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Physique et Physique et géométrie chez géométrie chez Einstein et Poincaré Einstein et Poincaré ALTAIR, 21 Mars 2009 Raffaella Toncelli Université Libre de Bruxelles

Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

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ALTAIR, 21 Mars 2009. Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré. Raffaella Toncelli Université Libre de Bruxelles. Dans cet exposé:. Le rapport entre géométrie et physique dans l’histoire Le concept d’espace Poincaré et la géométrie - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Physique et géométrie Physique et géométrie chez Einstein et chez Einstein et

PoincaréPoincaré

ALTAIR, 21 Mars 2009

Raffaella Toncelli Université Libre de Bruxelles

Page 2: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Dans cet exposé:Le rapport entre géométrie et physique dans l’histoireLe concept d’espacePoincaré et la géométrie

(quelques considérations à propos de la théorie de la rel restreinte)Einstein et la géométrie (quelques considérations à propos de la théorie de la rel générale)

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Rapport entre géométrie et physique

Thalès de Milet (625-547 av J-C env)rapporte la géométrie d’Egypte

(Hérodote, Ve av.J-C)

Géométrie = science pratique

les arpenteurs du cadastre égyptien l’auraient utilisée pour délimiter le bornage des terrains après les crues du Nil.

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Rapport entre géométrie et physiquePythagore (~570-480 av J-C)

« Les choses sont des nombres »« les nombres se trouvent dans les choses»« les nombres sont les causes et les principes des choses »

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Rapport entre géométrie et physiquePythagore (~570-480 av J-C)

« Les choses sont des nombres »« les nombres se trouvent dans les choses»« les nombres sont les causes et les principes des choses »« Pythagore donna à la philosophie géométrique la forme d’une éducation libre, en reprenant les choses au commencement pour découvrir les principes par un examen des théorèmes mettant en œuvre une méthode non empirique et purement intellectuelle » (Proclus, Commentaire sur le premier livre des Eléments d’Euclide, V siècle ap. J-C )

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Rapport entre géométrie et physiquePythagore (~570-480 av J-C)Le point est une unité définie par sa position

Point 1

La ligne droite est un segment fini borné par deux points

Ligne 2

Trois points non alignés déterminent un plan

Surface 3

Quatre triangles forment un tétraèdre Volume 4

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Rapport entre géométrie et physique

Pythagore (~570-480 av J-C)

Les quatre premiers nombres constituent le triangle sacré de la Tétrade, ou Tétraktys.

La somme de la Tétrade (1+2+3+4=10) est la Décade, chiffre parfait du Tout

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Rapport entre géométrie et physique

Platon (~427-346 av J-C)Les mathématiques et à la géométrie sont des véritables sciences abstraites

L’étude de la géométrie abstraite est considérée par Platon comme un exercice fondamental pour tout philosophe qui veut apprendre à raisonner

« Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre »

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Rapport entre géométrie et physique

Aristote (~384-322 av J-C)La physique et à la géométrie sont deux genres séparés

Aristote n’accorde pas aux mathématiques autant d’importance que les platoniciens

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Rapport entre géométrie et physiqueGalilée (1564 - 1642)

« Je m’attends à une terrible attaque de l’un de mes adversaires, et je l’entends presque déjà crier à mes oreilles que c’est une chose de traiter des questions physiquement et une autre d’en traiter mathématiquement, et que les géomètres devraient s’en tenir à leurs fantaisies et ne pas se mêler des questions philosophiques, où les conclusions sont différentes des questions mathématiques. Comme si la vérité pouvait n’être pas une, comme si de nos jours la géométrie était un obstacle à l’acquisition de la vraie philosophie, comme s’il était impossible d’être géomètre autant que philosophe, et qu’on dû inférer comme une conséquence nécessaire que si quelqu’un connaît la géométrie il ne peut connaître la physique et ne peut raisonner physiquement des questions physiques » Discours sur les corps flottants (1612)

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Rapport entre géométrie et physique

Galilée (1564 – 1642)« Il [le livre de la nature] est écrit dans une langue mathématique, et les caractères en sont les triangles, les cercles, et d’autres figures géométriques, sans lesquelles il est impossible humainement d’en saisir le moindre mot ; sans ces moyens, on risque de s’égarer dans un labyrinthe obscur » l’Essayeur (1623)

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Rapport entre géométrie et physique

Galilée (1564 – 1642)Galilée nie le caractère abstrait des notions mathématiques et géométriques.

Pour Galilée une sphère n’est pas moins une sphère parce qu’elle est réelle: si ses rayons n’étaient pas tous de la même longueur elle ne serait pas une sphère

On ne peut pas faire confiance aux seuls sens: il faut faire abstraction de ce qui pourrait « tromper » les sens

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Rapport entre géométrie et physique

Les systèmes géométriques de l’astronomie ne prétendaient pas expliquer ou décrire la réalité: la nature des astres et la cause de leur mouvement est le sujet de la philosophie

Et le système de Ptolémée?

