Enseigner le calcul mental au cycle 3

Formation Décembre 2015

Aurélie BELLANGER-RAOUL

enseignante-ressources en sciences

Déroulé

Sur quoi s’appuie le calcul mental ?

Enseigner les faits numériques & les procédures

Des ressources pratiques : du matériel, des activités ritualisées…

Pause

Ateliers: jeux

Calcul mental : pas de traitement écrit du calcul lui-même, même si l’énoncé du calcul, le résultat et éventuellement des

résultats intermédiaires peuvent être écrits.

Intérêt social du calcul mental Usage du calcul mental dans la vie quotidienne du Chat !

«…les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne…»

Le calcul mental dans la vie courante, quelques exemples…

Calcul de la monnaie qui doit être rendue

(complément à…)

Calcul du nouveau prix après réduction (pourcentage)

Calcul des proportions d’une

recette de cuisine (proportionnalité)

Vérification d’une addition au restaurant (calcul approché)

Calcul d’une quantité de peinture

à acheter (calcul d’une surface et division) …

Intérêts pédagogiques du calcul mental en lien avec tous les autres domaines mathématiques

CALCUL MENTAL

Numération et calcul

Ex: Ajouter +30 numération décimale

de position

25 X 100 = 2500 25 centaines

Espace et géométrie

Ex: Trouver le milieu d’un segment.

Agrandissement réduction d’une figure.

Grandeurs et mesures

ex: calcul d’une

somme d’euros ou d’une durée.

Organisation et gestion des données

Ex: proportionnalité

Calculer mentalement

Développer des stratégies

personnelles, des procédures de calcul adaptées aux nombres en présence.

8

En résumé …

Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne

La limite entre automatisé et réfléchi

Voici une façon de situer approximativement notre propre limite entre calcul automatisé/réfléchi:

l’endroit où la réponse n’est plus immédiate (avec une marge de quelques secondes).

ADDITION

6+4 12+18

250 + 650 127 + 190 326 + 544 774 + 689

SOUSTRACTION

6-1 19 - 7

100 - 45 37 - 22

860 - 515 774 - 389

MULTIPLICATION

7 x 8 15 x 10 7 x 15 6 x 17 24 x 24 39 x 102

DIVISION

10 / 2 100 / 4 63 / 7

17 200 / 100 105 / 5 972 / 27

L’aisance calculatoire est fortement corrélée à une partie automatisée riche.

Un calcul pour dégager les différentes procédures

31 – 18 = …

Un calcul pour dégager les différentes procédures

31 – 18 = … 13

13

Un calcul soustractif pour dégager les différentes procédures

Décompostion « Jalonnement » : Calcul de l’écart en « avançant » par bond en passant par des nombres « ronds ».

Décomposition : Calcul de l’écart en « reculant » par bond en décomposant le second terme.

Exemple : 31 – 18 = 31 - (1 + 10 + 7) = 31 - 1 - 10 - 7

Pivotement : Enlever trop et ajuster.

Décalage : « C’est comme »

A partir du Calcul mental au quotidien cycles 2 et 3, François Boule, SCEREN

Un calcul pour dégager les différentes procédures

31 – 18 = … 13

•Calculer l’écart « 18 pour aller à 31 » •Décomposer 18

•Enlever trop et ajuster •Décaler, « c’est comme »

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Un calcul soustractif pour dégager les différentes procédures

« Jalonnement » : Calcul de l’écart en « avançant » par bond en passant par des nombres « ronds ».

Décomposition : Calcul de l’écart en « reculant » par bond en décomposant le second terme.

Exemple : 31 – 18 = 31 - (1 + 10 + 7) = 31 - 1 - 10 - 7

Pivotement : Enlever trop et ajuster.

Décalage : « C’est comme »

A partir du Calcul mental au quotidien cycles 2 et 3, François Boule, SCEREN

Sur quoi s’appuie le calcul mental ?

des résultats mémorisés

une habileté à décomposer des nombres

les propriétés des opérations

Les propriétés des opérations

Le calcul mental s’appuie et renforce les connaissances des propriétés des opérations.

