Révision :

Groupes ponctuels (point groups)

• Les axes de rotation, plans de réflexion, centres d’inversion, rotations impropres et l’identité sont des éléments décrivant des opérations de symétrie particulières

• les opérations de symétrie peuvent être combinées d’après certaines règles

• La symétrie de chaque molécule peut être décrite par l’ensemble des opérations de symétrie possibles

E, C31, C3

2, C2, C2’, C2’’, h, S31, v, v’, v’’

Les opérations de symétrie sur PCl5 (bipyramide triangulaire):

h

v vv

C2’’

C3, S3

C2’

C2

Décrire une molécule par une liste de toutes ses opérations de symétrie est long!

On utilise un système de classification.

PCl5:• axe principal de rotation C3

• les axes C2 à l’axe principal• le plan h

Après il faut suivre des règles de classification.

Pour cela il faut identifier des éléments clefs de symétrie d’une molécule.

Ces éléments caractéristiques définissent un groupe particulier possédant plusieurs éléments de symétrie différents.

Chaque classification est abrégé par un symbole (symbole de Schönflies). Celui-ci représente une collection d’opérations de symétrie. Il représente un groupe ponctuel (“point group”).

Groupe – un groupe d’opérations de symétrie, le terme “groupe” peut être défini mathématiquement

Ponctuel – les éléments de symétrie associés aux opérations de symétrie passent par le même point de l’espace. Ce point ne change pas par les opérations de symétrie. (ex.:PCl5 ce point est situé sur l’atome P).

Attention: ce point ne doit pas être nécessairement sur un atome C6H6.

Les groupes uniaxiaux Cn

Ils contiennent seulement l’élément Cn:

triphénylphosphine C3

Les groupes Cnv

Ils contiennent l’élément Cn et en plus n plans verticaux v contenant l’axe Cn:

H2O C2v

v

v’

C2

Les groupes Cnh

Ils contiennent en plus de l’axe de rotation d’ordre n un plan horizontal h .. Ils comprennent les Sn

m qui résultent du produit de Cn

m et de h (n impair)

acide borique C3h

Les groupes Dn

Ils contiennent un axe de rotation Cn et n axes C2 à celui-ci.

tris-chélate métallique D3

C3

h

À partir d’un groupe ponctuel Dn si l’on identifie un plan h il s’agit du groupe Dnh .

Qui contient alors :

Les groupes Dnh

C2, v

C4, S4

C2, v

C2, v

C2, v

- l’axe de rotation Cn , - n axes C2 à celui-ci, - le plan h et - n autres plans (v et d).

- Si n est pair, le groupe contient nécessairement un centre d’inversion i.

Les groupes Dnd

À partir du groupe ponctuel Dn si l’on trouve une série de n plans verticaux on obtient un groupe ponctuel Dnd qui contient :

H

H

HH

HH

d

d

d

C3, S6

C2

C2

C2

- les axes de rotation Cn , - n axes C2 à Cn,- n plans d.- S2n

Si n est impair, le groupe contient nécessairement uncentre d’inversion i.

éthane décalé D3d

Les groupes Sn

On peut montrer que pour n impair (n=3, 5, ..), l’ensemble des opérations autour de cet axe impropre est le même que celui qui forme le group Cnh, donc on parle seulement des groupes Cnh si n est impairpour C3h: C3, C3

2, E, h, S3 , S35

pour S3: S3, S32 C3

2, S33 h, S3

4 C3 , S35, S3

6 E

Maintenant si n est pair:

S2: S2 i groupe Ci

S4: S4 , S4

2 C2 , S43 , S4

4 E

les 4 éléments (en gras) forment un groupe. Ce groupe contient toujours un axe Cn/2 colinéaire à Sn.

Ils contiennent seulement l’élément Sn!

Oh octaèdreAttention:

Pour attribuer le groupe Oh ou Td à une molécule, cette dernière doit être parfaitement octaédrique ou tétraédrique !

Octaèdre(dans un cube)

Ces questions permettent d’identifier tous les groupes ponctuels communs trouvés en chimie. Il en existe d’autres, mais ils sont très rares (icosaèdre(Ih), dodécaèdre).