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Rapport entre géométrie et physiqueDuhem, (Sauver les apparences)

« Platon admet en principe que les corps célestes se meuvent d’un mouvement circulaire, uniforme et constamment régulier ; il pose alors aux mathématiciens ce problème : quels sont les mouvements circulaires, uniformes et parfaitement réguliers qu’il convient de prendre pour hypothèses, afin que l’on puisse sauver les apparences présentées par les planètes ?»  (Simplicius, In Aristotelis quatuor libros de Coelo commentaria, VI siècle ap.JC) 

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Rapport entre géométrie et physiqueDuhem, (Sauver les apparences)Théorème d’Hypparque (II siècle av. J-C):

on peut également représenter la marche du Soleil par deux systèmes différents :

ou bien en supposant que le Soleil décrit un cercle excentrique à la Terre

ou bien en considérant un système formé par un épicycle dont le centre parcourt un cercle concentrique à la Terre exactement dans le temps de révolution de l’épicycle.

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Rapport entre géométrie et physiqueDuhem, (Sauver les apparences)Théorème d’Hypparque (II siècle av. J-C):

on peut également représenter la marche du Soleil par deux systèmes différents :

ou bien en supposant que le Soleil décrit un cercle excentrique à la Terre

ou bien en considérant un système formé par un épicycle dont le centre parcourait un cercle concentrique à la Terre exactement dans le temps de révolution de l’épicycle.

Selon les Grecs une seule hypothèse (physique) pouvait être conforme à la

nature des choses 

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Théorème d’Hypparque (II siècle av. J-C): on peut également représenter la marche du Soleil par deux systèmes différents :

ou bien en supposant que le Soleil décrit un cercle excentrique à la Terre

ou bien en considérant un système formé par un épicycle dont le centre parcourait un cercle concentrique à la Terre exactement dans le temps de révolution de l’épicycle.

Selon les Grecs une seule hypothèse (physique) pouvait être conforme à la

nature des choses 

les hypothèses géométriques qui engendrent le même mouvement doivent s’accorder « par accident » et ne reflètent

pas la vraie nature des choses

Rapport entre géométrie et physiqueDuhem, (Sauver les apparences)

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Rapport entre géométrie et physiqueCopernic, Kepler et Galilée :

les hypothèses doivent être probables et si les résultats s’approchent bien de la réalité c’est parce que les hypothèses choisies sont « vraies » (ce n’est pas par accident que la géométrie peut rendre compte des observations, les lois de la nature étant écrites bel et bien en langage géométrique)

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Rapport entre géométrie et physique

Newton (1642 – 1726)

« Hypotheses non fingo »

« La géométrie est donc fondée sur une pratique de la mécanique et elle n’est autre chose qu’une branche de la mécanique universelle qui traite et qui démontre l’art de mesurer » (Newton, préface aux Principia )

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Concept d’espacePour Aristote: l’espace de la physique est une

collection de lieux, il est fini et non homogène.

Page 21: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Concept d’espacePour Aristote: l’espace de la physique est une

collection de lieux, il est fini et non homogène. Francesco Patrizi (1529-1597) : De l’espace physique et mathématique, paru en 1587, où il suggère l’idée révolutionnaire que le véritable objet de la géométrie est l’espace en tant que tel, et non les figures, comme on le considérait depuis Euclide. Giordano Bruno (1584-1600): la première « cosmologie infinitiste », où l’univers infini est peuplé d'une quantité innombrable de mondes identiques au nôtre.

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Concept d’espacePour Aristote: l’espace de la physique est une

collection de lieux, il est fini et non homogène. Francesco Patrizi (1529-1597) : De l’espace physique et mathématique, paru en 1587, où il suggère l’idée révolutionnaire que le véritable objet de la géométrie est l’espace en tant que tel, et non les figures, comme on le considérait depuis Euclide. Giordano Bruno (1584-1600): la première « cosmologie infinitiste », où l’univers infini est peuplé d'une quantité innombrable de mondes identiques au nôtre.Le philosophe Henri More (1614-1687) consacrera à l’atomisme et au concept de la pluralité des mondes un ouvrage exalté, Essai sur l’infinité des mondes (1646)

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Concept d’espace« Quiconque pense pouvoir prouver des propriétés naturelles avec des arguments mathématiques est insensé, car il s’agit de deux sciences très différentes. Les sciences naturelles étudient les corps naturels qui ont le mouvement comme état naturel et propre, alors que les mathématiques font abstraction de tout mouvement » (Vincenzo de Grazia, un des principaux adversaires de Galilée et l’aristotélicien exemplaire)

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Concept d’espace« Quiconque pense pouvoir prouver des propriétés naturelles avec des arguments mathématiques est insensé, car il s’agit de deux sciences très différentes. Les sciences naturelles étudient les corps naturels qui ont le mouvement comme état naturel et propre, alors que les mathématiques font abstraction de tout mouvement » (Vincenzo de Grazia, un des principaux adversaires de Galilée et l’aristotélicien exemplaire)

L’espace de la géométrie le mouvement ne joue aucunrôle

En physique il y a un mouvement « privilégié », le mouvement rectiligne et uniforme (le principe de relativité)

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Poincaré, géométrie et physiquePoincaré (1854 – 1912)Géométrie: il est un des pères fondateurs de l’analysis situs (la topologie) et de la théorie des groupes continus, à laquelle il consacre deux importants mémoires entre 1899 et 1901.

