Énergie mécanique d

7/16/2019 Énergie mécanique d

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Énergie mécanique d’un pendule

Difficulté:

Durée: 30 min

Un pendule simple est constitué d’un fil de longueur , fixé en un point et portant à

l’autre extrémité une masse ponctuelle . Son énergie potentielle est choisie nulle

lorsque la masse passe par la verticale, au point le plus bas. L’énergie mécanique E M

du

pendule vaut .

1. Exprimer la vitesse vmax de la masse lorsque celle-ci passe à son point le plus bas, en

fonction de E M

et m.

2. Calculer la vitesse vmax.

3. Exprimer l’énergie potentielle du pendule en fonction de L, m et de l’angle α que forme le

fil avec la verticale.

4. Déduire de la question précédente la valeur maximale de l’angle α, notée αmax.

5. Dans l’approximation des petites oscillations, vérifier par un calcul aux dimensions que la

période T du pendule peut être proportionnelle à .

6. Calculer la valeur numérique de la période T , sachant que le coefficient de proportionnalité

est 2π.

7. On laisse le pendule osciller, et on observe que l’amplitude angulaire maximale diminue

oscillation après oscillation.

Donner une explication à ce phénomène.

Que peut-on dire de l’énergie mécanique du pendule au cours du temps ?

8. Peut-on utiliser ce pendule pour mesurer le temps ?



Corrigé :

1. et 2. Puisque l’énergie potentielle est posée comme nulle au point le plus bas, on a donc en

ce point , soit .

3. On a posé que l’énergie potentielle était nulle au point le plus bas, on a donc :

.

4. Lorsque l’énergie potentielle est maximale, l’énergie cinétique est nulle et on a

soit .

D’où , soit .

5. Si l’approximation des petites oscillations est valable (dans cet exercice on est à la limite)

on sait que .

On vérifie que . La formule proposée est bien homogène à un temps.

6. On trouve .

7. a. Les oscillations diminuent en amplitude du fait de l’existence des forces de frottements.

b. Du fait des frottements, l’énergie mécanique doit aussi diminuer progressivement, jusqu’à

s’annuler, quand il n’y a plus de mouvement.

8. Si ce pendule ne subissait pas des pertes énergétiques par frottement, on pourrait

effectivement s’en servir pour battre le temps T . Cependant, comme tout système mécanique,

il perd (assez rapidement) de l’énergie, on doit donc en principe le munir d’un système

compensant ces pertes, si on veut en faire une horloge satisfaisante.

1. et 2. Puisque l’énergie potentielle est posée comme nulle au point le plus bas, on a donc en

ce point , soit .

3. On a posé que l’énergie potentielle était nulle au point le plus bas, on a donc :

.



4. Lorsque l’énergie potentielle est maximale, l’énergie cinétique est nulle et on a

soit .

D’où , soit .

5. Si l’approximation des petites oscillations est valable (dans cet exercice on est à la limite)

on sait que .

On vérifie que . La formule proposée est bien homogène à un temps.

6. On trouve .

7. a. Les oscillations diminuent en amplitude du fait de l’existence des forces de frottements.

b. Du fait des frottements, l’énergie mécanique doit aussi diminuer progressivement, jusqu’à

s’annuler, quand il n’y a plus de mouvement.

8. Si ce pendule ne subissait pas des pertes énergétiques par frottement, on pourrait

effectivement s’en servir pour battre le temps T. Cependant, comme tout système mécanique,

il perd (assez rapidement) de l’énergie, on doit donc en principe le munir d’un système

compensant ces pertes, si on veut en faire une horloge satisfaisante.



Voyager en se repérant : le GPS et leshorloges

De nombreuses activités humaines demandent un repérage précis (latitude, longitude, altitude) surle globe terrestre ou dans son voisinage.

Actuellement, le Global Positioning System (GPS) a supplanté toutes les autres technologies

permettant de repérer sur le globe terrestre, avec une précision voisine de 20 m, un mobile équipé

d’un récepteur.

Les trois parties du problème portent sur les satellites et la mesure du temps. Elles sont

indépendantes.

