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Enseignement Elémentaire sur la Propagation
des Ondes
Cours pour les électriciens
Etudiants de Licence
Elèves de première année des Ecoles d'Ingénieurs
B. DEMOULIN
Professeur à l'Université des Sciences et Technologies de Lille
TOME-I
Généralités
Propagation sur des Chaînes périodiques
Théorie des Lignes de Transmission
Chapitres I, II, III, IV, V
Edition de Septembre 2003
2
SOMMAIRE
INTRODUCTION p. 1
CHAPITRE I : FORMULATION MATHEMATIQUE DES
PHENOMENES
DE PROPAGATION
I – 1 Approche intuitive des phénomènes de propagation p. 5
I – 2 Approche intuitive du principe d'excitation harmonique p. 8
I – 3 L’équation d’onde exprimée dans le domaine temporel p. 11
I – 4 L’équation d’onde harmonique p. 12
I – 5 La notion de longueur d’onde p. 15
CHAPITRE – II : PROPAGATION DES ONDES DANS LES MILIEUX
PERIODIQUES
II – 1 Equation du mouvement de l’oscillateur mécanique p. 18
II – 2 Equation du mouvement sur une chaîne périodique de résonateurs
mécaniques p. 22
II – 3 Propriétés des ondes entretenues propagées dans les milieux
périodiques – Loi de dispersion p. 24
II - 4 Discussion sur les conditions de propagation rencontrées dans les
milieux périodiques p. 28
II – 5 Propagation d'une onde entretenue sur une chaîne périodique de
résonateurs électriques passifs p. 32
II – 6 Impédance caractéristique d'un quadripôle élémentaire p. 34
II – 7 Propagation sur une chaîne périodique de quadripôles de
dimension limitée connectée sur une impédance quelconque p. 36
3
II – 8 Analogies Electro-mécaniques p. 44
CHAPITRE – III PROPAGATION DES ONDES DANS LES MILIEUX
CONTINUS Lignes de transmission
III – 1 Recherche de l'équation d'onde des lignes de transmission p. 50
III - 2 Principales propriétés physiques des lignes de transmission p. 54
III – 3 Présentations des solutions de l'équation d'ondes des lignes de
transmission p. 62
III - 4 Propagation des ondes dans les matériaux élastiques p. 68
III - 5 Propagation des ondes acoustiques dans les fluides
compressibles p. 72
CHAPITRE – IV PROPRIETES DES ONDES STATIONNAIRES
IV – 1 Formulation mathématique des phénomènes
d'ondes stationnaires p. 78
IV – 2 Phénomènes de résonances sur les lignes de transmission p. 86
IV – 3 Propriétés de l'impédance d'entrée des
lignes de transmission p. 89
CHAPITRE – V PROPAGATION DES IMPULSIONS DANS LES LIGNES
V– 1 Solutions de l'équation d'ondes d'une ligne soumise à des
phénomènes électriques transitoires p. 102
V-2 Etude de la propagation d'un échelon de fem sur une ligne de
transmission p. 106
V-3 Propagation d'impulsions étroites p. 115
V-4Impédances de charge complexes p. 119
V-5 Effet de la dissipation d'énergie dans les lignes p. 124
V-6 Effets engendrés par l'impédance superficielle des conducteurs p. 129
4
CHAPITRE – VI INITIATION A LA PROPAGATION DES
ONDES ELECTROMAGNETIQUES
VI– 1 Les équations de Maxwell et l'équation d'onde associée p. 149
VI-2 Les ondes électromagnétiques planes p. 152
VI-3 L'effet Doppler p. 157
VI-4 Les ondes sphériques isotropes p. 164
VI-5 Les ondes cylindriques p. 171
VI-6 Propagation des ondes électromagnétiques planes dans les milieux conducteurs
p. 195
VI-7 Le rayonnement du dipôle électrique élémentaire p. 207
VI-8 Réalisation d'antennes d'émission p. 216
VI-9 Directivité électromagnétique des antennes p. 234
5
INTRODUCTION
Si les phénomènes de propagation ont été identifiés depuis des temps très reculés, leur
compréhension physique n'a été éclaircie qu'après les travaux accomplis en mécanique
théorique et dans le calcul différentiel. De nombreux phénomènes physiques tels que la
transmission de la lumière, la transmission des sons dans les solides ou les fluides
compressibles font intervenir la propagation.
Tous ces mécanismes ont pour point commun une source de signaux qui provoque
suivant les cas un déplacement microscopique de la matière, une variation de pression ou une
vibration de courant ou de tension voire celle d'un champ électromagnétique. Un milieu
matériel ou immatériel va contribuer à transporter dans l'espace la vibration initiale
communiquée par la source; c'est aux variations spatiaux temporelles de cette vibration qu'est
attaché le concept d'ondes. La formulation mathématique des phénomènes de propagation est
très ardue, aussi a-t-on l'habitude de les classifier en fonction des directions de l'espace
suivant lesquelles une onde peut s'épanouir.
La représentation mathématique la plus simple concerne la propagation
unidimensionnelle définie suivant une seule direction, la propagation agit parallèlement à l'axe
d'un repère géométrique. La propagation bidimensionnelle couvre deux directions
orthogonales de l'espace, à la transmission rectiligne s'ajoute une propagation transversale. Il
s'agit des ondes cylindriques appelées ainsi parce que leur formulation mathématique
nécessite bien souvent l'usage d'un système de coordonnées cylindriques. Lorsque la
propagation est dispersée sur les trois directions de l'espace il s'agit d'ondes sphériques
justifiées par le fait qu'il faut les décrire dans un système de coordonnées sphériques.
Les ondes sphériques possèdent une propriété remarquable rencontrée dans la plupart
des phénomènes naturels ou provoqués. Si on fait abstraction de la dissipation d'énergie qui
peut accompagner la propagation d'une onde on raisonne ainsi: la source communique à
l'onde une puissance d'émission invariante sur la surface de sphères concentriques ayant cette
source pour centre commun. Puisque la puissance de l'onde transportée dépend du carré de
son amplitude, cette amplitude évolue de façon inversement proportionnelle au rayon de
chaque sphère. Autrement dit un observateur situé à une distance donnée d'une source d'onde
6
sphérique perçoit une vibration dont l'intensité est inversement proportionnelle à
l'éloignement de la source.
Il s'agit de la dispersion spatiale de la lumière bien connue des astronomes lorsqu'ils
observent les planètes les étoiles ou les galaxies. L'onde acoustique émise par le tonnerre
obéit également à cette loi de dispersion. Les ondes sismiques produites dans le sol lors des
tremblements de terre représentent d'autres phénomènes plus complexes où la dispersion
spatiale des ondes réduit les effets destructeurs des séismes lorsqu'on s'éloigne de l'épi centre
de leur source. Les ondes électromagnétiques émises par les petites antennes des téléphones
portables suivent également ce comportement.
Les exemples mettant en jeu des ondes cylindriques sont plus restreints, la
transmission de la lumière dans les fibres optiques appartient à ce type d'onde, les guides
métalliques utilisés pour transporter l'énergie électromagnétique jusqu'aux antennes des
radars puissants concernent un autre champ d'application des ondes cylindriques.
Quant à la propagation unidimensionnelle évoquée au début il faut considérer qu'il
s'agit d'une représentation simplifiée ou idéalisée de certains phénomènes. Ainsi une onde
sphérique peut être considérée comme un phénomène à propagation unidimensionnelle à la
condition que le degré de liberté de l'observateur soit limité à un faible espace localisé prés de
la direction radiale de propagation. Les phénomènes provenant de sources très directives
relèvent aussi d'une adaptation locale des principes de propagation unidimensionnelle, la
propagation des signaux électriques sur les lignes de transmission concerne également ces
phénomènes. Beaucoup d'ouvrages traitant de la propagation mêlent les ondes
unidimensionnelles au concept d'ondes planes, aussi nous utiliserons indifféremment ces
deux appellations.
Le concept d'ondes planes facilite la formulation mathématique, en effet la réduction à
une seule direction de l'espace simplifie énormément les équations d'ondes et facilite leur
résolution, de plus les principales propriétés physiques associées aux ondes sphériques et
cylindriques proviennent des représentations à une dimension. Pour ces raisons le cours est
surtout consacré aux descriptions de cette approche simplifiée, c'est cette restriction qui
justifie le titre : Enseignement Elémentaire sur la Propagation des Ondes.
7
Le premier chapitre introduit les bases du formalisme mathématique permettant de
représenter et de caractériser les phénomènes de propagation à une dimension.
Le second chapitre traite de la propagation dans les structures périodiques appliquées
aux systèmes mécaniques comprenant des associations masses ressorts ou des réseaux
électriques composés d'inductances et capacités. Les notions de vitesse de phase et
d'impédance caractéristique apparaissent dans ce chapitre. L'application des principes
d'équivalence entre représentation mécanique ou électrique des phénomènes conclut cette
étape importante du cours.
Le troisième Chapitre concerne la propagation dans les milieux continus où une place
très importante est dédiée à la théorie des lignes de transmission. Les solutions des équations
d'ondes sont recherchées afin de trouver les propriétés singulières des mécanismes de
réflexion des ondes. Deux applications concernant la propagation d'ondes de compression
dans un métal et dans un fluide compressible viennent conclure cette partie.
Le quatrième chapitre traite de la génération des ondes stationnaires. Les principales
propriétés de ces ondes entretenues par des mécanismes de réflexions successives sont
examinées. Les mécanismes de résonances dépendant de la dimension des structures et de la
longueur d'onde sont abordés sur base d'exemples. L'étude du comportement de l'impédance
d'entrée d'une ligne de transmission achève ce chapitre.
Le cinquième Chapitre concerne deux volets. Tout d'abord la propagation des
impulsions sur les lignes de transmission où le caractère transitoire du déplacement des fronts
d'ondes est étudié attentivement. Ensuite on s'intéresse aux dissipations d'énergie dans les
matériaux conducteurs qui composent les lignes. La résolution des équations d'ondes est
révisée pour tenir compte de ce phénomène additionnel. Des applications numériques sont
proposées afin d'apprécier l'ampleur de l'atténuation des signaux transmis sur des lignes
coaxiales dissipatives.
Le sixième chapitre le plus volumineux du cours comporte la description des équations
de Maxwell et des équations d'ondes électromagnétiques. Une première partie est consacrée à
la théorie des ondes planes suivie de quelques éléments sur les ondes sphériques. Une seconde
partie regarde la propagation des ondes électromagnétiques cylindriques à l'intérieur d'un tube
8
métallique. Une troisième traite de la propagation des ondes planes dans les milieux
dissipatifs afin d'introduire les concepts d'atténuation linéique et de profondeur de pénétration
des ondes. La dernière partie du cours est dédiée aux sources rayonnantes, l'étude des
propriétés du dipôle électrique élémentaire est entreprise. Les résultats de cette théorie sont
utilisés pour calculer le champ rayonné par des antennes résonantes et des antennes
privilégiant l'émission dans une direction de l'espace. Une part importante de ce sixième
chapitre est également consacrée à l'étude de l'impédance d'entrée des antennes.
9
CHAPITRE I
FORMULATION MATHEMATIQUE DES PHENOMENES DE
PROPAGATION
Ce premier chapitre concerne la représentation mathématique des phénomènes de
propagation. Une approche intuitive basée sur quelques exemples introduit les concepts
d'onde progressive et d’onde rétrograde ainsi que le mode d'excitation harmonique de ces
ondes. Ensuite ces concepts seront matérialisés par des expressions mathématiques provenant
de la résolution des équations d'onde. Pour conclure ce chapitre la vitesse de propagation des
ondes est définie.
I – 1 Approche intuitive des phénomènes de propagation
Considérons le schéma de la Figure (I-1) illustrant une corde dont une des extrémités
est rejetée à l'infini. L'extrémité accessible est soumise à un choc mécanique qui la déforme,
un observateur localisé suffisamment loin de la source où se manifeste le choc mesure la
déformation subie par la corde. L’observateur est attaché au repère oxz dans lequel l’axe oz
est parallèle à la corde alors que la coordonnée ox permet de mesurer l'amplitude du
déplacement vertical.
Figure (I-1)
x
Déplacement
o
z
Source
0x
Corde
10
A l’instant t = o le choc mécanique produit par la source dévie la corde de sa position initiale
xo ,elle occupe maintenant la coordonnée x, le déplacement vertical s'exprime par la variable
u donnée par la différence entre x et 0x :
u = x - xo (I-1)
La déformation u dépend de la variable longitudinale z qu'on relie à une fonction U(z)
intimement liée aux caractéristiques physiques de la corde soit :
u = U (z) (I-2)
La Figure (I-2) illustre la position du phénomène à différents instants :
a) en t = o.
b) en 0tt =
Entre ces deux instants la déformation s'est déplacée dans la direction oz en parcourant la
distance zΔ .
b) 0tt
)(zU 0
z o
zΔ
)(zU
z
a) 0t
o
11
Figure (I-2)
La déformation perçue à l'instant 0tt = est représentée par la fonction Uo(z) reliée à la
variable zΔ par l'expression:
)()( zΔzUzU 0 (I-3)
Cette relation est établie dans l'hypothèse où le phénomène reste inchangé suivant l'axe oz, cet
exemple illustre la propagation d'une onde sans atténuation ni dispersion. Nous reviendrons
ultérieurement sur les définitions de l'atténuation et de la dispersion.
Si on pose 0v la vitesse de propagation de l’onde, zΔ s’exprime :
00 tvzΔ = (I-4)
0U peut alors s'écrire de manière plus synthétique en faisant directement apparaître la vitesse
de propagation dans la fonction )(zU soit :
)()( 000 tvzUzU (I-5)
Considérons maintenant une onde se propageant vers la source, la corde subit le déplacement
u qu'on associe à la fonction )(zU1 telle que :
)(zU 1
z
c) 0tt
o
zΔ
12
)+(=)( zΔzUzU1 (I-6)
Conformément à la notation (I-5) nous faisons apparaître dans cette relation la vitesse de
propagation 0v , )(zU1 devient :
)+(=)( 001 tvzUzU (I-7)
La vitesse de propagation est dans ce cas orientée dans le sens opposé à l’axe .oz ce qui
explique la présence du signe plus dans les expressions (I-6) et (I-7).
La fonction )(zU0 caractérise l'onde progressive (forward wave) alors que )(zU1 représente
l'onde rétrograde (backward wave), les ondes rétrogrades accompagnent les phénomènes de
réflexion. Le schéma c de la Figure (I-2) illustre l'onde rétrograde.
I – 2 Approche intuitive du principe d'excitation harmonique
Considérons la surface d'un lac schématisée sur la Figure (I-3- a). Un projectile lancé
verticalement (Figure (I-3-b) ) provoque un choc sur le liquide dont l'effet immédiat est un
déplacement vertical de l'eau, ce phénomène encore appelé front d'onde se propage ensuite
en surface en décrivant un cercle ayant pour centre le point d'impact. Le front d'onde est suivi
d'ondes entretenues par la chute du projectile vers le fond. En effet des turbulences
provoquées par le sciage du projectile engendrent à la surface de l'eau les mouvements
d’oscillation verticaux qui suivent le front propagé en surface. Le liquide ainsi perturbé
entretient un mouvement ondulatoire caractérisé par des rides circulaires concentriques ayant
le point d'impact pour centre (Figure (I-3-c)). Un observateur situé à une distance suffisante
de ce point en 0zz voit la surface ondulante se déplacer suivant une direction radiale
(Figure (I-3-d)). Le déplacement vertical de l’eau u par rapport à la position d’équilibre peut
donc s’écrire au moyen d'une fonction où figurent deux variables, le temps t et la coordonnée
radiale z soit :
u = x – xo = U (t , z) (I-8)
13
Figure (I-3)
x
c)
o z
x
a)
o
0x
z
Surface du liquide
x
b)
o z
Impact de l'objet
u
d)
z o
0z
14
Si on admet pour simplifier que les turbulences provoquent un déplacement vertical qui suit
en fonction de la variable temps une loi sinusoïdale encore appelée excitation harmonique, la
fonction )(tU 0 génératrice du phénomène s'exprime :
)(cos)( tωUtU 00 (I-9)
Où ω représente la pulsation de la source qui provoque les ondes entretenues, la pulsation est
reliée à la fréquence f par l'expression bien connue :
.fπ2ω (I-10)
f et ont pour unités respectives Hz et rd/s.
Pour un observateur situé à une distance zo du point d’impact, les ondulations apparaîtrons
avec un retard τ, pour décrire l'évolution spatio-temporelle des ondulations on introduit la
fonction ),( tzu 0 des variables temps et espace soit :
)(cos),( τtωUotzu 0 (I-11)
Le retard τ est relié à la distance 0z et à la vitesse φv du déplacement de l'ondulation, soit le
rapport :
φ
0
v
zτ (I-12)
La relation (I-11) peut alors s’écrire :
)(cos),( tvz
v
ωUtzu φ0
φ
o0 (I-13)
Expression que nous pouvons convertir au moyen la notation générale (I-5) introduite plus
haut, soit :
15
)(),( tvzUtzu φ00 (I-14)
φv est appelée vitesse de phase puisqu'elle caractérise le déplacement du déphasage de la
fonction harmonique génératrice d'un phénomène de propagation entretenue. Nous pouvons
également faire correspondre à (I-14) une onde rétrograde que nous exprimons avec la
convention :
)(),( tvzUtzu φ00 (I-15)
I – 3 L’équation d’onde exprimée dans le domaine temporel
Les développements du chapitre (III) montrent que la fonction ),( tzu introduite au
paragraphe précédent appartient aux solutions d’une équation aux dérivées partielles du
second ordre qu'on exprime :
ot
u
vz
u
o
2
2
22
2 1 (I-16)
0v est la vitesse de propagation de l'onde. Les solutions générales de cette équation
s'expriment alors par la superposition d'une onde progressive et d'une onde rétrograde soit :
)(.)(.),( tvzUBtvzUAtzu oo (I-17)
Relation dans laquelle les coefficients A et B sont déterminés par l'application de conditions
aux limites adéquates. La fonction )(νU est déterminée par le type d’excitation et par la nature
physique du milieu dans lequel a lieu la propagation. La recherche de cette fonction est en
général difficile. C’est notamment le cas des déformations subies par la corde ou la surface de
l’eau. Déterminer les propriétés de la propagation des ondes sur une corde ou sur la surface
d'un liquide relève d'une analyse approfondie de la mécanique des milieux continus ou de la
mécanique des fluides incompressibles. Les exemples traités dans la suite sont heureusement
plus simples. D'un point de vue pratique la plupart des phénomènes ondulatoires entretenus
16
sont gouvernés par des sources harmoniques, cette raison nous incite donc à étudier les
solutions dérivées de ce type d'excitation.
I – 4 L’équation d’onde harmonique
Considérons un milieu de propagation entretenu par des oscillations sinusoïdales. Pour
plus de facilités on fera usage de la représentation complexe des fonctions harmoniques qu'on
exprime avec la convention:
)()(cos)( φtωj00 eUφtωUtu (I-18)
0U représente alors l'amplitude réelle (ou module). Cette relation peut aussi s'écrire de
manière plus compacte :
tωj0o eUφtωUtu )(cos)( (I-19)
0U représente une amplitude complexe qui intègre le déphasage φ :
φjoo eUU (I-20)
Les solutions ),( tzu de l'équation d'onde (I-16) appartiennent également à la classe des
fonctions harmoniques de la variable temps, on les exprime sous la forme :
tωjezutzu )(),( (I-21)
u(z) concerne l'amplitude complexe dépendant de la seule variable géométrique z, dans ce cas
l'équation d'onde (I-16) devient :
oudz
ud 2
2
2
(I-22)
17
γ s'appelle l'exposant linéique de propagation ou plus simplement constante de propagation si
nous adoptons la traduction du terme anglo-saxon propagation constant, γ s'exprime:
φv
ωjγ (I-23)
L'excitation harmonique fait que 0v s'apparente à la vitesse de phase φv . L'équation (I-22) a
pour solutions générales:
zγzγ eBeAzu )( (I-24)
Si on pose :
kjγ (I-25)
k représente le nombre d’onde exprimé par le rapport entre la pulsation de la source et la
vitesse de phase de l'onde soit :
φv
ωk (I-26)
En introduisant le nombre d'onde la fonction u(z) devient :
zkjzkj eBeAzu )( (I-27)
Si nous faisons apparaître la variable temps ),( tzu s'exprime :
)()(),( zktωjzktωj eBeAtzu (I-28)
A et B sont deux constantes inconnues qui déterminent les amplitudes complexes des ondes
progressive et rétrograde attachées au phénomène de propagation.. Pour un milieu illimité
(infini) il n'y a pas d'onde rétrograde la constante B doit être forcée à zéro d'où : B=0 . Cette
condition trouvera sa justification dans la suite du cours, la solution se réduit alors à la seule
onde progressive :
)(),( zktωjeAtzu (I-30)
Cette relation peut aussi se représenter avec la notation (I-13) soit :
18
)(
),(tvz
v
ωj φ
φeAtzu
(I-31)
Si nous introduisons le nombre d'onde k et la phase de l'onde φ conformément aux relations:
tvkφv
ωk φ
φ
et (I-32)
La relation (I-31) devient :
)(),( φzkjeAtzu (I-33)
D'après le second membre de (I-32) nous déduisons que la vitesse de phase est le produit de la
dérivée première de la phase par rapport à la variable temps et de l'inverse du nombre d'onde :
td
φd
k
1vφ (I-34)
Il faut distinguer la vitesse de phase φv et la vitesse de l'onde 0v apparue dans la relation
intuitive (I-4) et l'équation d'onde (I-16), en effet dans le cas général ces deux vitesses ne
prennent pas la même valeur. En effet si on regarde le comportement de la déformation d'une
corde soumise à une excitation harmonique, l'onde qui se propage est la superposition de deux
phénomènes. Un front d'onde qui se manifeste dés qu'apparaît le choc sur la corde, le front
d'onde se déplace à la vitesse 0v , c'est un phénomène transitoire analogue à celui rencontré
sur les circuits électriques. Ensuite apparaît une onde entretenue caractérisée par une
déformation sinusoïdale de la corde, la vitesse de défilement de l'ondulation correspond alors
à φv ce phénomène est équivalent au régime établi des circuits électriques. Nous allons
justifier au second chapitre que pour une propagation peu dispersive la vitesse de phase
rejoint la vitesse du front d'onde, dans ce cas la vitesse de phase est indépendante de la
fréquence de la source d'excitation. Les problèmes considérés par la suite concerneront cette
hypothèse.
