Travaux dirigés MT 11 - Freeutbmbz.free.fr/mt11/TDMT11analyse.pdf · 2010. 11. 24. · MT11 TD 10 : Limite et Continuité TD 10 : Limite et Continuité 1 Exercices Exercice 20. Soit

MT11 Travaux dirigés MT11

Travaux dirigés MT11

DEUXIÈME PARTIE : ANALYSETD 8 à 13

UTBM automne 2010 page 1

MT11 TD 8 : Réels

TD 8 : Réels

1 Exercices

Exercice 1. 1. Les ensembles suivants sont-ils des ouverts ou des fermés de R :

Z, { 1n| n ∈ N}, [0, 1]∪]2, 3[,

⋃n∈N

[0, 1− 1n

],⋂n∈N

[0, 1 +1n

].

2. Même question pour ces sous-ensembles de R2 :

{(x, y) | y > x2}, {(x, y) | y > x2}, {(x, y) | y = x2}, Q×Q, B(−1, 1) ∪B(1, 1).

3. Déterminer les adhérences de tous ces ensembles.

Exercice 2. Résoudre dans R, |2− x|+ |x+ 5| = 4 et |2x− 1| − 2|4x+ 2|+ |x+ 3| = 5.

Exercice 3. Véri�er que x = 3√

7 + 5√

2 + 3√

7− 5√

2 et y = 3

√13+5

√17

2 + 3

√13−5

√17

2sont rationnels.Indication : calculer x3, puis chercher un polynôme de degré 3 que l'on cherchera àfactoriser.

Exercice 4. Montrer que cos( π15) + cos(3π15 ) + cos(5π

15 ) + ...+ cos(13π15 ) ∈ Q.

Exercice 5. Soit E l'ensemble des réels de la forme n−1/nn+1/n avec n ∈ N∗. L'ensemble E

admet-il une borne inférieure, une borne supérieure, un plus grand élément, un plus petitélément ?

Exercice 6. Soit E = { 1n cosn | n ∈ N∗} ; calculer inf E et supE.

Exercice 7. 1. Calculer la limite de la suite (un) dé�nie par un = E(x)+E(2x)+···+E(nx)n2 .

2. En déduire que Q est dense dans R.

Exercice 8. Soient A ⊂ R et B ⊂ R deux parties non vides, on dé�nit

A+B = {x ∈ R/∃ a ∈ A,∃ b ∈ B, x = a+b} et AB = {x ∈ R/∃ a ∈ A,∃ b ∈ B, x = ab}.

1. À quoi sont égaux A+B et AB lorsque A = [1, 3] et B = [1, 4[ ? Et dans le cas oùA =]−∞, 0] et B = [1, 2] ?

2. Supposons que A et B soient majorées. Montrer que sup(A+B) = sup(A)+sup(B).

3. Supposons queA etB soient majorées etA ⊂ R+,B ⊂ R+. Montrer que sup(AB) =sup(A) sup(B).


MT11 TD 8 : Réels

2 Pour ré�échir

Problème 1. Le but de ce problème est de démontrer le théorème suivant :

Théorème 1. Soit G un sous-groupe de (R,+). Alors, soit il existe un réel θ tel que

G = θZ = {nθ | n ∈ Z}, soit G est dense dans R.

Considérons donc un sous-groupe G de (R,+) et supposons que G 6= {0}. Notons Al'ensemble G ∩ R∗+.Justi�er le fait que A possède une borne inférieure. On notera θ = inf A.

1. Supposons que θ > 0.

a. Montrer que G∩]θ, 2θ[= ∅.b. En déduire que θ ∈ G.c. Montrer que G = θZ.

2. Supposons maintenant que θ = 0.

a. Montrer que ∀ε > 0∃g ∈ G 0 < g < ε.

b. Soit b > a > 0. Montrer que G∩]a, b[6= ∅.c. En déduire que G est dense dans R.

3. Applications

a. Montrer que le groupe {a+ b√

2 | a, b ∈ Z} est dense dans Rb. Soit θ ∈ R \ Q. Montrer que l'ensemble {e2iπnθ | n ∈ Z} est dense dans le

cercle unité.

c. Montrer le corollaire suivant : soit G un sous-groupe de (R∗+,×). Alors soit ilexiste α tel que G = {αn | n ∈ Z}, soit G est dense dans R∗+.

d. En déduire que l'ensemble {2i3j | i, j ∈ Z} est dense dans R∗+.


MT11 TD 8 : Réels

3 Exercices corrigés

Exercice 9. Montrer que ln 3ln 2 est irrationnel.

indication : c'est le même type de démonstration que pour prouver que√

2 n'est pas

rationnel.

