ENSEMBLES ET RELATIONS

ENSEMBLES

1. On considère les ensembles suivants :

A = 1, 2, 5 , B = 1, 2, 5 , C = 1, 2, 5 , D = ∅, 1, 2, 5 ,E = 5, 1, 2 , F = 1, 2, 5 , G = 1, 2, 5, 5 , H = 5, 1, 2 .

a) Quelles sont les relations d’égalité ou d’inclusion existant entre ces ensembles ?b) Donner le nombre d’éléments de chacun de ces ensembles.c) Déterminer A ∩B, G ∪H, E \G.d) Quel est le complémentaire de A dans D ?

2. Les notations ∅, ∅, ∅ désignent-elles le même ensemble ?

3. On considère les sous-ensembles de N suivants :

A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , B = 1, 3, 5, 7 , C = 2, 4, 6 , D = 3, 6 .a) Déterminer B ∩D, C ∩D.b) Déterminer B ∪ C, C ∪D. Une des ces réunion est-elle disjointe ?c) Déterminer C∆D.d) Déterminer les complémentaires dans A de B, C et D.

4. Donner en extension l’ensemble des nombres pairs compris entre 3 et 9.

5. Donner en compréhension l’ensemble 2, 4, 8, 16, 32.

6. Soit Q l’ensemble des quadrilatères du plan. On considère les sous-ensembles suivants :A l’ensemble des quadrilatères ayant un angle droitP l’ensemble des parallélogrammesL l’ensemble des losangesT l’ensemble des trapèzesR l’ensemble des rectanglesC l’ensemble des carrés.

a) Quelles sont les relations d’inclusion existant entre ces ensembles ?b) Déterminer A ∩ L, A ∩ P , L ∩R.

7. Que peut-on dire de A = B | B /∈ B ?

8. Soit A, B, C, D quatre sous-ensembles de Ω.

a) Montrer que si A ⊂ B et C ⊂ D, alors A ∩C ⊂ B ∩D et A ∪ C ⊂ B ∪D.b) Montrer que A ⊂ B ∩ C, si et seulement si A ⊂ B et A ⊂ C.

1

c) Montrer que B ∪ C ⊂ A, si et seulement si B ⊂ A et C ⊂ A.d) Montrer que A ∪B = A ∩B si et seulement si A = B.

9. Soit A et B deux sous-ensembles de Ω. Montrer que A et B sont disjoints si et seulement si

AC ∪BC = Ω .

10. Soit A, B et C trois sous-ensembles de Ω. Montrer les formules suivantes :

a) (A ∪B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C) ,b) (A ∩B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩B = (B \ C) ∩A ,c) (A \B) \ C = A \ (B ∪ C) .

11. Soit A et B deux sous-ensembles de Ω. Montrer les formules suivantes :

a) AC ∆BC = A∆B ,b) (A∆B)C = AC ∆B = A∆BC .

12. Soit A une partie de Ω. Déterminer A∆AC , et A∆Ω .

13. Soit A et B deux sous-ensembles de Ω.

a) Exprimer les ensembles A ∩ B, A ∪ B, A \ B, en utilisant uniquement l’intersection et lecomplémentaire.

b) Même problème en utilisant uniquement la réunion et le complémentaire.c) Même problème en utilisant uniquement la différence et le complémentaire.

14. Donner les éléments de P(0, 1, 2), de P(P(P(∅))), de P(P(0, 1)).

15. a) Soit Ω un ensemble. Existe-t-il un ensemble A tel que A ∈ P(Ω) et A ⊂ P(Ω) ?b) Soit E un ensemble et A une partie de E. Trouver un ensemble Ω tel que A ∈ Ω et A ⊂ Ω.

16. Soit A et B deux sous-ensembles de Ω, tels que A 6⊂ B,B 6⊂ A, A ∪B 6= Ω, A ∩B 6= ∅.Ecrire une partition de Ω formée de quatre éléments construits à partir de A et B et des opéra-tions élémentaires sur les ensembles.

17. Trouver toutes les partitions de 1, 2, 3.

RELATIONS

18. a) Soit E = F = R, et G = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1. Quel est le domaine de définition

de la relation R = (E,F,G) ? Est-ce que R est une fonction ? une application ?b) Mêmes questions si G = (x, y) ∈ R

2 | x2 + y2 = 1.c) Mêmes questions si G = (x, y) ∈ R

2 | x2 + y2 = 1, y ≥ 0.d) Mêmes questions si G = (x, y) ∈ R

2 | x2 − y2 = −1, y ≥ 0.

2

19. Soit f l’application de N dans Z définie par f(n) = n3 et g l’application de Z dans N définiepar g(n) = n2. A-t-on f g = g f ?

20. Soit f et g les applications de Z dans Z définies par

f(n) = n2 + an+ b et g(n) = n2 + cn+ d ,

où a, b, c, d sont des nombres entiers fixés. Ecrire f g et g f . Quand a-t-on l’égalité ?

21. Quel est le domaine de définition de la fonction f = (R,R, G), où

G =

(x, y) ∈ R2 | y = ln

1 + x

1− x

?

22. Quel est le domaine de définition de la fonction f = (R,R, G), où

G = (x, y) ∈ R2 | y =

√

x2 − 3x+ 2 ?

23. Soit f l’application de R+ dans R définie par

f(x) =x− 2

x+ 1,

et g l’application de R dans R+ définie par

g(x) =1

x2 + 1.

Déterminer, si c’est possible, f g et g f .

24. Soit Ω un ensemble non vide et U un sous-ensemble de Ω. Soit f et g les applications deP(Ω) dans lui-même définie par

f(A) = A \ U et g(A) = U \A .

Expliciter les applications f2, f g, g f , g2.

25. Soit A, B et C trois sous-ensembles de Ω. A l’aide des fonctions caractéristiques, démontrerles formules suivantes :a) (A∆B)∆C = A∆(B∆C) ,b) (A∆B) ∩ C = (A ∩ C)∆ (B ∩C) ,c) (A∆B) ∪ (B∆C) = (A ∪B ∪C) \ (A ∩B ∩ C) .

26. Soit f et g les applications de P(Ω)3 dans P(Ω) définies par

f(A,B,C) = (A∆B) ∪ C et g(A,B,C) = (A ∪ C)∆ (B ∪ C) .

Calculer f(Ω, B,Ω) et g(Ω, B,Ω). Qu’en déduit-on ?

27. Soit f l’application de E = 1, 2, 3, 4 dans F = 0, 1, 3, 5, 7, 10 définie par son graphe

G = (1, 3), (2, 5), (3, 5), (4, 0) .

3

a) Déterminer les ensembles suivants :

f−1(5) , f−1(0, 1, 3) , f−1(5, 7, 10) , f−1(1, 10) .

b) Déterminer les ensembles suivants :

f(E) , f(1, 2, 3) , f(4) .