19
I – 5 La notion de longueur d’onde
La relation (I-30) réduite à la seule contribution de l’onde progressive peut s'exprimer
autrement en faisant apparaître un terme de phase ψ :
)(),( ψtωjeAtzu (I-35)
Ce terme est relié au nombre d'onde k et à la variable géométrique z par l'expression :
zkψ (I-36)
ψ peut aussi se représenter par le produit de π2 radians liant la position z et une variable λ
homogène à une dimension géométrique soit :
λ
zπ2ψ (I-37)
Ainsi deux relations équivalentes permettent d'exprimer le nombre d'onde k :
λ
π2
v
ωk
φ
(I-38)
λ représente la longueur d'onde déterminée par le rapport entre la vitesse de phase de l'onde et
la fréquence d'excitation de la source :
f
vλ
φ (I-40)
D'après l'expression de l'onde progressive donnée par (I-30) l'amplitude ),( tzu retrouve la
même valeur chaque fois qu'un observateur se déplaçant suivant oz franchit la distance Δz
satisfaisant la condition :
k
πn2zΔ (I-40)
20
n représente une valeur entière, la distance minimale 0zΔ est déterminée lorsque 1n , soit
une distance égale à la longueur d'onde :
λk
π2zΔ 0 (I-41)
Dans la plupart des problèmes de propagation la longueur d’onde joue un rôle très important
dans la mesure où elle nous renseigne sur le comportement physique notamment lorsqu'il
s'agit de caractériser les phénomènes apparaissant dans les milieux périodiques et les milieux
continus.
21
CHAPITRE – II
PROPAGATION DES ONDES DANS LES MILIEUX PERIODIQUES
La propagation des ondes dans les milieux périodiques concerne principalement les
phénomènes acoustiques évoluant dans les structures cristallines. Nous distinguons dans un
milieu cristallin deux types d’onde. Les ondes longitudinales pour lesquelles une source
disposée à la surface d’un matériau le soumet à des vibrations de compression, un plan du
cristal transmet son déplacement au plan qui lui est parallèle et ainsi de suite au moyen des
forces élastiques qui lient les atomes distribués dans la direction perpendiculaire au plan. S'il
s'agit d'une source produisant une excitation harmonique il peut ou non y avoir entretien de
la propagation. Nous rencontrons également des ondes transversales dont le déplacement de
la matière s'effectue dans une direction parallèle au plan contenant les atomes, la direction de
propagation de ce phénomène est comme précédemment perpendiculaire au plan. L'exemple
de l'ondulation produite à la surface d'un liquide forme une onde transversale alors que la
propagation du déplacement le long des chaînes périodiques composées d'atomes et de forces
élastiques s'apparente aux ondes longitudinales. La structure physique la plus élémentaire qui
accompagne la propagation d'une onde longitudinale est donc composée d'un résonateur
mécanique assimilable à une masse reliée à une force élastique matérialisée par un ressort. La
première partie du chapitre II va donc comporter l'étude de la propagation sur une chaîne de
résonateurs mécaniques afin de déduire une équation de dispersion montrant le lien entre la
vitesse de phase des ondes et la fréquence de la source d'excitation. Ces concepts sont ensuite
étendus au cas de chaînes composées de résonateurs électriques ayant pour éléments une
inductance et une capacité, nous aboutirons à une équation d'onde itérative identique à celle
trouvée pour les chaînes mécaniques. Nous considérerons ensuite le concept d'impédance
caractéristique dont les propriétés permettent de reproduire à l'extrémité d'une chaîne les
conditions de propagation d'une onde progressive semblable à celle rencontrée dans un milieu
de dimension infinie. La connexion en extrémité d'impédances quelconques mettra en
évidence une onde rétrograde dont nous pourrons évaluer l'amplitude. Pour conclure le
chapitre nous aborderons les analogies électromécaniques dont l'intérêt majeur permet
22
d'établir une dualité entre les paramètres physiques des milieux de propagation mécanique ou
électrique.
II – 1 Equation du mouvement de l’oscillateur mécanique
Considérons une masse m reliée à un ressort de raideur rk , le ressort est attaché à un
point fixe confondu avec l’origine d’un repère
oz colinéaire au déplacement représenté
Figure (II-1).
Figure (II-1)
0z représente la position de la masse à l’équilibre et z sa position hors équilibre. Si on pose :
0zzu (II-1)
u concerne la variable qui traduit le déplacement de la masse par rapport à sa position
d'équilibre. Pour établir l'équation différentielle liant l'évolution de u en fonction du temps
deux méthodes sont possibles.
a) Composition des forces
Le ressort exerce sur la masse une force élastique rf que nous supposons
proportionnelle au déplacement relatif u soit :
Ressort rk Masse m
o
0z
z
u
z
23
ukf rr (II-2)
La masse en mouvement est soumise à une force d'inertie mf que nous relions aux variations
de vitesse par la loi de Newton :
2
2
mtd
udmf (II-3)
La force potentielle et la force d'inertie s'équilibrent pour donner la relation :
0ff mr (II-4)
Expression à laquelle nous associons une équation différentielle dont les solutions fournissent
le mouvement )(tu :
0uktd
udm r2
2
(II-5)
b) Méthode de l’équation de Lagrange
Pour des systèmes mécaniques complexes il est plus facile d’établir l'équation
différentielle du mouvement à partir de l'équation de Lagrange en raisonnant sur les énergies.
Nous définissons le Lagrangien L donné par la différence entre l'énergie cinétique T et
l'énergie potentielle U, soit :
UTL (II-6)
L’équation du mouvement de la masse se déduit de l’équation de Lagrange :
ou
L
u
L
t
(II-7)
24
Equation dans laquelle :
2r
2 uk2
1Uum
2
1T (II-8)
L'application de la relation (II-7) aboutit une équation différentielle tout à fait identique à la
relation précédente (II-5) soit :
oukum r (II-9)
Nous faisons usage dans les expressions (II-7), (II-8) et (II-9) des notations des dérivées
premières et dérivées secondes adoptées en mécanique :
2
2
td
udu
td
udu (II-10)
c) Présentation de l’équation du mouvement
Les développements exposés au prochain paragraphe seront facilités en exprimant
l'équation (II-5) au moyen de la pulsation de résonance .oω du couple masse ressort soit :
ouωtd
ud 2o2
2
(II-11)
Relation dans laquelle .oω s'exprime:
m
kω r
o (II-12)
25
d) Excitation par une source harmonique
La masse m est soumise à une force extérieure qui suit une évolution sinusoïdale
fonction de la variable temps. Appelons 0f cette force, l’équation (II-4) devient :
0mr fff (II-13)
Si nous posons :
)(cos tωFf oo (II-14)
L’équation différentielle du mouvement prend pour forme:
)(cos tm
Fu
td
ud o2o2
2
(II-15)
)(tu est donc la somme d'une solution générale et d'une solution particulière que nous
pouvons exprimer :
)(cos)(cos)( tωUφtωAtu 00 (II-16)
A et représentent alors deux constantes inconnues déterminées par les conditions initiales
fixées à t = 0, 0U caractérise l’amplitude des oscillations forcées entretenues données par la
relation:
22o
oo
1
m
FU
(II-17)
La dissipation d’énergie inévitablement provoquée par le mouvement incite à introduire un
terme d'amortissement dans la solution générale (II-16)que nous exprimons:
)(cos)(cos)( tωUoφtΩeAtu otα (II-18)
26
En respectant cette convention α est une constante d’atténuation positive, 0Ω la pseudo
pulsation de résonance elle-même fonction des variables αω et 0 , dans les conditions de
l'excitation entretenue obtenue lorsque t u(t) prend pour expression limite:
)(cos)( tωUtu 0 (II-19)
Cette relation comporte donc uniquement le comportement du système masse ressort après
extinction du transitoire introduit dans la solution générale de l'équation différentielle du
mouvement masse ressort. Par la suite nous retiendrons uniquement la contribution de la
solution (II-19). Nous verrons au cours du cinquième chapitre que des ondes entretenues
peuvent également subir une atténuation provoquée par diverses dissipations d'énergie qui
accompagnent la propagation des ondes. Il s'agit des frottements dans le cas de systèmes
mécaniques ou de l'effet Joule pour les circuits ou les lignes électriques.
II – 2 Equation du mouvement sur une chaîne périodique de résonateurs mécaniques
Une chaîne rectiligne regroupant un nombre infini de masses et ressorts de
caractéristiques physiques toutes identiques est représentée conformément aux notations de la
Figure (II-2).
Figure (II-2)
La première masse à laquelle nous attribuons le repère n = 0 sera confondue avec l’origine de
l'axe
oz parallèle à la chaîne. La position d’équilibre de chaque masse est séparée de la
a n-1 n n+1
1nn1n 000 zzz
0 z
27
suivante par la période a, si nous assimilons les masses aux atomes d'un cristal a représente
l'espacement des plans contenant les atomes. Les positions d'équilibre des masses repérées au
moyen des indices n-1, n, n+1 sont établies avec les conventions d'indices géométriques
1nn1n 000 zzz
,, elles sont reliées à la période a par les expressions :
a1nz
anz
a1nz
1n
n
1n
0
0
0
)(
)(
(II-20)
Lorsque la première masse est soumise à un mouvement elle subit le déplacement 0u par
rapport à sa position d’équilibre z = o, le mouvement se propage ensuite dans la direction
longitudinale, chaque masse se déplace alors par rapport à sa propre position d'équilibre, les
déplacements correspondent aux excursions d'amplitudes 1nn1n uuu ,, reliées aux
variables z par les expressions:
1n
n
1n
01n1n
0nn
01n1n
zzu
zzu
zzu
(II-20)
Considérons la masse n, dont on estime le mouvement influencé uniquement par les deux
masses qui lui sont adjacentes soit n-1 et n+1. Le Lagrangien associé à cette masse n peut
donc s’écrire :
nnn UTL (II-22)
Dans ce cas particulier les termes nn UT et du Lagrangien prennent pour formes :
2nn um
2
1T (II-23)
2n1nr
21nnrn uuk
2
1uuk
2
1U )()(
(II-24)
28
Nous remarquons que dans l'expression donnant l’énergie potentielle il est tenu compte
uniquement du déplacement relatif engendré par la déformation élastique des deux ressorts
attachés à la masse n. D'après la relation (II-7) du paragraphe précédent nous déduisons de
l'équation de Lagrange l’équation différentielle itérative suivante :
)( 1n1n2on
2o2
n2
uuωuω2td
ud (II-25)
Dans cette relation o représente la pulsation de résonance de chaque couple masse ressort
dont nous rappelons ci dessous l'expression:
m
kω r
0 (II-26)
II – 3 Propriétés des ondes entretenues dans les milieux périodiques – Loi de dispersion
Nous soumettons à une excitation harmonique la masse située à l'origine de la chaîne
de la Figure (II-2) ( 0n ). Le mouvement de l'ensemble des masses est supposé établi afin
d'entretenir une propagation longitudinale. D'après la formulation adoptée au premier chapitre
et plus spécialement la relation (I-30) le déplacement relatif de chaque masse s'exprime
commodément au moyen de la fonction ),( tzu des variables espace et temps :
)(),( zktωj0 eUtzu
(II-27)
0U représente l'amplitude complexe appliquée par la source harmonique, la chaîne étant de
dimension infinie il n’y a pas d’onde rétrograde, de plus la structure implique pour la fonction
),( tzu les conditions de périodicité exprimées par les relations:
29
),(
),(
),(
tazuu
tazuu
tzuu
1n
1n
n
(II-28)
Ces relations introduites dans l’équation différentielle (II-25) aboutissent à une nouvelle
équation uniquement dépendante de ),( tzu soit :
tazutazuωuω2td
ud 2o
2o2
2
,, (II-29)
Si nous faisons usage de la présentation de l'onde progressive à excitation harmonique donnée
par (II-27), les relations (II-28) deviennent :
)(
)(
)(
),(
),(
),(
azktωj0
azktωj0
zktωj0
eUtazu
eUtazu
eUtzu
(II-30)
Il faut maintenant développer l'équation (II-29) en utilisant les formes trigonométriques
d'Euler soit :
2
eeak
akjakj )(cos (II-31)
Une simplification apparaît si on fait usage de la relation :
2
ak21ak 2sin)(cos (II-32)
L'équation différentielle (II-29) se réduit alors à une expression analytique simple liant la
pulsation de la source ω au nombre d'onde k :
2
kaω4ω 22
o2 sin (II-33)
30
Relation dont il faut extraire la racine carrée :
2
kaω2ω 0 sin (II-34)
Le nombre d'onde peut donc s'exprimer en inversant (II-34) soit :
0ω2
ω
a
2k sinArc (II-35)
L'expression (II-34) s'appelle loi de dispersion dont le comportement en fonction du nombre
d'onde k est représenté sur la Figure (II-3). Cette fonction possède une période égale à a
π2, si
on réduit l’intervalle de variation de k à l'intervalle : a
π
a
π et , la courbe correspond à la
première zone de Brillouin représentée Figure (II-4). Nous avons montré au chapitre
précédent que le nombre d'onde est relié à la pulsation et la vitesse de phase par l'expression:
φv
ωk (II-36)
Dans ces conditions il est facile de tirer des relations (II-35) et (II-36) le lien entre la vitesse
de phase de l'onde et la pulsation de la source harmonique soit:
0
φ
ω2
ω2
ωav
sinArc
(II-35)
La longueur d'onde définie par la relation (I-40) du premier chapitre s'exprime alors :
02
a
f
v
sinArc
(II-36)
31
Figure (II-3)
Figure (II-4)
De ces relations nous pouvons observer les propriétés suivantes: La longueur d'onde est
proportionnelle à la période a. La vitesse de phase est fonction de la pulsation de la source,
cette seconde propriété provient de la propagation dispersive rencontrée dans les milieux à
structure périodique. Certaines hypothèses permettent cependant de rendre ce paramètre
indépendant de la fréquence.
0ω2
a
π
ω
k
32
II-4 Discussion sur les conditions de propagation rencontrées dans les milieux
périodiques
- Propagation évanescente
Considérons l'hypothèse où la pulsation de la source ω est supérieure à oω2 , dans ce
cas la fonction sinus qui entre dans la relation (II-34) est supérieure à l'unité, l'argument
contenu dans cette fonction ne peut donc être qu'une variable complexe. Par conséquent nous
attribuons au nombre d'onde k une valeur complexe représentée avec la convention suivante
:
βjαjk (II-37)
où : 1j
Afin de respecter le réalisme physique il ne peut y avoir accroissement de l'amplitude de
l'onde progressive au cours de la propagation, par conséquent il faut assigner au coefficient
α une valeur positive. Les démonstrations qui suivent vont montrer que les conditions de
propagation dans un milieu périodique dépendent d'une pulsation de coupure cω double de
la pulsation de résonance 0ω soit :
0c ω2ω (II-38)
Si nous insérons cω dans la relation (II-34) le rapport cωω / prend pour expressions:
2
kajj
2
ak
ω
ω
c
shsin (II-39)
ω étant une variable réelle positive non nulle, la seule valeur possible pour la constante β
contenue dans (II-37) est :
a
πβ (II-40)
33
En conséquence, α est contenue dans la relation :
2
aα
ω
ω
c
ch (II-41)
Relation dont l'inversion permet d'exprimer l'atténuation recherchée:
1
a
22
c
c
Log (II-42)
L’onde progressive exprimée par (II-27) est donc le produit d'une fonction harmonique et
d'une fonction exponentielle amortie dont l'exposant est déterminé par le produit du
coefficient α et la position z de l'observateur situé le long de la chaîne soit :
zjztj0 eeeUtzu ),( (II-43)
La contribution de la constante d’atténuation linéique α signifie qu’il y a génération du onde
évanescente dont la source est incapable d’entretenir la propagation, l'amplitude s’atténue en
fonction de l'éloignement, en effet :
z0e zα lorsque (II-44)
D'après cette démonstration dés que la pulsation de la source est supérieure à la pulsation de
coupure cω la chaîne entretient une onde évanescente, cette propriété se rencontre également
lors de la propagation des ondes électromagnétique dans des guides d'ondes et lors de la
transmission des sons dans des tubes dont les dimensions transversales sont petites par rapport
à la longueur d'onde.
34
- Propagation entretenue
Considérons une source dont la pulsation est inférieure à la pulsation de coupure, il y a
entretien de la propagation, la vitesse de phase existe alors que 0α , si nous admettons en
plus que la pulsation ω est très inférieure à cω ( approximation des basses fréquences) :
cωω (II-45)
La relation (II-33) peut être simplifiée en confondant la fonction Arc sin avec son
développement limité au premier ordre, nous arrivons à la relation approchée :
000 ωa
ωk
ω2
ω
ω2
ω
sinArc (II-46)
La vitesse de phase et la longueur d'onde s'expriment alors :
0φ ωav (II-47)
ca (II-48)
D'autre part la relation (II-48) montre que sous la condition des fréquences basses la longueur
d'onde est forcément très supérieure à la période a de la chaîne. Pour cette raison
l'approximation basse fréquence s'appelle aussi condition des grandes longueurs d'ondes, en
pratique cette hypothèse est très souvent vérifiée, c'est notamment le cas des phénomènes
sismiques, de la transmission des signaux dans les lignes ou la propagation de vibrations dans
les fluides compressibles (propagation du son dans l'air). De plus la relation (II-47) indique
qu'aux grandes longueurs d'onde la vitesse de phase est indépendante de la pulsation de la
source, il s'agit d'une propagation non dispersive.
35
- Comportements particuliers des phénomènes de propagation
Nous attribuons à la pulsation des valeurs limites respectivement égales à ω = 0 et à la
pulsation de coupure cω , dans ce cas le nombre d'onde, la vitesse de phase et la longueur
d'onde prennent les valeurs particulières:
λωav0k0ω 0φ ,,
(II-49)
a2a2
va
k 0c
,,
La courbe de la Figure (II-5) précise l’évolution de la vitesse de phase en fonction de la
pulsation ω :
Figure (II-5)
0ωa φv
ω
0c ω2ω
36
II – 5 Propagation d'une onde entretenue sur une chaîne périodique de résonateurs
électriques passifs
Une suite infinie de résonateurs électriques est représentée conformément au schéma
de la Figure (II-6), il s'agit d'une association périodique de quadripôles tous identiques.
Figure (II-6)
Nous attachons le repère longitudinal zo et la période géométrique a. Chaque quadripôle
forme un résonateur composé d’une inductance L et d’une capacité C connectés suivant la
disposition de la Figure (II-7).
Figure (II-7)
Le quadripôle d’ordre n est donc traversé par le courant ni . Nous allons établir une équation
différentielle itérative analogue à celle trouvée pour la chaîne de résonateurs mécaniques. Le
courant ni est fonction des courants sur les quadripôles jouxtant l'élément n. En suivant la
représentation de la Figure (II-8) nous pouvons établir les lois de Kirchoff, soit :
a
n
o z
C
L
ni
n
37
1nn2C
n1n1C
2C1CnL
iii
iii
vvv
(II-50)
Figure (II-8)
La tension nLv aux bornes de l'inductance est reliée au courant ni par la loi d'auto induction :
td
idLv n
nL (II-51)
La combinaison des relations (II-50) et (II-51) aboutit alors à l'équation différentielle itérative
:
)( 1n1n20n
202
n2
iiωiω2td
id (II-52)
Equation dans laquelle 0ω correspond à la pulsation de résonance du quadripôle L, C soit :
CL
1ω0 (II-53)
Cette équation est donc tout à fait analogue à la relation démontrée au paragraphe (II-3), ainsi
il existe ainsi une analogie entre la propagation sur un dispositif périodique mécanique ou
1ni
1Cv
1Ci
ni
2Ci
C
L L
L
C
nLv
1ni
2Cv
n - 1 n n + 1
38
électrique. A l'issue de ce chapitre nous appliquerons cette propriété en vue d'établir des
correspondances entre systèmes mécaniques aux systèmes électriques et vice versa.
