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1 DS2 [DS2.tex] Sciences Physiques MP 2007-2008

Devoir surveille de Sciences Physiques n 2 du 13-10-2007 Duree : 4 heures

Probleme no 1 Etude dune ligne bifilaire E3A PSI 2006

On etudie une ligne bifilaire dont le modele est represente sur la figure 1. La ligne presente une capacite lineiqueC0, une inductance lineique L0, une resistance lineique R0 et une conductance transverse lineique G0.

b bb b

bb

bb

L0dz R0dz

C0dz G0dzv(z, t) v(z + dz, t)

i(z + dz, t)

i(z + dz, t)

i(z, t)

i(z, t)Fig. 1 Modelisation de la ligne bifilaire

A. Etude generale

1. Etablir les equations exprimant les derivees partiellesv(z, t)

zet

i(z, t)

zen fonction de v(z, t), i(z, t),

v(z, t)

t,i(z, t)

t, R0, G0, L0 et C0.

2. En deduire une equation de propagation pour la tension v(z, t). A quelle equation lintensite i(z, t) satisfait-elle ?

Considerons une onde v(z, t) = v0 exp j(t kz) se propageant sur la ligne, k est une grandeur complexe telleque k = k + jk ou k et k sont des nombres reels.

3. Determiner la relation de dispersion liant k a .

4. Definir la vitesse de phase v et une grandeur caracteristique de lattenuation en fonction de k et k.

5. Pour le cas ou R0 L0 et G0 C0, donner lexpression de v et de a lordre le plus bas en1

. A

quelle condition sur R0, L0, G0 et C0, un signal quelconque nest-il pas deforme par la ligne apres transmission ?Y a-t-il dispersion dans ce cas ?

Dans toute la suite, la ligne est supposee ideale, R0 = 0 et G0 = 0.

6. Montrer que lequation aux derivees partielles relative a la tension secrit :

2v

t2= u2

2v

z2

ou u est un coefficient que lon explicitera. Quelle est la dimension de u ? Quelle est la forme generale dessolutions de cette equation ?

7. Retrouver que lintensite i(z, t) verifie une equation de propagation.

Il sera admis que les solutions generales secrivent sous la forme :

v(z, t) = v1(tz

c) + v2(t+

z

c) et i(z, t) = i1(t

z

c) + i2(t+

z

c)

8. Interpreter les significations physiques des grandeurs dindice 1 et 2.

9. Montrer les relations suivantes :

v1(tz

c) = Rci1(t

z

c)

v2(t+z

c) = Rci2(t+

z

c)

Rc est appelee resistance caracteristique de la ligne. Exprimer Rc en fonction de L0 et C0. Determiner numeri-quement u et Rc avec L0 = 0, 318 mH km1 et C0 = 509 nF km1. Conclusions ?

Un condensateur de capacite C en serie avec une bobine dinductance propre L et de resistance interne negligeableest connecte sur la ligne bifilaire infinie par lintermediaire dun interrupteurK initialement ouvert, voir la figure2. Le condensateur est charge sous la tension U , puis a linstant t = 0, K est ferme.

JR Seigne Fauriel St Etienne

Sciences Physiques MP 2007-2008 DS2 [DS2.tex] 2

bb

C

b b

L

K

z = 0 z =

vc(t) ligne bifilaire

Fig. 2 Liaison avec un circuit LC

10. Expliquer pourquoi dans le cas de la ligne infinie i2 = 0. En deduire que le circuit est equivalent a uncircuit (R,L,C) serie pour lequel on exprimera R.

11. Etablir que la tension aux bornes du condensateur vc(t) satisfait a une equation differentielle qui seraexprimee sous la forme :

d2vcdt2

+ 2m0dvcdt

+ 20vc = 0

Preciser lexpression de la pulsation caracteristique 0 et du facteur damortissement reduit m.

12. Resoudre cette equation dans le cas ou m < 1. Tracer lallure de la tension vc(t) pour m = 102. A partir

de quel temps caracteristique tc, la tension vc(t) est-elle inferieure a U/100 ?