28. Soit f l’application de Z dans R définie par

f(n) =n(n− 1)(n− 2)(n − 3)

24.

a) Montrer que pour tout entier n, on a f(3− n) = f(n).b) Montrer que pour tout entier n ≥ 3, on a f(n+ 1) > f(n).c) Calculer f(4), f(5) et f(6).d) Déterminer les ensembles suivants :

f−1(0) , f−1(1), f−1( [ 1, 5 ] ) , f−1( ] 4, 8 ] ) .

29. Soit f l’application de R dans R définie par f(x) = x2.

a) Déterminer les ensembles suivants :

f−1( ]−3, 1 ] ) , f−1( [ 0, 4 ] ) , f−1( ]−∞, 0 [ ) , f−1(1) .

b) Déterminer les ensembles suivants :

f(R) , f( [−3, 2 ] ) , f( ]−1, +∞ ] ) .

30. Soit f une application de E dans F .

a) Montrer que si A et B sont des sous-ensembles de E, on a

f(A ∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B) .

b) Montrer que si f est injective, on a égalité.c) En prenant la fonction f de l’exercice précédent, donner un exemple où on n’a pas égalité.

31. Soit f une application de E dans F .

a) Montrer que si B est un sous-ensemble de F , on a

f(f−1(B)) ⊂ B ,

et que l’on a égalité si f est surjective.b) Montrer que si A est un sous-ensemble de E, on a

f−1(f(A)) ⊃ A ,

et que l’on a égalité si f est injective.c) Donner des exemples où les inclusions de a) et b) sont strictes.

4

d) Soit ϕ l’application de P(F ) dans P(E) définie par ϕ(B) = f−1(B). Montrer que si f estsurjective alors ϕ est injective, et que si f est injective alors ϕ est surjective.

e) Soit ψ l’application de P(E) dans P(F ) définie par ψ(A) = f(A). Montrer que si f est injec-tive alors ψ est injective, et si f est surjective alors ψ est surjective.

32. a) Montrer que si f g est injective alors g est injective. Peut-on affirmer que f est injective ?b) Montrer que si f g est surjective alors f est surjective. Peut-on affirmer que g est surjective ?

33. Donner des exemples d’applications de N dans N

– bijective (autre que IdN)– injective mais pas surjective– surjective mais pas injective

34. Soit a et b deux nombres réels tels que a < b. Trouver une application bijective de ]−1, 1 [sur ] a, b [ , et une autre de R sur ] a, b [ .

35. L’application f de C dans C définie par f(z) = ez est-elle injective ?, surjective ? Si ellen’est pas surjective déterminer f(C).

36. Soit z un nombre complexe différent de −i. On pose

f(z) =z − i

z + i.

a) Montrer que Im z > 0 si et seulement si |f(z)| < 1.b) Montrer que l’application g de E = z | Im z > 0 dans F = z | |z| < 1 définie parg(z) = f(z) est bijective et trouver g−1.

37. Soit E l’ensemble des parties finies de N. Si A est une partie non vide de E, on note f(A) lasomme des éléments de A, et l’on pose f(∅) = 0. On définit ainsi une application de E dans N.a) Soit An = 0, 1, . . . , n. Calculer f(An).b) L’application f est-elle surjective ?c) L’application f est-elle injective ?d) Déterminer f−1(3).

38. Soit E = R[X] l’ensemble des polynômes à coefficients réels.Dire si les applications suivantes de E dans E, sont injectives, surjectives, bijectives, et si f estbijective, trouver f−1.

a) f(P ) = 2P +X2 , b) f(P ) = 2P (X2)− 1 , c) f(P ) = X + P ′ , d) f(P ) = XP ′ .

39. a) Soit f une application de E dans F et g une application de F dans G. Montrer que sig f est injective, alors f est injective, et que si g f est surjective, alors g est surjective.

b) Soit u une application de E dans E. Montrer que si u2 est bijective, alors u est bijective.

40. Soit P une application polynomiale non constante de C dans C. Montrer qu’elle est sur-jective. Quelles sont celles qui sont injectives ? Ces résultats subsistent-ils dans le cas d’uneapplication polynomiale de R dans R ?

5

41. Soit E = [−3, 5 ] ∩ Z et f la fonction définie par

f(n) =n(n− 1)(n− 2)(n − 3)

24.

Quelles sont les classes d’équivalence pour la relation d’équivalence définie par la fonction f ?

42. Soit E = 1, 2, 3, 5, 8, 14, 17. Montrer que l’on définit une relation d’équivalence sur E enposant

xR y si et seulement six+ y

2∈ N ,

et trouver les classes d’équivalences.

43. Soit R et S deux relations d’équivalences sur E.a) On définit une nouvelle relation T sur E par

x T y si et seulement si xR y et xS y .

Montrer que T est une relation d’équivalence sur E.b) On définit une relation U sur E par

xU y si et seulement si xR y ou xS y .

Est-ce une relation d’équivalence sur E ?

44. Soit R une relation d’équivalence sur E et S une relation d’équivalence sur F . Montrer quel’on définit une relation d’équivalence T sur E × F par

(x, x′)T (y, y′) si et seulement si xR y et x′ S y′ .

45. Dans l’ensemble E des droites affines du plan, montrer que la relation R définie par

D1RD2 si et seulement si D1 est parallèle ou orthogonale à D2

est une relation d’équivalence.

46. Soit P une application de E = P(Ω) dans R+ vérifiant la propriété suivante :

si A et B sont deux sous-ensembles disjoints de E, on a P(A ⊎B) = P(A) + P(B).

a) Montrer que P(∅) = 0.b) Montrer que P(B \ A) = P(B)− P(A ∩B). En déduire que si A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B).c) Montrer que P(A ∪B) ≤ P(A) + P(B).d) Montrer que la relation R définie sur P(E) par

ARB si et seulement si P(A∆B) = 0

est une relation d’équivalence. (On utilisera la relation

(A∆B) ∪ (B∆C) = (A ∪B ∪ C) \ (A ∩B ∩ C) ).

6

47. Soit f une application de E × E dans R telle que, quels que soient a, b et c dans E,

f(a, b) + f(b, c) + f(c, a) = 0 .

Montrer que la relation R définie sur E par

aR b si et seulement si f(a, b) = 0

est une relation d’équivalence.

48. Dans F(E,R), montrer que la relation R définie par :

f R g si et seulement si il existe deux nombres m et M strictement positifs tels que mf ≤ g ≤Mf

est une relation d’équivalence.

49. Dans N, on définit une relation binaire notée | , par

x | y si et seulement si x divise y .

a) Montrer que l’on obtient une relation d’ordre.b) Trouver un élément x0 tel que, pour tout x dans N, on ait x |x0.c) Trouver un élément y0 tel que, pour tout x dans N, on ait y0 |x.d) La relation est-elle totale ?e) L’application IdN de N, muni de la relation d’ordre | , dans N, muni de la relation d’ordre

usuelle, est-elle croissante ?