II – 6 Impédance caractéristique d'un quadripôle élémentaire
A chaque quadripôle élémentaire de la chaîne de la Figure (II-7) nous pouvons
adjoindre les notations conventionnelles de la théorie des circuits pour laquelle ssee VIVI ,et,
représentent respectivement les courants et tensions en entrée et en sortie du quadripôle
illustré Figure (II-9).
Figure (II-9)
D'après la théorie des circuits ces paramètres sont reliés par une matrice chaîne (T) que nous
exprimons :
s
s
2221
1211
s
s
e
e
I
V
tt
tt
I
VT
I
V (II-54)
Avec cette représentation le quadripôle L, C adopté au paragraphe précédent a pour matrice
chaîne:
1t
ωCjt
ωLjt
ωCL1t
22
21
12
211
(II-55)
Nous allons calculer l'impédance d'entrée eZ du quadripôle dont la sortie est connectée sur
une impédance quelconque LZ indiquée Figure (II-10).
sV
eV
sI eI
39
Figure (10)
eZ s'appelle également l'impédance itérative du quadripôle exprimée par le rapport tension
courant en entrée soit :
22L21
12L11e
tZt
tZtZ
(II-56)
L'impédance caractéristique cZ est la valeur particulière de l'impédance LZ donnant en
entrée l'impédance itérative cZ , ce qui revient à satisfaire les relations:
Lec ZZZ (II-57)
L'impédance caractéristique permet de réaliser la condition d'adaptation des ondes. En effet,
on allons montrer que la connexion de cZ à l'extrémité de la chaîne élimine l'onde rétrograde,
dans ces conditions seule l'onde progressive se propage d'une manière tout à fait semblable à
une chaîne infinie. Des relations(II-56) et (II-57) nous déduisons l'expression de cZ que nous
relions aisément aux coefficients de la matrice chaîne :
21
21122
11222211
ct2
tt4ttttZ
(II-58)
Appliquée au résonateur L , C de la Figure (II-7) cette relation donne pour expression de cZ :
LZ
eZ
40
2cωCL
411
2
ωLjZ (II-59)
Relation qu'il est plus commode d'écrire en faisant apparaître la pulsation de résonance du
circuit soit :
2
20
cω
ω411
2
ωLjZ (II-60)
Aux fréquences inférieures à la fréquence de résonance 0ω , cZ prend pour expression
simplifiée :
ω
ω2j1
2
ωLjZωω 0
c0 (II-61)
Pour des raisons physiques cette expression ne peut comporter qu'une composante réelle
positive, il faut donc choisir la détermination avec le signe -, cZ prend donc pour limite
mathématique lorsque ω :
C
LωLRZ 0cc (II-62)
Il s'agit de la résistance (ou impédance) caractéristique notée par la suite indifféremment cZ
ou cR .
II – 7 Propagation sur une chaîne périodique de quadripôles de dimension limitée
connectée sur une impédance quelconque
La chaîne comporte un nombre limité de N quadripôles identiques, le premier élément
est connecté à une source de courant )(ti alors qu'à l'extrémité la chaîne est branchée sur une
impédance LZ rappelée par schéma de la Figure (II-11).
41
Figure (II-11)
Le courant en entrée du premier quadripôle s'exprime avec la notation des fonctions
harmoniques complexes soit :
tωj0 eIti )( (II-63)
D'après les solutions générales de l'équation d'onde donnée par la relation (I-24) du premier
chapitre le courant )(tin sur le quadripôle d'ordre n représente la superposition d'une onde
progressive et d'une onde rétrograde dont les amplitudes respectives sont déterminées par les
constantes A et B, leurs valeurs vont dépendre de l'impédance LZ , du nombre de quadripôles
et de la pulsation de la source soit :
zktjzktjn eBeAtzi ),( (II-64)
A et B sont donc pour l'instant deux paramètres inconnus que nous proposons évaluer en
adoptant un raisonnement voisin de celui appliqué aux chaînes de résonateurs mécaniques.
Nous exprimons le courant dans le quadripôle d'ordre 1n en tenant compte de la période a
de la chaîne, soit :
tazii n1n , (II-65)
D'après la relation (II-64) 1ni devient :
akjzktωjakjzktωi1n eeBeeAi
(II-66)
Nz
a
o z
n
n i(t)
ZL N
42
Il faut déterminer A et B en appliquant les conditions aux limites rencontrées aux deux
extrémités de la chaîne, à l'origine nous obtenons :
BAI0 (II-67)
A l'extrémité opposée il faut tenir compte de l'impédance LZ en l'intégrant dans le réseau
situé en extrémité de façon à introduire les courants et tension portés sur la Figure (II-12).
Figure (II-12)
D'après ce schéma nous remarquons que le courant 1Ni qui circule dans LZ engendre la
tension 1Nv :
1NL1N iZv (II-68)
D'autre part 1Nv est également la tension apparaissant en sortie du quadripôle qu'on peut
relier au courant Ci par des expressions déduites de la loi des nœuds :
ωCj
ii
ωCj
iv
1NNC1N
(II-69)
En insérant les expressions (II-64) et (II-66) le numérateur de la relation (II-69) devient :
1eeB1eeAii akjzktωjakjzktωjN1N
NN
(II-70)
Par identification de (II-68) et (II-69) nous obtenons une seconde expression liant les
constantes A et B soit :
LZ
1Ni
Ci Ni
L
C 1Nv
43
akjzkjakjzkj
azkjazkjL
e1eBe1eA
eBeAZωCj
NN
NN
(II-71)
Le couple (II -67) et (II-71) représente un système linéaire ayant pour solutions A et B. Pour
des raisons de simplicité nous limiterons leur recherche aux cas particuliers des fréquences
basses c'est à dire de grandes longueurs d'onde par rapport à la dimension de la chaîne.
Solutions aux grandes longueurs d’ondes
L’équation différentielle itérative (II-52) est tout à fait analogue à l’équation qui régit
le mouvement de la chaîne d’oscillateurs mécaniques. En conséquence, il y a dualité entre le
problème électrique et le problème mécanique. Nous remarquons deux paramètres communs
à ces équations, la pulsation de résonance 0ω et le nombre d'onde :
CL
1ω
m
kω 0
r0 (II-72)
La condition des basses fréquences (grandes longueurs d'onde) implique que ω soit petite par
rapport à la pulsation de résonance 0ωω , d'autre part nous avons montré lors des
développements du paragraphe (II-4) que le nombre d'onde s'exprime par le rapport entre la
pulsation de la source et de la vitesse de phase des ondes :
φv
ωk (II-73)
La vitesse de phase étant reliée à la période de la chaîne et à la pulsation de résonance par
l'expression approchée :
k
44
0φ ωav (II-74)
Nous appliquons ces simplifications au cas de la chaîne de quadripôles électriques ce qui
équivaut à dire que le produit du nombre d'onde et de la période est une quantité petite devant
l'unité soit :
1ω
ωak
0
(II-75)
Cette condition simplifie énormément la résolution puisque nous pouvons introduire dans
l'expression (II-71) des développements limités :
akje1
akje1
akj
akj
(II-76)
Si nous supposons en plus que la chaîne comprend un grand nombre de quadripôles la période
a devient négligeable devant la coordonnée Nz définissant la position géométrique du dernier
quadripôle soit l'approximation :
NN zkjazkjee1N
(II-77)
Dans ces conditions l'équation (II-71) s’exprime :
NNNN zkjzkjzkjzkjL eBeA
ωC
akeBeAZ
(II-78)
Devant le second membre de cette relation figure un rapport qui n'est autre que la résistance
caractéristique définie au paragraphe (II-6) en effet :
cRC
L
ωC
ak (II-79)
A et B sont donc les solutions du système linéaire :
45
0eRZBeRZA
IBA
NN zkjcL
zkjcL
0
(II-80)
Nous en déduisons le coefficient B de l’onde rétrograde soit :
Nzkj2
cL
cL eRZ
RZAB
(II-81)
Nous utiliserons par la suite le coefficient de réflexion Lρ attribué à l'impédance LZ , Lρ est
défini par l'expression :
cL
cLL
RZ
RZρ
(II-82)
Les coefficients A et B s'expriment alors d'une manière très compacte :
Nzkj2L
0
eρ1
IA
(II-83)
N
N
zkj2L
zkj2L0
eρ1
eρIB
(II-84)
Il faut rappeler que ces solutions doivent respecter l'hypothèse des basses fréquences (grandes
longueurs d'ondes ) et qu'elles sont uniquement valables pour un grand nombre de
quadripôles. Nous allons montrer au chapitre trois que les expressions (II-80) convergent vers
les solutions de l'équation d'onde des milieux continus.
- Cas particulier d’une chaîne adaptée
Considérons le cas particulier de la chaîne connectée sur son impédance
caractéristique soit :
cL RZ (II-85)
46
Le coefficient de réflexion Lρ s'annule ainsi que la constante B, il n'y a pas d'onde rétrograde,
le courant se propageant sur la chaîne correspond à la seule onde progressive que nous
exprimons :
zktωj0 eIti )( (II-86)
En conséquence une chaîne périodique connectée sur cR est équivalente à une chaîne de
dimension infinie, nous dirons qu'elle est adaptée.
- Le temps de propagation (delay time)
Soit 0i l’amplitude du courant à l’entrée( 0z ) de la chaîne adaptée en sortie, à
l’instant arbitraire 0tt 0i s'exprime :
0tωj000 eIt0ii ),( (II-87)
Pour un observateur placé à l'extrémité de la chaîne ( Nzz )nous recherchons l'instant Ntt
pour lequel le courant prend l'amplitude 0i , soit la condition mathématique :
0
zktωj0 ieI NN
(II-88)
L'écart entre 0N tt et correspond au temps de propagation θ donné par la relation:
ω
zkttθ N0N (II-89)
θ est également relié à la vitesse de phase, en effet si nous utilisons l'expression
approximative du nombre d'onde k donnée par (II-73),la relation (II-89) devient :
47
φ
N
v
zθ (II-90)
Le temps de propagation peut s'écrire autrement si nous faisons usage de la relation (II-74)
établissant le lien entre la vitesse de phase, la pulsation de résonance 0ω du quadripôle et la
période a de la chaîne. Sachant que la dimension Nz prend pour valeur :
NazN (II-91)
Nous déduisons aisément l'expression de θ :
0ω
Nθ (II-92)
Le temps de propagation est donc indépendant de la période de la chaîne, si nous introduisons
la constante de temps τ du quadripôle exprimée par l'inverse de la pulsation de résonance soit
:
0ω
1τ (II-93)
Le temps de propagation θ est directement proportionnel au nombre de quadripôles et à la
constante τ qui représente alors le retard élémentaire de chaque quadripôle lors du passage de
l'onde. Ce retard est indépendant de la période a, cette propriété résulte de l'hypothèse des
basses fréquences (grandes longueurs d'ondes)nous rappelons ces conditions :
aλ1λ
aπ21akωω 0 (II-94)
En dehors de ces simplifications il faut entreprendre une résolution rigoureuse des équations
(II-67) et (II-71).
48
II – 8 Analogies Electro-mécaniques
Les lois d'équivalence que nous venons d'établir entre la propagation sur une chaîne
masse ressort et sur une chaîne de quadripôles inductance capacité permettent de trouver des
règles de correspondance entre des paramètres électriques et des paramètres mécaniques et
vice versa. Ces équivalences dépendent de conventions que nous proposons illustrer sur la
base de deux exemples.
- Correspondance établie sur la présentation des équations différentielles
Nous avons montré au début de ce chapitre que l’équation différentielle qui régit le
mouvement de l’oscillateur mécanique s’exprime :
m
k0u
td
ud r0
202
2
où (II-95)
Le courant qui s’établit dans un circuit L C est régit par une équation analogue :
CL
10i
td
id0
202
2
où (II-96)
Puisque la tension aux bornes de l'inductance est reliée à la variable temps par la loi d'auto
induction à laquelle nous pouvons faire correspondre l'analogie mécanique donnée par le
produit de la masse m et de la dérivée du déplacement u par rapport à la variable temps soit :
td
udm
td
idLv (II-97)
Avec ce choix il y a analogie entre la tension v et l'impulsion mécanique p dont nous posons
la définition :
ump (II-98)
49
Bien entendu la démarche implique l'analogie entre le courant i et le déplacement de la masse
u soit :
ui (II-99)
De la même manière nous pouvons définir une impédance électrique et une impédance
mécanique en recherchant les rapports tension courant et impulsion déplacement soit :
u
pZ
i
vZ (II-100)
Cette correspondance est ensuite étendue à l'ensemble des paramètres électriques et
mécaniques contenus dans le Tableau (II-1)
Paramètres électriques Paramètres mécaniques
L m
C
rk
1
CL
1ω0
m
kω r
0
i u
v p
v
iY
i
vZ
p
uY
u
pZ
Tableau (II-1)
- Correspondance établie sur les énergies
Nous proposons faire correspondre à l'énergie cinétique T l'énergie magnétique LW
donnée par la convention :
2L
2 iL2
1Wum
2
1T (II-101)
50
Masse et inductance sont donc équivalentes, nous pouvons poursuivre l'analogie en faisant
correspondre à l'énergie mécanique potentielle U l'énergie électrostatique CW soit :
2C
2r q
C2
1Wuk
2
1U (II-102)
Ainsi la raideur du ressort est équivalente à l'inverse de la capacité :
C
1kr (II-103)
Pour l'harmonisation du calcul nous devons associer au déplacement u la charge électrique q ,
à la vitesse u le courant i, conditions impliquant qu'à la tension v corresponde la force
mécanique f, impédances électriques et mécaniques sont donc équivalentes aux rapports
tension courant et force sur déplacement soit :
u
f
u
ukZ
iC
q
i
vZ r
(II-104)
L'équivalence établie sur les énergies est probablement la plus utilisée, elle est résumée dans
le Tableau (II-2)
Paramètres électriques Paramètres mécaniques
L m
C
rk
1
q u
i u
v f
v
iY
i
vZ
f
uY
u
fZ
Tableau (II-2)
51
CHAPITRE – III
PROPAGATION DES ONDES DANS LES MILIEUX CONTINUS
Lignes de transmission
Si nous excluons le transport des ondes hertziennes dans le vide il n'existe pas de
milieu de propagation continu rigoureux. Au cours du chapitre précédent consacré aux
chaînes périodiques de quadripôles nous avons simplifié le problème en nous limitant au cas
des grandes longueurs d'onde comparées à la période du milieu. Nous verrons qu'il existe une
analogie entre un milieu de propagation continu et une ligne de transmission.
Une ligne transportant des signaux électriques pouvant se réduire à un enchaînement
de quadripôles de période infiniment petite nous déduirons une équation d'ondes dont la
formulation mathématique a été présentée au premier chapitre du cours. La particularité des
équations d'onde spécifiques aux milieux continus réside dans l'existence d'un coefficient de
propagation dont la valeur est uniquement fonction des caractéristiques physiques qui
composent le milieu de propagation, pour les lignes il s'agit de la permittivité électrique du
diélectrique primaire. La résolution de cette équation d'onde sera ensuite discutée pour aboutir
à quelques représentations usuelles de leurs solutions.
Pour conclure le chapitre nous appliquons les analogies électro-mécaniques afin de
caractériser la propagation des ondes sonores dans une barre métallique et dans un tube
contenant de l'air. Ces deux exemples mettront en évidence les démarches à suivre pour
rechercher les équivalences avec la théorie des lignes de transmission, nous ferons intervenir
les notions d'élasticité des matériaux et les propriétés thermodynamiques des gaz.
52
III – 1 Recherche de l'équation d'onde des lignes de transmission
La Figure (III-1) représente une chaîne de quadripôle dans laquelle les éléments L et C
sont remplacés par LΔ et CΔ la raison de cette notation provient des variables infinitésimales
qui sont utilisées par la suite. Nous associons à cette chaîne le repère longitudinal oz.
Figure (III-1)
Un élément quelconque a pour période infinitésimale Δz. Les courants et tensions entrant et
sortant du quadripôle élémentaire ont été représentés avec les conventions de la Figure (III-2).
Figure (III-2)
o z
LΔ
CΔ
zΔ
LΔ
),( tzΔzi ),( tzi
CΔi
LΔv
),( tzv
),( tzΔzv
zΔ
CΔ
53
Pour des raisons justifiées à posteriori ΔL s'exprime par le produit d'une inductance
linéique L et de la période Δz , il en va de même pour ΔC également reliée la capacité linéique
C , les expressions (III-1) rappellent ces conventions.
zΔCCΔ
zΔLLΔ
(III-1)
Ainsi L et C ont pour unités respectives le H / m et le F / m, ces unités étant bien trop grandes
pour les linges de transmission usuelles on utilise de préférence le nH / m et le pF / m ( il ne
faut cependant pas confondre L et C avec les symboles utilisés au chapitre précédent).
D'après le schéma de la Figure (III-2) l'application des lois de Kirchoff aboutit à deux
relations exprimant la tension LΔv sur l'inductance et le courant CΔi traversant la capacité ΔC :
CΔ
LΔ
itzΔzitzi
vtzΔzvtzv
),(),(
),(),( (III-2)
Le caractère infinitésimal de Δz permet l'application du théorème des accroissements finis afin
de faire apparaître les dérivées premières du courant et de la tension:
zΔz
vtzvtzΔzv
zΔz
itzitzΔzi
),(),(
),(),(
(III-3)
Ce raisonnement suppose que ),(et),( tzvtzi répondent aux critères habituels des fonctions
continues. Une autre représentation de CΔLΔ iv et consiste à exploiter les lois d'induction
magnétique et d'induction électrique applicables au circuit de la Figure (III-2).
zt
vC
t
vCi
zt
iL
t
iLv
C
L
(III-4)
54
Par identification des relations (III-2) et (III-4) nous parvenons au système d'équations aux
dérivées partielles :
t
vC
z
i
t
iL
z
v
(III-5)
Ce couple s'appellent équations des télégraphistes, la période Δz étant éliminée de ces
relations nous passons d'une chaîne de quadripôle à une ligne de transmission. Par dérivation
de chacune des équations par rapport aux variables temps et espace nous arrivons aux
équations d'ondes spatio-temporelles introduites au premier chapitre soit :
0t
v
v
1
z
v
0t
i
v
1
z
i
2
2
20
2
2
2
2
20
2
2
(III-6)
Dans ces équations figure la vitesse de propagation 0v à laquelle nous attribuons l'expression
:
CL
1v0 (III-7)
- Présentation des équations d'ondes dans l'hypothèse de l'excitation harmonique
L'hypothèse d'une source de signal harmonique appliquée à l'entrée de la ligne permet
d'adjoindre aux fonctions ),(et),( tzvtzi les notations complexes du chapitre premier soit :
tωj
tωj
ezVtzv
ezItzi
)(),(
)(),(
(III-8)
)(et)( zVzI deviennent des fonctions complexes dépendant de la seule variable
géométrique z et de la pulsation ω , (par convention )(et)( zVzI sont représentés par
55
des lettres majuscules, pour alléger l'écriture la pulsation est implicite). Dans ces conditions
le couple des équations des télégraphistes (III-5) s'exprime :
VωCjzd
Id
IωLjzd
Vd
(III-9)
Relations aux quelles il faut faire correspondre les équations d'ondes harmoniques soit :
0Vγzd
Vd
0Iγzd
Id
2
2
2
2
2
2
(III-10)
Dans ces expressions figure l'exposant linéique de propagation γ plus fréquemment appelé
constante de propagation que nous pouvons écrire:
CLωjγ (III-11)
D'autre part γ est reliée au nombre d'onde k par la variable complexe 1j d'où :
kjγ (III-12)
Le nombre d'onde associé à cette ligne est donc relié aux inductances et capacités linéiques
ainsi qu'à la vitesse de propagation, soit:
0v
ωCLωk (III-13)
Nous allons montrer au prochain paragraphe que L et C sont liées simplement à la vitesse de
propagation et aux constantes physiques 00 εμ , , rε par les relations suivantes:
56
r00
0εεμ
1
CL
1v (III-14)
III-2 Principales propriétés physiques des lignes de transmission
Les lignes de transmission sont très utilisées pour transporter les signaux élaborés en
télécommunications, elles peuvent revêtir des structures très diverses comprenant la ligne
bifilaire torsadée limitée à la couverture de faibles distances et les câbles coaxiaux dont
certains assurent les liaisons transatlantiques. Ce paragraphe est consacré au câble coaxial
dont la structure géométrique simple permet d'exprimer certaines propriétés physiques
intéressantes. Le câble représenté sur la Figure (III-3) comporte un conducteur intérieur de
diamètre d et un conducteur extérieur de diamètre D que nous supposons pour l'instant
infiniment mince, entre ces deux conducteurs prend place un isolant primaire homogène de
permittivité électrique relative rε , nous associons au câble un repère longitudinal oz .
