C. R. Acad, Sci. Paris, t, 325, Serie I, p. 493-498, 1997Geometrie algebrique/Algebraic Geometry

Dualite de Poincare et formule de Kiinnethen eohomologle rigide

Pierre BERTHELOT

IRMAR, Universite de Rennes I, Campus de Beaulieu,35042 Hennes Cedex, France.E-mail: Pierre.Berthelot@univ.rennesl.fr

Resume. Soit k un corps de caracteristique p > O. Par des methodes analogues ~ celles de [2],nous etablissons la dualite de Poincare et la formule de Kunneth pour la cohomologierigide des varietes algebriques sur k,

Poincare duality and Kiumetli formula for rigid cohomology

Abstract. Let k be a field of characteristic p > O. Using methods analog to those of [2], weprove that Poincare duality and the Kiinneth formula hold for the rigid cohomology ofalgebraic varieties over k,

Abridged English Version

1. The trace morphism

Let k be a field of characteristic p > 0, W a Cohen ring of k, K = Frac (W). If X is a separatedk-scheme of finite type and n = dim X, the rigid cohomology groups with proper support H~, rig (X)vanish for i > 2 n. Therefore, one can define a trace morphism Trx : H~~rig (X) - K as follows.We first reduce to the case where X is affine and smooth, and choose a smooth affine W -schemeX' lifting X and a compactification h : X' - Spec (W) of X'. Then W.X' = h' K is a dualizing

- - K

complex on the generic fiber X Kor X', whose restriction to X K is isomorphic to nx~ [n]. Using the

usual trace morphism and GAGA on the analytic space associated to XK, we get a morphism

lin (x,an on ) '" 110 (X- 'an an) 110 (X-'an an) '" 110 (X-' -) KlX[ K' ux~r ---+ lX[ K ,wx;.. ---+ K ,wx;.. ---+ K'WX;" ---+ •

One shows that this morphism vanishes on Hr'q (x~n, n~-;:n), may be factored through a morphism

Trx : H~~rig (X) - K, and that Trxis independant of th~ choice of X'.When X is proper and smooth over k, Trx can be identified with the trace morphism for crystalline

cohomology (via [2], 1.9). If f : Y - X is a finite etale morphism between smooth affine k-schemes,

Note presentee par Michel RAYNAUD.

0764-4442197/03250493 © Academie des ScienceslElsevier, Paris 493

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there exists a trace morphism Trf c : H2n , (Y) -+ H2n , (X) (see [2]. 3.6, and 2.4 below), and, c , rig c . rIgthe morphisms Trx and Try commute with Trf ,c. If ZI X' is a closed immersion betweensmooth and quasi-projective lV-schemes, with reduction Z X, then the construction of the Gysinmap given in [2], 5.2-5.4, has an analog GZ' / x-, r for rigid cohomology with compact supports, andGz'/x' ,c commutes with Trz and Trx.

2. Poincare duality

Let X be as above, and Z C X be a closed subscheme. The basic constructions of rigidcohomology allow us to define pairings

RrZ,rig(X) ®K Rrc.rig(Z) -+ Rrc,rig(X).

Using the trace map Trx, we get the duality morphism

nz.x : Rrz,rig(X)-RHomK(Rrc,rig(Z) , K)[-2n] .

These morphisms are compatible with the distinguished triangles relating the cohomologies of X,Z, and U = X\Z. When X is proper and smooth, the morphism 11x,x can be identified with thePoincare duality morphism in crystalline cohomology. If f : X -+ Y is a finite etale morphismbetween affine smooth k-schemes, TJy,y and 11x, x are compatible with the functoriality maps and thetrace maps between H*r" (X) and H*, (Y) on the one hand H* , (X) and W ' (Y) on the otherg rig , C , fig c, rig .

hand. When ZI ......... X' is a closed immersion between smooth quasi-projective lV-schemes, WIthreduction Z ......... X, the morphisms TJz, z and TJz, x are compatible with the Gysin map G Z' , x ' ·

To show that the morphism TJz, x is an isomorphism, we argue as in the proof of the finitenesstheorem (see [2], Thm 3.1). Using the above properties and de long's theorem (see [3], Thrn 4.1),we prove the following two assertions by induction on n :

(a), For any smooth separated k-scheme X such that dim X $ n, 11x is an isomorphism.(b)n For any k-scheme Z such that dim Z $ n, and any closed immersion Z ......... X into a smooth

separated k-scheme, TJz, x is an isomorphism.