50. Dans C, on définit une relation binaire ≺ par

z ≺ z′ si et seulement (Re z < Re z′) ou ((Re z = Re z′) et (Im z ≤ Im z′)) .

a) Montrer que l’on définit ainsi une relation d’ordre totale sur C. (Cette relation est appelée« ordre lexicographique »).

b) Si l’on restreint cette relation à R, qu’obtient-on ?c) Comparer entre eux les nombres 1 + i, 1− i, −1 + i.d) Déterminer l’ensemble K = z ∈ C | 0 ≺ z, et montrer que si z appartient à K, il n’en est

pas nécessairement de même pour z2.e) Est-ce que, pour tout nombre complexe t, la relation z ≺ z′ implique z + t ≺ z′ + t ?

51. Soit R une relation d’ordre sur F et f une application de E dans F injective. Montrer quel’on définit une relation d’ordre S sur E par

xS x′ si et seulement si f(x)R f(x′) .

52. Soit R une relation transitive sur un ensemble E telle que l’on ne puisse avoir à la fois xR yet yRx. On définit une relation sur E par

xS y si et seulement si xR y ou x = y .

Montrer que S est une relation d’ordre. (On dit que R est une relation d’odre stricte, mais cen’est pas une relation d’ordre)

7

Corrigé

1. a) A = E ⊂ D ; F ⊂ G ; B ⊂ G.

b) cardA = 3 , cardB = 2 , cardC = 1 , cardD = 4 , cardE = 3 , cardF = 2 , cardG = 3 ,cardH = 3.

c) A ∩B = 5 , G ∪H = 5, 1, 2, 5, 1, 2 , E \G = 1, 2

d) Le complémentaire de A dans D est D \ A = ∅.

2. Les trois ensembles sont distincts. Le premier est l’ensemble vide, le deuxième ∅ est unsingleton dont l’unique élément est ∅, et le troisième ∅ est un singleton dont l’unique élémentest ∅.

3. a) B ∩D = 3 , C ∩D = 6.

b) B ∪ C = A , C ∪D = 2, 3, 4, 6.

Comme B∩C = ∅, les ensembles B et C sont disjoints et la réunion B∪C est disjointe. Ce n’estpas le cas de C ∪D, puisque C ∩D n’est pas vide.

c) C∆D = 2, 3, 4.

d) A \B = C , A \ C = B , A \D = 1, 2, 4, 5, 7.

4. 4, 6, 8.

5. L’ensemble des puissances de 2 comprises entre 2 et 50 (par exemple).

6. a) On peut donner le résultat sous forme de graphe, chaque flèche indiquant une inclusion.

L

C

??⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦

P // T

R

??⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦⑦

A

8

b) A ∩ L = L ∩R = C , A ∩ P = R.

7. Si A ∈ A, alors A /∈ A et réciproquement, donc A n’est pas un ensemble.

8. a) Si x appartient à A ∩ C, alors x est dans A donc dans B, mais x est aussi dans C, doncdans D, alors x est à la fois dans B et D, donc dans B ∩D. D’où l’inclusion A ∩ C ⊂ B ∩D.

Si x appartient à A ∪ C, alors ou bien x est dans A donc dans B, ou bien x est dans C, doncdans D, alors x est dans B ou dans D, donc dans B ∪D. D’où l’inclusion A ∪ C ⊂ B ∪D.

b) Si A ⊂ B ∩ C,A ⊂ B ∩ C ⊂ B et A ⊂ B ∩ C ⊂ C ,

donc par transitivité, A ⊂ B et A ⊂ C.

Réciproquement, si A ⊂ B et A ⊂ C, en utilisant a),

A = A ∩A ⊂ B ∩ C .

c) Si B ∪C ⊂ A, alorsB ⊂ B ∪C ⊂ A et C ⊂ B ∪ C ⊂ A ,

donc par transitivité, B ⊂ A et C ⊂ A.

Réciproquement, si B ⊂ A et C ⊂ A, en utilisant a),

B ∪ C ⊂ A ∪A = A .

d) On aB ⊂ A ∪B = A ∩B ⊂ A ,

donc B ⊂ A, et en inversant les rôles de A et B, on a l’inclusion inverse, d’où l’égalité.

9. Les ensembles A et B sont disjoints si et seulement si A ∩ B = ∅, ou encore, en passant aucomplémentaire, si et seulement si (A∩B)C = Ω, et enfin, d’après les formules de Morgan, si etseulement si AC ∪BC = Ω.

10. a) En partant de(A ∪B) \ C = (A ∪B) ∩CC ,

et en utilisant la distributivité de l’intersection sur la réunion

(A ∪B) \ C = (A ∩CC) ∪ (B ∩ CC) = (A \ C) ∪ (B \ C) .

b) On a aussi(A ∩B) \ C = (A ∩B) ∩CC ,

9

ce qui peut s’écrire, en raison de l’associativité et de la commutativité de l’intersection

(A ∩B) \ C = (A ∩ CC) ∩B = (A \ C) ∩B ,

et aussi(A ∩B) \ C = (B ∩ CC) ∩A = (B \ C) ∩A ,

et enfin, puisque CC ∩ CC = CC

(A ∩B) \ C = (A ∩CC) ∩ (B ∩ CC) = (A \ C) ∩ (B \ C) .

c) On a(A \B) \ C = (A ∩BC) ∩ CC = A ∩ (BC ∩ CC) .

Mais, d’après les formules de Morgan

BC ∩ CC = (B ∪ C)C ,

donc(A \B) \ C = (A ∩BC) ∩CC = A ∩ (B ∪ C)C = A \ (B ∪C) .

11. a) On aA∆B = (A \B) ∪ (B \ A) = (A ∩BC) ∪ (B ∩AC) ,

donc, en remplaçant A par AC et B par BC dans la formule précédente,

AC ∆BC = (AC ∩B) ∪ (BC ∩A) = A∆B .

b) En remplaçant B par BC dans la formule précédente

AC ∆B = (AC ∩BC) ∪ (B ∩A) = A∆BC .

MaisAC ∩BC = (A ∪B)C ,

doncAC ∆B = (A ∪B)C ∪ (A ∩B) ,

et en prenant le complémentaire

(AC ∆B)C = ((A ∪B)C ∪ (A ∩B))C .

Alors d’après les formules de Morgan

(AC ∆B)C = (A ∪B) ∩ (A ∩B)C = (A ∪B) \ (A ∩B) = A∆B ,

doncAC ∆B = (A∆B)C ,

et par symétrie du problèmeA∆BC = (A∆B)C .

10

12. On aA∆AC = (A ∪AC) \ (A ∩AC) = Ω \ ∅ = Ω ,

etA∆Ω = (A ∪Ω) \ (A ∩ Ω) = Ω \ A = AC .