Figure (III-3)
Nous calculerons l'inductance linéique L du câble et sa capacité linéique C à partir de
raisonnements empruntés à la magnétostatique et à l'électrostatique. Considérons tout d'abord
l'effet du champ magnétique engendré par deux courants I d'amplitudes identiques mais de
directions opposées circulant respectivement dans le conducteur intérieur et dans le
o
d
rε
D z Conducteur
intérieur
Conducteur
extérieur
Isolant
57
conducteur extérieur. La coupe transverse de la Figure (III-4) indique qu'on attache au
conducteur intérieur le repère cylindrique ρθz. L'application du théorème d'Ampère à
l'intérieur du câble permet de relier la composante angulaire θH de champ magnétique et le
courant I sur le conducteur intérieur au moyen de l'expression * :
IHρπ2 θ (III-15)
Figure (III-4)
Un élément de surface
Sd de dimension longitudinale unité orientée dans la direction
angulaire θ s'exprime :
θuρddS
(III-16)
θH produit sur cet élément le flux magnétique élémentaire dΦ :
dSHμΦd θ0 (III-17)
* Le courant sur le conducteur extérieur ne produit pas de champ magnétique intérieur
Par intégration de la relation (III-17) sur la direction radiale nous déterminons le flux total
unitaire :
Id
D
π2
μΦ 0
Log (III-18)
L'inductance linéique et le courant sont reliés parla loi :
θu
I
-I
θH
ρ
58
ILΦ (III-19)
L'application de cette relation permet d'attribuer à L l'expression :
d
D
π2
μL 0 Log (III-20)
Conducteur intérieur et conducteur extérieur sont maintenant soumis à une différence de
potentiel V orientée avec la convention Figure (III-5) imposée par la théorie des lignes.
Figure (III-5)
V produit un champ électrique ρE orienté dans la direction radiale que nous exprimons :
ρρ uρd
VdE
(III-21)
Une surface cylindrique fictive de dimension longitudinale unité et de rayon ρ tel que :
Dρ2d / accumule des charges q qui produisent le flux électrique Ψ qu'on exprime
conformément au théorème de Gauss :
r0 εε
qΨ (III-22)
V
ρ
ρE
59
Le signe - est justifié par l'orientation de V, ce flux ψ peut aussi s’exprimer:
ρEρπ2Ψ (III-23)
Par identification des relations (III-22) et (III-23) et après intégration du champ électrique
donné par (III-21), la différence de potentiel V devient :
d
D
εεπ2
qV
r0
Log (III-24)
D'autre part nous savons que la capacité linéique et la charge linéique sont reliées à la tension
V par la loi de Faraday :
VCq (III-25)
Ainsi des relations (III-24) et (III-25) il est facile de déduire la formule de la capacité linéique
:
d
D
εεπ2C r0
Log
(III-26)
Les résultats de cette démonstration permettent tout d'abord d'établir les conventions
d'orientation des courants I(z) et des tensions V(z) répartis sur la ligne en prenant le schéma de
la Figure (III-6) pour référence. Ensuite la résolution de l'équation d'onde fera apparaître les
liens entre les paramètres physiques du câble et la vitesse de propagation des ondes.
60
Figure (III-6)
- Résolution de l'équation d'ondes
Nous recherchons les solutions en courant de l'équation donnée par la première ligne
du système (III-10) soit :
0Iγzd
Id 2
2
2
(III-27)
Equation dont les solutions générales s'expriment :
zγzγ eBeAzI )( (III-28)
La seconde équation des télégraphistes du couple (III-9) permet d'écrire les solutions en
tension :
zzc eBeAZ
zd
Id
jC
1zV
)( (III-29)
Relation dans laquelle il est commode de faire apparaître l'impédance caractéristique de la
ligne cZ ou cR : CLZc
I(z)
V(z)
Conducteur
intérieur
Conducteur
extérieur
o z
61
Dans le cas particulier d'une ligne de dimension infinie il n'y a pas d'onde rétrograde, il en
résulte que B=0, les solutions prennent alors les formes simplifiées :
)()(
)(
zIZzV
eIzI
c
zγ0
(III-30)
Nous remarquons que ces expressions sont tout à fait analogues aux solutions déduites de la
chaîne périodique de quadripôles étudiée au second chapitre. Nous rappelons que dans ce cas
il s'agissit d'une excitation harmonique de pulsation bien inférieure à la pulsation de résonance
propre du quadripôle (hypothèse basses fréquences).
- Propriétés de la constante de propagation
Nous avons établi plus haut les expressions (III-20) et (III-26) donnant l'inductance et
la capacité linéiques du câble coaxial, nous savons d'après la relation (III-11) que la constante
de propagation est directement liée au produit LC ce qui amène à écrire:
r00 εεμωjCLωjγ (III-31)
D'autre part le nombre d'onde k est donné par le rapport de la pulsation et de la vitesse de
propagation, condition qui implique d'après l'expression (III-31) que 0v dépend uniquement
des constantes physiques r00 εεμ :
r00
0
0 εεμ
1v
v
ωCLωk où (III-32)
La vitesse de la lumière dans le vide ayant pour valeur approchée :
sm103εμ
1c 8
00
/ (II-33)
62
Nous pouvons rapporter la vitesse de propagation dans le câble à la célérité et à la racine
carrée de la permittivité électrique relative du matériau diélectrique homogène qui compose
l'isolant primaire soit :
r
0ε
cv (III-34)
Pour un isolant en polyéthylène de permittivité électrique égale à 352εr , la vitesse de
propagation prend pour valeur: sm102v 80 / .
Ces développements montrent qu'une ligne de transmission possède deux propretés
remarquables : la constante de propagation est indépendante de la géométrie de la ligne
alors que la vitesse de propagation est indépendante de la pulsation de la source de signaux.
Par conséquent la ligne satisfait les conditions d'une propagation non dispersive ( vitesse de
phase et vitesse du front d'onde seront donc les mêmes à condition cependant que la
conductivité électrique des conducteurs qui composent la ligne soit supposée infinie). La
permittivité électrique des diélectriques usuels étant généralement comprise entre 1 et 5 la
vitesse de transmission des signaux sera voisine de celle de la lumière. Il faut préciser que des
développements plus approfondis qui sortent du cadre de ce cours montrent que ces deux
propriétés restent valables pour des câbles autres que les coaxiaux, notamment les lignes
bifilaires. La seule condition requise suppose que l'espacement des conducteurs soit bien
inférieur à la longueur d'onde, cette condition est appelée approximation quasi TEM
(Transverse Electromagnétique). Cette limite physique tient au fait que le raisonnement
adopté dans le cours est fondé sur une extension des propriétés électrostatiques et
magnétostatiques illustrées lors calcul de l'inductance linéique et de la capacité linéique.
Lorsque les hypothèses de la propagation TEM sont inapplicables nous devons recourir à un
formalisme plus complexe dans lequel il faut calculer les champs électromagnétiques
propagés au moyen du formalisme des ondes cylindriques. Une application numérique
permet de situer la transition entre la théorie des lignes et celle des ondes cylindriques.
Considérons un câble coaxial dont le diamètre extérieur est mm10D , sachant que la
vitesse de propagation est : sm102v 80 / la limite d'application de l'approximation quasi
TEM suppose que la longueur d'onde soit bien supérieure au diamètre du câble Dλ , si
63
nous accordons pour limite inférieure D10λ nous obtenons une fréquence de GHz2 , en
conséquence au dessus de cette fréquence les solutions (III-28) et (III-29) seront erronées.
- Valeurs typiques des inductances capacités linéiques et impédances
caractéristiques de câbles coaxiaux
Les valeurs typiques de l'impédance caractéristique des câbles coaxiaux sont
généralement imposées par des normes internationales, suivant le domaine d'application des
câbles on distingue deux valeurs Ω75ZΩ50Z cc ou la première convient pour les
câbles connectant des appareils scientifiques (coaxiaux utilisés dans les travaux pratiques) la
seconde correspond aux câbles utilisés pour la transmission des signaux de
télécommunication (liaison entre antennes réceptrices et téléviseurs). Des relations (III-20)
et (III-26) nous déduisons aisément le lien entre cZ et les paramètres physiques et
géométriques de la ligne:
d
D
εε
μ
C
LZ
r0
0c Log (III-37)
Si nous allouons aux constantes 00 εμ et les valeurs 90
70
10π36
1ε10π4μ
et soit
π120ε
μ
à
à l'impédance caractéristique devient :
d
D
ε
60Z
r
c Log (III-38)
- Application numérique
Sachant qu'un câble a pour caractéristiques 352εmm10Dmm3d r ,,, nous
trouvons:
mpF157CmnH240LΩ50Z c /,/,
64
III –3 Présentations des solutions de l'équation d'ondes des lignes de transmission
Il existe différentes méthodes pour présenter les solutions des équations d'ondes, leur
choix est généralement guidé par la nature du problème physique concerné par la résolution,
nous regarderons les formulations les plus usuelles.
- Présentation avec les constantes A et B implicites
C'est la présentation la plus commune qui convient pour traiter la plupart des problèmes
de propagation engendrée sur des lignes connectées à des sources de tension ou de courant
idéales ( impédance interne de type court-circuit ou infinie). L'exemple illustré sur la Figure
(III-7) montre l'intérêt de cette présentation. Il s'agit d'une ligne connectée à une source de
courant idéale et court-circuitée en extrémité.
Figure (III-7)
La ligne a pour dimension longitudinale 0L , la source de courant a pour amplitude 0I .
Le courant et la tension )(et)( zVzI le long de la ligne vont donc s'exprimer conformément
aux solutions en courant établies au précédent paragraphe :
zγzγ eBeAzI )(
zγzγc eBeAZzV )(
Pour ce cas particulier les conditions aux deux extrémités de la ligne s'expriment :
0I
0L
)(zI
)(zV
o z
(III-39)
65
0LVI0I 00 )()( (III-40)
Il est alors facile de tirer les valeurs analytiques des constantes A et B , soit:
0Lγ2eAB
(III-41)
0Lγ2
0
e1
IA
(III-42)
Quelques transformations permettent ensuite d'exprimer )(et)( zVzI sous la forme :
0
00
Lγ
zLγIzI
ch
ch)(
(III-43)
0
00c
Lγ
zLγIZzV
ch
sh)(
(III-44)
Les solutions que nous venons d'établir seront utilisées au Chapitre-IV pour caractériser les
ondes stationnaires entretenues sur les lignes.
- Solutions intégrant les coefficients de réflexion de la source et de l'impédance
d'extrémité
Une source de f.e.m 0E possédant une impédance interne 0Z est connectée à l'entrée d'une
ligne branchée sur une impédance LZ , la Figure (III-8) montre cette disposition. Les
constantes A et B qui fixent les amplitudes des ondes progressive et rétrograde seront évaluées
après application des conditions aux limites aux deux extrémités de la ligne, soit :
)()(
)()(
0L0
00
LIZLV
0IZE0V
(III-45)
66
Figure (III-8)
Relations que nous développons comme suit :
0000 LγLγL
LγLγc
00c
eBeAZeBeAZ
BAZEBAZ
(III-46)
Ces équations sont d'ailleurs identiques au système (II-82) obtenu pour des chaînes
périodiques de résonateurs soumis à des signaux de fréquences très inférieures à leur coupure.
Si nous insérons les coefficients de réflexion L0 ρρ et attachés respectivement aux
impédances L0 ZZ et , avec les conventions suivantes:
cL
cLL
c0
c00
ZZ
ZZρ
ZZ
ZZρ
(III-47)
I(z) et V (z) prennent alors pour expressions :
0
0
Lγ2L0
zγLγ2L
zγ
c0
0
eρρ1
eeρe
ZZ
EzI )( (III-48)
0
0
Lγ2L0
zγLγ2L
zγ
c0
c0
eρρ1
eeρe
ZZ
ZEzV )( (III-49)
L'intérêt principal de ces relations concerne surtout leur caractère général et fonctionnel.
)( 0LI )(0I 0Z
0E
+
-
LZ )(0V
)( 0LV
0L o
z
67
- Solutions exprimant les réflexions successives
Exception faite des cas particuliers de lignes connectées sur courts circuits ou bien
ouvertes en extrémité les coefficients de réflexion L0 ρρ et prendront une valeur absolue
inférieure à l'unité. D'autre part la constante de propagation γ étant une quantité purement
imaginaire la valeur absolue de la fonction 0Lγ2e est égale à l'unité puisque :
0v
ωjkjγ (III-50)
En conséquence le développement du dénominateur commun aux relations (III-48) et (III-49)
amène à une série convergente à progression géométrique :
.................00
0
Lγ42L0
Lγ2L0Lγ2
L0
eρρeρρ1eρρ1
1
(III-51)
En respectant ce formalisme les solutions (II-48) et (III-49) deviennent :
00 Lγn2
n
0n
L0zγLγ2
Lzγ
c0
0 eρρeeρeZZ
EzI
)( (III-52)
00 Lγn2
n
0n
L0zγLγ2
Lzγ
c0
c0 eρρeeρe
ZZ
ZEzV
)( (III-53)
Nous voyons apparaître dans chacune de ces relations le produit L0 ρρ , un terme de
propagation 0Lγ2e
et un nombre entier n dont la progression caractérise la superposition de
fonctions dont l'amplitude s'amortit au fur et à mesure que l'ordre n s'accroît. L'étude de ces
phénomènes couramment appelés réflexions successives sera approfondie au chapitre V du
cours consacré à la propagation des impulsions dans les lignes.
68
- Présentation suivant le formalisme des quadripôles
Nous assimilons la ligne à un quadripôle concordant avec la matrice chaîne définie au
second chapitre du cours. En appliquant les conventions d'usage données sur la Figure (III-9)
nous appelons ee VI et courant et tension d'entrée ss VI et courant et tension de sortie qu'il est
facile de relier aux paramètres portés sur la Figure (III-8) :
)()(
)()(
0s0s
ee
LVVLII
0VV0II
(III-54)
Figure (III-9)
Après quelques transformations mathématiques qui ne seront pas détaillées mais qui prennent
pour base les relations (III-39) nous parvenons à la relation matricielle :
s
s
2221
1211
e
e
I
V
tt
tt
I
V (III-55)
Matrice dans laquelle nous attribuons aux coefficients jit les valeurs :
0
0
Lchsh
Lshch
γtZ
Lγt
γZtLγt
22
c
021
c12011
(III-56)
sV
eV
sI
eI
eV
sI
eI
sV
0L
o z
T
69
Lorsque la longueur d'onde est grande devant la dimension de la ligne soit : 0Lλ , nous
adoptons les développements limités au premier ordre des fonctions contenues dans les
relations (III-56) , en effet :
1λ
Lπ2Lγ 0
0 (III-57)
Si nous faisons intervenir les expressions liant cZ et γ aux paramètres linéiques primaires
inductance et capacité, les coefficients de la matrice chaîne prennent pour formes simplifiées
:
1tLωCjt
LωLjt1t
22021
01211
(III-58)
Il est facile d'associer à ces coefficients simplifiés le schéma équivalent porté sur la Figure
(III-10). Ce schéma représente un quadripôle symétrique comprenant deux inductances et une
capacité prenant pour valeurs : 00 LC
2
LL et
Figure (III-10)
0Lλ
2
LL 0
sI eI
0LC
eV
sV
2
LL 0
70
III-4 Propagation des ondes dans les matériaux élastiques
La Figure (III-1) représente une barre métallique de section uniforme S.
Figure (III-11)
L'extrémité de la barre est soumise à une force 0f qui provoque une onde de compression
extension. Une portion élémentaire zΔ du matériau subit un déplacement relatif u de matière
auquel il faut adjoindre une vitesse de variation u . Soit 0ρ la densité volumique de la barre
dont une portion de dimension unité a pour masse :
Sρm 0 (III-59)
Lors de la propagation les deux faces de section S de l'élément Δz sont soumises à des forces
différentielles qui engendrent une déformation élémentaire Δu. La force 0f est reliée au
déplacement par une une constante 0Y appelée le module d'Young. 0Y représente une
caractéristique du matériau traduisant son comportement aux efforts de compression ou
d'extension, c'est l'équivalent de la raideur du ressort rk introduite au second chapitre.
0
0
fSY
zu
(III-60)
La Figure (III-12) montre le détail de l'élément Δz sur lequel s'appliquent les forces et
déplacements différentiels.
0f
S
zΔ
0fu ,
o z
71
Figure (III-12)
Au schéma de la Figure (III-12) nous pouvons associer un couple d'équations, la première
exprime la condition équilibrant la force d'inertie et de compression extension, la seconde
contient le lien entre le déplacement différentiel et la force.
t
uzΔSρzΔzfzf 000
)()( (III-61)
0
0
fSY
zΔzΔzuzu )()( (III-62)
Sachant que la dimension de l'élément est très petite, l'application du théorème des
accroissements aboutit aux équations aux dérivées partielles suivantes:
t
f
SY
1
z
u
t
uSρ
z
f
0
0
00
(III-63)
Ce système est à comparer aux équations des télégraphistes (III-5) :
t
vC
z
i
t
iL
z
v
(III-64)
zΔ
)(,)( zuzf0
)(,)( zΔzuzΔzf0
o z
S
72
Nous pouvons donc déduire les analogies electro-mécaniques rapportées dans le Tableau (III-
1). De plus les relations (III-64) permettent de décrire deux équations d'ondes où figurent la
répartition de la force )(zf0 ou la répartition de la vitesse )(zu de déplacement de la barre par
rapport à sa position d'équilibre, ces équations s'expriment :
0t
f
v
1
z
f
0t
u
v
1
z
u
2
02
20
2
02
2
2
20
2
2
(III-65)
Dans les relations (III-65) apparaît la vitesse de propagation des ondes 0v qui dépend
uniquement de la masse volumique 0ρ et du module d'Young 0Y .
0
00
ρ
Yv (III-66)
Paramètres électriques Paramètres mécaniques
I U
V 0F
L Sρ0
C
SY
1
0
V
IY
I
VZ
0
0
F
UY
U
FZ
Tableau (III-1)
- Propagation des vibrations excitées par une source harmonique
L'extrémité de la barre est soumise à des oscillations sinusoïdales entretenues ayant pour
pulsation ω, dans ces conditions les équations (III-63) deviennent :
73
0
0
00
FSY
ωj
zd
Ud
UωSρjzd
Fd
(III-67)
Nous désignons par des lettres majuscules les grandeurs complexes rapportées aux variables
force 0f et vitesse de déplacement u . De ces relations dérivent deux équations d'ondes
harmoniques:
0Fγzd
Fd
0Uγzd
Ud
02
2
02
2
2
2
(III-68)
De ces équations il est facile d'extraire la constante de propagation γ, le nombre d'onde k, la
vitesse de propagation 0v , la longueur d'onde λ, la pulsation ω et la fréquence f :
λ
π2
v
ωkkjγ
0
où (III-69)
f
vλ 0 (III-70)
- Solutions de l'équation d'onde en vibration
La solution de l'équation d'onde des vitesses U s'exprime :
zγzγ eBeAzU )( (III-71)
De la seconde équation de (III-67) nous déduisons l'expression de la variable force 0F :
zγzγ00 eBeA
ωj
SYγzF )( (III-72)
74
- L'impédance caractéristique de la barre
L'analogie avec les lignes de transmission permet d'exprimer l'impédance
caractéristique cZ sous la forme:
SYρωj
SYγ00
0 (III-73)
soit:
SYρZ 00c (III-74)
Nous obtenons alors la forme allégée de la solution (III-72):
zγzγc0 eBeAZzF )( (III-75)
En prenant l'expression (III-66) de la vitesse de propagation et la relation (III-74) que nous
venons d'établir nous trouvons quelques propriétés physiques intéressantes: plus le module
d'Young est important moins la barre se déforme sous l'action de la force vibrante, il en
résulte une impédance caractéristique conséquente et corrélativement une vitesse de phase
accrue des ondes. Par analogie avec la théorie des lignes aux inductances et capacités
linéiques correspondent la masse volumique et le module d'Young, les expressions de la
vitesse de propagation contiennent cette propriété
0
000
ρ
Yv
CL
1v (III-76)
III-5 Propagation des ondes acoustiques dans les fluides compressibles
Un tube de section uniforme S contient un gaz soumis à une pression statique 0P
auquel nous attachons le repère oz représenté sur la Figure (III-13). Le gaz est soumis à
l'extrémité du tube à des perturbations de pression matérialisées par la variable 0p dont
l'amplitude reste en valeur absolue petite par rapport à la pression statique 0P , un haut-parleur
alimenté par une source de signaux électriques disposé à l'entrée du tube peut produire de
75
telles perturbations de pression. Si on considère un élément de petite taille zΔ du gaz contenu
dans le tube les perturbations de pression réparties sur les deux faces latérales de l'élément
vont équilibrer la force d'inertie de la masse de gaz.
