EL 20 - TD N°1

Exercice 1 : Que vaut la résistance vue entre A et B, soit RAB ?

Exercice 2 : Quelle est la valeur de la résistance vue entre A et B, soit RAB ?

Exercice 3 : Déterminez l’équivalent de Thévenin du montage suivant entre les bornes A et M.R1

10k

R3

15k

R210k

V012 V

A

M

Exercice 4 : Déterminez l’équivalent de Norton du montage suivant entre les bornes A et B.

R2

12k

R4

22k

R333k

R156k

V010 V

A

B

Exercice 5 :

Soit le pont en double T de la figure suivante. En utilisant le théorème de Millmann, calculer la valeur de la tensionV lorsque le pont est à vide (I = 0).

UTBM page 1/17 EL20

R1 = 56 kR2 = 12 kR3 = 33 kR3 = 22 kV0 = 10 V

V0 R/2 R/2R'/2R'/22R'2R

V

I

R1 = 10 kR2 = 10 kR3 = 15 kV0 = 12 V

Exercice 6 :On se propose d’étudier le montage suivant, appelé « pont de Wheatstone ».

R1 R3

R2 R4

E

+ -

C DB

A

Exercice 7: Soit le montage suivant :

7.1) Transformer les sources de courant (i1, r1) et (i2, r2) en sources de tension.7.2)Calculer, par la méthode de votre choix, les courants I4 et I5.

Exercice 8 : K représente un interrupteur fermé, R une résistance.

L’interrupteur est supposé parfait : - la chute de tension à ses bornes est nulle lorsqu’il est fermé.- le courant qui le traverse est nul lorsqu’il est ouvert.

On donne u(t) et l’état deK en fonctiondu temps :

Tracer uK (t) et u R (t) en concordance de temps avec u (t).

Exercice 9 : On considère le montage ci-dessous :

Calculer i en utilisant le théorème de superposition.

UTBM page 2/17 EL20

1 Montrez que si : 4

3

2

1

R

R

R

R alors VU AB 0 .

2 Exploitation du pont de Wheastone pour la mesure d'une contrainte.On suppose à présent que R1 = R2 = R3 = R, et que R4 est une

résistance variable en fonction d'une grandeur physique que l'on souhaitemesurer. Par exemple, on remplace R4 par une jauge de contrainte dontla résistance varie en fonction de la contrainte que lui est appliquée. Onaura ainsi : R4 = k ( contrainte).

On place un voltmètre entre A et B afin de mesurer UAB.Déterminez l'expression de en fonction de UAB et des paramètres ducircuit.

EL 20 - TD N°2

1. Circuit RC. Soit le circuit suivant :

avec :

On pose RC , constante de temps du circuit. On s'intéresse au régime permanent et au cas où T

1.1. Charge du condensateur, pour 20 Tt .

A 0t , la tension aux bornes du condensateur est minimale et on note min)0( Vv .

· Déterminer l'expression de )(tv .

· Exprimer )2(Tv que l'on notera maxV . Simplifier cette expression en tenant compte du fait que T .

1.2. Décharge du condensateur , pour TtT 2 .

· En prenant 2T comme nouvelle origine des temps, déterminer l'expression de )(tv sur cette demie période.

· Sachant qu'en régime permanent )(tv est périodique, déduire une nouvelle relation entre minV et maxV , en tenant

compte du fait que T .

1.3.Exprimer minV et maxV en fonction de E , T et .

1.4.On pose minmax VVV .

Montrer que l'on peut écrire : 20min

VVV

et

20max

VVV

.

Exprimer 0V et V , puis vérifier que 0V est égal à la valeur moyenne de )(tve

1.5.Représenter l'allure de )(tv .

1.6.Calculer le taux d'ondulation 0V

V.

1.7.Application : soit un signal carré de fréquence 1kHz dont on veut extraire la valeur moyenne avec un taux d'ondulationinférieur à 1%. Déterminer les valeurs possibles de .

Rappels : xe x 1 pour 1x

xx

11

1 pour 1x

2. Circuit RL On considère le circuit ci-dessous, dans lequel l’inductance est initialement déchargée. La tension d’entrée e(t) = 0V

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V(t)C

R

Ve(t)

T tT/20

E

Ve(t)

1.1.E(t) vaut maintenant E (>0). Etablir l’équation différentielle donnant iL(t) et résoudre cette équation.1.2.Quelle est la forme de la tension UL(t) dans ce circuit ?1.3.Quelle est l’énergie fournie par le générateur au cours de la charge ? Quelle est l’énergie dissipée par effet Joule ?1.4.Quelle est l’énergie stockée dans l’inductance en fin de charge ? Quelle égalité énergétique peut-on écrire ?