13. On donne les résultats sous forme de tableau

∩ ∪ \A ∩B A ∩B (AC ∪BC)C A \BC

A ∪B (AC ∩BC)C A ∪B (AC \B)C

A \B A ∩BC (AC ∪B)C A \B

14. L’ensemble des parties de 0, 1, 2 est formé des 23 = 8 éléments suivants

∅ , 0 , 1 , 2 , 0, 1 , 0, 2 , 1, 2 , 0, 1, 2 .

On a P(∅) = ∅, doncP(P(∅)) = ∅, ∅ ,

et finalement P(P(P(∅))) possède 22 = 4 éléments :

P(P(P(∅))) = ∅, ∅, ∅, ∅, ∅ .

On aP(0, 1) = ∅ , 0 , 1 , 0, 1 ,

alors P(P(0, 1)) est formé des 24 = 16 éléments suivants :

∅ , ∅ , 0 , 1 , 0, 1

∅, 0 , ∅, 1 , ∅, 0, 1 , 0, 1 , 0, 0, 1 , 1, 0, 1∅, 0, 1 , ∅, 0, 0, 1 , ∅, 1, 0, 1 , 0, 1, 0, 1 , ∅, 0, 1, 0, 1

15. a) L’ensemble vide vérifie les deux conditions.

b) L’ensemble Ω = A ∪ A vérifie les deux conditions.

16. Les ensembles A\B, B \A, A∩B et (A∪B)C sont des ensembles non vides par hypothèse.Ils sont deux à deux disjoints et leur réunion est Ω. Ils forment une partition de Ω.

17. On trouve les cinq partitions suivantes :

1, 2, 3 , 1, 2, 3 , 1, 3, 2 , 2, 3, 1 , 1, 2, 3 .

11

18. a) La relation x2 + y2 ≤ 1 n’est possible que si −1 ≤ x ≤ 1, et lorsqu’il en est ainsi, tousles nombres y vérifiant

−√

1− x2 ≤ y ≤√

1− x2 ,

sont tels que xR y.

Le domaine de définition est donc DR = [−1, 1 ] , mais R n’est ni une fonction, ni une applica-tion, puisque pour certaines valeurs de x prises dans DR, il existe plusieurs y tels que xR y.

b) La relation x2 + y2 = 1 n’est possible que si −1 ≤ x ≤ 1, et lorsqu’il en est ainsi, les nombres−√1− x2 et

√1− x2 sont tels que xR y. Le domaine de définition est donc DR = [−1, 1 ] ,

mais R n’est ni une fonction, ni une application, puisque pour certaines valeurs de x prises dansDR, il existe plusieurs y tels que xR y.

c) Le domaine de définition est toujours DR = [−1, 1 ] mais cette fois, pour une valeur x donnéedans DR, il existe une seule valeur de y telle que xR y, qui est y =

√1− x2, donc R est une

fonction. Ce n’est pas une application puisque DR est distinct de E = R.

d) La relation x2 − y2 = −1 équivaut à y2 = x2 + 1. Pour tout x réel donné, cette équation atoujours une solution positive et une seule y =

√x2 + 1, donc DR = R, et R est une fonction et

une application.

19. L’application f g va de Z dans Z alors que g f va de N dans N. Ce sont donc deuxapplications différentes, bien que, pour tout n de N

g f(n) = f g(n) = n6 .

20. On a

f g(n) = g(n)2 + ag(n) + b = (n4 + 2cn3 + c2n2 + 2dn2 + 2cdn + d2) + a(n2 + cn+ d) + b ,

doncf g(n) = n4 + 2cn3 + (c2 + 2d+ a)n2 + (2cd + ac)n+ d2 + ad+ b .

et de même

g f(n) = n4 + 2an3 + (a2 + 2b+ c)n2 + (2ab+ ca)n+ b2 + cb+ d .

On a f g = g f si et seulement si, pour tout n entier

f g(n)− g f(n) = 0 ,

c’est-à-dire

2(c− a)n3 + (c2 + 2d+ a− a2 − 2b− c)n2 + (2cd− 2ab)n + d2 + ad+ b− b2 − cb− d = 0 ,

ce qui signifie que le polynôme

P (X) = 2(c− a)X3 + (c2 +2d+ a− a2 − 2b− c)X2 + (2cd− 2ab)X + d2 + ad+ b− b2 − cb− d ,

12

possède une infinité de racines. C’est donc le polynôme nul, et en particulier

c− a = 0 et c2 + 2d+ a− a2 − 2b− c = 0 ,

ce qui donne c = a et d = b. L’égalité ne peut avoir lieu que si f = g.

21. Il y a deux conditions pour que l’on puisse calculer ln1 + x

1− x, d’une part 1− x 6= 0, d’autre

part1 + x

1− x> 0. On obtient alors Df = ]−1, 1 [ . 2ex

22. La condition pour que√x2 − 3x+ 2 existe est que x2 − 3x+2 = (x− 2)(x− 1) soit positif,

donc Df = ]−∞, 1 ] ∪ [ 2, +∞ [ .

23. L’application f g va de R dans R, et pour tout x réel

f g(x) = g(x)− 2

g(x) + 1=

1

x2 + 1− 2

1

x2 + 1+ 1

= −2x2 + 1

x2 + 2.

L’application g f va de R+ dans R

+, et pour tout x réel positif

g f(x) = 1

f(x)2 + 1=

1(

x− 2

x+ 1

)2

+ 1

=x2 + 2x+ 1

2x2 − 2x+ 5.

24. On a

f2(A) = f(A \ U) = (A \ U) \ U = A ∩ UC ∩ UC = A ∩ UC = f(A) .

D’autre part, quels que soient les sous-ensembles A, B et C de Ω,

A \ (B \ C) = A ∩ (B ∩ CC)C = A ∩ (BC ∪ C) = (A ∩BC) ∪ (A ∩C) ,

donc

g2(A) = g(U \A) = U \ (U \A) = (U ∩ UC) ∪ (U ∩A) = ∅ ∪ (U ∩A) = U ∩A ,

puisg f(A) = g(A \ U) = U \ (A \ U) = (U ∩AC) ∪ (U ∩ U) = (U ∩AC) ∪ U ,

et comme U ∩AC ⊂ U , on obtient finalement

g f(A) = U .

Enfinf g(A) = f(U \ A) = (U \ A) \ U = U ∩AC ∩ UC = ∅ .

Les fonctions f g et g f sont donc constantes.

13

25. a) On a

1lA∆(B∆C) = 1lA +1lB∆C −2 1lA 1lB∆C

= 1lA +1lB +1lC −2 1lB 1lC −2 1lA(1lB +1lC −2 1lB 1lC)

= 1lA +1lB +1lC −2 1lB 1lC −2 1lA 1lB −2 1lA 1lC +41lA 1lB 1lC ,

et aussi

1l(A∆B)∆C = 1lA∆B +1lC −2 1lA∆B 1lC

= 1lA +1lB −2 1lA 1lB +1lC −2(1lA +1lB −2 1lA 1lB) 1lC

= 1lA +1lB +1lC −2 1lA 1lB −2 1lA 1lC −2 1lB 1lC +41lA 1lB 1lC ,

On a l’égalité de ces deux fonctions caractéristiques, donc

(A∆B)∆C = A∆(B∆C) .

