ecoulement compressible

7/25/2019 ecoulement compressible

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CHAPITRE I: ECOULEMENTS COMPRESSIBLESINTRODUCTION

Les problemes etudies concernent des fluides en ecoulement pour lesquels les effets thermiques

sont importants. Ainsi avant de definir precisement la notion decoulements compressibles, nousconsacrons cette premiere partie aux rappels de thermodynamique. Il ne sagit pas de rentrer dansles details mais dintroduire les quantites utiles pour etablir lequation de la chaleur ainsi que depreciser la notion dentropie.

1 Rappels de thermodynamique

Bien que les systemes etudies soient en mouvement, on suppose que chaque unite de volumeelementaire peut etre consideree comme en equilibre du point de vue thermodynamique. Cettehypothese est connue sous le nom detat local associe. On supposera donc que la thermodynamiqueclassique (thermostatique) reste valable pour des systemes en mouvement. Nous nous occupons ici

de systemes decrits par la mecanique des milieux continus.

1.1 Definitions

Un systeme est ferme lorsquil nechange pas de matiere avec le milieu exterieur.

Un systeme est ouvert dans le cas contraire.

Un systeme est mecaniquement isole sil nest soumis a aucune action exterieure.

Un systeme est thermodynamiquement isole, sil ne recoit ni travail, ni chaleur, ni matiere.

Un systeme est adiabatique sil ne recoit pas de chaleur.

Une grandeur Xassociee a un systeme est extensive si sa valeur pour le systeme entier estla somme des valeurs pour chacune de ses parties ex: la masse, lenergie... On definit alors ladensite volumique xv et la densite massique x=

xv

(avec la masse volumique) par:

X =

V

xvdV =

V

xdV (1)

On dit quune grandeur est intensive lorsque dans un systeme homogene sa valeur est la memepour le systeme entier et pour chacune de ses parties. Elle se presente sous forme du rapportde deux grandeurs extensives.

Une variable detat est une variable qui permet de definir letat dun systeme et qui ne dependque de letat macroscopique du systeme

On caracterise le systeme thermodynamique par deux variables detat independantes et Tou encore et s (entropie par unite de masse ou encore entropie specifique). Ce dernier choixporte le nom de variables normales.

Un systeme caracterise par deux variables est dit divariant.

Loi detat:p= P(, T) ou p= g(, s) (2)

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1.2 Principes de la thermodynamique

Nous rappelons tout dabord quune fonction detat est une fonction ne dependant que des variablesdetat du systeme et non de la maniere avec laquelle on est arrive a cet etat. Lenergie interne,lentropie, lenthalpie dont il va etre question sont des fonctions detat.

Premier principe: En thermodynamique classique on definit une energie interne macroscopiqueE, fonction detat du systeme, dont les variations entre deux etats dequilibre macroscopiqueverifient dans toute evolution infinitesimale:

dE= W+ Q , (3)

ou W et Q designent respectivement le travail et la chaleur elementaires recus par le systeme.

Le calcul de ces deux quantites depend du chemin suivi entre letat initial et letat final; W etQ ne sont pas des fonctions detat contrairement a E. Si lon designe par e lenergie interne parunite de masse ou energie interne specifique et par qetw la chaleur et le travail specifiques on a :

de= w+ q . (4)

On peut de meme introduire lenthalpie specifique:

h= e + p , (5)

ainsi que la chaleur specifique a volume constant et la chaleur specifique a pression constante:

Cv =

e

T

et Cp=

h

T

p

. (6)

Remarque: le volume par unite de masse nest autre que linverse de la masse volumique, la chaleurspecifique a volume (specifique) constant est identique a la chaleur specifique a masse volumiqueconstante.

Second principe: En thermodynamique classique le second principe peut senoncer sous la forme

de deux points:

1. Il existe une temperature T et une fonction detat s (dite entropie specifique) telle que danstoute evolution infinitesimale reversible ou non

de= T ds pd(1

) , (7)

2. Ladjonction dun principe devolution qui stipule que pour un systeme ferme, pour touteevolution possible:

ds iJ

(QiTi

) , (8)

ouJdesigne lensemble des sources i de temperature Ti qui fournissent au systeme la chaleurQi. Legalite est obtenue dans le cas dune evolution reversible.