3. Charge et décharge du circuit RC

A t = 0, l’interrupteur K est en position 1

2.1) Donner le schéma électrique équivalent au circuit

2.2) Déterminer l’équation différentielle associée

2.3) Déterminer Uc(t), en tenant compte des conditions initiales (CI)

2.4) Calculer UC pour t = = RC

2.5) On bascule K en position 2, à t = t

2.5.1) Donner le schéma électrique équivalent au circuit 2.5.2) Déterminer UC(t) en tenant compte des CI.

N.B. : il pourra être intéressant de faire le changement de variable t’ = t -

3) Tracer U(t) , UR(t) et UC(t) en concordance de temps entre t = 0 et t = 5.

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EL 20 - TD N°3

3.1. Transformées de Laplace.

On considère les fonctions suivantes définies par leur graphe. Déterminer sans calcul leur transformée de Laplace :

3.2. Réponse à un échelon de tension dans un circuit RC série.

On considère le circuit suivant :

Pour t=0-, le condensateur est déchargé.e(t) est un échelon de tension d'amplitude E.

1. Calculer S(p) et I(p).

2. A l'aide de S(p) et I(p), déterminez i(0+), s(0+), i(+) et s(+). Retrouver ces résultats à l'aide de considérationsphysiques sur les tensions et les courants du circuit.

3. Déterminer les expressions de s(t) et i(t) et les représenter graphiquement.

3.3. Réponse temporelle d'un circuit RLC.

R=4,7kL=50mHC=2,2nF

1. Etablir l'équation différentielle liant s(t) à l'entrée e(t).

2. Sachant que le circuit est initialement au repos, en déduire l'expression de S(p) en fonction de E(p).

3. On applique à t=0s un échelon d'amplitude 5V en entrée du circuit. Donner l'expression de S(p) qui en résulte. En déduirel'expression de s(t), solution de l'équation différentielle établie précédemment.UTBM page 5/17 EL20

bt+cf1

t

at

f2

t

f3

t

exp(-dt)

f4

t0 t1 t2

E

s(t)R2

R1C

e(t)

i(t)

R L

Ce(t) s(t)

3.4. Réponse à un créneau bref pour un circuit RC.

On considère le montage suivant, attaqué par le signal ve(t).

Pour t<0, le condensateur est déchargé.On pose =RC, et on a t0=/10.

1. Déterminer Ve(p)=L[ve(t)], puis calculez Vs(p). En déduire l'expression de vs(t).

2. Déterminer la valeur maximale de vs(t), notée Vsmax, et montrer que 0

maxt

EVs

3. Représenter l'allure de la tension vs(t).

4. On remplace à présent le créneau bref par une impulsion de Dirac de poids Et0.

Calculer Vs(p). En déduire l'expression de vs(t). Représenter graphiquement l'allure de vs(t). Conclure.

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R

Ce(t) s(t)

0 t0 t

ve(t)

0

ve(t)

t

Et0

EL 20 - TD N°4

4.1) Application : utilisation du modèle linéaire de la diode

Soit une diode à jonction, dont la caractéristique est la suivante

On place cette diode dans un circuit comportant un générateur linéaire et une résistance. Le générateur est une source decourant pure (noté ).

1) Exprimer I circulant dans R quand varie (distinguer deux cas, diode « bloquée » et diode « passante »).

L’intensité maximale supportée par R est 10 mA. Quelle valeur maximale positive max peut prendre ?

4.2) Circuit diode inductance capacité en régime libre

On considère un circuit LC + diode + interrupteur K en série, dans lequel la diode est parfaite. Le condensateur estinitialement chargé sous la tension U0. A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur K.

1) Avec la convention d’orientation prise sur le dessin ci-dessus, donner le(s) signe(s) possible(s) pour U0 pour qu’il se passequelque chose lorsqu’on ferme l’interrupteur K.2) Représenter l’évolution en régime libre de i(t), uc(t) et uD(t).3) Indiquer le trajet du point de fonctionnement sur la caractéristique courant tension de la diode.

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4.3) CONVERSION ALTERNATIF/CONTINU EN TRIPHASE.

4.3.1) Introduction.

