A )x]+

∂∂y

[(−→rot −→A )y]+

∂∂z

[(−→rot −→A )z]

=∂∂x

(∂Az∂y−

∂Ay∂z

)+∂∂y

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x)+

∂∂z

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y)

=∂2Az∂x∂y

−∂2Ay∂x∂z

+∂2Ax∂y∂z

− ∂2Az

∂y∂x+

∂2Ay∂z∂x

− ∂2Ax

∂z∂y= 0

(en tenant compte du théorème de Schwartz).

1.2 CONSEQUENCES DES THEOREMES DE STOKES-AMPERE ETDE GREEN-OSTROGRADSKI

? On peut déduire des théorèmes de Stokes-Ampère et de Green-Ostrogradski les formules suivantes

Formule de Kelvin ∮Γ

Ud−→` =−

∫∫S

−−→gradU ∧d−→S (1.15)

Formule du gradient ∫∫SUd−→S =

∫∫∫V

−−→gradUdτ (1.16)

Formule du rotationnel

©∫∫

S

−→A ∧d−→S =−

∫∫∫V

−→rot −→a u (1.17)

1.3. COORDONNEES CURVILIGNES 13

? Si−→E =−

−−→gradU , on dit que

−→E dérive d’un potentiel scalaire U . Ceci est équivalent à

la circulation∫ B

A

−→E ·d−→` ne dépend que du point A et B (1.18)

la circulation∮

C

−→E ·d−→` = 0 (1.19)

−→rot −→E =−→0 (1.20)

dU =−−→E ·d−→` est une différentielle totale exacte (1.21)

? Si−→B =−→rot −→A , on dit que −→B dérive d’un potentiel vecteur −→A . Ceci est équivalent à

∫∫S

−→B ·d−→S ne dépend que du contour Γ limitant la surface S (1.22)∫∫ −→B ·d−→S = 0 (1.23)

div−→B = 0 (1.24)

1.3 COORDONNEES CURVILIGNES

Dans un repère orthonormé (O,−→ex ,−→ey ,−→ez ), un point M est défini par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z).On peut toujours définir des fonctions u1(x,y,z), u2(x,y,z) et u3(x,y,z) de telle façon qu’on peut exprimerx,y et z en fonction de u1, u2 et u3.Les fonctions ui(x,y,z) définissent des surfaces Si dans l’espace. Le point M est l’intersection de ces troissurfaces.En fixant u2 et u3 et en faisant varier u1 de du1, le point M se déplace de d−→r sur la surface S1. On a

d−→r = ∂−→r

∂u1du1

= ‖d−→r ‖−→e1

où −→e1 est le vecteur tangent à S1 en M. En posant h1 =‖d−→r ‖

du1, on déduit que

−→e1 =

∂−→r∂u1h1

0 (1.25)

On définit de la même manière, les vecteurs −→e2 et −→e3 tangents respectivement à S2 et S3

−→e2 =

∂−→r∂u2h2

(1.26)

−→e3 =

∂−→r∂u3h3

(1.27)


Le vecteur d−→r dans le cas de variation simultanée de u1, u2 et u3 s’écrit

d−→r = ∂−→r

∂u1du1 +

∂−→r∂u2

du2 +∂−→r∂u3

du3

= h1−→e1 du1 + h2−→e2 du2 + h3−→e3 du3

On peut choisir convenablement u1, u2 et u3 pour que (−→e1 ,−→e2 ,−→e3 ) forment une base orthogonale. Dans cecas les coordonnées (u1,u2,u3) sont dites coordonnées curvilignes orthogonales ou coordonnées géné-ralisées.La base (−→e1 ,−→e2 ,−→e3 ) est une base locale, elle dépend du point M. Les coefficients h1, h2 et h3 sont desmultiplicateurs relatifs au choix de u1, u2 et u3. En calculant le module de ‖d−→r ‖2 (qui est indépendant duchoix de la base) en utilisant l’expression de −→r en fonction de (u1,u2,u3) et en la comparant à

‖d−→r ‖2 = (h1du1)2 +(h2du2)2 +(h3du3)2 (1.28)

on détermine les coefficients multiplicateurs.Les coordonnées cylindriques et sphériques sont des exemples de coordonnées curvilignes orthogonales.Déterminons, à titre d’exemple les coefficients multiplicateurs pour les coordonnées cylindriques :Les coordonnées cylindriques du point M sont (u1,u2,u3) = (ρ,ϕ,z) et le vecteur −→r est défini par

−→r = ρ−→eρ + z−→ez

On en déduit que

d−→r = dρ−→eρ + ρdϕ−→eϕ + dz−→ezd−→r 2 = (dρ)2 + ρ2(dϕ)2 +(dz)2 (1.29)

En comparant (28) à (29), on déduit que

h1 = 1,h2 = ρ et h3 = 1

De la même façon, on démontre que pour les coordonnées cartésiennes (h1,h2,h3) = (1,1,1) et que pourles coordonnées sphériques (h1,h2,h3) = (1,r,r sinθ).Les coordonnées curvilignes permettent de donner une expression générale des opérateurs différentiels. Parexemple, de

d−→r = h1du1−→e1 + h2du2−→e2 + h3du3−→e3

dg =∂g∂u1

du1 +∂g∂u2

du2 +∂g∂u3

du3

= d−→r ·−−→grad g

on déduit que

−−→gradg =

1h1

∂g∂u1−→e1 +

1h2

∂g∂u2−→e2 +

1h3

∂g∂u3−→e3 (1.30)

D’autre part, si−→A est un champ de vecteur de composantes (A1,A2,A3) dans (−→e1 ,−→e2 ,−→e3 ), on a

−→A (M) = A1−→e1 + A2−→e2 + A3−→e3

1.3. COORDONNEES CURVILIGNES 15

FIGURE 1.4 – Variation élémentaire des coordonnées généralisées

−→A ·d−→S = [(A1h2h3)(u1 + du1,u2,u3)− (A1h2h3)(u1,u2,u3)]du2du3

+[(A2h3h1)(u1,u2 + du2,u3)− (A2h3h1)(u1,u2,u3)]du3du1+[(A3h1h2)(u1,u2,u3 + du3)− (A3h1h2)(u1,u2,u3)]du1du2