Il est important de noter que la relation (7) est valable que la transformation soit reversible ounon. Dans le cas dune evolution reversible, on peut identifier T dsa la chaleur echangee et pd( 1)au travail echange.De plus e, h et s etant des fonctions detat, de, dh et ds sont des differentielles exactes, on peutecrire:

de=

e

T

dT+

e

T

d , (9)

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dh=

h

T

p

dT+

h

p

T

dp , (10)

ds=

s

T

p

dT+

s

p

T

dp . (11)

Compte tenues des definitions donnees en (6) on a :

de= CvdT+ e

T d , (12)dh= CpdT+

h

p

T

dp . (13)

On rappelle que sidfest une differentielle exacte par rapport aXetY: df= ( fX

)YdX+(fY

)XdYavec :

2f

XY =

2f

Y X . (14)

1.3 Modele du gaz parfait

La theorie cinetique des gaz parfaits de Maxwell a ete elaboree en 1859. Elle sappuie sur le modelemoleculaire de la representation des gaz propose par le chimiste italien E. Avogadro en 1811, etsur des considerations statistiques. En effet le nombre de molecules dun gaz a notre echelle estconsiderable de lordre du nombre dAvogadro: NA= 6, 02 10

23 .Selon la theorie cinetique 1, la loi detat dun gaz parfait (mono-atomique) secrit sous la forme:

p= nkT (15)

ou k represente la constante de Boltzmann en JK1, et n le nombre de molecules par unite devolume.Soient M la masse molaire, NA le nombre de molecules par mole. La masse volumique du gaz sexprime sous la forme = nM

NA. Lexpression (15) devient:

p=

kNAM T . (16)

Or on a :

R =kNA exprime la constante des gaz parfaits R = 8, 3144J.K1.mol1

R= RM

exprime la constante du gaz considere.

En resume, un gaz parfait est caracterise par la loi detat:

p= RT . (17)

On peut montrer que pour un gaz parfait, lenthalpie h et lenergie interne e sont uniquement

fonction de la temperature. de= Cv(T)dT (18)

dh= Cp(T)dT (19)

avec la relation de Mayer:Cp(T) Cv(T) = R . (20)

Pour un gaz mono-atomique Cp et Cv ne dependent pas de la temperature, pour les gaz polyatomiques les variations sont importantes. On appellera gaz parfait polytropique ou a chaleurs

1Pour approfondir la theorie cinetique on pourra se referer a Chapman, Cowling, The mathematical Theory of

non-uniform gases, Cambridge 1952.

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specifiques constantes, un gaz parfait pour lequelCp etCv sont constants.

Pour un gaz parfait polytropique = CpCv

est constant. On en deduit alors compte tenu de (7):

ds=de

T +

p

Td

1

=Cv

dT

T +

p

Td

1

=Cv

dT

T

R

d (21)

La variation dentropie entre deux etats caracterises respectivement par T1, 1 et T2, 2, devientpour un gaz parfait polytropique (Cv etCp constants) compte tenu de (20) et de la definition de :

s= T2

T1

ds = CvlnT2T1

(2

1)1 (22)

On donne ci-dessous a titre indicatif, pour quelques fluides usuels, la masse volumique en Kg/m3,la viscosite cinematique en m2/s, la chaleur specifique a pression constante Cp en J/(Kg K),et la vitesse du son c en m/s.

air eau alcool glycerine mercure

1,293 998,2 791 1260 13600

0C 20C 20C 0C

1, 37 105

1, 00 103 4, 18 103 2, 43 103 2, 26 1031, 40 102

1450

a 20C

a 25C

1,4 1,01 1,3 1,14

331,45 1486 1213

1, 007 106 1, 52 106 0, 95 105 1, 14 107

Cp

c

Le modele du gaz parfait est excellent tant que la pression est suffisamment faible pour que lonpuisse negliger les forces dinteraction moleculaires: forces de Van der Walls.

2 Equations de Bilans

2.1 Rappels de mecanique des milieux continus

Les grandes lois de la physique classique sont dun type general que lon appelle lois de conser-vation. Une loi de conservation est un bilan de masse, dequantite de mouvement, denergie.

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Nous nous proposons de rappeler rapidement pour une grandeur extensive dependant du temps etde lespace A(x, t) (masse, quantite de mouvement, energie) definie sur un domaine D(t) le bilanassocie a cette quantite. Un pointMappartenant a D(t) est anime dune vitesseu(x, t). On noteraA(x, t) la grandeur intensive associee:

A(x, t) =

D(t)

A(x, t)dv (23)

Sous forme symbolique le bilan secrit:

ddt

D(t)

A(x, t)dv +D(t)

ds =D(t)

PAdv , (24)

ddt

designe la derivee particulaire et D le bord du domaine. Dans (24) le second membre representece que lon fournit, ce qui sert a compenser les pertes subies a travers la frontiere (integrale de sur-face) et dautre part a faire varier la quantite A lorsquon suit le domaine D dans son mouvement.PA designe le taux de production volumique. Compte tenu du lemme fondamental de la dy-namique 2, on a = A.n ou n designe la normale a la frontiere du domaine representee sur lafigure 1 et A le flux de diffusion de A a travers la surface D. Supposons que le domaine quelon suit dans son mouvement possede une surface de discontinuite que lon appellera supposeeinerte vis a vis de la quantiteA. On citera comme exemple de surfaces de discontinuites, les nappes

tourbillonaires dans les ecoulements cisailles, les ondes de choc, les interfaces entre deux fluides.