Td tétraèdre

Cv linéaire HCN

Dh linéaire CO2

Oh octaèdre: L’octaèdre et le cube possèdent les mêmes éléments de symétrie.3 axes C4 (également S4), quatre axes C3 (également S6), 6 axes C2’, 3 plans h, 6 plans d. 48 opérations de symétrie

exemples: AlF6, SF6, [Fe(CN)6]3-

Groupes spéciaux (de très haute symétrie)

Td tétraèdre: contient 3 axes S4, 4 axes C3 et 6 plans de symétrie d.A ces éléments correspondent 24 opérations de symétrie:S4, S4

2 C2, S43 et S4

4 E 3 3 = 9C3, C3

2 et C33 E 4 2 = 8

d. 6 1 = 6E = 1Total = 24

Il n’y a pas de centre d’inversion.exemples: SiF4, ClO4

-, Ni(CO)4

S4

S4

Oh 48 opérations de symétrie:C4, C4

2 C2, C43 et C4

4 E 3 3 = 9C3, C3

2 et C33 E 3 2 = 8

C2’, C3’2 6h 3 d. 6S4, (S4

2 C2), S43 et (S4

4 E) 3 2 = 6S6, S6

3 i, S65 4 2 +1 = 9

E 1

Total 24

Oh

D4h

C4v

Attention, des molécule qui se ressemblent ne font pas nécessairement partie du même groupe

C4

ClassificationClassification: répondre à quelques questions

1. Est-ce que la molécule fait partie des groupes suivants ?octaèdre Oh

tétraèdre Td

linéaire sans centre d’inversion i Cv

linéaire avec centre d’inversion i Dh

NON continuer avec question 22. Est-ce que la molécule possède un axe de rotation d’ordre 2 ?

OUI continuer avec question 3La molécule ne possède aucun autre élément d symétrie C1

NON La molécule possède un plan de réflexion Cs = C1h

La molécule possède un centre d’inversion Ci

3. Est-ce que la molécule possède plus qu’un axe de rotation ?OUI continuer avec question 4NONLa molécule ne possède aucun autre élément de symétrie Cn

(n = ordre de l’axe principal, e.g. C3)

La molécule possède un plan de symétrie h Cnh. (n = ordre de l’axe principal, e.g. C3h)

La molécule possède n plans de réflexion v Cnv. (n = ordre de l’axe principal, e.g. C3v)

La molécule possède un axe S2n coaxial avec l’axe principal S2n

4. La molécule possède le groupe ponctuel suivant:Elle ne possède pas d’autre élément de symétrie Dn

(n = ordre de l’axe principal, e.g. D3).

Elle possède n plans de réflexion d bissecteur de l’axe C2 Dnd

(n = ordre de l’axe principal, e.g. D3d).

Elle possède aussi un plan h Dnh

(n = ordre de l’axe principal, e.g. D3h).

OUI ok et fin

linéaire ? centre d’inversion i ?

symétrie élevée ?Dh

Cvnon

axe de rotation Cn ?

Td, Th, T

non

C1

Axe C2 à l’axe principal Cn ?

Dn

Dnd

Dnh

oui

oui

non

Oh et O

oui tétraèdre

octaèdre

Cs=C1h

Ci

pas d’autre élément

plan de réflexion

centre d’inversion

non

autre groupe ponctuel

Cn

Cnh

S2n

Cnv

aussi un plan h

pas d’autre élément

n plans de réflexion d

(bissecteur de l’axe C2)

oui

pas d’autre élément

n plans de réflexion h

n plans de réflexion v

un axe S2n coaxial avec l’axe de symétrie principal

non

I, Ihicosaèdre

oui

linéaire ?

symétrie élevée ?

non

axe de rotation Cn ?

non

Dn

Dnd

D3h

i ?

Cv

Dh

oui

oui

non

C1

Cs=C1h

Ci

pas d’autre élément

plan de réflexion

centre d’inversion

non

aussi un plan h

pas d’autre élément

n plans de réflexion d

(bissecteur de l’axe C2)

autre groupe ponctuel

oui

Cn

Cnh

S2n

Cnv

pas d’autre élément

n plans de réflexion h

n plans de réflexion v

un axe S2n coaxial avec l’axe de symétrie principal

non

PCl5 ?

Axe C2 à l’axe principal Cn ?

oui

Td, Th, T

Oh et O

oui tétraèdre

octaèdre

I, Ihicosaèdre

groupe ponctuel: C4v

groupe ponctuel: Oh

SCl5I ?

http://www.chem.shef.ac.uk/ug/cha96mch/index.html

exemples (2):

SF6 ?

