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MP – Cours de physique
Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 21
ÉLECTRONIQUE
Chapitre 2
Filtres linéaires
2.1. Définitions. Fonction de transfert, ordre d’un filtre
Filtre linéaire, ordre, superposition
Un filtre linéaire est un quadripôle pour lequel il existe une relation différentielle linéaire entre les signaux d’entrée et de sortie.
Dans nos études, nous nous intéresserons uniquement aux tensions d’entrée ( )eu t et de sortie ( )su t .
La tension d’entrée ( )eu t est délivrée par un circuit générateur placé en amont du filtre. Dans les études
qui suivent, ce générateur est considéré comme un générateur idéal de tension, c’est-à-dire que la tension délivrée par ce générateur est indépendante du courant d’entrée
En aval du filtre se trouve un circuit utilisateur et il est clair que la tension de sortie ( )su t dépend non
seulement de la tension d’entrée ( )eu t et de la nature du filtre, mais aussi du circuit utilisateur. Aussi,
nous placerons-nous fréquemment dans la situation dite en sortie ouverte où le courant de sortie est nul.
Ordre d’un filtre
Par définition, on appelle ordre du filtre l’ordre de l’équation différentielle à laquelle obéit la tension de sortie ( )su t . Dans tout ce qui suit, nous nous limiterons strictement aux filtres linéaires d’ordre inférieur
ou égal à deux.
Linéarité et superposition
La linéarité du filtre implique que toute opération linéaire appliquée à la tension d’entrée se traduit par une réponse en sortie modifiée par application du même opérateur linéaire
( )eu t ( )su t
( )si t( )ei t
circuit
amont
circuit
avalfiltre ( )eu t ( )su t
( )ei t
filtre
s 0i =
Cas général Fonctionnement particulier "en sortie ouverte"
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
JLH 30/03/2008 Page 2 sur 21
En particulier, si ( )s1u t et ( )s2u t sont les réponses aux tensions d’entrées ( )e1u t et ( )e2u t , 1λ et 2λ deux
nombres réels, alors la réponse d’un filtre linéaire à la tension d’entrée ( ) ( )1 e1 2 e2u t u tλ + λ sera
( ) ( )1 s1 2 s2u t u tλ + λ .
De même si ( )su t est la réponse à la tension d’entrée ( )eu t , alors la réponse d’un filtre linéaire à la
tension d’entrée ( )edu t
dt sera
( )sdu t
dt.
Réponse harmonique, fonction de transfert
Nous nous intéresserons tout particulièrement au cas où l’on applique à l’entrée du filtre un signal sinusoïdal établi depuis très longtemps de telle sorte que tous les phénomènes transitoires soient amortis. Dans ce cas, pour un filtre linéaire, la réponse en sortie sera également une fonction sinusoïdale de même fréquence.
Les signaux de sortie et d’entrée seront alors caractérisés par leurs amplitudes complexes su et eu et l’on
appelle fonction de transfert du filtre le rapport de ces amplitudes complexes, toujours fonction de jω :
( ) s
e
uH j
uω =
Stabilité d’un filtre
Une condition nécessaire pour qu’un filtre soit stable en régime sinusoïdal est qu’il n’existe pas pour ce filtre de mode propre d’évolution divergente. En effet, dans ce cas la tension de sortie pourrait diverger même sans aucune tension d’entrée appliquée et le filtre cesserait tôt ou tard d’avoir un comportement linéaire.
• Cas d’un filtre du premier ordre
L’équation différentielle sans second membre à laquelle obéit ( )su t en l’absence de signal d’entrée
s’écrit dans le cas le plus général sous la forme : ( ) ( )s
s 0du t
k u tdt
+ = , avec k ∈� .
Si la constante réelle k est positive, les solutions sont des fonctions exponentielles d’argument négatif, donc convergentes quand t → ∞ tandis que pour 0k < , les solutions sont des fonctions exponentielles d’argument positif, donc divergentes quand t → ∞ .
En conséquence, le dénominateur des fonctions de transfert du premier ordre pourra toujours s’écrire sous
la forme canonique 0
1 jω+ω
avec 0 0ω > , et jamais sous la forme 0
1 jω−ω
.
• Cas d’un filtre du second ordre
L’équation différentielle sans second membre à laquelle obéit ( )su t en l’absence de signal d’entrée
s’écrit dans le cas le plus général sous la forme : ( ) ( ) ( )
2s s
s20
d u t du tu t
dt dt+ β + γ = , avec et β∈ γ ∈� � .