Exercice 10 (Pas de borne supérieure dans Q). Dans cet exercice, on admet que :∀ x ∈ Q, x2 6= 2. Soient A = { x ∈ Q+∗, x2 < 2} et B = { x ∈ Q+∗, x2 > 2}. Onveut démontrer que A n'admet pas de borne supérieure dans Q. Pour cela, on suppose

au contraire que α = sup(A) existe (α ∈ Q), et on pose β =2α.

1. Montrer que β = inf(B).

2. Montrer que : ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B, on a a 6 b. Que pouvez-vous en déduire pour αet β ?

3. Obtenir une contradiction en considérant γ =α+ β

2.

Exercice 11. Soit f : [0, 1] −→ [0, 1] croissante. Montrer que f admet au moins un point�xe.


MT11 TD 9 : les suites

TD 9 : les suites

1 Exercices

Exercice 12. Calculer, lorsqu'elles convergent, les limites des suites dé�nies par :

un = n−√n2 − n un =

√n(n+ a)−n un =

n

2sin

nπ

2un =

sinn2 − cosn3

n.

Exercice 13. Soient (un) et (vn) deux suites réelles telles que• un 6 a,∀n ∈ N,• vn 6 b,∀n ∈ N• limn→+∞ un + vn → a+ b.Montrer que limn→+∞ un = a et limn→+∞ vn = b.

Exercice 14. Soit (un) la suite réelle dé�nie par récurrence en posant u0 = 1 et un+1 =√1 + un si n ∈ N∗.1. Montrer que (un) est croissante et majorée.

2. En déduire que (un) converge et calculer sa limite.

Exercice 15. On dé�nit par récurrence les suites (un)n∈N et (vn)n∈N par :

u0 = 1, v0 = 2, un+1 =(un)2

un + vn, vn+1 =

(vn)2

un + vn.

1. Montrer par récurrence que l'on a un > 0 et vn > 0.

2. Montrer que les suites (un)n∈N et (vn)n∈N décroissent. En déduire qu'elles conver-gent vers ` et `′ respectivement. Montrer que l'on a ``′ = 0.

3. Montrer que la suite (vn − un)n∈N est constante. En déduire ` et `′.

Exercice 16. Soit (un) une suite de réels strictement positifs. On suppose

n√un → `.

1. Montrer que si ` < 1 alors un → 0.

2. Montrer que si ` > 1 alors un → +∞.

3. Montrer que dans le cas ` = 1 on ne peut rien conclure.



2 Pour ré�échir

Problème 2. [Médian MT11 2006]Soit a > 0. On dé�nit la suite (un)n>0 par u0 un réel véri�ant u0 > 0 et par la relation

un+1 =12

(un +

a

un

).

On se propose de montrer que (un) tend vers√a.

1. Montrer que

un+12 − a =

(un2 − a)2

4un2.

2. Montrer que si n > 1 alors un >√a puis que la suite (un)n>1 est décroissante.

3. En déduire que la suite (un) converge vers√a.

4. En utilisant la relation un+12−a = (un+1−

√a)(un+1+

√a) donner une majoration

de un+1 −√a en fonction de un −

√a.

5. Si u1 −√a 6 k et pour n > 1 montrer que

un −√a 6 2

√a

(k

2√a

)2n−1

.

6. Application : Calculer√

10 avec une précision de 8 chi�res après la virgule, enprenant u0 = 3.

Problème 3. On veut déterminer les deux suites réelles u et v dé�nies par u0 = v0 = 1,et pour tout n ∈ N, {

un+1 = un − vnvn+1 = un + 3vn

On va pour cela envisager deux méthodes di�érentes.

1. Première méthodea. Montrer que la suite w = u+ v est une suite géométrique dont on précisera la

raison.

b. En déduire une relation de récurrence véri�ée par la suite u, puis détermineru et v.

2. Deuxième méthode

On va considérer les matrices A =(

1 −11 3

), et pour tout n ∈ N, Un =

(unvn

).

a. Trouver une valeur p telle que (A− 2I2)p = 02 (I2 et 02 désignent respective-ment la matrice identité et la matrice nulle).

b. En déduire pour tout n ∈ N, une expression de An en fonction de I2, A, et n.

c. Montrer que pour tout n ∈ N, Un = AnU0, puis exprimer Un en fonction deU0, U1, et n.

d. Déduire des questions précédentes, une expression de un et vn en fonction den.




Exercice 17. Soit (un)n∈N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes :• Si (un)n converge vers un réel l alors (u2n)n et (u2n+1)n convergent vers l.• Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes, il en est de même de (un)n.• Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes, de même limite l, il en est de même de (un)n.

Exercice 18. [Médian MT11 2006]Soit a > 0. On dé�nit la suite (un)n>0 par u0 un réel véri�ant u0 > 0 et par la relation

un+1 =12

(un +

a

un

).

On se propose de montrer que (un) tend vers√a.

1. Montrer que

un+12 − a =

(un2 − a)2

4un2.