=∂(h2h3A1)

∂u1du1du2du3 +

∂(h3h1A2)∂u2

du1du2du3

+∂(h1h2A3)

∂u1du1du2du3

Par ailleurs

−→A ·d−→S = divA dτ

= div A h1h2h3du1du2du3

on en déduit que

div−→A =

1h1h2h3

[∂

∂u1(h2h3A1)+

∂∂u2

(h3h1A2)+∂

∂u3(h1h2A3)

](1.31)

On admet sans démonstration que

−→rot −→A = 1h1h2h3

∣∣∣∣∣∣∣∣h1−→e1 h2−→e2 h3−→e3

∂∂u1

∂∂u2

∂∂u3

h1A1 h2A2 h3A3

∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.32)

Des expressions (30), (31) et (32) on déduit qu’en


coordonnées cylindriques : (ρ,ϕ,z)

−−→grad U =

∂U∂ρ−→eρ +

1ρ

∂U∂ϕ−→eϕ +

∂U∂z−→ez

∆U =1ρ

∂∂ρ

(ρ∂U∂ρ

)+1ρ2

∂2U∂ϕ2

+∂2U∂z2

div−→A =

1ρ

∂∂ρ

(ρAρ)+1ρ

∂Aϕ∂ϕ

+∂Az∂z

−→rot −→A = [ 1ρ

∂Az∂ϕ−

∂Aϕ∂z

]−→eρ +[∂Aρ∂z− ∂Az

∂ρ]−→eϕ +[

∂Aϕ∂ρ− 1

ρ∂Aρ∂ϕ

]−→ez

coordonnées sphériques :(r,θ,ϕ)

−−→grad U =

∂U∂r−→er +

1r

∂U∂θ−→eθ +

1r sinθ

∂U∂ϕ−→eϕ

∆U =1r2

∂∂r

(r2∂U∂r

)+1

r2 sinθ∂

∂θ(sinθ

∂U∂θ

)+1

r2 sinθ∂2U∂ϕ2

div−→A =

1r2

∂∂r

(r2Ar)+1

r sinθ∂

∂θ(sinθAθ)+

1r sinθ

∂Aϕ∂ϕ

−→rot −→A = 1r2 sinθ

[∂

∂θ(r sinθAϕ)−

∂(rAθ)∂ϕ

]−→er

+1

r sinθ[∂Ar∂ϕ− ∂

∂r(r sinθAϕ)]−→eθ +

1r

[∂∂r

(rAθ)−∂Ar∂θ

]−→eϕ

Chapitre 2

RAPPEL ET COMPLEMENT DEL’ELECTROSTATIQUE

2.1 RAPPEL DES EQUATIONS DE L’ ELECTROSTATIQUE

L’électrostatique qui s’intéresse à l’étude des effets des charges fixes est régi par des équations qui peuvents’écrire sous une forme locale

−→rot −→E =−→0 (2.1)

div−→E =

ρε 0

(équation de Gauss locale ) (2.2)

ou sous une forme intégrale∮C

−→E ·d−→` = 0 (2.3)

©∫∫

Σ

−→E ·d−→S = ∑qintérieure

ε0(théorème de Gauss) (2.4)

Au champ électrique−→E est associé la force électrique (qui coïncide avec la force de Lorentz puisque la

vitesse −→v des charges est nulle) −→F = q

−→E (2.5)

et le potentiel électrostatique défini par la relation−→E =−

−−→grad V (2.6)

Les expressions générales permettant un calcul direct du champ et potentiel électrostatique en un point Msont

−→E =

14πε0

∑i qi−−→PiM

‖−−→PiM‖3︸︷︷︸(A)

+∫

Γ

λd`−→PM‖−→PM‖3︸︷︷︸(B)

+∫∫

Σ

σdS−→PM‖−→PM‖3︸︷︷︸(C)

+∫∫∫

V

ρdτ−→PM‖−→PM‖3︸︷︷︸

(D)

(2.7)et

V =1

4πε0

∑i qi‖−−→PiM‖︸︷︷︸(A)

+∫

Γ

λd`‖−→PM‖︸︷︷︸(B)

+∫∫

Σ

σdS‖−→PM‖︸︷︷︸(C)

+∫∫∫

V

ρdτ‖−→PM‖︸︷︷︸

(D)

(2.8)

17

18 CHAPITRE 2. RAPPEL ET COMPLEMENT DE L’ELECTROSTATIQUE

où(A) est la contribution des charges ponctuelles qi aux points Pi.(B) est la contribution de la distribution linéique de charges de densité λ(P) sur la courbe Γ. d` est l’élémentde longueur de Γ entourant le point P.(C) est la contribution de la distribution surfacique de charges de densité σ(P) sur la surface Σ. dS estl’élément de surface de Σ entourant le point P.(D) est la contribution de la distribution volumique de charges de densité ρ(P) dans le volume V . dτ estl’élément de volume de V entourant le point P (Figure (2.1)).

FIGURE 2.1 – Differents types de distribution

Le potentiel électrique est défini à une constante additive près. S’il n’y a pas de charge à l’infini, ilest commode de choisir cette constante de telle façon que le potentiel soit nul loin des charges. Il esttoujours continu contrairement au champ électrostatique.

2.2 RELATION DE CONTINUITE DU CHAMP ELECTROSTA-TIQUE

Nous allons étudier le comportement du champ électrique à la traversée d’une surface Σ chargée avec unedensité σ et séparant l’espace en deux régions 1 et 2 .