L’équation caractéristique correspondante s’écrit 2 0r r+ β + γ = et a pour discriminant 2 4∆ = β − γ .
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
JLH 30/03/2008 Page 3 sur 21
Pour 0∆ > , l’équation admet deux solutions exponentielles réelles et ces exponentielles doivent être l’une et l’autre d’argument négatif, ce qui implique que leur somme −β doit être négative et leur produit γ doit être positif.
Pour 0∆ = , γ est nécessairement positif et les solutions sont de la forme d’un polynôme du premier
degré multiplié par l’exponentielle te−β qui n’est convergente quant t → ∞ que pour 0β > .
Pour 0∆ < , γ est nécessairement positif. L’équation admet alors des solutions réelles sinusoïdales
exponentiellement amorties et l’amortissement te−β doit être convergent quant t → ∞ , ce qui impose la condition 0β > .
Nous avons ainsi démontré que les seuls filtres stables correspondent nécessairement aux conditions 0β > et 0γ > . Il s’ensuit que, dans le cas d’un filtre du second ordre stable, le dénominateur de la
fonction de transfert est un trinôme du second degré en jω à coefficients positifs et peut toujours se mettre sous la forme canonique :
2
20 0
1 jQ
ω ω+ −ω ω
où 0ω , pulsation caractéristique du filtre, et Q, facteur de qualité du filtre, sont des constantes positives.
Diagramme de Bode
Définition
Le diagramme de Bode d’un filtre en régime harmonique est, par définition, l’ensemble de deux graphes représentant pour le premier le module de la fonction de transfert exprimé en décibel en fonction du logarithme décimal1 de la pulsation et pour le second l’argument de la fonction de transfert en fonction du logarithme décimal de la pulsation.
( )
( )( )
dB 10 10ref
10ref
20 log log
arg log
H H j f
H j g
ω= ω = ω
ω ϕ = ω = ω
La pulsation de référence refω peut être choisie arbitrairement, mais quand cela est possible, on choisira
la pulsation caractéristique du filtre.
Association de filtres en cascade
L’association « en cascade », ou « en série », correspond à la connexion de l’entrée d’un second filtre à la sortie du premier.
1 Conformément aux normes ISO internationales, les logarithmes décimaux seront notés «
10log » ou « lg ».
filtre 2e1u iu
ei
filtre 1
s 0i =
Association "en cascade"
s2u
ii
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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La tension intermédiaire iu est aussi bien la tension de sortie s1u du filtre 1 que la tension d’entrée e2u du
filtre 2, si bien que la fonction de transfert globale du filtre en sortie ouverte est égale au produit des fonctions de transfert du filtre 1 (en présence du filtre 2) et du filtre 2 en sortie ouverte.
1/ 2 2H H H= ⋅
Attention ! La fonction de transfert 1/ 2H du filtre 1 en présence du filtre 2 n’est pas a priori
égale à la fonction de transfert 1H du même filtre 1 en sortie ouverte.
Nous avons alors : ( ) ( ) ( )1/ 2 2 dB 1/ 2 dB 2 dB
1/ 2 2 1/ 2 2
soit
arg arg arg soit
H H H H H H
H H H
= ⋅ = + = + ϕ = ϕ + ϕ
La construction du diagramme de Bode associé à une fonction de transfert inconnue se présentant sous la forme d’un produit de deux fonctions de transfert connues est particulièrement simple : il suffit de représenter les deux diagrammes élémentaires et d’en « faire la somme ».
Cette propriété est adaptable au cas d’une fonction de transfert se présentant sous la forme d’un rapport de deux fonctions de transferts élémentaires :
( ) ( ) ( )
1dB 1 dB 2 dB1
2
21 2 1/ 2 2
soit
arg arg arg soit
HH H H HH
HHH
H H H
= = −= ⇒
= − ϕ = ϕ − ϕ
2.2. Filtres du premier ordre
Filtre passe-bas du premier ordre
Étude canonique
La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre s’écrit, dans le cas le plus général sous la forme suivante :
( ) 0
0
1
HH j
jω = ω+
ω
où 0ω est la pulsation caractéristique du filtre que l’on appelle encore pulsation de coupure à 3 dB− .