2. Montrer que si n > 1 alors un >√a puis que la suite (un)n>1 est décroissante.

3. En déduire que la suite (un) converge vers√a.

4. En utilisant la relation un+12−a = (un+1−

√a)(un+1+

√a) donner une majoration

de un+1 −√a en fonction de un −

√a.

5. Si u1 −√a 6 k et pour n > 1 montrer que

un −√a 6 2

√a

(k

2√a

)2n−1

.

6. Application : Calculer√

10 avec une précision de 8 chi�res après la virgule, enprenant u0 = 3.

Exercice 19. [Démonstration du théorème des suites adjacentes] Soient (un) et(vn) deux suites adjacentes, c'est à dire deux suites telles que (un) est croissante, (vn)décroissante et limn→+∞ vn − un = 0. Le but de l'exercice est de montrer que ces deuxsuites convergent vers une même limite l.

1. Montrer que pour tout n ∈ N on a un 6 vn.

2. En déduire que (un) et (vn) convergent.

3. Conclure.


MT11 TD 10 : Limite et Continuité

TD 10 : Limite et Continuité

1 Exercices

Exercice 20. Soit f une fonction dé�nie sur un intervalle I contenant x0 dans sonintérieur. On suppose que limx→x0 f(x) = u > 0. Démontrer qu'il existe t > 0 tel que si0 < |x− x0| < t alors |f(x)| > u

2 .

Exercice 21. Déterminer les limites suivantes :

a) limx→+∞

√x2 + 1− x b) lim

x→1

1x− 1

− 2x2 − 1

c) limx→0+

√1 +

1x−√

1x

d) limx→4

√2x+ 1− 3√x− 2−

√2

Exercice 22. Montrer que si une fonction f dé�nie sur E ⊂ R est continue en x0 alorsla fonction |f | est, elle aussi, continue en x0. Montrer que la réciproque est fausse.

Exercice 23. Montrer que les fonctions suivantes dé�nies sur R∗ sont continues sur R∗et étudier si on peut les prolonger par continuité sur R.

1. f(x) = sin( 1x)

2. g(x) = (1+x)3−1x

3. h(x) = sin(x) sin( 1x)

4. l(x) = | sin(x)|x

5. m(x) =√

1+sinx−√

1−sinxx

Exercice 24. Soit (a, b) ∈ R2 et f la fonction dé�nie sur R par :

1. f(x) = x2 + b si x 6 0

2. f(x) = sin(ax)x si x > 0

Etudiez la continuité de f sur R en fonction des paramètres a et b.

Exercice 25. Montrer que chacune des équations suivantes admet au moins une solutiondans l'intervalle indiqué :

1. x5 − x4 + 1 = 0 sur I = [−1, 0]

2. sin(x) + 1 = x sur I =]π2 , π[



2 Pour ré�échir

Problème 4. Dans ce problème on propose de revoir les résultats du cours sur les imagesd'intervalles par une application continue et ensuite de démontrer le théorème qui assurequ'une fonction f continue sur [a, b] atteint ses bornes.

1. Soit f : I → R une fonction continue (I intervalle). Que pensez-vous des a�rma-tions suivantes (on justi�era avec soin chaque réponse, soit en utilisant des résultatsdu cours soit en construisant des contre-exemples) :

a. l'image d'un intervalle est un intervalle ;

b. l'image d'un intervalle ouvert est un intervalle ouvert ;

c. l'image d'un intervalle fermé est un intervalle fermé ;

d. l'image d'un intervalle borné est un intervalle borné ;

e. l'image d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.

2. On souhaite maintenant démontrer le résultat suivant vu en cours : soit f unefonction continue sur [a, b] alors f est bornée et atteint ses bornes (i.e. il existe cet d dans I tel que f(c) = minx∈[a,b]f(x) et f(d) = maxx∈[a,b]f(x)).

3. Un résultat préliminaire :

a. Soit (xn) une suite d'éléments de [a, b]. Montrer que si (xn) est convergentealors sa limite appartient à [a, b].

b. Montrer par un contre-exemple que ce résultat est faux si l'intervalle n'est pasfermé.

4. Première Etape : f bornée.

a. En raisonnant par l'absurde montrer qu'il existe une suite (xn) ⊂ [a, b] telleque f(xn) > n.

b. Montrer qu'il existe une sous-suite convergente.

c. Conclure.

5. La fonction atteint ses bornes.

a. SoientM etm la borne supérieure et la borne inférieure de f([a, b]). Expliquercomment peut-on construire une suite (cn) et une suite (dn) de [a, b] telles quelimn→+∞ f(cn) = M et limn→+∞ f(dn) = m.

b. Extraire de (cn) et (dn) des sous-suites convergentes.

c. Conclure.

Problème 5. Dans ce problème nous allons démontrer un théorème d'existence de point�xe pour un certain type de fonction. Cette approche sera à nouveau présentée au prob-lème 6 dans un cas concret.

