GRGS

G roupe de R echerches de G éodésie Spatiale

Ecole d’ été du GRGS« Détermination du champ de gravité terrestrepar les nouvelles missions spatiales » Forcalquier, 2-6 Septembre 2002

Equations pour les mesuresgradiométriques (GOCE)

G. Balmino , CNES-GRGS

1

CE QUE MESURE UN GRADIOMETRE

Rappel (cf. cours de P. Touboul)

( ) ( ) ( )

∑∑−

−−+∇−∇=

∧∧+∧+∧+=ℜ

Psat

electext

P

electSP

RRR

mM

fF

mPf

UU

)SP?(?SP)?(SP?SPSP

.. )(

2 &.... .

= 0 = 0

ℜ

R

. Scentre demasse

P

Q

ω

)( SPSPUUw SPP ∧∧−∧−∇−∇= ωωω&

wP

−−

−=Ω

00

0

12

13

23

ωωωω

ωω

Un accéléromètre en P donne accès à :

∇2P U . SP Ω . SP Ω . SPΩ .

De même, en Q :

*

*

wQ ∇2Q U . SQ Ω . SQ Ω . SQΩ .= _ _

= _ _.

.

Satellite

2

Fext (non gravi.)

force électrostatique exercée par lesatellite sur la masse d'épreuve mP

On calcule et soustrait le "mode commun"

wQ - wP = [∇ 2S U - (Ω + Ω 2) ] . [PQ]

Λ

U2∇

−−−−

−−=Ω

22

212313

3221

2312

312123

22

2

ωωωωωωωωωωωωωωωωωω

: sym.

: sym.

Ω : anti-sym.

.

.

22)(21

Ω−∇=Λ+Λ UT

Ω−=Λ−Λ &)(21 T

∫ Λ−Λ−Ω=Ωt

tT d

0

)(2/10 τ

3

+ autres données d'attitude(senseurs stellaires)

LES DIFFERENTES CONTRIBUTIONS A ∇ 2U

- POTENTIEL DU CORPS CENTRAL (TERRE)

Partie statique (« moyenne »)Variations temporelles : 1. marées terrestres

2. marées océaniques3. pression atmospérique4. humidité des sols,

enneigement, ...

- POTENTIELS « 3.ème - CORPS »Satellite(s) naturel(s) : LuneSoleilPlanètes

4

),,(

),(

λϕ

λϕ

ruK

YKrR

rGM

U

lmm

lm

mlmlm

l

l

∑

∑=

=

CORPS CENTRAL

x1

x2

x3

X2

X3

X1

S.

(R)(r)

(R )//

(ℜ)

(r) = xi : fixe/corps(R)= Xi : repère du gradiomètre

X1 : ~ vecteur vitesseX2 : ~ normal , X3 : ~ radial

En S

∑>

+=0

0l

lUUU

rGMU /0 =

• Les mesures sont faites dans (R) : U ”ij = ∂2U / ∂Xi ∂Xj

• On ne mesure pas (bien) tout le tenseur ∇2U = (U ”ij ) !Pour GOCE : U ”11 , U ”22 , U ”33 (et peut-être U ”13 )

Autres termes pas assez précis(erreurs sur ω, ω, ...)

.

(r,ϕ,λ) / (r)

5

Klm ,Ylmnorm.

Les signatures du potentiel gravitationnel terrestre dans U”ij

= X1 = X2 = X3

Si mesures parfaites : une seule composante suffit En présence d ’erreurs de mesures : plusieurs composantes nécessaires

Par rapport aux W ”ij d ’un ellipsoide de référence dynamique

U”ij -W ”ij (Eötvös)

6

(cf. planche 5 )

Si X = M x , avec M T = M -1

on a : ( ∇ U )(R) = M ( ∇ U )(r)

( ∇2U )(R) = M ( ∇2U )(r) M T

il faut écrire l ’équation d ’observation dans ( R )

Dans ( R ) : U”ij(obs) - U”ij(calc) = Σlm (∂U”ij / ∂Klm)(R) ∆Klm

= Σlm [ Σkn Mik (∂U”kn / ∂Klm)(r) Mjn ] ∆Klm

∂2 ulm

∂xk ∂xn=

7

Principe du calcul des ∂2 ulm / ∂xk ∂xn

Formalisme : non singulier aux pôles (et aussi précis)stable (précis) ∀ ϕ , ∀ (l,m) ; (l,m : grands, ~300 à 1000)rapide → récurrences

Bases : Ylm (ϕ,λ) = Plm(sin ϕ) e i mλ

θk = xk / r , ξ = θ1 , η = θ2

ξ + i η = cos ϕ e i λ

→ récurrences pour ξm , ηm et dérivées / λ

Relations de récurrence sur les polynômes d ’HelmholtzHlm et leurs dérivées,avec : Plm(sin ϕ) = cosm ϕ . Hlm (sin ϕ)

(sous forme normalisée)

cf. cours de J.C. Marty , R. Biancale

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N.B. 1. ( ∇2U0 )(R) peut être traité à part