• Formes asymptotiques
En très basse fréquence : 00H H
ω→∼ , soit :
dB 00
00
20lg
0 ( , si 0)
H H
Hω→
ω→
→ ϕ → + π <
Pour la pulsation 0ω = ω , 0 0 4
1 2
jH HH e
j
π−= =
+, soit :
0
0
dB 0
0
20lg 3
( , si 0)4
H H
H
ω=ω
ω=ω
= − πϕ = − + π <
En très haute fréquence : 00H j H
ω→∞
ω−ω
∼ , soit : dB 0
0
0
20lg 20lg
( , si 0)2
H H
H
ω→∞
ω→∞
ω − ω
π ϕ → − + π <
�
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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Remarque : on obtient l’équation des asymptotes, fonction affine de 0
lgωω
, en considérant le logarithme
du module du monôme équivalent. Cet équivalent est toujours très facile à obtenir et l’on construit ainsi aisément le diagramme de Bode asymptotique, en amplitude et en phase.
• Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode du filtre passe-bas du premier ordre correspondant à 0 1H = est représenté ci-
après. Pour d’autres valeur de 0H , il suffit d’ajouter 020lg H à la valeur du gain en décibel.
On remarquera en particulier le comportement asymptotique de pente 20 dB− par décade en haute fréquence, caractéristique du passe-bas du premier ordre.
Le diagramme de phase est représenté dans le cas où 0H est positif. Pour 0 0H < , il convient d’ajouter π
à la phase.
Exemples de réalisations
• Filtres passifs : cellules RC ou LR
Il s’agit sans doute des filtres les plus simples que l’on puisse envisager. La fonction de transfert en sortie ouverte se calcule simplement par division de tension.
Pour le filtre RC : Pour le filtre LR :
( ) 1
1C
C
ZH j
Z R jRCω = =
+ + ω ( ) 1
1L
RH j
LR Z jR
ω = = ω+ +
eu suC
R
RL
eu su0 1H =
0
1
RCω =
0 1H =
0
R
Lω =
( )0
lgω
ω0,1 1 10
ϕ
4
π−
0
2
π−
3 dB−
20 dB /− décade
0,1 1 10 ( )0
lgω
ω0
20−
10−
30−
dBH
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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Remarque importante : le caractère passe-bas de ces filtres apparaît immédiatement, sans aucun calcul, en considérant simplement le comportement limite des composants réactifs.
Dans la limite des très basses fréquences : un condensateur se comporte comme un circuit ouvert et une bobine idéale se comporte comme un court-circuit.
Dans la limite des très hautes fréquences : un condensateur se comporte comme un court-circuit et une bobine idéale se comporte comme un circuit ouvert.
• Filtre actif avec amplificateur opérationnel
Un filtre actif passe-bas du premier ordre peut être réalisé par exemple par un montage inverseur dans lequel on produit une double contre-réaction sur l’entrée inverseuse par une résistance et un condensateur placés en parallèle.
Si l’on appelle 2Z l’impédance de contre-réaction, dans le cas d’un A.O. idéal fonctionnant en mode
linéaire, la fonction de transfert a pour expression :
( ) 2 1
1
ZH j
R jRCω = − = −
+ ω
Ceci correspond bien à un filtre passe-bas du premier ordre, avec 0 1H = − et 0
1
RCω =
Filtre passe-haut du premier ordre
Étude canonique
La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du premier ordre s’écrit, dans le cas le plus général sous l’une des deux formes suivantes :
( ) 0 00
0
0
11 1
jH
H j Hj
j
ωωω = =ω+ + ωω
ω
où 0ω est la pulsation caractéristique du filtre que l’on appelle encore pulsation de coupure à 3 dB− .
eu su∞
C
R
R
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• Formes asymptotiques
En très basse fréquence : 000
H j Hω→
ωω
∼ , soit : dB 0
00
00
20lg 20lg
( , si 0)2
H H
H
ω→
ω→
ω → + ω
π ϕ → + − π <
Pour la pulsation 0ω = ω , 0 0 4
1 2
jH HH e
j
π+= =
−, soit :
0
0
dB 0
0
20lg 3
( , si 0)4
H H
H
ω=ω
ω=ω
= − πϕ = + − π <
En très haute fréquence : 0H Hω→∞∼ , soit :
dB 0
0
20lg
0 ( , si 0)
H H
Hω→∞
ω→∞
ϕ → − π <
�
• Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode du filtre passe-haut du premier ordre correspondant à 0 1H = est représenté ci-
après. Pour d’autres valeur de 0H , il suffit d’ajouter 020lg H à la valeur du gain en décibel.
