E F F E T D E L'ATMOSPHI~RE NON IONIS]~E S U R LA M E S U R E D E L ' E F F E T D O P P L E R - F I Z E A U

Cas de location d 'un satellite

Pierre MISME Ing6nieur en chef de la M6t6orologie *

p a r

e t Jean-Charles THOIN Docteur en 61ectronique **

SoMM*mr. - - Pour conna~tre la ~,itesse radiale d'un satellite en utilisant l'e#et Doppler-Fizeau, on est conduit d chif[rer l'influence des milieux de propagation. On dtudie ici le r61e de l'atmosphdre non ionisge. Cette dtude met en gqidence deux termes correctifs par rapport d la propagation dans le ~ide. Ces termes correspondent dt l'allongement du chemin optique, car la ~itesse de propagation est infdrieure darts l'air h ce qu'eUe serait dans le vide, et it la courbure des rayons par la rd[raction. On montre que lorsque la dur~e de la mesure est in[drieure it une ~ingtaine de secondes, on peut la ndgliger si la prdcision requise est infdrieure it t0 --s de la ~ariation de [rgquence due it l'ef]et Doppler-Fizeau.

PLAN. ~ $ t . Introduction. �9 2. Formule ggndrale. �9 3. Influence du temps de parcours de l' onde. �9 4. Influence de la courbure du rayon. �9 5. Conclusion. �9 Annexe : Justification de certaines approximations. �9 Biblio-

graphie (i rd[.).

L I N T R O D U C T I O N .

L'atmosph~re dont les param~tres varient dans le temps et l'espace, contribue ~ donner ~ la propaga- tion d'un signal, des earact6ristiques diff6rentes de la propagation dans le vide, souvent prise comme r6f6renee afin de simplifier l'expos6 des probl~mes. On essayera d'6tudier ici la contribution des milieux non ionis6s dans le cas de la mesure de l'effet Dop- pler-Fizeau. De nombreux aspects de cette contri- bution n'ont pas 6t6 6tudi6s ant6rieurement car les mesures n'avaient pas atteint une pr6cision suffi- sante. Cependant, actuellement, dans le cas de la loealisation d'un satellite, la technique instrumen- tale peut gtre tellement am61ior6e qu'il est n6ces- saire d'6valuer les limites de pr6cision impos6es par la propagation, ce qui correspond h des corrections

apporter aux mesures suppos6es faites dans le vide.

IL F O R M U L E G ~ . N ~ . R A L E .

On peut montrer que (*) :

h f i d ~ s t d I O) 7 = o n d s =

a v e c :

f = fr~quence d'~mission, Af = 6cart entre la fr6quence revue et la fr6quence

~mise (quelquefois appel6 fr6quence Dop- pler),

t ---- vitesse de la lumi~re dans le vide,

n = i n d i c e de r6fraction de l'atmosph~re pour la fr6quence consid6r6e en un point du rayon OS,

ds = 616ment curviligne du rayon OS pris au point d'indiee n,

S = abscisse curviligne du satellite. On acceptera le module d'atmosphbre radio61ec-

trique : n = l + i 0 - ~ N s e - ~ ,

avee Ns ----- coincide au niveau du r6cepteur, a ~ param~tre caract6ristique de l'atmosph~re

pour le lieu et l'6poque de la mesure h effec- tuer,

h ----- diff6rence d'altitude entre le point auquel cor- respond n d s et le r6cepteur.

Ce module correspond h une valeur moyenne de n. De ce fait ce module est acceptable ear les irr6gularit6s de n autour de la moyenne modifient peu la valeur de l'int6grale. I1 n'en serait pas de mgme pour un calcul de r~fraction pour lequel le param~tre utilis6 est dn/dh et non n.

On supposera par la suite que le r6eepteur est l'altitude 0 pour simplifier l'6criture.

Avee les notations de la figure t , on peut 6crire (voir annexe) :

dh dh (2) ~ ~ ds ~< sin (0-- ~)' on suppose ~ << 0,

et ~ constant pendant la dur4e de la mesure. Dans cette construction g6om6trique on n~gli-

gera la d6formation de la courbe OS par le mouve-

* D6tach6 h la Direction du C. N. E. T., charg6 du G. E. R. M. ** Au C. N. E. S (Br6tigny). (*) Voir diff~rents Cours de Physique, dont (c Propagat ion de la lumi~rc ~ par H. Bouasse, ]~ditions Delagrave, 1925. On peut conseiller aussi de prendre connaissance des exp6riences de Fizeau qui sont tr&s impor tan tes pour la comp r~hension

du ph6nom&ne, et on ne sal t pour quelles raisons elles sont ignor~es des ouvrages didactiques r6centi .

