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TD 22 corrigé - Loi E-S pour les réducteurs et multiplicateurs de vitesse à train épicycloïdal Page 1/10

MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l’Ingénieur S. Génouël 05/04/2012

CORRIGÉ EXERCICE 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL. .............................. 1

CORRIGÉ EXERCICE 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV. ................................................................. 2

Exemple 2.1 : Poulies Redex. ......................................................................................................... 2

Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse. ........................................................................ 3

CORRIGÉ EXERCICE 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III. .................................................................. 4

Exemple 3.1 : Réducteurs ATV. ...................................................................................................... 4

CORRIGÉ EXERCICE 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I. .................................................................... 5

Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. .................................................................................... 5

Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses. ............................................................................................ 9 Vous devez être capable de déterminer la loi E/S en vitesse de trains épicycloïdaux selon 2 méthodes différentes :

par la cinématique graphique (voir exercice du treuil-palan),

à l’aide de la relation de Willis.

Corrigé Exercice 1 : DIFFÉRENTES CONFIGURATIONS D’UN TRAIN ÉPICYCLOÏDAL.

Question 1 : Reprendre le train de type II du cours et compléter les tableaux suivants, représentant les différentes configurations possibles de ce train.

Caractéristique du train épicycloïdal

Satellite Porte

satellite Planétaire

A Planétaire

B Relation de Willis Raison de base du train

2 4 1 3 1/0 3/0 4/0. 1 . 0

4/0

1/0 1 32'

3/0 1 2''0

( 1) . .zz

z z

Utilisation possible

Pièce d’entrée

Pièce de sortie

Pièce fixe/bâti 0

Relation de Willis simplifiée avec e et s, et en tenant compte de la pièce qui est fixe

Rapport de transmission : /0

/0

e

s

i

1 3 4 /0 /0. 0e s /0

/0

e

s

i

1 4 3 /0 /01 . 0e s /0

/0

1e

s

i

3 1 4 /0 /0. 0s e /0

/0

1e

s

i

3 4 1 /0 /0. 1 . 0e s /0

/0

1e

s

i

4 1 3 /0 /01 . 0s e /0

/0

1

1

e

s

i

4 3 1 /0 /0. 1 . 0s e /0

/0 1

e

s

i

4, 3 1 /0 1/0 2/0. 1 . 0s e e



Corrigé Exercice 2 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE IV.

Exemple 2.1 : Poulies Redex. (Selon le concours École de l’Air filière PSI 2004)

Satellite 6, 10

Porte satellite 5

1

er cas : on choisit

Planétaire A 31

Planétaire B 24

Train épicycloïdal (de raison de base 1 ) :

31/0 1 24/0 1 5/0. 1 . 0

avec

5/0

31/0 2 6 241

24/0 31 100

( 1) . . 1,17z z

z z

2ème

cas : on choisit

Planétaire A 24

Planétaire B 31

Train épicycloïdal (de raison de base 2 ) :

24/0 2 31/0 2 5/0. 1 . 0

avec

5/0

24/0 2 10 312

31/0 24 60

( 1) . . 0,856z z

z z

Utilisation : 24 fixe par rapport à 0, 5 est l'entrée e et 31 la sortie s (5=e et 31=s)

D'où : /0 1 /01 . 0s e

/0

/0 1

15,9

1

e

s

D'où : 2 /0 2 /0. 1 . 0s e

/0 2

/0 2

5,91

e

s

On retrouve bien le même rapport de réduction dans les 2 cas. Ainsi le choix du planétaire A ou B n’a pas d’importance dans la relation de Willis.

31

6 10

5

24



Exemple 2.2 : Boîtier de commande de raboteuse.

Question 1 : Déterminer, en fonction des nombres de dents des roues dentées, la relation entre

1/0 2/0 /0,e e set .

Train épicycloïdal :

Train simple : 8/0 1 13

13/0 8

( 1) .z

z

Utilisation : 110 e 28 e 11 s

D'où : 9 9 811 111/0 /0 2/0

10 9 10 9 13

. . . 1 . . 0B Be s e

C C

z z zz z

z z z z z

Question 2 : Déterminer, après avoir formulé l’hypothèse qui convient, la relation entre les iz liée aux

conditions géométriques de montage des roues dentées.

Pour le train épicycloïdal : 10 9 11 9B CR R R R 10 9 11 9B Cz z z z

Moteur 2

11 10

9B 9C

13

8

Moteur 1 Sortie

10/0 11/0 13/0. 1 . 0

avec

13/0

10/0 2 9 11

11/0 10 90

( 1) . .B

C

z z

z z

Satellite 9

Porte satellite 13

Planétaire A 10

Planétaire B 11

Si et seulement si les modules des 2 engrenages sont égaux,

car d=m ;z



Corrigé Exercice 3 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE III.

Exemple 3.1 : Réducteurs ATV.

Voir exemple donné dans le cours (page 24) pour le schéma cinématique et le calcul...



