DS 05 - Fonctions Holomorphes

7/30/2019 DS 05 - Fonctions Holomorphes

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CPGE Lissane eddine Filire MP Laayoune

Premire partie

I : Prliminaire :

1: Soit U un ouvert connexe par arcs.1 - a

: Soient K un comact deC

et F un ferm deC

. Montrer que si K F = alors d(K, F) > 0.1 - b: On pose F = CU

C. Soit x, y U et : [0, 1] U continue telle que (0) = x et (1) = y. Montrer que

d(([0, 1]), F) > 0.1 - c: En dduire que x, y U, : [0, 1] U continue et de classe C1 par morceaux tel que (0) = x et(1) = y.2: On note U = {z C/|z| = 1}.2 - a: Montrer que lapplication f :] , [ U est continue bijective.2 - b: En dduire que Arg : z Arg z est continue sur C o z C, Arg z dsigne largument principal de z.3: Soient x R \ Z et f la fonction 2-priodique dfinie sur [, ] par f(t) = cos xt.3 - a: Dvelopper f en srie de Fourier et tudier sa convergence.

3 - b: Montrer que cotanx =1

x+ 2x

+

n=1

1

x2 n2.

4: Soient g lapplication dfinie sur [0, 1[ par g(x) =+n=1

ln

1 x

2

n2

.

4 - a: Montrer que g est bien dfinie et continue sur [0, 1[.4 - b: Montrer que g est C1 sur ]0, 1[ et calculer sa drive.4 - c: Montrer que x ]0, 1[, g(x) = ln sinx

x

.

Deuxime partie

II : Intgrale curviligne, primitive dune fonction complexe

Soit U un ouvert non vide de C et f : U C continue sur U.On pose V = {(x, y) R/x + iy U}, f : (x, y) V f(x + iy), p : (x, y) V ef(x + iy) etq : (x, y) V mf(x + iy).On considre les formes diffrentielles u = pdx qdy et v = qdx + pdy.Pour toute application : [a, b] U on note : [a, b] R2 lapplication dfinie par = (e, m).

Dfinition 1 : Soit : [0, 1] U continue et C1 par morceaux sur [0, 1]. On appelle intgale curviligne de fsuivant le nombre

ba

f((t))(t)dt. On le note

f(z)dz.

1: Calculer

dz

z

avec : [0, 2]

C dfinie par (t) = eit.

Dfinition 2 : On appelle lacet sur U toute application : [0, 1] U continue et C1 par morceaux sur [0, 1] telleque (0) = (1).

2: On suppose que f admet une primitive F sur U.

2 - a: Montrer que a, b R avec a b, : [a, b] U continue et C1 par morceaux on a

f(z)dz =

F((b)) F((a)).2 - b: Que peut-on dduire ? Et pour les lacets ?

2 - c: Montrer que z 1z

nadmet pas de primitive sur C.

2 - d: On suppose que U est ouvert toil. Montrer que si f est holomorphe sur U alors pour tout lacet de U on a

f = 0.

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3: Montrer que : [0, 1] U continue et C1 par morceaux on a

f(z)dz =

u + i

v.

4: Montrer que les asertions suivantes sont quivalentes :

a - f admet une primitive F sur U.b - Les formes diffrentielles u et v sont exactes sur U.

c -

f = 0 pour tout lacet dans U.

5: On supppose, dans cette question, que U est ouvert connexe par arcs et que pour tout lacet sur U on a

f(z)dz = 0.

Soit a U et on dfinit sur U lapplication F(z) =

f(z)dz o : [0, 1] U continue, C1 par morceaux et telleque (0) = a et (1) = z.5 - a: Montrer que F est bien dfinie sur U.5 - b: Montrer que F est une primitive de f sur U.5 - c: Montrer que F est lunique primitive de f sur U qui sannule en a.

6: Montrer que si pour tout lacet de U dont lintrieur est inclu dans U on a

f = 0 alors f est holomorphe sur

U.7: Soit (fn) une suite de fonctions holomorphes sur U qui converge uniformment sur U vers une fonctions f.Montrer que f est holomorphe.8: Soient z0 U, r > 0 tel que D(z0, r) U et est dfinie sur [0, 2] par (t) = z0 + reit.8 - a: Montrer que z D(z0, r),

du

u z = 2i.8 - b: Montrer que si f est holomorphe sur U alors on a les formules de Cauchy :

a- z D(z0, r), f(z) = 12i

f(u)

u z du.

b- z D(z0, r), k N, f(k)(z) = 12i

f(u)

(u

z)k+1

du.

9: On suppose que U est ouvert toil et f ne sannule pas sur U.9 - a: Montrer que

f

fadmet une primitive g sur U.

9 - b: Calculer (f eg).

9 - c: En dduire que f est lexponentielle dune fonction holomorphe sur U.9 - d: Ce rsultat est-il valable dans le cas des fonctions variable relle ?

Troisime partie

III : Logarithme complexe

1: Montrer que z 1z admet une primitive sur C \R

. Dans la suite, on note = C \R

.