1. Fonction k-Lipschitziennes :

Dé�nition 1. Soit f : I → R une fonction de la variable réelle. On dit que f estk-Lipschitzienne lorsque pour tout x, y ∈ I on a |f(x)− f(y)| 6 k|x− y|.



a. Montrer qu'une fonction k-Lipschitzienne est continue.

b. Montrer que x 7→ x2 est 4-Lipschitzienne sur [1, 2] et que x 7→√x n'est pas

Lipschitzienne sur [0, 2].

2. On dit qu'une fonction est contractante lorsqu'elle est k-Lipschitzienne avec k ∈]0; 1[. On veut démontrer le résultat suivant :

Théorème 2. Si f : R → R est contractante alors l'équation f(x)− x = 0 admet

une et une seule solution (autrement dit f possède un unique point �xe).

a. On considère la suite dé�nie par x0 = a ∈ R et xn+1 = f(xn). Montrer quecette suite est une suite de Cauchy.

b. En déduire que xn → c et que c est un point �xe de f .

c. Montrer que c est unique.

3. Exemples.

a. À l'aide d'une calculatrice calculer les premiers termes de la suite dé�nie par

récurrence par

{u0 ∈ [0, 1]un+1 = cos(un)

. Recommencer en prenant une autre

valeur de u0. On montrera dans les chapitres suivants que cos est contractantesur [0, 1].

b. Soit f :{

[1,+∞[ −→ [1,+∞[x 7−→ x+ 1

x

. Montrer que f est 1-lipshitzienne, mais

n'admet pas de point �xe.




Exercice 26. 1. Démontrer que limx→0

√1 + x−

√1− x

x= 1.

2. Soient m,n des entiers positifs. Étudier limx→0

√1 + xm −

√1− xm

xn.

3. Démontrer que limx→0

1x

(√

1 + x+ x2 − 1) =12.

Exercice 27. Soient f et g deux fonctions dé�nies sur R+ telles que :

(∀x ∈ R+, g(x) > 0) et ∃l ∈ R+∗/ limx→+∞

f(x)g(x)

= l).

1. Montrer que limx→+∞ f(x) = 0 si et seulement si limx→+∞ g(x) = 0.

2. Montrer que limx→+∞ f(x) = +∞ si et seulement si limx→+∞ g(x) = +∞.

Exercice 28. Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue telle que f(a) = f(b). Montrerque la fonction g(t) = f(t+ b−a

2 )− f(t) s'annule en au moins un point de [a, a+b2 ].Application : une personne parcourt 4 km en 1 heure. Montrer qu'il existe un intervalle

de 30 mn pendant lequel elle parcourt exactement 2 km.

Exercice 29. Une fonction qui véri�e la propriété des valeurs intermédiaires est-ellenécessairement continue ? (vous montrerez que non en cherchant un contre-exemple...)

Exercice 30. Soit f : R+ → R continue admettant une limite �nie en +∞. Montrer quef est bornée. Atteint-elle ses bornes ?

Exercice 31. À l'aide du théorème du point �xe montrer que la suite numérique (un)dé�nie par u0 = 0 et un+1 = 4

3+unest convergente et déterminer sa limite.


MT11 TD 11 : Dérivation

TD 11 : Dérivation

1 Exercices

Exercice 32. Soit f : R→ R la fonction dé�nie par ;

f(x) =

x2 si x ∈ Q

0 si x /∈ Q

Montrer que f est dérivable en 0 mais est discontinue en tout autre point.

Exercice 33. Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f dé�nie sur R+ par :

f(x) =√x si 0 6 x 6 1 et f(x) = ax2 + bx+ 1 sinon

soit dérivable sur R∗+.

Exercice 34. Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :

f1(x) = x2 cos1x

si x 6= 0 f1(0) = 0;

f2(x) = sinx sin1x

si x 6= 0 f2(0) = 0;

f3(x) =|x|√x2 − 2x+ 1x− 1

si x 6= 1 f3(1) = 1.

Exercice 35. Calculer les dérivées des fonctions :

1. x 7→√

1 + x2 sin2 x, x 7→ exp(1/x)+1exp(1/x)−1 .

2. x 7→ ln(1+sin(x)1−sin(x)), x 7→ (x(x− 2))1/3.

Exercice 36. Retrouver le théorème de dérivation d'une fonction réciproque. En déduirela dérivée des fonctions arccos, arctan.

Exercice 37. Par application du théorème des accroissements �nis à f(x) = lnx sur[n, n+ 1] montrer que

Sn =n∑k=1

1k

tend vers l'in�ni quand n tend vers l'in�ni.



2 Pour ré�échir

Problème 6. [Résolution numérique d'une équation d'après �nal 2008] Le butde l'exercice est de construire une suite pour calculer numériquement une valeur ap-prochée de la solution de l'équation x2 + x− 1 = 0 sur [0, 1]. On considère la fonction fdé�nie pour x > 0 par :

f(x) =1

x+ 1.