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Poincaré, géométrie et physiquePoincaré (1854 – 1912)Géométrie: analysis situs; groupesPhysique : - chaire de Physique mathématique et calcul de probabilité à la Sorbonne en 1886 ;-il gagne le prix du Roi de Suède à 35 ans, en 1889, pour son approche révolutionnaire du problème des trois corps ;-à partir de 1896 il a le poste d’Astronomie mathématique et mécanique céleste à la Sorbonne. - entre 1904 et 1908 il aura la chaire d’Astronomie Générale à l’Ecole Polytechnique.

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Poincaré, géométrie et physiquePoincaré (1854 – 1912)Géométrie: analysis situs; groupesPhysique : il s’intéresse aux théories de la chaleur, de la lumière et de la thermodynamique. -en 1887-1888 il tient un cours à la Sorbonne sur La théorie Mathématique de la Lumière, -l’année suivante son cours s’intitule Les Théories de Maxwell et la théorie électromagnétique de la Lumière; - 1889-90 il professe à la Sorbonne le cours Electricité et Optique ; Les théories de Helmholtz et les expériences de Hertz.

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Poincaré, géométrie et physiquePoincaré (1854 – 1912)

La Science et l’hypothèse (1902): un recueil d’articles écrits entre 1889 et 1901 et adaptés pour un public plus large de non-spécialistes

les articles utilisés par Poincaré pour composer son livre ont été écrits pour des revues spécialisées: la Revue de métaphysique et de morale, la Revue générale des sciences pures et appliquées, ou les Rapports du Congrès International de physique

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Poincaré, géométrie et physiquePoincaré (1854 – 1912)

La Science et l’hypothèse (1902): un recueil d’articles écrits entre 1889 et 1901 et adaptés pour un public plus large de non-spécialistes

STRUCTURE:-- la première et la deuxième partie du livre sont consacrées à la géométrie ; -- la troisième et la quatrième parties sont consacrées à la physique.

A la fin de la deuxième partie et dans la  Conclusion de la troisième partie, Poincaré essaie d’analyser le rapport qui existe entre géométrie et physique

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANN

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANN

En 1829 et 1832 Lobatchevski et Bolyai ont remplacé le 5ème postulat d’Euclide par l’hypothèse selon laquelle la somme des angles d’un triangle est plus petite que 180°

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANN Géométrie de la

sphère

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTE

Considérons sur une surface une figure quelconque. Imaginons que cette figure soit tracée sur une toile flexible et inextensible appliquée sur cette surface, de telle façon que quand la toile se déplace et se déforme, les diverses lignes de cette figure puissent changer de forme, sans changer de longueur. En général, cette figure flexible et inextensible ne pourra se déplacer sans quitter la surface ; mais il y a certaines surfaces particulières pour lesquelles un pareil mouvement serait possible : ce sont les surfaces à courbure constante.

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTECes surfaces à courbure constante sont de deux

sortes :

courbure positive peuvent être déformées de façon à être appliquées sur une sphère. La géométrie de ces surfaces se réduit donc à la géométrie sphérique, qui est celle de Riemann. courbure négative Beltrami a fait voir que la géométrie de ces surfaces n'est autre que celle de Lobatchevsky.

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES

Poincaré construit une sorte de dictionnaire

Espace Portion de l'espace située au- dessus du plan fondamental.Plan Sphère coupant orthogonalement le plan fondamental

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNES

Poincaré construit une sorte de dictionnaire

« Considérons les théorèmes de Lobatchevsky et traduisons-les à l'aide de ce dictionnaire comme nous traduirions un texte allemand à l'aide d'un dictionnaire allemand-français. Nous obtiendrons ainsi des théorèmes de la géométrie ordinaire. »

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNESLES AXIOMES IMPLICITES

Définition de l'égalité de deux figures : deux figures sont égales quand on peut les superposer ; pour les superposer il faut déplacer l'une d'elles jusqu'à ce qu'elle coïncide avec l'autre ;

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNESLES AXIOMES IMPLICITES

Définition de l'égalité de deux figures : deux figures sont égales quand on peut les superposer ; pour les superposer il faut déplacer l'une d'elles jusqu'à ce qu'elle coïncide avec l'autre ; « mais comment faut-il la déplacer ? Si nous

le demandions, on nous répondrait sans doute qu'on doit le faire sans la déformer et à la façon d'un solide invariable. Le cercle vicieux serait alors évident ».

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNESLES AXIOMES IMPLICITES

« Il est possible de transporter une figure dans l'espace d'une certaine manière »

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNESLES AXIOMES IMPLICITESLE THÉORÈME DE LIE

1° L'espace a n dimensions ; 2° Le mouvement d'une figure invariable est possible. 3° Il faut p conditions pour déterminer la position de cette figure dans l'espace.

Le nombre des géométries compatibles avec ces prémisses sera limité.

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNESLES AXIOMES IMPLICITESLE THÉORÈME DE LIELES GÉOMÉTRIES DE RIEMANN

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNESLES AXIOMES IMPLICITESLE THÉORÈME DE LIELES GÉOMÉTRIES DE RIEMANN

« Cependant ce résultat semble contredit par Riemann, car ce savant construit une infinité de géométries différentes, et celle à laquelle on donne ordinairement son nom n'en est qu'un cas particulier.

