ECOULEMENT CANNAUX

8/18/2019 ECOULEMENT CANNAUX

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Ecoulements dans les canaux


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Un canal est une

conduite dans laquelle l’eau circule

en présentant une surface libre. La

position de cette surface libre n’est

pas fixée à priori, et la géométrie de

l’écoulement n’est donc pas connue.A la surface libre la pression est

égale à la pression atmosphérique.

Si les parois ne se referment

pas au-dessus de la surface libre on

dira que le canal est découvert. Dans

le cas contraire, on parle de canaux

couverts (drains, égouts,…). Pour

qu’un canal couvert se comporte

comme canal à surface libre il faut

que la pression reste la pression

atmosphérique et donc qu’il reste

une tranche d’air suffisante pour

qu’il ne se produise pas d’effet

pneumatique. Cela arrive par exemple lorsqu’un réseau

d’assainissement pluvial tend à se

mettre en charge.

Définitions

Canal découvert

Canaux couverts


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Un canal est dit

uniforme lorsque son lit est

cylindrique (engendré par une

génératrice s’appuyant sur un

contour) et conserve des parois

de même nature d’une section à

l’autre.

Dans ce cas la pente

longitudinale, la direction, la

nature des parois et les sectionstransversales sont constantes.

Toute modification d’un de ces

paramètres constitue une

singularité qui rompt

l’uniformité du canal. Ainsi les

canaux naturels ne sont jamaisstrictement uniformes même si

souvent nous serons amenés à

admettre qu’ils le sont en

moyenne.

Définitions

Contour

Génératrice

Nature des parois

variable transversalement mais

constante longitudinalement


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On appelle section transversale d’un canal , une section plane, normale à la direction

générale de l’écoulement. Pour un canal uniforme cette section est perpendiculaire à la

génératrice.La section mouillée est la portion de la section transversale occupée par le liquide. Les

principaux éléments que l’on peut définir à partir de la section mouillée sont :

B : la largeur au miroir, ou largeur mouillée (largeur la surface libre) ;

H : hauteur d’eau, ou profondeur (mesurée à partir du point le plus bas de la section ;

S : Surface mouillée (aire occupée par l’eau dans la section transversale) ;

p : Périmètre mouillée (longueur du contact transversal eau – paroi).

A partir de ces éléments on définit les paramètres suivants :

:le rayon hydraulique;

: le diamètre hydraulique ;

: la profondeur moyenne

Définitions

S Rh

p

44

S Dh Rh

p

S Hm

B

B

SH

p


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REPARTITION DES VITESSESDans les canaux les écoulements sont quasi toujours turbulents. La vitesse en un point

varie en grandeur et en direction autour d’une vitesse moyenne appelée vitesse locale Vl.

Ces vitesses locales ne sont jamais distribuées uniformément dans la section.

Cette répartition est représentée par des courbes isodromes (égales vitesses). On constate unedécroissance rapide des vitesses au voisinage des parois.

Le point à vitesse maximale est généralement situé vers le milieu de la section et près de la

surface libre. Sur une verticale, le profil des vitesses prend généralement une allure parabolique

L’intégrale des vitesses locales le long d’une verticale est appelée profil unitaire et noté P.U. :

1

( )

. .( ) ( , )

Zo

Zf x

U x V x z dz


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PENTES LONGITUDINALES

L’étude des écoulements dans les canaux fait régulièrement intervenir la pente I du

fond du canal (pente du radier) et la pente de la surface libre i.

Par définition on a : I = sin (θ) et i = sin (γ)En général ces angles sont suffisamment faibles pour avoir :

I = sin (θ) tg(θ) θ et i = sin (γ) tg(γ) γcos (θ) 1 et cos (γ) 1Les pentes seront comptées positivement si le radier et la surface libre descendent dans le sens du

courant.