1. Montrer que l'équation x2 +x−1 = 0 a une seule racine réelle appartenant à ]0, 1[,et préciser la valeur de cette racine r.

2. En déduire que r est l'unique solution de l'équation f(x) = x sur ]0, 1[.3. Soit x ∈

[12 , 1], montrer que f(x) ∈

[12 , 1].

4. Calculer la dérivée f ′ de f , et montrer que

∀x ∈[12, 1],∣∣f ′(x)∣∣ 6 4

9.

5. On considère la suite u dé�nie par

{u0 = 1un+1 = f(un)

.

a. Montrer que pour tout entier n ∈ N, un ∈ [12 , 1].b. Démontrer l'inégalité ∀n ∈ N,

∣∣un − r∣∣ 6(

49

)n, et en déduire la limite de la

suite (un).c. Déterminer n telle que un soit une approximation de r à 10−k près (on pro-

posera une valeur de n en fonction de k).

Problème 7. [Règle de l'Hospital] Énoncer le théorème de Rolle pour une fonctionh : [a, b] −→ R. Soient f, g : [a, b] −→ R deux fonctions continues sur [a, b] (a < b) etdérivables sur ]a, b[. On suppose que g′(x) 6= 0 pour tout x ∈]a, b[.

1. Montrer que g(x) 6= g(a) pour tout x ∈]a, b]. (Raisonner par l'absurde et appliquerle théorème de Rolle.)

2. Posons p = f(b)−f(a)g(b)−g(a) et considérons la fonction h(x) = f(x)− pg(x) pour x ∈ [a, b].

Montrer que h véri�e les hypothèses du théorème de Rolle et en déduire qu'il existeun nombre réel c ∈]a, b[ tel que

f(a)− f(b)g(a)− g(b)

=f ′(c)g′(c)

.

3. On suppose que limx→b−f ′(x)g′(x) = `, où ` est un nombre réel. Montrer que

limx→b−

f(x)− f(b)g(x)− g(b)

= `.

4. Application : Calculer la limite suivante :

limx→1−

arccosx√1− x2

.




Exercice 38. Calculer la fonction dérivée d'ordre n des fonctions f, g, h dé�nies par :

f(x) = sinx ; g(x) = sin2 x ; h(x) = sin3 x+ cos3 x.

On pensera à linéariser les expressions trigonométriques.

Exercice 39. Soit f une fonction n fois dérivable sur ]a, b[ s'annulant en n+1 points de]a, b[. Montrer que si f (n) est continue,il existe un point x0 de ]a, b[ tel que f (n)(x0) = 0.

Exercice 40. Soit n > 2 un entier �xé et f : R+ = [0,+∞[−→ R la fonction dé�nie parla formule suivante :

f(x) =1 + xn

(1 + x)n, x > 0.

1. a. Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f ′(x) pour x > 0.

b. En étudiant le signe de f ′(x) sur R+, montrer que f atteint un minimum surR+ que l'on déterminera.

2. a. En déduire l'inégalité suivante :

(1 + x)n 6 2n−1(1 + xn), ∀x ∈ R+.

b. Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a

(x+ y)n 6 2n−1(xn + yn).


MT11 TD 12 : Développements limités

TD 12 : Développements limités

1 Exercices

Exercice 41. Donner les D.L. à l'ordre 4 en 0 de

1. 1cos(x) 2.

√1 + x 3. x

ex−1

Donner les D.L. à l'ordre 4 en 1 de

1. ln(x) 2.√

1 + x 3. ex

Exercice 42. Donner le développement limité en 0 des fonctions :

1. x 7→ ln(cos(x)) (à l'ordre 6).

2. x 7→ sin(tan(x)) (à l'ordre 7).

3. x 7→ (ln(1 + x))2 (à l'ordre 4).

4. x 7→ exp(sin(x)) (à l'ordre 3).

5. x 7→ sin6(x) (à l'ordre 9.)

Exercice 43. Calculer les limites suivantes

limx→0

ex2 − cosxx2

limx→0

ln(1 + x)− sinxx

limx→0

cosx−√

1− x2

x4

Exercice 44. Calculer les limites suivantes : limx→0

ex − (cos(x) + x)x2

, limx→0

x3 arctan(x)− x4

cos(x2)− 1.

Exercice 45. Soit g la fonction donnée par g(x) = ln(ln(x)).

1. Donner le domaine de dé�nition de g.

2. Montrer que g est concave sur son domaine de dé�nition.

3. En déduire l'inégalité, ∀a > b > 1, ln(a+b2 ) >√

ln(a) ln(b).



2 Pour ré�échir

Problème 8. Soit f : R→ R la fonction dé�nie par f(x) = (x2 + 1) arctan(x).