- - 146

t . 21, n ot 7-8, 19661

A ....... I

/ / / , I X / /

FIG. I ~ Nota t ion g6n6rale.

EFFET DE L'ATMOSPH~-RE NON IONIS~E 2/5

5 De par le calcul ci-dessus le deuxi~me te rme est, en valeur absolue sup6rieur h sa valeur exacte.

On t rouvera i t de la mgme fa~on un second te rme inf6rieur en valeur absolue h sa valeur exacte, soit :

ment du milieu de propagat ion (*). (Voir la fin du paragraphe 4).

Pour connaitre l ' int6grale I on effectuera un calcul par minorat ion puis un autre par majorat ion, il vient alors :

I = S 10 - s Ns a sin ( 0 - 8)[e--~h]~'

H 6tant l ' a l t i tude du satellite. Le deuxi~me terme est en valeur absolue, sup6rieur h la valeur exacte. Compte tenu des valeurs admissibles pour a, e --*n est nul pour H > /160 km avec une prdcision supd- rieure h 10 -7.

D'ofl

Af l d [ 10--sN~ i] 7 = c d t S + a s i n ( 0 _ _ 8 "

On suppose N, constant pendan t la dur6e de la mesure. D'ofl :

Af I dS t 10 -6 Nt d 1 dO f - c dt + c a dO s i n ( 0 - - 8 ) d t '

dO dS d--/= vitesse angulaire = ~ , - ~ est la vitesse

radiale = V,. D'apr6s la construct ion g6om6trique :

V sin ( 0 - - 8) dO V sin ~, / / / s in (0 - - 8) < dt < H/s in

oh V = project ion de la vitesse rdelle sur une orbite circulaire.

dO On t rouve finalement, en rempla~ant aussi dt-

par sa valeur maximale :

dS Af t0 --~N~ sin ~0 Yr = c f a ~ V cos (0 - - 8) sins ( 0 - - ~)"

(*) Cet te d d f o r m a t i o n quelquefois appelde (( effet Fizeau )) du ddp l acemen t d e , l ' 6 the r , , est ndgligeable ici, compte t enu du r a ppo r t e n t r e la vi tesse des ven t s e t la vi tesse de la lumi~re, et de la prdcision requise .

dS Af 10 -6 N8 V sin ~ (0 - - 8) d t - V , = c f aH cos 0 sin 9.0

De l 'hypoth~se 8 << 0 on peut 6crire :

Af 10 -6 Nt V, = c T - - a ~ V C~ (O-- 8)'

mais V cos (0 - - 8) ~ V~, d'ofl, et compte tenu des ordres de grandeur :

t0-4 Nt~, = -- ~-t/ !

avec la condition de validit6 8 << 0 c 'est-h-dire avec 0 supdrieur h 10 - 1 environ. S'il n 'en est pas ainsi on ne peu t supposer 8 cons tant et les calculs ne sont pas valables.

On remarquera que dans le cas de la p ropaga t ion 10 -6 N8

dans le vide le t e r m e - - a H disparal t et on

re t rouve la formule simplifi6e. Ce terme appa ra l t comme une correction, ou, en

valeur relat ive :

AV, 10 -6 N~ AV, Af. (4) V~ - aH , de plus Vr - f

Donc Af devra gtre mesur6 avec une pr6cision 6gale ou supdrieure h celle introduite par le te rme correctif.

On peu t calculer un ordre de grandeur de l 'erreur relat ive avec N, ,.o 300, a = 0,13, H = 500 km.

AV, (5) ~-(_~ 5.10-6.

Remarque : La vitesse radiale V~ est tangente au rayon 61ectromagndtique, elle fair un angle ~ avec la vitesse radiale gdomdtrique. Cette erreur sera 6tu- dide plus loin.

Ill I N F L U E N C E D U T E M P S DE P A R G O U B S DE L ' O N D E .

3.1. Ent re l ' ins tan t de mesure et l ' ins tan t d'dmis- sion il y a un d6calage qui correspond au t emps de parcours, soit :

1 / " T = c J o nds.

De ce qui a 6td dcrit au paragraphe pr6cddent, on voi t que :

( t02NqA r~__ ~H 1 0" c aH ]sin

10 -6 N~ Le terme a ~ a d6jh dtd 6valud.

Le temps de p ropaga t ion dans le vide est :

H T~ ~ - - ~'~ 1,5. t0 - a seconde.

c sin 0

147

3/5 La diffdrenee entre T et T~ est de ro rd r e de

5 .10 - e Tp. Cette diff6rence est parfa i tement ndgli- geable, elle correspond ~ un ddplacement du satel- lite de l 'ordre de 8 ram. Le temps de parcours lui- mgme peut gtre souvent n6glig6.

