Analysefrequentielle Mp

TABLE DES MATIRES

1 Analyse frquentielle des systmes linaires 11.1 Rponse frquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Fonction de transfert complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Lieux de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 tude des SLCI partir des diagrammes de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Systme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Systme du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Intgrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.4 Drivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.5 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.6 Gnralisation du trac des diagrammes de Bode . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 tude des SLCI partir du diagramme de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.1 Systme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.2 Systme du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.3 Intgrateur - Drivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.4 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.5 Gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.6 De Bode Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4 tude des SLCI partir du diagramme de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Systme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.2 Systme du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.4.3 Intgrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.4 Retard pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.5 Gnralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4.6 Abaque de Black - Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.1 Corrigs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

i

CHAPITRE 1

ANALYSE FRQUENTIELLE DES SYSTMES LINAIRES

Cette partie complte ltude des systmes linaires continus et invariant (SLCI)du manuel de premire anne Sciences Industrielles en PCSI .

1.1 Rponse frquentielle

H(p)= N(p)D(p)E(p) S(p)

Lobjectif de lanalyse frquentielle est dtu-dier le comportement dun systme partir desa rponse une sollicitation sinusodale de laforme

e(t )= A u(t ) sin( t )

avec u(t ), la fonction Heaviside est dfinie par :

{t 0 u(t ) = 0t 0 u(t ) = 1 .

On sollicite donc, le systme inconnu avec une entre sinusodale et on relvela rponse temporelle de la sortie pour chacune des frquences. La figure 1.1 pr-sente quelques mesures.

On constate que la rponse (pour le rgime permanent) a lallure dune sinu-sode de mme pulsation mais en retard par rapport au signal dentre.

On remarque sur ces tracs :

la prsence de deux zones : le rgime transitoire (la phase de dmarrage) ; le rgime permanent ou rgime tabli ;

que le dphasage du rgime permanent avec le signal dentre augmenteavec la pulsation ;

que lamplitude de la sortie varie avec la pulsation.

1

2 1 Analyse frquentielle des systmes linaires

t

s

0 10

1

(a) f = 4 Hz

t

s

0 10

1

(b) f = 8 Hz

t

s

0 10

1

(c) f = 10 Hz

FIGURE 1.1 Relevs frquentiels

Pour caractriser la rponse frquentielle du systme il suffit alors dtudierlvolution pour le rgime permanent de la variation damplitude et du dphasageentre le signal dentre et la sortie (figure 1.2 ).

t

s

0 10

1

Retard de phaseEntre

Sortie

Transitoire Rgime permanent

cart damplitude

FIGURE 1.2 Rponse frquentielle

Pour un systme linaire, nous savons que la sortie en rgime permanent estde mme nature que lentre, lquation temporelle du rgime permanent de lasortie se met donc sous la forme :

s(t )= A0 A() sin( t +())

avec

1.1 Rponse frquentielle 3

A() : le rapport des amplitudes du signal permanent, entre lentre et lasortie ;

() : le dphasage entre lentre et la sortie ;ces deux fonctions sont des fonctions de la pulsation .

1.1.1 Fonction de transfert complexe

H(p)E(p) S(p)

Soit un systme linaire continu invariant (SLCI)connu par sa fonction de transfert dans le domaine deLaplace, la fonction de transfert du systme est par d-

finition : H(p)= S(p)E(p)

On note E(p) et S(p) les transformes dans le do-maine de Laplace des fonctions temporelles e(t) et s(t) et H(p) la fonction de trans-fert.

On appelle fonction de transfert complexe (ou transmittance isochrone) lafonction obtenue en remplaant la variable de Laplace p par le terme imaginairepur j :

H( j )= S( j )E( j )

Cette fonction est une fonction complexe de la variable , comme toute fonc-tion complexe, pour en raliser ltude, on peut soit sintresser :

la partie relle et la partie imaginaire, au module et largument.

1.1.2 Lieux de transfert

On appelle lieux de transfert, le trac des diffrentes reprsentations graphiquesde la fonction de transfert H( j ). On distingue principalement trois reprsenta-tions graphiques :

Les diagrammes de BODE ; Le diagramme de NYQUIST ; Le diagramme de BLACK .