La loi ∆ est associative.

b) En tenant compte du fait que, pour tout sous-ensemble U on a 1l2U = 1lU , on obtient

1l(A∆B)∩C = 1lA∆B 1lC

= (1lA+1lB −2 1lA 1lB) 1lC

= 1lA 1lC +1lB 1lC −2 1lA 1lB 1lC ,

et aussi

1l(A∩C)∆ (B∩C) = 1lA∩C +1lB∩C −2 1lA∩C 1lB∩C

= 1lA 1lC +1lB 1lC −2 1lA 1lC 1lB 1lC

= 1lA 1lC +1lB 1lC −2 1lA 1lB 1lC .

On a l’égalité de ces deux fonctions caractéristiques, donc

(A∆B) ∩ C = (A ∩ C)∆ (B ∩ C) .

La loi ∩ est distributive sur la loi ∆ .

c) On a

1l(A∆B)∪(B ∆C) = 1lA∆B +1lB∆C − 1lA∆B 1lB∆C

= 1lA+1lB −2 1lA 1lB +1lB +1lC −2 1lB 1lC −(1lA+1lB −2 1lA 1lB)(1lB +1lC −2 1lB 1lC)

= 1lA+1lB −2 1lA 1lB +1lB +1lC −2 1lB 1lC −(1lA 1lB +1lA 1lC −2 1lA 1lB 1lC

+1lB +1lB 1lC −2 1lB 1lC −2 1lA 1lB −2 1lA 1lB 1lC +41lA 1lB 1lC)

= 1lA+1lB +1lC − 1lA 1lB − 1lB 1lC − 1lA 1lC .

Cherchons tout d’abord la fonction caractéristique de A ∪B ∪ C.

1l(A∪B)∪C = 1lA∪B +1lC − 1lA∪B 1lC

= 1lA +1lB +1lC − 1lA 1lB − 1lA 1lC − 1lB 1lC +1lA 1lB 1lC .

14

Alors

1l(A∪B∪C)\(A∩B∩C) = 1lA∪B∪C(1− 1lA∩B∩C)

= (1lA+1lB +1lC − 1lA 1lB − 1lA 1lC − 1lB 1lC +1lA 1lB 1lC)(1− 1lA 1lB 1lC)

= 1lA+1lB +1lC − 1lA 1lB − 1lA 1lC − 1lB 1lC .

On a l’égalité de ces deux fonctions caractéristiques, donc

(A∆B) ∪ (A∆C) = (A ∪B ∪C) \ (A ∩B ∩ C) .

26. On a

f(Ω, B,Ω) = (Ω∆B) ∪ Ω = Ω et g(Ω, B,Ω) = (Ω ∪ Ω)∆ (B ∪ Ω) = Ω∆Ω = ∅ ,

donc il n’y a pas distributivité de la réunion sur la loi ∆ .

27. L’application f est donc telle que

f(1) = 3 , f(2) = 5 , f(3) = 5 , f(4) = 0 .

a) On a donc

f−1(5) = 2, 3 , f−1(0, 1, 3) = 1, 4 , f−1(5, 7, 10) = 2, 3 , f−1(1, 10) = ∅ .

b) On a aussif(E) = 0, 3, 5 , f(1, 2, 3) = 3, 5 , f(4) = 0 .

28. a) On obtient

f(3− n) =(3− n)(2− n)(1− n)(−n)

24=

(n− 3)(n − 2)(n − 1)n

24= f(n) .

b) On obtient

f(n+ 1)− f(n) =(n+ 1)n(n − 1)(n − 2)

24− n(n− 1)(n − 2)(n − 3)

24

=n(n− 1)(n − 2)

24[(n+ 1)− (n− 3)] =

n(n− 1)(n − 2)

6,

et cette expression est strictement positive si n ≥ 3.

c) On obtient f(4) = 1, f(5) = 5 et f(6) = 15.

d) L’ensemble f−1(0) est formé des racines du polynôme f , donc

f−1(0) = 0, 1, 2, 3 .

On a obtenu f(4) = 1. On a donc aussi d’après a) f(−1) = 1, et d’après b) ce sont les seulesvaleurs donnant 1, donc

f−1(1) = −1, 4 .

15

Les seules valeurs appartenant à l’intervalle [ 1, 5 ] sont 1 et 5. La valeur 5 est obtenue pourn = 5 et aussi pour n = −2, donc

f−1( [ 1, 5 ] ) = −2,−1, 4, 5 .

La seule valeur appartenant à l’intervalle ] 4, 8 ] est 5, donc

f−1( ] 4, 8 ] ) = −2, 5 .

29. a) On a immédiatement

f−1( ]−3, 1 ] ) = [−1, 1 ] , f−1( [ 0, 4 ] ) = [−2, 2 ] ,

etf−1( ]−∞, 0 [ ) = ∅ , f−1(1) = −1, 1 .

b) On a également

f(R) = [ 0, ∞ [ , f( [−3, 2 ] ) = [ 0, 9 ] , f( ]−1, +∞ ] ) = [ 0, ∞ [ .

30. a) Si x appartient à A ∩ B, il est dans A donc f(x) est dans f(A), et il est aussi dans B,donc f(x) est dans f(B). Alors f(x) appartient à f(A) ∩ f(B), d’où

f(A ∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B) .

b) Si f est injective, soit y dans f(A) ∩ f(B). Il existe x1 dans A tel que f(x1) = y, et il existex2 dans B tel que f(x2) = y. Alors

f(x1) = f(x2) ,

et puisque f est injective, on a x1 = x2, et cet élément se trouve dans A ∩B, donc y appartientà f(A ∩B), d’où l’inclusion

f(A) ∩ f(B) ⊂ f(A ∩B) .

Comme on a l’inclusion inverse, on a l’égalité.

c) Prenons la fonction f à valeurs dans R définie sur R par f(x) = x2. Soit A = ]−∞, 0 ] etB = [ 0, ∞ [ . Alors

f(A) = f(B) = [ 0, ∞ [ ,

mais A ∩B = 0, doncf(A ∩B) = 0 .

Les deux ensembles sont bien différents.

31. a) Soit y dans f(f−1(B)). Il existe x dans f−1(B) tel que f(x) = y. Mais dire que x estdans f−1(B) signifie que f(x) = y est dans B. On a donc l’inclusion

f(f−1(B)) ⊂ B .

Si f est surjective, et si y appartient à B, il existe x dans E tel que f(x) = y. Alors x appartientà f−1(B) et f(x) à f(f−1(B)). On a donc l’inclusion

B ⊂ f(f−1(B)) ,

16

et comme on a l’inclusion inverse, on a égalité.

b) Si x est dans A, f(x) est dans f(A) et x dans f−1(f(A)) d’où l’inclusion

A ⊂ f−1(f(A)) .