Figure (III-13)
Si nous transposons pour les pressions les raisonnements du paragraphe précédent établi pour
des forces en prenant des conventions identiques au schéma de la Figure (III-12 ), nous
pouvons également appliquer le théorème des accroissements finis afin d'aboutir à la relation:
z
p
t
uρzΔzpzp 000 )()( (III-76)
Dans cette expression 0ρ représente la masse volumique du gaz. Il faut ensuite rechercher le
lien entre la déformation de l'élément zΔ et la pression différentielle exercée sur les deux
faces de section S. Pour obtenir cette relation il faut tenir compte de la loi des gaz parfaits
sous conditions adiabatiques. En effet considérons un volume unitaire de gaz 0V soumis à la
pression statique 0P , la loi des gaz parfaits s'exprime :
TRVPγ
00 (III-77)
Relation dans laquelle T représente la température absolue (°K), R la constante
thermodynamique des gaz parfaits, γ un coefficient lié au rapport des chaleurs spécifiques
** et pv CC soit :
up0 ,
0p
S
zΔ
o z
0P
76
*
*
v
p
C
Cγ (III-78)
Une perturbation de pression pΔ de faible amplitude comparée à la pression statique 0P
appliquée au volume unitaire engendre une petite variation de volume vΔ soit :
0
0
VvΔ
PpΔ
(III-79)
Cette transformation supposée adiabatique transforme la relation (III-77) qui devient :
TRvΔVpΔPγ
00 (III-80)
Etant donné les faibles variations d'amplitude mentionnées par les relations (III-79) un
développement limité au premier ordre de l'expression (III-80)est possible :
0
0
1γ
0γ
0
P
pΔ1
1
P
TRVvΔγV
(III-81)
La poursuite du développement limité appliqué au dénominateur de la relation (III-81) donne
l'expression approchée :
0
0
P
pΔ1
P
pΔ1
1
(III-82)
Nous pouvons alors simplifier (III-80) pour ne retenir que la contribution des variables de
faible excursion d'amplitude soit :
pΔVP
TRvΔγ
1γ0
20
(III-83)
77
L'insertion de la loi des gaz parfaits (III-77)aboutit à l'expression :
pΔPγ
VvΔ
0
0 (III-84)
Si nous assimilons Δp à la perturbation de pression 0p appliquée sur l'élément Δz, la relation
(III-84) s'écrit :
0
0
0 pPγ
zΔVvΔ (III-85)
Pour d'alléger cette expression nous adoptons un coefficient χ appelé coefficient de
compression linéique extrait de la combinaison des relations (III-85) et (III-86):
0pχ
zΔvΔ (III-86)
soit :
0
0
V
Pγχ (III-87)
Appliquée sur un élément de section unitaire la relation (III-86) devient :
0pχ
zΔzuzΔzu )()( (III-88)
L'application du théorème des accroissements finis amène à l'équation :
0pχ
1
z
u
(III-89)
Si nous dérivons (III-89) par rapport à la variable temps nous arrivons à l'équation aux
dérivées partielles dans laquelle apparaissent les variables vitesse u et pression 0p :
t
p
χ
1
z
u 0
(III-90)
78
Cette relation couplée à l'équation (III-76) établie plus haut forme le système d'équations aux
dérivées partielles:
t
p
χ
1
z
u
t
uρ
z
p
0
00
(III-91)
Le système obtenu est tout à fait analogue aux équations des télégraphistes (III-5) ainsi qu'aux
équations (III-67) établies pour la propagation des vibrations de compression dans une barre
métallique. Dans l'hypothèse d'une excitation harmonique nous transformons (III-91) en deux
équations d'ondes:
0pγzd
pd
0uγzd
ud
02
2
02
2
2
2
(III-92)
Relations où figure la constante de propagation :
0v
ωkkjγ où (III-93)
La vitesse de propagation des ondes acoustiques dans le gaz prend alors pour expression :
0
0v
(III-94)
Habituellement la vitesse des ondes acoustiques dans les gaz s'exprime en fonction de la
température absolue du gaz T et de la masse molaire M. En effet la loi des gaz parfaits
appliquée au volume molaire MV prend la forme classique:
TRVP M0 (III-95)
79
Sachant que la masse volumique est liée à la masse molaire et au volume molaire par la
relation :
M
0V
Mρ (III-96)
Pour le volume unité nous déduisons aisément de (III-87) et (III-94) l'expression de 0v soit :
M
TRγv0 (III-97)
Pour l'air 57γg29M /, , sachant que moleKJ328R //, , à la température ambiante
de 20°C on trouve : sm342v0 / . Nous remarquons que la vitesse de propagation du son
dans l'air est indépendante de la pression statique. Des développements qui précèdent nous
pouvons établir les analogies avec les paramètres électriques rassemblées dans le Tableau
(III-2).
Paramètres électriques Paramètres mécaniques
I u
V 0p
L 0ρ
C
χ
1
V
IY
I
VZ
0
0
p
uY
u
pZ
Tableau (III-2)
80
CHAPITRE – IV
PROPRIETES DES ONDES STATIONNAIRES
Les ondes stationnaires concernent la cohabitation d'ondes progressives et rétrogrades,
elles sont à l'origine de phénomènes d'interférences comprenant des compositions
constructives et destructives qui se transforment en variations d'amplitude fonction de la
position de l'observateur dans l'espace. Les ondes stationnaires connaissent de nombreuses
applications, les instruments de musiques utilisent les propriétés des ondes stationnaires
acoustiques, les fours micro-ondes sont basés sur le fonctionnement de cavités
électromagnétiques où sont générées des ondes stationnaires électromagnétiques en vue de
soumettre des aliments à des champs électriques hautes fréquences.
La première partie de ce chapitre concerne des démonstrations destinées à produire les
expressions mathématiques de ces ondes, à cette occasion nous définissons le rapport d'onde
stationnaire dans lequel il faut distinguer les ondes stationnaires pures des autres cas où elles
sont superposées à des ondes progressives.
Une seconde partie traite des phénomènes de résonances qui peuvent apparaître sous
certaines circonstances liant les dimensions des structures à la longueur d'onde.
Pour conclure ce chapitre nous regardons le comportement de l'impédance d'entrée des
lignes de transmission connectées sur des impédances quelconques. Des propriétés
remarquables liées aux mécanismes de résonance mettront en évidence quelques singularités
rencontrées lorsque les lignes fonctionnent en extrémité ouverte ou sur court-circuit.
IV – 1 Formulation mathématique des phénomènes d'ondes stationnaires
Nous limitons le raisonnement au cas des lignes de transmission, cependant les
analogies électro-mécaniques introduites au chapitre précédent permettent d'étendre ces
propriétés à tout milieu de propagation continu. Nous rappelons l'expression du courant sur
une ligne donnée par la relation (III-48) du troisième chapitre, relation dans laquelle nous
faisons cette fois figurer le nombre d'onde.
81
0
0
Lkj2L0
zkjLkj2L
zkj
c0
0
eρρ1
eeρe
ZZ
EzI )( (IV-1)
Cette expression peut être présentée sous une forme plus compacte en posant :
)()()(
zLkjL
zLkj0
00 eρeIzI
(IV-2)
Dans cette relation 0I détermine l'amplitude de l'onde soit :
0
0
Lkj2L0
Lkj
0c
00
eρρ1
e
ZZ
EI
(IV-3)
La relation (IV-2) peut aussi s'exprimer en faisant figurer une fonction d'onde )(zΨ
caractérisant la superposition de l'onde progressive et de l'onde rétrograde, l'onde rétrograde
est pondérée par le coefficient de réflexion attribué à l'impédance connectée à l'extrémité de
la ligne.
)()()(
zLkjL
zLkj 00 eρezΨ
(IV-4)
)(zΨ caractérise les propriétés spatiales de l'onde.
- Rapport d'ondes stationnaires (R.O.S)
Pour faciliter l'étude du comportement de la fonction d'onde il est préférable
d'exprimer le coefficient de réflexion Lρ en faisant figurer le module Lρ et la phase Lφ de
cette quantité complexe, soit :
LφjLL eρρ (IV-5)
82
S'il s'agit d'une impédance réelle soit : LL RZ , Lφ peut prendre deux valeurs possibles
suivant que l'impédance est inférieure ou supérieure à l'impédance caractéristique de la ligne.
0φZR
πφZR
LcL
LcL
(IV-6)
Cette propriété résulte de la définition du coefficient de réflexion donnée par la relation (III-
47) du chapitre trois. Pour une impédance LZ complexe Lφ sera donc comprise entre les
limites : πφ0 L . La fonction d'onde )(zΨ peut alors s'exprimer :
:
L00 φzLkjL
zLkjeρezΨ
)()( (IV-7)
Le but de la démonstration consiste à rechercher les positions longitudinales z donnant à la
fonction d'onde une amplitude maximale ou une amplitude minimale. La condition permettant
de trouver un maximum est réalisée lorsque les deux membres complexes de la relation (IV-7)
ont des signes opposés :
L00 φzLkjzLkjee
(IV-8)
Ces valeurs particulières de z vont donc satisfaire la relation:
πn2φzLkπzLk Ln0n0 (IV-9)
Les positions particulières nz sont reliées à la variable entière n et à la longueur d'onde λ au
moyen de l'expression :
4
λ
π
φ
4
λ1n2Lz L
0n (IV-10)
Des relations (IV-2) et (IV-7) nous déduisons aisément l'amplitude des maximums :
83
L0i ρ1II max (IV-11)
Le raisonnement précédent peut être transposé pour la recherche des minimums d'amplitude,
dans ce cas les deux membres complexes de la relation (IV-7) possèdent le même signe, nous
parvenons alors aux expressions :
L00 φzLkjzLkjee
(IV-12)
πp2φzLkzLk Lp0p0 (IV-13)
4
λ
π
φ
4
λp2Lz L
0p (IV-14)
L0i ρ1II min (IV-15)
Le rapport d'onde stationnaire (ROS) défini par la variable S (standing wave ratio SWR)
caractérise l'ampleur du phénomène d'onde stationnaire, il est donné par le rapport entre les
amplitudes maximales et minimales de la fonction d'onde soit :
L
L
i
i
ρ1
ρ1
I
IS
min
max (IV-16)
Le ROS possède trois valeurs remarquables :
. Pour une ligne adaptée : 1S0ρZR LcL
. Pour une ligne extrémité sur court circuit ou ouverte : S1ρL
. Pour d'autres conditions imposées à LR : S1
Un ROS infini correspond à une onde stationnaire pure. Des relations établies auparavant il
est facile de montrer que l'espacement entre deux maximums ou deux minimums successifs
n'est autre que la demi-longueur d'onde, soit :
84
2zzzz 1pp1nn
(IV-17)
Alors que l'espacement entre un maximum et un minimum successifs prend le quart de la
longueur d'onde.
4zz nnp
(IV-18)
D'autre part la position 0pz0 du minimum situé le plus prés de la charge d'extrémité est
donnée par la relation :
4
λ
π
φLz L
00 (IV-19)
Une détermination préalable de la longueur d'onde combinée à la mesure de 0z permet
d'évaluer Lφ , alors que la mesure du ROS donne le coefficient Lρ , ainsi la connaissance de
ces deux paramètres et de l'impédance caractéristique de la ligne permet l'évaluation de LZ .
La mesure du ROS n'est cependant possible qu'à condition que la dimension de la ligne soit au
moins supérieure au quart de la longueur d'onde soit :
4
λL0 (IV-20)
- Comportement des ondes stationnaires en fonction de la variable temps
Si nous introduisons la variable temps, la fonction d'onde (IV-4) devient:
tωjezΨtzψ )(),( (IV-21)
Relation que nous développons conformément à l'expression :
zktωjLkjL
zktωjLkjeeρeetzψ 00 ),( (IV-22)
85
Pour simplifier la suite de la démonstration nous admettrons que LZ est purement réelle et
supérieure à l'impédance caractéristique de la ligne soit : cL ZZ , ces conditions permettent
d'exprimer ),( tzψ sous la forme :
zLkeρj2eeρ1tzψ 0tωj
LzktωjLkj
L0 sin),( (IV-23)
Le premier terme de cette relation représente une onde progressive, le second terme est
caractéristique d'une onde stationnaire pure. Lorsque nous attribuons une valeur infinie à LZ
le coefficient de réflexion est strictement égal à l'unité 1ρL , la fonction d'onde ),( tzψ se
réduit alors à la seule onde stationnaire, soit :
zLkej2tzψ 0tωj sin),( (IV-24)
Il s'agit d'une loi sinusoïdale dont l'amplitude vue par un observateur situé en un point
quelconque z suit les variations temporelles de la fonction harmonique. Si nous supposons
maintenant l'impédance d'extrémité LZ inférieure à l'impédance caractéristique soit :
cL ZZ , la fonction d'onde ),( tzψ s'exprime :
zLkeρ2eeρ1tzψ 0tωj
LzktωjLkj
L0 cos),( (IV-25)
La composante d'onde stationnaire pure de cette fonction est en quadrature par rapport aux
positions de l'exemple précédent, cela signifie que les amplitudes maximales et minimales
sont décalées du quart de la longueur d'onde.
- Expression de l'amplitude de la fonction d'onde
L'amplitude de la fonction d'onde est calculée à partir de l'expression (IV-7) que nous
développons sous la forme :
2
φj
L0L
L0L
L
e2
φzLkρ1j
2
φzLkρ1zΨ
sincos)( (IV-26)
86
Relation dont le module n'est autre que l'amplitude recherchée soit :
2
1
L0
2L0
2
2L2
φzLk
2
φzLk
S
1ρ1zΨ
sincos)( (IV-27)
Dans cette expression figure le rapport d'onde stationnaire S. Lorsqu'il s'agit d'une ligne
adaptée, connectée sur un court-circuit ou bien ouverte en extrémité l'amplitude prend pour
valeurs remarquables :
. Ligne adaptée : 1S0ρZZ LcL
1zΨ )(
. Ligne court-circuitée : Sπφ1ρ0Z LLL
zLk2zΨ 0 cos)(
. Ligne ouverte : S0φ1ρZ LLL
zLk2zΨ 0 sin)(
IV – 2 Phénomènes de résonances sur les lignes de transmission
Les phénomènes de résonances d'une ligne se manifestent par un accroissement de
l'amplitude 0I localisé à certaines fréquences. Pour calculer les fréquences de résonance
d'une ligne il faut étudier la fonction donnant l'amplitude de 0I soit :
0
0
Lkj2L0
Lkj
0c
00
eρρ1
e
ZZ
EI
(IV-28)
87
Il faut alors transformer cette relation en adoptant l'écriture complexe du coefficient de
réflexion 0ρ du générateur :
0φj00 eρρ (IV-29)
Avec cette présentation le dénominateur de la relation (IV-28) devient :
L00 φφLk2jL0 eρρ1D
(IV-30)
Le courant 0I va atteindre une amplitude maximale lorsque D est minimum c'est à dire pour
la condition :
1e L00 φφLk2j
(IV-31)
Des valeurs particulières du nombre d'onde nk vont donc satisfaire cette relation :
πn2φφLk2 L00n (IV-32)
Nous pouvons en déduire les fréquences de résonance nf de la ligne (IV-32), elles s'expriment
:
2n
L2
v
2
vkf L0
0
00nn (IV-33)
L'amplitude maximale du courant 0I lors des résonances prend donc pour expression:
Là
Lkj
0c
0iO
ρρ1
e
ZZ
EI
0n
max (IV-34)
Nous envisageons par la suite plusieurs configurations de l'impédance interne de la source
pour lesquelles nous recherchons les conditions de résonance de la ligne.
88
. Cas particulier d'une source adaptée : 0ρZZ 0c0
0Lkj
c
00 e
Z2
EI
(IV-35)
Aucune résonance ne peut se produire puisque 0I est indépendant de la fréquence.
. Cas d'une source de f.e.m. pure : πφ1ρ0Z 000
Les résonances interviennent aux fréquences satisfaisant la condition :
22
1n
L2
vf L
0
0n (IV-36)
L'amplitude maximale de 0I prend alors pour valeur :
L
Lkj
c
0i0
ρ1
e
Z
EI
0
max (IV-37)
Si l'extrémité de la ligne est ouverte, les résonances se produiront aux fréquences :
2
1n
L2
vf
0
0n (IV-38)
L'amplitude du courant est dans ce cas infinie.
Lorsque la ligne est sur un court-circuit les fréquences de résonances sont décalées par rapport
aux précédentes puisque :
1pL2
vf
0
0p (IV-39)
89
L'amplitude du courant lors des résonances est également infinie.
Cependant les dissipations d'énergie en ligne vont contribuer à limiter l'amplitude de ces
phénomènes. Nous reconnaissons généralement trois causes de dissipation énergétique :
- Une dissipation introduite dans le générateur connecté à la ligne, en effet, il n'existe
pas de générateurs de tension ou de courant parfait leur impédance ou admittance
interne résiduelle impose au coefficient de réflexion 0ρ une valeur forcément
inférieure à l'unité.
- Il y a dissipation d'énergie à cause de la conductivité électrique finie des conducteurs
qui composent la ligne. Ce phénomène est matérialisé par l'atténuation linéique
caractérisée par un coefficient réel ajouté à la constante de propagation soit :
kjαγ
- A ces deux causes s'ajoute le rayonnement électromagnétique produit par la ligne, ce
phénomène intervient généralement aux fréquences très élevées (au- dessus du GHz),
il est négligeable pour le câble coaxial mais significatif pour les structures ouvertes
assimilable à des lignes bifilaires, le rayonnement peut influencer fortement
l'amplitude des résonances.
. Cas d'une source de courant pure 0φ1ρZ 000
Les résonances se produisent pour les fréquences particulières données par la relation :
2n
L2
vf L
0
0n (IV-40)
Lorsque la ligne est connectée en extrémité sur un court-circuit ces fréquences deviennent :
2
1n
L2
vf
0
0n (IV-41)
Inversement s'il s'agit d'une ligne ouverte elles s'expriment :
90
pL2
vf
0
0p (IV-42)
Les dissipations d'énergie ont également pour effet de limiter l'amplitude des résonances.
IV – 3 Propriétés de l'impédance d'entrée des lignes de transmission
Considérons une ligne de transmission connectée sur une impédance quelconque LZ ,
nous attachons à cette ligne les courants et tension d'entrée sortie adoptant les conventions de
présentation de la Figure (IV-1).
Figure (IV-1).
L'impédance d'entrée eZ de la ligne est définie par le rapport entre la tension d'entrée eV et le
courant d'entrée eI soit :
e
ee
I
VZ (IV-43)
- Formule de l'impédance et de l'admittance d'entrée d'une ligne
Si nous assimilons la ligne au quadripôle présenté sur la Figure (III-9) du troisième
chapitre, eZ s'exprime :
L1211
L2221ce
Ztt
ZttZZ
(IV-44)
eI
sI
0L
LZ eV
sV
eZ
91
En faisant usage des expressions (III-56) du chapitre précédent donnant les paramètres jit la
relation (IV-44) devient :
)L(th
)(th
0γZZ
LγZZZZ
Lc
0cLce
(IV-45)
L'impédance d'entrée est donc fonction de quatre paramètres: l'impédance connectée en sortie
LZ , l'impédance caractéristique cZ , la dimension de la ligne 0L et la constante de
propagation γ. Lorsqu'on néglige les dissipations il est plus commode d’utiliser une relation
où figure seulement le nombre d'onde k, soit :
)(tg
)(tg
0Lc
0cLce
LkZjZ
LkZjZZZ
(IV-46)
Bien entendu, il est toujours possible d'adjoindre à (IV-46) une relation donnant l'admittance
d'entrée eY de la ligne soit :
)(tg
)(tg
0Lc
0cLce
LkYjY
LkYjYYY
(IV-47)
Où :
e
eZ
1Y
c
cZ
1Y
L
LZ
1Y (IV-48)
L'usage des expressions de l'impédance ou de l'admittance d'entrée des lignes intéresse surtout
leur comportement en fonction de la fréquence. Nous pouvons alors déterminer l'impédance
d'entrée de deux manières: soit effectuer un calcul analytique à l'aide des formules qui
viennent d'être démontrées ou procéder à une évaluation graphique basée sur une
transformation conforme de ces expressions connue sous le nom d'abaque de Smith, cette
seconde méthode ne sera pas décrite car elle relève du cours approfondi de propagation
examiné dans l'enseignement spécialisé en hyper fréquences. Pour illustrer le comportement
de la ligne nous allons regarder les expressions analytiques de l'impédance et de l'admittance
quant aux extrémités figurent les conditions d'un court-circuit ou d'un circuit ouvert.
92
- Comportement des lignes ouvertes ou court circuitées en extrémité
Lorsque la ligne est court-circuitée 0Z L , l'impédance d'entrée s'exprime très
simplement, en effet d'après la relation (IV-46) on obtient :
)(tg 0ce LkZjZ (IV-49)
De manière à mieux faire apparaître le rôle imparti à la dimension longitudinale 0L il est
préférable d'introduire dans cette expression la longueur d'onde, soit :
λ
Lπ2ZjZ 0
ce tg (IV-50)
Si nous estimons que la fréquence est suffisamment basse pour que la longueur d'onde soit
grande devant la dimension, soit 0Lλ condition que nous exprimons avec le nombre
d'onde 1Lk 0 , il peut être fait usage du développement limité de la fonction tangente :
00 LkLk )(tg (IV-51)
eZ prend alors pour expression :
0ce LkZjZ (IV-52)
Sachant que l'impédance caractéristique et le nombre d'onde sont reliés à l'inductance linéique
L et à la capacité linéique C par les expressions établies au chapitre trois que nous rappelons:
CLωkC
LZ c (IV-53)
eZ prend pour expression approchée :
93
0e LωLjZ (IV-54)
Il s'agit d'une impédance purement réactive dont l'inductance équivalente est égale au produit
de l'inductance linéique de la ligne et de sa dimension soit : 0LL .
