1

1

Electromagnétisme & Ondes-Interfaces- Licence de Physique

Sommaire

1. Rappel des équations de Maxwell dans les milieux et conditions aux interfaces,

2. Phénomène de propagation et caractéristiques de l’onde électromagnétique dans un milieu diélectrique non chargé.

3. Comportement de l’onde électromagnétique à l’interface de deux diélectriques (l.h.i).

4. Lois de Snell-Descartes, formules de Fresnel et leur interprétation 5. Aspects énergétiques à l’interface : comportement des coefficients de

transmittance et de réflexion. 6. Ondes évanescentes à travers des exemples exploités notamment en

microscopie, effet Tunnel optique et effet Goos-Hanchen. 7. Comportement des ondes dans un conducteur et dans un plasma :

phénomènes d’absorption et de dispersion ainsi que l’effet de peau.

A.Kassiba kassiba@univ-lemans.fr,

2

Antenne téléphonie mobile

Guide d’ondes (micro-ondes)

Antenne pour génération d’onde à polarisation circulaire

Antenne pour génération d’ondes polarisées circulaires avec antennes hélicoïdaux

Antenne TV numérique (Walles 2005)

Antenne à cornet pour bande X (10 Ghz)

Ondes Electromagnétiques: Génération, Réception

2

3

Rappels

A. Résultats d’électrostatique

-Une distribution de charges surfaciques sur une surfacefinie crée en tout point de l’espace un potentiel électrosta tique donné par :

∫∫=)(

041)(

S rdSMV σ

πε

-Une distribution de charges volumiques dans un volume fini créeen tout point de l’espace un potentiel électrostatique donn é par :

∫∫∫=)(04

1)(V

rdV

MVρ

πε

-Potentiel électrostatique crée par un dipôle électrique : 304.)(

rrp

MVπε

rr

=

4

B. Caractéristiques d’un diélectrique polarisé

Densités de charges et de courants de polarisation

Un diélectrique polarisé comporte des dipôles électriques induits à l’échelle atomique oumoléculaire. Ces dipôles permettent de définir en tout point du diélectrique, la polarisation )(AP

r

qui est une grandeur macroscopique définie par :

dvpd

APrr

=)(

pdr

représente la somme des dipôles individuels contenus dans le volume dv autour de A.

A

dv

xM

r

Diélectrique Polarisé

3

5

Exemple d’effets liés à la polarisation d’un milieu:

Phénomène Electro-optique

Exemple d’effets liés à la polarisation d’un milieu:

Phénomène Electro-optique

Changement de l’indice de réfraction d’un milieu sous l’action d’un champ électrique=

Applications :

Commutateur optique, multiplexage de signaux,..

Modulation électrooptique

Communications optiques

Faisceau transmisPolarisation verticaleFaisceau transmisPolarisation HORIZONTALE

6

ijε∆Changement de permittivité diélectrique ijn∆≡ Perturbation de l’indice de réfraction

Static electrical field E Optical wave Eω

(pulsation ω)

Origine Physique: Polarisabilité de la matièreOrigine Physique: Polarisabilité de la matière

><= µrr

NP

Pockels Term Kerr term

[χ(3) (-ω;0,0,ω)][χ(2) (-ω;0,ω)] +−+= )];([ )1(0

0 ωωχεPPrr

+Er ωEE

rr...2 +

+−+= )];([00 ωωαεµµ rr [β (-ω;0,ω)] [γ (-ω;0,0,ω)]+E

r ωEErr

...2 +

Pockels = milieu non-centrosymmetrique

4

7

Charges de polarisation

Le potentiel électrique crée par l’ensemble des dip ôles contenus dans le diélectriqueen un point extérieur M, est donné par :

dvr

rAPr

rpdMV

VV∫∫∫∫∫∫ ==

)(3

0)(3

0

).(4

1.4

1)(rrrr

πεπε

En utilisant la relation d’analyse vectorielle :

rgradP

r

Pdiv

r

Pdiv

1.)(r

rr

−=

et le théorème de Green Ostrogradsky, ∫∫∫∫∫ =V

S

dvEdivSdE ..)(

rrr

le potentiel électrique crée par le diélectrique au point M est donné par :

dvr

PdivdS

r

nPMV

VS ∫∫∫∫∫ −=

)()( 4

1.

4

1)(

rrr

πεπε

8

nr

vecteur unitaire normale à la surface du diélectrique

nPrr

.=σPdivr

−=ρ

Tout se passe comme si

le diélectrique polarisé est porteur d’une densité de charg e surfacique

et de charges en volumes distribuées avec la densité volumiq ue

Milieu Polarisé

5

9

Courants de polarisation

Lorsqu’un diélectrique est excité par un champ élec trique variable, la polarisation induite va dépendre du temps et les charges liées p euvent présenter une excursion de part et d’autre de la surface du diélectrique.

Ces mouvements de charges liées peuvent être assimi lés à des courants de polarisations dont l’intensité s’exprime par :

dSntP

dtdQ

IS

liépol

rr

.)(∫∫ ∂∂==

denisté de courant dit de polarisation

tPjlié ∂

∂=r

r

Aire encerclée par le cycle d’hystérésis dans la représentation D-E

10

C. Matériaux aimantés

Origine microscopique de l’aimantation d’un milieu

Courants ampériens équivalents aux trajectoires électroniques au sein du matériau magnétique , l’aimantation étant perpendiculaire au plan de la feuille.