2.2.1 Discontinuité de la composante normale du champ électrique

Calculons le flux dφ de−→E à travers la surface d’un cylindre élémentaire dont les bases sont de part et d’autrede Σ.Si dφlat est le flux à travers la surface latérale, le flux dφ s’écrit

dφ =−→E2(M2) ·d−→S2 +

−→E1(M1) ·d

−→S1 + dφlat

Pour un cylindre aplati, on peut négliger dφlat . Comme en plus d−→S2 = dS−→n12 et d

−→S1 =−dS−→n12, on obtient

2.2. RELATION DE CONTINUITE DU CHAMP ELECTROSTATIQUE 19

FIGURE 2.2 – Cylindre élémentaire à cheval entre deux milieux

dφ = (−→E2−−→E1) ·−→n12dS

=σε0

dS

d’où l’équation donnant la discontinuité des composantes normales de−→E

−→n12 · (−→E2−

−→E1) =

σε0

(2.9)

2.2.2 Continuité de la composante tangentielle du champ électrique

Calculons la circulation dC du champ électrique −→E le long du contour fermé IJKL de la figure 2-3.dC = −→E1 ·

−→JI +

−→E2 ·−→LK + dClat = 0 Si M1 est voisin de M2, le contour est aplati et on peut négliger la

circulation dClat sur les segments latéraux. On obtient alors que (−→E2−

−→E1) ·−→LK = 0.

FIGURE 2.3 – Rectangle élémentaire à cheval entre deux milieux

Comme−→LK = ‖−→LK‖−→T où −→T est le vecteur tangentielle à Σ, on en déduit que la composante tangentielle

du champ électrique est continue à la traversée de la surface Σ

E1T = E2T

Ce résultat peut aussi être exprimé sous la forme

−→n12∧ (−→E2−

−→E1) =

−→0 (2.10)


2.3 ENERGIE ELECTROSTATIQUE

2.3.1 Rappel : Energie électrostatique d’une charge placée dans un champ électrosta-tique

L’énergie potentielle électrostatique d’une charge q1 placée en M1 dans un champ extérieur est l’énergiequ’on pourrait récupérer en éloignant la charge de sa position jusqu’à l’infini où le potentiel est nul.C’est aussi le travail minimum fourni pour amener la charge q de l’infini au point M.Si V (M1) est le potentiel électrostatique au point M dont dérive le champ électrostatique, on a

W = q1V (M1) (2.11)

Si V (M1) est créé par une charge q2 en M2 ; on a

V (M1) = V21

=q2

4πε0‖−−−→M2M1‖

W =1

4πε0q1q2‖−−−→M2M1‖

W est aussi le produit de la charge q2 par le potentiel V12 créé par q1 en M2. L’énergie électrostatique d’unedistribution de deux charges est donc

W = q1V21= q2V12

=12

(q1V21 + q2V12) (2.12)

2.3.2 Energie électrostatique propre d’une distribution de charges ponctuelles

Soit une distribution de n charges ponctuelles qi placées en Mi. On peut calculer l’énergie potentielle decette distribution en additionnant les énergies des charges deux à deux.

FIGURE 2.4 – distribution de charges ponctuelles

L’énergie de la charge qi placée en Mi et de la charge q j placée en M j est

Wi j = q jVi j

=1

4πε0q jqi‖−−−→MiM j‖

2.3. ENERGIE ELECTROSTATIQUE 21

L’énergie totale de la distribution est

W = W12 +W13 + . . .+W1n +W23 . . .+W2n +W34 . . .

=n

∑i=1

n

∑j>i

Wi j

=n

∑i=1

n

∑j>i

14πε0

q jqi‖−−−→MiM j‖

La deuxième sommation se fait pour j > i pour ne pas compter deux fois le même terme.Cette quantité se transforme en

W =12

n

∑i=1

n

∑j 6=i

14πε0

q jqi‖−−−→MiM j‖

où on a compté chaque terme deux fois et on a pris la moitié de la somme.

Orn

∑j 6=i

14πε0

q j‖−−−→MiM j‖

est le potentiel créé par toutes les charges sauf qi au point Mi. C’est le potentiel

V (Mi) = Vi. Par suite

W =12 ∑i

qiVi (2.13)

2.3.3 Energie électrostatique propre d’une distribution continue de charges

Si on a un système où il y a continuité de la distribution de charges, l’expression (45) reste valable enconsidérant des éléments de charges dq(M) et en remplaçant la sommation discrète par une intégration surle domaine chargé D

W =12

∫D

dq(M)V (M) (2.14)

Il vient pour une distribution :

♣ linéique dq = λd` =⇒W = 12

∫Γ

λ(M)V (M)d`

♣ surfacique dq = σdS =⇒W = 12

∫∫Σ

σ(M)V (M)dS

♣ volumique dq = ρdτ =⇒W = 12

∫∫∫V

ρ(M)V (M)dτ

2.3.4 Localisation et densité d’énergie

On considère un volume V chargé avec une densité ρ. L’énergie électrostatique de cette distribution est

W =12

∫∫∫V

ρ(M)V (M)dτ

=12

∫∫∫Ω

ρ(M)V (M)dτ


où Ω est la sphère de rayon infini de surface Σ entourant V . En changeant le domaine d’intégration on nemodifie pas W car ρ(M) est nulle à l’extérieur de V .

Or d’après la forme locale du théorème de Gauss div−→E (M) =

ρε0

; donc

W =12

∫∫∫Ω

ε0 div−→E (M)V (M)dτ

Comme

div(V−→E ) = V div

−→E +−→E ·−−→grad V

= V div−→E −‖−→E ‖2

on a

W =12

∫∫∫Ω

ε0 div(V−→E )dτ +

12

∫∫∫Ω

ε0E2dτ

=ε02

∫∫Σ

V (M)−→E ·d−→S + 1

2

∫∫∫Ω

ε0E2dτ

Pour une sphère de rayon R, V varie en1R

, E varie en1

R2et dS varie en R2. Par conséquent V

−→E ·d−→S varie

en1R

. Il en résulte que la première intégrale de W ci-dessus tend vers 0 lorsque le rayon R tend vers l’infini.On obtient alors