Radier

Surface libre Horizontale


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PERTES DE CHARGE DANS LES ECOULEMENTS A SURFACE LIBRE

CHARGE DANS UNE SECTION

Les écoulements à surface libre correspondent très généralement à un écoulement pleinement

turbulent. Même en régime uniforme, les vitesses locales ont donc des composantes moyennes

auxquelles s’ajoutent des composantes aléatoires de moyennes nulles. La charge moyenne dans

une section transversale est donc particulièrement délicate à calculer.

Par la suite on admettra que la répartition des pressions est sensiblement hydrostatique et que

l’écoulement est assimilable à un écoulement ou la vitesse V est partout la même (V=Q/S).

La charge moyenne E dans une section (où le fond est à la cote Zf, où le tirant d’eau est H et où

la vitesse moyenne est V=Q/S) est donc :

E = Zf + H + V2/2g


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VARIATION DU MOUVEMENT DANS L’ESPACE

Le régime est dit uniforme lorsque les profils des vitesses se translatent d’une section à

l’autre. Le régime uniforme ne peut donc se rencontrer que dans un canal uniforme et en régime

permanent. La pente du fond est alors égale à la pente de la surface libre.

Dans les autres cas on parle de régime varié.Si les vitesses augmentent on dira que le régime est accéléré si elles diminuent le régime est

qualifié de retardé.

Enfin on distinguera les régimes graduellement variés, où les pertes de charge sont analogues à

celles du régime uniforme, des régimes brusquement variés.

Régime uniforme Régime var ié

graduellement retardé

Régime varié

graduellement accéléré

Régime varié

brus quement retardé


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NOTION PHYSIQUE DE LA PERTE DE CHARGE

Pertes de charge en régime uniformeLa perte de charge ΔH entre deux sections distantes d’une longueur L est évidemment :

Les vitesses et tirant d’eau étant constants d’une section à l’autre on a :

Et le coefficient de perte de charge linéaire J n’est autre que :

2 21 1 2 21 2 1 2

2 2 P V P V H E E Zf Zf

g g g g

1 2 H Zf Zf

1 2 Zf Zf H J I L L

Radier

V12/2g

Ligne d’énergie

Plan horizontal de référence

Niveau piézo.

V22/2g

Zf 1

P1/g

P2/g

L

Zf 2

Hn


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NOTION PHYSIQUE DE LA PERTE DE CHARGE

En régime uniforme, l’écoulement se fait avec un tirant d’eau tel que la perte de charge linéaire

est égale à la pente du radier et à la pente de la surface libre. La baisse de l’énergie de position

compense exactement les pertes d’énergie dans l’écoulement.

Lorsque le régime uniforme est atteint le tirant d’eau H prend une valeur constante Hn dite

hauteur d’eau normale.

Le premier à étudier ce phénomène fut Chezy. Il constata que la vitesse moyenne V dans lasection était liée à la pente I, au rayon hydraulique Rh par un coefficient C selon l’expression :

(C coefficient de Chezy)

Nous verrons un peu plus loin que ce coefficient C, n’est pas exactement une constante pour un

canal donné.

V C Rh I


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FORMULATIONS DES PERTES DE CHARGE

Formule de Chezy :

Nous avions vu dans l’analyse dimensionnelle des pertes de charge en écoulement en charge que

l’on devait avoir :

en posant et D 4 Rh, on obtient :

ce qui justifie la formule de Chezy :

En fait le coefficient de Chezy C varie avec le nombre de Reynolds et surtout avec la rugosité

relative du canal.

jV C Rh

2

2

V j

gD

2 8C

2

2

V j

C Rh


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Formule de Bazin :

Bazin propose d’évaluer le coefficient C de Chézy par la relation :

ce qui donne encore :

Le coefficient γ dépend de la nature des parois

87

1

C

Rh

87 j

1

RhV

h


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Formule de Manning-Strickler:

C’est la formule la plus largement usitée de nos jours. Elle préjuge que le coefficient C de Chézyvarie comme :

où le coefficient de Manning n varie avec la nature des parois ;

ou encore :

où le coefficient de Strickler k varie avec la nature des parois (évidemment k=1/n).