Matériau magnétique

C’est la structure électronique d’un atome qui conditionne ses propriétés magnétiques et cellesdu matériau

6

11

Propriété macroscopique d’un matériau ferromagnétiq ue

Une substance est dite magnétique lorsqu’elle acquiert une aimantation macroscopique sous l’action d’un champ magnétique extérieur. L’intensité de l’aimantation est définie par : dv

mdAJrr

=)(

En présence de cette aimantation, le champ magnétique dans le milieu se compose du champ magnétique appliqué et du champ magnétique résultant de l’aimantation et qui s’exprime par : JBaim

rr

0µ=

On peut montrer que dans un milieu magnétique sollicité par un champ magnétique variable, il existe des courants liés à l’aimantation dont la densité est définie par : Jrotjaim

rr=

12

D. Conducteurs

Milieux à charges libres pouvant se déplacer sur de s distances très grandes par rapport aux dimensions atomiques.

Bien que les charges liées existent les phénomènes de polarisation sont faibles .

Les courants d’aimantation sont aussi faibles à l’e xception de matériaux ferromagnétiques.

La densité de courant est donnée par :

libreaimliélibretotjjjjjrrrrr

≈++=

densité de charges libres : −+ ρ+ρ=ρlibre

7

13

Neutralité électrique d’un conducteur

A la suite d’une excitation électrique, des fluctuations de la densité de charges peuventse produire. L’équation de conservation de la charge électr ique s’exprime par :

0)E(divt

)E(divt

0t

jdiv

librelibre

libre

libre

=σ+∂ρ∂

=σ+∂ρ∂

=∂ρ∂

+

rr

r

Si on tient compte uniquement des charges libres (e n supposant les phénomènes de polarisation faibles) alors :

0

t

0

e)r()t,r(0t

εσ

−

ρ=ρ⇒=εσρ+

∂ρ∂ rr

Si on considère un métal tel que le cuivre 010 018

0

→⇒≈−

εσ

εσ t

e

La neutralité électrique d’un conducteur est toujou rs réalisée aux fréquences basses (Hors UV,X)

14

I.Lois générales de l’électromagnétisme dans les mi lieux

Nécessité d’une théorie du champ moyen

Ecrire les équations de Maxwell qui sont les formul ations du champ électromagnétique dans un espace mésoscopique où le champ est considéré comme uniforme.

A cette échelle, la matière est considérée comme ay ant une répartition continue.

permettent de contourner cette difficulté.

( )H,D rr

Or une description correcte d’un milieu polarisé ou aimanté nécessite detravailler à l’échelle atomique Ou moléculaire .

Problème: la matière est discontinue à ces échelles et le champ électromagnétique le sera aussi.

les champs intermédiaires

8

15

Rappels : Equations de Maxwell

( )B,E rr ( )H,D rr

Expriment des relations entre champs moyens uniform es dans un volume Mésoscopique en fonction des champs vrais et intérm édiaires:

et

.

Formulations locales reliant le champ électromagnét ique à ses sources

a.Equation de Maxwell-Gauss ∫∫ =)(

0

).(int.S

SQ

SdEε

rr

0

tot)M(Edivερ

=r

liélibretotρ+ρ=ρ

Pdivlié

r−=ρ −+ ρ+ρ=ρ

libre libre0)PE(div ρ=+εrr

16

=Dr

PE0

rr+εVecteur déplacement électrique ou induction électri que :

L’équation de Maxwell-Gauss est donc formulée dansle cas général sous la forme : libre

Ddiv ρ=r

Equation de Maxwell-Ampère (M-A)Sa formulation intégrale découle du théorème d’Ampè re

exprimé en fonction du champ magnétique et en régime statique par:

∫ µ=)C(

Id.B lrr

En régime variable, il faut considérer les courants de dépla cements etsi le milieu comporte aussi bien des densités liées au couran t deconduction , de polarisation ou d’aimantation, la formulat ion locale del’équation de M-A s’écrit :

t

EjBrot

00tot0 ∂∂µε+µ=r

rr

9

17

0)t

Ej(div)Brot(div

00tot0=

∂∂µε+µ=r

rr

0t

jdiv tot

tot=

∂ρ∂

+r

Conséquence de l’équation M-A

permet d’établir l’équation de conservation de la charge :

.

.aimliélibretotjjjjrrrr

++=Avec

ConductionPolarisation

Aimantation

L’équation de M-A peut être ré écrite sous la forme : ( )PEt

jJB

rot0libre

0

rrrrr

+ε∂∂+=

−

µ

le vecteur excitation magnétique JB

H0

rr

r−

µ=

t

DjHrotlibre ∂

∂+=r

rr

18

Equation de Maxwell-Flux (M-Flux )

Elle traduit la conservation du flux de Br

0Bdiv =r

Valable quelque soit le milieu

Equation de Maxwell-Faraday (M-F)