W =12

ε0∫∫∫

espaceE2dτ (2.15)

et on déduit que l’énergie électrostatique propre W est toujours positive.Appliquons la formule (2.15) pour calculer l’énergie électrostatique propre d’une sphère de rayon R0, decentre O et portant une charge Q uniformément répartie sur sa surface. Il est facile de montrer que le champélectrostatique créé par cette distribution est

−→E =

−→0 si r < R0

Q4πε0r2

−→ur si r > R0

Il en résulte que

W =∫∫∫

espace

12

ε0E2dτ

=∫ +∞

R0

12

ε0(

Q4πε0r2

)24πr2dr

=Q2

8πε0R0Si on comprime la sphère pour amener son rayon de R0 à R0 + dR0 (dR0 < 0) tout en conservant sa charge,l’énergie électrostatique varie de la quantité

dW = d(

Q2

8πε0R0

)=− Q

2

8πε0R20dR0

2.3. ENERGIE ELECTROSTATIQUE 23

Par ailleurs cette contraction n’a modifié le champ électrostatique que dans la région comprise entre lessphères de rayons R0− |dR0| et R0, où il est passé d’une valeur nulle à une valeur non nulle voisine de

Q4πε0R20

. La variation de l’énergie est donc

dW =ε0E2

2dτ

=ε02

(Q

4πε0R20

)2(−4πR20dR0)

=− Q2

8πε0R20dR0

La variation de l’énergie est donc liée à la variation du champ. On dit que l’énergie est localisée dans lesrégions de l’espace où existe un champ électrique non nul.En particulier dans les régimes variables, il existe des situations où les sources du champ électrique dispa-raissent mais il subsiste toujours un champ dans l’espace. Il en résulte de (47) et de la remarque ci-dessus,que l’énergie électromagnétique est non nulle, alors que l’expression (46) prévoit le contraire. L’expression(47) se généralise donc plus facilement aux régimes variables.

On appelle densité d’énergie, la quantité

u =dWdτ

D’après l’expression (47) on déduit que

u =ε0E2

2(2.16)

L’équation aux dimensions de u est

[u] =ML2T−2

L3(2.17)

=MLT−2

L2(2.18)

=[Force]

[Sur f ace](2.19)

Donc u a la dimension d’une pression. On l’appelle aussi pression électrostatique.

2.3.5 Energie potentielle d’interaction entre deux distributions continues de charges

Soient deux distributions 1 et 2 continues s’étalant sur les volumes V1 et V2 (figure 2.5).L’énergie potentielle de cette distribution est

W =12

∫∫∫V∞

dq1(M)(V1(M)+V2(M))+12

∫∫∫V∈

dq2(M)(V1(M)+V2(M))

où V1(M) est le potentiel électrostatique créé par la distribution 1 en M et V2(M) est le potentiel électro-statique créé par la distribution 2 en M.

W =12

∫∫∫V∞

dq1(M)V1(M)+12

∫∫∫V∞

dq1(M)V2(M)

+12

∫∫∫V∈

dq2(M)V1(M)+12

∫∫∫V∈

dq2(M)V2(M))


FIGURE 2.5 – Deux distributions en interaction

W1 =12

∫∫∫V∞

dq1(M)V1(M) est l’énergie propre de 1 si elle est était seule dans l’espace.

W2 =12

∫∫∫V∈

dq2(M)V2(M) est l’énergie propre de 2 si elle est était seule dans l’espace.

W12 =12

[∫∫∫V∞

dq1(M)V2(M)+∫∫∫

V∈dq2(M)V1(M)

]est l’énergie d’interaction (ou l’énergie mutuelle)

des distributions 1 et 2 .En réunissant, donc, deux distributions de charges, l’énergie totale n’est pas la somme des énergies propres.Il s’y ajoute le terme d’énergie mutuelle.En remplaçant V2(M) et V1(M) par leur expressions

V2(M) =∫∫∫

V∈

dq24πε0‖

−−→OM‖

et V1(M) =∫∫∫

V∞

dq14πε0‖

−−→OM‖

on démontre que les deux termes de W12 sont égaux. Il vient alors

W12 =12

[∫∫∫V∞

dq1(M)V2(M)+∫∫∫

V∈dq2(M)V1(M)

]=

∫∫∫V∞

dq1(M)V2(M)

=∫∫∫

V∈dq2(M)V1(M) (2.20)

Par ailleurs, si−→E1 et

−→E2 sont les champs créés par 1 et 2 ; on a

W =12

ε0∫∫∫

espace(−→E1 +

−→E2)2dτ

=12

ε0∫∫∫

espace

−→E12dτ +

12

ε0∫∫∫

espace

−→E22dτ + ε0

∫∫∫espace

−→E1 ·−→E2dτ

On déduit que

W12 = ε0∫∫∫

espace

−→E1 ·−→E2dτ (2.21)

2.4 DISTRIBUTION MULTIPOLAIRE DE CHARGES ELECTRIQUES

2.5. POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE CRÉÉ PAR UNE DISTRIBUTION MULTIPOLAIRE 25

2.5 Potentiel électrostatique créé par une distribution multipolaire

Soit un ensemble de charges qi placées en Ai. On se propose de calculer le potentiel électrostatique créé enun point M assez éloigné de l’ensemble des charges.

FIGURE 2.6 – Distribution multipolaire créant un champ électrostatique en un point éloigné di

Pour cela on pose

−−→OM =−→r−→OAi =−→ai−−→AiM =−→ri

θi =̂

(−→OAi ,

−−→OM)

On aV (M) = ∑

i

14πε0

qiri

(2.22)

D’après la figure (2.6), on a

r2i = r2 + a2i −2rai cosθi

1ri

=1r

(1 +

a2ir2− 2ai

rcosθi

)− 12En faisant un développement limité en

air

(qui est très inférieur à 1) et en se limitant au second ordre, onobtient

1ri

=1r

(1 +

air

cosθi−12

a2ir2

+38

4ai2 cos2 θir2

)=

1r

(1 +

air

cosθi +(3cos2 θi−1)a2i

2r2

)En portant cette expression dans (2.22), on obtient que

V (M) =1

4πε0 ∑iqir

+1

4πε0 ∑iqiai cosθi

r2+

14πε0 ∑i

(3cos2 θi−1)a2i qi2r3

(2.23)


V (M) s’écrit donc en une série de termes en (1r

)i, de plus en plus petit à mesure que l’exposant augmente.