1. Les satellites

Document

En avion, en voiture, en bateau, à pied, en montagne, dans le désert, par beau temps ou au milieud’une tempête, le GPS donne tout à la fois la position géographique, l’altitude et l’heure exacte.

Principe : au lieu d’utiliser des repères terrestres ou de suivre les étoiles, l’utilisateur, muni d’un

récepteur, mesure la distance entre lui-même et au moins 4 des 24 satellites de la constellation

Navstar. Le récepteur convertit ces distances pour retrouver la latitude, la longitude et l’altitude.

Répartis sur six orbites circulaires inclinées de 55° par rapport à l’Équateur, ces satellites évoluent à

une altitude de 20 180 kilomètres. Avec une vitesse proche de 14 000 km · h –1, ils accomplissent un

tour du monde en 12 heures. Leur configuration mouvante a été calculée pour qu’au moins quatre

d’entre eux soient toujours en vue (99,9 % du temps) depuis n’importe quel endroit de la planète.

D’après Claude Reyraud et Guy Ruckebusch,

« Le GPS : portrait d’un système de navigation universel », La Recherche, n° 358, novembre 2002.

On rappelle que l’orbite des satellites est circulaire.

Données

Intensité de la pesanteur : g = 9,80 m · s‒2.

Masse de la Terre : MT = 5,98 × 1024 kg.

Rayon de la Terre : RT = 6 380 km.

Constante de gravitation : G = 6,67 × 10 –11 N · kg‒2 · m2.

1 Quelle est l’expression vectorielle de l’accélération d’un satellite en fonction des données de

l’énoncé ?

Montrer que ce mouvement circulaire est uniforme. (0,75 point)

2 Quelle est l’expression de sa vitesse en fonction de G, RT,MT et h dans un référentiel géocentrique

? (h est l’altitude du satellite) (0,25 point)

3 Vérifier que la vitesse des satellites sur leur orbite et leur période T de rotation, données dans le

texte, sont compatibles avec l’altitude. (0,5 point)

4 De tels satellites sont-il géostationnaires ? Justifier. (0,5 point)



2. Les ondes

Document

« Toutes les millisecondes, les satellites envoient des signaux codés sous forme d’ondes radio émises

sur deux fréquences différentes (1,6 et 1,2 GHz) dont la réception au sol va permettre de calculer une

position. Un certain nombre de facteurs limite encore, et de façon systématique, la précision du GPS.

Par exemple, puisque le signal GPS n’est émis que toutes les millisecondes, un récepteur mobile

verra chuter la précision de ces mesures d’autant plus qu’il se déplace vite. Autre difficulté nuisant à

l’exactitude, les ondes ne se propagent pas à une vitesse constante dans la partie la plus haute de

l’atmosphère car celle-ci n’est pas homogène. Citons enfin la position géographique des quatre

satellites utilisés par le récepteur : la mesure a d’autant plus de chances d’être faussée que les

satellites visibles sont près de l’horizon. En effet, les signaux traversent alors une couche plus épaisse

d’une atmosphère parfois non homogène. Tous ces éléments font que les récepteurs vendus

aujourd’hui dans le commerce affichent une erreur standard de l’ordre de 20 mètres.

Plus complexes encore, les récepteurs géodésiques (donnant une précision de l’ordre du centimètre)

corrigent eux-mêmes les erreurs dues aux variations de la vitesse des ondes dans la partie la plus

haute de l’atmosphère. Pour cela, ils enregistrent les deux signaux… que chaque satellite émet

simultanément… Ces deux signaux se propagent à des vitesses légèrement différentes. »

D’après Claude Reyraud et Guy Ruckebusch, « Le GPS : portrait d’un système de navigation universel »,

La Recherche, n° 358, N° 358, novembre 2002.

Les ondes radio sont des ondes électromagnétiques comme les ondes lumineuses et se propagent à

la célérité c = 3,00 × 108 m · s‒1 dans le vide.

Dans cette question, on négligera les perturbations introduites par l’atmosphère sur la durée du

trajet des ondes.