La commutativité

permet de modifier l'ordre

des termes sans changer

le résultat.

ex: 65 + 13 + 5 = 65 + 5 + 13

L’associativité

permet de changer l'ordre

des calculs sans changer

le résultat.

ex: 10 x 25 x 10 = 10 x 10 x 25

La distributivité

permet de distribuer une

opération sur les autres termes du

calcul.

ex: 53 x 30 = 50x30 + 3x30

Enseigner le calcul mental

Enseigner des procédures

Enseigner des faits numériques

Enseigner le calcul approché

Enseigner les faits numériques

Entraîner la mémoire des

nombres

jeu de mémoire visuelle

100 000 908

4820 34

calcul mental ~ Cycle 3 23

jeu de mémoire visuelle

? ?

? ?

jeu de mémoire visuelle

100 000 908

4820 34

calcul mental ~ Cycle 3 25

jeu de mémoire auditive

18,3

23,06

0,65

calcul mental ~ Cycle 3 26

calcul mental ~ Cycle 3 27

jeu de mémoire auditive

?

?

?

jeu de mémoire et traitement Ecrire dans l'ordre croissant

calcul mental ~ Cycle 3 28

99,8

100,1

99,09

jeu de mémoire et traitement (1) Ecrire dans l'ordre croissant

?

?

?

jeu de mémoire et calcul Multiplier par 100

208

723,6

0,65 30

jeu de mémoire et calcul (2) Multiplier par 100

?

?

?

Enseigner le calcul mental

Enseigner des procédures

Enseigner des faits numériques Mémoire des nombres

Enseigner le calcul approché

Enseigner les tables

Structurer les résultats des tables

Structuration des résultats « Il est plus facile de mémoriser un ensemble de résultats qui sont structurés, qui ont du lien entre eux, qu’un ensemble de résultats qui sont tous isolés les uns des autres » Roland Charnay, professeur de mathématiques en IUFM

•Disposer de la connaissance de la commutativité de la multiplication permet une économie de 50% de mémorisation. Connaître 6 x 7, c’est connaître 7 x 6 •Etre capable de raisonner sur la différence entre 7 x 6 et 7 x 7 permet de retrouver plus facilement un résultat non mémorisé (7 x 7). •Disposer de résultats particuliers : doubles, carrés…

36

Synthèse des résultats La table de Pythagore

Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne

Structuration des résultats

Doubles

Carrés

Il reste 42 résultats à mémoriser

Doubles

38

Structuration des résultats

Commutativité

Résultats reconstruits à partir des doubles et des carrés

Il reste 10 résultats à mémoriser Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne

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Outil d’apprentissage

Dans un tableau propre à chaque élève, chacun ne conserve que les résultats non mémorisés donc à travailler

40

D’après les travaux de Jean-Luc Bregeon, IUFM d’Auvergne

Présentation des tables de multiplication En utilisant le mot « fois », on trouve les deux présentations pour la table de 2

Enseigner le calcul mental

Enseigner des procédures

Enseigner des faits numériques Mémoire des nombres Structurer les résultats des tables

Enseigner le calcul approché

Interroger les tables

La mémorisation et la restitution

« Les conditions de la mémorisation influent sur les conditions de la restitution. » Roland Charnay, professeur de mathématiques en IUFM

La manière dont on a incité les élèves à mémoriser, dont on les a interrogés va avoir une influence sur la manière dont les élèves vont solliciter leurs résultats.

Varier les façons d’interroger les tables, quelques exemples 6 x 7 = 42

Ecrites 6 x 7 = ? 7 x 6 = ? ? x 6 = 42 6 x ? = 42 42 : 6 = ? 42 : 7 = ? ? x ? = 42 QCM : 6 x 7 = 56 ? 13 ? 42? Vrai / Faux : 6 x 7 = 49 (V) (F) Suite croissante et décroissante des nombres de 6 en 6…

Varier les façons d’interroger les tables, quelques exemples 6 x 7 = 42

Orales « 6 fois 7 » « 7 fois 6 » «Quel est le produit de 6 par 7 ? » « Dans 42, combien de fois 6 ? » « 42 divisé par 7 ? » « Quel est le quotient de 42 par 6? » « Eliott doit courir 4200 mètres. Chaque tour de terrain mesure 700 mètres. Combien de tours doit-il faire?»…