Tout dépend, dit-il, de la façon dont on définit la longueur d'une courbe. Or il y a une infinité de manières de définir cette longueur, et chacune d'elles peut devenir le point de départ d'une nouvelle géométrie.

Cela est parfaitement exact, mais la plupart de ces définitions sont incompatibles avec le mouvement d'une figure invariable, que l'on suppose possible dans le théorème de Lie. Ces géométries de Riemann, si intéressantes à divers titres, ne pourraient donc jamais être que purement analytiques et ne se prêteraient pas à des démonstrations analogues à celles d'Euclide. »

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Mémoire de Riemann (1854 publié en 1867)A.Concept d’une grandeur de n dimensions

Variété n dim < == > n coordonnéesB. Rapports métriques dont une variété de n

dimensions est susceptibles, dans l’hypothèse où les lignes possèdent une longueur indépendemment de leur position, et où toute ligne est ainsi mesurable par toute autre ligne

Expression de l’élément linéaireMesure de courbureVariété à courbure constante < == >

mouvement sans déformation des figuresEtude des surfaces de mesure de courbure

constanteC. Application à l’espace

l’espace physique est un cas particulier d’une variété à3d

les propriétés par lesquelles l’espace se distingue de toute autre grandeur imaginable de 3 dimensions ne peuvent être empruntées qu’à l’expérience.

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNESLES AXIOMES IMPLICITESLE THÉORÈME DE LIELES GÉOMÉTRIES DE RIEMANN

LES GÉOMÉTRIES DE HILBERTEnfin M. Veronese et M. Hilbert ont imaginé de nouvelles géométries plus étranges encore, qu'ils appellent non-archimédiennes

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNESLES AXIOMES IMPLICITESLE THÉORÈME DE LIELES GÉOMÉTRIES DE RIEMANN

LES GÉOMÉTRIES DE HILBERTDE LA NATURE DES AXIOMES

Les axiomes géométriques ne sont donc ni des jugements synthétiques a priori ni des faits expérimentaux.

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNESLES AXIOMES IMPLICITESLE THÉORÈME DE LIELES GÉOMÉTRIES DE RIEMANN

LES GÉOMÉTRIES DE HILBERTDE LA NATURE DES AXIOMES

Les axiomes géométriques ne sont donc ni des jugements synthétiques a priori ni des faits expérimentaux.

« Ce sont des conventions ; notre choix, parmi toutes les conventions possibles, est guidé par des faits expérimentaux ; mais il reste libre et n'est limité que par la nécessité d'éviter toute contradiction. »

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 3: Les géométries non euclidiennes LA GÉOMÉTRIE DE LOBATCHEVSKYLA GÉOMÉTRIE DE RIEMANNLES SURFACES À COURBURE CONSTANTEINTERPRÉTATION DES GÉOMÉTRIES NON EUCLIDIENNESLES AXIOMES IMPLICITESLE THÉORÈME DE LIELES GÉOMÉTRIES DE RIEMANN

LES GÉOMÉTRIES DE HILBERTDE LA NATURE DES AXIOMES

Les axiomes géométriques ne sont donc ni des jugements synthétiques a priori ni des faits expérimentaux.

Or la géométrie euclidienne est et restera la plus commode :

1° Parce qu'elle est la plus simple;

2° Parce qu'elle s'accorde assez bien avec les propriétés des solides naturels, ces corps dont se rapprochent nos membres et notre oeil et avec lesquels nous faisons nos instruments de mesure.

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 4: L’espace et la géométrie

L'ESPACE GÉOMÉTRIQUE ET L'ESPACE REPRÉSENTATIF

L'ESPACE VISUELL'ESPACE TACTILE ET L'ESPACE MOTEUR

CARACTÈRES DE L'ESPACE REPRÉSENTATIFCHANGEMENTS D'ÉTAT ET CHANGEMENTS DE

POSITIONCONDITIONS DE LA COMPENSATION.LES CORPS SOLIDES ET LA GÉOMÉTRIE.LOI D'HOMOGÉNÉITÉ.LE MONDE NON EUCLIDIENLE MONDE À QUATRE DIMENSIONS.CONCLUSIONS

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 4: L’espace et la géométrie1. l’espace géométrique ne doit pas être confondu avec l’espace de nos sens 2. L’espace de la géométrie est homogène, isotrope,

continu, infini, à 3 dimensionsL’espace représentatif, c’est à dire le « cadre de nos représentations et de nos sensations » , est non-homogène et non-isotrope

MAIS pour ne pas se retrouver devant des contradictions le physicien “raisonne sur les corps, comme s’ils étaient situés dans l’espace géométrique ”

Page 50: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Deuxième partie: l’espace

Chapitre 4: L’espace et la géométriel’espace géométrique ne doit pas être confondu avec l’espace de nos sens L’espace de la géométrie est homogène, isotrope,

continu, infini, à 3 dimensionsL’espace représentatif, c’est à dire le « cadre de nos

représentations et de nos sensations » , est non-homogène et non-isotrope

MAIS pour ne pas se retrouver devant des contradictions le physicien “raisonne sur les corps, comme s’ils étaient situés dans l’espace géométrique ”

L’espace du physicien est donc doté « naturellement » d’un caractère relatif, dans le sens où chaque point a les mêmes caractéristiques que n’importe quel autre point (relativité de l’espace): les masses et leurs mouvements ne jouent aucun rôle

Page 51: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physiqueCONCLUSIONS

On voit que l'expérience joue un rôle indispensable dans la genèse de la géométrie ; mais ce serait une erreur d'en conclure que la géométrie est une science expérimentale, même en partie.