Nous savons maintenant:• décrire les éléments de symétrie d’une molécule • classer les molécules selon ses propriétés de symétrie

description mathématique

C4

Est-ce que la molécule possède plus qu’un axe de rotation ?OUI continuer avec question 4NONLa molécule ne possède aucun autre élément de symétrie Cn

(n = ordre de l’axe principal, e.g. C3)La molécule possède un plan de symétrie h Cnh. (n = ordre de l’axe principal, e.g. C3h)La molécule possède n plans de réflexion v Cnv. (n = ordre de l’axe principal, e.g. C3v)La molécule possède un axe S2n coaxial avec l’axe principal S2n

C2, S4

allène: C3H4

symétrie: S4

C2, S4

Définition mathématique d’un groupe

Règles pour éléments formant un groupe:

1. La combinaison de deux éléments d’un groupe doit être un élément du groupe

2. Un élément du groupe doit laisser la molécule inchangée : (identité) E

3. La combinaison des éléments d’un groupe doit être associativeA(B C) = (A B) C

4. Chaque élément doit posséder un élément inverse (qui est aussi élément du groupe). A A-1 = A-1 A = E

Les opérations de symétrie d’une molécule suivent les règles d’un groupe mathématique.Les groupes formés d’opérations de symétrie sont appelés groupes de symétrie ou groupes ponctuels (maintiennent la molécule fixe à un point de l’espace).

(Il existe d’autres groupes d’opérations de symétrie, comme en cristallographie, il y a la translation, les groupes spatiaux).

La mathématique des groupes permet de simplifier les équations pour calculer les énergies d’une molécule : application en mécanique quantique, en spectroscopie, thermodynamique…

Théorie de groupe

Si la multiplication est commutative: AB = BA groupe abélienSi la multiplication n’est pas commutative: AB BA groupe non-abélien

E C2 v v’

E E C2 v v’

C2 C2 E v’ vv v v’ E C2

v’ v’ v C2 E

exemple: opérations de symétrie E, C2 , v , v’

Est-ce que ces opérations forment un groupe ?

table de multiplication:

x

y

v

v'

C2

Les groupes ponctuels de symétrie peuvent se partager en deux catégories :

- Les 16 produits possibles sont tous des éléments du groupe.

- La combinaison des éléments est associative (à vérifier)

- Dans le cas présent : chaque élément est son propre inverse

ces 4 éléments forment le groupe C2v

C2 v = v C2 , v’ v = v v’, etc….

C2v est un groupe abélien

E C2 v v’

E E C2 v v’

C2 C2 E v’ vv v v’ E C2

v’ v’ v C2 E

table de multiplication:

Exemple : groupe C3v (NH3)

Les opérations de symétrie de ce groupe sont:

E, C31 , C3

2 , v, v’, v’’ ne pas oublier que C31 * v’ = v’’

tableau de multiplication :E C3 C3

2 v v’ v’’

E E C3 C32 v v’ v’’

C3 C3 C32 E v’’ v v’

C32 C3

2 E C3 v’ v’’ vv v v’ v’’ E C3 C3

2

v’ v’ v’’ v C32 E C3

v’’ v’’ v v’ C3 C32 E

groupe non-abélien C3v

Compliqué!

Pour le groupe C2v les opérations de symétrie sont : E, C2 , v , v’

On dit que E = 1, C2 = 1 , v = -1, v’ = -1

Cette solution n’est valide que si toute les multiplications d’opérations restent valides. Les résultats doivent être les mêmes :

v * v’ = C2 - 1 * - 1 = 1

* C2 = C2 1 * 1 = 1v * C2 = v

’ 1 * - 1 = - 1...

Les résultats sont les mêmes donc la solution est valide

Pour résoudre plus facilement la question de la multiplication des colonnes, une méthode plus rapide est possible. Il s’agit de trouver une solution non triviale aux opérations de symétrie de ce groupe en remplaçant chaque opération par un 1 ou un -1, la solution devant respecter les autres opérations de symétrie.

Exemple : Groupe C2v:

Les réponses suivantes (et non triviales) sont possibles:E = 1 C2 = 1 v = 1 v’ = 1

E = 1 C2 = 1 v = -1 v’ = -1

E = 1 C2 = -1 v = 1 v’ = -1

E = 1 C2 = -1 v = -1 v’ = 1

Il est possible de représenter les opérations de symétrie par des opérations mathématiques:

«rotation de 180°» = «multiplier par 1» ou «multiplier par -1» selon la représentation considérée.

