Dynamique d’une dune solitaire dans une cuve de Hele-Shaw

Pierre Trochet

Présentation de PPL

Le 1er septembre 2005

Université Paris SudUniversité Paris VI Techniques Avancées

Introduction (1/2)

Dunes aériennes ou sous-marines

Elles existent sur Terre mais aussi sur Mars

Dynamique complexe et encore peu connue

Introduction (2/2)

Ici, étude 2D dans une cuve de Hele-Shaw :

Ordres de grandeur :

b = 2 mm, Lc = 50 cm, Hc = 15 cm, Lb = 6 cm, Uo = 24.7 cm/s

Vitesse dans le désert : ~40 m/an, dans notre cuve : ~3cm/min

Plan de la présentation

Introduction Modélisation dans une cuve de Hele-Shaw Résolution numérique Expériences en laboratoire Conclusion et perspectives

Modélisation

Résolution des équations de Navier-Stokes pour le fluide.

Le profil de vitesses donne le frottement sur la bosse.

On relie le frottement au flux de particules en suspension.

Par une loi de conservation, on a la relation entre la hauteur de la bosse et le flux.

Démarche générale :

Équations de Navier-Stokes (1/3)

Hypothèses de départ :

Fluide (eau) incompressible, visqueux et en écoulement laminaire.

Bosse de hauteur petite devant sa longueur (α <<1).

Profil de vitesses de Poiseuille selon la coordonnée z et vitesse selon z négligeable.

Pas de gravité.

Équations de Navier-Stokes (2/3)

On injecte alors ces formes dans les équations de Navier-Stokes et on intègre selon z entre –b/2 et b/2.

Équations de Navier-Stokes (3/3)

En adimensionnant avec :

2536 0LURe (longueur)

10² 0

UbL (pression)

56 2

0U

Il vient (moyenne des équations) :

Solution fluide parfait (Re>>1)

bosse lasur 0 n.U

: ordrepremier Au

Condition limite :

Après passage dans l’espace de Fourier, il vient :

Solution de couche limite

On pose :

Par P.M.D. :

D’où : Condition limite :

Raccordement :

Résolution du problème complet (1/2)

Apparition d’une singularité de GoldsteinPour α ~ 0.23, valeur du frottement ~ 0=> épaisseur de couche limite « infinie »

Solution : théorie de la triple couche=> permet de contourner le problème

Résolution du problème complet (2/2)

Ici, on se limite à la « couche limite interactive » :

La couche limite peut « rétroagir » sur le fluide parfait.

=> Il faut modifier la forme de la perturbation de Ue

Relation d’Exner

Relie la hauteur de la bosse et le flux de particules.

L’adimensionnemnent donne accès à un temps de déplacement de la dune :

Relation flux/frottement

On définit un flux saturé :

On reprend la relation d’Andreotti et coll. :

Soit :

Résolution numérique

2 méthodes pour le fluide :

1. Résolution d’un système linéaire par transformée de Fourier rapide.

2. Résolution du système complet par l’algorithme de Keller-Box.

Pour la bosse, utilisation d’un schéma explicite.

(Prise en compte d’un arrachement maximal)

Exemple sur un cas concret

On prend :

Ce qui donne :

On définit une vitesse pour la dune :

. Ici, d’où :

0.06m let 24.7cm/s U6cm, L 0.6cm, H sat0bb

0.53mm δet 35212 R 9.9cm, L e

Bosse, vitesse extérieure, frottement

Bosse, couche limite, frottement, bosse prolongée

Bosse et valeur du flux de particules

(Grandeurs adimensionnées)

Comparaison des deux méthodes de résolution (vitesse extérieure)

Comparaison des deux méthodes de résolution (frottement)

Résultats numériques (1/5)

Résultats numériques (2/5)

Résultats numériques (3/5)

Résultats numériques (4/5)

Résultats numériques (5/5)

Expériences en laboratoire

Mesure de longueurs, hauteurs et vitesses sur une dune en mouvement.

La hauteur, la longueur et l’inverse de la vitesse évoluent en fonction de la masse comme vu précédemment. (résultats non personnels).

Conclusion et perspectives

Théorie inspirée de l’expérience : peut-être affinée en jouant sur les coefficients.

Partie numérique : résolution « fluide » satisfaisante, résolution bosse perfectible.

Partie expérimentale : la plus importante > inventer de nouvelles expériences pour lsat, Qsat,... > ou faire de nombreuses simulations pour être le plus près possible de l’expérience.