Ce qui est l'objet de la géométrie, c'est l'étude d'un « groupe » particulier ; mais le concept général de groupe préexiste dans notre esprit au moins en puissance. Il s'impose à nous, non comme forme de notre sensibilité, mais comme forme de notre entendement.

Seulement, parmi tous les groupes possibles, il faut choisir celui qui sera pour ainsi dire l'étalon auquel nous rapporterons les phénomènes naturels.

Page 52: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)

Chapitre 5: L’expérience et la géométrieConsidérons un système matériel quelconque ; Les lois des phénomènes qui se produiront dans ce système pourront dépendre de l'état de ces corps et de leurs distances mutuelles ; mais, à cause de la relativité et de la passivité de l'espace, elles ne dépendront pas de la position et de l'orientation absolues du système.En d'autres termes, l'état des corps et leurs distances mutuelles à un instant quelconque dépendront seulement de l'état de ces mêmes corps et de leurs distances mutuelles à l'instant initial, mais ne dépendront nullement de la position absolue initiale du système et de son orientation absolue initiale. C'est ce que je pourrai appeler, pour abréger le langage, la loi de relativité.

Page 53: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physiqueQu'on me permette à ce sujet une petite digression.

Pour que l'esprit fût pleinement satisfait, il aurait fallu que la loi de relativité pût s'énoncer ainsi : « L'état des corps et leurs distances mutuelles à un instant quelconque, ainsi que les vitesses avec lesquelles varient ces distances à ce même instant, dépendront seulement de l'état de ces corps et de leurs distances mutuelles à l'instant initial, ainsi que des vitesses avec lesquelles variaient ces distances à cet instant initial, mais elles ne dépendront ni de la position absolue initiale du système, ni de son orientation absolue, ni des vitesses avec lesquelles variaient cette position et cette orientation absolues à l'instant initial. Malheureusement la loi ainsi énoncée n'est pas d'accord avec les expériences, au moins telles qu'on les interprète d'ordinaire »

Page 54: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physique« Qu'un homme soit transporté sur une planète dont le ciel serait constamment couvert d'un épais rideau de nuages. La rotation absolue de cette planète pourrait être mise en évidence.

Il y a là un fait qui choque le philosophe, mais que le physicien est bien forcé d'accepter.

On sait que, de ce fait, Newton a conclu à l'existence de l'espace absolu ; je ne puis en aucune façon adopter cette manière de voir, j'expliquerai pourquoi dans la troisième partie. Pour le moment je n'ai pas voulu aborder cette difficulté.

J'ai donc dû me résigner, dans l'énoncé de la loi de relativité, à confondre les vitesses de toutes sortes parmi les données qui définissent l'état des corps »

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Troisième partie: la forceLa physique est une science qui est explicitement fondée sur l’expérience.

Page 56: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Troisième partie: la force1° Il n'y a pas d'espace absolu et nous ne concevons que des mouvements relatifs ; cependant on énonce le plus souvent les faits mécaniques comme s'il y avait un espace absolu auquel on pourrait les rapporter ;

Page 57: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Troisième partie: la force1° Il n'y a pas d'espace absolu

2° Il n'y a pas de temps absolu ; dire que deux durées sont égales, c'est une assertion qui n'a par elle-même aucun sens et qui n'en peut acquérir un que par convention ;

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Troisième partie: la force1° Il n'y a pas d'espace absolu

2° Il n'y a pas de temps absolu

3° Non seulement nous n'avons intuition directe de l'égalité de deux durées, mais nous n'avons même pas celle de la simultanéité de deux événements qui se produisent sur des théâtres différents ; c'est ce que j'ai expliqué dans un article intitulé la Mesure du temps

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Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Troisième partie: la force1° Il n'y a pas d'espace absolu

2° Il n'y a pas de temps absolu

3° nous n'avons intuition directe ni de l'égalité de deux durées ni de la simultanéité de deux événements

4° Enfin notre géométrie euclidienne n'est elle-même qu'une sorte de convention de langage ; nous pourrions énoncer les faits mécaniques en les rapportant à un espace non euclidien qui serait un repère moins commode, mais tout aussi légitime que notre espace ordinaire ; l'énoncé deviendrait ainsi beaucoup plus compliqué ; mais il resterait possible.