13. La figure 3 represente v(z, tc) pour 0 < z < ctc/4. Expliquer cette courbe et preciser lordre de grandeurde la valeur maximale. En deduire lallure de v(z, tc) pour 0 < z < 2ctc.

t

v(z, tc)

b

ctc4

0

Fig. 3 Evolution de v(z, tc)

14. Proposer un bilan energetique.

15. Que se passe-t-il si la ligne bifilaire nest pas infinie ? Que pourrait-on observer en pratique ?

B. Propagation de signaux sinusodaux

La ligne bifilaire de longueur est alimentee en entree par un generateur de tension de resistance interne Rg,voir la figure 4. Elle est branchee en sortie sur une resistance de charge Ru. Dans cette partie le generateur detension impose un regime sinusodal force de pulsation dans la ligne bifilaire. Les grandeurs v1, v2, i1 et i2introduites dans la partie precedente deviennent des fonctions sinusodales dependant de (tz/c) et (t+z/c).Les grandeurs a lentree de la ligne sont notees avec lindice e et celles a la sortie avec lindice s comme indiqueci-dessous :

ve(t) = v(0, t), vs(t) = v(, t), ie(t) = i(0, t), is(t) = i(, t)

En utilisant la notation complexe et sachant que k = /c, il vient alors :

v1 = V 10 exp j(t kz), v2 = V 20 exp j(t+ kz), i1 =V 10Rc

exp j(t kz), i2 = V 20Rc

exp j(t+ kz)



ou V 10 et V 20 sont des nombres complexes constants.Les amplitudes complexes V (z) et I(z) de v(z, t) et i(z, t) seront utilisees telles que :

V (z) = V 10 expjkz + V 20 exp jkz

I(z) =V 10Rc

expjkz V 20Rc

exp jkz

La tension et lintensite, a lentree et a la sortie de la ligne, seront notees :

V (0) = V e, I(0) = Ie, V () = V s, I() = Isb

b

e

b b

Rg ie(t)

z = 0 z =

ve(t) ligne bifilaire

b b

Ru

vs(t)

is(t)

Fig. 4 Liaisons avec un generateur et avec resistance dutilisation

16. En eliminant V 10 et V 20, determiner les deux fonctions f et g telles que :

V e = f(k)V s + jRcg(k)Is

Ie = jg(k)

RcV s + f(k)Is

17. En deduire limpedance dentree Ze = V e/Ie en fonction de Ru, Rc, k et . Que vaut Ze dans le casparticulier ou Ru = Rc ? Interpreter physiquement.

C. Propagation de signaux impulsionnels

Comme dans la partie precedente, le generateur de tension est modelise par une force electromotrice e(t) enserie avec une resistance Rg (voir la figure 4) telle que pour t < 0, e(t) = 0 et pour t 0, e(t) = E.18. En ecrivant quatre relations en z = , a savoir :

une relation [Ra] entre vs(t), Ru et is(t), une relation [Rb] entre vs(t), v1(t /c) et v2(t+ /c), une relation [Rc] entre is(t), i1(t /c) et i2(t+ /c), une relation [Rd] entre is(t), v1(t /c), v2(t+ /c) et Rc,montrer que v2(t + /c) = v1(t /c) pour t /c ou est une constante a determiner. En deduire quev2(t) = v1(t 2/c). Quelle est la signification physique de ? Calculer pour Ru = 0, Ru = Rc et Ru = .19. De meme en ecrivant quatre relations en z = 0, a savoir :

une relation [Re] entre ve(t), E, Rg et ie(t), une relation [Rf ] entre ve(t), v1(t) et v2(t), une relation [Rg] entre ie(t), i1(t) et i2(t), une relation [Rh] entre ie(t), v1(t), v2(t) et Rc,montrer que v1(t) = E/2 pour t 0 et pour Rg = Rc.20. Pour Rg = Rc, tracer les graphes des tensions ve(t) et vs(t) pour les valeurs suivantes de Ru : Ru = 0,

Ru = Rc et Ru = . Pour chacun de ces graphes, placer les instants /c et 2/c.21. En reprenant letude precedente pour Rg et Ru quelconques, donner lexpression de ve(0) et vs() en

fonction de Rg et Ru. Quel est le schema electrique equivalent en regime etabli ? Decrire qualitativement lefonctionnement du circuit pendant le regime transitoire.

22. On reprend letude avec une impulsion definie par : e(t) = 0 pour t < 0, e(t) = E pour 0 t /cet e(t) = 0 pour t > /c. En considerant que Rg = Rc, etudier et tracer le graphe de ve(t) pour les valeurssuivantes de Ru : Ru = 0, Ru = Rc et Ru = . Pour chacun des graphes, placer les instants /c, 2/c et 3/c.23. Que se passe-t-il si la duree de limpulsion est superieure a 2/c ?



Probleme no 2 Proprietes des telescopes X-Cachan PSI 2007

Conventions de notation :

Pour une grandeur se propageant, on ecrit : s(r, t) = s0 exp i(t(r)) = S(r) exp it ou S(r) = s0 expi(r)est lamplitude complexe de londe en r.