3. Kiinneth formula

A similar induction can be used to prove that the Kiinneth formula holds for rigid cohomologyand rigid cohomology with compact supports, and that these cohomologies commute with arbitrarybase field extension.

On designe par k un corps de caracteristique p > 0, par lV un anneau de Cohen de k (voir [EGA,0, (19.8.4m, et par K son corps des fractions . Tous les k-schemas consideres sont supposes separeset de type fini. Soient X un k-schema, Z C X un sons-schema ferme et U = X\Z . On choisitune compactification X de X sur k, et on suppose qu'il existe une immersion fermee de X da~sun lV-schema formel p-adique P lisse au voisinage de X (voir [2], 1.3). Si Vest un ouvert de X,on note ]V[ Ie tube de V dans la fibre generique PK de P. j~ Ie foncteur « faisceau des germesde sections surconvergentes au voisinage de ]V[ », rW[ le foncteur « faisceau des sections a supportdans ]V[ » (foncteurs de la categorie des faisceaux abeliens sur IX [ dans elle-merne - voir [2], 1.2);

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Dualite de Poincare et formule de Ktinneth en cohomologie rigide

on pose [jV[ = Ker (jl - Jb)· Par construction (voir [1] et [2]), la cohomologie rigide de X asupport dans Z (resp. a supports compacts) est definie par:

(resp. Rr, rig(X) =R r (lX[, R[J;q (O~y[)) ~ R r (]X[, ([lU[ (Ie) - [jX[ (ze))s)),

ou T" est une resolution injective de OjX[' l'indice s designe Ie complexe simple assode a un

bicomplexe, et jl 0IX[ et Ijx[ (ZO) sont places en bidegre (0, 0). Ces complexes sont independantsdes choix faits ; Ie complexe R f Z, rig(X) est contravariant par rapport aux morphismes 1 : X' - X,ou Z' c X' est tel que 1-1 (Z) C Z', le complexe IR fe, rig(X) est contravariant par rapport auxmorphismes propres X' - X, et on dispose des triangles distingues

+16. (X, Z) : RrZ,rig(X) -lRfrig(X) -lRfrig (U) - ,

1. Le morphisme trace

En se ramenant au cas ou X est l'espace affine, on montre d'abord l'enonce suivant :

PROPOSITION 1.1. - Soit X un k-schema de dimension n. A/Drs lI~,rig (X) = 0 pour i > 2n.

1.2. On veut construire un morphisme trace Tr x : I1~~rig (X) - K. Quitte a composer avec lemorphisme trace pour une extension finie de K, il suffit de le faire apres une extension finie de k.On peut alors remplacer X par X red et se ramener au cas ou it existe dans X un ouvert U affine,lisse et geometriquement connexe tel que dim (X\U) < n. La proposition precedente entraine qu'ilsuffit de construire le morphisme Tru : H~~rig (U) - K.

On suppose done X affine, Iisse et connexe. Soient X' un lV-schema affine et lisse relevant X,X' une compaetification projective de X' et f : XK - SpecK. Le complexe Wx' = t K est_ K

un complexe dualisant sur X K, egal a Ox' [n] sur l'ouvert lisse X K de XK' et on dispose du_ K

morphisme trace R I' (XK, Wx' ) - K. Puisque Wx' est a cohomologie coherente, Ie morphisme_ K K

R r (XK, Wx' ) - R r (x~n, wr, )est un isomorphisme. Comme xK'an est un voisinage strict deK K

]X[ dans x~n, on obtient un homomorphisme

lin (x'an on ) '" HO (X-'an an) HO(X-'an an) - 110 (X-' ) KjX [ K' HX'an - jX[ K 'Wx' - K 'Wx' - K'WX' - .KKK K

On montre alors que Ie compose Hfx[ (X~r, S1~~!n) - Hfx[ (x~n, S1X;..an ) - K est nul, desorte qu'on obtient une factorisation

Tr x ' : H~~rig (X) = Hf~[ (X~r, S1~;..an) - K.

