Probabilit冀s - Introduction ࡨ la notion de probabilit冀tugaut.perso.math.cnrs.fr/pdf/enseignement/2014/PFI/CM02.pdf · Plan 1 Définition 2 Propriétés 3 Cas particulier

DefinitionProprietes

Cas particulier d’un espace fondamental denombrableCas d’un espace fondamental non denombrable

Probabilites

Introduction a la notion de probabilite

Julian Tugaut

Telecom Saint-Etienne

Julian Tugaut Probabilites

Sommaire

1 Definition

2 Proprietes

3 Cas particulier d’un espace fondamental denombrable

4 Cas d’un espace fondamental non denombrable

Plan

1 Definition

2 Proprietes





Approche par les frequences

On commence d’abord par donner une vision intuitive de la notionde probabilites. Si l’on realise une suite de jets d’un de bienequilibre, on peut constater que la frequence d’obtention de chaqueface s’approche de 1

6. Il s’agit d’une definition objective basee sur

l’experience.

On peut aussi opter pour un point de vue plus subjectif : en raisonde la symetrie du de, on a une chance sur six d’obtenir chaqueface. Ainsi, on a une probabilite de 1

6d’obtenir chaque face.




Observations




Observations

La frequence de realisation est un nombre compris entre 0 et1.




Observations


La frequence de realisation de l’evenement certain est egal a 1.




Observations


La frequence de realisation de l’evenement certain est egal a 1.

La frequence de realisation de A ∪ B est la somme desfrequences de realisation de A et de B lorsque A et B sontincompatibles. Cette propriete peut etre etendue au cas d’unesuite finie ou infinie d’evenements deux a deux incompatibles.


Axiomatisation

Definition

Une probabilite est une application P qui, a tout evenement A, faitcorrespondre un nombre note P(A) (“probabilite de A”) et quiverifie :

Axiomatisation

Definition


(P1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Axiomatisation

Definition


(P1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.

(P2) P(Ω) = 1.

Axiomatisation

Definition


(P1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.

(P2) P(Ω) = 1.

(P3) Pour toute suite (Ak)k≥1 d’evenements deux a deuxincompatibles, on a

P

(

∞⋃

k=1

Ak

)

=∞∑

k=1

P (Ak) .

Axiomatisation

Definition


(P1) 0 ≤ P(A) ≤ 1.

(P2) P(Ω) = 1.

(P3) Pour toute suite (Ak)k≥1 d’evenements deux a deuxincompatibles, on a

P

(

∞⋃

k=1

Ak

)

=∞∑

k=1

P (Ak) .

Remarque

La troisieme hypothese porte aussi le nom d’axiome desprobabilites totales.

Plan

1 Definition

2 Proprietes





Probabilite de l’evenement contraire - 1

Soit un evenement A de probabilite P(A). Par definition ducomplementaire, A et Ac sont incompatibles. Or, d’apres l’axiome(P2), on a






1 = P(Ω) .






1 = P(Ω) .

On a aussi Ω = A ∪ Ac . Ainsi, il vient

P(Ω) = P (A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac) ,

d’apres l’axiome des probabilites totales, vu que A et Ac sontincompatibles.






1 = P(Ω) .

On a aussi Ω = A ∪ Ac . Ainsi, il vient

P(Ω) = P (A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac) ,

d’apres l’axiome des probabilites totales, vu que A et Ac sontincompatibles. Consequemment, on a le resultat suivant

Theoreme

Soit un evenement A. Alors, P(Ac) = 1 − P(A).





Remarque

Comme Ωc = ∅, on en deduit P(∅) = 1 − P(Ω) = 1 − 1 = 0. Laprobabilite de l’evenement impossible est nulle.





Remarque


Il convient de souligner qu’un evenement de probabilite nulle n’estpas necessairement impossible. De meme, un evenement deprobabilite egale a 1 n’est pas necessairement l’evenement certain.On dit d’ailleurs qu’il est presque sur.





Remarque


Il convient de souligner qu’un evenement de probabilite nulle n’estpas necessairement impossible. De meme, un evenement deprobabilite egale a 1 n’est pas necessairement l’evenement certain.On dit d’ailleurs qu’il est presque sur.

On peut generaliser le resultat du Theoreme a un systeme completd’evenements. Si (A1, · · · ,An) est un systeme completd’evenements, alors

P(A1) + · · · + P(An) = 1 .




Decomposition de tout evenement B

Soit une experience aleatoire e. On note Ω l’espace fondamentalassocie. Soit un systeme complet d’evenements, (A1, · · · ,An). Soitmaintenant B un evenement. On a alors le resultat suivant :




Decomposition de tout evenement B

Soit une experience aleatoire e. On note Ω l’espace fondamentalassocie. Soit un systeme complet d’evenements, (A1, · · · ,An). Soitmaintenant B un evenement. On a alors le resultat suivant :

Theoreme

P(B) = P (B ∩ A1) + · · · + P (B ∩ An) .


Exemple de decomposition d’un evenement

On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On pose :

A1 :=“on obtient un cœur”.

A2 :=“on obtient un carreau”.

A3 :=“on obtient un pique”.

A4 :=“on obtient un trefle”.