Découle de la relation de Faraday à la base de l’in duction électromagnétique

dt

dd.Ee

)C(eurelectromotinduit.m.e.f

Φ−=∫= lrr

L’utilisation du théorème de Stokes et la permutation de ladérivation temporelle et l’intégration spatiale ( valable lorsqueque Surface et Contour sont fixes dans un repère galiléen)permet de déduire l’équation de M-F s’écrit :

t

BErot

∂∂−=r

r

10

19

( )B,E rr

)H,D(rr

0Bdiv =r

libreDdiv ρ=r

t

BErot

∂∂−=r

r

t

DjHrotlibre ∂

∂+=r

rr

Equations intrinsèques

Equations dépendantes du milieu

M-Flux

M-G

M-F

M-A

Récapitulatifs des Equations de Maxwell

20

2- Caractéristiques des milieux - Retour sur les cham ps intermédiaires

=Dr

PE0

rr+ε

JB

H0

rr

r−

µ=

Ejjmobilelibre

rrrσ==

Dans un milieu polarisé, le vecteur induction électrique es t

Dans un milieu aimanté, le vecteur excitation magnétique es t

Dans un milieu possédant des charges libres, la densité de co urantest donnée par la loi d’Ohm locale :

Avec une conductivité réelle dans un domaine de fréquence<1014Hz pour un bon conducteur.

11

21

b- Cas particulier : milieux (conducteurs, polarisé ou aimantés)homogènes, linéaires et isotropes

Linéarité : exprime des relations de causalité linéaires,en d’autres termes que les effets (polarisation, aimantati on,conductivité) sont proportionnels aux excitations (élect rique,magnétique, électrique).

ConductionEj

nAimantatioHJ

onPolarisatiEP

m

e

:

:

:0

rr

rr

rr

σχ

χε

=

=

=

me,χχ σIsotropie : les grandeurs de proportionnalité et

représentant respectivement la susceptibilité électriqu e,magnétique et la conductivité sont des grandeurs nontensorielles. Les propriétés du milieu sont les mêmes danstoutes les directions de l’espace. Il n’y a pas de directionsprivilégiée.

Homogénéité : Les propriétés sont les mêmes en tout point du milieu.Il n’y a pas de régions privilégiées.

22

3. Conditions aux limites – Equations aux interfaces

Milieu 1

Milieu 2

Etablir les relations de passage pour le champ élec tromagnétique (champ vrais et intermédiaires) à la traversée d’un e surface de séparation de deux milieux linéaires homogènes et i sotropes

4 équations de passage déduites à partir de l’intég ration des quatre équations de Maxwell

12

23

A- Intégration des équations (intrinsèques) de Maxwell

Maxwell-Faraday (M-F) : l’opération d’intégration sur la surface délimitéepar le parcours )(Γ

∫ →∫ −=⇒∂∂

∫∫−=∫∫−

→ΓΓΓ

n

n

n

X

X0X

)()S()S(

0dx.Bdt

d.dld.ESd.

t

BSd.Erot l

rrrr

rr

On en déduit la première relation de continuité ind épendammentde la nature des deux milieux :

2T1TEErr

=Conservation de la composante tangentielle des champsélectriques à la traversée de deux milieux.

0Bdiv =r

)(Σ

2N1NBBrr

=

Maxwell-Fluxl’intégration de l’équation intrinsèque

sur le volume délimitée par la surface fermée

donne

Conservation de la composante normale du champ magnétique à latraversée des deux milieux

24

B- Intégration des équations de Maxwell MG et MA

Composante normale de l’induction électriqueIntégration de l’équation M-G sur le volume délimité par la s urface )(Σ

dvdvDdiv libre∫∫∫∫∫∫ = ρr

ΣΣ

−Σ −==∫∫ ∫→SnDDdXSSdD n

X

Xlibre

X

n

nn

rrrrr).(lim. 12

)(

2/

2/0ρ

12libre1N2NnDDrrr

σ=−

12nr

normale locale à l’interface orientée dans le sens milieu (1 ) >>(2).

libre0X

libreXLim ρ=σ

→Densité de charges libres à l’interface entre les d eux milieux

13

25

C. Composante tangentielle de l’excitation magnétique

Intégration de l’équation M-A sur la surface délimitée par l e parcours )(Γ

SdjSdHrotS

libre

S

rrrr.. ∫∫∫∫

ΓΓ

=

qui peut s’écrire aussi sous la forme :

dxjnlldHXn

Xnlibre

Xn∫∫ −→Γ

∧=2/

2/12

0)(

lim..rrrr

12s1T2TnjHHrrrr

∧=−

Xjlimjlibre

0Xs

rr

→=

densité de courants superficielle.

26

Chap. II- Structure de l’onde plane dans le vide et dans les milieux diélectriques non chargés

1.Equations de Maxwell dans un milieu diélectrique non chargé

0Bdiv =r

0Ediv =r

t

BErot

∂∂−=r

r

t

EBrot

0 ∂∂εµ=r

rM-Flux M-G M-F M-A

2. Equation de propagation⇒=

∂∂−∆ 0t

E

v

1E

2

2

2

rr

r

⇒=∂∂−∆ 0t

B

v

1B

2

2

2

rr

r r

cv

ε=

3- Solution en ondes planesLorsqu’on se place suffisamment loin des sources, on peut chercher comme solutions pour les équations de propagation des solutions sous la forme d’ondes planes définies par :

++

−=v

r.utgE

v

r.utfE)t,r(E

0201

rrr

rrrrr

ur : vecteur unitaire dans la direction de propagation

14

27

−v

r.ut

rr

I0Er

représente le terme de propagation

sont indépendants du temps et des variables d’espace.