1 Calculer les longueurs d’onde dans le vide des ondes émises par les satellites. (0,5 point)

2 Quelle est la durée t mise par le signal pour aller du satellite S au récepteur R si le satellite est situé

à la verticale de R à l’altitude de 20 180 km ? (0,5 point)

3 Pour une mesure unique, l’erreur standard sur la distance verticale est de 20 m. Calculer (en

nanosecondes) l’erreur Δt sur la durée de propagation du signal. Comparer t et Δt et commenter. (0,5

point)

4 Pour une série de N mesures, les lois de la statistique montrent que l’erreur est divisée par un

facteur .

Calculer N pour que l’erreur passe de 20 m à 20 cm. (0,25 point)

Le signal GPS étant émis toutes les millisecondes, calculer la durée nécessaire pour effectuer ces N

mesures. Discuter l’intérêt d’une telle précision pour un récepteur mobile. (0,5 point)



5 Entre le récepteur et le satellite, le signal traverse les couches successives de l’atmosphère et se

propage alors à une célérité différente de c. La fréquence et la longueur d’onde du signal sont-elles

modifiées lors de la traversée de l’atmosphère ? Justifier. (0,25 point)

6 À quel phénomène ondulatoire fait allusion la dernière phrase du texte ? (0,25 point)

3. Les horloges

Avant l’invention du GPS, pour connaître leur longitude, les navigateurs comparaient l’heure locale

(heure déterminée d’après la position du Soleil ou d’une étoile) et, au même moment, l’heure du

méridien de Greenwich donnée par une horloge embarquée sur le navire. La précision de la position

du navire dépendait de la précision de la mesure de cet écart horaire.

Dans une horloge à balancier, pour une faible amplitude α, la période T vérifie la relation T =T 0

avec T 0 = où l est la longueur du balancier et g l’intensité du champ de pesanteur, α est

en radian.

1 Montrer, par analyse dimensionnelle, que est homogène à une durée. (0,5 point)

2 Quel écart relatif par rapport à T 0 observe-t-on sur la période de ce pendule lorsque l’amplitude est

de 4° ? (0,25 point)

3 Une horloge à balancier a une période T 1 = 2,000 s en un lieu où l’accélération de la pesanteur vaut

g= 9,810 N · kg –1.

Quelle est la période T 2 d’une horloge identique, de même longueur, en un lieu où g2 = 9,800 N · kg –

1 en conservant la même amplitude ? (0,5 point)

4 Pourquoi une horloge à balancier ne convient-elle pas pour déterminer une longitude ? (0,25 point)

5 En 1764, pour s’affranchir de cet inconvénient, John Harrison parvint à fabriquer une horloge

utilisant un ressort spiral, qui après un voyage aller et retour entre Plymouth et La Barbade, ne dériva

pas de plus de 15 s en 156 jours. Calculer la précision de cette horloge. (0,25 point)

6 À quelle distance, en kilomètres, calculée sur le parallèle de Plymouth, correspondent les 15 s de

dérive observées lors du voyage de John Harrison ? La latitude de Plymouth est de 50° nord.

On rappelle que la latitude λ d’un point P est l’angle entre le plan de l’équateur et la droite joignant P

au centre de la Terre.

Un parallèle est un cercle de rayon r à la surface de la Terre. Tous les points de ce cercle sont à lamême latitude λ. (1 point)



La théorie de la relativité

La mécanique newtonienne et la théorie électromagnétique sont contradictoires. En effet,

conformément aux lois de la mécanique newtonienne, la vitesse d’une onde lumineuse par rapport

au sol, émise par exemple dans un train en mouvement dans le sens de la lumière, s’écrit comme lasomme de deux vitesses : celle de la lumière additionnée à celle du train. Ainsi, le voyageur qui, dans

le train, émet cette onde lumineuse mesure la vitesse de la lumière, alors que sur le quai, un

observateur mesure la somme de la vitesse de la lumière et de celle du train.

La valeur de la vitesse est donc relative, elle dépend du référentiel dans lequel on se place. En

revanche, le temps s’écoule uniformément, il présente un caractère absolu.

Or selon la théorie électromagnétique de Maxwell, la vitesse de la lumière est constante quel que

soit l’endroit où se trouve l’observateur.

