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Corrig EDHEC Eco 2012 par Pierre Veuillez

Exercice 1

ON admet que si une suite (an)n2N converge vers une limite ` alors on a :

limn!++1 1n

n1Xj=0

aj =`

On se propose dtudier la suite (un)dnie par u0= 0 et pour tout entiern :

un+1=u2n+ 1

2

On remarque que la fonction f :x7! x2 + 1

2 est strictement croissante sur R+

1. a) Par rcurrence :

u0 = 0 donc 0u0

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a) on a

1

vn+1 1

vn=

1

1 un+1 1

1 un !FI

= 1

1 u2n+12

11 un

= 21 u2n

11 un

=2 (1 +un)

1 u2n=

1 un1 u2n

= 1

1 +un

! 12

Conclusion : 1

vn+1 1

vn! 1

2

b) On aun!1 donc vn!0+ ,et 1vn !+1

1

vn 1

v0=

n1Xj=0

1

vj+1 1

vj

et

1

n

n1

Xj=0

1

vj+1 1

vj

! 1

2 donc

1

n

1

vn 1

! 12

et

1

n

1

vn! 1

2 et

vn2n

!1

Conclusion : vn 2n

quand n!+1

c) On a donc vn = 2n(1 + " (n))avec" (n)!0 donc

un= 1 vn= 1 2

n 2

n" (n)

= 1 2n

+o

1

n

d) Dans une fonctionu, le retour de valeur se fait par u :=valeur ;

On doit calculer de u1 un do la boucle for i :=1 to n do

function u(n :interger) :real ;var i :integer ;un :real ;

begin

un :=0;

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1 EXERCICE 2

for i :=1 to n do un :=(un*un+1)/2 ;

u :=un;

end ;

e) On calcule un etnjusqu ce que la condition soit remplie.

Il est cependant dispendieux de refaire le calcul de tous les termes ( repeat n :=n+1

until 1-u(n)

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1 EXERCICE 2

Donc (polynme annulateur) si est valeur propre de A alors4 = 1 donc 2 =1 = 1et =1Conclusion : Les seules valeurs propres possibles de A sont 1 et1

b) (x;y;z)2ker (g Id)()(A I)0

@xyz

1

A= 0

()8