Examinons à présent le comportement de quelques distributions particulières :♠ Premier cas ∑

iqi 6= 0

Ce cas se présente lorsque la distribution n’est pas électriquement neutre. Dans ce cas on peut se limiter aupremier terme de (52) :

V (M) =1

4πε0 ∑iqir

(2.24)

L’ensemble des charges est équivalent à une seule charge q = ∑i

qi placée en O. On dit qu’on a une distri-

bution unipolaire. C’est le cas de tout les ions polyatomiques.♠ Deuxième cas ∑

iqi = 0 et ∑

iaiqi cosθi 6= 0

C’est le cas d’une distribution neutre globalement, mais qui n’est pas symétrique par rapport à l’origine.Dans ce cas le premier terme de (52) est nul et on peut se limiter au deuxième terme :

V (M) =1

4πε0 ∑iaiqi cosθi

r2

=1

4πε0 ∑i

−→ai qi ·−→r‖−→r ‖

r2

En posant−→p = ∑

iqi−→ai (2.25)

on obtient

V (M) =1

4πε0

−→p ·−→ur2

(2.26)

C’est l’expression du potentiel électrostatique créé par un dipôle électrique de moment dipolaire−→p et placéen O. La distribution est dite distribution dipolaire de moment −→p .Montrons que le moment −→p est indépendant de l’origine O choisie

−→p = ∑i

qi−→OAi

= ∑i

qi(−−→OO1 +

−−→O1Ai)

=−−→OO1 ∑

iqi︸︷︷︸

=0

+∑i

qi−−→O1Ai

= ∑i

qi−−→O1Ai

Donc∀O, −→p = ∑

iqi−→OAi

♠ Troisième cas ∑i

qi = 0 et ∑i

aiqi cosθi = 0

Les deux premiers termes de (2.23) sont nuls et on a

2.5. POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE CRÉÉ PAR UNE DISTRIBUTION MULTIPOLAIRE 27

V (M) =1

4πε0 ∑iqiai2(3cos2 θi−1)

r3

La distribution est dite quadripolaire.

2.5.1 Résultante des forces agissant sur la distribution

Dans la suite, on considère une distribution dipolaire de charges formée par des charges qi placées endes points Ai situés au voisinage de O et soumise à un champ éléctrostatique

−→E .

La résultante des forces agissant sur la distribution est

−→R = ∑

iqi−→E (Ai)

Le champ−→E (Ai) varie très peu entre les points O et Ai. En première approximation, on peut écrire

−→E (Ai) =

−→E (O)+

∂−→E∂x

(O)xi +∂−→E∂y

(O)yi +∂−→E∂z

(O)zi + . . .

et par suite

−→R = ∑

iqi−→E (O)︸︷︷︸

=0

+∑i

qi∂−→E∂x

(O)xi +∑i

qi∂−→E∂y

(O)yi +∑i

qi∂−→E∂z

(O)zi

=∂−→E∂x

(O)∑i

qixi︸︷︷︸px

+∂−→E∂y

(O)∑i

qiyi︸︷︷︸py

+∂−→E∂z

(O)∑i

qizi︸︷︷︸pz

En particulier la composante de−→R suivant Ox est

Rx =∂Ex∂x

px +∂Ex∂y

py +∂Ex∂z

pz

= (−→p ·−−→grad)x

−→E

Les autres composantes s’obtiennent de la même façon, et on conclut que

−→R = (−→p ·

−−→grad)

−→E (2.27)

Cette résultante de force est généralement faible. Elle est nulle lorsque le champ−→E est uniforme. L’action

du champ est essentiellement un couple de forces qui a tendance à orienter la distribution dipolaire.

2.5.2 Moment agissant sur une distribution dipolaire placée dans un champ élec-trostatique


On a−→Γ = ∑

i

−→OAi∧qi

−→E (Ai)

= ∑i

−→OAi∧qi

[−→E (O)+

∂−→E∂x

(O)xi +∂−→E∂y

(O)yi +∂−→E∂z

(O)zi + . . .

]

=

(∑

iqi−→OAi

)∧−→E (O)+des termes de second ordre en x2i

'−→p ∧−→E (O)

−→Γ =−→p ∧−→E (2.28)

2.5.3 Energie d’interaction d’une distribution dipolaire avec un champ électrosta-tique

L’énergie d’interaction de la distribution dipolaire avec le champ électrostatique est

W = ∑i

qiV (Ai)

= ∑i

qi(V (O)+ dVi)

= ∑i

qi(V (O)+−−→gradV ·−→OAi)

= V (O)∑i

qi︸︷︷︸=0

+−−→gradV ·∑

iqi−→OAi

=−−→p ·−→E

W =−−→p ·−→E (2.29)

En considérant un dipôle rigide (dont le module ‖−→p ‖ est constant) et en différentiant (59), on obtient

dW =−−→p ·d−→E −d−→p ·−→E

Le premier terme ne peut provenir que d’une translation du dipôle (subissant ainsi une variation de−→E ) et le

deuxième terme ne peut provenir que d’une rotation du dipôle (−→p ne peut que tourner). On retrouve ainsiles deux actions d’un champ électrostatique sur le dipôle : une force provoquant une translation et un coupleprovoquant une rotation.

2.5.4 Condition d’équilibre d’une distribution dipolaire dans un champ électro-statqiue

La distribution est en équilibre si−→R =

−→0 et

−→Γ =

−→0 . Ceci a lieu lorsque le champ

−→E est quasi-uniforme

et si −→p est parallèle ou anti-parallèle à −→E . D’après (2.29), on déduit que la position d’équilibre stable estlorsque −→p est parallèle à −→E .Le champ électrostatique a tendance à aligner le moment dipolaire de la distribution sur lui même.