Le caractère ondulatoire de la lumière fut mis en évidence au xviiie siècle par Fresnel. Il pensait qu’il

fallait un support à la lumière pour qu’elle se déplace, comme l’éther, infiniment rigide, mais

n’offrant aucune résistance aux mouvements des astres.L’interféromètre de Michelson-Morley

L’expérience de Michelson et de Morley (1887) avait pour but d’évaluer la vitesse de la Terre par

rapport à l’éther. Si la Terre était en mouvement par rapport à l’éther, la vitesse de la lumière

provenant d’une source devait subir l’influence d’un « vent ». C’est pourquoi l’appareil était conçu

pour faire voyager de la lumière dans le sens du « vent » et dans un sens qui lui était perpendiculaire.

Puisque la lumière devait effectuer deux trajets de même distance avec des vitesses différentes, une

interférence causée par une différence de marche devait être observée au détecteur.

Malheureusement, cette observation ne fut pas réalisée et l’expérience fut considérée comme un

échec.

Michelson et Morley montrèrent, que si cet éther existait, alors la Terre avait une vitesse nulle par

rapport à celui-ci !

Les échecs successifs de la mécanique classique et son apparente incompatibilité avec

l’électromagnétisme amènent Einstein à formuler en 1905 la théorie de la relativité restreinte. Alors

que plusieurs physiciens restent fidèles aux lois de la mécanique newtonienne et tentent de modifier

la théorie de Maxwell, Einstein fait le contraire : il se fonde sur la théorie de Maxwell et modifie les

lois de la mécanique.

C’est une révolution : la vitesse de la lumière est constante où que soit l’observateur, l’espace et le

temps ne sont plus absolus mais dépendent de l’observateur, les durées et les longueurs mesurées

aussi. Le mouvement provoque un ralentissement du temps. En termes simples, cela signifie tout

simplement que des horloges en mouvement marchent plus lentement que des horlogesstationnaires.

Ce n’est que cinquante ans plus tard que la théorie d’Einstein a pu être démontrée de manière

pratique. Après l’invention de l’horloge atomique qui permet des mesures extrêmement précises,

une expérience appropriée a enfin été possible. L’un de ces instruments de précision a été installé

dans un avion pour un vol de plusieurs heures. Une deuxième horloge atomique est restée

stationnaire sur Terre. On a observé que l’horloge de l’avion était plus lente. Il ne s’agissait que de

quelques nanosecondes, mais la différence était réelle et ne tenait qu’à la vitesse de l’avion.

La dilatation du temps a pu être également mise en évidence à l’aide des muons, particules

élémentaires de charge électrique égale à celle de l’électron mais environ 200 fois plus lourdes. Les

muons ne sont pas des particules stables, leur durée de vie est de 2,2 µs. Produits par les rayonscosmiques dans les hautes couches de l’atmosphère, ils voyagent avec une vitesse proche de celle de



la lumière (99,99 % de c). Sans le phénomène de dilatation du temps, les muons ne pourraient

voyager que sur une distance de 660 m, insuffisante pour qu’ils traversent l’atmosphère et soient

détectés par des instruments au sol.

1. Questions sur les ondes

1 En mécanique classique, indiquer le caractère absolu ou relatif du temps, de l’espace et de lavitesse. (0,25 point)

2 Quelle est la contradiction avec les lois de l’électromagnétisme établies par Maxwell ? (0,25 point)

3 Le caractère ondulatoire de la lumière a été associé à la présence de l’éther. Comment pourriez-

vous le justifier ? (0,25 point)

4 Michelson et Morley s’attendaient à « une interférence causée par une différence de marche

devant être observée au détecteur ».