Aux fréquences élevées cette approximation n'est plus acceptable, il faut tenir compte de la
contribution du terme )(tg 0Lk dans lequel nous ferons apparaître la vitesse de propagation et
la pulsation soit :
0
00
v
LωLk tg)(tg (IV-55)
Cette fonction devient infinie lorsque la pulsation satisfait la condition :
2
π1n2
v
Lω
0
0n (IV-56)
Ce qui correspond aux valeurs particulières de la fréquence données par la relation :
0
0n
L
v
4
1n2f
(IV-57)
Ces fréquences déterminent des valeurs remarquables de la longueur d'onde telles que :
1n2
L4λ 0
n
(IV-58)
La fréquence la plus basse pour laquelle l'impédance d'entrée devient infinie est donc obtenue
pour 0n soit :
00
0
00 L4λ
L4
vf (IV-59)
Sous cette condition de fonctionnement nous dirons que la ligne résonne en quart d'onde.
Lorsque la fréquence est supérieure à 0f l'impédance d'entrée s'apparente à une réactance de
valeur négative. L'étude attentive du comportement de la fonction (IV-55) montre qu'en
94
fonction de la fréquence l'impédance d'entrée de cette ligne passe par des valeurs
périodiquement infinies puis nulles et ainsi de suite. La courbe de la Figure (IV-2) illustre ce
comportement lorsque l'intervalle de variation de 0Lk est compris entre 0 et π.
D'après cette courbe nous trouvons que la première singularité donnant eZ infinie correspond
à 2πLk 0 / , au-dessus l'impédance d'entrée passe par zéro chaque fois que la fréquence
prend la valeur pf déterminée par la relation :
0
0p
L
v
2
pf (IV-60)
Figure (IV-2)
Considérons un exemple pour lequel la dimension est égale à m1L0 , la vitesse de
propagation est telle que sm102v 80 / , d'après la relation (IV-59) la résonance quart
d'onde se manifeste à la fréquence MHz50f0 , la fréquence la plus basse où eZ s'annule se
situera lorsque dans la relation (IV-60) MHz100f1p 1 soit .
Si nous supposons maintenant l'extrémité de la ligne ouverte soit : 0Ye l'expression (IV-47)
attribue à l'admittance d'entrée eY la valeur :
eZ
Ω
0Lk
Ω50Z c
95
)(tg 0ce LkYjY (IV-61)
Expression dont la forme limite aux grandes longueurs d'ondes se simplifie pour devenir :
0e LωCjY (IV-62)
Sous les conditions basses fréquences la ligne est équivalente à une capacité identifiable au
produit de la capacité linéique et de la dimension soit : 0LC . Nous remarquerons qu'il s'agit
du comportement dual de celui observé sur la ligne court-circuitée.
- Propriétés de l'impédance d'entrée d'une ligne connectée sur faible ou grande
impédance
Le qualificatif faible signifie que l'impédance connectée en extrémité est de valeur très
inférieure à l'impédance caractéristique, soit :
cL ZZ (IV-63)
Si nous admettons la fréquence suffisamment basse pour que l'hypothèse des grandes
longueurs d'ondes soit applicable le numérateur et le dénominateur de l'expression (IV-46 ) se
simplifient comme suit :
1LkZZ
ZLkZjZ
LkZjZLkZjZ
0cL
c0Lc
0cL0cL
et:effeten
)(tg
)(tg
(IV-64)
L'expression de eZ se réduit alors à la relation :
0Le LωLjZZ (IV-65)
96
D'après ce développement l'impédance d'entrée de la ligne connectée sur faible impédance est
équivalente à LZ mise en série avec une inductance de valeur égale à 0LL . Par un
raisonnement dual du précédent on montre qu'une ligne connectée sur une admittance de
faible valeur comparée à l'admittance caractéristique soit : cL YY , correspond aux
fréquences basses (grande longueur d'onde) à l'admittance d'entrée approchée :
0Le LωCjYY (IV-66)
La ligne est donc équivalente à un dipôle comprenant LZ connectée en parallèle avec une
capacité égale au produit de la capacité linéique et de la dimension, soit: 0LC . Ces propriétés
sont fréquemment utilisées pour caractériser des circuits faisant intervenir des lignes de
propagation sous la condition des grandes longueurs d'onde.
- Usage de l'impédance d'entrée d'une ligne pour le calcul des courants et tensions
Considérons le schéma de la Figure (IV-3) représentant un générateur connecté à une
ligne chargée sur l'impédance LZ .
Figure (IV-3)
Nous proposons évaluer le courant )( 0LI et la tension )( 0LV à l'extrémité de la ligne, Pour
mener ce calcul le plus simplement possible il faut préalablement déterminer le courant )(0I
et la tension )(0V en entrée. Pour tenir compte de la contribution du générateur auquel nous
)( 0LI )(0I
0Z
0E
+
-
LZ
)(0V
)( 0LV
97
attribuons la fem 0E et l'impédance interne 0Z nous devons établir le schéma de la Figure
(IV-4). Ainsi le courant )(0I à l'origine s'exprime :
e0
0
ZZ
E0I
)( (IV-67)
Nous déterminons ensuite )( 0LI et )( 0LV en utilisant le formalisme des quadripôles dans
lequel la tension )(0V à l'origine de la ligne s'exprime à l'aide des paramètres de la matrice
chaîne soit :
)()()( 012011 LItLVt0V (IV-68)
Figure (IV-4)
Pour réduire le nombre d'inconnues il faut appliquer la loi d'Ohm reliant )( 0LI et )( 0LV :
)()( 0L0 LIZLV (IV-69)
La mise en place de l'expression de )( 0LI est alors immédiate, puisque :
12L11
0tZt
0VLI
)()( (IV-70)
Nous arrivons à l'expression analytique de )( 0LI en substituant aux coefficients 12tet11t les
valeurs données par les relations (III-56) du troisième chapitre :
)(0I
0Z
0E
+
-
eZ )(0V
98
)(sin)(cos
)()(
0c0L
0LkZjLkZ
0VLI
(IV-71)
- Condition de résonance d'une ligne alimentée par une source d'impédance interne
capacitive
Le schéma de la Figure (IV-5) représente une ligne court-circuitée en extrémité
alimentée par un générateur de tension de fem 0E possédant une capacité interne 0C . La
condition de résonance est déterminée par la fréquence la plus basse pour laquelle le courant
)(0I et la tension )(0V en sortie du générateur prennent une amplitude maximale. Dans le but
d'élargir les propriétés de l'impédance d'entrée des lignes considérons un exemple numérique
appliqué aux paramètres physiques suivants :
nF10Cm1Lsm102vΩ50Z 008
0c /
Figure (IV-5)
Le courant )(0I en sortie du générateur s'exprime par une relation dans laquelle figure
l'impédance d'entrée eZ de la ligne soit :
ωC
jZ
E0I
0
e
0
)( (IV-72)
0L
)(0I
0E
+
-
)(0V
0C
99
La condition d'amplitude maximale de )(0I est donnée pour la pulsation 0ω telle que :
0ωC
jωZ
00
0e )( (IV-73)
Pour une ligne court-circuitée nous avons montré plus haut que )(ωZ e s'exprime :
0
0ce
v
LωZjωZ tg)( (IV-74)
La pulsation de résonance est donc solution de l'équation :
0ωC
1
v
LωZ
000
00c
tg (IV-75)
Dans le cas général c'est une équation transcendante à solutions multiples, nous faisons
l'hypothèse qui doit être vérifiée à posteriori que la fréquence de résonance est suffisamment
basse pour satisfaire les conditions des grandes longueurs d'ondes. Dans ce cas l'impédance
d'entrée de la ligne s'exprime conformément à la relation simplifiée (IV-54), soit :
0e LωLjZ (IV-76)
Pour trouver l'inductance linéique on utilise la relation liant l'impédance caractéristique à la
vitesse de propagation soit :
mnH250102
50
v
ZL
80
c /
Ces simplifications amènent à la pulsation de résonance 0ω .
100
srd102101052
1
CLL
1ω 7
8700
0 /,
Il faut vérifier que la condition des grandes longueurs d'ondes est satisfaite en montrant que le
produit du nombre d'onde et de la dimension du câble reste une quantité bien inférieure à
l'unité.
10102
102
v
LωLk
8
7
0
000 ,
La condition est satisfaite ce qui permet d'attribuer à la fréquence de résonance la valeur :
MHz183f0 ,
Avec une capacité interne plus faible pF100C0 on aboutit à : srd102ω 80 / soit :
1Lk 0 . L'approximation des grandes longueurs d'ondes n'est plus satisfaite, dans ce cas il
faut résoudre l'équation (IV-75) par approximations successives (méthode numérique).
101
CHAPITRE – V
PROPAGATION DES IMPULSIONS DANS LES LIGNES
L'équation d'ondes spatio-temporelle des lignes de transmission peut être résolue de
diverses façons. La méthode proposée dans ce chapitre s'inspire du calcul symbolique dont le
principal avantage est de faciliter la recherche des phénomènes de réflexions successives
provoqués aux extrémités des lignes. En effet, dés qu'une ligne est soumise à une excitation
transitoire la propagation s'accompagne d'effets transitoires secondaires caractérisés par
l'apparition de nombreuses impulsions retardées dont l'amplitude est généralement amortie.
Le but du chapitre est de fournir une aide à la compréhension de ces phénomènes.
Une première partie comportant la résolution mathématique de l'équation d'onde
appuyée par quelques exemples mettra en évidence d'intéressantes informations contenues
dans la réponse transitoire d'une ligne. D'après l'examen de la signature temporelle il est
montré que certaines régions du signal permettent d'évaluer la vitesse de propagation en ligne
ainsi que la nature des impédances connectées aux extrémités..
La seconde partie du chapitre traite des phénomènes de dissipation d'énergie. La
résolution directe dans le domaine temporel s'avérant peu commode nous préférons transposer
le raisonnement en l'appliquant au cas d'une excitation harmonique. Des considérations tout
d'abord simpliste confondant la résistance linéique des conducteurs avec celle donnée pour le
courant continu aboutissent à l'expression de l'atténuation linéique. La démarche est ensuite
perfectionnée pour faire intervenir l'impédance de surface des conducteurs. A cette occasion
nous discernerons deux comportements étroitement reliés à la valeur de la profondeur de
pénétration du champ électromagnétique dans le matériau conducteur. Ces domaines
respectivement appelés Basses fréquences et Hautes fréquences fournissent des formules
analytiques assez simples de l'impédance de surface. Des applications numériques permettront
d'apprécier l'influence de l'impédance de surface sur l'atténuation en ligne et de connaître
l'impact de ce phénomène sur la vitesse de propagation des ondes sur ligne dissipative.
102
V– 1 Solutions de l'équation d'ondes d'une ligne soumise à des phénomènes électriques
transitoires
Nous considérons une ligne de transmission connectée à une source de fem transitoire
)(te0 dont l'impédance interne 0R est réelle, la ligne est connectée en extrémité sur une
impédance réelle LR , la Figure (V-1) donne les conventions de représentation des courants et
tensions. Des lettres minuscules seront adoptées pour désigner les solutions dans le domaine
temporel.
Figure (V-1)
- Résolution directe de l'équation d'ondes
Considérons tout d'abord l'équation d'onde spatio-temporelle en courant (III-6) établie au
chapitre trois :
0t
i
v
1
z
i2
2
20
2
2
(V-1)
Elle a pour solutions générales la forme (I-17) introduite au premier chapitre soit :
)()(),( tvzIBtvzIAtzi 00 (V-2)
Au moyen d'une méthode numérique itérative basée sur un échantillonnage de la
variable temps nous pouvons construire les solutions numériques à partir de la description du
signal fem )(te0 assortie des conditions aux limites adéquates rencontrées aux extrémités de
),( tzi
)(te0
),( tLi 0 ),( t0i 0R
+
-
LR
),( t0v
),( tLv 0
0L o
z
),( tzv
103
la ligne, la résolution est grandement facilitée si nous négligeons les dissipations d'énergie
dans la ligne ce qui est présentement le cas.
- Résolution par le calcul symbolique
Nous recherchons le courant symbolique ),( pzI obtenu après application de la
transformation de Laplace soit :
),(TL),( tzipzI (V-3)
Les conditions initiales étant nulles aussi bien sur la fonction ),( tzi et sur sa dérivée première,
l'équation d'onde spatio-temporelle transformée en équation d'ondes symbolique s'exprime :
0Izd
Id 2
2
2
(V-4)
Relation dans laquelle γ représente la constante de propagation symbolique que nous écrivons:
0v
pCLp (V-5)
La démarche est ensuite tout à fait identique à celle utilisée pour rechercher les solutions sous
excitation harmonique, cependant nous ferons usage de notations majuscules pour désigner
les variables symboliques.
- Résolution par transposition des solutions harmoniques
Considérons la solution en courant donnée par la présentation (III-48) du troisième
chapitre soit :
0
0
L2L0
zL2L
z
c0
0
e1
eee
ZZ
EzI
)( (V-6)
104
Dans cette relation figure le nombre d'onde. Sachant que les impédances connectées à la ligne
sont réelles les coefficients de réflexion Let ρρ0 sont également réels. Le nombre d'onde
s'exprime :
0vj
(V-7)
La transposition consiste à faire correspondre à la variable complexe ωj la variable
symbolique p soit :
pωj (V-8)
Dans ce cas la solution symbolique prend la forme générale:
0
0
00
0
0
v
Lp2
L0
v
zp
v
Lp2
Lv
zp
c0
0
eρρ1
eeρe
ZR
pEpzI
)(),( (V-9)
Relation dans laquelle )( pE0 n'est autre que la transformée de Laplace de )(te0 soit :
)(TL)( tepE 00 (V-10)
La recherche de la fonction originale sera facilitée en prenant le formalisme des réflexions
successives établies par la relation (III-52) du troisième chapitre. Cette relation transposée
dans le domaine symbolique s'exprime:
0
0
00
0
0 v
Lnp2n
0n
L0v
zp
v
Lp2
Lv
zp
c0
0 eρρeeρeZR
pEpzI
)(),( (V-11)
L0 RR et étant des quantités réelles les coefficients de réflexions seront indépendants de la
variable symbolique p, la recherche de la fonction originale ),( tzi s'en trouve alors simplifiée,
105
en effet par application de la règle du calcul symbolique liant une fonction e(t) à son
équivalente retardée de τ nous posons :
)()(TL-1 τteepE τp (V-12)
La solution originale ),( tzi est donc la somme de fonctions élémentaires retardées que nous
exprimons de manière compacte en faisant apparaître dans la relation (V-11) le temps de
propagation en ligne θ que nous exprimons:
0
0
v
Lθ (V-13)
Ainsi la solution symbolique du courant ),( p0I à l'origine de la ligne devient :
θnp2
n
0nL0
θp2L
c0
0 eρρeρ1ZR
pEp0I
)(),( (V-14)
La transposition dans le domaine temporel donne l'expression suivante de ),( t0i :
)()(),( θ2θn2teρθn2teρρZR
1t0i 0L0
n
0n
L0
c0
(V-15)
Pour alléger cette relation nous allons introduire une fonction élémentaire )(ti0 liant la fem
)(te0 et son équivalente retardées de θ2 pondérée par le coefficient Lρ et par les impédances
cZet0R nous obtenons :
c0
0L00
ZR
θ2teρteti
)()()( (V-16)
Cette écriture allégée donne à la relation (V-15) une forme facilement exploitable :
106
0n
0n
L0 θn2tiρρt0i )(),( (V-17)
Le courant à l'origine de la ligne se résume donc à la superposition de courants élémentaires
retardés de 2θ et pondérés par le produit des coefficients de réflexions rencontrés aux deux
extrémités de la ligne. Si nous estimons que la valeur absolue des coefficients de réflexion est
inférieure à l'unité la série à progression géométrique donnée par la relation (V-17) converge,
cela signifie que l'amplitude du courant tend à long terme vers une limite qui correspond
d'ailleurs à la solution triviale faisant totalement abstraction de la propagation.
V-2 Etude de la propagation d'un échelon de fem sur une ligne de transmission
La source représentée Figure (V-1) produit un échelon de fem d'amplitude 0E que
nous représentons avec les notations conventionnelles :
)()( tγEte 00 (V-18)
Relation dans laquelle γ(t) correspond à la fonction échelon soit :
0t1tγ
0t0tγ
)(
)(
(V-19)
La Figure (V-2) donne l'allure du signal fem. Nous envisagerons différentes conditions de
propagation déterminées par la nature des impédances rencontrées aux deux extrémités de la
ligne.
- Impédance interne de la source adaptée
La résistance 0R est dans ce cas égale à l'impédance caractéristique de la ligne, soit:
0ρ0 .
107
Figure (V-2)
Le courant élémentaire )(ti0 prend alors pour expression :
c
0L00
Z2
θ2teρteti
)()()(
(V-20)
Puisque 0ρ0 , nous déduisons de la relation (V-17) un courant à l'origine identique au
courant élémentaire :
)(),( tit0i 0 (V-21)
Nous regardons ensuite l'influence de la résistance LR , trois exemples seront examinés
suivant que LR s'assimile à l'impédance caractéristique, qu'elle présente un court circuit ou
que la ligne est ouverte en extrémité.
Extrémité adaptée : 0ρZR LcL
Le courant à l'origine de la ligne est homothétique du signal fem soit :
c
0
Z2
tet0i
)(),( (V-22)
C'est un échelon d'amplitude :
)(te0
t 0
0E
108
c
00
Z2
EI (V-23)
La signature temporelle est représentée sur la Figure (V-3).
Figure (V-3)
Extrémité en court circuit : 1ρ0R LL
)(ti0 s'exprime :
c
000
Z2
θ2teteti
)()()(
(V-24)
Le courant à l'origine de la ligne est représenté Figure (V-4).
Figure (V-4)
Il se compose de la superposition de deux échelons de courant d'amplitude 0I le second est
retardé de 2θ. Nous remarquons pour la condition t que l'amplitude du courant tend vers
),( t0i
t 0
0I
),( t0i
t 0
0I2
0I
2θ
109
la solution statique exprimée par la théorie des circuits en courant continu (source branchée
sur le court circuit) soit :
c
00t
Z
EI2t0i ),( (V-25)
Extrémité ouverte : 1ρR LL
Le courant élémentaire devient :
c
000
Z2
θ2teteti
)()()(
(V-26)
Dans cette relation il est plus simple de faire apparaître la fonction impulsion (window) w(t)
définie par la différence de deux échelons retardés de 2θ :
)()()( θ2tγtγtw (V-27)
Le courant à l'origine de la ligne s'apparente donc à une impulsion dont l'amplitude est égale à
0I soit :
c
0
Z2
twEt0i
)(),( (V-28)
La signature du courant est représentée Figure (V-5)
Figure (V-5)
),( t0i
t 0
0I
2θ
110
Ces trois exemples montrent qu'au-dessous de l'intervalle de temps 2θ l'amplitude du courant
à l'origine de la ligne est indépendante des conditions rencontrées à l'extrémité puisque égale à
0I . Nous interprétons ce comportement par l'analyse de la propagation du front d'onde émis
par la source, ce phénomène parvient à l'extrémité de la ligne à l'instant θt il subit alors
une réflexion qui le propage vers l'origine de la ligne, ce front d'onde réfléchi parvient à
l'origine à l'instant θ2t , ainsi l'amplitude du courant à l'origine aux instants supérieurs à 2θ
comportera l'empreinte de la charge d'extrémité. Par contre aux instants inférieurs à 2θ la
ligne apparaît de dimension infinie ce qui explique que l'amplitude du courant est invariante et
de plus égale à c0 Z2E / , l'impédance d'entrée d'une ligne de dimension infinie correspond à
son impédance caractéristique.
- Cas d'une source désadaptée
Pour la facilité de l'interprétation nous supposons la ligne ouverte en extrémité soit :
LR .
Nous attribuons à l'impédance interne de la source une valeur très supérieure à l'impédance
caractéristique de la ligne soit : c0 Z9R , condition qui confère au coefficient de réflexion de
la source une valeur voisine de 80ρ0 , . Le courant élémentaire )(ti0 s'exprime alors :
)()( twZ10
Eti
c
00 (V-29)
Relation dans laquelle w(t) représente la fonction impulsion définie par l'expression (V-27).