Chapitre 3

COMPLEMENT DE LAMAGNETOSTATIQUE

3.1 COMPLEMENT D’ELECTROCINETIQUE

3.1.1 Courant et densité volumique de courant

On peut définir le courant électrique en utilisant la théorie des conducteurs. En effet, considérons deuxconducteurs A et B portant des charges QA et QB et de potentiels VA et VB tel que VA est supérieur à VB.Relions ces deux conducteurs par un fil conducteur (filiforme pour négliger la charge qu’il porte). Alors il yaura écoulement de charges jusqu’à ce que les potentiels s’égalisent à une valeur commune V . L’écoulementdes charges dans le fil dépend de son matériau. Donc le temps mis pour établir le nouvel état d’équilibredépend du conducteur.

FIGURE 3.1 – Deux conducteurs reliés par un fil conducteur

Soit dq la quantité de charge écoulée au cours du temps dt. L’intensité de courant est

I =dqdt

(3.1)

Cette intensité de courant est reliée à la densité volumique de courant−→J par la relation

I =∫∫

Σ

−→J ·d−→S (3.2)

29

30 CHAPITRE 3. COMPLEMENT DE LA MAGNETOSTATIQUE

avec −→J = ρ−→v (3.3)

où ρ et −→v sont respectivement la densité volumique et la vitesse des charges.

FIGURE 3.2 – Ecoulement de charges électriques à travers une surface

3.1.2 Densité surfacique de courant

Considérons le conducteur de la figure (3.3-a) traversé par une densité de courant−→J . Un élément de volume

construit sur d−→S et −→v dt contient la charge

d2q = ρ−→v dt ·d−→S

FIGURE 3.3 – Passage de la densité de courant volumique à la densité de courant surfacique

Si l’épaisseur e du conducteur est très faible, la distribution volumique de charge de densité ρ tend vers unedistribution surfacique de densité σ, l’élément de surface d

−→S = dS−→n tend vers le vecteur d`−→n ; l’élément

de charge d2q devient stocké dans la surface construite sur −→v dt et d`−→n (figure 3.3-b).

d2q = σ−→v dt ·d`−→n

Le courant élémentaire est

dI =d2qdt

= σ−→v ·d`−→n

3.2. RAPPEL DES EQUATIONS DE LA MAGNETOSTATIQUE 31

apparaît comme étant la quantité de charges qui traverse d` pendant dt. On définit le vecteur densité surfa-cique de courant

−→ks par

−→ks = σ−→v (3.4)

et on a

I =∫

Γ

−→ks ·−→n d` (3.5)

où −→n est la normale à d` dans le plan formé par d` et−→ks .

3.2 RAPPEL DES EQUATIONS DE LA MAGNETOSTATIQUE

La magnétostatique concerne l’étude des interactions magnétiques en régime permanent, c’est-à-dire lorsqueles circuits sont parcourus par des courants permanents et que ces courant n’entraînent aucune accumulationde charges.Elle est complètement décrite par l’équation

div−→B = 0⇐⇒

∫∫S

−→B ·d−→S = 0 (3.6)

qui exprime l’inexistence des charges magnétiques ou le fait que le champ−→B est à flux conservatif et par

l’équation

rotB = µ0−→J ⇐⇒

∮Γ

−→B ·d−→` = µ0Iint (3.7)

qui exprime le théorème d’Ampère sous sa forme locale ou intégrale.L’effet du champ magnétostatique sur une particule de charge q de vitesse −→v se traduit par l’action d’uneforce magnétique

−→F = q−→v ∧−→B (3.8)

Le champ magnétostatique obéit au principe de superposition. La loi de Biot et Savart permet de calculer lechamp créé par un ensemble de circuits en additionnant les champs élémentaires créé par des éléments decourant Id

−→` :

−→B =

µ04π

∫Γ

Id−→` ∧−→PM‖−→PM‖3

(3.9)

Pour des courants répartis en volume avec une densité volumique de courant−→J ou en surface avec une

densité de courant surfacique−→ks , on a l’égalité suivante

Id−→` =−→J dτ =

−→ks dS (3.10)

Par suite, les champs créés par ces distributions sont respectivement


FIGURE 3.4 – Circuit filiforme créant un champ magnétostatique

FIGURE 3.5 – Différente distributions de courant créant un champ magnétostatique

−→B =

µ04π

∫∫∫V

−→J dτ∧−→PM‖−→PM‖3

et−→B =

µ04π

∫∫Σ

−→ks dS∧

−→PM

‖−→PM‖3(3.11)

3.3 NOTION DU POTENTIEL VECTEUR

3.3.1 Définition et expression du potentiel vecteur

Comme div−→B = 0 et div −→rot −→A = 0 ; il existe mathmatiquement un vecteur −→A tel que

−→B =−→rot −→A (3.12)

−→A est appel potentiel vecteur. C’est un outil mathmatique sans signification physique.Son intrt rside dans le fait que dans certains problmes, il est plus facile de calculer−→A que

−→B . D’aprs sa dfinition, le potentiel vecteur n’est pas unique. Il est dfini un

gradient prs. En effet, si−→A est une solution,

−→A′ =

−→A +−−→grad f est aussi une solution.