Page 60: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Troisième partie: la force

«Ici, nous rencontrons une question fort importante et même un peu troublante. J'ai dit que le principe du mouvement relatif n'était pas seulement pour nous un résultat d'expérience, et qu'a priori toute hypothèse contraire répugnerait à l'esprit. Mais alors, pourquoi le principe n’est il vrai que si les mouvements des axes mobiles est rectiligne et uniforme ? Il semble qu’il devrait s’imposer à nous avec la même force, si ce mouvement est varié ou tout au moins s’il se réduit à une rotation uniforme. Or, dans ces deux cas, le principe n’est pas vrai. »

Page 61: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physiqueLa Science et l’hypothèse (1902)Troisième partie: la force

«Et pourtant, dans ce cas [si le ciel était sans cesse couvert de nuages], dire que la terre tourne, cela aurait-il un sens ? S'il n'y a pas d'espace absolu, peut-on tourner sans tourner par rapport à quelque chose, et d'autre part comment pourrions-nous admettre la conclusion de Newton et croire à l'espace absolu ?  »

Pour Poincaré l’espace absolu est nécessaire dans la mécanique de Newton, mais ce n’est pas une solution satisfaisante pour le philosophe car il “n'a aucune existence objective”

Page 62: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

L’espace absolu est une convention: « la terre tourne », et : « il est plus commode de supposer que la terre tourne », ont un seul et même sens

“Les valeurs des distances à un instant quelconque dépendent de leurs valeurs initiales, de celles de leurs dérivées premières et encore d'autre chose. Qu'est-ce que cette autre chose ? Si l'on ne veut pas que ce soit tout simplement l'une des dérivées secondes, on n'a que le choix des hypothèses. Supposer, comme on le fait d'ordinaire, que cette autre chose c'est l'orientation absolue de l'univers dans l'espace, ou la rapidité avec laquelle cette orientation varie, cela peut être, cela est certainement la solution la plus commode.”

Page 63: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

“Cela n'empêche pas que l'espace absolu,

c'est-à-dire le repère auquel il faudrait rapporter la terre pour savoir si réellement elle tourne, n'a aucune existence objective. Dès lors, cette affirmation : « la terre tourne » , n'a aucun sens, puisqu'aucune expérience ne permettra de la vérifier ; puisqu'une telle expérience, non seulement ne pourrait être ni réalisée, ni rêvée par le Jules Verne le plus hardi, mais ne peut être conçue sans contradiction.”

Page 64: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Principe de relativité (1904):« les lois des phénomènes physiques doivent être les mêmes soit pour un observateur fixe, soit pour un observateur entraîné dans un mouvement de translation uniforme; de sorte que nous n’avons et ne pouvons avoir aucun moyen de discerner si nous sommes , oui ou non, emportés dans un pareil mouvement »

Poincaré et le principe de relativité

Page 65: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Principe de relativité (1904):« les lois des phénomènes physiques doivent être les mêmes soit pour un observateur fixe, soit pour un observateur entraîné dans un mouvement de translation uniforme; de sorte que nous n’avons et ne pouvons avoir aucun moyen de discerner si nous sommes , oui ou non, emportés dans un pareil mouvement »

Sur la dynamique de l’électron (1906): « Il semble que cette impossibilité de mettre en évidence expérimentalement le mouvement absolu de la Terre soit une loi générale de la Nature: nous sommes naturellement porté à admettre cette loi et à l’admettre sans restriction. »

Poincaré et le principe de relativité

Page 66: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Comme l’espace absolu, l’éther de Poincaré n’est qu’une pure convention, il n’a aucune existence objective. Dès lors, aucune expérience ne permettra de mettre en évidence le mouvement de la Terre par rapport à l’éther.

Poincaré et le principe de relativité

Page 67: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Comme l’espace absolu, l’éther de Poincaré n’est qu’une pure convention, il n’a aucune existence objective. Dès lors, aucune expérience ne permettra de mettre en évidence le mouvement de la Terre par rapport à l’éther.

« Peu nous importe que l'éther existe réellement, c'est l'affaire des métaphysiciens; l'essentiel pour nous c'est que tout se passe comme s'il existait et que cette hypothèse est commode pour l'explication des phénomènes » (Ch. XII de La Science et l'Hypothèse)

Poincaré et le principe de relativité

Page 68: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

« Les équations de la mécanique newtonienne présentent une double invariance : tout d’abord elles conservent leur forme quand on change la position dans l’espace du système des coordonnées; deuxièmement, on peut modifier l’état de mouvement du système de coordonnées et lui imprimer n’importe quelle translation uniforme sans que la forme des équations soit modifiée; l’origine du temps ne joue enfin aucun rôle. Nous sommes habitués à considérer comme définitifs les axiomes de la Géométrie lorsque nous nous sentons mûrs pour les axiomes de la Mécanique, et pour cette raison les deux invariances ont bien rarement été énoncées dans la même phrase. Chacune d’elles implique un certain groupe de transformations pour les équations différentielles. L’existence du premier groupe est tenue pour un caractère fondamental de l’espace. Le second groupe est de préférence traité avec quelque dédain, de sorte que c’est d’un cœur léger que l’on surmonte la difficulté de jamais pouvoir décider à partir des phénomènes physiques si l’espace supposé au repos n’est pas en fin de compte en translation uniforme. Ainsi les deux groupes mènent deux existences absolument séparées l’un à côté de l’autre. Leur caractère hétérogène a sans doute découragé toute tentative de les combiner. Or, c’est justement quand on les combine que le groupe total, pris dans son ensemble, nous donne matière à penser » (Minkowski, 1908)

Page 69: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrie

“Mes idées scientifiques les plus importantes” – A.E. 1920

1907: Idée de base de de la théorie de la relativité générale (PE)

1912: Reconnaissance de la nature non-euclidienne de la métrique et de sa détermination

physique par la gravitation

1915: Equations du champ de gravitation. Explication du mouvement du périhélie de Mercure.