−=v

r.utfE)t,r(E

01

rrrrr

Onde plane progressive OPP:

Plans d’onde

Vecteur d’onde

28

4. Onde plane progressive monochromatique OPPM

( )φ+−ω= r.ktcosE)t,r(E0

rrrrr

φω ,k,r

représentent respectivement la pulsation,le vecteur d’onde et la phase à l’origine.

Λπ=λπ=

π=π=ω

2u2

k

N2T

2

rr

N,T,ω caractérisent la source du rayonnement uniquement(pulsation, période temporelle, fréquence temporelle).

Λ=λ ,vT,kr caractérisent la source et le milieu

( vecteur d’onde (pulsation spatiale), période spatiale,fréquence spatiale) .

15

29

5. Structure de l’onde OPPM a- Transversalité de l’OPPM dans un milieu l.h.i

)r.kt(j

0eE)t,r(E

rrrrr−ω= )E(

rℜ est le véritable champ.

)r.kt(j

0eB)t,r(B

rrrrr−ω=

opérateurs ωjt

=∂∂

kjrr

−=∇et

Equations de Maxwell dans le vide ou dans un diélectrique non chargé :

EBkBEk

0B.k0E.k

0

rrrvrr

rrrr

ωεµ−=∧ω=∧

==

C’est donc une onde transversale électromagnétiqueTEM valable dans un milieu h.l.i

30

b- Polarisation de l’OPPM

Considérons le cas d’une onde qui se propage dans la direction de l’axe Oz :

)kztcos(E)t,r(E

)kztcos(E)t,r(E

y0y0y

x0x0x

φ+−ω=φ+−ω=

r

r

x0y0φ−φ=φ y0x0

E,ESelon le déphasage et les valeurs de

on peut avoir différents polarisations :

x0y0φ−φ=φ π,0

x0y0φ−φ=φ

2

π±y0x0

EE =

Rectiligne si =

Circulaire si =

On parlera de polarisation circulaire droite (+) si en regar dant la lumière venantvers nous, l’extrémité de son champ électrique tourne dans l e sens desaiguilles d’une montre. Et inversement pour la polarisatio n circulaire gauche (-).

16

31

y0x0E,E

x0y0φ−φ=φElliptique (cas général) quelconques et aussi.

C’est une situation courante et analogue aux courbes de lissajous obtenus en électronique.Les composantes du champ électrique sont liées par une équation de type équation d’une ellipse :

c-Impédance d’onde pour un diélectrique l.h.i non c hargé

εµ

=εµ

µ=µ== 0

0

00

1

B

E

H

EZ

Ω==−

−

A

V

m.A

m.V1

1

L’impédance du vide est Z0= 377Ω et varie comme n

ZZ 0= pour un diélectrique d’indice de réfraction n.

32

Télédétection par hyperfréquencesPolarimétrie

Exemple: Emission Radar en polarisations horizontale s (noir) et verticales (rouge) d'une onde électroma gnétique.

L’onde rétrodiffusée peut avoir différentes polaris ations. Polarimétrie radar: technique d'analyse de la comb inaison des polarisations de l’onde rétrodiffusée

HH - transmission et réception horizontales VV - transmission et réception verticales HV - transmission horizontale et réception verticale, et VH - transmission verticale et réception horizontale.

Différents modes d’émission réception radar

http://ccrs.nrcan.gc.ca/resource/tutor/fundam/chapter3/08_f.php

Polarisation parallèle

Polarisation croisée

17

33

Exemple d'accentuation de différents éléments d'une zone agricole à l'aide de diverses polarisations (HH, VV, HV et composé couleur).

34

Energie électromagnétiquea- Densité d’énergie électromagnétique

L’onde électromagnétique transporte de l’énergie qu i se manifeste par son action sur des chargesIl ya propagation de l’Onde et de l’énergie associé e

En présence de charges, le champ électromagnétique cède de l’énergie auxcharges, quantité qui s’exprime par la relation de Joule locale : Ej

libre

rr.

.

L’équation de Maxwell-Ampère

t

EEEjEBrot

t

EjBrot

libre

ibre

∂∂+=

∂∂+=

rrrrrr

rrr

..).(00

00

εµµ

εµµ

D’après la relation de l’analyse vectorielle : BrotAArotBBAdivrrrrrr

..)( −=∧

)(.)(.. BEdivt

BBBEdivErotBBrotE

rrr

rrrrrrr∧−

∂∂−=∧−=

0.22

)(

...)(

2

0

2

0

00

=+

+

∂∂+∧⇒

∂∂+=

∂∂−∧−

EjEB

t

BEdiv

t

EEEj

t

BBBEdiv

libre

rrr

r

rrrr

rrrr

εµµ

εµµOu encore

18

35

HErrr

∧=Π

+=

2

.

2

. DEHBu

rrrr

Ejrr

.

Le vecteur de Poynting

La densité d’énergie électromagnétique :

La puissance volumique communiquée aux charges libres :

Signification de l’équation locale pour l’énergie

On considère un volume (V) où règne un champ électromagnétique, (V) est entouré par une surface fermée (S) .

(V)

(S)

L’intégration de l’équation locale sur ce volume :

dt

ddvEjSd

VS

ξ−=∫∫∫+∫∫ Πrrrr

..)()(

La diminution de l’énergie électromagnétique dans (V) résu lte du flux du vecteur de Poynting àtravers (S) et de l’énergie communiquée aux charges libres d ans (V).