3.2. La mesure d 'une fr6quence n 'est pas instan- tandc et dure un temps AT. La frdquence mesurde est donc :

Af., = AT J o Af dt,

en t i ran t A / d e (3), remarquons que H varie au cours du temps AT.

Soit

H = S s i n 0 et S = S o + Vr t, d'oh :

Af._f_v. I f=lo--,2v, - e •

f a T [ssoS o V, t 1 dr. sin 0 - - S~ sin %

Le deuxi~me terme est beaucoup plus pet i t que

fV,[e. Dans ce deuxi~me terme on a de plus

V, t << So, on peut donc n6gliger IY, tlS~ sin 0. I1 reste :

Afro = !Vr + -fV 10-s N, /-a~. dt c ~" aS 0 AT Jo sin 0"

Soit ~ , la vitesse angulaire suppos6e constante dans l ' intervalle de temps AT. I1 vient :

0 = 00+ ~t, avec ~t<<00.

Dans ces condi t ions :

A aT dt ,.., fArs inOo- -~2 tcosOo) dt - -- sin O-- sin ~ 0 o

AT [i __ ~ f2AT eotg 00], s )oL d ' o h

! [ iO-SNs lO- -eNs~ATeo tgOo] , Aim= V, i + aH ~ 2all

L'ordre de grandeur des trois termes entre cro- chets est pour AT ~< t0s, en donnant h la valeur correspondant h une orbite quasi cireu- laire au voisinage du point d 'observation, et pour H "" 500 km :

t , 5 .10 J , 4 .10 - s c o t g 0 s. S i 0 0 n ' e s t p a s t r ~ s peti t , le troisi~me terme est ndgligeable et la [rg- quence mesurge n'est pas fonction de la duroc du temps de mesure ni de rangle de site et on a :

oh

10 --6 N_.],

P . M I S M E E T J . C. T H I O N

- Afro [ i 10- (61 v,=.--( _ - j

Le deuxi~me te rme h l ' int6rieur du crochet peut gtre considdrd comme un terme correctif dont l 'ordre

- - t 4 8 - -

[ANNALES DES T~LI~COMMUNICATIONS

de grandeur est de 5 . t 0 -e. I1 n'a d'int6rgt que si Afro est connu avec une prdcision supdrieure.

Bemarque : On a adoptd la formule H = S sin 0 qui est une approximat ion mais on a vu au prdalable que les calculs par minorat ion et majorat ion conduisent

des r6sultats semblables.

IV. I N F L U E N C E D E L A C O U R B U R E D U R A Y O N

Dans un syst~me de localisation Doppler qui n'uti- lise pas la connaissance de l 'angle d'arrivde de l 'onde 61ectromagn6tique, les erreurs sont de deux ordres :

- - la courbure du rayon allonge le t ra je t et provo- que une nouvelle erreur sur le temps affich6 en regard de chaque mesure Doppler, mais en se r6f6- rant ~ ce qui a dr6 calculd ci-dessus, on remarque que cette erreur est ndgligeable compar6e ~ celle due h la vitesse de l 'onde dans un milieu d'indice n ;

- - la courbe condui t h confondre la vitesse radiale vraie et sa projection sur la droite r6cepteur- 6metteur (rayon g6omdtrique). A par t i r de quelques dizaines de kilom~tres d 'a l t i tude le rayon devient pra t iquement rectiligne et forme avec le rayon gdo_ m6trique un angle 8. Cet angle diminue 6videmment beaucoup en fonction de la distance du v6hicule ; pour une al t i tude de 500 kin, on peut considdrer que cet angle est de l 'ordre de l0 -5 radian pour un site de 0,1 radian par rappor t ~ l 'horizontale. II diminue lorsque le site augmente.

On peut alors chiffrer l 'erreur due au fait que la vitesse radiale mesurde n 'est pas confondue avec le rayon g6omdtrique, mais fair avec lui l 'angle 8.

Supposons que le vecteur vitesse V du v6hicule fasse un angle ~ avec le rayon g6om6trique (voir fig. 2).

N V r mesuri

ver$ [e rdtcepteut \

Frc. 2 --Construclion g6om6trique au voisinage du satel- lite.

Rayon 61ectromagn6tiqu e. Cercle concentrique ~ la Terre.