Dfinition 3 : On appelle logarithme principale lapplication note log est dfinie sur par z , log z =

dz

z

o : [0, 1] continue sur [0, 1], C1 par morceaux sur [0, 1] et telle que (0) = 1 et (1) = z.1 - a: Montrer que log est bien dfinie sur .1 - b: Montrer que z , log z = 1

z.

2:

2 - a: Montrer que z , elog z = z.2 - b: En dduire que z , log z = ln |z| + iArg z.2 - c: Calculer log i, log(3i), log(1 + i) et log ei avec ] , [.

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3: Soient z, z et on pose = Arg z+Arg z. Montrer que log(zz ) =

log z + log z si ] , [log z + log z 2i si > log z + log z + 2i si < non dfini si = ou =

.

4: Montrer que z , log 1z

= log z.5: Montrer que

z

,

n

Z, log zn = n log z + 2ik o k est lunique entier relatif tel que nArgz + 2k

] , [.6: Montrer log est bijective de vers R+ i ] , [. Quelle est sa rciproque ?7: Montrer que z de forme algbrique z = x + iy, log z = 12 ln(x2 + y2) + 2i arctan yx+x2+y2 .8: Montrer que ln se prolonge de faon unique en une fonction holomorphe sur .

9: Montrer que z C, |z| < 1 log(1 + z) =+n=1

(1)n1n

zn.

Dfinition 4 :

Pour tout a . On appelle exponentiel de base a la fonction dfinie sur C par z ez log a.On note z C, az = ez log a.

On appelle puissance dexposant a

C la fonction dfinie sur par z

ea log z.

On note z C, za = ea log z.10: Soit a . Montrer que lapplication z az est holomorphe sur C et calculer sa drive.11: Soit a C. Montrer que lapplication z za est holomorphe sur et calculer sa drive.11 - a: Calculer

i,

1 + i et ii.

Quatrime partie

IV : Fonction Gamma, fonction Dzta de Riemann :

1: Soit z C tel que ez > 0. Montrer que lapplication t tz1et est intgrable sur ]0, +[.Dfinition 5 : On appelle fonction Gamma la fonction dfinie sur {z C/ez > 0} par (z) =

+

0tz1etdt

2: Montrer que z C tel que ez > 0 on a (z + 1) = z(z).3: Montrer que admet un zro dans alors z C avec 0 < ez < 1 tel que (z) = 0.4: Montrer que est holomorphe sur {z C/ez > 0} et calculer sa drive.5: Soit z C tel que ez > 0.5 - a: Montrer que (z) = lim

n+

n0

1 t

n

ntx1dt.

5 - b: En dduire que (z) = limn+

n!nz

z(z + 1) (z + n) (Formule de Gauss).

6: Montrer que z C tel que 0 < ez on a (2z) = 22z1(z)(z+1

2 ) (Formule de doublement de Lgendre).7:

7 - a: Montrer que x ]0, 1[, 1x(x)(1 x) = limn+

1 x

2

12

1 x

2

22

1 x2

n2

.

7 - b: En dduire que x ]0, 1[, (x)(1 x) = sinx .7 - c: Montrer que z C tel que 0 < ez < 1 on a (z)(1 z) = sinz (Formule des complments).7 - d: En dduire que ne sannule jamais.

8: Soit z C tel que ez > 1. Montrer que la srien1

1

nzconverge.

Dfinition 6 : On appelle fonction Dzta de Riemann la fonction dfinie sur

{z

C/

ez > 1

}par (z) =

+

n=1

1

nz

.

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9: Montrer que est holomorphe sur {z C/ez > 1} et calculer sa drive.10: Montrer que z C tel que ez > 1 on a (z)(z) =

+0

tz1

et 1 dt.

Cinquime partie

V : Fonction Digamma ou fonction Psi :

Dfinition 7 : On appelle fonction Digamma ou fonction Psi la fonction dfinie sur par (z) =(z)

(z).

1: Montrer que la fonction est dfinie et holomorphe sur .2: Montrer que z , (z + 1) = (z) + 1

z.

3: Montrer que z C tel que 0 < ez < 1 on a (1 z) = (z) + cotanz .4: Montrer que z , (2z) = 12(z) + 12

z + 12

+ ln 2.

5: Soit x > 0 et on dsigne par la constante dEuler.

5 - a: Montrer que ln n!nx

x(x + 1) (x + n)

= x

ln n n

k=1

1

k ln x +

nk=1

xk ln1 + xk.

5 - b: En dduire que ln(x) = x ln x ++n=1

xn

ln

1 +x

n

.

5 - c: En dduire que (x) = 1x

++n=1

1

n 1

n + x

.

5 - d: Montrer que z , (z) = 1z

++n=1

1

n 1

n + z

.

6: Calculer (1). En dduire (1).7: Calculer 1

2.

7 - a: Montrer que n N, (1 + n) = n

k=1

1

k.

7 - b: Montrer que

+n=1

1

n(3n + 1)=

1

2

4

3

1

2(2).

8: Montrer que z tel que |z| < 1 on a (z) = 1z

++n=1

(1)n+1(n + 1)zn.

F in


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