On remarquera en particulier le comportement asymptotique de pente 20 dB+ par décade en basse fréquence, caractéristique du passe-haut du premier ordre.
Le diagramme de phase est représenté dans le cas où 0H est positif. Pour 0 0H < , il convient de
retrancher π à la phase.
Exemples de réalisations
• Filtres passifs : cellule CR ou RL
eu su
C
R Leu su0 1H =
0
1
RCω =
0 1H =
0
R
Lω =
R
ϕ
4
π+
0
2
π+
3 dB−
20 dB /+ décade
0
20−
10−
30−
dBH( )
0
lgω
ω0,1 1 10 0,1 1 10 ( )
0
lgω
ω
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Pour le filtre CR : Pour le filtre RL :
( ) 11
1C
RH j
R ZjRC
ω = =+ +
ω
( ) 1
1
L
L
ZH j
RZ RjL
ω = =+ +
ω
• Filtre actif avec amplificateur opérationnel
Voici un exemple de filtre actif passe-haut du premier ordre :
Circuit déphaseur
Le circuit ci-dessous a une fonction de transfert du premier ordre dont le module est égal à 1, indépendamment de la pulsationω . Seule la phase est fonction de ω . On parle alors de filtre « passe-tout » ou de filtre déphaseur.
La division de tension appliquée à la ligne de contre-réaction implique : e s
e 2
u uV −
+=
De la même façon, le potentiel eV + est déterminé par une division de tension : e e
1
1V u
jRC+ =+ ω
En mode linéaire nous avons e eV V+ −= , nous en déduisons la fonction de transfert.
eu su∞
C
R
R ( )1
11
1
RH j
ZjRC
ω = − = −+
ω
Ceu su
∞R
R
R
( ) dB 012arctan1
HjRCH j
RCjRC
=− ωω = ⇒ ϕ = − ω+ ω
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2.3. Filtres du second ordre
Condition de possible factorisation
Un filtre du second ordre a une fonction de transfert ( )H jω qui se présente sous la forme d’une fraction
rationnelle de jω donc le dénominateur est un polynôme du second degré.
Nous nous limiterons à l’étude des filtres stables pour lesquels, nous l’avons démontré, le dénominateur
peut s’écrire sous la forme canonique la plus générale suivante : ( )2
20 0
1j
D jQ
ω ωω = + −ω ω
La question se posera de savoir si ce polynôme peut ou ne peut pas se factoriser sous la forme de deux polynômes du premier degré en jω , c’est-à-dire si l’on peut écrire ( )D jω sous la forme :
( )2
20 0 0 0
1 1 1' "
jD j j j
Q
ω ω ω ωω = + − = + + ω ω ω ω
En développant cette expression, il apparaît qu’une condition nécessaire et suffisante pour cela est que
0'ω et 0"ω satisfassent les relations 20 0 0' "ω ω = ω et 0
0 0' "Q
ωω + ω = , c’est-à-dire soient solutions réelles
d’une équation du second degré en ω :
2 200 0
Q
ωω − ω+ ω =
Cette équation n’admet des solutions réelles 0 0 2
1 1' 1
2 4Q Q
ω = ω − −
et 0 0 2
1 1" 1
2 4Q Q
ω = ω + −
que dans le cas où le discriminant 2
14
Q∆ = − est positif, soit
1
2Q < .
Dans ce cas, et dans ce cas seulement, la fonction de transfert pourra se décomposer en un produit de fonctions de transfert du premier ordre, ce qui en facilitera l’étude.
Filtres passe-bas du second ordre
Étude canonique
La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du second ordre s’écrit, dans le cas le plus général sous la forme suivante :
( ) 02
20 0
1
HH j
j
Q
ω =ω ω+ −ω ω
où 0ω est la pulsation caractéristique du filtre.