Le morphisme Tr x ' ne depend pas de la compactifieation X' et ne change pas si 1'0n remplace Xpar un ouvert sans changer X'. Nous verrons qu'il ne depend en fait que de X.

1.3. Soient i' : Z' <:.....t X' une immersion fermee de eodimension r entre lV-schemas quasi-projectifset lisses, de reduction i : Z <:.....t X, et n = dim X. A partir du morphisme de Gysin algebriqueassode a i', on obtient, en passant aux K -espaees analytiques rigides definis par Z' et X', et enappliquant Ie foneteur R Ijx[, un morphisme de Gysin en cohomologie rigide a supports propres

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GZI/X',e : Rre,rig (Z) -+ Rre,rig (X) [2r] (voir [2] pour l'analogue sans condition de supports). IIresulte alors des constructions faites que I'on a Tr x ' 0 Gz'/x',c = Trz' sur H~,(~;r) (Z).

1.4. Soient X un k-schema affine et Iisse, et f : Y -+ X un morphisme fini etale de degred. Si A = r (X, Ox), B = r (Y, Oy), si A', B ' sont des W-algebres lisses relevant A et B,et si At, nt sont leurs completees faibles, il existe un homomorphisme fini etale <p : At -+ Btrelevant l'homomorphisme A -+ B. Compte tenu de l'isomorphisme entre cohomologie rigide etcohomologie de Monsky-Washnitzer dans Ie cas affine et lisse (voir [2], 1.10), <p induit un morphismetrace Trf : R rrig (Y) -+ IR rrig (X) (voir [2], 3.6). D'autre part, on peut montrer que tp definitun morphisme fini etale entre un voisinage strict de ]Y[ et un voisinage strict de ]X[ (dans les espacesanalytiques associes aux fibres generiques de Y ' = Spec B' et X' = Spec A'). On en deduit unmorphisme trace Tr I, c : R r e, rig (Y) -+ R I'c, rig (X). Le morphisme (lid) Trf (resp. (lid) Tr f, c)

est alors un projecteur de IR r rrg (Y) sur IR I'rig (X) (resp. de R r e, rig (Y) sur R I'c, rig (X).

PROPOSlTION 1.5. - SoU X un k-schema geometriquement irreductible de dimension n. AlorsH~~rig (X) est un K-espace vectoriel de dimension 1.

On peut remplacer X par un ouvert non vide quelconque U, ou par une compactification de U,et faire une extension finie du corps de base. On peut alors se reduire au cas OU X est affine etlisse, releve en X' affine, Iisse et possedant une section sur W. Appliquant 1.3 acelle-d, on voit quedimj- H~~rig (X) ~ 1. Lorsque X est un ouvert d'un k-schema propre et lisse, il resulte du theoremede comparaison avec la cohomologie cristalline (voir [2], 1.9) que l'enonce est vrai pour X. Dans lecas general, Ie theorerne de de long (voir [3], Thm 4.1) permet de supposer qu'il existe dans X unouvert non vide U possedant un reveternent etale V, au Vest un ouvert d'un k-schema propre etlisse. D'apres 1.4, H~~ig (U) s'injecte dans H~~lg (V), d'ou la proposition.

En se ramenant au cas ou il existe une section Spec W <-t X', et en utilisant Ie morphisme deGysin correspondant, on montre alors :

PROPOSlTION 1.6. - Le morphisme Trx ' defini en 1.2 est independant du choix de X'.On notera desormais Trx Ie morphisme trace defini en 1.2.

1.7. On montre que Ie morphisme trace verifie les proprietes suivantes :(i) Si X est propre et Iisse sur k, l'isomorphisme de comparaison H~~rig (X) = H;~ (X) ~

II~ris (X) 0 K (voir [2], thm 1.9) identifie les morphismes trace en cohomologie rigide et encohomologie cristalline.