Ces reprsentations graphiques sont les lieux de transfert de la fonction tudie. partir de ces reprsentations graphiques, nous pourrons caractriser le com-

portement global du systme linaire (passe bas, passe bande, rsonance, . . .).

a ) Diagrammes de BODE

Les diagrammes de Bode reprsentent (fig 1.3) sparment le module et laphase de la fonction H( j ). On note

A()= H( j ) le module,


()= arg(H( j ) largument

100 101 102 103 104120

100

80

60

40

20

0

20dB

rad/s

Trac exact

Trac asymptotique

en rad/s - chelle logarithmique

100 101 102 103 104270240210180150120906030

0

rad/s

Trac exact

Trac asymptotique

FIGURE 1.3 Diagrammes de Bode

Pour ces diagrammes : labscisse est une chelle logarithmique de la pulsation : log10() ; lordonne du diagramme damplitude est gradue en dcibels (dB) :

AdB()= 20log10(H( j)),

lordonne du diagramme de phase, en degr ou radian.On superpose en gnral au trac exact le trac asymptotique, celui-ci est sou-

vent suffisant pour analyser la fonction.

Proprits des diagrammes de Bode Soit un systme linaire dcrit par le schmabloc 1 ci-dessous.

G(p)=G1(p) G2(p)

Soit en complexe

G( j )=G1( j ) G2( j )

G1(p) G2(p)X(p) Y(p) Z(p)

1. lalgbre des schmas blocs est dcrite dans le manuel de premire anne(Sciences indus-trielles. Mcanique et automatique PCSI)

1.1 Rponse frquentielle 5

do le module rel

G( j )= G1( j ) G2( j )et le module en dB

GdB()= 20log(G1( j ))+20log(G2( j ))

=G1dB()+G2dB()

puis largument

arg(G( j ))= arg(G1( j ))+arg(G2( j ))

Graphiquement, il suffit donc dajouter les diagrammes de Bode des fonctionsG1(p) et G2(p) aussi bien pour le diagramme damplitude que pour le diagrammedes phases pour obtenir les diagrammes de G(p)=G1(p) G2(p).

b ) Diagramme de Nyquist

La reprsentation de Nyquist est la reprsentation paramtrique dans le plancomplexe de la fonction de transfert G( j ) (figure 1.4). On peut tracer le dia-gramme soit partir

de la partie relle et la partie imaginaire de G( j ),

G(j )=Re(G( j ))+ j Im(G( j ))

du module et de largument en polaire, en notant que

G( j )= G( j ) e j arg(G( j )Le graphique reprsentant la fonction de transfert doit tre gradu et orient

dans le sens des croissants.

Proprits du diagramme de Nyquist Sur le diagramme de Nyquist, multiplierpar un gain K la fonction de transfert revient faire une homothtie ayant pourcentre lorigine.

Le lieu dun produit de fonctions G(p)=G1(p) G2(p), peut se tracer point parpoint en polaire, le module est le produit des modules et largument, la somme desarguments :

G( j )= G( j ) e j arg(G( j ))= G1( j ) G2( j ) e j (arg(G1( j ))+arg(G1( j )))


Re

Im

-1 1

-1

0

1

Cercle unitaire

Lieu deNyquist

(a) Diagramme de Nyquist

dB

0-45-90-135-180

-10

+10Lieu de Black

(b) Diagramme de Black

FIGURE 1.4 Lieux de Nyquist et de Black

c ) Diagramme de Black

Cest la reprsentation prfre des automaticiens, cest une reprsentationglobale dans un systme de coordonnes spcifiques (figure 1.4). On reprsente laphase (degr) en abscisse et le module (dcibel) en ordonne. La courbe obtenuedoit tre gradue en pulsation ( en r ad/s).

Sur le diagramme de Black, multiplier par un gain K la fonction de transfert,revient translater la courbe verticalement de 20 logK.