On impose−→A d’obir une deuxime quation qu’on appelle condition de jauge. En

rgime permanent on impose−→A de satisfaire

div−→A = 0 (3.13)

3.3. NOTION DU POTENTIEL VECTEUR 33

Pour calculer l’expression de−→A , utilisons l’quation (85) et le fait que

−−−→gradM

1r

=−−→rr3

avec −→r =−→PM. Il vient

−→B =

µ04π

∫∫∫V

−−−→gradM

1r∧−→J (P)dτ

Or−→rot( f−→A ) = f−→rot −→A +

−−→grad f ∧−→A

donc

−−−→gradM

1r∧−→J (P) =−−→rotM(

−→J (P)

r)− 1

r−−→rotM−→J (P)︸︷︷︸

=−→0

Il en rsulte que

−→B =

µ04π

∫∫∫V

−−→rotM

(−→J (P)

r

)dτ

=µ04π−−→rotM

(∫∫∫V

−→J (P)

rdτ

)

et par suite

−→A =

µ04π

∫∫∫V

−→J (P)

rdτ (3.14)

En utilisant (84 ?) on obtient pour une distribution filiforme et pour une distri-bution surfacique de courant

−→A =

µ04π

∫Γ

Id−→`

ret

−→A =

µ04π

∫∫Σ

−→ks (P)

rdS (3.15)

3.3.2 Application : Calcul du champ magnétique créé par un dipôle magnétique

Utilisons la notion du potentiel vecteur pour calculer le champ magntique cr parun diple magntique form par une boucle circulaire centre l’origine du plan (xOy),de rayon a et parcourue par un courant d’intensit I. Calculons le potentiel vecteuren un point P du plan zOx trs loign de la boucle. En coordonnes sphriques, le plan(xOz) a pour quation ϕ = 0. Le point P a pour coordonnes (r,θ,0). Par ailleurs, on a

d−→A =

µ0I4π

d−→` (M)

‖−→MP‖


FIGURE 3.6 – Boucle circulaire de courant créant un potentiel vecteur en un point

En reprant le point M dans le plan (xOy) par ses coordonnes polaire (a,α), il vientd−→` = adα−→uα = adα(−sinα−→ex + cosα−→ey ).

En plus on a

−→MP =

−−→MO +

−→OP

=−a(cosα−→ex + sinα−→ey )+ r(sinθ−→ex + cosθ−→ez )= (r sinθ−acosα)−→ex −asinα−→ey + r cosθ−→ez

‖−→MP‖2 = r2(1− 2ar

cosθsinα +a2

r2)

1

‖−→MP‖=

1r

(1− 2a

rsinθcosα +

a2

r2

)− 12Comme

ar� 1, on peut faire un dveloppement limit de l’expression ci-dessus. En

se limitant au terme du premier ordre, on obtient

1

‖−→MP‖' 1

r(1 +

ar

sinθcosα)

Donc

−→A =

µ0I4π

ar

[∫ 2π0

(1 +ar

sinθcosα)(−sinα)dα−→ex

+∫ 2π

0(1 +

ar

sinθcosα)(cosα)dα−→ey]

=µ0I4π

a2

r2sinθ−→ey

∫ 2π0

cos2 αdα

=µ0I4π

πa2

r2sinθ−→ey

Pour exprimer le potentiel vecteur en coordonnes sphriques, il suffit de remarquerque pour le point P, −→ey concide avec −→eϕ. Il vient alors que

−→A =

µ0I4π

πa2

r2sinθ−→eϕ

3.3. NOTION DU POTENTIEL VECTEUR 35

En utilisant l’expression du rotationnel en coordonnes sphriques, on dduit lechamp magntique :

−→B =−→rot −→A

=1

r2 sinθ

∣∣∣∣∣∣∣∣−→er −→eθ −→eϕ∂∂r

∂∂θ

∂∂ϕ

0 0 r sinθAϕ

∣∣∣∣∣∣∣∣=

µ04π

(Iπa2)2cosθ

r2µ04π

(Iπa2)sinθr2

0

L’expression de ce champ magntique est analogue celle du champ lectrique cr parun diple lectrique.

On rappelle que le moment magntique de la boucle est

−→M = Iπa2−→ez = I

−→S

o−→S est la surface de la boucle.

Il est facile de voir que le potentiel vecteur peut se mettre sous la forme

−→A =

µ04π

−→M ∧−→r

r3(3.16)

Enfin remarquons que dans le cas d’une boucle quelconque

−→M =

∫∫S

Id−→S (3.17)

3.3.3 Equation locale donnant le potentiel vecteur

Comme −→rot −→B = µ0−→J et

−→B =−→rot −→A , on en dduit que

−→rot(−→rot −→A ) =−−→grad div

−→A −∆−→A

= µ0−→J

En adoptant la condition de jauge div−→A = 0, on obtient

∆−→A =−µ0

−→J (3.18)

Cette quation est analogue l’quation de Poisson reliant le potentiel lectrique etle densit volumique de charge. Elle se rsout avec la mme procdure mathmatiqueet permet de calculer

−→A puis

−→B .


3.4 FORCE D’INTERACTION ENTRE DEUX CIRCUITS

On sait qu’un lment de longueur d−→` parcouru par un courant d’intensit I et plac

dans un champ magntique−→B est soumis la force de Laplace

d−→f = Id

−→` ∧−→B

Considrons maintenant deux circuits C∞ et C∈ parcourus par des courants lectriquesd’intensit I1 et I2. Ces deux circuits crent des champs magntiques et il en rsulte

des forces d’interaction. Soient−→B12 =

µ0I14π

∫C∞

d−→`1 ∧−→r12

r312le champ cr par C∞ et

−→B21 =

µ0I24π

∫C∈

d−→`2 ∧−→r21

r321le champ cr par C∈. La force qui s’exerce sur un lment de longueur

d−→`1 de C∞ est

d−→F21 = I1d

−→`1 ∧−→B21

FIGURE 3.7 – Deux circuite filiformes en interaction

De mme, la force qui s’exerce sur un lment de longueur d−→`2 de C∈ est

d−→F12 = I2d

−→`2 ∧−→B12

Il en rsulte que

d−→F12 = I2d

−→`2 ∧

µ0I14π

∫C∞

d−→`1 ∧−→r12

r312

Comme d−→`2 ∧ (d

−→`1 ∧−→r12) = (d

−→`2 ·−→r12)d

−→`1 − (d

−→`1 ·d−→`2 )−→r12, on dduit que d

−→F12 est dans le plan

(−→r12,d−→`1 ). De mme, on dmontre que d

−→F21 est dans le plan (−→r12,d

−→`2 ). Le principe de

l’action et de la raction n’est pas donc respect par les lments de force.