On a directement ∇2U0, ij = GM ( 3 xij / r 2 - δij ) / r 3

2. ∇2U est symétrique

3. U est harmonique à l ’extérieur des masses

⇔ vérifie l ’équation de Laplace

4. U”ij est (également) calculé dans les équations aux variations

0'' =∑i

iiU

5 composantesindépendantes

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VARIATIONS TEMPORELLES

1. Marées terrestres

Modèle de Terre

Elastique : sphérique kl: ellipsoidale klm

(0,±)

Anélastique ellipsoidale klm(0,±) ∈ C

nombresde Love

Corrections aux Klm statiques :

∑ ΛΦ

+=∆

+

*

**1

*

*0

1 ),(~12 lm

l

T

lmlm Y

rR

GMGM

lk

K

+ termes indirects sur K4m : f (k+2m ) …………..( ellipticité)

(i)

(ii) termes correctifs dépendant de la fréquence (temporelle)

lmK2∆ : cf. ”Standards” IERS ; Cours de J.C. MartyCours de J.M. Lemoine, G. Ramilien

.

conj.

dans (r)

lmlmlm KKK 21 ∆+∆=∆

10

VARIATIONS TEMPORELLES (suite)

Autres effets

masse en surface

masse volumique ρ

↔ h , ε , ... → σ = densitéde surface

2. marées océaniquespour chaque onde :

h = hlm → σlm = ρocéan . hlm

3. pression atmosphériquep = plm → σlm = plm / g

Terre ≈ sphériquepesanteurmoyenne g

→ σ = σlm

4. humidité des sols, enneigement, ...ε = εlm : hauteur de matériau

εequiv. eau= εlm → σlm = ρeau . ε lm~ ~

∑∑ ∆=+

=∆

ll

mllmlm

lUY

lrR

RrG

U,

2 ),(12

14 λϕσπ

Attention !déformation

ll Uk ∆+ '...nombres de Love de charge

11

VARIATIONS TEMPORELLES (fin)

Donc, si l ’on écrit :

∑ ∆

=∆

mllmlm

lYK

rR

rGM

U,

),( λϕ

alors :

lml

lm lk

MR

K σπ

12'14 2

++

=∆

GgR

M2

=

lml

lm lk

gG

K σπ12'1

4+

+=∆

déterminables(éventuellement)

12

CONTRIBUTIONS DE TYPE 3.ème CORPS

P*LuneSoleilPlanètes

.

.S

P*

O

r

r*

ρ*

∑ −=*

).1

( 3*

*

***

PS

r

rrGMU

ρ

Dans le repère lié au corps, ou tout autre repère :

)( ixr =

)( **ixr =

[ ]ijjjiiij xxxxGM

U δρρ

−−−= 2***3*

*''* /)()(3

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FILTRAGE DES EQUATIONS GRADIOMETRIQUES

Problème : la précision des mesures de gradients de gravité par micro-accélérométrie différentielle, dépend de la fréquence

(cf. Cours de P. Touboul)

(i) Espérer étendre la précision à toutes les fréquencesnécessaires par paramétrisation supplémentaire (en particulier à basse fréquence, en faisant confianceau SST-GPS , et/ou à l'aide d'un "très bon" modèle deréférence à grandes longueurs d'ondes - par ex. issude GRACE ...)

ou (ii) Filtrer les mesures (... et aussi les équationsd ’observation) pour ne garder l ’information quedans la bande de fréquence ad ’hoc

Pour GOCE , la précision est max. (et ~ constante) entre 0.005 et 0.1 Hz

1500 km - 75 km

14

0 0.001 0.01 0.10.1

1

10

100

X-axisY-axisZ-axis

frequency [Hz]

nois

e PS

D (*

1E12

) [m

/s2/

sqrt

(Hz)

]

.5 10 3 0.1

Single accelerometer noise PSD [m s-2 Hz-1/2]

Inst

rum

ent E

rror

[mE

/sqr

t(H

z)]

Spécificationinitiale :3 mE/√Hz entre0.005 et 0.1 Hz(pour L = 0.5 m)

Performancesprédites (à partird ’analyses et de tests)

(200 s) (10 s)

GOCE : densité spectrale de bruit du gradiomètre

σgg=√2 σg / L

~1/ f

PSD : Power Spectral Density = densité spectrale de puissance du bruit (η)= ℑωf.a.c.(η )

transformée de Fourier

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FILTRAGE DES EQUATIONS GRADIOMETRIQUES(aperçu et fin)

Equations d'observation initiales Ax = bcov ( b) = Σ = cov (η)

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Soit F : filtre (opérateur linéaire) appliqué aux observations,et aux quantités théoriques et vecteurs colonnes de A

b = F bA= F A

Ax = bcov ( b) = Σ = E( b bT) = F Σ FT

Σ := ℑ -1PSDη (ω) : ses éléments sont fonction de l' intervalle de tempsentre deux mesures, et de η

Soit R le facteur de Cholesky de Σ , i.e. Σ = RT R

⇒ si l'on prend F = (R -1)T alors : Σ = Id .

voir cours de G. Métris

F I N

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