• Formes asymptotiques
En très basse fréquence : 00H H
ω→∼ , soit :
dB 00
00
20lg
0 ( , si 0)
H H
Hω→
ω→
→ ϕ → + π <
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Pour la pulsation 0ω = ω , 0H jQ H= − , soit : 0
0
dB 0
0
20lg 20lg
( , si 0)2
H H Q
H
ω=ω
ω=ω
= + πϕ = − + π <
En très haute fréquence : 20
0 2H H
ω→∞
ω−ω
∼ , soit : dB 0
0
0
20lg 40lg
( , si 0)
H H
H
ω→∞
ω→∞
ω − ω ϕ → − π + π <
�
• Condition d’une possible résonance
Étudions le carré du module du dénominateur de la fonction de transfert, soit, en posant 2
20
Xω=ω
:
( )2 2
21
XD X
Q= − + ( )
2
2
12 1
d DX
dX Q= − − +
22
22 0
d D
dX= >
2D passe par un minimum, et par conséquent
2H par un maximum pour la valeur 1 2
11
2X
Q= − , à la
condition, bien entendu que cette valeur soit positive. En conséquence :
� Pour 1
2Q ≤ , le module du gain est une fonction monotone décroissante de ω .
� La valeur particulière 1
2Q = correspond au filtre qui se rapproche le plus du comportement
asymptotique, que l’on nomme filtre de Butterworth.
� Pour 1
2Q > , le module du gain passe par un maximum 1H pour une pulsation 1ω inférieure à la
pulsation de coupure.
1 0
2
11
4
QH H
Q
=−
et 1 0 2
11
2Qω = ω −
• Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode du filtre passe-bas du second ordre correspondant à 0 1H = est représenté ci-après
pour les valeurs de Q formant une progression géométrique de raison 2 de 1
64Q = à 64Q = . Le cas
particulier du filtre de Butterworth est représenté en gras.
Pour d’autres valeur de 0H , il suffit d’ajouter 020lg H à la valeur du gain en décibel.
On remarquera en particulier le comportement asymptotique de pente 40 dB− par décade en haute fréquence, caractéristique du passe-bas du second ordre.
Le diagramme de phase est représenté dans le cas où 0H est positif. Pour 0 0H < , il convient d’ajouter π
à la phase.
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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Exemples de réalisations
• Association de deux filtres du premier ordre en cascade. Double cellule RC
Deux filtres passe-bas du premier ordre associés en cascade forment un filtre passe-bas du second ordre. Examinons le cas particulier des deux cellules RC suivantes, en sortie ouverte :
ϕ
−π
2
π−
0
dBH
20+
0
20−
40−
60−
( )0
lgωω
1 100,140+
80−
( )0
lgωω
1 100,1
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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La tension de sortie su , égale au potentiel en B, se déduit du potentiel en A par division de tension et
l’écriture du théorème de Millman appliqué au point A donne une deuxième relation entre AV et su :
A
s
1 Vu j C
R R + α ω =
e s
A
2 u uCV j
R R R + ω = + α
Soit, en posant 0
x RCω= ω =ω
, s
22e
1
2 11
uH
ujx x
= =α ++ −
α
, ce qui correspond à une fonction de transfert
de filtre passe-bas du second ordre avec les valeurs 0 1H = , 0
1
RCω = et
2
1
2 1 2Q
α= <α +
.
Notons que, la valeur de Q étant inférieure à 1
2, la fonction de transfert se factorise sous la forme du
produit de deux fonctions de transfert du premier ordre de pulsations de coupure 0'ω et 0"ω .
En conséquence, le diagramme de Bode asymptotique (tracé ci-dessous en trait gras) peut être construit comme une somme de deux diagrammes asymptotiques du premier ordre :
dB dB dB
0 0
' "1 1' "
' "1 1' "
H H HH H H
j j
= += = ⇒ ω ω ϕ = ϕ + ϕ+ +
ω ω
Traçons le diagramme de Bode pour la valeur numérique 5α = . Nous avons alors : 0,098Q ≈ ,
0 0' 0,099ω ≈ ω et 0 0" 10,1ω = ω
0
20−
40−
60−
ϕ
−π
2
π−
0
80−
dBH( )
0
lgω
ω0,1 1 10 ( )
0
lgω
ω0,1 1 10
eu suCαC
α
RRA B
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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• Circuit RLC série, résonance de tension
La tension d’entrée eu alimente le circuit RLC série, tandis que la tension de sortie su est la tension aux
bornes du condensateur.
La fonction de transfert s’obtient immédiatement par division de tension :
( ) 2
11
1 1C
C R L
Z jCH j
Z Z Z jRC LCR jLjC
ωω = = =+ + + ω − ω+ + ω
ω
Nous retrouvons la forme canonique en posant 0
1
LCω = et 0
0
1 1L LQ
R RC R C
ω= = =ω
Rappelons que l’on ne peut observer de surtension aux bornes du condensateur que pour un coefficient de
qualité Q suffisamment élevé : 1
2Q > .