Le vecteur vitesse radiale que l 'on croit mesurer suivant la direction g6om6trique s'6crit :

V cos

e t celui r6ellement mesurd s'6crit :

V cos

L'erreur commise est donc:

A V , = V (cos + - - eos (+ - -

mais ? - -8 ~-~ t~

d'o5 A V , = Vd(coskb), avee d ~ = ~ ,

t. 2 1 , n ~ 7 - 8 , 1 9 6 6 ]

(7) AV~ ~ - - V. ~. sin ~,

OH

E F F E T D E L ' A T M O S P H E R E N O N I O N I S ~ , E

V r r6el = Vr m . . . . 6 (1 - - ~ t g +).

(8) ~ - " r - r avec

(9) v = i0 --~ N~ltg 0 o,

cos " r sin v. tg 0 - - nln~ (10) ~ = Arc tg n i no t g 00 - - sin �9 - - cos ": tg 0"

Dans cet te formule N, est le coincide au sol li6 l ' indice par la relat ion : N, ----- 106 (n, - - 1).

0 r d r e de g r a n d e u r .

]AV~] = V.~.sin q~.

Supposons

- 7:12, 3 ~ 10 -5

et V = 8.10 a m/s,

t m V r m a x [ = 8 . 1 0 3 x J 0 - 5 = S . J 0 - 2 m / s .

Cette valeur est a t te inte pour des sites de 0,1 ra- dian environ, c 'est-h-dire quand la diffdrence de fr6- quence Af est maximale .

L 'ordre de grandeur de AV~ par r appor t h V~ est : a v ,

- - ~ sin+__~ 10 -5 . V~

Finalement en combinan t les formules 6 et 7 on obt ient :

Afro( 10 -8 AT, ~ t g ~ ) (ii) V , = c - ~ - I aH

L'angle ~ sera connu par un calcul de la r6fraction, et ~ ne le serait en tou te rigueur que par un proc6d6 d ' i t@ation.

Le calcul d 'e r reur mont re que ~ dolt ~tre connu h l0 ~ pros et ~, dont l 'ordre de grandeur est le m~me que celui de 0 pour un satellite, dolt l '~tre 6galement h mieux que l0 % pr~s. Cette pr6cision ne conduit pas en g~n4ral h un calcul par it6ration.

On a vu que les termes entre crochets ont des ordres de grandeur de I l0 -5 h 10 -6. Le premier te rme est le seul qui subsisterai t si la propagat ion avai t lieu dans le vide. Le t e rme en 10 -~ Ns[aH correspond h l 'a l longement du chemin opt ique par r appor t au chemin g6om6trique. Le te rme ~ sin correspond h la courbure du rayon.

On dolt rappeler que seule la contr ibut ion des milieux non ionis6s a 6t6 6tudi6e ici. Pour conna~tre la vitesse radlale d'un satellite par rapport & la Terre, il /aut tenir compte de la rotation de cette dernibre sur elle-m~me. La vitesse lin~aire de d@lacement de la source par rapport au g~o~de immobile /air iuter- ~enir la latitude et l'altitude du rgcepteur. Ces cal- culs sont elassiques et il est inutile de les d6velopper ici. Si on veu t chiffrer les effets du d6placement du milieu de propaga t ion (quelquefois appel6 d6place- men t de << l '6ther )>), il ne faudra tenir compte que du d6placement de ce dernier par r appor t h la Terre.

4/5

V. C O N C L U S I O N .

Pour obtenir une pr6cision de l 'ordre de 10 - 5 h i0 - e sur la vitesse radiale, on est conduit h utiliser la formule (11) avec les pr6cautions suivantes :

- - Mesure de la quant i t6 Af h mieux que t0 -e . - - C o r r e c t i o n t enan t eompte de l ' indice au sol

dont le coindice dolt ~tre connu h mieux de 20 % et d6duction de la valeur a d 'apr~s les 6tudes de radio- climatologie locale.

- - Caleul des angles ~ et ~. On rappelle que les formules p%c6dentes ne doi-

vent pas gtre appliqu6es h des sites tr6s inf6rieurs 0,1 radian. Pour des sites plus faibles, le choix d 'un mod61e d 'a tmosph6re n 'es t plus possible, et il fau- drai t proe6der ~ des mesures d' indice de r6fract ion sur la t ra jeetoire probable du r ayon ; il n ' e s t pas encore prouv6 que ces mesures pe rme t t r a i en t d ' a t te indre la pr6cision requise.

Notons que la formule simple Vr = Cafmlf est suffisante quand on se contente d 'une pr6cision situ6e entre 10 --5 et i0 -4 c 'est-h-dire que dans ce domaine de pr6cision, l ' a tmosph6re non ionis6e n ' a pas d 'effet notable.

ANNEXE

J U S T I F I C A T I O N D E C E B T A I N E S A P P B O X I M A T I O N S .