1.2 tude des SLCI partir des diagrammes de Bode

1.2.1 Systme du premier ordre

Un systme du premier ordre est dcrit par une quation diffrentielle linaire coefficients constants du premier ordre :

ds(t )

dt+ s(t )=K.e(t ) avec : constante de temps

K : gain statique

On pose : e(t )L E(p) et s(t ) L S(p). On se place dans les conditions de Heavi-

side.Fonction de transfert et schma bloc dun systme du premier ordre :

H(p)= S(p)E(p)

= K1+ p

K

1+ pE(p) S(p)

1.2 tude des SLCI partir des diagrammes de Bode 7

a ) Reprsentation frquentielle

On obtient la fonction de transfert complexe en posant p = j :

H(j )= K

1+ j et on en dduit :

la partie relle :

Re(j )= K

1+2 2 la partie imaginaire :

Im(j )= K

1+2 2

le module :

A()= Kp1+2 2

largument :

()=arctan( )

le module en dB :

AdB ()= 20log(A())= 20 log(

Kp1+2 2

)soit en dveloppant,

AdB ()= 20 logK10 log(1+2 2)

La figure 1.5 prsente lallure des diagrammes de Bode dun systme du pre-mier ordre.

Diagramme damplitude : le diagramme damplitude prsente deux asymptotes une horizontale lorsque 0 : lim

0 (AdB)= 20 logK ; une asymptote de pente 20dB/dec lorsque ; les asymptotes se croisent pour la pulsation de coupure c = 1

;

le diagramme asymptotique en amplitude est assez proche de la courberelle et suffit en gnral pour tudier la fonction ;

pour la pulsation de coupure c = 1

,lcart par rapport au point din-

tersection des asymptotes est de 3dB ; pour les pulsations double 2 c et moiti c

2lcart est de 1dB par

rapport aux asymptotes.

Diagramme des phases : le diagramme des phases prsente lui aussi deux asymp-totes lorsque 0, lim

0 ( ())= 0 ; lorsque , lim

( ())=pi2 r ad(=90).


100 101 102 10320

10

0

10

20dB

rad/s

20 logK Asymptote horizontaleAsymptote de pente -20 dB/dec

c = 1

2 cc2

-3 dB-1 dB

-1 dB

100 101 102 10390

75

60

45

30

15

0

rad/s

-45

-63,43

-26,56

FIGURE 1.5 Diagrammes de Bode - systme du 1er ordre

Le diagramme asymptotique la forme dune marche descalier, il nestpas suffisamment prcis pour reprsenter correctement lvolution de laphase. Pour mieux approcher le trac, il est possible de tracer le segmentpassant par les points

(log( 1

10

),0)

et(log(10

),90) (en pointills sur le

graphe, attention ce nest pas une tangente). Quelques valeurs particulires de largument :

pulsation de cassure : (c )=45 pulsation moiti :

(c2

)=arctan( c2 )26,56 pulsation double : (2 c )=arctan( 2 c )63,43

b ) Premier ordre au numrateur

Soit la fonction dfinie par le polynme du premier degr :

N1(p)=(1+ p) .

On se propose de comparer ce polynme la fonction de transfert du premierordre :

H1(p)= 11+ p .


100 101 102 10330

20

10

0

10

20

30dB

rad/s

N1(p)= 1+ p

H1(p)= 11+ p

100 101 102 10390

60

30

0

30

60

90

rad/s

N1(p)= 1+ p

H1(p)= 11+ p

FIGURE 1.6 Diagrammes de Bode - 1er ordre au numrateur

le module se dduit directement deN1( j )= 1H1( j )

,soit en dcibel

20log(N1( j ))=20log( 1H1( j )

)=20log(H1( j ))

largument se dduit de la mme manire

arg(N1( j )

)=arg( 1H1( j )

)=arg(H1( j ))

On constate donc que le trac (fig. 1.6) des diagrammes de Bode dun poly-nme du premier ordre est le symtrique par rapport laxe des abscisses du dia-gramme de Bode dune fonction de transfert du premier ordre (pour un gain uni-taire K=1). Cela est gnralisable quel que soit lordre de la fonction de transfert.


