physique année scolaire 2015-2016

Enoncé du DS commun de physique n◦8 - Electromagnétisme en régimes variablesLes trois problèmes sont indépendants.

On donne la valeur de la vitesse de la lumière dans le vide : c = 299 792 458 m · s−1.Trigonométrie :sin(a+ b) + sin(a− b) = 2 sin(a) cos(b).Les orientations des circuits devront toujours être précisées avec le plus grand soin.

I- Le projet hyperloop

Le projet de transport commun terrestre Hyperloop 1 a été présenté en 2013. Son principe est de transporterdes passagers à haute vitesse dans des capsules placées à l'intérieur d'un tube partiellement vidé pour réduireles frottements. L'objet de ce sujet est l'étude de quelques caractéristiques du projet Hyperloop.

Ce projet étudie la possibilité de relier Los Angeles à San Francisco, villes californiennes distantes d'environ600 km, en 35 minutes. Les passagers sont transportés dans des capsules, propulsées par un moteur à induction,qui se déplacent sur coussin d'air dans un tube à pression réduite. L'ensemble est alimenté par des cellulessolaires disposées le long du tube. Les capsules sont équipées d'un compresseur utilisé pour produire le coussind'air et une force de poussée additionnelle. L'alimentation électrique des éléments de la capsule est assurée pardes batteries au lithium, rechargées à l'aide des cellules solaires.

Il est prévu d'assurer les accélérations et freinages de la capsule par un moteur linéaire à induction. Cemoteur est constitué d'un stator, �xe par rapport au tube et produisant un champ magnétique variable et d'unepartie mobile, paradoxalement appelée � rotor �, solidaire de la capsule (cf. �gure 1).

Dans ce moteur, le � rotor � ne suit pas un mouvement de rotation comme dans les moteurs rotatifs àinduction, mais un mouvement de translation dans la direction du tube.

Figure 1 � Moteur linéaire à induction

I.A - Production du champ magnétique

Le champ magnétique est produit par des paires de bobines disposées de part et d'autre du rotor. En premièreapproximation, on peut considérer que ces bobines sont assimilables à des solénoïdes in�nis.

1) On considère un solénoïde in�ni, d'axe Oz, de rayon a, comportant n spires par unité de longueur,parcouru par un courant lentement variable d'intensité i(t). On admet que l'on peut travailler dans le cadre

1. http://www.teslamotors.com/sites/default/files/blog_attachments/hyperloop_alpha3.pdf

spé PC, PC∗1 et PC∗2 page n◦ 1 Janson de Sailly

physique année scolaire 2015-2016

de l'approximation des régimes quasi permanents. On considère que le champ magnétique créé à l'extérieur dusolénoïde est nul.

1.a) Énoncer le théorème d'Ampère.1.b) Établir l'expression du champ magnétique créé à l'intérieur du solénoïde. On notera B0 le module

de ce champ.2) Pour produire le champ statorique, on dispose régulièrement le long du tube des paires de solénoïdes

en inversant le sens du courant à chaque changement de paires de solénoïdes. Ce dispositif permet de créer unchamp magnétique dirigé selon ~uz dont la représentation graphique est donnée �gure 2.

xaxe du tube

z axe des solénoïdes

Oy

−B0

B0

λ/2 λ

Solénoïdes 1 Solénoïdes 2 Solénoïdes 3

Figure 2

Le champ produit possédant une périodicité spatiale, il est possible de le décomposer en somme de fonctions

sinusoïdales. En ne conservant que le premier terme de cette somme, on peut écrire ~B(x) =4B0

πsin

(2π

λx

)~uz.

Le courant circulant dans les solénoïdes varie lentement de façon périodique i(t) = I0 cos(ωt).

2.a) Exprimer ~B(x, t). On pourra poser B′0 =4µ0nI0π

.

2.b) Montrer que ~B(x, t) peut s'écrire comme la superposition de deux ondes progressives circulant ensens inverse. Donner l'expression de ces deux ondes, préciser leur sens de propagation, leur vecteur d'onde etleur vitesse de phase.

3) Pour le moteur étudié, on doit éliminer l'onde progressant selon −~ux. Pour cela, on va remplacer chaquepaire de bobine par trois paires, décalées spatialement de λ/3 et alimentées par des courants déphasés de 2π/3.

Le champ produit est alors la superposition des champs produits par les 3 paires et s'écrit

~B(x, t) = B′0

(cos(ωt) sin

(2π

λx

)+ cos

(ωt− 2π

3

)sin

(2π

λ

(x− λ

3

))+ cos

(ωt− 4π

3

)sin

(2π

λ

(x− 2λ

3

)))~uz

3.a) Montrer que le champ résultant peut s'écrire comme une onde progressive unique se propageantselon ~ux.