Expliquer ce qu’ils devaient observer sur l’écran. Préciser les conditions. (0,5 point)

5 Quelles conclusions apportent les résultats de l’expérience de Michelson et Morley ? Est-cecohérent ? (0,25 point)

2. Questions sur la relativité

1 Einstein formule alors deux postulats, les énoncer. (0,5 point)

2 Quelle est la particularité de la vitesse de la lumière dans sa propagation observée dans différents

référentiels ? (0,25 point)

3 Quelle est la conséquence de cette propriété sur les durées mesurées dans différents référentiels ?

(0,25 point)

4 Comment a-t-on confirmé expérimentalement la dilatation du temps prévue dans la théoried’Einstein ? (0,25 point)

5 Pourquoi Newton n’a-t-il pas pu à l’époque le démontrer ? (0,25 point)

6 Retrouver la valeur de la distance parcourue (660 m) par les muons sans considération relativiste.

(0,25 point)

7 Calculer le temps de vie des muons observés du sol, soit environ 70 × Δt 0. (0,25 point)

8 En déduire alors la distance parcourue par les muons pour un observateur terrestre avant leur

désintégration. (0,25 point)

9 Que confirment ces résultats ? (0,25 point)

Données

c = 3,00 × 108 m · s –1 ; v (muons) = 99,99 % × c



Corrigé :

1. Questions sur les ondes

1 Pour Newton, le temps a un caractère absolu alors que les distances et les référentiels sont relatifs.

Tout mouvement est décrit par rapport à un référentiel. Si le référentiel change, le mouvement est

différent, en revanche, le temps reste immuable.

2 Toutes les lois de l’électromagnétisme établies par Maxwell fonctionnent avec une vitesse de la

lumière constante, ce qui est incompatible avec la mécanique newtonienne.

3 L’étude de la lumière a été souvent menée en comparant celle-ci à une onde mécanique. Or pour

qu’une onde mécanique se propage, il faut un milieu matériel, comme les ondes sonores dans l’air

par exemple ou les ondes à la surface de l’eau… La notion d’éther a donc été introduite pour

répondre à la question du milieu de propagation nécessaire.

4 Si la différence de marche entre deux ondes est égale à un nombre entier de longueurs d’onde, les

interférences sont constructives, on observe sur le détecteur une intensité lumineuse maximale. Enrevanche, si la différence de marche est égale à un nombre demi-entier de longueurs d’onde, les

interférences sont destructives, elles correspondent à une zone d’obscurité ; on observe

alternativement des franges sombres et brillantes.

5 En réalité, aucune interférence n’est observée, la lumière parcourt les mêmes trajets à la même

vitesse. Ce qui rejoint les équations de l’électromagnétisme, mais contredit la mécanique classique. Il

était difficile de mettre en doute la plus vieille théorie !

2. Questions sur la relativité

1 Premier postulat, le principe de la relativité : Toutes les lois de la physique sont les mêmes dans

tous les référentiels d’inertie (ou galiléens).

Deuxième postulat, l’invariance de la vitesse de la lumière : la vitesse de la lumière dans le vide est la

même dans tous les référentiels d’inertie. Elle est indépendante du mouvement de sa source ou de

l’observateur.

2 Quel que soit le référentiel la lumière a toujours la même vitesse, c’est le caractère absolu de la

vitesse.

3 La conséquence pour un observateur en mouvement est la dilatation du temps par rapport à un

référentiel immobile.

4 Grâce aux horloges atomiques, d’une très grande précision, on a pu mesurer cette dilation dutemps, le temps s’écoule plus lentement dans un référentiel en mouvement. Ce retard est de

quelques nanosecondes et confirme la théorie de la relativité restreinte.

5 À l’époque, Newton ne disposait pas d’horloges aussi précises ni d’avions allant à des vitesses

suffisamment importantes car le caractère relativiste est d’autant plus significatif que v est proche de

c.

6 Les muons ont une durée de vie de 2,2 μs et une vitesse égale à :

v = 0,9999 × c m · s –1, ils parcourent la distance

d = 0,9999 × 3 × 108 × 2,2 × 10 –6 = 660 = 6,6 × 102 m.



7 Les muons sont en mouvement par rapport au référentiel du sol (stationnaire), on détermine le

temps relativiste Δt , avec le temps propre Δt 0 = 2,2 μs :

soit environ 70 × Δt 0.La durée de vie d’un muon est de 0,16 ms, ce qui correspond à un temps dilaté de 1 000 environ.

8 d = 0,999999 × 3 × 108 × 1,6 × 10 –3 = 480 = 4,8 × 102 km.