1.2.2 Systme du second ordre

a ) Rappels

Un systme du second ordre est dcrit par une quation diffrentielle linaire coefficients constants du second ordre :

1

2n

d2s(t )

dt2+ 2 zn

ds(t )

dt+ s(t )=K.e(t )

avec

K : gain n : pulsation propre rad s1

z : coefficient (facteur) damortissement

La fonction de transfert scrit :

H(p)= S(p)E(p)

= Kp2

2n+ 2 zn

p+1

b ) Rappel - rponse temporelle

Lallure temporelle de la sortie dpend du facteur damortissement 2 z (figure 1.7) :

0< z < 1 : rponse temporelle oscillatoire amortie (pseudo priodique) ; z = 1 : rponse temporelle apriodique critique ; 1< z1 : rponse apriodique.Pour la rponse temporelle pseudo priodique (0< z < 1), on peut noter :

le dpassement relatif : d = smax ss

= epi zp1 z2 ;

la pseudo priode : Tp = 2pin

p1 z2

;

linstant du premier maximum : Tpm =Tp2= pin

p1 z2

.

Le temps de rponse minimum sans dpassement est obtenu pour z = 1.Le temps de rponse minimum est obtenu lorsque la rponse temporelle est tan-

gente la limite suprieure de lencadrement (figure 1.7(b)), pour le premier

maximum, alors d = epizp

1z2 = 0,05 soit z = 0,6901067 0,7 ce nest pasp

2

2!

Labaque page ?? donne Tr n en fonction de z.

2. ltude complte est dcrite dans le manuel de premire anne


t

s

0 10

1

oscillatoire amortie z < 1

apriodique critique z = 1

apriodique z > 1

(a) Influence du coefficient damortissement z

t

s

+5%5%

Tr0,7Tr1

z = 1

z 0,7

(b) temps de rponse minimal

FIGURE 1.7 Rponses temporelles systme du 2nd ordre

c ) Reprsentation frquentielle

partir de la fonction de transfert dun second ordre (equ ??) on dtermine lafonction de transfert complexe :

H( j )= K

1 2

2n+ j 2 z

n

On dduit : la partie relle :

Re()=K

(1

2

2n

)(1

2

2n

)2+(2 z

n

)2 la partie imaginaire :

Im()=2 K z

n(1

2

2n

)2+(2 z

n

)2 le module :

A()= K(1

2

2n

)2+(2 z

n

)2


le module en dB :

AdB ()= 20logK10log((

1 2

2n

)2+(2 z

n

)2) largument :

()=arctan(

2 z n2n 2

)Nous avons vu, lors de ltude de la rponse temporelle, que lallure de cette

rponse dpend du coefficient damortissement z. tudions donc dans un premiertemps le module et linfluence de z sur celui-ci :

Soit A1(u), le module rduit dduit du module de la fonction de transfert (c )),

en posant u = n

A1 (u)= K(1u2)2+ (2 z u)2

Calculons la drive par rapport u

dA1 (u)

du=K d

du

((1u2)2+ (2 z u)2)12 =K 4 u (u2+2 z21)((

1u2)2+ (2 z u)2) 32Le numrateur sannule pour : u = 0 soit= 0 cette racine correspond une asymptote horizontale dans le

diagramme de Bode en amplitude,

u2+2 z21= 0, cette quation nadmet de racines relles que pour z p

2

2,

la racine est alors ur = rn

=p

12 z2 soit r =n p

12 z2.On appelle pulsation de rsonance la pulsation

r =n

12 z2.Pour cette pulsation, le module prsente un maximum :

A(r )= K(1 2r2n

)2+(2 z r

n

)2 = K2 z p1 z2On dfinit Q, le coefficient de rsonance (ou facteur de surtension) tel que

Q= A(r )A(0)

= 12 z

p1 z2

Le trac du module (fig. 1.8) dun systme du second ordre dpend donc de lavaleur du coefficient damortissement.