Alors (A1,A2,A3,A4) est un systeme complet.







Alors (A1,A2,A3,A4) est un systeme complet. Soit B l’evenement“on obtient un as”. On a alors

P(B) =P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + P(B ∩ A3) + P(B ∩ A4)

=P (as de cœur) + P (as de carreau)

+ P (as de pique) + P (as de trefle) .







Alors (A1,A2,A3,A4) est un systeme complet. Soit B l’evenement“on obtient un as”. On a alors

P(B) =P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + P(B ∩ A3) + P(B ∩ A4)

=P (as de cœur) + P (as de carreau)

+ P (as de pique) + P (as de trefle) .

Chacun des quatre evenements est de probabilite 132

d’ou l’on a

P(B) =4

32=

1

8.



Decomposition particuliere de B

A nouveau, on peut s’interesser au cas particulier du systemecomplet (A,Ac). Alors, pour tout evenement B, on a




Decomposition particuliere de B

A nouveau, on peut s’interesser au cas particulier du systemecomplet (A,Ac). Alors, pour tout evenement B, on a

P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ac) .




Croissance de la probabilite

Soit une experience aleatoire e. Soit Ω l’espace fondamental. Onconsidere deux evenements A et B lies a cette experience aleatoire.On a le resultat suivant de croissance de la probabilite




Croissance de la probabilite

Soit une experience aleatoire e. Soit Ω l’espace fondamental. Onconsidere deux evenements A et B lies a cette experience aleatoire.On a le resultat suivant de croissance de la probabilite

Theoreme

Si A implique B alors P(A) ≤ P(B).




Theoreme des probabilites totales

Theoreme

Soit une experience aleatoire e. Soient deux evenements A et B.Alors, on a

P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P (A ∩ B) .





Theoreme


P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P (A ∩ B) .

Remarque

Cette formule ressemble a la formule de Grassmann en algebrelineaire.





Theoreme


P (A ∪ B) = P(A) + P(B) − P (A ∩ B) .

Remarque

Cette formule ressemble a la formule de Grassmann en algebrelineaire.

Exercice

Soient trois evenements A, B et C . Calculer P (A ∪ B ∪ C ).


Plan

1 Definition

2 Proprietes





Caracterisation de la probabilite

Dans cette section, Ω := ω1, · · · , ωi , · · · = ωi , i ∈ I ou I estun ensemble denombrable d’indices. On se donne une probabilite P

sur l’univers Ω.




Caracterisation de la probabilite

Dans cette section, Ω := ω1, · · · , ωi , · · · = ωi , i ∈ I ou I estun ensemble denombrable d’indices. On se donne une probabilite P

sur l’univers Ω.

Theoreme

La probabilite P sur l’espace fondamental denombrable Ω estentierement determinee par la donnee des probabilites desevenements elementaires P (ωk) = P(ωk).




Cas particulier de l’equiprobabilite - 1

Soit un espace fondamental Ω fini : Ω = ω1, · · · , ωN avecN < ∞. On a donc N = #Ω.






Definition

Dans le cas particulier ou P(ω1) = · · · = P(ωN), on dit quel’espace fondamental fini Ω est muni de l’equiprobabilite.






Definition

Dans le cas particulier ou P(ω1) = · · · = P(ωN), on dit quel’espace fondamental fini Ω est muni de l’equiprobabilite.

Theoreme

Si P est l’equiprobabilite sur Ω = ω1, · · · , ωN, on aP(ωk) =

1N= 1

#Ωpour tout 1 ≤ k ≤ N.





Theoreme

Si P est l’equiprobabilite sur Ω = ω1, · · · , ωN, on a

P(A) =# cas favorables

# cas possibles=

#A

#Ω.

pour tout evenement A.




Utilisation de l’equiprobabilite - 1

Exemple

On jette un de non pipe. Les six resultats possibles ω1, ω2, ω3, ω4,ω5 et ω6 sont equiprobables. Ainsi, l’universΩ = ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 est muni de l’equiprobabilite :

P(ωk) =1

6,

pour tout 1 ≤ k ≤ 6. Soit l’evenement A :=“on obtient une facepaire”. Alors, A = ω2, ω4, ω6 puis

P(A) =#A

#Ω=

3

6=

1

2.




Utilisation de l’equiprobabilite - 2

Exemple

On prend huit cartes dans un jeu de trente-deux cartes. On aexactement C 8

32 =32!8!24!

= 10 518 300 facons de le faire. L’espacefondamental Ω est muni de l’equiprobabilite. On considerel’evenement A :=“on ne prend aucun as”. Il vient alors

P(A) =#A

#Ω=

C828

C 832

≈ 0.295 .


Plan

1 Definition

2 Proprietes





Cas d’un espace fondamental non denombrable

On peut se poser la question de la caracterisation d’une probabilitesi l’espace fondamental n’est pas denombrable.




Cas d’un espace fondamental non denombrable

On peut se poser la question de la caracterisation d’une probabilitesi l’espace fondamental n’est pas denombrable.

Theoreme

Soit un univers Ω non denombrable et muni d’une probabilite P.On note P ⊂ Ω le sous-ensemble qui contient des elements ω deprobabilite strictement positive. Alors P est denombrable.


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