Le courant triphasé est un ensemble de trois courants monophasés. Lorsqu'on parle de courant monophasé (une phase), outriphasé (trois phases), il s'agit automatiquement de courant alternatif sinusoïdal. En effet, la phase est une descaractéristiques d'un tel courant.

EDF produit du courant alternatif triphasé. Ses alternateurs fournissent trois composantes monophasées, décalées les unespar rapport aux autres d'un tiers de période.

Bon nombre des appareils électriques que nous utilisons demandent une tension continue d'alimentation. Pour lesalimenter correctement à partir du réseau EDF, on utilisera donc des convertisseurs alternatif/continu.

4.3.2) Représentation des tensions.

Les trois tensions qui constituent le triphasé s'expriment :

tVtv sin2)(1

)3

2sin(2)(2

tVtv

)3

4sin(2)(3

tVtv

On a représenté ce système de trois tensions triphasées en annexe 1, ainsi que les tensions composées :)()()( 2112 tvtvtu )()()( 3223 tvtvtu )()()( 1331 tvtvtu

Repérer ces trois tensions et leurs opposées sur l'annexe 1.

4.3.3) Redressement triphasé à diodes – cathodes communes.

Soit le montage suivant :

4.3.3.1)Conduction de D1.

On suppose que D1 conduit.Quel est alors le potentiel au point K ?Quelles sont les expressions des tensions aux bornes des diodes D2 et D3 ?A quelle(s) condition(s) D2 et D3 seront-elles bloquées ?Représenter sur l'annexe 1 les intervalles durant lesquels D2 et D3 seront bloquées.Quelle est l'expression de u(t) lorsque D1 conduit ?

4.3.3.2)Conductions de D2 et D3.

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D1

D2

D3

R

u1(t)

u2(t)

u3(t) u(t)

Ki(t)

Par un raisonnement analogue, déterminer successivement les intervalles durant lesquels D1 et D3 seront bloquées (D2passante) puis D1 et D2 seront bloquées (D3 passante), et les reporter sur l'annexe 1.Donner l'expression de u(t) dans ces différents cas.

4.3.3.3)Valeurs remarquables.Tracer l'allure de la tension u(t) sur l'annexe 1.

Déterminer <u(t)>, valeur moyenne de u(t). En déduire la valeur du facteur d'ondulation :

)(2minmax

tu

uuk .

Tracer uD1(t), tension inverse de la diode D1 sur l'annexe 1. En déduire la valeur de la tension inverse maximale aux bornesde la diode.

Annexe 1

4.6) Diode de roue libre.

Une diode de roue libre est une diode de protection placée en parallèle sur une branche de circuitinductif, et dont le rôle est d'empêcher l'apparition d'une étincelle lors de la coupure du courant.

Pour la suite, on considérera le modèle suivant pour la diode passante :

1. Pour t<0, l'interrupteur K est fermé et le circuit est en régime établi.Quel est l'état de la diode D ? Justifiez.Quelle est l'expression du courant i(t) ?

2. A t=0, on ouvre l'interrupteur. Déterminez i(0+), expression du courant à l'instant t=0+.Quel est l'état de la diode ? Justifiez.Déterminer l'expression de la tension u(t) aux bornes de l'interrupteur K.

3. Que se passerait-il si la diode était supprimée ?

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Vd

rdi

D

K

E

i(t)

u(t)

R

L

EL20 – TD N°5

5.1) Dans le montage 1 le coefficient d’amplification en courant du transistor est 200 et on suppose que celui-ci n’est passaturé. Quelle est la valeur de RE ?

5.2) Dans le montage 2 ci-dessous, le coefficient d’amplification en courant du transistor, supposé non saturé) est 120. Larésistance RC a pour valeur 0,5 k.Quelle est l’intensité iC du courant de collecteur ?

5.3) Le transistor du montage 3 ci-dessous a pour coefficient d’amplification en courant du transistor = 75, et pour tensionde saturation VCEsat = 0V (cas idéal). Quelle est l’intensité minimale iB qui permet de saturer le transistor ?