Calculons la force totale−→F12

−→F12 =

µ0I1I24π

∫C∈

∫C∞

1r312

[(d−→`2 ·−→r12)d

−→`1 − (d

−→`1 ·d

−→`2 )−→r12]

Or

3.5. EQUATIONS DE CONTINUITE 37

∫C∈

∫C∞

(d−→`2 ·−→r12)

d−→`1

r312=

∫C∞

d−→`1

∫C∈

d−→`2 ·d−→r12

r312

=∫

C∞d−→`1

∫C∈

(−d−→`2 ) ·−−→grad

1r12

=∫

C∞d−→`1

∫C∈−d( 1

r12)

= 0

Par suite,

−→F12 =

−µ0I1I24π

∫C∈

∫C∞

(d−→`1 ·d

−→`2 )−→r12

r312(3.19)

De mme ;

−→F21 =

−µ0I1I24π

∫C∈

∫C∞

(d−→`1 ·d

−→`2 )−→r21

r321(3.20)

Comme −→r12 =−−→r21, on a bien−→F21 =−

−→F12.

Remarque : La force d’interaction est l’origine de la dfinition de l’ampre :un ampère est l’intensité du courant qui, maintenu dans deux conducteurs parallèles de longueur infinie,de section négligeable, et placés à une distance de 1 mètre l’un de l’autre dans le vide, produirait entre cesdeux conducteurs une force égale à 2×10−7 newton par mètre de longueur.

FIGURE 3.8 – Montage permettant de définir l’ampère

Cette définition équivaut à choisir la valeur numérique 4π×10−7NA−2 de la perméabilité magnétique duvide µ0.

Historiquement, la mesure de la force magnétique d’interaction a permis de définir l’ampère. Ensuite on adéfini le coulomb comme étant 1As puis le volt, l’ohm,...

3.5 EQUATIONS DE CONTINUITE

Soit−→ks une densit superficielle de courant sur la surface Σ sparant une rgion 1 d’une rgion 2 .

3.5.1 Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique


Calculons la circulation du vecteur champ magntique le long du contour ferm ACDEA applati dela figure 4-9.

dC =−→B2 ·−→DE +

−→B1 ·−→AC + dClat

'−→B2 ·−→DE +

−→B1 ·−→AC

= (−→B2−

−→B1) ·−→DE

= µ0(−→ks ·−→n0)‖

−→DE‖

FIGURE 3.9 – Contour à cheval entre deux milieux pour calculer la circulation du champ magnétostatique

Or −→n0‖−→DE‖=−→n12∧

−→DE. Il en rsulte que

(−→B2−

−→B1) ·−→DE = µ0

−→ks · (−→n12∧

−→DE)

= µ0(−→ks ∧−→n12) ·

−→DE

−→B2−

−→B1 = µ0(

−→ks ∧−→n12)

−→n12∧ (−→B2−

−→B1) = µ0−→n12∧ (

−→ks ∧−→n12)

= µ0−→ks

On a donc une discontinuit de la composante tangentielle de−→B :

−→n12∧ (−→B2−

−→B1) = µ0

−→ks (3.21)

3.5.2 Continuité de la composante normale du champ magnétique

Comme div−→B = 0, le calcul du flux du champ magntique travers la surface d’un cylindre lmentaire

cheval sur les deux milieux est nul.

FIGURE 3.10 – Cylindre applâti à cheval entre deux milieux pour calculer le flux du champ magnétostatique

On en dduit que

3.5. EQUATIONS DE CONTINUITE 39

−→n12 · (−→B2−

−→B1) = 0 (3.22)

La composante normale de−→B est par consquent continue.

COMPLEMENT D' ANALYSE VECTORIELLE OPERATEURS DIFFERENTIELSGradientDivergenceRotationnel LaplacienFormules d'analyse vectorielle

CONSEQUENCES DES THEOREMES DE STOKES-AMPERE ET DE GREEN-OSTROGRADSKICOORDONNEES CURVILIGNES

RAPPEL ET COMPLEMENT DE L'ELECTROSTATIQUERAPPEL DES EQUATIONS DE L' ELECTROSTATIQUERELATION DE CONTINUITE DU CHAMP ELECTROSTATIQUEDiscontinuité de la composante normale du champ électriqueContinuité de la composante tangentielle du champ électrique

ENERGIE ELECTROSTATIQUE Rappel : Energie électrostatique d'une charge placée dans un champ électrostatiqueEnergie électrostatique propre d'une distribution de charges ponctuelles Energie électrostatique propre d'une distribution continue de chargesLocalisation et densité d'énergieEnergie potentielle d'interaction entre deux distributions continues de charges

DISTRIBUTION MULTIPOLAIRE DE CHARGES ELECTRIQUESPotentiel électrostatique créé par une distribution multipolaireRésultante des forces agissant sur la distributionMoment agissant sur une distribution dipolaire placée dans un champ électrostatique Energie d'interaction d'une distribution dipolaire avec un champ électrostatiqueCondition d'équilibre d'une distribution dipolaire dans un champ électrostatqiue

COMPLEMENT DE LA MAGNETOSTATIQUE COMPLEMENT D'ELECTROCINETIQUECourant et densité volumique de courantDensité surfacique de courant

RAPPEL DES EQUATIONS DE LA MAGNETOSTATIQUENOTION DU POTENTIEL VECTEUR Définition et expression du potentiel vecteurApplication : Calcul du champ magnétique créé par un dipôle magnétiqueEquation locale donnant le potentiel vecteur

FORCE D'INTERACTION ENTRE DEUX CIRCUITSEQUATIONS DE CONTINUITEDiscontinuité de la composante tangentielle du champ magnétiqueContinuité de la composante normale du champ magnétique

Documents

Département de Physique Cours - FSG · 2020. 2. 24. · 8 CHAPITRE 1. COMPLEMENT D’ ANALYSE VECTORIELLE 1.1.2.2 Théorème de Green-Ostrogradski De la déﬁnition de la divergence,