(ii) Sous les hypotheses de 1.4, Ie morphisme Trf,c : H~~rig (Y) -+ H~~rig (X) commute auxmorphismes traces Try et Tr x .

2. Dualite de Poincare

En gardant les memes notations, on verifie facilement Ie lemme :

LEMME 2.1. - Soient E, P deuxfaisceaux de K-espaces vectoriels sur Ie tube ]X[ de X dans P.II existe un isomorphisme canonique

Par adjonction, on en deduit que tout accouplement E" 0 K F" -+ G" entre deux complexes deK-espaces vectoriels sur ]X[ definit un accouplement j1E" 0K [IX[ F" -+ [IX! G",

2.2. Soient Z c X un sons-schema ferme et U = X\Z. Appliquant ce qui precede aune resolutioninjective T" de njX[' a un accouplement T" 0K T" -+ Ie prolongeant celui de njX!' et aux deux

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Dualite de Poincare et formule de Kiinneth en cohomologie rigide

ouverts X et U de X, on obtient par passage a la cohomologie un accouplement

R f z. r ig (X) (i?) K R r, rig (Z) -> R f e,riR (X),

independant des choix faits. En composant avec Ie morphisme trace defini en 1.6, on en deduit Iemorphisme de dualite

(2.2.1) nz.x : Rfz,rig (X) -> Rfe,rig (Z) v [-2 n] := RHomK (R C" rig (Z) , K) [-2n] ,

note TJx lorsque Z = X. II s'insere dans un morphisme de triangles distingues

(2.2.2) (TJZ.x , TJx , TJu) : ~rig(X, Z) -> RHomK(~e,rig(X, Z), K)[-2n] .

2.3. En utilisant 1.3, 1.4 et 1.7, on verifie que les morphismes (2.2.1) satisfont les proprietessuivantes :

(i) Si X est propre et Iisse, Ie morphisme "'X s'identifie au morphisme de dualite de Poincare encohomologie cristalline.

(ii) Si I : Y -> X est un morphisme fini etale entre k-schemas affines et Iisses, les morphismesnx . ",yet les morphismes trace definis en 1.4 sont compatibles.

(iii) Sous les hypotheses de 1.3, ttz ,x et "'Z sont compatibles au morphisme de Gysin.

TH~ORt;ME 2.4 (Dualite de Poincare) . - Soient X un k-schema lisse, Z c X un sous-schema ferme.Le morphisme de dualite (2.2.1) est un isomorphisme.

La demonstration s'effectue par une double recurrence analogue a celie qu'on utilise dans [2],section 3.3, pour dernontrer Ie theoreme de finitude. On demontre altemativement :

(a), Pour tout k-schema Iisse X tel que dim X ~ n, Ie morphisme TJx est un isomorphisme.(b), Pour tout k-schema Z tel que dim Z ~ n , et toute immersion fermee Z ~ X, ou X est un

k-schema Iisse, Ie morphisme TJz.x est un isomorphisme.L'assertion (a)o est claire, et elle entraine (b)o en appliquant la propriete 2.3 (iii). Pour montrer

que (b), _ I entraine (a)n, on remarque d'abord que (a), est vraie lorsque X est propre et lisse,d'apres 2.3 (i). Grace a (b) , _ I et au morphisme de triangles (2.2.2), il en resulte que (a), est vraiepour tout ouvert d'un k-schema propre et lisse. Si X est un k-schema lisse quelconque, Ie theoremede de Jong permet de supposer qu'il existe une alteration generiquement etale I : X' -> X tel1eque X' soit un ouvert d'un k-schema projectif et lisse, Soit V un ouvert affine de X tel quedim (X\V) < dim (X), et que V' = I-I (V) soit fini etale sur V. D'apres 1.4, les complexesR Cig (V) et R fe, rig (V) v sont facteurs directs de R F rig (V') et R fe, rig (V') ", et d 'apres 1.3 (ii),les morphismes no et ttu: sont compatibles aux inclusions et aux projecteurs definis par la trace de f.Comme "'u' est un isomorphisme, i1 en est de merne de ttu, et done de "'X en utilisant a nouveau(b), _ I et les triangles (2.2.2).