5.4)Montage 4 (schéma page suivante )

Données : min = 100 (pour IC = 100 mA) IC max = 800 mAVCE max = 25 V VCE sat = 0,7 VVBE = 0,6 V VCC = 12 VRC = 100 VE = 5 V

Trouver la valeur de R1 pour saturer le transistor avec un coefficient de sursaturation égal à 2. Pour cela : Vérifier si on ne dépasse pas les caractéristiques en courant ou en tension du transistor utilisé. Calculer IC. Calculer IB. Calculer R1

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V e

R 1

R C

+ V C C

T

I C

I B V C E

Montage 4

5.5) Montage 5

T fonctionne en commutationVCEsat = 0,1V et 100 < < 300.On donne pour le relais, RL = 400 et pour la diode LD1, VD = 1,6V.

1) Expliquer l'utilité d'un relais dans une interface de sortie.2) Calculer la valeur de ICsat.3) Calculer Ibsat min.4) Le transistor est commandé par une tension de 0, 5V. Calculer la valeur de R1 pour respecter un coefficient desursaturation de 3.5) Quel est le rôle de D1 ? Quel est le rôle de LD1 ?

RL-1RT D 1

LD 1

15V

T 1 R 1

Montage 5

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EL 20 - TD N°6

6.1)Schémas divers à amplificateur linéaire intégré.

Dans les schémas suivants, calculer la tension de sortie Vs en fonction de la (ou des) tensions(s) d'entrée(s). Lesamplificateurs linéaires intégrés sont supposés idéaux.

1) 2)

3)

4)

6.2) Montages avec éléments réactifs

Donnez l'expression de Vs(p) fonction de V1(p) et V2(p) puis Ve(p) pour les montages suivants :

1)2)

-

+

R

C

R

R

vs(t)

ve(t)

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R 4RR

Ve

Vs

R1 R2

V1

V3V2

R2 R1 R1 R2

VsV2V1

R1

R4 R2

R3

VsVe

-

+

C

C

R

R v1(t) v2(t)

vs(t)

EL 20 - TD N°7

7.1) Filtre actif du second ordre : structure de Rauch.

Calculer la fonction de transfert e

s

V

V)p(T de ce filtre et la mettre sous la forme canonique suivante :

2

00

0

ppm21

T)p(T

Expliciter T0, m et 0.

7.2) Multiplicateur par 1.

On souhaite réaliser le multiplicateur décrit par le schéma suivant :

Une réalisation de cette fonction peut être :

Les diodes D1 et D2 sont identiques et leur tension de seuil est VD=0,6V.Le signal ve(t) est un signal de signe constant de valeur moyenne Ve et de composante variable d'amplitude vem, telle que0<vem<Ve.Le signal v(t) est un signal carré de valeur maximale V1>Ve+vem et de valeur minimale V2<0.

1. Déterminez la valeur du signal de sortie vs(t) lorsque v=V1, puis lorsque v=V2.Conclure que vs(t)=signe(v(t)) * ve(t).

2. Quelle modification devrait-on effectuer pour obtenir un signal de sortie vs(t)= - signe(v(t)) * ve(t) ? Justifiez votre réponse.

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*ve(t)

v(t)vs(t)=signe(v(t)) * ve(t)

R1

R2

R1

D2

D1 Ru

Rove(t)

v(t)

RR

R

C2

C1

Ve Vs

EL 20 - TD N°8

8.1) Circuit à avance de phase.Soit le circuit suivant :

1. Montrer que la fonction de transfert complexe de ce circuit est de la forme : 2

10 1

1

)(

)()(

j

jH

jV

jVjH

e

s

.

2. Tracer le diagramme de Bode de ce circuit sur papier semi-logarithmique. On introduira les pulsations : 1

11

,

22

1

, et

210 .

Sachant que )tcos(A)t(ve 0 , donnez l'expression de vs(t), à partir du diagramme asymptotique de bode dans un premier

temps puis à partir de H(j0) dans un second temps.

AN : kRR 1021 et nFC 10 .

8.2) Filtre passe-bas

On considère un filtre passe-bas dont la transmittance est de la forme :

022

0

2

21

1)(

jm

jKjT

, où .1m

1. Montrer que l'on peut mettre cette transmittance sous la forme : )1)(1(

1)(

31

20

jj

jTjT

.

2. En fonction des valeurs de 1, 2, 3, tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de ce filtre.3. Par identification entre les fréquences de cassure du diagramme asymptotique et celles qui sont imposées ci-dessous,

calculer successivement les valeurs numériques de : 20 , 1 , 3 et 2 .