La mSthode de calcul expos6e au pa ragraphe 2 a 6t6 choisie pour sa simplicit6 d'expos6, mais la vali- dit6 de la minora t ion suppose que 0 soit tr~s grand.

On peu t faire un ealcul plus pr6cis que l 'on don- nera ei-dessous.

Avee les nota t ions de la figure I , on a :

$1 ~< S,

off S, est l 'abscisse reetiligne du satellite, S 6rant l 'abscisse eurviligne,

H x et $1 - sin (0 - - r sin (0 - - ~-*

x pent gtre 6valu6 en fonction de H et 0 - - ~, et il vient f inalement, en confondant la Terre et le para- boloide de r6volution osculateur au point O : s = abcisse d'un point courant de $1 =

- - /~ sin (0 - - r + ~/'R 2 sin 2 (0 - - r + 2RH cos 2 (0 - - r cos 2 (0 - - ~)

a v e c : R = rayon de la Terre et h la var iable d ' intdgrat ion.

En rempla~ant n par le module choisi, il v ient

S S nds = S + 10 -6 Ns e "-~ ds

Le 2 me te rme est beaueoup plus pe t i t que te premier.

Comme $1 ~< S on fera le calcul par minora-

149

5/5 t ion en remplagant ds par dsl on expr ime alors dsl en diff6renciiant la fonction de n ci-dessus.

So s n d s = S + t0 --~ Ns R X

s a 0 --"h dh = S + AS V'R 2 sin' (0 - - r + 2 Rn cos' (0 - - r

Le premier t e rme est la longueur de l 'arc OS, le deuxi6me te rme appa ra l t comme unc correction

positive. Dans l ' intggrale le raisons le change-

men t de var iable su ivant :

U ~t = a

R cos z (0 - - r [R2 s i n ' ( 0 - - r + 2Rh cos ~ ( 0 - - r

De par la forme de la fonetion h int6grer, la borne sup6rieure peu t gtre consid6r6e comme tr~s grande et remplac6e par l 'infini. Dans ces conditions :

A S - lO~Ns ~ / ~ elaR/,)tg*(0--z) / "c~ 8 - -~ ' ]2du cos (0-- ~) -~ V"~t*~ ~

Si V a R tg (0 - - r >> 1,

1 ou t g 0 > > . _ _ ' ~ 3 . 1 0 -~,

V a k

on peut t rouver un d6veloppement en s6rie de la derni~re int6grale, d6veloppement que l 'on a limit6 h 2 termes :

:,o e--~' l ' du = t~(O-t)

P. MISME ET J . C. THION [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

Ce qui donne

s t0 -~ N8 nds ~ S + a sin O

on rappelle que cette valeur est une minoration. Pa r la m6thode utilis6e dans l 'article, on avai t

t rouv6 : s 10 - e Ns

n d s = S [e--ah]~, a sin ( 0 - ~)

10 4 Ns "" S + a s in0 '

il s 'agi t done du m8me r6sultat . Le te rme AS a 6t6 calcul6 en ut i l isant S 1 qui est

plus pe t i t que S de l 'ordre [de t0 --9 S. Le te rme addi- t i f est done entaeh6 de cet te erreur. Mais comme ce t e rme est tr~s pe t i t on fair une erreur de second ordre pa r fa i t emen t n6gligeable.

De plus le calcul par majora t ion est toujours valable.

Les conditions de validit6 impos6es ici sont 0 >> 3 .10 -2 et H tr~s grand. Dans le t ex te de l 'art icle on a d6jh 6t6 conduit h 6crire H >~ 160 kin. (Pour les applicat ions on aura H "" 500 km; et 0 > 10 -1 . Donc dans l ' appl ica t ion au calcul des satellites on pourra toujours 6crire :

i s 10 6 Ns n d s = S + a sin O,

dh et conduire les calculs en supposant dS _~ .

puisque eette quant i t6 n ' in te rv iendra que eomme une correction.

f ! t- l LV. tg (0-- r (an"l' tg3(O- - z ) , ... j"

Avec la condition impos6e h tg 0, le premier te rme entre parentheses est suffisant, d 'oh :

l0 --e N8 t0 -6 Ns A S - "~ �9

a sin (0 - - s ) - a sin 0

Manuscri t r e fu le 2 mai t966.

BIBLIOGRAPHIE

[ t ] MlsM~. (P.). THOIN J.-Ch.). Influence d'une atmos- phere di61ectrique exponentielle sur la localisation, d'un v6hicule spatial. Ann. Tdldcommunic. (nov.-d6c. 1965), 20, n ~ 1t-12, pp, 2!0-216,

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