E C2 v v’

E E C2 v v’

C2 C2 E v’ v

v v v’ E C2

v’ v’ v C2 E

1 -1 1 -1

1 1 -1 1 -1

-1 -1 1 -1 1

1 1 -1 1 -1

-1 -1 1 -1 1

C2v E C2 v v’

1 1 1 1 1

2 1 1 -1 -1

3 1 -1 1 -1

4 1 -1 -1 1

La table de multiplication de C2v est :

Considérons:opérations de symétrie: tourner à droite D

tourner à gauche Gfaire demi-tour Rrester immobile E

Ces quatre opérations forment un groupe

x

y

x’=y

y’=-x

D Dx y

y x

Les coordonnées cartésiennes peuvent être utilisées comme base mathématique de la représentation.

dans un repère bidimensionnel (2D):

Représentations

x

y

x’’=-x

y’’=-y

R Rx x

y y

La même chose pour les opérations G et E

Chaque opérateur peut être ensuite converti en matrice :

Dx y

y x

Comment faire la transformation

' 0 1

' 1 0

x x y

y y x

Avec la notation matricielle :

?

Représentation matricielle de chacune des opérations de symétrie :

0 1

1 0D

0 1

1 0G

1 0

0 1R

1 0

0 1E

Ces matrices constituent un groupe!

0 1 0 1 1 0

1 0 1 0 0 1DG E

L’élément inverse est l’élément qui permet de faire un retour en arrière sur une opération, c’est-à-dire que l’on retourne à la case de départ.Pour ce groupe l’élément inverse de G est D:

Exemple : La molécule d’eau: symétrie C2vO

HH

xa, ya, za: coordonnées de déplacement de chaque atome (a=1,2,3)dans un repère cartésien

O

HH

Z1

X1

Y1Z2

X2Y2

Z3

X3

Y3

Nous pouvons utiliser les coordonnées de déplacement de chaque atome comme base pour la représentation mathématique des opérations de symétrie de la molécule.

C2

La matrice qui représente la transformation des 9 coordonnées:

1 1

1 1

2 3

3 2

3 2

3

2 3

2

1

2

3

1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0

0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0

x x

y y

x x

y y

z z

x x

z

z

y y

z

z

1 1

1

2 3

2 3

2 3

3 2

3 2

1

1 1

3 2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

1 0 0

0 1 0

0

1 0 0

0 1 0

0 0

0 0 0

0 1

1

0

0 0 0 0 0 1 0 0 0

x x

y y

x x

y

z

y

z z

z

x x

y y

z z

réflexion v(xz):

Les matrices 99 pour toutes les opérations du groupe ponctuel forment une représentation du groupe C2v.

O

HH

Z1

X1

Y1

Z2

X2

Y2

Z3

X3 Y3

Z1

O

HH

X1

Y1

Z2

X2Y2

Z3

X3Y3

Rotation C2

La molécule d’ammoniac: symétrie C3vN

HH

H

H

N

H H

y1

x1

C3

H

N

H H

y1

x1

pour l’azote:

angle de rotation:

notation matricielle: 1 1

1 1

'cos sin

'sin cos

x x

y y

Comment pouvons-nous utiliser le fait que les matrices constituent un groupe mathématique pour simplifier le problème ?

compliqué !

x1

y1

y1

x1

Représentations irréductibles

exemple: symétrie C3v

N

HH

H

La matrice (3x3) qui détermine une représentation de l’opération C3

1 du groupe ponctuel C3v.

13

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

C

La matrice est constituée de deux «sous»-matrices

donc peut être réduite en deux matrices plus petites.Une matrice qui ne peut plus être réduite s’appelle irréductible.

x

y

z

Certaines représentations de dimension supérieure à un peuvent être réduites en des représentations de plus petites dimensions.

Une représentation matricielle qui peut être réduite est appelée représentation réductible.

Une représentation qui ne peut pas être réduite en des représentations de plus petite dimension est appelée représentation irréductible.

Conséquence pour la théorie des groupes appliquée à la chimie:

Nous pouvons trouver n’importe quelle représentation matricielle des opérations de symétrie d’une molécule et cette représentation pourra toujours s’exprimer en termes de représentation irréductible du groupe ponctuel de la molécule.

La bonne nouvelle:

Toutes les représentations irréductibles ont été déterminées pour chacun des groupes ponctuels utilisés en chimie!

Caractères

Un problème: Comment manipuler des matrices volumineuses ?