3.b) Préciser l'amplitude de cette onde et sa vitesse de phase.Dans la suite, on négligera tout autre champ magnétique.

I.B - Force s'exerçant sur le rotor

Le rotor, solidaire de la capsule, peut être modélisé par une spire �liforme carrée de côté l � λ et derésistance R. Cette spire est située dans le plan Oxy de la �gure 2 et se déplace à la vitesse ~v = v~ux selon l'axedu tube. Initialement, le centre C de la spire est en x = 0.

4) On considère pour cette question que le champ magnétique créé par le stator est uniforme à l'échelle dela spire, de valeur sa valeur en C.

4.a) Justi�er cette hypothèse.4.b) Evaluer le �ux de ce champ à travers la spire que l'on orientera préalablement sur un schéma.

5) Déterminer la force électromotrice induite e dans le rotor.6) Déterminer l'équation électrique décrivant l'évolution du courant induit circulant dans le rotor. En

déduire l'expression du courant induit i(t) en régime sinusoïdal établi.7) En conservant l'expression de i(t) obtenue à la question précédente mais en ne considérant plus que le

champ magnétique est uniforme à l'échelle de la spire, déterminer la résultante des forces s'exerçant sur le rotorainsi que sa valeur moyenne en fonction de v et de la vitesse de phase.

8) La capsule peut-elle démarrer par l'action de cette seule force ?9) Que faut-il faire si l'on souhaite freiner la capsule à l'aide de ce système ?

spé PC, PC∗1 et PC∗2 page n◦ 2 Janson de Sailly

physique année scolaire 2015-2016

II- Étude du faisceau d'un laser

La propagation des ondes électromagnétiques dans le vide peut souvent être décrite à partir d'ondes planesou sphériques. En revanche, pour la description des faisceaux lasers dans les cavités résonantes, on utilise lemodèle des ondes gaussiennes. On se propose ici d'étudier la structure d'une telle onde.

Formulaire :~rot(~rot ~A

)= ~grad

(div ~A

)−∆ ~A

∆ ~A = (∆Ax) .~ux + (∆Ay) .~uy + (∆Az) .~uz.Notations et valeurs numériques :

perméabilité du vide : µ0 = 4.π.10−7 H.m−1

et vitesse de la lumière dans le vide : c = 2, 99792458.108 m.s−1.I) Les ondes planes et sphériques :

I.1) Equations de propagation dans le vide :I.1.a) Écrire les équations de Maxwell du champ électromagnétique dans le vide en l'absence de charges

et de courants.I.1.b) Établir l'équation de propagation dans le vide des champs électrique et magnétique, dans une

région ne comportant ni charges ni courants.I.1.c) Dé�nir ce qu'est une onde plane progressive et relier la célérité correspondante aux constantes µ0

et ε0.I.2) Ondes planes progressives monochromatiques :

On considère les ondes planes progressives monochromatiques, dans lesquelles le champ est donné sous formede représentation complexe :

~E = E0.ei(ω.t−~k.~r+φ0).~u

où E0 et φ0 sont des constantes réelles, ~r désigne le vecteur position (x, y, z) et ~u est un vecteur unitaire constant.

I.2.a) Montrer qu'un tel champ est solution de l'équation de propagation à condition que ω, k =∣∣∣~k∣∣∣ et

c véri�ent une relation que l'on établira. Dé�nir la longueur d'onde λ associée et la relier à k.I.2.b) Que peut-on dire des vecteurs ~u et ~k ? Comment quali�er la polarisation de cette onde ?I.2.c) Déterminer, sous forme de représentation complexe, le champ magnétique associé à ~E.I.3) Ondes sphériques :

On repère P par ses coordonnées sphériques. Il existe des solutions approchées de la forme

~E (P, t) = A (OP ) .ei(ω.t−k.OP+φ0).~uθ

appelées ondes sphériques de centre O, où ω, k et c véri�ent la même relation qu'à la question précédente.A (OP ) est une fonction réelle de OP et ~uθ un vecteur unitaire orthogonal à ~OP . On s'intéresse au terme dephase ei(ω.t−k.OP+φ0) et on néglige les variations du champ dues à A (OP ).