•Limiter le rituel de « récitation des tables » difficulté à isoler un résultat de cette liste de résultats. •Varier les formes d’interrogations jouer des combinaisons multiples autour des tables •Alterner interrogations orales (pas de support écrit) et interrogations écrites (pas de lecture de l’enseignant) l’utilisation de résultats mémorisés n’est pas facilitée à l’oral et plus explicite à l’écrit • Utiliser des petits problèmes issus de situations

concrètes de la vie quotidienne

Quelques conseils pour interroger les tables

12 = 10 + 2 9 = 10 -1 25 = 100 / 4 290 300

Passage à la dizaine Ajout de 10, 100

Doubles, Compléments à 10 Tables add, mult 25 ( x 2, 3 et 4) 50 x 2

Ce qu’il faut automatiser Inspiré de Enseigner /apprendre le calcul mental, DGESCO

Des faits numériques

Des procédures

« Notion » de nombre

Décomposition Estimation

Enseigner le calcul mental

Enseigner des procédures

Enseigner des faits numériques Mémoire des

nombres Structurer

les résultats des tables

Varier les façons d’interroger les tables.

Enseigner le calcul approché

Enseigner les procédures Des procédures de calcul à découvrir,

entraîner et automatiser

Enseigner des procédures

Des procédures pour calculer 45 + 17

A 45 + 17 = 45 + 10 + 7 = 55 + 7 = 62

B 45 + 17 = 45 + 5 + 12 = 50 + 12 = 62

C 45 + 17 = 40 + 5 + 10 + 7 = 50 + 12 = 62

D 45 + 17 = 45 + 15 + 2 = 60 + 2 = 62

E 45 + 17 = 45 + 20 - 3 = 65 - 3 = 62

F 45 + 17 = 2 + 43 + 17 = 2 + 60 = 62

Catégoriser les différentes procédures Décomposition du 2nd nombre A: 45 + 17 = 45 + (10 + 7) = 55 + 7 = 62 D : 45 + 17 = 45 + ( 15 + 2) = 60 + 2 = 62 Décomposition du 1er nombre F : 45 + 17 = ( 2 + 43 ) + 17 = 2 + 60 = 62 Passage à la dizaine supérieure B: 45 + 17 = 45 + 5 + 12 = 50 +12 Décomposition des 2 nombres C : 45 + 17 = ( 40 + 5 ) + ( 10 + 7) = 50 +12 = 62 Ajout de dizaines et soustraction (pivotement) E : 45 + 17 = 45 (+20 – 3) = 65 -3 = 62

Dégager des objectifs d’apprentissage

Faire expliciter l’ensemble des procédures (apport du maître si nécessaire) Sélectionner les procédures pertinentes les consolider. Faire découvrir et utiliser des nouvelles procédures: Programmer: une semaine utilisation de la procédure « Ajout de dizaines et soustraction » une semaine utilisation de la procédure « Passage à la dizaine supérieure » une semaine utilisation de la procédure 3 « Décomposition du 2nd nombre » une semaine les élèves choisissent leur procédure.

Importance du choix des calculs pour favoriser l’utilisation d’une procédure

plutôt qu’une autre

• Décomposition du 2nd nombre : 26 + 16 (26 + 10 + 6) / 35 + 17 (35 + 10 + 7) • Passage à la dizaine supérieure : 37 + 18 (37 + 3 + 15) / 59 + 24 (59 + 1 + 23)

• Ajout de dizaines et soustraction (pivotement) : 58 + 26 (60 + 26 – 2) / 45 + 37 (45 + 40 – 3)

Citation DGESCO « Etre expert, c’est choisir une procédure personnelle. C’est être capable de choisir parmi les procédures apprises, celle qui est la plus adaptée aux singularités, à la « personnalité » des nombres en présence et celle qui est la plus adaptée aux performances acquises à un moment de sa scolarité. » C’est une initiative , un choix

Pour choisir, il faut avoir le choix... Ainsi, on peut recommander aux élèves : d’observer avant de calculer de chercher des relations « faciles » (c’est-à-dire,

connues) avant de calculer. de recommencer le calcul en utilisant une autre

procédure que celle qu’ils ont spontanément utilisée.