∫∫ Π)(

.S

Sdrr

puissance électromagnétique qui émane du volume (V).

36

∫ ∧=Π Trép

repTrep

dtHET 0

.1 rrr

∫+∫= Trép

rep

Trép

rep

Trepdt

BH

Tdt

DE

Tu

00.

2

.1.

2

.1rrrr

( )*2

1HErrr

∧ℜ=Π

( )*..4

1 * HBDEurrrr

+ℜ=

Vecteur de Poynting moyenTout détecteur utilisé pour quantifier la puissance électromagnétique possède un temps de réponse Trep . Le résultat est donc une moyenne sur Trep :

densité d’énergie moyenne

en utilisant la notation complexe (* représente le complexe conjugué) .

qui représente l’intensité de l’onde ou la puissanc e par unité de surface

uvdtSd.vudtSd.d

Π=⇒=Π=ξr

rrrrr

Vitesse de propagation de l’énergieDans un volume de base dS et sans dissipation , la variation de l’énergie pendant dt est:

Vitesse de propagation de l’énergie

19

37

Cas particuliers: 1. Vitesse de propagation de l’énergie pour une OPPM

phasekk

k

vuuZ

v

EHEu

uEZ

HE

rrrr

rrrr

===

=+=

=∧=Π

0

2202

2

1122

1

εµε

εµε

2. Cas de superposition d’ondesExemple : onde stationnaire = résultats de la superp osition de deux ondes de mêmes caractéristiques à l’exception des vecteurs de propagation de sens con traire.La valeur moyenne du vecteur de Poynting doit être calculée à partir des champs résultants et non à

partir des vecteurs de Poynting associés à chaque o nde.

38

ChapIII- Réflexion et Réfraction des ondes électromagnétiques OPPM sur la surface de

séparation entre deux diélectriques l.h.i non char gés

On part d’un acquis (1) et on montrera les points ( 2) et (3)

0j;0;0s

rr==σ=ρ

Er H

r

Br

Dr

1. Conditions à l’interface entre deux milieux diéle ctriquesl.h.i et non chargés

Continuité des composantes tangentielles de et

Continuité des composantes normales de et

2. Lois de Snell-Descartes Déjà utilisées en optique géométrique, elles se déduisent naturellement des équations de Maxwell.

3. Formules de Fresnel et leur discussion ainsi que les aspects énergétiques

20

39

A)Lois de Descartes

Référentiel Oxyz + une onde incidente qui tombe sur la surfacede séparation entre deux milieux (1) et (2).

ziyiiiiuuu,k,rrrr

γ+β=ω

zryrxrrrruuuu,k,rrrrr

γ+β+α=ω

ztytxttttuuuu,k,rrrrr

γ+β+α=ω( )r.ktj

t0,r0,i0t,r,i

t,r,it,r,ieEErrrr

−ω=

( ) ( ) ( )r.ktj

t0

r.ktj

r0

r.ktj

i0tt

)T(

rr

)T(

ii

)T(eEeEeE

rrrrrr rrr−ω−ω−ω =+

( ) ( ) ( )ykxktj

t0

yBkxktj

r0

yktj

i0ttttt

)T(

rrrrr

)T(

iii

)T(eEeEeE β−α−ω−α−ωβ−ω =+

rrr

xkyktxkyktykttttttrrrrriii

α−β−ω=α−β−ω=β−ω

Grandeurs caractéristiques de l’OPPM incidente :

Grandeurs équivalentes pour l’onde réfléchie et tra nsmise :

Les champs correspondants :Condition de continuité de la composante tangentiel le du champ électrique en z=0 s’écrit :

Cette égalité est possible si les trois arguments s ont égaux :

Relation valable à tout instant et en tout point du plan Oxy.

k

E

B1

2

40

triω=ω=ω

0tr

=α=α

ttrriikkk β=β=β

riβ=β

ttiisinksink θ=θ

t2i1sinnsinn θ=θ

Conclusion 1 :

conservation de la pulsation de l’onde incidente

Le plan d’incidence (défini par le vecteur d’onde incident et la normale locale à la surface), de réflexion et de transmission sont confondus en un plan unique. Ceci constitue la première loi de Descartes : Le rayon incident (ki) et la normale locale à l’interface (Oz) définissent le plan d’incidence qui contient aussi le rayon réfléchi (kr) et transmis (kt).

Equivalent à la loi de Descartes (loi des sinus pour la réfraction) :

Conclusion 3 :

Conclusion 2 :

k

E

B1

2

21

41

iEr

⊥⊥ t,r

y

z

kiEi

iθ

rθ kr

kt

tθ

B) Formules de Fresnel pour une onde OPPMR

•Coefficients de Fresnel pour la réflexion et la transmission en fonction de la polarisation de l’onde.•Aspects énergétiques accompagnant le phénomène de réflexion et de transmission.