I.3.a) Déterminer, sous forme de représentation complexe, le champ magnétique associé à ~E.I.3.b) Déterminer le vecteur de Poynting ~Π.I.3.c) En exprimant la conservation de la moyenne temporelle du �ux de ~Π à travers n'importe quelle

sphère de centre O, donner la forme de A (OP ).I.3.d) En supposant OM = z � |x| et |y|, développer OP au deuxième ordre en x

z et yz .

I.3.e) Mettre l'amplitude du champ électrique complexe sous la forme

~E (x, y, z, t) = A (OP ) .e−i.ψ(x,y,z).ei(ω.t−k.z+φ0).~uθ

et exprimer ψ (x, y, z) en fonction de λ et des coordonnées de P .II) L'onde gaussienne :Le champ électrique d'une onde gaussienne peut se mettre sous la forme suivante (en notation complexe et

coordonnées cartésiennes) :

~E (x, y, z, t) = A0w0

w (z)ei.ϕ(z).e−i

π.(x2+y2)λ.R(z) e

− x2+y2

w(z)2 ei.ω.(t−zc ).~ux

avec : R (z) = z +z2Rz , w (z) = w0.

√1 +

(zzR

)2et ϕ (z) = arctan

(zzR

), où zR est une constante, appelée

longueur de Rayleigh, A0 une constante homogène à un champ électrique et où w0 véri�e : w20 = λ

π zR.II.1) Etude de l'amplitude de l'onde gaussienne :II.1.a) Déterminer les points et les directions remarquables et tracer les graphes des fonctions : R (z),

w (z) et ϕ (z).

spé PC, PC∗1 et PC∗2 page n◦ 3 Janson de Sailly

physique année scolaire 2015-2016

II.1.b) On se place à z �xé. En comparant l'argument de l'amplitude de l'onde à celle de l'onde sphérique,justi�er le nom de rayon de courbure pour R (z), et déterminer la forme de la surface d'onde. Tracer quelquessurfaces d'ondes pour z < 0, z > 0 et z = 0. Où sont situés les centres de courbures des surfaces d'onde passantrespectivement par les points de l'axe z = zR et z = −zR ? Commenter la structure de l'onde pour |z| � zR.

II.1.c) On se place sur l'axe optique Oz : soit A un point de l'axe d'abscisse zA < 0 et B un point del'axe d'abscisse zB > 0. Les points A et B sont éloignés de O : |zA| et |zB | sont grands devant zR. Déterminer ladi�érence de phase ∆ϕ de l'onde entre les points B et A, au même instant t. Quel phénomène cette di�érencefait-elle apparaître ?

II.2) Etude de l'intensité de l'onde gaussienne :On dé�nit (dans le cadre d'une représentation approximative satisfaisante) l'intensité I de l'onde par

I =1

2

⟨~E.~E

∗⟩où ∗ représente le complexe conjugué et 〈〉 la valeur moyenne temporelle : 〈f〉 = 1

T

∫ T0f(t).dt si T → +∞.

II.2.a) Déterminer l'expression de l'intensité I (z, r) de l'onde (r =√x2 + y2).

II.2.b) Tracer, à z �xé, l'allure du graphe de I (z, r) et donner une interprétation de w(z).II.2.c) Justi�er l'appellation �rayon de pincement� pour w0.II.2.d) Lorsque |z| � zR, w(z) se comporte asymptotiquement comme z. tan θ. Justi�er pour θ le nom

�d'angle de divergence� et exprimer sa valeur en fonction de λ et w0 d'une part, de λ et zR d'autre part.II.3) Applications :II.3.a) Laser He − Ne : λ = 633nm ; w0 = 0, 15mm. Calculer θ puis zR. On désire utiliser ce laser

comme pointeur. Préciser en une phrase les précautions d'utilisation de ce dispositif. Quelle serait la précisiondu pointage à une distance d = 2, 0m ? Comment doit varier w0 pour diminuer θ ?

II.3.b) Dans quel domaine spectral se trouvent les longueurs d'onde λ = 400nm (laser à excimère) etλ = 10, 6µm (laser à CO2) ? Calculer, pour un faisceau gaussien de longueur de Rayleigh zR = 10cm, le rayonde pincement w0 pour un laser à CO2 et pour un laser à excimère. Comment choisir λ pour enregistrer la plusforte densité d'informations sur un disque optique (CD) ?

spé PC, PC∗1 et PC∗2 page n◦ 4 Janson de Sailly

physique année scolaire 2015-2016

III- La précision du GPS

"le GPS"disponible à l'adresse http: // www. guidevtt. com/ GPS

Les erreurs sur la mesure du "pseudorange"

Principe du GPSLe principe de détermination de position par GPS est assez simple, en connaissant la position des satellites

et la distance entre le récepteur et 3 des satellites (� pseudorange �) alors les coordonnées du récepteur sontentièrement déterminées. Voyez la �gure pour vous en convaincre !