D1

D2

D

D(t)

n

NW

Figure 1: W designe la vitesse de (t) independant du domaine, Ndesigne la normale a la surfacede discontinuite, n represente la normale a la surface D. La surface de discontinuite separe ledomaine en deux sous domaines D1 et D2.

On rappelle tout dabord lexpression deD(t)

A.nds avec A continuement differentiable sur

D(t) prive de :

D(t)

Ands=

D(t) div(

A)dv+

(t)[[

A]]

Nds (25)

ou [[A]] designe le saut de la quantite A a travers (t). Lorsque la normale est orientee commesur la figure 1:

[[A]] =2A

1A . (26)

Dautre part la derivee particulaire dune integrale de volume sexplicite sous la forme:

d

dt

D(t)

A(x, t)dv =

D(t)

A

t +

D(t)

Au.n

(t)

[[A]] W . Nds (27)

2Mecanique des milieux continus de paul Germain, Masson, 1973

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compte tenu de (25) on a :D(t)

Au.n=

D(t)

div(Au)dv+

(t)

[[A]] W . Nds (28)

De (24), (25), (27) et (28) on deduit le bilan sous la forme:D(t)

A

t PA+ div(Au +A)dv+

(t)

[[A(u W) +A]]. Nds = 0 (29)

cette expression represente le bilan GLOBALde la grandeur extensive A(x, t) (23) sur le domaineD(t) (figure 1) que lon suit dans son mouvement. Il est souvent tres utile de travailler avec un telbilan selon la finesse de la modelisation adoptee, comme nous le verrons au chapitre II en abordantle cas de la tuyere de Laval.Lorsque A

t, PA, A, u, A sont continuement differentiables sur D(t) on peut en deduire la forme

locale en un pointMdu domaine et a la date t:

A

t+ div(Au +A) =PA (30)

ou encore:dA

dt + Adiv(u) = div(A) + PA (31)

Si u, A sont continus sur D(t) exceptes a la traversee de la surface animee de la vitesse W etsiAest continuement differentiable sur D (t) prive de , il faut en outre assurer qua la traverseede la surface de discontinuite on ait:

[[A(u W) +A]]. N sur (t) (32)

avec toujours la meme convention (26) lorsque la normale est orientee comme sur la figure 1. Pourplus de details on pourra se referer au cours de mecanique des milieux continus de premiere annee.Nous choisissons de decrire lecoulement en adoptant le point de vue de la mecanique des milieuxcontinus, ce qui suppose que nous travaillons sur une echelleL tres grande devant le libre parcoursmoyen (distance entre deux molecules):

L >> (33)Lapproche est donc macroscopique. Nous allons appliquer ces resultats aux differents bilans, demasse de quantite de mouvement et denergie.

2.2 Bilan de masse

Dans ce cas, A(x, t) =(x, t). On suppose quil ny a pas de reactions chimiques au sein du milieuet donc il ny a pas de production de masse: PA est nul. Il ny a pas de flux de diffusion A.physiquement le bilan de masse indique que lorsquon suit le domaine D(t) dans son mouvement,sa masse ne change pas: d

dtm(t) = d

dt

D(t) dv= 0.

D(t)

t + div(u)dv+(t)[[(u W)]]. Nds = 0 (34)

ou encore: D(t)

t+

D(t)

u.nds

(t)

[[]] W . Nds = 0 (35)

urepresente le flux de convection de masse a travers la surface D(t). On deduit de (30), (31) etde (32) le bilan local:

t+ div(u) =

d

dt + div(u) = 0 (36)

[[(u W)]]. N sur (t) (37)

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2.3 Bilan de quantite de mouvement

On a alorsA(x, t) =u(x, t). La production de quantite de mouvement est due aux efforts exterieursvolumiques appliques au systeme, forces de gravite, de coriolis par exemples. On notera Pu= f

ou fdesigne la densite massique des efforts exterieurs. La surface D(t) peut etre soumise a des

efforts surfaciques modelises par le tenseur des contraintes . On a donc: sous la forme:D(t)

u

t f+ div(u u )dv+

(t)

[[u(u W) ]]. Nds = 0 (38)

avec u utenseur tel que u u.n = u.(u.n). On peut encore exprimer (38) sous la forme:D(t)

u

t f dv+

D(t)

u(u.n) .n

ds

(t)

[[u]] W . Nds = 0 (39)

On en deduit les formes locales:

(u)

t f+ div

u u

= 0 (40)

[[u (u W) ]]. N sur (t) (41)

compte tenu de (36) on a:

dudt

= f+ div() (42)

On peut alors en deduire un bilan local pour lenergie cinetique:

d

dt

u2

2

= f .u +

1

div().u (43)

2.4 Bilan denergie

On prend A sous la forme A = (e + 12u2) ou e est lenergie interne specifique definie en (4) et (9).