1. Montrer que f est bijective.

2. Donner le tableau de variation de f en précisant les limites en ±∞.

3. Calculer un D.L. de f en 0 à l'ordre 3. En déduire la nature du point 0.

4. Soit g = f−1

a. Que vaut g(0) ?

b. Pourquoi g est-elle dérivable ? Calculer g′(0). En déduire l'équation de la tan-gente en 0 à la courbe Cg représentative de g.

c. On admet que g′′ et g′′′ existent. Démontrer sans calculs que g′′(0) = 0 etg′′′(0) 6 0. [indication : on pourra esquisser les courbes représentatives Cf etCg au voisinage de 0].

5. On propose de déterminer par le calcul le D.L. de g = f−1 en 0 à l'ordre 3, on notece D.L. g(x) = a0 + a1x+ a2x

2 + a3x3 + x3ε(x).

a. Montrer que a0 = 0.

b. Calculer le D.L. en 0 à l'ordre 3 de f ◦ g en fonction des coe�cients a1, a2, a3.

c. Utiliser alors l'égalité f(g(x)) = x pour identi�er les coe�cients a1, a2 a3.




Exercice 46. Faire un développement limité en a à l'ordre n de :

1. ln cosx n = 6 a = 0.

2.arctanx− x

sinx− xn = 2 a = 0.

3. ln tan(x2 + π4 ) n = 3 a = 0.

4. ln sinx n = 3 a = π4 .

5. (1 + x)1x n = 3 a = 0.

Exercice 47. Soit g la fonction x 7→ arctanx(sinx)3

− 1x2

.

1. Donner le domaine de dé�nition de g.

2. Montrer qu'elle se prolonge par continuité en 0 en une fonction dérivable.

3. Déterminer la tangente en 0 au graphe de cette fonction et la position de ce graphepar rapport à celle-ci.


MT11 TD 13 : fonctions usuelles

TD 13 : fonctions usuelles

1 Exercices

Exercice 48. Tracer les courbes représentatives des fonctions

x 7→ f(x) = sin(Arcsinx), x 7→ f(x) = Arcsin(sinx).

Exercice 49. Résoudre les équations suivantes :

Arcsinx = Arcsin25

+ Arcsin35, Arccosx = 2Arccos

34.

Exercice 50. Calculer :

limx→∞

ex(ch3 x− sh3 x) et limx→∞

(x− ln(chx)).

Exercice 51. Calculer les limites suivantes :

1. limx→0sin(x)− sinh(x)tan(x)− th(x) 2. limx→0

esin(x) − ex

esinh(x) − ex.

Exercice 52. Calculer des primitives de

1. f(x) =x+ 2

x2 + 2x+ 2 2. g(x) =2 + x+ 2x2 + 4x4

(1 + 4x2)(1 + x2).

Exercice 53. Résoudre l'équation xy = yx où x et y sont des entiers positifs non nuls.indication : Montrer que l'équation xy = yx est équivalente à lnx

x = ln yy , puis étudier

la fonction x 7→ lnxx .

Exercice 54. [�nal 2004] On se propose d'étudier la fonction :

f :D → Rx → arctan(2x−1

2x+1) + x+ 12

1. Donner le domaine de dé�nition D de f .

2. Donner le tableau de variation de f en donnant les limites aux points critiques.

3. Trouver les points susceptibles d'être points d'in�exion.

4. En utilisant la formule de Taylor-Young donner le D.L. de arctan(x) en −1 à l'ordre3.

5. Trouver le D.L. de 2x−12x+1 en 0 à l'ordre 3.

6. Que peut-on en déduire sur le(s) point(s) d'in�exion trouvé(s) à la question 3. ?


MT11 TD 13 : fonctions usuelles

2 Pour ré�échir

Problème 9. [Fonction de Gudermann]On considère la fonction g(x) = arctan(sinh(x))où arctan et sinh sont les fonctions arctangente et sinus hyperbolique.

1. Donner le domaine de dé�nition Dg de g.

2. Montrer que g′(x) =1

cosh(x).

3. Déterminer les variations et les limites aux bornes du domaine. Dresser le tableaude variation de g.

4. Écrire le développement limité de g en 0 à l'ordre 3. En déduire une tangente à Cgpour x = 0 et déterminer la nature du point d'abscisse x = 0.

5. Étudier la convexité de g sur D∗g .

6. Montrer qu'on peut dé�nir une application réciproque g−1.

7. Représenter l'allure des courbes Cg et Cg−1 sur un même graphique.

8. A propos de g−1 :

a. Montrer que sinh(g−1(x)) = tan(x) (on pourra remarquer que sinh(x) =tan(g(x))).

b. Montrer que la dérivée de g−1 est (g−1)′(x) = cosh(g−1(x)). Déduire de laquestion précédente que (g−1)′(x) =

√1 + tan2(x).

c. On rappelle que√

1 + tan2(x) =1

cos(x). Déterminer le développement limité

de (g−1)′ à l'ordre 3.

d. En déduire le développement limité de g−1 à l'ordre 4.