0< z 1 : les deux racines sont relles, la fonction de transfert alors peut semettre sous la forme dun produit de deux fonctions du premier ordre :

H(p)= K(1+T1 p) (1+T2 p)

module :

A()= K1+T21 2

1+T22 2

module en dB :

AdB ()= 20logK20log(

1+T21 2)20log(

1+T22 2) largument :

()=arctan(T1 )arctanT2 ) z = 1 : le dnominateur possde une racine relle double, la fonction de

transfert peut se mettre sous la forme :

H(p)= K(1+T p)2


module :

A()= K1+T2 2

module en dB :

AdB ()= 20logK10log(1+T21 2

) argument :

()=2 arctan(T )

Nous allons donc considrer pour ltude frquentielle du second ordre, lesquatre cas suivant :

Cas 0< z 0 largument tend vers une asymptote horizontale dordonne : 90 . le module tend vers une asymptote dquation : 20logK 20 log.

1.3 tude des SLCI partir du diagramme de Nyquist 23

1.3 tude des SLCI partir du diagramme de Nyquist

1.3.1 Systme du premier ordre

KK2

= 0Re

Im

(c )()H( j)

c

FIGURE 1.13 Diagramme de Nyquist - 1er ordre

Le trac du diagramme de Ny-quist est la reprsentation de lafonction de transfert dans le plancomplexe.

Cette courbe est une courbe pa-ramtrique que lon trace partirde la partie relle et de la partieimaginaire de la fonction de trans-fert. Il est aussi possible de tracercette fonction en coordonnes po-laires partir du module et de lar-gument de la fonction.

Pour un systme du premier ordre nous avons :

Partie relle :

Re(H(j ))= K

1+2 2

Partie imaginaire :

Im(H(j ))= K

1+2 2

Le module reprsente le rayon polaire :

A()= H( j= Kp1+2 2

Largument est langle polaire :

()=arctan( )

Montrons que pour un systme du premier ordre, le lieu de Nyquist est undemi-cercle de centre

(0, K2)

et de rayon R= K2 .On pose :

x = K1+2 2 x > 0

y = K 1+2 2 y < 0


De la premire galit on dduit rapidement :22 = Kx1 puis de la deuxime

y = xEn composant ces deux relations : y2 =

(K

x1) x2.

Do lquation du demi-cercle, x2K x+ y2 = 0 et sous forme canonique :(x K

2

)2+ y2 =

(K

2

)2.

Le lieu de Nyquist dun systme du premier ordre est donc bien est un demi-cercle de centre

(0, K2)

et de rayon R= K2 . Le point correspondant = 0 est le point de coordonnes (K,0). Lorsque , le lieu tend asymptotiquement vers le point (0,0). La pulsation de cassure c = 1 correspond au point

(K2 ,K2

).

Remarque : Le lieu doit tre orient et gradu en croissant pour tre utilisable.On peut passer rapidement des diagrammes de Bode au lieu de Nyquist en

reportant pour chaque pulsation le module et la phase lus sur le diagramme deBode et en traant en polaire le lieu de Nyquist.

1.3.2 Systme du second ordre

partir de la fonction de transfert du second ordre dun systme du secondordre :

H(p)= S(p)E(p)

= Kp2

2n+ 2 zn

p+1

Partie relle :

Re()=K

(1

2

2n

)(1

2

2n

)2+(2 z

n

)2 Re() 0

Partie imaginaire :

Im()=2K z

n(1

2

2n

)2+(2 z

n

)2 Im() 0

Le lieu de Nyquist (fig 1.14) est toujours plac dans le demi plan des imagi-naires ngatifs, et lallure gnrale dpend de la valeur du coefficient damortisse-ment z :

1.3 tude des SLCI partir du diagramme de Nyquist 25

Re

Im

z = 0,4

z = 0,5

z =p

22

z = 4z = 10

K

n r

H( j r )= K2z

p1z2

FIGURE 1.14 Diagramme de Nyquist - 2nd ordre

z p

22 le module est alors toujours infrieur K, le lieu est donc compris dans le

demi-cercle de centre (0,0) et de rayon K ;

z

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