(H2O: 3x3, C6H6 !!!)

a b c d

e f g h

i j k l

m n o p

Une matrice 4x4 quelconque:

la trace de cette matrice est a+f+k+p

Cette propriété simplifie beaucoup l’utilisation des matrices en théorie des groupes appliquée à la chimie. Il faut simplement connaître la valeur des traces des représentations matricielles irréductibles (et il n’est pas nécessaire d’écrire les matrices dans leur intégralité).

En théorie des groupes appliquée à la chimie, cette trace de la représentation matricielle est caractéristique de son comportement en tant que représentation d’une opération de symétrie.

Parce que la trace est caractéristique de la matrice on l’appelle caractère de la matrice.

Les représentations matricielles ne voient pas la valeur de leur trace changer sous l’effet de toutes les transformations mathématiques mises en jeu.

Le cœur de la théorie des groupes

1. Nous pouvons représenter mathématiquement une molécule (généralement à l’aide des coordonnées de ses atomes). Cette description mathématique de la molécule forme une base pour les opérations de symétrie.

2. A l’aide de cette base nous pouvons créer des représentations mathématiques des opérations de symétrie à l’aide de règles simples.

3. Les représentations mathématiques sont soit réductibles, soit irréductibles. Toute représentation réductible peut être exprimée comme une combinaison de représentations irréductibles.

4. Les représentations peuvent être exprimées simplement par des nombres appelés caractères.

5. Les représentations irréductibles de tous les groupes ponctuels courants ont été déterminées. Ces représentations sont regroupées dans des tables de caractères.

Qu’avons-nous appris des mathématiques:

Nous avons vu :

- Toute molécule peut être classée selon ses opérations de symétrie dans un groupe ponctuel.

- Le groupe ponctuel d’une molécule définit l’ensemble des opérations de symétrie de la molécule.

- Certaines opérations de symétrie se comportent de manière semblable et peuvent être regroupées en classes d’équivalence.

C2v E C2 v(xz) v’(yz)

A1 1 1 1 1 z x2,y2,z2

A2 1 1 -1 -1 Rz xy

B1 1 -1 1 -1 x,Ry xz

B2 1 -1 -1 1 y,Rx yz

- Nous pouvons représenter mathématiquement ces opérations de symétrie. Ces représentations sont réductibles ou irréductibles. Les réductibles peuvent être considérées comme des combinaisons de celles irréductibles. Le nombre des représentations irréductibles est égal au nombre de classes d’équivalence du groupe.

- Les représentations irréductibles sont intéressantes en chimie. Ils ont été déterminées et sont données sous forme de table de caractères.

C2v E C2 v(xz) v’(yz)

A1 1 1 1 1 z x2,y2,z2

A2 1 1 -1 -1 Rz xy

B1 1 -1 1 -1 x,Ry xz

B2 1 -1 -1 1 y,Rx yz

nom du groupe(symbole de Schönflies)

Éléments de symétrie, réunis en classes

caractères des représentations irréductibles

bases de représentations couramment utilisées

Représentations irréductibles associées aux symboles de Mulliken(attribués d’après des règles)

v v’

C2

C3v E 2C3 vA1 1 1 1 z x2+y2,z2

A2 1 1 -1 Rz

E 2 -1 0 (x,y), (Rx , Ry) (x2-y2,xy),(xz,yz)

C5v E 2C5 2C52 v

A1 1 1 1 1 z x2+y2, z2

A2 1 1 1 -1 Rz

E1 2 2cos(72°) 2cos(144°) 0(x, y),(Rx, Ry)

(xz, yz)

E2 2 2cos(144°) 2cos(72°) 0 x2-y2, xy

exemples:

Td E 8C3 3C2 6S4 dA1 1 1 1 1 1 x2+y2+z2

A2 1 1 1 -1 -1

E 2 -1 2 0 0 (2z2-x2-y2, x2-y2 )

T1 3 0 -1 1 -1 (Rx, Ry , Rz)

T2 3 0 -1 -1 1 (x, y, z) (xy, xz, yz)

Le nombre des représentations irréductibles d’un groupe est égal au nombre de classes d’opérations que possède le groupe!

exemples:

Les classes

On peut décrire la symétrie d’une molécule grâce à un ensemble d’éléments de symétrie qui peuvent être effectuées sur la molécule donc un ensemble d’opérations de symétrie. Ces opérations de symétrie peuvent être utilisées pour définir la symétrie de la molécule.