MT11 Corrections

Corrections


MT11 Solutions des exercices corrigés du TD 8

Solutions des exercices corrigés du TD 8

Correction 9 Par l'absurde supposons que ln 3ln 2 est un rationnel. Il s'écrit p

q avec p >0, q > 0 des entiers. On obtient q ln 3 = p ln 2. En prenant l'exponentielle : exp(q ln 3) =exp(p ln 2) soit 3q = 2p. Si p > 1 alors 2 divise 3q, ce qui est absurde. Donc p = 0 oup = 1. Donc 3q = 2 ou 3q = 1. La seule solution possible est p = 0, q = 0. Ce quicontredit q 6= 0. Donc ln 3

ln 2 est irrationnel.

Correction 10 1. Soit x ∈ B : x2 > 2 ⇒ 2x2

< 1 ⇒ 4x2

< 2 ⇒ 2x∈ A. Soit x ∈ B,

on sait que2x∈ A ⇒ 2

x6 α ⇒ x >

2α

= β, donc β est bien un minorant. Soit

ε > 0, et b = β + ε. Alors, b > β ⇒ 2b<

2β

= α. Comme α est la borne supérieure

de A, cela veut dire qu'il existe x ∈ A tel que2b< x < α, et donc b >

2x> β où

2x∈ B, donc β est bien la borne inférieure de B.

2. D'après la caractérisation de la borne supérieure, ∀ε > 0, ∃x ∈ A,α − ε < x 6 α.En prenant le carré de cette inéquation, on obtient que ∀ε > 0, (α−ε)2 < x2 < 2, etdonc en prenant la limite lorsque ε→ 0, on montre que α2 6 2. α2 = 2⇒ α =

√2,

ce qui contredit le fait que α ∈ Q et√

2 6∈ Q. On montre de même que β2 > 2, puisque β2 > 2 car

√2 6∈ Q.

3. Comme α, β ∈ Q, γ =α+ β

2∈ Q, et on ne peut donc pas avoir que γ2 = 2. Si

γ2 < 2, alors par dé�nition γ ∈ A et donc γ 6 α ⇒ α+ β

26 α ⇒ β 6 α, ce

qui contredit le fait que α < 2 et β > 2. On montre de même que γ2 6> 2, ce quifournit une contradiction (γ a une valeur, qui doit être ou égale à 2, ou inférieure,ou supérieure). Ainsi l'hypothèse faîte dans l'énoncé est fausse, et A ne possède pasde borne supérieure dans Q.

Correction 11 Soit A = {x ∈ [0, 1]/f(x) > x}. 0 ∈ A, donc A est une partie non videet majorée (par 1) : A possède une borne supérieure α. Montrons que f(α) = α.Supposons f(α) < α : posons alors ε = α − f(α) > 0. Comme f croissante sur I =]α − ε, α], on a ∀x ∈ I, f(x) 6 f(α) = α − ε < x. Cette relation montre que α − ε

2 estun majorant de A. Ce qui est absurde, donc f(α) > α. De méme, si on suppose quef(α) > α, en posant ε = f(α)− α, on montre que α+ ε

2 est encore dans A.

3




Correction 17 1. Vraie. Toute sous-suite d'une suite convergente est convergente etadmet la même limite.

2. Faux. Un contre-exemple est la suite (un)n dé�nie par un = (−1)n. Alors (u2n)nest la suite constante (donc convergente) de valeur 1, et (u2n+1)n est constante devaleur −1. Cependant la suite (un)n n'est pas convergente.

3. Vraie. La convergence de la suite (un)n vers `, que nous souhaitons démontrer,s'écrit :

∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que (n > N ⇒ |un − `| < ε.

Fixons ε > 0. Comme, par hypothèse, la suite (u2p)p converge vers ` alors il existeN1 tel

2p > N1 ⇒ |u2p − `| < ε.

Et de même, pour la suite (u2p+1)p il existe N2 tel que

2p+ 1 > N1 ⇒ |u2p+1 − `| < ε.

Soit N = max(N1, N2), alors

n > N ⇒ |un − `| < ε.

Ce qui prouve la convergence de (un)n vers `.

3




Correction 29 Non, par exemple f : R −→ R. Avec f(x) = sin 1x pour x 6= 0 et

f(0) = 0. f n'est pas continue (en 0), mais pour tout a, b et pour tout y ∈ [f(a), f(b)] ilexiste x ∈ [a, b] tel que y = f(x).

Correction 30 Notons l la limite de f en +∞ :

∀ε > 0 ∃A ∈ R x > A⇒ l − ε 6 f(x) 6 l + ε.

Fixons ε = +1, nous obtenons un A correspondant tel que pour x > A, f(x) 6 l+1. Nousvenons de montrer que f est bornée �à l'in�ni�. La fonction f est continue sur l'intervallefermé borné [0, A], donc f est bornée sur cet intervalle : il existe M tel que pour toutx ∈ [0, A], f(x) 6 M . En prenant M ′ = max(M, l+ 1), nous avons que pour tout x ∈ R,f(x) 6 M ′. Donc f est bornée sur R.