Ainsi le courant à l'origine de la ligne se compose d'une suite infinie d'impulsions produites
par des phénomènes de réflexions successives intervenant aux deux extrémités soit :
)(,),( θn2ti80t0i 0
0n
n
(V-30)
111
Au fur et à mesure de la progression dans le temps l'amplitude des impulsions diminue pour
devenir nulle lorsque : 0t0it ),( c'est la condition donnée par le raisonnement
statique assimilant le câble à un circuit d'impédance d'entrée infinie. Entre la solution
rigoureuse décrite par la série (V-30) et le comportement statique nous pouvons envisager une
représentation intermédiaire pour laquelle l'impédance d'entrée du câble ouvert en extrémité
est comparable à une capacité prenant pour valeur :
00 LCC (V-31)
Les conditions d'application du modèle simplifié sont détaillées au paragraphe IV-3 du
chapitre quatre. Pour résumer nous dirons que le modèle quasi statique n'est valable qu'à
condition que la longueur d'onde soit bien supérieure à la dimension 0L de la ligne. Dans le
contexte de cette application la condition n'est pas vérifiée puisque nous caractérisons les
phénomènes sur des intervalles de temps bien inférieurs au temps de propagation en ligne ce
qui équivaut à dire que les longueurs d'ondes explorées par les signaux seront bien inférieures
à 0L . En dépit de cette restriction il est toutefois instructif de comparer la solution quasi
statique à la solution exacte. Nous proposons d'attribuer à la ligne le schéma quasi statique de
la Figure (V-7) dans lequel 0e représente la fem de la source, 0R sa résistance interne et 0C
la capacité de la ligne déterminée conformément à la relation (V-31). Dans ce cas )(tia n'est
autre que le courant de charge de la capacité qu'on exprime :
)()( tγeR
Eti τ
t
0
0a
(V-32)
Où τ correspond à la constante de temps du circuit que nous exprimons classiquement par le
produit de la résistance et de la capacité figurant sur le schéma, cependant afin de mieux
coordonner ce paramètre avec la théorie des lignes de transmission nous préférons l'exprimer
en faisant apparaître le temps de propagation et l'impédance caractéristique, soit :
θZ
RCRτ
c
000 (V-33)
Nous proposons comparer les valeurs numériques des deux solutions en normalisant
l'amplitude du courant par rapport à 0I (amplitude exacte du courant à t=0 ) soit :
112
c
00
Z10
EI (V-34)
Figure (V-7)
Les valeurs numériques obtenues sont rassemblées dans le Tableau (V-1). Les chiffres
montrent que la solution quasi statique est voisine de la solution exacte. Sur Figure (V-8) sont
comparées les signatures de la solution exacte et de la solution quasi statique, nous
remarquons également l'assez bon accord entre les deux caractéristiques.
Incrément temporel Solution exacte Solution quasi statique
0t 0I 0I111,
θ2t 0I800, 0I880,
θ4t 0I640, 0I740,
θ6t 0I510, 0I600,
θ8t 0I400, 0I480,
………… ………….. …………
Tableau (V-1)
Nous considérons maintenant le cas d'une source dont l'impédance interne est très inférieure à
l'impédance caractéristique de la ligne soit : c0 Z10R , ce qui correspond à un coefficient de
réflexion de valeur absolue identique à l'exemple précédent mais prenant un signe opposé :
800 , . Dans ce cas le courant à l'origine de la ligne s'exprime:
0e
+
-
0R
0C
)(tia
113
Figure (V-8)
)(,),( θn2ti801t0i 0n
n
0n
(V-35)
Relation dans laquelle l'impulsion de courant élémentaire prend pour amplitude :
c
00
Z11
EI
, (V-36)
Dans le Tableau (V-2) figurent les valeurs normalisées du courant à l'origine de la ligne.
L'évolution du courant devient une fonction qui prend alternativement des amplitudes
positives et négatives, la solution exacte suit donc un comportement très différent du modèle
quasi statique établi sur la charge de la capacité. Sur la Figure (V-9) est représentée
l'évolution du courant calculé par l'expression (V-35). Il s'agit d'une suite infinie d'impulsions
de durée θ2 dont les polarités sont alternées et les amplitudes amorties. Ce comportement
s'explique par le rôle imparti aux signes opposés des coefficients de réflexion rencontrés aux
deux extrémités de la ligne, c'est un phénomène oscillant amorti. Dans le cas idéal où la
source de fem aurait une impédance interne strictement nulle le produit des coefficients de
réflexion prendrait pour valeur 1ρρ L0 , il y aurait des oscillations entretenues, cependant
2θ
I0
114
diverses raisons principalement dues à l'existence de dissipations d'énergie contribuent à
l'amortissement du signal.
Incrément temporel Solution exacte
0t 0I
θ2t 0I800,
θ4t 0I640,
θ6t 0I510,
θ8t 0I400,
……………. ………………
Tableau (V-2)
Figure (V-9)
0I
θ2
115
V-3 Propagation d'impulsions étroites
Du point de vue de la théorie des lignes une impulsion étroite possède une durée 0
bien inférieure au temps de propagation en ligne θ. Si on se reporte au schéma de principe de
la Figure (V-1), la fem de la source d'impulsions étroites s'exprime :
)()( twEte 00 (V-37)
Où w(t) représente une fonction impulsion qu'on définit avec les conventions habituelles :
0
0
t01tw
t0t0tw
)(
)( ou
(V-38)
Si nous regardons la tension à l'origine de la ligne ),( t0v , la méthode de résolution exposée
au paragraphe précédent aboutit à l'expression :
)(),( θn2tvρρt0v 0
n
0n
L0
(V-39)
Relation dans laquelle nous entrons la fonction )(tv0 appelée par la suite tension élémentaire:
)()()( θ2twρtwZR
ZEtv L
c0
c00
(V-40)
Les résultats portés sur la Figure (V-10) indiquent que )(tv0 comporte deux impulsions l'une
d'amplitude 0V la seconde retardée de 2θ et pondérée par le coefficient de réflexion Lρ de
l'impédance d'extrémité, 0V prend pour valeur :
c0
c00
ZR
ZEV
(V-41)
116
Figure (V-10)
La réponse à l'entrée de la ligne forme donc une série d'impulsions amorties espacées de 2θ
qu'on exprime :
0n
Ln
L00 θn2θ2twρθn2twρρVt0v )()(),( (V-42)
Cette présentation permet une description séquentielle du signal, ainsi à chaque pas temporel
multiple de 2θ correspond une impulsion dont l'amplitude figure dans le Tableau (V-3).
Incrément temporel Amplitude de v(0,t)
0t 0V
θ2t 0L0 Vρρ1 )(
θ4t 0
2L00 Vρρρ1 )(
θ6t 0
3L
200 Vρρρ1 )(
…………… ………………
θn2t 0
nL
1n
00 Vρρρ1
)(
Tableau (V-3)
)(tv0
0V
0L Vρ
0 0 t
2θ
117
S'agissant maintenant des tensions parvenant à l'extrémité de la ligne ),( tLv 0 , nous devons
attribuer à la tension élémentaire )(tv0 l'expression :
)()()( θtwρ1Vtv L00 (V-43)
Dans le Tableau (V-4) figurent les amplitudes séquentielles de ),( tLv 0 .
Incrément temporel Amplitude de v(L0,t)
θt 0L Vρ1 )(
θ3t 0L0L Vρρρ1 )(
θ5t 02
L0L Vρρρ1 )(
…………….. …………………
θ1n2t 0n
L0L Vρρρ1 )(
Tableau (V-4)
Nous allons ensuite regarder les amplitudes de ),( t0v et ),( tLv 0 sous deux configurations de
l'impédance d'extrémité suivant qu'elle est ou non adaptée, dans chaque cas l'impédance
interne de la source est adaptée.
- Source adaptée, extrémité non adaptée
Lorsque la source est adaptée, 0ρZR 0c0 , ),( t0v et ),( tLv 0 s'expriment :
)(),(
)(),(
tw1VtLv
tw1Vt0v
L00
L0
(V-44)
118
- Source et extrémité adaptées
Nous retrouvons les paramètres précédents aux quels il faut adjoindre: 0ρZR LcL .
),( t0v et ),( tLv 0 s'expriment alors :
)(),(
)(),(
θtwVtLv
twVt0v
00
0
(V-45)
L'examen des relations (V-44) et (V-45) montre que la condition totale d'adaptation aux deux
extrémités maintient l'amplitude de l'impulsion au cours de la transmission sur la ligne alors
qu'un défaut d'adaptation en extrémité modifie l'amplitude. Ce comportement a des
conséquences pratiques importantes lorsqu'il s'agit de transmettre sur des circuits
électroniques des signaux logiques rapides. En effet les défauts d'adaptation changeant
l'amplitude des signaux perçus à l'origine ou à l'extrémité des lignes, il peut en résulter des
erreurs de traitement logique. Ce phénomène encore appelé intégrité du signal intervient
principalement lors de la conception des calculateurs rapides, en effet pour les unités centrales
très performantes la durée des signaux logiques peut être comparable et dans certains cas
inférieure au temps de propagation propres des circuits électroniques.
V-4 Impédances de charge complexes
Lorsqu'une des impédances L0 ZZ ou est complexe seule une résolution numérique
itérative ou l'usage de la transformée discrète de Fourier permet dans le cas le plus général de
résoudre l'équation d'onde. En effet, les coefficients de réflexion deviennent complexes ce qui
complique sérieusement la recherche des fonctions originales des solutions aux réflexions
successives. Cependant dans quelques configurations simples des solutions analytiques sont
possibles. L'exemple qui suit concerne ce cas de figure, la ligne est connectée en extrémité sur
une impédance LZ comportant une résistance LR et une inductance LL soit :
ωLjRZ LLL (V-46)
119
La simplification majeure provient de l'adaptation de la source, une hypothèse simplificatrice
dans laquelle la résistance LR s’identifie à l'impédance caractéristique de la ligne, soit:
)(
)(
bZR
aZR
cL
c0
(V-47)
La condition (a) a pour but d'éliminer les réflexions successives afin d'atteindre une solution
analytique, la condition (b) facilite l'interprétation physique du résultat. Pour rechercher le
courant à l'origine de la ligne nous procéderons en trois étapes: nous exprimons tout d'abord le
spectre fréquentiel du courant, ensuite nous transposons le spectre dans le domaine
symbolique de façon à déterminer la fonction originale du courant. En effet, le spectre ),( ω0I
du courant s'exprime sous la forme:
0kLj2L
c
0 eωρ1Z2
ωEω0I
)(
)(),( (V-48)
Dans cette relation figurent la pulsation ω, le coefficient de réflexion complexe )(ωρL et le
spectre )(ωE0 de la fem délivrée par la source qui n'est autre que la transformée de Fourier de
)(te0 :
0
tωj000 dteteteωE )()(TF)( (V-49)
)(ωρL prend pour expression complexe :
cLL
cLLL
ZωLjR
ZωLjRωρ
)( (V-50)
La condition (V-47-b) imposée à la composante réelle de LZ a pour conséquence d'alléger
cette relation:
120
ωLjZ2
ωLjωρ
Lc
LL
)( (V-51)
Cette expression combinée à (V-48) donne la solution symbolique du courant :
θp2
Lc
L
c
0 epLZ2
pL1
Z2
pEp0I
)(),( (V-52)
La fem transitoire )(te0 étant assimilée à un échelon d'amplitude 0E , sa transformée
symbolique s'exprime :
p
EpE 0
0 )( (V-53)
L'expression (V-52) prend alors pour développement :
θp2
Lc
L
c
0
c
0 epLZ2
L
Z2
E
p
1
Z2
Ep0I
),( (V-54)
Relation que nous pouvons écrire d'une manière plus compacte :
p2
L
c
00 e1
p
1
Z2
E
p
Ip0I
),( (V-55)
Nous reconnaissons dans cette expression l'amplitude du front de courant 0I généré au début
du transitoire, soit:
c
00
Z2
EI (V-56)
L représente la constante de temps caractérisant l'inductance connectée à l'extrémité de la
ligne soit
121
c
LL
Z2
L (V-57)
De l'expression symbolique (V-55) nous déduisons aisément la fonction originale suivante::
)()(),(),(
2tetIp0It0i L
2t
01-
TL (V-58)
La Figure (V-11) représente une simulation théorique montrant l'évolution de ),( t0i lorsqu'on
la constante de temps τ prend la valeur particulière :
2L (V-59)
Figure (V-11)
L'examen de cette courbe permet de dissocier les contributions respectives des deux membres
composant la relation (V-58). En effet, tant que t est inférieur à 2θ le courant à l'origine de la
ligne s'apparente à un échelon d'amplitude 0I , à l'instant t=2θ le front d'onde réfléchi sur
l'extrémité de la ligne parvient à l'origine. Ce front correspond aux composantes hautes
fréquences du spectre, en conséquence l'inductance connectée en extrémité équivaut durant le
transitoire à un circuit ouvert qui envoie vers la source un front de courant d'amplitude
opposée à 0I , ce phénomène porte l'amplitude instantanée du courant à zéro. Aux instants un
0I
θ2
122
peu supérieurs à 2θ nous entrons dans les composantes plus basse fréquence du spectre du
front d'onde l'impédance présentée par l'inductance diminue ce qui explique la remontée du
courant. Aux temps très supérieurs à θ2 la solution tend vers l'amplitude prévue par
l'hypothèse statique, c'est à dire :
c
00
Z2
EIt0it ),( (V-60)
Une alternative à cette méthode consiste à exprimer directement la transformée de Fourier
inverse de la relation (V-48) que nous présentons au moyen du produit de convolution de
fonctions :
)(*)(*)()()I(0,TF),( -1 θ2tδtρtγItγIωt0i L00 (V-61)
Dans ce cas )(tρL représente la transformée de Fourier inverse du coefficient de réflexion,
soit:
ωdeωLjZ2
ωLj
π2
1ωρtρ tωj
Lc
LLL )(TF)( 1- (V-62)
En faisant usage de la transformée de Fourier de la fonction harmonique nous obtenons la
fonction remarquable:
)(TF 1- θ2tδωde
π2
1e 00 kLtωjkLj
(V-63)
Il s'agit de la mesure de Dirac retardée de 2θ. En étendant cette propriété au calcul de la
transformée de Fourier du coefficient de réflexion nous obtenons l'expression analytique :
)()()( tγeτ
1tδtρ τ
t
L
(V-64)
L'expression (V-61) établie plus haut peut alors se développer comme suit :
123
)(*)()()(*)(*)( θ2tδυdυρtυγθ2tδtρtγ LL
(V-65)
Expression qui prend pour forme analytique :
)()(*)()( θ2tγeθ2tδυdυρtυγ θ2tL
(V-66)
L'insertion de cette fonction dans (V-61) permet de retrouver une solution tout à fait identique
à la précédente (V-58) déterminée avec le calcul symbolique.
V-5 Effet de la dissipation d'énergie dans les lignes
Dans les développements qui précèdent abstraction était faite des dissipations
d'énergie dans les lignes, il existe généralement trois sources de dissipations réparties de la
manière suivante :
1) Dissipation par la résistance des conducteurs
2) Pertes dans les diélectriques d'isolement primaire des lignes
3) Fuite d'énergie par rayonnement
Nous regarderons plus particulièrement la dissipation dans les conducteurs, en effet bien que
composé de matériaux possédant une conductivité électrique très élevée la circulation des
courants dans les conducteurs engendre une dissipation d'énergie ayant pour conséquence une
atténuation des signaux transportés par la ligne. Dans ce cas la constante de propagation
devient une quantité complexe dans laquelle figure une composante réelle homogène à une
atténuation linéique. A cette première cause de dissipation d'énergie s'ajoutent des
phénomènes d'induction dans le diélectrique composant l'isolement primaire de la ligne. Les
pertes dans le diélectrique ont pour origine des contraintes moléculaires microscopiques
introduites par les oscillations entretenues du champ électrique. Ces phénomènes de
124
dissipation sont habituellement contenus dans la composante imaginaire ''rε de la permittivité
électrique relative complexe *rε que nous exprimons:
'''*rrr εjεε (V-67)
Il faut préciser que la composante réelle 'rε concerne uniquement l'action des courants de
déplacement que nous définissons au sixième chapitre du cours.
La composante imaginaire ''rε va donc ''
rε participer à l'atténuation des signaux, cependant on
estime en pratique que son influence n'est perceptible qu'à des fréquences élevées supérieures
à 100 MHz.
Les fuites produites par le rayonnement concernent seulement les structures ouvertes illustrées
par les lignes bifilaires pour lesquelles une partie de l'énergie électromagnétique transportée
se trouve dispersée dans une direction perpendiculaire à l'axe de propagation (oz).
Inversement dans un câble coaxial la propagation de l'énergie est confinée uniquement
suivant oz, il ne peut donc y avoir dispersion d'énergie autrement que par effet Joule ou
diffraction par des ouvertures qui seraient situées sur la périphérie du conducteur extérieur. La
perte d'énergie engendrée dans les lignes bifilaires se caractérise également par une
atténuation dont les propriétés ne sont plus assimilables à une constante linéique. En pratique
sur les lignes bifilaires utilisées pour les besoins de télécommunication les phénomènes de
rayonnement sont rarement perceptibles, ils jouent aux fréquences supérieures au GHz. Afin
d'introduire la contribution des dissipations par effet Joule et par induction diélectrique nous
devons aménager la technique de résolution des équations d'onde en révisant tout d'abord la
composition des schémas équivalents des lignes.
- Equation d'onde tenant compte des dissipations d'énergie
Pour introduire les phénomènes de dissipation d'énergie nous ajoutons deux éléments
au schéma la Figure (III-2) du troisième chapitre, il s'agit de la résistance ΔR et de la
conductance ΔG indiquées sur la Figure (V-12). La résistance et la conductance s'expriment
au moyen de la résistance linéique R et de la conductance linéique G de la ligne réunies dans
les conventions de présentation habituelles.
125
zΔGGΔ
zΔRRΔ
(V-68)
Figure (V-12)
L'adoption de ce nouveau schéma conduit aux équations des télégraphistes modifiées:
VωCjGzd
Id
IωLjRzd
Vd
)(
)(
(V-69)
Equations que nous pouvons présenter de manière plus compacte en insérant l'impédance
linéique Z et de l'admittance linéique Y données par les relations:
ωCjGY
ωLjRZ
(V-70)
Sous ces conditions les équations précédentes (V-69) deviennent :
VYzd
Id
IZzd
Vd
(V-71)
ΔL ),( tzΔzi ),( tzi
ΔC
),( tzv ),( tzΔzv
Δz
ΔG
ΔR
126
Relations aux quelles nous ferons correspondre les équations d'onde suivantes:
0Vγzd
Vd
0Iγzd
Id
2
2
2
2
2
2
(V-72)
La constante de propagation intervenant dans ces expressions s'exprime sous la forme d'une
quantité complexe possédant une partie réelle et une partie imaginaire.
YZγ (V-73)
Nous attribuons donc à la première équation d'onde du couple (V-72) les solutions générales
suivantes:
zγzγ eBeAzI )( (V-74)
zγzγc eBeAZzV )( (V-75)
Nous remarquerons que l'impédance caractéristique qui figure dans ces relations s'exprime
également sous la forme d'une quantité complexe:
Y
ZZ c (V-76)
γ et cZ s'expriment à l'aide de formules compliquées qui heureusement se simplifient lorsque
la fréquence des signaux et suffisamment grande et qu'en plus la ligne possède une
conductance linéique négligeable. Les développements proposés juste au-dessous apportent le
principe de ces simplifications.
127
- Expressions analytiques simplifiées de : cZγ et
Les relations (V-73) et (V-76) expriment la constante de propagation et l'impédance
caractéristique sous les formes générales valables quelque soit la fréquence que nous
écrivons:
βjαωCjGωLjRγ (V-77)
ccc XjRωCjG
ωLjRZ
(V-78)
α représente l'atténuation linéique de la ligne et β la constante de phase linéique, cR la
composante réelle de l'impédance caractéristique , cX sa composante réactive. Si nous
considérons le cas d'une ligne adaptée en extrémité, les solutions de l'équation d'onde se
réduisent à la seule onde progressive que nous exprimons :
)()(
)(
zIZzV
eeAzI
c
zβjzα
(V-79)
α doit prendre une valeur positive puisque l'atténuation du courant (ou de la tension) ne peut
que croître avec l'éloignement par rapport à la source. β s'apparente au nombre d'onde k
utilisé précédemment pour les lignes non dissipatives.
Il faut maintenant mentionner que dans la plupart des applications la contribution de la
conductance linéique peut être négligée, cette hypothèse sera considérée pour la suite des
développements :
0G (V-80)
En pratique les expressions (V-77) et (V-78) peuvent être simplifiées à condition que la
fréquence des signaux soit suffisamment grande, le critère retenu suppose que la réactance
linéique soit très supérieure à la résistance linéique de la ligne, soit:
128
RωL (V-81)
Pour entreprendre les simplifications nous présentons l'expression (V-77) sous la forme:
2
1
ωL
Rj1CLωjγ
(V-82)
La condition (V-81) permet l'usage d'un développement limité que nous exprimons:
........
ωL2
Rj1CLωjγ (V-83)
Ainsi α et β prennent pour valeurs approchées :
ωL2
kRα (V-84)
kβ (V-85)
Avec ce protocole de présentation l'expression de l'impédance caractéristique (V-78) devient:
2
1
cωL
Rj1
C
LZ
(V-86)
Relation que nous pouvons simplifier après développement au premier ordre:
.........