Enseigner des procédures

56

Evaluer les procédures

•Évaluer la capacité d’un élève à choisir une procédure adaptée Exemples autour des compléments 100 67 + … =100 100 - 24 =… 42 + … = 60 70 - 35 =… •Évaluer la capacité d’un élève à reconnaître une procédure Exemples : 58 + 32 = 60 + … 58 - 32 = 56 -… •Évaluer le niveau d’automatisation d’une procédure Pour chaque procédure, on donne quelques calculs à réaliser dans un temps donné, par exemple, 5 cas à réaliser en 2 minutes : Donner la consigne à l’oral et à l’écrit. 67+…= 100 …+86=100 78+…=100 …+55=100 39+…=100 100-27=… 100-….=76 100-28=… 100-19=… 100-…=52 •Évaluer l’application d’une procédure dans des problèmes simples Prix 65 centimes ; on paie avec 1 euro. J’ai 34 euros. Combien me manque-t-il pour acheter un cadeau à 50 euros ? Différence d’âge entre deux frères de 23 ans et 40 ans.

A partir du module de formation, MENJVA / DGESCO, mai 2011

Enseigner le calcul mental

Enseigner des procédures Faire expliciter Consolider

« Programmer » l’utilisation de nouvelles procédures

Entraîner Evaluer

Enseigner des faits numériques

Enseigner le calcul approché

58

Enseigner le calcul approché

Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne

59

Calcul approché

C’est le parent pauvre du calcul mental. Il repose sur une bonne connaissance de la numération. Il passe par le traitement séparé des deux nombres de départ : ne pas traiter tous les chiffres, valeur approchée (dizaine ou centaine supérieure ou inférieure). •Encadrements : Ex : 573 + 215 = ? 500 < 573 < 600 200 < 215 < 300 700 < ? < 900 570 < 573 < 580 210 < 215 < 220 780 < ? < 800 •Traitement des deux nombres de départ : Ex : 297 + 610 = ? 300 + 600 = 900 •Traitement d’un seul nombre : Ex : 4 x 42 = ? 4 x 40 = 160

Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne

CALCUL APPROCHÉ 1) Au Cycle 3 : donner le résultat arrondi Les 2 nombres sont situés à 3 unités au plus d’un

nombre « rond ». Exemples: 79 – 42 ≈ 80 – 40 ≈ 40 187 + 78 ≈ 190 + 80 ≈ 270 L’utilisation d’une calculette permet de comparer le résultat exact au résultat arrondi (37 et 40; 265 et

270).

CALCUL APPROCHÉ 2) Au Cycle 3 : déterminer l’ordre de grandeur du

résultat Entourer le nombre le plus proche du résultat, sans le calculer exactement 1004 - 123 1500 700 900

17 x 12 200 300 150

1,5 x 1,5 3 2,2 2

54 ÷ 0,1 0,5 500 5

Equilibre entre l’enseignement du calcul mental et calcul posé

La pratique des techniques opératoires, met en jeu des compétences de calcul mental (tables d’addition et de multiplication, calcul mental de sommes, de différences, de produits) mais sur des zones localisées du nombre. 537 + 299 ______ Ce travail technique a tendance à éloigner de la perception globale du sens des nombres. Travail sur les chiffres. En calcul mental, on a intérêt à intégrer la globalité des nombres. Ex: 537 + 300 - 1

Place du calcul mental dans l’emploi du temps?

Des séances courtes, 1/4 d’heure au quotidien pour l’entraînement. Quelques séances «longues» pour l’enseignement de procédures de calcul ou de nouveaux résultats.

Du matériel

Du matériel pour faciliter la représentation des nombres en

calcul mental Le boulier La table de Pythagore analogique Carrés de 10, 20, 50, 100 Le trio

Le boulier 100 boules

FILM

Support de visualisation : le boulier 100 boules

Le complément à 100 de 29 se lit directement sur le boulier : c’est 71.

On voit bien 9 lignes entières (2 en haut et 7 en bas) et une ligne décomposée (1 à gauche et 9 à droite)

2d

7d

1u + 9u

Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne

Du matériel pour faciliter la représentation des nombres en

calcul mental Le boulier La table de Pythagore analogique Carrés de 10, 20, 50, 100 Le trio

Les supports papier

Labynombre

Coloriage magique…

Jeu des carrés

Cascades

Les supports papier Le jeu du trio

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Les supports papier Le jeu du trio

6 x 8 -5

4 x 9 + 2

7 x 5 + 3…

Des activités ritualisées

Des activités ritualisées

Le nombre pensé

Avec trois chiffres

Le jeu des 6 cartes

Vous savez que…

Le nombre pensé

Je pense à un nombre, je lui ajoute 9, j’obtiens 13. Quel est ce nombre ?