9 Ainsi pour une distance de 480 km, les muons peuvent traverser l’atmosphère et être détectés. Ce

qui confirme la théorie de la relativité restreinte.

Oscillations mécaniques : mesure dela masse d’un astronaute

1. Étude théorique de l’oscillateur

Dans cette étude, tous les frottements sont négligés.

On peut modéliser un oscillateur mécanique horizontal par un système solide-ressort constitué d’un

solide (S) de masse m, mobile sur un rail à coussin d’air, fixé à l’extrémité d’un ressort à spires non

jointives, de masse négligeable et de constante de raideur k . La position du centre d’inertie G du

solide est étudiée dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen et repérée par son abscisse

x (t ) sur un axe horizontal x ′O x . L’origine des abscisses O correspond à l’abscisse de G lorsque le solide

est à l’équilibre.

Écarté de sa position d’équilibre puis lâché sans vitesse initiale à t = 0 s, le solide (S) oscille ; le

système est représenté à un instant t :

1 Nommer les forces extérieures appliquées à (S) à l’instant t et les représenter, sans souci d’échelle,

sur le schéma ci-dessus. (0,5 point)

2 Quelle loi faut-il appliquer au solide (S) pour déterminer son accélération ? (0,25 point)

3 Montrer que l’équation différentielle qui régit le mouvement du centre d’inertie G de (S) est : +

= 0. (0,5 point)

4 Vérifier que l’équation x (t ) = x max est une solution de l’équation différentielle pour la

période propre T 0 = 2π de l’oscillateur.(0,5 point)



2. Détermination de la masse d’un astronaute

Le bilan médical auquel doit s’astreindre un astronaute comprend, entre autres, une mesure de sa

masse. Mais comment « se peser » dans une navette spatiale où règne l’apesanteur ?

L’utilisation d’un pèse-personne n’étant plus possible, les scientifiques ont donc utilisé le dispositif de

la chaise oscillante : un siège de masse m mobile sur un rail à coussin d’air est fixé à l’extrémité d’unressort, l’autre extrémité étant reliée à un point fixe de l’engin spatial.

La période propre T 1 des oscillations de la chaise « à vide » est égale à 1,28 s.

Lorsque l’astronaute de masse M est arrimé sur la chaise, la période propre T 2 des oscillations est

alors égale à 2,39 s.

1 Faire une analyse dimensionnelle de : T 0 = 2π . (0,5 point)

2 Donner l’expression littérale de la période propre T 1 et de la période propre T 2 puis vérifier que

l’expression littérale de la masse M de l’astronaute est : M = . (0,5 point)

3 Calculer M sachant que la masse m du siège est de 25,2 kg. (0,25 point)

Corrigé :

1. Étude théorique de l’oscillateur

1 Système : {solide S}

Référentiel terrestre ou du laboratoire supposé galiléen dans les conditions de l’expérience.

Bilan des forces :

le poids ;

la poussée de l’air issu du rail ;

la force de rappel du ressort, .

Les forces sont représentées avec pour point d’application le point G.

2 Il faut appliquer la deuxième loi de Newton dans un référentiel galiléen ou supposé tel dans les

conditions de l’expérience.

3 Deuxième loi de Newton appliquée au système :



.

Les équations vectorielles ne sont pas utilisables directement. On doit se ramener à une équation

algébrique, en projetant les vecteurs suivant l’axe considéré. En appliquant la formule du produit

scalaire ( ), on évite les erreurs de signe.

Par projection suivant (O x ) :

4 Soit x (t ) = X m · . On a .

d’où : .

Reportons (2) dans l’équation différentielle du mouvement :

Rappel mathématique

(cos(ax + b))′ = – 1 sin(ax + b) et (sin(ax + b))′ = 1 cos(ax + b).

Or donc . L’équation différentielle est bien vérifiée.

2. Détermination de la masse d’un astronaute

1 avec .

2 Avec la chaise vide : , soit .

Avec l’astronaute de masse M sur la chaise :

soit . Donc

Attention

Le résultat doit être écrit en notation scientifique. Ici les grandeurs ont 3 chiffres significatifs.



soit , et finalement : .

3. = 62,7 kg.

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