A. Etude dun miroir spherique

1. En optique geometrique, que sont les conditions de Gauss pour des rayons lumineux incidents sur unsysteme optique tel une lentille ou un miroir ? Expliquer ce quest lapproximation de Gauss.

On considere un miroir spherique de rayon R, de centre C, de sommet S, et de diametre douverture D. Dansles conditions de Gauss, on rappelle que la relation de conjugaison reliant la position dun point objet A surlaxe a celle de son image A est donnee par :

1

SA+

1

SA=

2

SC

2. Definir et donner la position des foyers objet F et image F de ce miroir spherique. On appellera distancefocale f la quantite f = SF . Exprimer f en fonction de R.

3. Soit une source lumineuse ponctuelle placee en un point A sur laxe Oz, situe a une distance L du sommet Sdu miroir. A quelles conditions sur L peut-on considerer que les rayons lumineux issus de A forment un faisceaude rayons paralleles a laxe ? Quand cette condition sur L est verifiee, ou se situe limage de A ?

Dans toute la suite du probleme, on sinteressera a des etoiles considerees comme des objets lumineux ponctuelsverifiant les conditions de la question 3.

4. Soient deux etoiles A et B. On suppose letoile A sur laxe optique Oz, letoile B etant situee au dessus,dans une direction faisant un angle avec Oz. Donner la position de leurs images respectives A et B. CalculerAB en fonction de R et de .

5. On place dans le plan ou se forment les images A et B une camera numerique composee dune matricerectangulaire de detecteurs elementaires, appeles pixels, de forme carree, de cote h = 9 m. Chacun de cespixels mesure lintensite lumineuse quil recoit et transmet linformation correspondante separement. Quelle estla condition sur pour que la camera distingue les deux etoiles A et B. On donnera lexpression dun angleminimum min dont on calculera la valeur numerique en secondes darc sachant que R = 30 m.

B. Etude dun telescope

Dans cette partie, on etudie les caracteristiques optiques dun telescope constitue de deux miroirs spheriques :M1 concave de sommet S1, de rayon R1 = R = 30 m et M2 convexe de sommet S2, de rayon R2 = 5 m disposescomme sur la figure 5.

z

x

D2b b

S1S2

M2

M1

D1D

Fig. 5 Telescope

La lumiere provenant de la gauche du schema, un rayon lumineux incident se reflechit sur M1, puis sur M2 ettraverse le miroir M1 par un trou de diametre D = 0, 9 m perce en son centre. On observe sur une cameracentree sur laxe Oz placee a droite de M1 les images des objets lumineux etudies. On donne les diametresdouverture des miroirs : D1 = 8 m et D2 = 1 m. S1 et S2 sont tels que S2S1 = +d = 12, 8 m. On sinteresseaux images formees par le telescope des deux etoiles A et B de la question 4.

6. Soit A1 limage de A par M1 et A2 limage de A1 par M2. Calculer S2A2 et faire lapplication numerique.On appelle encombrement dun systeme optique la longueur totale du systeme suivant laxe optique, a partirde lentree du systeme jusquau plan dans lequel on observe les images. Comparer lencombrement du telescopeavec celui du miroir de la premiere partie. Conclure.

7. Faire une construction soignee et detaillee des images B1 et B2 de letoile B par les miroirs successifs. Onfera bien apparatre sur la figure la methode utilisee. Calculer A1B1, puis A2B2 (on pourra mettre A2B2 sous



la forme dun facteur numerique multiplie par langle defini a la question 4. On place la meme camera quecelle definie dans la question 4, telle que sa surface active soit perpendiculaires a laxe optique et passant parA2. Quel est langle minimum

min au-dela duquel la camera separe les images de A et B ? Calculer

min enseconde darc et comparer avec min. Conclure.

8. La puissance surfacique transportee par le faisceau de lumiere issu de chaque etoile et mesuree au niveau desmiroirs est la puissance par unite de surface transverse a la direction de propagation, on la note I0. Calculer lespuissances totales P0(A) et P0(B) arrivant sur le miroir de la question 4 en supposant quil a le meme diametreque le miroir M1 et en negligeant letendue de la camera. Calculer la puissance totale PT (A), issue de A arrivant

sur le telescope, ainsi que PT (B), celle issue de letoile B. Donner les valeurs numeriques des grandeursPT (A)

P0(A)

etPT (B)

P0(B). Conclure. Comparer

PT (B)

PT (A)et

P0(B)

P0(A). Conclure sur lintensite relative des images des deux etoiles

pour les systemes telescope et miroir seul.