Si f est injective, soit x dans f−1(f(A)). Alors f(x) est dans f(A), donc il existe x′ dans Atel que f(x′) = f(x). Mais comme f est injective, on en déduit que x = x′ est dans A, d’oùl’inclusion

f−1(f(A)) ⊂ A ,

et comme on a l’inclusion inverse, on a égalité.

c) Prenons la fonction f à valeurs dans R définie sur R par f(x) = x2. Soit B = ]−∞, 0 ] . Alors

f−1(B) = 0 ,

etf(f−1(B)) = 0 .

Les deux ensembles B et f(f−1(B)) sont bien différents.

Prenons A = ]−∞, 0 ] . On a

f(A) = [ 0, ∞ [ et f−1(f(A)) = R .

Les deux ensembles A et f−1(f(A)) sont bien différents.

d) Si f est surjective, soit B et B′ dans P(F ) tels que ϕ(B) = ϕ(B′), c’est-à-dire f−1(B) = f−1(B′).Alors

B = f(f−1(B)) = f(f−1(B′)) = B′ ,

et il en résulte que ϕ est injective.

Si f est injective, soit A dans P(E). Posons B = f(A). Alors

ϕ(B) = f−1(B) = f−1(f(A)) = A ,

et il en résulte que ϕ est surjective.

e) Si f est injective, soit A et B dans P(E) tels que ψ(A) = ψ(B). Alors f(A) = f(B), donc

A = f−1(f(A)) = f−1(f(B)) = B ,

et il en résulte que ψ est injective.

Si f est surjective, soit B dans P(F ). Posons A = f−1(B). Alors

ψ(A) = f(f−1(B) = B ,

et il en résulte que ψ est surjective.

17

32. On suppose que g est une application de E dans F et f une application de F dans G.

a) Si f g est injective, soit x et x′ dans E tels que f(x) = f(x′). Alors g(f(x)) = g(f(x′)) doncg f(x) = g f(x′), et comme g f est injective, on en déduit x = x′, donc f est injective.

Par contre f n’est pas nécessairement injective. Si l’on prend pour g l’application de R+ dans

R, qui à x associe x, et pour f l’application de R dans R qui à x associe x2, alors g et g f sontinjectives, mais pas f .

b) Si f g est surjective, soit z dans G. Comme f g est surjective, il existe x dans E tel quef g(x) = z. Alors y = g(x) est dans F et f(y) = f(g(x)) = f g(x) = z, donc f est surjective.

Par contre g n’est pas nécessairement surjective. Si l’on prend pour g l’application de R+ dans

R, qui à x associe x, et pour f l’application de R dans R+ qui à x associe x2, alors f et g f

sont surjectives, mais pas g.

33. On peut donner une application bijective de N dans N autre que IdN. Par exemple, uneapplication qui permute deux termes consécutifs. Soit ϕ définie par

ϕ(n) = n+ (−1)n =

n+ 1 si n est pairn− 1 si n est impair

c’est une application involutive (ϕ2 = IdN) donc bijective.

Comme application injective et non surjective, on peut prendre par exemple l’application ϕdéfinie par

ϕ(n) = n+ 1 .

Elle est évidemment injective, puisque ϕ(n) = ϕ(m) implique n + 1 = m+ 1 donc m = n, maiselle n’est pas surjective car 0 n’a pas d’antécédent. (ϕ(N) = N

∗).

Comme application surjective, on peut prendre, l’application ϕ définie par

ϕ(n) =2n+ (−1)n − 1

4=

n

2si n est pair

n− 1

2si n est impair

On a, pour tout entier n positif, ϕ−1(n) = 2n, 2n + 1, donc ϕ est surjective, mais chaquenombre possède deux antécédents, donc ϕ n’est pas injective.

34. Pour avoir une bijection de ]−1, 1 [ sur ] a, b [ , il suffit de cherche une application affine fqui vérifie f(−1) = a et f(1) = b. On a alors

f(x) =f(1)− f(−1)

2(x− 1) + f(1) =

b− a

2(x− 1) + b =

b− a

2x+

b+ a

2.

On connaît une application bijective de R sur ]−π/2, π/2 [ , c’est l’application qui à x associearctan x. En composant avec une application bijective de ]−π/2, π/2 [ sur ] a, b [ , on aura le

18

résultat.

D’après le calcul précédent, puisque

x 7→ b− a

2x+

b+ a

2,

est une bijection de ]−1, 1 [ sur ] a, b [ , en remplaçant x par 2x/π, l’application

x 7→ b− a

πx+

b+ a

2,

est une bijection de ]−π/2, π/2 [ sur ] a, b [ , et donc

x 7→ b− a

πarctan x+

b+ a

2,

est une bijection de R sur ] a, b [ .

35. Comme f(0) = f(2iπ) = 1, l’application f n’est pas injective. Et comme ez n’est jamaisnul, l’application f n’est pas surjective.

Soit Z = reiθ un nombre complexe non nul. On a donc r 6= 0. Posons z = ln r + iθ. Alors

f(z) = eln r+iθ = eln reiθ = reiθ = Z ,

donc tout nombre complexe non nul possède un antécédent, et f(C) = C∗.

36. a) Calculons |f(z)|2. On a

|f(z)|2 = (z − i)(z + i)

(z + i)(z − i)=

|z|2 + i(z − z) + 1

|z|2 − i(z − z) + 1,

donc

1− |f(z)|2 = −2i(z − z)

|z + i|2 .

Mais z − z = 2i Im z, donc

1− |f(z)|2 =4 Im z

|z + i|2 .

Et on en déduit que Im z > 0 si et seulement si 1 − |f(z)|2 > 0, c’est-à-dire si et seulement si|f(z)| < 1.

b) Soit t dans F . Résolvons l’équation g(z) = t, c’est-à-direz − i

z + i= t. Elle est équivalente à

tz + it = z − i puis à z(1− t) = i(1 + t) et finalement

z = i1 + t

1− t.

On trouve donc une solution et une seule dans C. Mais, pour cette solution z, on a f(z) = g(z) = t,et puisque t est dans F , d’après a), z est dans E. L’application g est donc une bijection de Esur F et

g−1(t) = i1 + t

1− t.

19

37. a) On a

f(An) = 0 + 1 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

b) Quel que soit le nombre entier n, on a

f(n) = n ,

et l’application f est donc surjective.

c) On a f(0) = f(∅) = 0 et l’application f n’est pas injective.

d) On cherche les ensembles de nombres entiers positifs distincts dont la somme vaut 3. On a

0, 3 , 3 , 0, 1, 2 , 1, 2 ,

doncf−1(3) = 0, 3 , 3 , 0, 1, 2 , 1, 2 .

38. a) Soit Q un polynôme. Résolvons l’équation

Q = 2P +X2 .

Elle a une solution et une seule

P =Q−X2

2,

donc l’application f est bijective, et l’on a

f−1(Q) =1

2(Q−X2) .

b) On constate que f(P ) est un polynôme pair, puisque f(P )(−X) = f(P )(X). L’application fn’est donc pas surjective.