Champ électrique perpendiculaire au plan d’in cidence

Composantes des vecteurs d’ondes

)cos,sin,0();cos,sin,0();cos,sin,0( ttttiiiriiii kkkkkk θθθθθθ −==−=rrr

La continuité des composantes tangentielles (à l’interface) du champ E

r

otoroiEEE =+

La continuité des composantes tangentielles de B:

0ztri BBB ==+rrr

Les champs magnétiques s’expriment sous la forme :

ω∧

= t,r,it,r,i

t,r,i

EkB

rrr

42

Les champs électriques sont orientés dans la direct ion Ox :

)usinu(cosek

EueE)ucosu(sink

Bziyi

)r.kt(ji

i0x

)r.kt(j

i0ziyi

i

iii

rrrrrr rrrr

θ+θω

−=∧θ−θω

= −ω−ω

)usinu(cosek

EueE)ucosu(sink

Bziyi

)r.kt(ji

r0x

)r.kt(j

r0ziyi

i

rrr

rrrrrr rrrr

θ−θω

=∧θ+θω

= −ω−ω

)usinu(cosek

EueE)ucosu(sink

Bztyt

)r.kt(jt

t0x

)r.kt(j

t0ztyt

t

ttt

rrrrrr rrrr

θ+θω

−=∧θ−θω

= −ω−ω

En projetant selon Oy (direction tangentielle) :

tt0tir0iii0icosEkcosEkcosEk θ=θ−θ

otoroiEEE =+Avec

les coefficient de réflexion et de transmission :

t

1

2

i

i

oi

ot

cosk

kcos

cos2

E

Et

θ+θ

θ==⊥

Avec la relation du sinus ttiisinksink θ=θ

)sin(

sincos2t

ti

ti

θ+θθθ

=⊥

)sin(

)sin(

0

0

ti

ti

i

r

E

Er

θθθθ

+−−==⊥

22

43

2 . Discussion des formules de Fresnel

Les coefficients de réflexion et de transmission s’ expriment uniquement en fonction de

iθ et des indices n1 et n2.

Comportement de pour une incidence proche de la normale

Cas : n1<n2

21

1

21

21 2

nn

ntet

nn

nnr

+=

+−= ⊥⊥

⊥r

⊥t

Problème de déphasage

est négatif pour tout angle d’incidence. Ceci entraîne un déphasage du champ réfléchi par rapport au champ incident (retournement du champ à l’interface).

étant positif , il n’y a pas de déphasage entre le champ incident et le champ transmis.

⊥⊥ t,r

⊥⊥ t,r

44

1

2

ccn

nsin/ =θθ

Cas : n1 > n2 : La relation de sinus indique l’existence d’un angle limite d’incidence

Au delà de l’angle limite il y a réflexion totale.

La transition entre réflexion+transmission à réflexion pure s’effectue sansdiscontinuité (voir une expérience avec réflexion interne par un prisme). Orl’absence de transmission remet en cause les relations de pa ssages auxinterfaces.

On re-formule le coefficient de réflexion :

2

1

i

2

2

i

2

t

i

2

1

i

2

2

i

2

t

i

i0

r0

sinn

ncos

sinn

ncos

E

Er

θ−+θ

θ−−θ

==⊥

avec

i

t

ici

i

t

cn

nsin

2;

n

nsin >θ⇒θ>θ>π=θ

.Le champ électrique de l’onde transmise :

)r.kt(j

ottteEErrrr

−ω=)cos,sin,0(kktttt

θ−θ=r

i

t

i

tttsin

n

nksink θ

=θet

1sinn

njksin

n

n1ksin1kcosk

i

2

2

t

i

ti

2

2

t

i

tt

2

ttt−θ

±=θ

−=θ−=θ

Le coefficient de réflexion devient dans ce cas com plexe

23

45

Le champ électrique transmis est de la forme :

)ysinn

nkt(j

z

ott

it

it

eeEEθ−ω

δ−=rr

Ainsi, l’amplitude de l’onde décroît de façon expon entielle selon la direction Oz (profondeur dans le second milieu). L’onde ainsi crée « ONDE EVA NESCENTE » avance dans la direction de l’axe Oy et s’atténue dans la direction Oz. C’est une onde de surface dont l’amplitude décroît très rapidement sur une longueur de l’ordre de la longueur d’onde du rayonnement.

46

iEr

////t,r

3. Champ électrique contenu dans le plan d’incidence

Coefficients de Fresnel

Composantes des vecteurs d’ondes

)cos,sin,0(kk);cos,sin,0(kk);cos,sin,0(kkttttiiiriiii

θ−θ=θθ=θ−θ=rrr

Composantes du champ électrique

i

i

)r.kt(j

i0i

sin

cos

0

eEE i

θθ−= −ω

rrr

i

i

)r.kt(j

r0r

sin

cos

0

eEE r

θ−θ= −ω

rrr

t

t

)r.kt(j

t0t

sin

cos

0

eEE t

θθ−= −ω

rrr

Composantes du champ électrique

;

;

La continuité des composantes tangentielles (à l’in terface) du champ Er

s’écrit pour t=0 et z=0 ainsi que y :

( ) t0tr0i0iEcosEEcos θ=−θ

La continuité de la composante normale de l’induct ion électrique :

tt0tir0ii0isinE)sinEsinE( θε=θ+θε

ot

1

2

oroiE

n

nEE =+loi des sinus

24

47

coefficients de réflexion et transmission

=+

θθ

=−

//

1

2

//

//

i

t

//

tn

nr1

tcos

cosr1

)(tg

)(tgr

ti

ti

// θ+θθ−θ

=)cos()sin(

cossin2t

titi

it

// θ−θθ+θθθ

=

Discussion des coefficients de Fresnel

Angle de Brewster

Lorsque n 2>n1, tiθ>θ , le coefficient de réflexion est positif jusqu’à c e que

2ti

π=θ+θDans ce cas r//=0 pour l’angle d’incidence égal à l’angle de Brewster :

1

2

iBn

ntg =θ

48

Représentation des coefficients de Fresnel

Cas de la réflexion interne n1>n2 ti θθ <

1

2

icn

nsin =θ

1

2

iBn

ntg =θ

, Il existe un angle d’incidence critique au delà d uquel, il ya réflexion totale :

par contre l’angle de Brewster est toujours défini par

.