Page 70: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

PE : complète équivalence physique entre un champ de gravitation homogène et un système de référence uniformément accéléré (« Cette hypothèse étend le principe de relativité au cas d’un mouvement de translation uniformément accéléré du système de référence.»)

1907 – PE et l’ascenseur d’Einstein

“La valeur heuristique de « l’hypothèse d’équivalence » réside en ce qu’elle permet de remplacer un champ de gravitation uniforme par un système de référence uniformément accéléré ; or ce second cas est, jusqu’à un certain degré, accessible au traitement théorique” [Einstein, 1907]

Page 71: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Hypothèse d’Equivalence L’Espace n’est pas homogène

Valeur heuristique du principe d’ equivalence

S1

S2

h

x

y

z On considère deux systèmes matériels S1 et S2

munis d’instruments de mesure, situés à la distance h l’un de l’autre sur l’axe z d’un système de coordonnées K au repos dans un champ de gravitation. Le potentiel de gravitation en S2 est donc plus élevé de h qu’en S1.

K = système avec gravitationK’ = système unif. acc.

Page 72: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Hypothèse d’Equivalence L’Espace n’est pas homogène

Valeur heuristique du principe d’ equivalence

S1

S2

h

x

y

z

K = système avec gravitationK’ = système unif. acc.

Si le rayonnement émis en S2 en direction de S1 dans le système K’ uniformément accéléré possédait par rapport à une horloge située en S2 une fréquence ν2, il a, à son arrivée en S1, par rapport à une horloge de construction identique située en S1 (Doppler):

1 2 21 hc

Page 73: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Hypothèse d’Equivalence L’Espace n’est pas homogène

Valeur heuristique du principe d’ equivalence

S1

S2

h

x

y

z

K = système avec gravitationK’ = système unif. acc.

1 2 21 hc

hypothèse

d’équivalence

1 2 21c

Page 74: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Hypothèse d’Equivalence L’Espace n’est pas homogène

Valeur heuristique du principe d’ equivalence

1 2 21 hc

hypothèse

d’équivalence

1 2 21c

Page 75: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Hypothèse d’Equivalence L’Espace n’est pas homogène

Valeur heuristique du principe d’ equivalence

1 2 21 hc

hypothèse

d’équivalence

1 2 21c

« Les horloges en S1 et S2 n’indiquent donc pas toutes les deux le « temps » de façon correcte. Si nous mesurons le temps en S1 avec une horloge U, alors nous devons mesurer le temps en S2 avec une horloge qui, si elle est comparée à l’horloge U au même endroit, bat à un rythme (1+/c²) fois plus lent que l’horloge U »

Page 76: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrie

“Mes idées scientifiques les plus importantes” – A.E. 1920

1907: Idée de base de de la théorie de la relativité générale (PE)

1912: Reconnaissance de la nature non-euclidienne de la métrique et de sa détermination

physique par la gravitation

1915: Equations du champ de gravitation. Explication du mouvement du périhélie de Mercure.

Page 77: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Disque en rotation

x

y

z = z’

x’

y’

K (x,y,z,t) = système galiléenK’ (x’,y’,z’,t’)= en rotation uniforme par rapport à K

Page 78: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Disque en rotation

x

y

z = z’

x’

y’

K (x,y,z,t) = système galiléenK’ (x’,y’,z’,t’)= en rotation uniforme par rapport à K

On mesure la circonférence U dans le système K à l’aide d’un corps-étalon, on fait la même chose pour le rayon, et on trouve que le rapport entre la circonférence ainsi mesurée et le diamètre est bien π, comme la géométrie euclidienne le prédit. Ensuite, on fait la même mesure dans le système en rotation. A cause de la contraction de Lorentz (sur la circonférence mais pas sur le rayon) le rapport entre la circ. et son diamètre diffère de π

Page 79: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrie« La géométrie et l’expérience » 1921, à Berlin

Géométrie axiomatique: la géométrie traite d’objets qui sont désignés au moyen des termes « droite », « point »,etc. On ne présuppose pas une quelconque connaissance ou intuition de ces objets, mais seulement la validité d’axiomes qui doivent eux aussi être conçus de manière purement formelle, c’est-à-dire comme étant dépourvus de tout contenu procédant de l’intuition ou de l’expérience. Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain. Toutes les autres propositions géométriques sont des déductions logiques tirées des axiomes.

Page 80: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrie« La géométrie et l’expérience » 1921, à Berlin

Géométrie axiomatique: Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain.

« Mais il n’en est pas moins sûr, d’autre part, que les mathématiques en général, et tout particulièrement la géométrie, sont nées de notre besoin d’apprendre quelque chose sur le comportement des choses réelles. […] Pour que la géométrie puisse produire de tels énoncés, il faut la dépouiller de son caractère purement logico-formel en faisant correspondre aux schèmes conceptuels vides de la géométrie axiomatiques des objets de la réalité sensible »

Page 81: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrie« La géométrie et l’expérience » 1921, à Berlin

Géométrie axiomatique: Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain. Einstein propose d’ajouter cette proposition:

«Les corps solides se comportent, quant à leurs diverses positions possibles, comme les corps à trois dimensions de la géométrie euclidienne; les propositions de la géométrie euclidienne contiennent alors des énoncés relatifs au comportement des corps pratiquement rigides »

Page 82: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrie« La géométrie et l’expérience » 1921, à Berlin

Géométrie axiomatique: Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain.