La fonction n'atteint pas nécessairement ses bornes : regardez f(x) = 11+x .

3




Correction 34 1. La fonction f1 est dérivable en dehors de x = 0. Pour savoir si f1

est dérivable en 0 regardons le taux d'accroissement :

f1(x)− f1(0)x− 0

= x cos1x.

Mais x cos(1/x) tend vers 0 (si x→ 0) car | cos 1/x| 6 1. Donc le taux d'accroisse-ment tend vers 0. Donc f1 est dérivable en 0 et f ′1(0) = 0.

2. Encore une fois f2 est dérivable en dehors de 0. Le taux d'accroissement en x = 0est :

f2(x)− f2(0)x− 0

=sinxx

sin1x

Nous savons que sinxx → 1 et que sin 1/x n'a pas de limite quand x → 0. Donc le

taux d'accroissement n'a pas de limite, donc f2 n'est pas dérivable en 0.

3. La fonction f3 s'écrit :

f3(x) =|x||x− 1|x− 1

.

� Donc pour x 6 1 on a f3(x) = x, pour 0 6 x < 1 on f3(x) = −x. Pour x < 0 ona f3(x) = x.

� La fonction f3 est dé�nie, continue et dérivable sur R \ {0, 1}.� La fonction f3 n'est pas continue en 1, en e�et limx→1+ f3(x) = +1 et limx→1− f3(x) =−1. Donc la fonction n'est pas dérivable en 1.

� La fonction f3 est continue en 0. Le taux d'accroissement pour x > 0 est

f3(x)− f3(0)x− 0

=−xx

= −1

et pour x < 0,f3(x)− f3(0)

x− 0=x

x= +1.

Donc le taux d'accroissement n'a pas de limite en 0 et donc f3 n'est pas dérivableen 0.

Correction 37 Le théorème des accroissement �nis donne : ln(n+ 1)− ln(n) = 1cn

(n+1− n) = 1

cn, avec cn ∈ [n, n+ 1]. Or cn > n donc 1

n > 1cn. Donc :

Sn =n∑k=1

1k

>n∑k=1

1ck

=n∑k=1

ln(k + 1)− ln(k) = ln(n+ 1).

La dernière égalité s'obtient car la somme est téléscopique. Donc Sn > ln(n + 1), doncSn → +∞.



Correction 38 1. Selon que n ≡ 0[4], 1[4], 2[4], 3[4] alors f (n)(x) vaut respectivementsinx, cosx, − sinx, − cosx.

2. La dérivée de sin2 x est 2 sinx cosx = sin 2x. Et donc les dérivées suivantes seront :2 cos 2x,−4 cos 2x, 8 sin 2x, 16 cos 2x,... Et selon que n ≡ 1[4], 2[4], 3[4], 0[4], alorsg(n)(x) vaut respectivement 2n−1 sin 2x, 2n−1 cos 2x, −2n−1 sin 2x, −2n−1 cos 2x.

3. sin(x)3 + cos(x)3 = −14 sin(3x) + 3

4 sin(x) + 14 cos(3x) + 3

4 cos(x) et on dérive...

3




Correction 46 1. ln cosx = −12x2 − 1

12x4 − 1

45x6 + o

(x7).

2.arctan(x)− x

sin(x)− x= 2− 11

10x2 + o

(x3).

3. ln(tan(1/2x+ 1/4π)) = x+16x3 + o

(x4).

4. ln sinx = ln(1/2√

2) + x− π

4−(x− π

4

)2+

23

(x− π

4

)3+ o

((x− π

4

)3).

5. (1 + x)1x = e

ln(1+x)x = e− 1/2 ex+

1124ex2 − 7

16ex3 + o

(x3).

3




Correction 49 1. En prenant le sinus de l'équation Arcsinx = Arcsin 25 + Arcsin 3

5on obtient x = sin(Arcsin 2

5 + Arcsin 35), donc x = 2

5 cos Arcsin 35 + 3

5 cos Arcsin 25 .

En utilisant la formule cos Arcsinx = +√

1− x2. On obtient x = 25

45 + 3

5

√2125 =

825 + 3

√21

25 .

2. En prenant le cosinus de l'équation Arccosx = 2Arccos 34 on obtient x = cos(2Arccos 3

4)on utilise la formule cos 2u = 2 cos2 u− 1 et on arrive à : x = 2(3

4)2 − 1 = 18 .


Documents

Travaux dirigés MT 11 - Freeutbmbz.free.fr/mt11/TDMT11analyse.pdf · 2010. 11. 24. · MT11 TD 10 : Limite et Continuité TD 10 : Limite et Continuité 1 Exercices Exercice 20. Soit