25

49

°==θ°==θ 6.33)5.1/1arctan(;8.41)5.1/1arcsin(iBic

Exemple : interface verre (1.5) –air (1) ,

représentation du coefficient de réflexion

1

(n2-n1)/(n2+n1)

r//

ΘΘι

50

[ ]iBi

,0 θ∈θ

[ ]2/,iBi

πθ∈θ

[ ]iBi

,0 θ∈θ

[ ]iCiBi

,θθ∈θ

Récapitulatif: Cas du champ incident dans le plan d’incidence

r//<0 pour

Indice n1>n2 : r //<0 pour

r //>0 pour

Indice n1<n2 : r//>0 pour

Angle de Brewster : 1

2)tan(n

nib

=θ

Si n1>n2 et que l’angle d’incidence est supérieur à l’angle critique

1

2sinn

nc

i=θ

1sincos

1sincos

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

2

1

1

2

//

−−

−+=

ii

ii

n

ni

n

n

n

ni

n

n

r

θθ

θθ

−

=∆Φ

i

i n

n

n

n

θ

θ

cos

sin

arctan2

2

1

22

2

2

1

//

26

51

θi

r//

(n2-n1)/(n2+n1) θiB

-1

θic

1

ΘΘιΒ π/2

∆Φn1<n2

π

ΘΘιΒ

π/2

∆Φ

ΘιC

N1>n2

Champ électrique incident dans le plan d’incidence

Récapitulatif

52

Θπ/2

∆Φn1<n2

π

Θπ/2

∆Φ

ΘιC

N1>n2

Champ électrique incident perpendiculaire au plan d’incidence

27

53

1

2sinn

nc =θ

cθ

Ondes évanescentes (cas de n 2<n1)

Au delà de

La transition entre réflexion+transmission à réflexion pu re s’effectue sansdiscontinuité (voir une expérience avec réflexion interne par un prisme).

la relation de sinus indique l’existence d’un angle limite d’incidence :

, il y a réflexion totale

Or l’absence de transmission remet en cause les rel ations de passages aux interfaces.le coefficient de réflexion s’:

2

1

i

2

2

i

2

t

i

2

1

i

2

2

i

2

t

i

i0

r0

sinn

ncos

sinn

ncos

E

Er

θ−+θ

θ−−θ

==⊥

i

t

ici

i

t

cn

nsin

2;

n

nsin >θ⇒θ>θ>π=θ

Le coefficient de réflexionest complexe

54

)r.kt(j

ottteEErrrr

−ω=

)cos,sin,0(kktttt

θ−θ=r

i

t

i

tttsin

n

nksink θ

=θ

1sinn

njksin

n

n1ksin1kcosk

i

2

2

t

i

ti

2

2

t

i

tt

2

ttt−θ

±=θ

−=θ−=θ

)ysinn

nkt(jz

ott

it

it

eeEEθ−ω

δ−

=rr

Champ électrique de l’onde transmise:

Structure de l’onde évanescente

z

y

Le lieu des points équi-phases correspond à la surface y=cste (plans // xOz) par contre le lieux des points où l’amplitude est constante correspond aux plans z=Cste. Cette différence traduit le fait que l’onde évanescente est une onde INHOMOGENE .

28

55

Phase liquide

Film

Phase liquide

Imagerie par Microscopie à l’Angle de Brewster

L’imagerie de films minces à l’interface gaz/liquide peut être effectuée grâce à la microscopie avec incidence sous l’angle de Brewste. Cette technique permet l’étude in situ de la croissance du film et son homogénéité.

Un faisceau de lumière polarisé // au plan d’incide nce arrive sur la phase liquide avec l’incidence de Brewster. Sans le film, le faisceau est entièrement transmis. En présence du film, une partie du faisceau est réfléchie et servi ra à « scanner » la surface du film.

56

Intérêt de l’incidence sous l’angle de Brewster : Polarisation d’une onde électromagnétique par réfle xion

Un rayonnement non polarisé tombe sur un dioptre so us l’incidence de Brewster. Seule la composante du champ perpendiculaire au plan d’incid ence est réfléchi (le coefficient de réflexion parallèle est égale à zéro).Or pour un dio ptre air-verre, la réflexion est faible en intensité et c’est pour cette raison que le procédé qui consiste en une pile de lames a été utilisé (Arago.1812)

Les lamelles sont en : En verre pour le visible , en Chlorure d’argent pour l’IR ou

En Quartz ou Vycor pour l’UV

29

57

Polarisation d’un faisceau laser He-NeLe milieu actif est constitué d’un mélange gazeux d’Hélium (85%) et Néon (15%) dans un tube placé entre deux miroirs sphériques dont l’un est partiellement réfléchissant. La décharge électrique provoquée dans le tube conduit à l’excitation de l’Helium (transition dans un état métastable) qui communique (par collision) l’excès d’énergie au Néon. Le rayonnement laser provient de la transition entre deux niveaux du Ne.