4. Sachant que 45,00 T , déduire du diagramme asymptotique la valeur de T à la fréquence kHzf 10 .

8.3) Filtre passe-bas actif

L' ALI est idéal

Calculer la transmittance de ce filtre : e

s

V

VjT )( . Représenter la réponse à un échelon de tension du filtre

Représentez la réponse fréquentielle (diagramme de bode) de ce filtre

UTBM page 14/17 EL20

f(Hz)

20log |T|2120Hz500Hz50Hz

f1 f2 f320log |To|

-20dB/décade

-20dB/décade

VsVe R2

R1

C

2C

RR

C VsVe

8.3)Etude d'un diagramme de Bode

On considère un amplificateur caractérisé par le diagramme asymptotique de Bode de l'amplitude donné ci dessous.

8.3.1)Tracez le diagramme asymptotique de Bode de la phase

8.3.2)Donnez l'équation de la fonction de transfert complexe T(j)

8.3.3)Déterminez la valeur de la fréquence de transition fT.

8.3.4) On souhaite ajouter un deuxième étage d'amplification de manière à avoir une bande passante de 100 kHz selon lacaractéristique suivante :

8.3.4.1) Donnez le diagramme asymptotique de Bode de l'amplitude du deuxième étage d'amplification.

8.3.4.2) Donnez l'expression de la fonction de transfert H1(j) ?

8.3.4.3) Cette fois ci on souhaite corriger la fonction de transfert en plaçant un second étage en parallèle avec le premier,donnez le diagramme asymptotique de Bode de l'amplitude de H2(j)

UTBM page 15/17 EL20

-40dB/décade

f0 fT

f

20log |T(j)|

A

A = 20 dB f0 = 1 kHz

T(j)Ve(j) Vs(j)

T(j)Ve(j) Vs(j)H1(j)

G(j)

-40dB/décade

100f0

f

20log |G(j)|

A

T(j)

Ve(j) V

s(j)

H 2(j)

G(j)

+

EL 20 - TD N°9

9.1) Trigger inverseur

+

_

R1

R2 VsVe

Vref

Expliquez pourquoi le montage précédent est un montage non linéaireSachant que l'ALI est alimenté en +15, -15 volts que R1 = 10k et R2 = 20k, donnez la caractéristique d'entrée/sortie dusystèmeQue devient cette caractéristique si Vref = 0 et que l'on place une diode en sortie de l'amplificateur

+

_

R1

R2 VsVe

Cette fois ci l'ALI est un circuit comparateur à sortie collecteur ouvert alimenté en 0, 5V, donnez la caractéristique

d'entrée/sortie9.2) Montage astable :

E=15VVZ=4,5VVD=0,6VR=10kr=1kR1=10kR2=12kC=10nF

9.2.1)Etude du montage astable.1- Représentez graphiquement l'allure de v(t) et vc(t).2- Déterminez la période de v(t).3- Donnez l'expression du rapport cyclique de v(t) en fonction de x, R et r.

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+

_

R1

R1 Vs Ve

5V

5V R1

3

21

84

+E

-EC

R1

R2

r

r

r

Vc(t) V(t)

xR

(1-x)R

9.2.2) Etude du signal de sortie.On suppose dans cette partie que le rapport cyclique est de 2

1 .

L'origine des temps étant choisie de manière à ce que v(t) soit un signal impair, décomposez ce signal en série de Fouriersous la forme de fonctions sinus.

Donnez la valeur efficace du fondamental ainsi que les valeurs efficaces des deux premiers harmoniques non nuls.

9.2.3) Transformation (filtrage).

Soit le montage suivant :

R0=4,7kC0=4,7nFR3=R4=10k

1- Déterminez la fonction de transfert complexe de ce montage )(

)(

jV

jV

e

s

2- De quel type est ce filtre ?

3- On applique à l'entrée du filtre le signal carré issu du montage astable.

v(t) étant exprimé sous la forme d'une somme de sinus, quelle sera la forme de l'expression de vs(t) ?Quelle sera l'allure du signal vs(t) ?A partir du diagramme de Bode asymptotique de ce filtre, déterminez les valeurs efficaces du fondamental et des deuxpremiers harmoniques non nuls de vs(t).Représentez graphiquement l'allure de vso(t), signal résultant de la somme du fondamental et des deux premiers harmoniquesnon nuls de vs(t).Qu'observerait-on en sortie du montage si on mettait plusieurs filtres de ce type en cascade derrière l'astable ?

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Vs(t)V(t)

filtreastable

T t

T/2

0

A

-A

v(t)

R4

R0R0

C0

R3Ve(t)

Vs(t)

C0