Pour des valeurs de Q plus grandes encore, le coefficient de surtension maximal 1H est observé pour une
pulsation 1ω très proche de 0ω et prend une valeur très proche de Q :
Q 1 0ω ω 1H
1 0.71 1.15
2 0.94 2.07
3 0.97 3.04
4 0.98 4.03
Pour cette raison, le coefficient de qualité Q est parfois appelé coefficient de surtension.
• Filtre du Butterworth à structure de Rauch
La structure de Rauch correspond à un montage inverseur avec une double contre-réaction sur l’entrée inverseuse, l’entrée se faisant sur un pont diviseur. Dans l’exemple suivant, les résistances sont toutes identiques et les valeurs des condensateurs sont choisies pour définir un filtre de Butterworth.
Leu su
CR
( )0
lgω
ω0, 2 0,5 1
dBH
20 log 4
20 log 3
20 log 2
01Q =
2Q =
3Q =
4Q =
Q → ∞
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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Dans l’hypothèse d’un amplificateur opérationnel idéal fonctionnant en mode linéaire, le point B est au potentiel nul et il ne rentre aucun courant dans l’A.O. Par application du théorème de Millman en A et B, nous obtenons :
e s
A
3 3
2
u uV j C
R R R + ω = +
et A
s
20
3
VjC u
R= + ω
On en déduit l’expression de la fonction de transfert : ( )( )2
1
1 2H j
j RC RC
−ω =+ ω − ω
Ce qui correspond bien à un filtre passe-bas inverseur avec 0 1H = − , 0
1
RCω = et
1
2Q =
Notons que, pour le filtre de Butterworth, le gain à la fréquence caractéristique est de 3 dB− , comme pour un filtre du premier ordre : 0ω s’identifie à la pulsation de coupure à 3 dB− . Cependant, la pente en
mode atténué est de 40 dB / décade− , deux fois la pente que l’on observait pour un passe-bas du premier ordre.
dBH
0
20−
40−
60−
ϕ
0
2
π
π
3 dB−
40 dB /− décade
( )0
lgω
ω0,1 1 10 ( )
0
lgω
ω0,1 1 10
∞
2
3C
3
2Ceu su
R
R
RA
B
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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Filtres passe-haut du second ordre
Étude canonique
La fonction de transfert d’un filtre passe-bas du second ordre s’écrit, dans le cas le plus général sous l’une des formes équivalentes suivantes :
( )
2
20 0
0 2 20 0
2 20 0
1 1
HH j H
j
Q jQ
ω−ωω = =ω ω ω ω+ − + −ω ω ω ω
• Formes asymptotiques
En très basse fréquence : 2
0 200
H Hω→
ω−ω
∼ , soit : dB 0
00
00
20lg 40lg
( , si 0)
H H
H
ω→
ω→
ω → + ω ϕ → π − π <
Pour la pulsation 0ω = ω , 0H jQ H= + , soit : 0
0
dB 0
0
20lg 20lg
( , si 0)2
H H Q
H
ω=ω
ω=ω
= + πϕ = + − π <
En très haute fréquence : 0H Hω→∞∼ , soit :
dB 0
0
20lg
0 ( , si 0)
H H
Hω→∞
ω→∞
ϕ → − π <
�
• Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode du filtre passe-haut du second ordre correspondant à 0 1H = est représenté ci-
après pour différentes valeurs de Q.
On remarquera que ce diagramme se déduit du diagramme du filtre passe-bas par certaines symétries.
En effet, on transforme le passe-bas en passe-haut en changeant 0
jωω
en 0
j
ωω
, ce qui revient à changer
0
lgωω
en 0
lgω−ω
et à changer ϕ en −ϕ .
dBH
80−
0
40+
40−
ϕ+π
2
π+
0
( )0
lgω
ω0,1 1 10 ( )
0
lgω
ω0,1 1 10
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
JLH 30/03/2008 Page 16 sur 21
Exemples de réalisations
• Association de filtres du premier ordre en cascade. Double cellule CR.
• Filtre actif à structure de Sallen et Key
La fonction de transfert a pour expression : 2
1 2
21
11
1 11 2
rH
r r
r jx x
= + + − −
Un tel filtre ne peut être stable que si le coefficient 2
1
2r
r− est positif, soit 2 12r r< .
Si cette condition n’est pas satisfaite, le dispositif se comporte différemment.