tube est fermé à ses deux extrémités par des fenêtres en verre inclinées d’un angle égale à l’angle de Brewster

lumière (632 nm) polarisée rectiligne

58

//2

////////

2//

////i

iri

irii

ii

rii

riii

EeEEeEphaseenEetE

EeEEeEEEE∆Φ∆Φ

⊥

⊥∆Φ

⊥⊥∆Φ

⊥⊥

==

==+= ⊥⊥

rr

rrr

La construction du rhomboèdre est tel que l’inciden ce sur la deuxième face (dioptre verre-air) se fait avec un angle

°==θ>°==θ>°=θ 5.335.1

1arctan7.41

5.1

1arcsin54

iBici

on réalise une réflexion totale interne et les déphasages introduits sur les champs réfléchis // et perpendiculaire par rapport au champ de l’onde incidente sont :

°=

−

=∆Φ

°=

−

=∆Φ ⊥

123cos

sin

arctan2

78cos

sin

arctan2

2

1

22

2

2

1

//

2

1

22

i

i

i

i

n

n

n

n

n

n

θ

θ

θ

θ

Le déphasage entre ces deux composantes est égal à 45°

30

59

• Dans ce cas, la polarisation est elliptique :

∆Φ+ϕ−ω=∆Φ+ϕ−ω==

⊥ )tcos(EY

)tcos(EEX

/0

//0//

La deuxième réflexion interne se fait avec le même angle d’incidence et donc le déphasage relatif entre les composantes est similaire à celui introduit à la première réflexion.

A la sortie du rhomboèdre, le déphasage entre les d eux composante est de

2

π

.

∆Φ+ϕ−ω=

∆Φ+ϕ−ω−=π+∆Φ+ϕ−ω==

⊥

⊥⊥

)tcos(EY

)tsin(E)2

tcos(EEX

0

00//

La polarisation est dans ce cas circulaire

60

Microscopie Tunnel Optique

*Incidence / reflexion totale*Onde Evanescente*Lignes iso-intensités

Fibre optique pour prévelverL’intensité à hauteur constanteOu à intensité constante

Procédé expérimental

Déviation d’un faisceau atomique par l’onde évanesc ente

31

61

Effet Goos-Hanchen

Déplacement du faisceau en réflexion totale (de typ e vitreuse)Mais pas celle de type métallique

Deux couches en verre séparées par une lame d’airReflexion totale et existence d’une onde évanescent e Effet tunnel optique: Si l’épaisseur d’air est infé rieur à la longeur d’onde: Transmission de l’énergie E.M dans la zone supérieure

Guide d’onde optique excité par à travers une lame d’air

62

Problème de la répartition de l’énergie incidente à l’interface entre deux milieux

vecteur de Poynting de l’onde incidente : ( )i

i

i

2

0

2

i0i

0

ii

ik

kr.ktcos

c

EnBEr

rrrr

r−ω

µ=

µ∧

=Π

vecteurs de Poynting associés à l’onde réfléchie et celle transmise :

( )i

r

r

2

0

2

i0

2

i

0

rr

rk

kr.ktcos

c

ErnBEr

rrrr

r−ω

µ=

µ∧=Π ( )

t

t

t

2

0

2

i0

2

t

0

tt

tk

kr.ktcos

c

EtnBEr

rrrr

r−ω

µ=

µ∧=Π

Les moyennes temporelles de cos2 sont ½ , donc :

i

i

0

2

i01

ik

k

c2

Enr

r

µ=Π

i

r

0

2

i0

2

1

rk

k

c2

Ernr

r

µ=Π

t

t

0

2

i0

2

t

tk

k

c2

Etnr

r

µ=Π

;

32

63

Puissances Electromagnétiques

i

0

2

I0i

z)S(

iicosS

c2

En)udS.( θ

µ=−∫∫ Π=℘

rr

i

0

2

I0

2

i

z)S(

rrcosS

c2

Ern)udS.( θ

µ−=−∫∫ Π=℘

rr

t

0

2

I0

2

t

z)S(

ttcosS

c2

Etn)udS.( θ

µ=−∫∫ Π=℘

rr

64

2

i

rr=

℘℘

=ℜ

2

t

i

i

tt

tg

tgT

θθ

=℘℘

=

coefficient de réflexion en énergie (pouvoir réflec teur) :

Le coefficient de transmission en énergie (transmit tance) :

conservation de l’énergie 1T =+ℜTraduisant que l’énergie incidente se répartit entre l’ond e réfléchie et l’onde transmise:

θi

1

π/2

0

R

T

Représentation de ces deux grandeurs est de la forme :

33

65

Cas de l’incidence proche de la normaleLe pouvoir réflecteur et la transmittance sont égales à :

( )2it

it

2

it

it

nn

nn4T

nn

nn

+=

+−

=ℜ

Cas ou ni>nt et pour une incidence supérieure à l’a ngle critique

le pouvoir réflecteur est égal à 1 et donc il n’y a pas d’énergie transmise bien qu’une onde transmise existe. Cette dernière en moyenne ne tran sporte pas d’énergie. Il faut noter aussi que l’approximation des ondes planes et donc des ph énomènes de diffraction peuvent conduire à une énergie transmise et qui se manifest e dans l’onde évanescente.