9. Le champ angulaire total du telescope correspond a lensemble des directions qui permettent dobtenir uneimage sur la camera. Il est caracterise par la valeur max de au-dela duquel les rayons incidents ne parviennentplus a la camera. On supposera que ce champ nest pas limite par la taille de la surface active de la camera,mais par le diametre D du trou perce dans le miroir M1. Calculer en degre max (on pourra determiner B2,maxlimage extreme observable et utiliser le resultat de la question 7). Y a-t-il une limite au champ dobservationdun miroir seul ? Conclure.

10. Soit une lentille convergente de distance focale f . Soient A et B les images de A et B par cettelentille. Quelle doit etre la valeur de f pour que la distance AB soit egale a la distance A2B2 obtenue avecle telescope ?

C. Prise en compte de la diffraction

11. Rappeler en quelques lignes la signification du principe dHuygens-Fresnel.

On rappelle que dans le cadre de la diffraction a linfini (aussi appelee diffraction de Fraunhofer par une pupillecontenue dans le plan Oxy, le principe de Huygens-Fresnel se traduit mathematiquement par lexpressionsuivante de la vibration lumineuse en un point M situe a linfini apres la lentille :

S(M) = K

pupille

S0(P (x, y)) exp

(

i2n

0(x + y)

)

dxdy

K etant une constante, 0 la longueur donde dans le vide de londe incidente, n lindice du milieu apres lapupille, P un point de la pupille, et S0(P (x, y)) lamplitude complexe de londe incidente sur la pupille en P .u(, , ) est le vecteur unitaire du rayon passant par P diffracte vers M (on supposera dans tout le probleme et faibles devant 1).

12. Dans le cas dune pupille de dimension tres grande devant 0 suivant laxe Oy, comment se simplifielexpression de S(M) donnee ci-dessus ? On raisonnera de maniere qualitative sans aucun calcul.

13. On se place dans la configuration experimentale ou la pupille est une fente de largeur a suivant Ox etde longueur L 0 suivant Oy et baignant dans un milieu dindice n. On observe la figure de diffraction surun ecran dans le plan focal dune lentille convergente de distance focale f , note XOY , O etant lintersectionde Oz avec lecran et les directions OX et OY etant respectivement paralleles a Ox et Oy. On cherche adeterminer lintensite lumineuse sur lecran quand la pupille est eclairee par une onde plane dont la direction depropagation contenue dans le plan xOz fait un angle (tres petit devant 1) au-dessus de laxe optique Oz. Faireun schema du dispositif experimental faisant apparatre un rayon incident, le point P et le point M . ExprimerS0(P ) en fonction de lamplitude de londe incidente A0, de 0, n, et x. Exprimer en fonction de X et f

.

14. On rappelle que lintensite lumineuse est definie par I(M) = kS(M)S(M), k etant une constante et S

le complexe conjugue de S. Montrer que I(X) secrit :

I(X) = I0sinc2na

0

(

+X

f

)

I0 etant lintensite en O que lon exprimera en fonction de k, K, L, a et A0.

15. Tracer lallure de la courbe representative de I(X). On sattachera a mettre en evidence les caracteristiquesde la tache centrale de la figure de diffraction. Faire le dessin de lintensite lumineuse dans le plan XOY .

16. Donner, sans aucun calcul mais par analogie, lexpression de I(X,Y ) si la pupille est rectangulaire de cotesa suivant Ox et b suivant Oy. Faire un dessin de lintensite lumineuse dans le plan XOY .

17. Proprietes de la tache dAiry. Le telescope est modelise par une lentille convergente de diametre D1 etde focale f , formant une pupille diffractante circulaire. On souhaite determiner les caracteristiques de la tachecentrale de la figure de diffraction correspondante. La resolution mathematique du probleme etant complexe,



on raisonnera de maniere qualitative. Pour ce faire, on constate que la pupille diffractante est inscrite dans uncarre et quelle contient un carre comme lindique la figure 6.

y

x

D1

bO

Fig. 6 Tache dAiry

Quelle est la forme de la tache centrale de la figure de diffraction ? On justifiera le resultat en une ou deuxphrases.

18. On souhaite evaluer un ordre de grandeur de la demi-largeur suivant OX de la tache centrale de diffraction,

que lon notera R0. En utilisant les resultats precedents, justifier que :0f

nD1< R0

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