Filtres passe-bande du second ordre
Étude canonique
La fonction de transfert d’un filtre passe-bande du second ordre s’écrit, dans le cas le plus général sous l’une des formes équivalentes suivantes :
( ) 0 00 2
02
0 0 0
1 1
j
Q HH j H
jjQ
Q
ωωω = =ω ω ωω+ − + − ω ω ω ω
eu su
2C1C
1R 2R( )
21 1 2 1 2 2 1 2 1 2
1
1 1 1 1 11
H j
R C R C R C j R R C C
ω =
+ + + − ω ω
eu su
C C∞
R
2r
R
1r
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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• Formes asymptotiques
En très basse fréquence : 0
00
HH j
Qω→
ωω
∼ , soit : dB 0
00
00
20lg 20lg 20lg
( , si 0)2
H H Q
H
ω→
ω→
ω → − + ω
π ϕ → + π <
Pour la pulsation 0ω = ω , 0H H= , soit : 0
0
dB 0
0
20lg
0 ( , si 0)
H H
H
ω=ω
ω=ω
= ϕ = + π <
En très haute fréquence : 0 0HH j
Qω→∞
ω−ω
∼ , soit : dB 0
0
0
20lg 20lg 20lg
( , si 0)2
H H Q
H
ω→∞
ω→∞
ω − − ω
π ϕ → − + π <
�
• Bande passante à 3 −−−− dB
Remarquons tout d’abord que la fonction de transfert d’un filtre passe-bande du deuxième ordre est
invariante dans la transformation 0
0
j
j
ωω →ω ω
, ce qui implique les symétries correspondantes du
diagramme de Bode.
Dans tous les cas le module de l’amplitude passe par un maximum pour la pulsation caractéristique
0ω = ω qui est donc aussi la pulsation de résonance.
Le module de l’amplitude est divisé par 2 , ce qui correspond à une atténuation de 3 dB, pour les
valeurs particulières de ω vérifiant les équations : 0
0
1Q ωω − = ± ω ω
, soit :
12
0
1 11
2 4Q Q
ω = − + +ω
et 022
0 1
1 11
2 4Q Q
ωω = = + + +ω ω
Attention ! 1ω et 2ω , dont le produit est égal à 20ω sont les racines positives de deux équations
du second degré différentes, et non pas les deux racines d’une même équation.
La différence 2 1ω − ω s’appelle la bande passante à 3 −−−− dB , elle vérifie la relation simple :
3dB2 1
0 0
1
Q−∆ωω − ω = =
ω ω
Remarque : 1ω et 2ω sont les valeurs de la pulsation pour lesquelles la phase prend les valeurs
particulières 4
π+ et 4
π− . La bande passante caractérise aussi bien la largeur sur laquelle se fait la
variation de phase.
• Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode du filtre passe-bande du second ordre correspondant à 0 1H = est représenté ci-
après pour les valeurs de 1
10Q = , 1Q = et 10Q = .
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
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On remarquera en particulier les comportements asymptotiques de pente 20 dB+ par décade en basse fréquence (comportement dérivateur) et20 dB− par décade en haute fréquence (comportement intégrateur), caractéristique du passe-bande du second ordre.
Le diagramme de phase est représenté dans le cas où 0H est positif. Pour 0 0H < , il convient d’ajouter π
à la phase.
Remarque : pour 1
2Q < , la fonction de transfert d’un filtre passe-bande peut se factoriser sous la forme
du produit d’un filtre passe-haut de pulsation 0 0'ω < ω et d’un filtre passe-bas de pulsation 0 0"ω > ω .
( ) 01
00
00
1 1'
111 "
HH j H
jjQ j
ω = = ω ω ωω +++ − ωωω ω
Exemples de réalisations
• Filtres passifs : ponts de Wien
Les trois filtres passifs suivants ont la même fonction de transfert qui s’écrit, en posant x RC= ω :
( ) 2
1 111 3 3 1
3
jxH j
jjx xx
x
ω = =+ − + −
Dans tous les cas, le coefficient de qualité étant égal à 1
3, valeur inférieure à
1
2, la fonction de transfert
peut s’exprimer comme le produit de deux fonctions de transfert du premier ordre.