7

5

4

2

1

10d 10g

Emplacement du câble

Tambour (qui était non représenté sur le plan ci-dessus)

22

25

23

Corrigé Exercice 4 : TRAINS ÉPICYCLOÏDAUX DE TYPE I.

Exemple 4.1 : Treuil-Palan de pont roulant. Étude analytique du réducteur seul (sans la partie frein).

Question 1 : Compléter le repère des pièces dans le tableau décrivant les 2 trains épicycloïdaux (droite et gauche).

Question 2 : Déterminer la condition géométrique de montage qui relie les iz .

Pour le 1er

train épicycloïdal : 10 1 22.dD D D 10 1 22.dz z z

(pour pouvoir engrener ensemble, il faut 10 1 2dm m m )

Pour le 2ème

train épicycloïdal : 10 4 52.gD D D 10 4 52.gz z z

(pour pouvoir engrener ensemble, il faut 10 4 5gm m m )

Question 3 : Indiquer les repères des pièces matérialisant l’entrée et la sortie du système.

Pièce d’entrée : arbre 1 Pièce de sortie : arbre 7

Train

épicycloïdal 1 Train

épicycloïdal 2

Satellite 2 5

Porte satellite 4 7

Planétaire A 1 4

Planétaire B 10d (droite) 10g (gauche)



Question 4 : Déterminer littéralement, en fonction des nombres de dents, le rapport de transmission.

Train épicycloïdal 1 (de raison de base 1 ) :

1/0 1 10 /0 1 4/0. 1 . 0d avec

4/0

1/0 1 10 1021

10 /0 2 1 10

( 1) . .d d

d

z zz

z z z


4/0 2 10 /0 2 7/0. 1 . 0g avec

28/0

10 104/0 1 52

10 /0 5 4 40

( 1) . .g g

g

z zz

z z z

Utilisation :

10 /0 10 /0

1/0 /0

7/0 /0

0d g

e

s

Par conséquent :

Train épicycloïdal 1 donne : /0 1 4/01 . 0e

Train épicycloïdal 2 donne : 4/0 2 /01 . 0s

D’où : /0 1 2 /01 . 1 . 0e s

10/0 10

1 2/0 1 4

1 . 1 1 . 1ge d

s

zz

z z

1 10 4 10/0

/0 1 4

( )( )

.

d ge

s

z z z z

z z

Question 5 : Compléter le tableau page précédente indiquant le nombre de dents, le module et les diamètres primitifs des différents pignons ou couronnes.

On a i i iD m z et 10 1 2

10 4 5

d

g

m m m

m m m

Question 6 : En déduire la valeur numérique du rapport de réduction du système.

A.N. : /0

/0

34e

s

Nombre de dents

Module Diamètre primitif

Pignon arbré 1 21 2 42

Pignon rapporté 2 51 2 102

Couronne 10d 123 2 246

Pignon arbré 4 23 3 69

Pignon rapporté 5 34 3 102

Couronne 10g 91 3 273

(10d et 10g solidaires du bâti).



Étude graphique du réducteur seul (sans la partie frein).

Question 7 : Identifier les solides en mouvement quelconque. En déduire les positions des CIR qui seront nécessaires lors de l’utilisation d’une méthode graphique.

Solides en mouvement quelconque : Les satellites 2 et 5.

On aura certainement besoin d’utiliser : 2/0I D et 5/0I G (tout point de RSG est un CIR).

Question 8 : Imaginer et mettre en œuvre une démarche pour déterminer graphiquement (dans la position du système décrite sur la figure) le vecteur vitesse du centre F de la roue 5 par rapport au

bâti 0 : 5/0FV . (Justifier les différentes étapes de la construction).

7/0 5/0F FV V 5/0

5/0 4/0E E

I

V V

NB : 10d = 10g = 0 le bâti.

1) Tout point de roulement sans glissement est un Centre Instantané de Rotation donc :

2) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point B, on obtient 2/0 2/1 1/0 1/0B B B BV V V V

(car, comme 2/1B I , on a 2/1 0BV ).

3) Connaissant 2/0I et 2/0BV , on détermine 2/0CV par la répartition linéaire des vitesses.

4) En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point C, on obtient 4/0 4/2 2/0 2/0C C C CV V V V

(car, comme C centre de la rotation de 4/2, on a 4/2 0CV ).

5) Connaissant A et 4/0CV , on détermine 4/0 5/0E EV V par la répartition linéaire des vitesses.

6) Connaissant 5/0I et 5/0EV , on détermine 5/0 7/0F FV V par la répartition linéaire des vitesses.

4/0 2/0C C

A

V V

2/1B I

2/0D I

5/4E I

5/0G I

2/0

2/0 1/0B B

I

V V



Question 9 : Justifier que 5/0 7/0F FV V . En déduire, en utilisant les propriétés du théorème de Thalès

(proportionnalité des côtés dans les triangles de répartition linéaire des vecteurs vitesse), la

relation entre 7/0FV , 1/0BV , 1R , 2R et 4R .