Si P1 et P2 sont deux polynômes tels que f(P1) = f(P2), on en déduit

P1(X2)− P2(X

2) = 0 .

Le polynôme P1 − P2 admet tous les nombres positifs comme racines. Il en résulte qu’il a uneinfinité de racines et donc qu’il est nul. Il en résulte que P1 = P2. L’application f est injective.

c) Quel que soit le polynôme constant P , on a f(P ) = X. L’application n’est donc pas injective.

Si maintenant Q est un polynôme, notons R une primitive de Q, c’est-à-dire un polynôme telque R′ = Q. Alors si l’on prend

P = R− X2

2,

on af(P ) = X +R′ −X = R′ = Q ,

20

et f est surjective.

d) Quel que soit le polynôme constant P , on a f(P ) = 0. L’application n’est donc pas injective.

Quel que soit P , on a f(P )(0) = 0, donc f(P ) admet 0 pour racine et l’application f n’est passurjective.

39. a) Si g f est injective, et si l’on a f(x) = f(x′), alors

g f(x) = g(f(x)) = g(f(x′)) = g f(x′) ,

et comme g f est injective, on en déduit que x = x′, donc f est injective.

Si g f est surjective, et si z appartient à G, il existe x dans E tel que g f(x) = z. Alors sil’on pose y = f(x), on obtient un élément de F tel que g(y) = z, ce qui montre que g est surjective.

b) Si u2 = u u est injective, on applique ce qui précède avec f = g = u, et l’on en déduit que uest à la fois injective et surjective.

40. Si P est un polynôme de degré n > 0, et si z0 est un nombre complexe, l’équation P (z) = z0s’écrit P (z)− z0 = 0. Le théorème de d’Alembert-Gauss, affirme que le polynôme P (z)− z0 a aumoins une racine complexe, donc P est surjective.

Soit P un polynôme de degré au moins 2 et z0 un nombre complexe. Si P (z) − z0 a plusieursracines, l’application P n’est pas injective. Si maintenant P (z) − z0 possède une seule racine,alors, il existe α non nul et β tels que

P (z)− z0 = α(z − β)n ,

doncP (z) = α(z − β)n + z0 .

Soit z1 distinct de z0. Alors l’équation P (z) = z1 devient

(z − β)n =z1 − z0α

,

et, si n > 1, cette équation a n solutions distinctes. En effet si

z1 − z0α

= reiθ ,

les nombresαk = r1/neiθ/n+2ikπ/n + β ,

sont des solutions distinctes. Il en résulte que si n > 1, l’application P n’est pas injective. Parcontre si n = 1, alors

P (x) = αx+ γ

avec α non nul, l’équation P (z) = z0 a une solution et une seule (z0 − γ)/α, et P est bijective.

21

Ce qui précède est faux si P est une application polynomiale de R dans R. En prenant P (x) = x2,on obtient une application qui n’est pas surjective puisque f(P ) = [ 0, ∞ [ . En prenant P (x) = x3,on obtient une application bijective de degré strictement plus grand que 1.

41. On a

f(0) = f(1) = f(2) = f(3) , f(−1) = f(4) et f(−2) = f(5) .

On obtient donc les quatre classes d’équivalences suivantes :

0, 1, 2, 3 , −1, 4 , −2, 5 , −3 .

42. Réflexivité :x+ x

2= x ∈ N.

Symétrie : six+ y

2∈ N alors

y + x

2∈ N.

Transitivité : six+ y

2∈ N et

y + z

2∈ N, alors la somme

x+ z

2+ y appartient à N, et comme y

est entierx+ z

2∈ N.

Dire que (x + y)/2 est entier, équivaut à dire que x et y ont la même parité. On a donc deuxclasses

1, 3, 5, 17 et 2, 8, 14 .

43. a) Réflexivité : on a xRx et xS x, donc x T x.

Symétrie : si x T y, alors xR y et xS y, donc yRx et y S x, donc y T x.

Transitivité : si x T y et y T z, alors xR y et yR z, donc xR z, mais aussi xS y et y S z, doncxS z. Finalement on a x T z.

b) Réflexivité : on a xRx ou xS x, donc xU x.

Symétrie : si xU y, alors xR y ou xS y, donc yRx ou y S x, donc y U x.

Transitivité : si xU y et y U z, alors dans le cas où l’on aurait xR y et y S z on ne pourrait rienen déduire. En général il n’y a pas transitivité.

44. Réflexivité : on a xRx et x′ S x′, donc (x, x′)T (x, x′).

Symétrie : si (x, y)T (x′, y′), alors xR y et x′ S y′, donc yRx et y′ S x′, donc (x′, y′)T (x, y).

Transitivité : si (x, x′)T (y, y′) et (y, y′)T (z, z′), alors xR y et yR z, donc xR z, mais aussix′ S y′ et y′ S z′, donc x′ S z′. Finalement on a (x, x′)T (z, z′).

22

45. Réflexivité : D est parallèle à D, donc DRD.

Symétrie : si D1 RD2, ou bien D1 est parallèle à D2 donc D2 est parallèle à D1, ou bien D1 estorthogonale à D2 donc D2 est orthogonale à D1 et on a bien D2 RD1.

Transitivité : si D1 RD2 et D2 RD3 il y a quatre cas à envisager.

a) Si D1 est parallèle à D2 et D2 est parallèle à D3, alors D1 est parallèle à D3

b) Si D1 est parallèle à D2 et D2 est orthogonale à D3, alors D1 est orthogonale à D3

c) Si D1 est orthogonale à D2 et D2 est parallèle à D3, alors D1 est orthogonale à D3

d) Si D1 est orthogonale à D2 et D2 est orthogonale à D3, alors D1 est parallèle à D3

On a donc dans tous les cas D1 RD3.

46. a) On aP(∅) = P(∅ ⊎ ∅) = P(∅) + P(∅) ,

donc P(∅) = 0.

b) On a B = (B \ A) ⊎ (A ∩B), donc d’après la propriété de P

P(B) = P(B \A) + P(A ∩B) ,

et finalementP(B \A) = P(B)− P(A ∩B) .

En particulier, si A ⊂ B, on a A ∩B = A et

P(B)− P(A) = P(B \ A) ≥ 0 .

c) On peut écrireA ∪B = (A \B) ⊎B ,

doncP(A ∪B) = P(A \B) + P(B) ,

et puisque A \B ⊂ A, on en déduit

P(A ∪B) ≤ P(A) + P(B) .

d) Réflexivité : comme A∆A = ∅, on a P(A∆A) = 0, donc ARA.

Symétrie : comme A∆B = B∆A, on a P(A∆B) = P(B∆A) donc ARB implique BRA.