Comme la mesure est perturbée par l'incertitude sur l'horloge durécepteur, outre les trois inconnues relatives à la position spatiale ilfaut ajouter une inconnue pour résoudre la correction sur l'horlogedu récepteur. Le nombre minimal de satellites nécessaire est donc dequatre.Les signaux GPS

Chaque satellite envoie deux signaux radio, dans deux fréquencesdi�érentes (ce sont les � porteurs � des messages), chaque signal trans-porte un certain nombre de messages.

• L1 : le premier � porteur � est ajusté à 1575,42 MHz, ce qui cor-respond à une longueur d'onde de 19 cm ;

• L2 : le second est à 1227,6 MHz, d'où une longueur d'onde de 24,4cm.

Les informations sont transmises sous forme de modulations des por-teurs (L1, L2) par des signaux binaires (des 0 et des 1). Il y a deuxtypes de messages : les codes PRN qui permettent d'identi�er le satellite et de calculer la distance entre ce dernieret le récepteur et les messages de navigation qui permettent de savoir précisément la position du satellite.Mesure du pseudorange

Il existe une méthode précise pour déterminer la distance au satellite, fondée sur le signal porteur (ondesinusoïdale). En multipliant le nombre de cycles e�ectués entre le satellite et le récepteur par la longueur d'ondedu porteur on obtient la distance avec une précision de moins de 2mm. La di�culté principale de cette techniqueconsiste à déterminer le nombre initial de cycles e�ectués... ce problème est appelé � initial cycle ambiguity �.

Les mesures de la distance entre récepteur et satellites sont entachées d'erreurs (systématiques et aléatoires),leur origine est de trois types : erreurs dues aux satellites (trajectoire, horloge), erreurs dues au récepteur(horloge, bruit électronique, chemins multiples, variation du centre de phase de l'antenne) et �nalement leserreurs engendrées par la transmission du signal (ionosphère, troposphère). Un certain nombre de ces erreurspeuvent être compensées ou modélisées a�n de les corriger, ceci dépend du type de récepteur et du mode demesure. [...]Perturbation de l'ionosphère

La ionosphère est la partie supérieure de l'atmosphère, l'interaction entre les UV et les rayons X du rayon-nement solaire résultent en une ionisation des gaz. De nombreuses particules chargées, électrons et ions positifs,sont alors présentes dans cette partie de l'atmosphère, elles ralentissent la propagation du message radio. Parconséquent la valeur du pseudorange est surestimée. Le � délai ionosphérique � est proportionnel à la quantitéd'électrons libres rencontrés sur le chemin, le � TEC � (Total Electron Content). Le TEC dépend de l'heure,du jour de l'année, de l'activité solaire ainsi que de la latitude. En moyenne ce délai correspond à une erreurde 5 à 15 m sur le pseudorange, cependant en cas de forte activité solaire et pour des satellites peu élevés surl'horizon l'erreur peut atteindre jusqu'à 150 m.

La ionosphère est un milieu dispersif (c'est-à-dire que l'indice de réfraction dépend de la longueur d'onde)son e�et est di�érent sur les deux porteurs L1 et L2. Les récepteurs capables d'acquérir les deux signaux peuventdonc e�ectuer une correction en comparant les pseudoranges déduits des messages de L1 et L2. Pour les autres ily a des modèles ionosphériques qui permettent d'e�ectuer des corrections, ces dernières font partie du messagede navigation (facteurs de correction basés sur le modèle de Klobuchar).

spé PC, PC∗1 et PC∗2 page n◦ 5 Janson de Sailly

physique année scolaire 2015-2016

Perturbation de la troposphèreLa troposphère est la partie électriquement neutre de l'atmosphère qui s'étend jusqu'à une altitude d'environ

50 km. C'est un milieu non-dispersif pour les fréquences inférieures à 15 GHz, les deux porteurs L1 et L2 subissentles mêmes retards, et la méthode de correction utilisant les deux bandes n'est donc plus applicable ici.

Le retard troposphérique dépend de la pression, de la température et de l'humidité le long du chemin optique.Pour un satellite situé au zénith l'erreur sur le pseudorange est de 2,3 m tandis que pour une élévation de 5◦

elle est de 30 m environ.Cette perturbation est partiellement compensée par l'application d'un modèle mathématique tenant compte

de deux composantes principales � dry � (sec) et � wet � (humide). La composante � dry � est modélisée demanière très satisfaisante tandis que la seconde � wet � est beaucoup plus délicate, des données météorologiquesmoyennes permettent dans la plupart des cas d'obtenir des corrections raisonnables.