On utilise généralement le coefficient de Strickler et la formule générale de la vitesse est :

16

1C Rh

n

16C k Rh

2 13 2V k Rh j


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VARIATION DE L’ENERGIE LE LONG D'UN COURANT

Comparaison des pertes de charge singulières en conduite et en canal

Il existe une différence fondamentale entre les pertes de charge singulières dans une conduitelongue et dans un canal uniforme.

Comme le montre la figure suivante, si l'on provoque une perte de charge singulière dans une

conduite longue il est évident que le débit va décroître.

V²/2g

Q

Perte de charge

linéaire j(Q)

½ V²/2g

V'²/2g

Q'

Perte de charge linéaire j(Q')

½ V'²/2g

Perte de chargelinéaire j(Q')

Perte de charge

singulière Js(Q')

Singularité

(diaphragme)


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Dans un canal uniforme en régime uniforme (pas de singularité), la perte de charge linéaire est

partout la même :

J(Hn)=I

Ligne d'énergie

Ligne d'eau

V'²/2g

Hn

Par contre si l'on introduit dans un canal uniforme une singularité (ici un déversoir), il n'y aura

pas de diminution du débit. En effet à l'amont du déversoir, le niveau d'eau va augmenter et

devenir supérieur à Hn. La perte de charge linéaire sera alors inférieure à I et on réalisera une

"économie" de perte de charge. Dans le ressaut situé à l'aval du déversoir, il y aura bien une

perte de charge singulière, mais elle est exactement compensée par l'économie précédente.

L'introduction d'une singularité ne changera donc rien dans le débit du canal.

Singularité

(déversoir)

Ligne d'énergie

Ligne d'eau

V²/2g

Hn V²/2g

Hn

Economie de perte de charge perte de charge singulière

H>Hn => j(H)


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Transformation d'énergie le long du courantSoient deux sections transversales, notées 1 et 2, on peut appliquer le théorème de Bernoulli entre

ces deux sections :

ou encore :

J1-2 représente ici la perte de charge entre les sections 1 et 2 et celle-ci ne peut être que positive.

2 2

1 21 2 1 2z z

2 2

V V J

g g

2 2

2 11 2 1 2z z

2

V V J

g

Ligne d'énergie

Ligne d'eau

V1²/2g

H1

zf 1

z1

V2²/2g

H2

Zf 2

z2

J1-2


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Transformation d'énergie le long du courant

Si le régime est accéléré on a V2>V1 et la différence z1-z2 est forcément positive : la ligne d'eau

est toujours descendante en régime accéléré.

Si le régime est retardé on a V2


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ÉTUDE DES SECTIONS TRANSVERSALES


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INFLUENCE DE LA PROFONDEUR SUR LES ÉLÉMENTS TRANSVERSAUX

Pour une forme de section donnée, l'influence de la hauteur H se fait sentir sur les

valeurs du rayon hydraulique et de profondeur moyenne. Cette influence dépend également de la

forme de la section selon qu'elle est évasée vers le haut ou qu'elle va au contraire en se

rétrécissant.Rayon hydraulique :

Généralement, le rayon hydraulique croît avec H pour les lits ouverts ; cependant il peut se

produire des exceptions dans certains cas de canaux à forme complexe.

Ceci est le cas pour les canaux s'évasant très rapidement en particulier le cas de deux rectangles

emboîtés, il se produit alors une baisse momentanée du rayon hydraulique au passage entre les

deux rectangles.Pour les sections fermées, Rh est d'abord croissant, puis il décroît ensuite à l'approche de la

voûte. Dans tous les cas Rh est toujours inférieur à H.

H

Rh(H)

H

Rh(H)

Rh(H)

H


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Profondeur moyenne :La profondeur moyenne Hm=S/B, croît avec H, sauf pour les lits de forme complexe cités ci-

dessus où elle peut subir une légère décroissance au passage de la singularité de ce lit.

Pour les lits ouverts, Hm est toujours inférieur à H. Dans le cas des lits fermés Hm peut devenir

supérieur à H.