Ainsi complétée, la géométrie est manifestement une science de la nature; nous pouvons tout bonnement la considérer comme la branche la plus ancienne de la physique. Ses énoncés reposent essentiellement sur l’induction opérée à partir de l’expérience, et non pas seulement sur des déductions logiques. Nous appellerons la géométrie ainsi complétée « géométrie pratique ».

Page 83: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrie« La géométrie et l’expérience » 1921, à Berlin

Géométrie axiomatique: Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain. Géométrie pratique: les propositions de la géométrie euclidienne contiennent alors des énoncés relatifs au comportement des corps pratiquement rigides

Page 84: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrie« La géométrie et l’expérience » 1921, à Berlin

Géométrie axiomatique: Ces axiomes sont des créations libres de l’esprit humain. Géométrie pratique: les propositions de la géométrie euclidienne contiennent alors des énoncés relatifs au comportement des corps pratiquement rigides

La question de savoir si la géométrie pratique du monde est une géométrie euclidienne ou non a un sens bien clair et la réponse ne peut être fournie que par l’expérience

Page 85: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrie« La géométrie et l’expérience » 1921, à Berlin

« J’attache d’autant plus d’importance à la conception de la géométrie ainsi décrite qu’il m’aurait été impossible sans elle de bâtir la théorie de la relativité. Sans elle, en effet, la considération suivante n’aurait pu voir le jour : dans un système de référence en rotation par rapport à un système inertiel, les lois régissant la position des corps rigides ne satisfont pas, du fait de la contraction de Lorentz, aux règles de le géométrie euclidienne ; dès lors que l’on réserve le même traitement aux systèmes [inertiels et] non inertiels, il faut abandonner la géométrie euclidienne. Le passage décisif à des équation généralement covariantes n’aurait pu se faire s’il n’avait eu pour fondement l’interprétation dont il vient d’être question. »

Page 86: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrie« La géométrie et l’expérience » 1921, à Berlin

«Lorsque l’on refuse d’admettre qu’il existe une relation entre le corps de la géométrie euclidienne axiomatique et le corps pratiquement rigide de la réalité, on en arrive facilement à la conception suivante, que chérissait tout particulièrement le savant à l’esprit pénétrant et perspicace qui était Henri Poincaré: parmi toutes les géométries axiomatiques que l’on puisse concevoir, la géométrie euclidienne se distingue par sa simplicité. […] Qui refuse d’admettre la relation entre les corps pratiquement rigides et la géométrie aura bien de la peine à se débarasser de la convention selon laquelle il faut s’en tenir à la géométrie euclidienne parce qu’elle est la plus simple ».

Page 87: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physiqueCONCLUSIONS

On voit que l'expérience joue un rôle indispensable dans la genèse de la géométrie ; mais ce serait une erreur d'en conclure que la géométrie est une science expérimentale, même en partie.

Ce qui est l'objet de la géométrie, c'est l'étude d'un « groupe » particulier ; mais le concept général de groupe préexiste dans notre esprit au moins en puissance. Il s'impose à nous, non comme forme de notre sensibilité, mais comme forme de notre entendement.

Seulement, parmi tous les groupes possibles, il faut choisir celui qui sera pour ainsi dire l'étalon auquel nous rapporterons les phénomènes naturels.

Page 88: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Poincaré, géométrie et physiqueCONCLUSIONS

On voit que l'expérience joue un rôle indispensable dans la genèse de la géométrie ; mais ce serait une erreur d'en conclure que la géométrie est une science expérimentale, même en partie.

Ce qui est l'objet de la géométrie, c'est l'étude d'un « groupe » particulier ; mais le concept général de groupe préexiste dans notre esprit au moins en puissance. Il s'impose à nous, non comme forme de notre sensibilité, mais comme forme de notre entendement.

Seulement, parmi tous les groupes possibles, il faut choisir celui qui sera pour ainsi dire l'étalon auquel nous rapporterons les phénomènes naturels.

Or la géométrie euclidienne est et restera la plus commode :

1° Parce qu'elle est la plus simple;

2° Parce qu'elle s'accorde assez bien avec les propriétés des solides naturels, ces corps dont se rapprochent nos membres et notre oeil et avec lesquels nous faisons nos instruments de mesure.

Page 89: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrieLa démarche d’Einstein dans la construction de la

relativité générale:1. localement la géométrie euclidienne est valable2. la relativité restreinte nous a donné une

métrique sur un espace à 4 dimensions ;3. c’est cette métrique qu’il faut généraliser.

Page 90: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré

Einstein et la géométrieLa démarche d’Einstein dans la construction de la

relativité générale:1. localement la géométrie euclidienne est valable2. la relativité restreinte nous a donné une

métrique sur un espace à 4 dimensions ;3. c’est cette métrique qu’il faut généraliser.

Einstein conclut ainsi cette partie de l’article de 1921 : « la géométrie riemanienne sera valable quand les lois régissant la position des corps pratiquement rigides se confondront d’autant plus exactement avec celles de la géométrie euclidienne que les dimensions de la région spatio-temporelle considérée seront plus petites ».

Page 91: Physique et géométrie chez Einstein et Poincaré