En utilisant la composition des vecteurs vitesses au point F, on obtient 7/0 7/5 5/0 5/0F F F FV V V V

(car, comme F est le centre de la rotation du mouvement de 5/7, on a 7/5 0FV ).

D’après le théorème de Thalès, on a successivement :

5/0 5

55/0

1

2. 2

F

E

V R

RV

4/0 4

1 24/0

E

C

V R

R RV

2/0 2

22/0

1

2. 2

C

B

V R

RV

d’où 5/0 4/0 2/0 4

1 25/0 4/0 2/0

1 1. . . .

2 2

F E C

E C B

V V V R

R RV V V

donc 45/0 2/0

1 2

1. .

4F B

RV V

R R

Question 10 : En déduire, en fonction de 1R , 2R , 4R et 5R , le rapport de transmission.

Les mouvements de 1/0 et 7/0 sont des mouvements de rotation d’axe (AA’), donc :

7/0 7/0 7/0 4 5. ' .( )FV A F R R

1/0 1/0 1/0 1. .BV AB R

En remarquant que les deux vecteurs vitesses 7/0FV et 1/0BV ont même sens, on obtient le rapport de

transmission :

47/0 4 5 1/0 1

1 2

1.( ) . . .

4

RR R R

R R

1/0 4 5 1 2

7/0 4 1

4.( )( )

.

R R R R

R R

Question 11 : Retrouver, à l’aide du résultat de la question 2, le rapport de transmission en fonction du nombre de dents.

Comme 10 1 22.dR R R et 10 4 52.gR R R (voir question 2)

On a :

10 4 4 10 410 1 1 10 14 1

1/0

7/0 4 1 4 1

2. 2.4.( )( ) 4.( )( )

2 2 2 2

. .

g gd dR R R R RR R R R R

R R

R R R R

4 10 1 10 1 10 4 10 1 10 4 101/0

7/0 4 1 1 4 1 4

( )( ) ( )( ) ( )( )

. . .

g d d g d gR R R R R R R R D D D D

R R R R D D

C'est-à-dire en fonction du nombre de dents : 1 1 1 10 2 4 2 101/0

7/0 1 1 2 4

( . . )( . . )

. . .

d gm z m z m z m z

m z m z

1 10 4 101/0

7/0 1 4

( )( )

.

d gz z z z

z z

On retrouve bien le même rapport de transmission qu’avec la relation de Willis (question 4).



Exemple 4.2 : Réducteur à 2 vitesses.

Question 1 : Déterminer la vitesse de rotation de l’arbre de sortie 1 en fonctionnement « Petite Vitesse », puis en fonctionnement « Grande Vitesse ».

Entrée Grande vitesse

Entrée

Petite vitesse

Sortie

28

36

8

25 13

34

37

19 17



Train épicycloïdal 1 Train épicycloïdal 2

Satellite 37 36

Porte satellite 17 28

Planétaire A 19 17

Planétaire B 25 8


19/0 1 25/0 1 17/0. 1 . 0 avec

17/0

19/0 1 25 371

25/0 37 190

83( 1) . . 4,37

19

z z

z z


17/0 2 8/0 2 28/0. 1 . 0 avec

28/0

17/0 1 8 362

8/0 36 170

79( 1) . . 4,65

17

z z

z z

Réducteur roue 13 et vis sans fin 34 :

34/0 13

13/0 34

4141

1

z

z

(plus ou moins, selon que la vis ait un pas à droite ou à gauche)

Utilisation :

On a 19/0 18/0 , 28/0 1/0 et 25/0 13/0 (pièces solidaires entre elles)

De plus 8/0 0 (8 solidaire du bâti).

Par conséquent :

Train épicycloïdal 1 donne : 34/018/0 1 1 17/0. 1 . 0

41

Train épicycloïdal 2 donne : 17/0 2 1/01 . 0

D’où 34/018/0 1 1 2 1/0. 1 . 1 . 0

41

34/0

1/0 18/0 11 2

1.

411 . 1

1/0 18/0 34/00,033.( 0,107. )

Fonctionnement en petite vitesse ( 18/0 0 et 34/0 1500 / mintr ) 1/0 5,3 / mintr

Fonctionnement en grande vitesse ( 18/0 34/0 1500 / mintr ) 1/0 44,2 / min 54,8 / mintr ou tr

NB : si on choisit de prendre :

-0,107, on trouve 1/0 5,3 / mintr (petite vitesse) et 1/0 44,2 / mintr (grande vitesse)

+0,107, on trouve 1/0 5,3 / mintr (petite vitesse) et 1/0 54,8 / mintr (grande vitesse)

Comme les 2 vitesses sont dans le même sens, les solutions sont :

1/0 5,3 / mintr (petite vitesse) et 1/0 54,8 / mintr (grande vitesse)

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