Les echanges de chaleur volumiques (rayonnement) sont notes r (lorsque le systeme est adiabatiquerest nul). Les echanges de chaleur a travers la surface apparaissent sous forme dun flux de chaleur

noteqde sorte que la productionPeet le fluxevalent respectivementr et q. Dautre part comptetenu de la symetrie du tenseur des contraintes on au(.n) = (.n).u= (.u).n. On a donc:

D(t)

(e + 12u2)

t fur+div

(e +

1

2u2)u + (q .u)

dv+

(t)

[[(e+1

2u2)(u W)+q.u]]. Nds = 0

(44)Ce que lon peut simplifier compte tenu de (25), (27) et (29) sous la forme:

D(t)

(e + 12u2)

t fu r

dv+

D(t)

(e +

1

2u2)u.n + q.n u..n

ds

(t)

[[(e+1

2u2)]] W . Nds = 0

(45)

On en deduit les formes locales pour lenergie interne specifique e, en exploitant le bilan localdenergie cinetique (43):

de

dt =r div(q) + div(.u) div().u (46)

et:

[[(e +1

2u2)(u W) + q .u]]. N sur (t) (47)

Lenthalpie specifique a ete definie en (5), on peut definir lenthalpie specifique totale Hpar:

H=h +1

2u2 =e +

p

+

u2

2 (48)

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En notant le tenseur des contraintes sous la forme:

= p1 + v (49)

les efforts surfaciques sont dus a la pression ainsi quaux efforts de frottement dus aux effets deviscosite, representes par v. Le bilan local denthalpie specifique totale H(49) secrit sous formelocale:

dH

dt =

p

t+ r+ fu div(q) + div(v.u) (50)

2.5 Bilan dentropie

Le second principe rappele en (7) et (8) permet de preciser si une evolution est possible ou non, ona en utilisant lexpression (21):

Tds

dt =

de

dt

p

d

dt (51)

En exploitant le bilan de masse local vu en (36) et denergie specifique vu en (46), on a:

Tds

dt =r div(q) + div(.u) div().u +

p

divu (52)

Compte tenu de (49) on a:

dsdt

= rT

div(q)T

+ 1T

T r(v.u) (53)

ouT r designe la trace du produit des deux tenseurs. On peut exprimer le principe devolution, vuen (8) en detaillant les apports de chaleur volumiques et surfaciques:

d

dt

D(t)

s(x, t)dv

D(t)

r

Tdv

D(t)

q.n

T ds (54)

ce qui conduit a:

q.T

T2 +

1

TT r(v.u) 0 (55)

Ces relations mettent en evidence que les sources dirreversibilite sont la dissipation visqueuse etla dissipation thermique. Lequation de saut associee est:

[[s(u W). N+qN

T ]] 0 sur (t) (56)

3 Modelisation

Nous allons maintenant preciser le modele adopte dans ce cours pour les ecoulements compressibles.Les fluides dont il est question peuvent etre caracterises par leur compressibilite intrinseque enlabsence de tout ecoulement. On peut mesurer cette compressibilite par la quantite:

c2

=p

s (57)

qui traduit les variations de masse volumique ou du volume par rapport aux variations de pressiona entropie constante, c2 est le carre de la vitesse du son, nous verrons en petites classes que cettequantite est etroitement liee a la vitesse des ondes de pression infinitesimales qui se propagent dansun milieu au repos audibles par loreille humaine . Le volume peut egalement etre modifie sousleffet dun ecoulement; le taux de dilatation volumique est defini ci-dessous avecv(t) le volumeque lon suit dans son mouvement qui est etroitement relie a la vitesse u:

1

v

dv

dt= divu (58)

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On voit donc que pour juger de leffet de la compressibilite dans un fluide en mouvement, il fauttenir compte de la vitesse du son et de la vitesse de lecoulement. Pour tenir compte de cettedualite on definit un parametre adimensionnel, le nombre de Mach M par:

M=u

c (59)

Pour M

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