Transitivité : si ARB et BRC, alors

P(A∆B) = P(B∆C) = 0 ,

donc0 ≤ P((A∆B) ∪ (B∆C)) ≤ P(A∆B) + P(B∆C) = 0 ,

et il en résulte que P((A∆B) ∪ (B∆C)) est nul. Mais on a la relation

(A∆B) ∪ (B∆C) = (A ∪B ∪ C) \ (A ∩B ∩ C) ,

23

et en permutant les rôles de B et C on a également

(A∆C) ∪ (C∆B) = (A ∪B ∪ C) \ (A ∩B ∩ C) ,

doncA∆C ⊂ (A∆C) ∪ (C∆B) = (A∆B) ∪ (B∆C) .

Finalement0 ≤ P(A∆C) ≤ P((A∆B) ∪ (B∆C)) = 0 ,

donc P(A∆C) est nul et ARC.

47. Réflexivité : on af(a, a) + f(a, a) + f(a, a) = 0 ,

donc f(a, a) est nul et aR a.

Symétrie : on af(a, b) + f(b, b) + f(b, a) = f(a, b) + f(b, a) = 0 ,

doncf(b, a) = −f(a, b) .

Alors si aR b, on a f(a, b) = 0, donc aussi f(b, a) = 0, c’est-à-dire bR a.

Transitivité : si aR b et bR c, alors f(a, b) = 0 et f(b, c) = 0, d’où

f(a, c) = −f(c, a) = f(a, b) + f(b, c) = 0 ,

et donc aR c.

48. Réflexivité : on a1× f ≤ f ≤ 1× f .

Symétrie : si f R g, alors il existe m et M tels que

mf ≤ g ≤Mf ,

et l’on en déduit puisque les nombres m et M sonts trictement positifs

1

Mg ≤ f ≤ 1

mg ,

donc gR f .

Transitivité : si f R g et gRh, il existe des nombres strictement positifs m, M , r, R, tels que

mf ≤ g ≤Mf et rg ≤ h ≤ Rg ,

alors,rmf ≤ rg ≤ h ≤ Rg ≤ RMf ,

donc(rm)f ≤ h ≤ (RM)f ,

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et l’on a f Rh.

49. On rappelle que « x divise y » signifie qu’il existe un nombre entier positif n tel que y = nx.

a) Réflexivité : on a x = 1× x, donc x |x.

Antisymétrie : si x | y et y |x, il existe des entiers positifs m et n tels que y = nx et x = my.Alors x = mnx. Si x n’est pas nul, on en déduit mn = 1, et comme m et n sont des entierspositifs, on a m = n = 1, donc x = y. Si x = 0, alors y = 0.

Transitivité : si x | y et y | z, il existe des entiers positifs m et n tels que y = nx et z = my. Alorsz = (mn)x, donc x | z.

b) On peut toujours écrire 0 = 0× x, donc, quel que soit x, on a x | 0, et x0 = 0 convient.

c) On peut toujours écrire x = x× 1, donc, quel que soit x, on a 1 |x, et y0 = 1 convient.

d) Comme 2 ne divise pas 3 et 3 ne divise pas 2, la relation n’est pas totale.

e) L’application IdN serait croissante si l’on avait, quels que soient x et y dans N

(x | y) ⇒ (x ≤ y) ,

Ce qui n’est pas le cas puisque 0 ≤ 1 et 1 | 0. (Par contre cela est vrai sur N∗).

50. a) Réflexivité : on a Re z = Re z et Im z ≤ Im z, donc z ≺ z.

Antisymétrie : si z ≺ z′ et z′ ≺ z, on a nécessairement Re z = Re z′, donc Im z ≤ Im z′ etIm z′ ≤ Im z, ce qui donne Im z = Im z′ et finalement z = z′.

Transitivité : si z ≺ z′ et z′ ≺ z′′. On a quatre cas possibles.a) Re z < Re z′ et Re z′ < Re z′′ alors Re z < Re z′′.b) Re z < Re z′ et Re z′ = Re z′′ alors Re z < Re z′′.c) Re z = Re z′ et Re z′ < Re z′′ alors Re z < Re z′′.d) Re z = Re z′ et Re z′ = Re z′′, avec Im z ≤ Im z′ et Im z′ ≤ Im z′′ alors Re z = Re z′′ et

Im z ≤ Im z′′.Dans tous les cas on a bien z ≺ z′′.

Totalité : soit z et z′ dans C. On a quatre cas possibles.a) Re z < Re z′ donc z ≺ z′

b) Re z′ < Re z donc z′ ≺ zc) Re z′ = Re z et Im z ≤ Im z′ donc z ≺ z′

d) Re z′ = Re z et Im z′ ≤ Im z donc z′ ≺ zDonc ou bien z ≺ z′ ou bien z′ ≺ z.

b) Si x et x′ sont réels, x ≺ x′ si et seulement si x < x′ ou x = x′, donc si et seulement si x ≤ x′.C’est la relation d’ordre usuelle sur R.

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c) On a 1− i ≺ 1 + i, puisque Re(1− i) = Re(1 + i) et Im(1− i) ≤ Im(1 + i).On a aussi −1+ i ≺ 1− i, puisque Re(−1+ i) < Re(1− i), et donc par transitivité −1+ i ≺ 1+ i.

d) Dire que 0 ≺ z signifie que Re z > 0, ou que Re z = 0 et Im z ≥ 0, donc K est la réunion dudemi-plan z | Re z > 0 et de la demi-droite z | Re z = 0 , Im z ≥ 0. L’ensemble K contienti, mais pas i2 = −1.

e) Si z ≺ z′, il y a deux cas possibles.– ou bien Re z < Re z′, alors

Re(z + t) = Re z +Re t < Re z′ +Re t = Re(z′ + t) ,

et donc z + t ≺ z′ + t ;– ou bien Re z = Re z′ et Im z ≤ Im z′, alors

Re(z + t) = Re z +Re t = Re z′ +Re t = Re(z′ + t) ,

etIm(z + t) = Im z + Im t ≤ Im z′ + Im t = Im(z′ + t) ,

et donc de nouveau z + t ≺ z′ + t.

51. Réflexivité : comme R est réflexive, on a f(x)R f(x) donc xS x.

Antisymétrie : si xS y et y S x, on a f(x)R f(y) et f(y)R f(x), et comme R est antisymétrique,on en déduit f(x) = f(y), donc puisque f est injective, on obtient x = y.

Transitivité : si xS y et y S z, on a f(x)R f(y) et f(y)R f(z), et comme R est transitive, on endéduit f(x)R f(z), donc xS z.

52. Réflexivité : comme x = x, on a bien xS x.

Antisymétrie : si xS y et y S x, on a xS y ou x = y et y S x ou y = x. Mais comme on ne peutavoir à la fois xS y et y S x on a nécessairement x = y.

Transitivité : si xS y et y S z, on a quatre cas possibles.a) x = y et y = z, donc x = z.b) x = y et yR z donc xR zc) xR y et y = z donc xR zd) xR y et yR z donc par transitivité de R, on obtient xR z.Dans tous les cas xS z.

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