ωL2
Rj1
C
LZ c (V-87)
De cette formule nous pouvons extraire les valeurs approchées de cc XR et soit :
129
C
LRc (V-88)
L2
RRX c
c (V-89)
Cependant l'usage attribue à α et cX des présentations différentes dans lesquelles figurent la
résistance caractéristique cR et le nombre d'onde k des lignes non-dissipatrices, ce qui amène
aux relations:
cR2
Rα (V-90)
k2
RX c (V-91)
Etant donné qu'aux fréquences considérées cX est très inférieure à cR l'usage incite à ignorer
la contribution de cette composante réactive, par contre la contribution de α ne peut être
éliminée.
- Evaluation de l'atténuation d'une ligne de transmission
Considérons une ligne de transmission de dimension 0L connectée à une source de
fem pure 0E , la ligne est adaptée en extrémité. Nous définissons l'atténuation 0LA de l'onde
progressive par les rapports des valeurs absolues des courants (ou tensions) déterminé(e)s
respectivement à l'entrée et à l'extrémité de la ligne, soit:
0
0
Lα
00
L eLV
0V
LI
0IA
)(
)(
)(
)( (V-92)
Par le biais de la relation (V-92) nous pouvons relier l'atténuation linéique α et l'atténuation
complète 0LA au moyen de l'expression:
130
0L
0
AL
1α Log (V-93)
L'intervention du logarithme népérien dans la relation (V-93) détermine l'unité adoptée pour la
constante linéique α qu'on désigne par des Neper / m , 0LA peut être également convertie en
déciBell , soit dBA :
0LdB A20A log (V-94)
Expression que nous pouvons écrire sous la forme alternative:
0Lα
dB Lα688e20A 0 ....,log (V-95)
De cette expression nous déduisons l'atténuation linéique exprimée en dB / m :
α688L
Aα
0
dBdB , (V-96)
- Application numérique
Une ligne possède pour paramètres physiques primaires:
Inductance linéique mnH250L /
Capacité linéique mpF100C /
Résistance linéique mΩm10R /
D'après la relation (V-88) nous calculons une impédance caractéristique (composante réelle)
dont la valeur se situe à : Ω50Rc . Nous devons déterminer la fréquence minimale à partir
de la quelle les simplifications (V-81) adoptées plus haut restent valables, soit :
kHz36L
R
π2
1f , (V-97)
131
Par précaution nous choisissons une limite voisine de dix fois cette fréquence, soit:
kHz63f min dans ce cas nous avons la certitude que les expressions analytiques approchées
s'appliquent avec une précision acceptable. Pour l'exemple considéré les atténuations
linéiques déduites des relations (V-90) et (V-96) prennent pour valeurs respectives :
mdB10688α
mNeper10α
4dB
4
/,
/
(V-98)
Ces données numériques peuvent paraître très faibles, toutefois nous allons montrer que pour
apprécier l'effet de l'atténuation il faut tenir compte de la dimension 0L du câble. Les valeurs
numériques des rapports A et dBA donnés par les expressions (V-90) et (V-92) sont
rassemblées dans le Tableau (V-5) pour un câble dont la dimension varie de 10 m à 100 km.
Dimension du câble Rapport A Rapport A dB
10 m 0011, dB10688 3,
100 m 011, dB10688 2,
1 km 251, dB860,
10 km 782, dB68,
100 km 41022, dB86
Tableau (V-5)
Ces chiffres indiquent que l'action sur 0L a un impact considérable sur l'atténuation globale
de la ligne, pour l'application considérée α intervient surtout lorsque la dimension du câble
dépasse le kilomètre l'atténuation est encore amplifiée aux fréquences élevées à cause de
l'accroissement de la résistance linéique des conducteurs due au mécanisme de diffusion des
courants dans les matériaux à grande conductivité électrique ce point sera étudié au cours du
prochain paragraphe. Nous regardons maintenant l'évolution de la composante réactive cX de
l'impédance caractéristique de la ligne pour des fréquences variant de 100 kHz à 1 GHz dont
les données numériques sont rassemblées dans le Tableau (V-6).
132
Fréquence Rc Xc
100 kHz 50 Ω -4,7 Ω
1 MHz 50 Ω -0,47 Ω
10 MHz 50 Ω -0,047 Ω
100 MHz 50 Ω -0,0047 Ω
1 GHz 50 Ω -0,00047 Ω
Tableau (V-6)
L'exemple confirme donc que la contribution de la composante réactive de l'impédance
caractéristique est tout à fait négligeable dés que la condition (V-81) sur la fréquence est
satisfaite.
V-6 Effets engendrés par l'impédance superficielle des conducteurs
Au cours du paragraphe précédent nous avons attribué à la résistance des conducteurs
la valeur calculée pour le courant continu. En réalité dés que la fréquence des signaux
transportés par la ligne dépasse quelques centaines de kilohertz la résistance s'accroît, ce
phénomène est provoqué par l'impédance superficielle des conducteurs. En effet, à la
résistance s'ajoute une composante réactive qui suivent toutes deux une évolution croissante
avec la fréquence. L'étude de l'impédance de surface les conducteurs filiformes relève de la
propagation des ondes hertziennes cylindriques dans les milieux conducteurs, toutefois les
développements qui suivrent seront basés sur l'usage de simplifications facilitant l'exploitation
de formules applicables dans la plupart des problèmes pratiques. Considérons un câble coaxial
auquel nous attachons le repère cylindrique o,ρ,φ,z de la Figure (V-13).
133
Figure (V-13)
Les théories électrostatiques et magnétostatiques exposées au paragraphe (III-2) du troisième
chapitre montrent qu'à la propagation de l'onde dans le câble s'associent une composante
magnétique angulaire φH due au courants I circulant dans les conducteurs et une composante
de champ électrique radiale ρE due à la tension transverse V appliquée entre le conducteur
intérieur et le conducteur extérieur. Du point de vue électromagnétique les composantes φH et
ρE transportent l'énergie dans la direction longitudinale oz , à cause de la conductivité
électrique certes très importante mais non infinie des conducteurs une partie de l'énergie
longitudinale diffuse dans la direction radiale, ce phénomène provoque une propagation
transversale de l’énergie. A la surface de ces conducteurs va donc apparaître une composante
de champ électrique orientée parallèlement à l'axe oz, elle est notée par la suite tzE , l'indice t
signifie qu'il s'agit d'une composante tangentielle dont l'amplitude est bien inférieure à la
composante radiale ρE :
ρtz EE (V-99)
L'impédance linéique de surface est donc définie par le rapport de la composante tangentielle de
champ électrique et du courant traversant la section du conducteur considéré.
o
ρ
φ
z
e
extD
I
V
d
134
a) Expressions générales des impédances de surface d'un câble coaxial
- Conducteur intérieur
L'impédance linéique de surface intSZ du conducteur intérieur est donnée par
l’expression ci dessous dans laquelle tzE int correspond bien évidemment au champ électrique
trouvé en surface:
I
EZ
tz
S
int
int (V-100)
En toute rigueur pour mener le calcul nous devons résoudre l'équation d'onde cylindrique des
champs se propageant dans le conducteur intérieur. Des développements qui ne seront pas
démontrés indiquent que cette équation possède pour solutions des fonctions de Bessel de
première espèce amenant à l'expression suivante de intSZ :
)(J
)(J
1
0int
aγ
aγ
γaπ2
ωμjZ
m
m
m
0S (V-101)
Dans cette relation a représente le rayon du conducteur intérieur soit :
2
da (V-102)
10 JetJ sont les fonctions de Bessel de première espèce d'ordre zéro et d'ordre un, σ la
conductivité électrique du conducteur exprimée S / m, mγ la constante de propagation des
ondes électromagnétiques calculée dans le milieu conducteur:
σωμjγ 0m (V-103)
L'évaluation de intSZ peut s'effectuer à l'aide des fonctions de Bessel tabulées ou au moyen
des formules approchées démontrées aux sous paragraphes b) et c).
135
- Conducteur extérieur
Pour déterminer l'impédance de surface du conducteur extérieur nous pouvons
rigoureusement exprimer les champs électromagnétiques par les solutions de l'équation des
ondes cylindriques en parvenant à une formule bien plus complexes que la relation (V-101).
Pour simplifier nous admettrons que l'impédance de surface s'assimile dans ce cas à la
pénétration d'ondes planes à travers un plan conducteur dont l'épaisseur doit être bien plus
petite que le diamètre du conducteur extérieur:
extDe (V-104)
En pratique cette condition géométrique étant amplement satisfaite nous exprimerons extSZ à
l'aide des théories exposées au sixième chapitre du cours (paragraphe VI-6) l'expression
obtenue tient compte du coefficient amρ déterminant la réflexion des ondes
électromagnétiques sur l'interface métal air :
eγ2
eγ2
mS
m
m
eρ1
eρ1
σDπ
γZ
am
am
ext
ext (V-105)
Le coefficient amρ provient de la définition usuelle des mécanismes de réflexion d'ondes planes ou
unidimensionnelles:
mww
mww
ZZ
ZZρ
am (V-106)
Dans cette expression wmw ZZ et représentent respectivement les impédances d'onde du
matériau conducteur et de l'air données par les relations:
σ
ωμjZ 0
mw (V-107)
136
Ω377π120ε
μZ
0
0w (V-108)
Le contenu du Chapitre-VI précise que ces deux paramètres physiques sont tout à fait
l'analogue de l'impédance caractéristique des lignes de transmission. Ainsi l'exploitation de la
relation (V-105) permettra de trouver des formules alternatives valables aux fréquences basses
ou au fréquences hautes.
b) Expressions de l'impédance de surface valables aux basses fréquences
- Conducteur intérieur
Les démonstrations seront facilitées par l'introduction de la profondeur de pénétration δ
Que nous relions très simplement à l'argument des fonctions de Bessel de la relation (V-101):
δ
aaγm (V-109)
La profondeur de pénétration est donc homogène à un facteur dimensionnel caractérisant la
diffusion des ondes électromagnétiques à travers un matériau conducteur, nous pouvons lui
adjoindre l'expression:
0
2 (V-110)
La profondeur de pénétration caractérise aussi l'atténuation de l'onde propagée dans le métal, ainsi
les démonstrations trouvées au Chapitre-VI montrent que tout se passe comme si l'énergie
électromagnétique entrant dans le métal était concentrée dans une couche fictive d'épaisseur égale à
δ. D'après la relation (V-110) nous voyons que la diffusion du champ dans le matériau est d'autant
plus faible que la fréquence de l'onde est élevée. Un exemple numérique nous aidera à estimer
l'ordre de grandeur de δ pour une onde pénétrant dans le cuivre dont la conductivité électrique a
pour valeur : mS1085σ 7 /, , les données numériques figurant dans le Tableau (V-6) montrent la
diminution de δ lorsque la fréquence évolue de 10 kHz à 10 GHz. Ces chiffres indiquent qu'au-
137
dessus d'une dizaine de MHz la pénétration des champs et courants dans le cuivre est inférieure à
une dizaine de μm.
Si nous revenons aux simplifications envisagées pour la relation (V-101), le domaine des basses
fréquences va correspondre à une profondeur de pénétration très supérieure au rayon du
conducteur:
aδ (V-111)
Il en résulte que l'argument contenu dans les fonctions de Bessel devient très inférieur à l'unité,
nous pouvons donc confondre ces fonctions mathématiques avec leur développement limité au
premier ordre:
1aγm (V-111)
aγaγ
1aγ
mm
m
)(J
)(J
1
0
(V-113)
intSZ prend donc pour expression approchée:
σaπ2
1Z
2S int (V-114)
Relation qui n'est autre que la résistance en courant continu du conducteur.
138
Fréquence Profondeur de pénétration δ
10 kHz 0,66 mm
100 kHz 0,22 mm
1 MHz 66 µm
10 MHz 20µm
100 MHz 6,6 µm
1 GHz 2 µm
10 GHz 666 nm
Tableau (V-6)
- Conducteur extérieur
La profondeur de pénétration étant très supérieure à l'épaisseur du conducteur l'argument
contenu dans les fonctions exponentielles de la relation (V-105) se situe très au-dessous de
l'unité :
eδ1eγm ou (V-115)
Ces conditions incitent à prendre le développement limité au premier ordre de ces fonctions:
eγ21e meγ2 m
(V-116)
De plus il apparaît que l'impédance d'onde des matériaux bons conducteur se situe très au-
dessous de 377 Ω la valeur de l'impédance d'onde de l'air, ce qui permet d'écrire sur les
valeurs absolues une inégalité génératrice de simplifications:
wmw ZZ (V-117)
En conséquence nous pouvons établir l'approximation pour les basses fréquences de la
relation (V-105) :
139
σeDπ
1Z S
ext
ext (V-118)
Expression qui n'est autre que la résistance en courant continu du conducteur tubulaire.
c) Expressions de l'impédance de surface aux fréquences hautes
- Conducteur intérieur
La profondeur de pénétration devenant très inférieure au rayon du conducteur l'argument
faisant intervenir la constante de propagation dans le métal est très supérieur à l'unité:
aδ1aγm ou (V-119)
Il est donc légitime d'exprimer les fonctions de Bessel de la relation (V-101) sous la forme de
développements asymptotiques disponibles dans les traités mathématiques:
4
πaγ
aγπ
2aγ m
m
m cos)(J 0 (V-120)
4
πaγ
aγπ
2aγ m
m
m sin)(J1 (V-121)
La constante de propagation mγ étant une variable complexe il en sera de même pour l'argument,
ces considérations amènent à exprimer les développements sous des relations encore plus
compactes que les précédentes:
4
πjeγ
m
m e2
e
aγπ
2aγ
m
)(J 0 (V-122)
4
πjeγ
m
m ej2
e
aγπ
2aγ
m
)(J1 (V-123)
140
L'entrée de ces expressions dans la formule (V-101) aboutit à l'impédance de transfert
approchée valable pour les hautes fréquences:
intintint SS0
S XjRj1σ2
μω
aπ2
1Z (V-124)
Nous voyons qu'il s'agit d'une valeur complexes comportant deux composantes identiques dont le
comportement suit une loi proportionnelle à la racine carrée de la fréquence:
σ2
μω
aπ2
1XR 0
SS intint (V-125)
Dans la plupart des ouvrages d'électricité les éléments de ces relations sont exprimés en
fonction de la profondeur de pénétration δ :
σδaπ2
1XR SS intint (V-126)
Une présentation alternative à ces formules consiste à introduire la contribution de la
résistance de surface intSR et de l'inductance de surface intSL conformément à la convention
suivante:
ωLjRZ SSS intintint (V-127)
De la relation (V-125) il est donc facile d'extraire la valeur de intSL :
σω2
μ
aπ2
1L 0
S int (V-128)
141
Ainsi la résistance intSR et l’inductance de surface intSL sont équivalentes à celles présentées
par un conducteur tubulaire fictif de diamètre 2a qui aurait pour épaisseur la profondeur de
pénétration δ.
- Conducteur extérieur
L'argument des fonctions devenant très supérieur à l'unité la contribution de l’exponentielle peut
être négligée:
0eeδ1eγeγ
mm
(V-129)
D'après la relation (V-105) nous déduisons aisément l'expression asymptotique de extSZ :
σ
ωμj
Dπ
1Z 0
S
ext
ext (V-130)
Si nous adoptons une présentation semblable à l'équation (V-124) nous parvenons à des
composantes complexes également identiques:
tStS0
S XjRj1σ2
μω
Dπ
1Z extext
ext
extt (V-131)
La résistance extSR et de l'inductance de surface extSL permettent également d’établir le lien
avec la profondeur de pénétration retrouvé dans les expressions :
σδDπ
1RS
ext
ext (V-132)
σω2
μ
Dπ
1L 0
S
ext
ext (V-133)
En utilisant la formulation précédente nous obtenons:
142
ωLjRZ SSS extextext (V-134)
Ainsi aux fréquences élevées l'impédance de surface du conducteur extérieur est équivalente à
l'impédance d'un conducteur tubulaire de diamètre extD possédant une épaisseur fictive égale
à la profondeur de pénétration δ.
d) Impact de l'impédance de surface sur l'atténuation linéique des lignes
S'il est tenu compte de l'impédance de surface l'expression (V-90) donnant l'atténuation
linéique de la ligne doit être aménagée, elle devient :
c
SS
Z
ZZα
extintR (V-135)
Le symbole "R" signifie qu'il s'agit de la composante réelle, il faut aussi signaler que dans la
plupart des cas nous pourrons confondre cZ avec sa composante réelle cR .
- Application numérique
Considérons un câble coaxial ayant pour caractéristiques géométriques :
mm1emm12Dmm3d ext
Pour caractéristiques physiques :
mS1085σ352ε 7r /,,
Nous obtenons pour paramètres linéiques primaires:
mpF157CmnH240L //
Pour paramètres secondaires (impédance caractéristique et vitesse de propagation) :
sm102vΩ50Z 80c /
Pour les résistances en courant continu :
mΩm450RmΩm4,2R /,/ extint
Quantités aux quelles nous attribuons des atténuations linéiques exprimées en Neper par mètre et
en dB par mètre:
143
mdB1052αmNeper1082α 4dB
5 /,/,
Le câble coaxial considéré dans cet exemple possède donc une résistance de surface et une
inductance de surface dont le Tableau (V-7) rassemble les variations pour des fréquences
comprises entre 10 kHz et 10 GHz.
Fréquence RS LS
kHz10 mΩm463 /, mnH55 /
kHz100 mΩm10 / mnH17 /
MHz1 mΩm34 / mnH55 /,
MHz10 mΩmO10 / mnH71 /,
MHz100 mΩm340 / mnH550 /,
GHz1 mΩ1 / mnH170 /,
GHz10 mΩ43 /, mnH0550 /,
Tableau (V-7)
Dans ces calculs nous pouvons accepter l'hypothèse des hautes fréquences étant donné qu'à la
fréquence de 10 kHz la profondeur de pénétration dans le cuivre est égale à 0,66 mm, c'est à
dire inférieure à l'épaisseur du conducteur extérieur et au rayon du conducteur intérieur du
câble. L'accroissement de la résistance de surface révélé par cette application va engendrer
une augmentation de l'atténuation linéique du câble. D'autre part la vitesse de propagation des
ondes est aussi influencée par l'inductance de surface SL , en effet ce terme s'ajoute à
l'inductance linéique L encore appelée inductance externe ce qui donne l'inductance totale
exprimée ci dessous:
SLLL tle (V-136)
La variation de l'inductance engendrée par ce phénomène va jouer sur la vitesse de
propagation '0v dans le câble que nous exprimons:
144
CL
1v0
tle
' (V-137)
Relation que nous pouvons aussi écrire en faisant apparaître la vitesse de propagation des ondes
0v dans un câble dépourvu de dissipation, soit:
2
1
S
00
L
L1
vv
' (V-138)
Pour l'application numérique envisagée les données reproduites dans le Tableau (V-8)
comportent l'atténuation corrigée par l'accroissement de la résistance de surface, la
composante réactive de l'impédance caractéristique tenant compte de l'impédance de surface
ainsi que la vitesse de propagation des ondes rapportée à 0v . Les chiffres illustrés par cet
exemple montrent que la contribution de la résistance de surface intervient principalement sur
l'atténuation linéique, en ne considérant que la contribution des résistances calculées pour le
courant continu l'atténuation est invariante et se situe à mdB1052 4 /, , alors qu'à la
fréquence de 100 MHz la participation de la résistance de surface engendre une atténuation
mdB1043 2 /, soit 42 dB de plus ! D'autre part cette application numérique confirme que la
composante réactive de l'impédance caractéristique reste négligeable et que la variation de la
vitesse de propagation est dans le cas le plus défavorable 10 % inférieure à celle estimée sans
dissipation. Nous remarquerons que c'est aux fréquences basses que le ralentissement des
ondes est le plus sensible puisque le courant se réparti sur la presque totalité de la section des
conducteurs.
145
Fréquence Atténuation dB/m Xc v'0
kHz10 mdB1043 4 /, Ω10 0v9010,
kHz100 mdB1068 4 /, Ω3 0v9660,
MHz1 mdB1043 3 /, Ω1 0v9880,
MHz10 mdB1068 3 /, Ωm300 0v9960,
MHz100 mdB1043 2 /, Ωm100 0v9980,
GHz1 mdB1068 2 /, Ωm30 0v9990,
GHz10 mdB340 /, Ωm10 0v
Tableau (V-8)
146
147
Références bibliographiques
[1] S.A. Shelkunoff
«The electromagnetic theory of coaxial transmission lines and cylindrical shields»
Bell Sytems Technical Journal, pp 533 – 579, October 1934
[2] R.E. Collin
« Field theory of guided waves »
Ed. Mac Graw-Hill, New York, 1960
[3] R.F. Harrington
« Time harmonic electromagnetic fields »
Ed. Mac Graw-Hill, New York, 1961
[4] P. Grivet
« Physique des lignes de hautes fréquences et d’ultra hautes fréquences » Tome I
Edition Masson, 1969
[5] R. Gabillard
« Vibrations et phénomènes de propagation »
Editions Dunod, 1970
[6] G. Metzger et J.P. Vabre
« Electronique des impulsions », Tome II
Editions Masson, 1970