Je pense à un nombre, je le multiplie par 7, j’obtiens 56. Quel est ce nombre ?

Je pense à un nombre, je lui ajoute 3,2 j’obtiens 13, 2. Quel est ce nombre ?

Je pense à un nombre, je lui ajoute 3,2 j’obtiens 10. Quel est ce nombre ?

Le nombre pensé

Je pense à un nombre, je le multiplie par 7, j’obtiens 21. Quel est ce nombre ?

Je pense à un nombre, je le multiplie par 7, j’obtiens 42. Quel est ce nombre ?

Je pense à un nombre, je le multiplie par 7, j’obtiens 420. Quel est ce nombre ?

Le jeu des 3 chiffres

Niveau CE2

« Quels nombres peut-on écrire en combinant deux ou trois de ces chiffres avec un signe d’opération au

choix =, -, x ? »

Niveau CM1 &CM2

« Quels nombres peut-on écrire en combinant deux ou trois de ces chiffres et deux signes opératoires ? »

Le jeu des 6 cartes Chaque équipe choisit une couleur et tire une carte à tour de rôle:

Si c’est une carte de sa couleur la carte est gardée, l’équipe gagne la valeur entière de la carte.

Si c’est une carte de la couleur adverse la carte est donnée à l’autre équipe qui gagne la moitié de la valeur

de la carte.

Si c’est une carte sans couleur la carte est gardée, mais elle ne vaut plus que le quart de sa valeur.

(tiré d’Ermel CM1)

Vous savez que…

Vous savez que …9 x 8 = 72.

Calculez 90 x 8 = …

9 x 16 = …

900 x 8 = …

(tiré du « Calcul mental à l’école » Hachette éducation)

Vous savez que…

Vous savez que … 3 + 4 = 7.

Calculez 3,2 + 4= …

3 + 3,8 = …

3, 156 + 4 = …

(tiré du « Calcul mental à l’école » Hachette éducation)

Des sites

Pour entraîner les élèves, des sites ressources

Calculatice Matoumatheux Primaths

Le jeu du quadricalc Le jeu de la grenouille

Le jeu du boule à boule Le jeu des planètes

Et surtout…

Utilisation des jeux, pour susciter du plaisir chez les élèves

dans la pratique du calcul et l’usage des nombres.

Des jeux pour s’entraîner et pour le plaisir!

1 Le 5000 2 Math puzzles 3 Mathsumo 4 Mathador’flash 5 Lobo 77

6 Pikomino

7 Bon débarras

8 Folix 9 Mathaboum 10 Multiplay

Le 5000

Le Mathsumo

Editions: Mattika Prix: 29,50 euros Tutoriel disponible sur le site Mattika

Lobo 77

Editions: Gigamic Prix: environ 13 euros Tutoriel disponible sur le Dailymotion

Pickomino

Editions: Zoch Prix: environ 14 euros Tutoriel disponible sur le VidéoRègles.net

Folix

Editions: Anaton’s editions Prix: environ 21 euros Tutoriel disponible sur Dailymotion

Mathaboum

Des jeux pour s’entraîner et pour le plaisir!

Les « + » Ludique, supports attrayants. favorise la motivation Travail en ateliers implique davantage tous les élèves. Les « - » Le dispositif: ateliers, parfois difficile à installer et souvent coûteux en temps (au moins au début). Un apprentissage des règles de jeu parfois un peu longue.

Des jeux pour s’entraîner et pour le plaisir!

Point de vigilance: La notation des scores doit « imposer » un calcul mental et non un recours à la technique opératoire. Temps d’une partie pas trop long privilégier plusieurs parties de temps court. A développer ? Les jeux dits de « calcul mental inversé » Les concours de calcul mental.

Un tournoi de calcul mental Lien tournoicalculmental.unblog.fr

Bibliographie

Le nombre au cycle 3 apprentissages numériques

SCEREN

Des jeux et des maths à l’école Gérard Champeyrache, Didier Faradji

SCEREN

Fort en calcul mental ! Christophe Bolsius

SCEREN

Le calcul mental au quotidien cycles 2 et 3, François Boule

SCEREN

Le calcul mental à l’école élémentaire Sylvie Gama, Daniel Djament

Hachette Education

Les enseignants-ressources en sciences de le Haute-Garonne