Pour montrer que (a), et (b), _ I entrainent (b)n, on verifie que, grace a(b)n_ 10 on peut se ramenerpar excision au cas ou Zest lisse, X affine, et I'immersion Z ~ X relevable en une immersionZ' ....... X' entre W -schernas affines et lisses. La propriete 2.3 (iii) permet alors de conclure grace a(a)n'

Remarque. - II s'ensuit que , sous les hypotheses de 1.3 et 2.3 (iii), Ie morphisme Gz'/x'(resp. Gz'/x' ,c) est independant du relevernent Z' ~ X' (question laissee ouverte dans [2]).

3. Formule de Kiinneth

3.1. Pour i E {1,2}, soient Xi un k-schema, Zi C Xi un sons-schema ferme, Xi unecompactification de Xi, X i ~ Pi une immersion fermee de X i dans un W -schema formel lisse au

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voisinage de Xi, Pi : jXl x X2[--+jX.[ Ie morphisme induit par la projection et E, un faisceau deK-espaces vectoriels sur jX;(. 11 existe des accouplements canoniques :

On en deduit des morphismes de Kunneth, compatibles aux morphismes de fonctorialite :

(3.1.1 )

(3.1.2) IR fe, rig (Xl) 12;K IR fe, rig (X2 ) -----+ R fe, rig (Xl X X 2 ) .

Pour X 2 fixe, ces morphismes s'Inserent dans des morphismes de triangles distingues :

(3.1.3)

(3.1.4) A e (Xl, Zt) eE9K Rfc,rig (X2 ) -----+ A e (Xl X X 2 , z, X X 2 ) .

TH~OREME 3.2. - (i) Si Xl et X 2 sont lisses sur k, le morphisme (3.1.1) est un isomorphisme.(ii) Quels que soient Xl et X 2 , le morphisme (3.1.2) est un isomorphisme.

3.3. Outre (3.1.3) et (3.104), la demonstration utilise les proprietes suivantes :(i) Si, pour i = 1,2, Xi est propre et lisse sur k, et Z, = Xi, les morphismes (3.1.1) et (3.1.2)

s'identifient au morphisme de Ktinneth en cohomologie cristalline.(ii) Si, pour i = 1, 2, Xi est affine et lisse sur k, Ii : Y; --+ Xi est un reveternent etale, et

Zi = Xi, les morphismes (3.1.1) (resp. (3.1.2» relatifs aXl et X 2 d'une part, aYl et Y2 d'autre part,commutent aux morphismes Tr t. 12; Tr12 et Tr 11 X 12 (resp. Trr.. e 12; Trh, e et Tr t. x he) definis en 104.

(iii) Si, pour i = 1, 2, Z; '---+ X: est une immersion fermee entre W-schemas quasi-projectifs etlisses, de reduction Z; '---+ Xi, les morphismes (3.1.1) relatifs a Zl et Z2 d'une part, a Xl et X 2

d' autre part, commutent aux morphismes de Gysin G Z' IX' 12; G Z' IX' et Gz: xz: IX' xx: .1 1 2 2 1 2 1 2

304. Une fois ces proprietes etablies, la demonstration de 3.2 (i) s'effectue de rnaniere analogue acelle de 204, en montrant par une double recurrence les assertions suivantes :

(a); Pour tout couple (Xl, X 2 ) de k-schemas lisses tel que dim Xl + dim X 2 ~ n, Ie morphismeR f r ig (Xd 12; R f r ig (X2 ) --+ Rf ri g (Xl X X 2 ) est un isomorphisme.

(b), Pour tout couple de k-scbemas lisses (XI, X 2), et tout couple de sous-schemas fermes (Zl, Z2)de Xl et X 2 tels que dirn Z, +dimZ2 ~ n, Ie morphisme (3.1.1) est un isomorphisme.

La demonstration de 3.2 (ii) se fait par une recurrence simple du merne type.

Remarque. - La meme methode permet de montrer que la cohomologie rigide commute a uneextension arbitraire du corps de base.

Note remise et acceptee Ie 26 mai 1997.

References bibliographiques

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