dBH
20−
0
40−
ϕ
2
π+
0
0,1Q =
1Q =
10Q =
2
π−
4
π+
4
π−
10Q =
1Q =
0,1Q =
( )0
lgω
ω0,1 1 10 ( )
0
lgω
ω0,1 1 10
eusu
C
C
R
Reu su
C
C
R
Reu su
C
C
R
R
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• Circuit RLC série, résonance de courant
Il s’agit ici d’un résultat de cours de première année qu’il faut assurément mémoriser. La fonction de transfert peut se mettre sous la forme canonique faisant apparaître la pulsation propre du circuit LC ainsi que le facteur de qualité du circuit RLC série :
( )0
0
1
1
H j
jQ
ω = ωω+ − ω ω
avec 0
1
LCω = et 0
0
1 1L LQ
R RC R C
ω= = =ω
• Filtre actif à structure de Rauch
En appliquant le théorème de Millman en A et une division de tension en B, on obtient l’expression de la fonction de transfert de ce quadripôle qui correspond à un filtre passe-bande du second ordre inverseur
( )0 1H = − de pulsation centrale 01
RCω = et de coefficient de qualité 1Q = .
Filtres coupe-bande du second ordre
Étude canonique
La fonction de transfert d’un filtre coupe-bande (on dit aussi bien filtre réjecteur de bande) du second ordre s’écrit, dans le cas le plus général sous l’une des formes équivalentes suivantes :
( )
2
20
0 02
200 0
0
11
111
H j H Hj
QjQ
ω−ωω = =
ω ω ++ − ωωω ω − ω ω
Pour la pulsation caractéristique 0ω = ω , la fonction de transfert s’annule : cette pulsation n’est pas
transmise.
Leu su
C
R( )
1R
H jR jL
jC
ω =+ ω+
ω
C
C
∞eu su
R
2R
R
( ) 11
1H j
j RCRC
ω = − + ω − ω
BA
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• Formes asymptotiques
En très basse fréquence : 00H H
ω→∼ , soit :
dB 00
00
20lg
0 ( , si 0)
H H
Hω→
ω→
→ ϕ → + π <
Pour la pulsation 0ω = ω , 0H = , soit : 0
0
dB
0
(asymptote verticale)
( , si 0)2
H
H
ω→ω
ω→ω
→ − ∞ πϕ → + π < ∓
∓
En très haute fréquence : 0H Hω→∞∼ , soit :
dB 0
0
20lg
0 ( , si 0)
H H
Hω→∞
ω→∞
ϕ → + π <
�
• Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode du filtre coupe-bande du second ordre correspondant à 0 1H = est représenté ci-
après pour les valeurs de 1
10Q = , 1Q = et 10Q = .
Le diagramme de phase est représenté dans le cas où 0H est positif. Pour 0 0H < , il convient d’ajouter π
à la phase.
Exemples de réalisations
• Circuit LC parallèle, antirésonance de courant.
dBH
20−
0
40−
ϕ
2
π+
0
0,1Q =
1Q =
10Q =
2
π−
4
π+
4
π−
10Q =
1Q =
0,1Q =
( )0
lgω
ω0,1 1 10 ( )
0
lgω
ω0,1 1 10
L
eu su
C
R
ÉLECTRONIQUE Chapitre 2 Filtres linéaires
JLH 30/03/2008 Page 21 sur 21
( ) ( )0
0
11// 1L C
RH j
R Z Z
jQ
ω = =+ +
ωω − ω ω
avec 0
1
LCω = et
CQ R
L=
Attention ! Le coefficient de qualité caractérisant « l’antirésonance » correspond à l’inverse de l’expression du coefficient de qualité caractérisant la résonance de courant du circuit RLC série. Prudence !...
• Filtre actif coupe-bande de Wien
Étudions ce montage inverseur où le potentiel de l’entrée inverseuse est lié à l’entrée et la sortie par un pont diviseur de tension. On en déduit : e e s3 2V u u− = +
Par ailleurs, le potentiel de l’entrée non inverseuse est défini par division de tension à la sortie du pont de
Wien. En posant x RC= ω , cette division de tension s’écrit : e e
13 jx V u
jx +
+ + =
Dans l’hypothèse d’un A.O. idéal en mode linéaire, nous avons e eV V− += et nous en déduisons la fonction
de transfert de ce quadripôle :
0
1 1 13 12 1 1
1 1
H H
j x jQ xx x
= − =+ +
− −
Cette fonction de transfert correspond à un filtre réjecteur inverseur avec 01
2H = − et
1
3Q = .
C
C
eusu
∞R
R
R
2R