Les opérations de symétrie qui peuvent être appliquées sur la molécule PH3 (ou NH3) sont: E, C3

1, C32, v, v’ et v’’.

Classes d’équivalence: La molécule PH3 possède les classes d’équivalence E, 2C3, 3v.Les chiffres 2, 3 indiquent le nombre d’opérations de symétrie dans une classe d’équivalence: 2C3 contient C3

1 et C32.

Certaines de ces opérations de symétrie sont semblables: C3

1 et C32. v, v’ et v’’. E (seul)

Comment assigner les opérations de symétrie aux classes ?

1. L’identité E est toujours une classe en soi2. L’inversion i est toujours une classe en soi

7. Règle 6 est aussi valable pour les axes impropres de rotation.

3. La rotation autour de Cnk et son inverse (Cn

-k = Cnn-k) sont dans la même

classe si : - n plans v ou d existent- n axes C2 à Cn

k existent

4. Règle 3 est aussi valable pour les rotations impropres Sn

6. Dans le groupe Dnd tous les axes C2’ ( à l’axe principal) sont dans la même classe. Dans le groupe Dnh les axes C2’ ( à l’axe principal) ne sont pas tous dans la même classe.

5. Dans le groupe Cnv tous les v sont dans la même classe. Dans le groupe Dnh les v et les d sont dans des classes différentes, une réflexion h est toujours une autre classe.

Plus court: Deux opérations se trouvent dans la même classe si

(1) les deux sont du même genre (rotation, réflexion)(2) dans le groupe existe une autre opération qui inter-change

les deux opérations

dans C6 : les rotations sont toutes dans des classes différentes, dans C6v : la réflexion dans un plan vertical inter-change l’effet de

rotation de 60° et de 300°, donc C61 et C6

5 sont dans lamême classe

Comment réduire une représentation réductible?

C3v E 2C3 v

A1 1 1 z x2+y2,z2

A2 1 1 -1 Rz

E 2 -1 0 (x,y), (Rx , Ry)(x2-y2,xy),(xz,yz)

h: l’ordre du groupe (le nombre d’opérations de symétrie qu’il contient)

1*i i R

R

a R R nh

la formule de réduction

nR: l’ordre de la classe de symétrie considéréeai: le nombre de fois que la représentation irréductible d’indice i

apparaît dans la représentation réductible

i(R): le caractère de la représentation irréductible d’indice i pour un élément de symétrie

(R): le caractère de la représentation réductible pour un élément de symétrie

C3v E 2C3 vA1 1 1 z x2+y2,z2

A2 1 1 -1 Rz

E 2 -1 0(x,y), (Rx ,

Ry)

(x2-y2,xy),(xz,yz)

C3v E 2C3 v

RR 1 0

exemple: représentation réductible du groupe C3v:

1*i i R

R

a R R nh

1

14 1 1 1 1 2 0 1 3 1

6a

C3v E 2C3 v

RR 1 0

Le nombre de fois que A1 apparaît dans la représentation réductible RR

h=6: 1(de E) + 2(de C3) + 3(de v) = 6

table de caractère du groupe C3v:

exercice: Combien de fois peut-on trouver les représentations A2 et E dans la représentation réductible (RR) du groupe C3v ?

C3v E 2C3 vRR 1 0

C3v E 2C3 vA1 1 1

A2 1 1 -1

E 2 -1 0

2

3

14 1 1 1 1 2 0 1 3 1

61

4 2 1 1 1 2 0 0 3 16

a

a

RR = A1+A2+E

exercice: représentation réductible (RR) du groupe tétraèdre Td

Td E 8C3 3C2 6S4 6v

RR 1 -1 -1 -1

A1 1 1 1 1 1

A2 1 1 1 -1 -1

E 2 -1 2 0 0

T1 3 0 -1 1 -1

T2 3 0 -1 -1 1

1

2

3

4

5

17 1 1 1 1 8 1 1 3 1 1 6 1 1 6 0

241

7 1 1 1 1 8 1 1 3 1 1 6 1 1 6 1241

7 2 1 1 1 8 1 2 3 1 0 6 1 0 6 0241

7 3 1 1 0 8 1 1 3 1 1 6 1 1 6 1241

7 3 1 1 0 824

a

a

a

a

a

1 1 3 1 1 6 1 1 6 1

RR = A2+T1+ T2

1*i i R

R

a R R nh