B

H H m

H

H m

B


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Cas du rectangle infiniment large

Dans tous les cas Rh est inférieur à Hm puisque la largeur au miroir B est toujours inférieure au

périmètre mouillé p. Cependant, considérons le cas particulier d'un rectangle très large :

S = B H , p = B + 2 H et Hm=S/B = HRh = S / p = BH / ( B + 2 H )

dans ce cas on peut considérer que 2 H est négligeable devant B :

H = Hm = Rh

Cette remarque est importante car ce cas particulier n'est pas rare ; en effet, il en est ainsi pour

tous les cours d'eau très larges et peu profonds.

B

H


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INFLUENCE DES DIVERS PARAMÈTRES SUR LE DÉBIT

Si on emploie la formule de Manning - Strickler pour exprimer le débit en régime uniforme,

l'expression de ce débit est :

L'influence des divers paramètres est donc :

- k, coef. de Strickler dépendant de la nature de la paroi. Le débit augmente lorsque la rugosité de

la paroi diminue.

- I, pente du radier du canal. Le débit augmente en même temps que la pente.

- S et Rh dépendent de H ; il n'est pas possible, a priori, de connaître le sens de variation du produit S x Rh. Il faut alors étudier chaque cas particulier.

Dans la pratique, il se pose deux types de problèmes principaux:

- Le premier est de déterminer la forme de la section à donner à un canal pour que le débit soit

maximum. On se donne la section mouillée, la pente et la nature des parois.

- Le deuxième type de problème est de déterminer le débit pour un canal donné (forme, nature

des parois et pente connues) en fonction de la hauteur d'eau.

2/3 1/ 2Q k S Rh I


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PROFILS DE DÉBIT MAXIMUM DANS LE CAS DES SECTIONS ÉVASÉES

Supposons que l'on cherche le débit maximum pour un canal où k, S et I sont donnés. Le débit

maximum est obtenu pour une forme telle que pour une aire S donnée, le périmètre mouillé soit

minimum. Le problème est donc uniquement un problème de géométrie plane.

Forme demi-circulaireOn sait que la forme circulaire est celle pour laquelle le périmètre est minimum pour une surface

donnée.

Dans la pratique cette forme de section se prête mal à des canaux de grandes dimensions et on ne

la rencontre guère que dans les anciens canaux d'irrigation ou dans les gouttières de maisons.


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Forme trap zo dale

Supposons que l'on désire construire un canal de forme trapézoïdale isocèle. Ce trapèze sera

défini par sa base Bo, sa profondeur H et la pente m (ou fruit) de ses côtés par rapport à la

verticale.

m = Cotg (α) ; S = H (Bo + mH)

2

0 2 1 p B H m o

2

0

H (B mH)

2 1 Rh

B H m

H

B0 m H

H (1 + m

2

)

1/2

O E

F

B

CD

d/2


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m est une donnée mais la section S dépend de H et de B o. Cependant S étant une donnée du

problème, les variations de S en fonction de H, et de S en fonction de Bo doivent se compenser :

dS = H d Bo + (Bo + 2mH) dH = 0

Pour que le débit soit maximum on doit avoir un périmètre minimum donc :

2

0 2 1 0dp dB m dH

0 02 20

0

20

2 0

2 2 1 12

2 1 0

HdB B mH dH

BmH H m H m mH

H dB H m dH


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Sur la figure on remarque que :

Le triangle OBC est donc isocèle et ses hauteurs correspondantes EC et OF sont donc égales

d'où : OD = OF

Le profil de débit maximal pour un trapèze isocèle est donc celui qui est circonscrit à

un demi-cercle dont le diamètre coïncide avec la surface libre.