1) Principe de la mesureOn suppose que l'espace entre le récepteur sur Terre et le satellite est assimilable au vide.

1.a) Rappeler les équations de Maxwell dans le vide.1.b) Montrer que, dans le vide, les champs électrique ~E et magnétique ~B véri�ent la même équation de

propagation dont on précisera la célérité.1.c) Pour le champ électrique dans le vide, on cherche une solution sous forme d'onde plane progressive

sinusoïdale polarisée rectilignement suivant ~ux, se propageant suivant ~uz, d'amplitude Em, de pulsation ω et devecteur d'onde de norme k. Écrire l'expression mathématique d'une telle onde. A quelle(s) condition(s) sur ωet k cette onde est-elle solution de l'équation de propagation précédemment trouvée ?

1.d) Exprimer la durée τ que met le signal pour aller du satellite au récepteur, distants de d, et montrerque la mesure de cette durée permet d'accéder à d.

1.e) En utilisant les valeurs données des fréquences des signaux L1 et L2, déterminer, avec le nombrede chi�res signi�catifs adapté, les longueurs d'onde de ces deux signaux et comparer à celles données par ledocument.

1.f) Le document dit que "en multipliant le nombre de cycles e�ectués entre le satellite et le récepteurpar la longueur d'onde du porteur on obtient la distance avec une précision de moins de 2 mm". Quelle est doncl'incertitude absolue sur le nombre de cycles ?

2) Propagation dans l'ionosphèreOn assimile l'ionosphère à un plasma, c'est-à-dire un milieu ionisé, constitué :

• d'ions positifs quasi-�xes ;

• d'électrons de charge −e, de masse me, de densité ne, de vitesse ~ve (non relativistes).

Le plasma est peu dense, de sorte qu'on pourra négliger les interactions entre les particules chargées.

Une onde électromagnétique de champ électrique complexe ~E = E0 e−j (ω t−k z) ~ux existe dans l'ionosphère.

2.a) Justi�er que les ions peuvent être considérés comme quasi-�xes.2.b) Que signi�e "non relativiste" ? Qu'est-ce que cela induit pour la force de Lorentz ?

2.c) Montrer que la conductivité complexe du plasma est γ = j ε0ω2p

ω . On donnera l'expression de ωpainsi que son appellation.

2.d) Déterminer l'équation de propagation de l'onde dans le plasma. Montrer que la relation de dispersion

peut s'écrire k =

√ω2−ω2

p

c .2.e) Quel est donc le comportement de l'ionosphère vis-à-vis de l'onde ? On mènera la discussion suivant

le signe de ω − ωp. Que doivent véri�er les fréquences des signaux L1 et L2 ?2.f) Exprimer la vitesse de phase vϕ en fonction de c, ωp et ω. Véri�er que "la ionosphère est un milieu

dispersif". Comparer son e�et sur les deux porteurs L1 et L2.2.g) Exprimer la vitesse de groupe vg en fonction de c, ωp et ω. Véri�er que l'ionosphère "ralentit la

propagation du message radio".On suppose que le signal GPS traverse une épaisseur ` d'ionosphère avec la densité électronique ne, la

distance totale entre le satellite et le récepteur étant d.2.h) Montrer que la durée de propagation du signal pour aller du satellite au récepteur est τ ′ = τ + ∆t

avec le � délai ionosphérique � ∆t qu'on exprimera.2.i) Dans la limite où ω � ωp, montrer que ∆t est bien "proportionnel à la quantité d'électrons libres

rencontrés sur le chemin".2.j) Le document stipule que "les récepteurs capables d'acquérir les deux signaux peuvent e�ectuer une

correction en comparant les pseudoranges déduits des messages de L1 et L2.". Expliquer comment.3) Propagation dans la troposphère

3.a) Que peut-on dire du retard comparé des deux porteurs L1 et L2 en milieu non dispersif ?

spé PC, PC∗1 et PC∗2 page n◦ 6 Janson de Sailly

physique année scolaire 2015-2016

3.b) Pourquoi parle-t-on de chemin optique alors qu'il s'agit d'ondes radio ?3.c) Pourquoi l'erreur sur le pseudorange est-elle plus faible si le satellite est au zénith ?3.d) Quelle peut-être la cause physique du rôle de l'humidité sur le retard troposphérique ? Et de la

température ?

spé PC, PC∗1 et PC∗2 page n◦ 7 Janson de Sailly