0

2

2

1 sin( )

cot ( )

B DC OE

H

H m CB OE CB EB OE EB OB CB

mH H g EB

H

B0 m H

H (1 + m2)1/2

O E

F

B

CD

d/2


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La forme rectangulaire peut être considérée comme un cas particulier du trapèze dans lequel

m = 0. La condition de débit maximum pour une section donnée s'écrit alors :

2

0 2 1 B H m m 2 22 1S H m m

22 2 1 p H m m

2 Rh

2H = B0

H


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SECTIONS VOÛTÉES

Profondeur de débit maximum

Comme on l'a vu plus haut, le débit dans une section voûtée croît avec la hauteur, puisdécroît au voisinage de la voûte. En effet, au voisinage de la voûte, le périmètre mouillé croît plus

vite que la section mouillée, et bien que la surface offerte à l'écoulement augmente, il se produit

une baisse de débit due à la diminution de la vitesse.


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Dans la pratique les résultats de ces deux calculs ne sont pas exploitables. En effet, la tranche

d'air ménagée entre la surface et la voûte est trop faible pour que l'on soit sûr que la conduite ne

se mette en charge ce qui provoque des effets pneumatiques néfastes pour la conduite et le débit

transité.

Dans la pratique, on choisit une hauteur plus prudente de b, ce qui correspond à un

angle mouillé de 240°. La perte de débit correspond à 15 % environ par rapport au débitmaximum théorique

2r = D

= 302°

= 258°

= 240°0

r = D/2

1.88 r

1.63 r

1.5 r

0.5 r

15 %

Niveau théo. de débit max.

Niveau théo. de vitesse max.

Niveau pratique optimale

V(H)

Q(H)

Rh(H)

H


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Exercice 1 :On considère la section droite ABCD d'un canal.

Le fond du canal BC est à l'altitude zB=zC=115,25 m et sa largeur est BC=1,5 m.

En rive droite se trouve un terre-plein horizontal à l'altitude zD=116 m.

En rive gauche se trouve un terre-plein horizontal à l'altitude zA=116,5 m.La pente du canal est de 50cm par km.

La pente de la berge AB est de 50% et celle de la berge CD est de 33,3%.

La hauteur d'eau dans le canal est h=0,5 m. Le débit de l'écoulement est Q=0,875 m 3.s-1.

1. Quelle est la valeur du coefficient de Strickler du canal ?


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Exercice 2

Un tuyau d’égout circulaire ayant un coefficient de Manning de

n=0,015 est posé sur une pente I=0,0002. Lorsque la hauteur d’eau

atteint 0,9 fois son diamètre, ce tuyau d’égout doit transporter un débit

Q=2,5 m3 s-1

Calculer le diamètre de cet égout ?


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ENERGIE SPECIFQUE


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Définition :L'énergie spécifique (ou énergie interne) E d'une section mouillée représente l'énergie moyenne desparticules de la section, par unité de poids. Cette énergie, exprimée en hauteur d'eau, est rapportée au planhorizontal passant par le point le plus bas de la section. Cette définition diffère de celle de la charge totale,

puisque celle-ci est rapportée à un plan de référence fixe, alors que pour l'énergie spécifique le plan de

référence diffère d'une section à l'autre.


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DÉFINITION DU RÉGIME CRITIQUE

1 Profondeur critiqueOn appelle profondeur critique la profondeur Hc commune aux sommets des courbes H(E) et

H(Q). Cette profondeur est donc celle pour laquelle le débit est maximum pour une énergie donnée etl'énergie minimum pour un débit donné.

2 Énergie critiquesPour cette profondeur on dit que le régime est critique, la surface libre occupe le niveau critique

Nc. Tous les éléments géométriques liés à H = Hc seront qualifiés de critiques. Parmi les éléments critiques,

on parlera également d'énergie critique, abscisse du point CE, et de vitesse critique Vc.

3 Régime critique- Lorsque H est inférieur à la hauteur critique on dira que le régime est supercritique ou supracritique.

H < Hc V > Vc Fr > 1

- Lorsque H est supérieur à la hauteur critique on dira que le régime est infracritique ou subcritique.

H > Hc V < Vc Fr < 1

- En régime critique l'énergie spécifique est minimum donc sa différentielle est nulle.


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Documents

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