This article was downloaded by: [Columbia University]On: 09 October 2014, At: 15:57Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: Mortimer House,37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

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Espaces homogènes génériquement triviauxArnaud Leyssens aa U.F.R. de Mathématiques , Université des Sciences et Techniques de Lille , URA CNRS751, Bât. M2, Villeneuve d'Ascq cedex, France E-mail:Published online: 27 Jun 2007.

To cite this article: Arnaud Leyssens (2000) Espaces homogènes génériquement triviaux, Communications in Algebra, 28:4,2173-2183, DOI: 10.1080/00927870008826950

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COMMUNICATIONS IN ALGEBRA, 28(4), 2 1 73-2 1 83 (2000)

Espaces homoghes gknkriquement triviaux

Arnaud Leyssens

U.F.R. de Mathhatiques, URA CNRS 751, B8t. M2, Universitk des Sciences et Techniques de Lille, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, fiance. E-mail : aleyss@gat.univ-lillel .fr

R8sum6. Nous abordons dans ce travail 1'Btude des espaces homogenes d'un groupe lisse G au dessus d'un espace affine ou d'une algkbre locale dBfinie sur un corps k, ainsi que l'etude des gerbes localement liees par un groupe H semi-simple dBfini sur k. En particulier nous montrons que toute gerbe locaiement liBe par H et gBnBriquement triviale est triviale et que tout espace homog&ne generiquement trivial est trivial pour la topologie de Zariski, Btendant ainsi un resultat de Colliot-ThBiBne e t Ojanguren concernant les G-torseurs.

Rationally trivial homogeneous spaces

Abstract .We study the homogeneous spaces of a smooth group G over affine spaces or local k-algebra and gerbs locally banded by a semi-simple group H defined over k. 111 particular we show that every gerb locally banded by H and rationally trivial is trivial, and that an homogeneous space of C: with semi-simple isotropy which is rationally trivial is trivial in the Zariski topology. This extends a result of Coliiot-ThelBne and Ojanguren concerning G-torsors.

Abridged English Version

DEFINITION: Let S be a scheme, G a S-group scheme, X a S-scheme. Assume that G acts on X. Then X is called an S-homogeneous space of G if there exists an S-subgroup H of G such that X is locally (in the Btale topology) isomorphic to the the &ale quotient of G by H. In this case, H is called the isotropy of the action of G on X.

We denote by H1(S, G, H) the set of isonlorphic classes of S-homogeneous spaces of G with isotropy H. This set is pointed by the class of G/H. Let Y be a G-torsor over S. We say that Y dominates X if there exists an S-morphism Y -+ X equivariant for the ac- tion of G on Y and X. The domination gives rise to a relation H1(S, G) +H H1(S, G, H) .

Copyright O 2000 by Marcel Dekker, Inc.

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To an S-homogeneous space X of G with isotropy H, we associate the gerb Gx of liftings of X to G (see $1 below for definitions concerning gerbs and bands, see [6] for it detailed treatment) : The objects of Ex over an etale open U of S are the pairs (Y, +), with Y a G-torsor over U and 4 a morphism Y -- X u , the morphisms of Gx are the natural morphisms of pairs. The gerb Qx is locally banded by H and X is dominated by a G-torsor over S if and only if the gerb Gx is neutral.

Let k be an infinite field, H a reductive algebraic group defined over k, which is semi-simple or split. We denote by S the affine scheme Spec k [ t l , . . . , t,], or the scheme Spec A, with A a local k-algebra. We denote by K the generic point of S. Let g be a S-gerb locally banded by H. We show that if B is generically equivalent to the gerb of H-torsors, then 9 is equivalent over S to the gerb of H-torsors.

We first show that every S-gerb locally (in the &ale topology) banded by H and ra- tionally banded by H is in fact banded by H over S. Then, denoting by Z the center of H, we use the fact that the homomorphism H2(S, 2 ) -- H2(K, 2) is injective to prove that a gerb equivalent to the gerb of H-torsors over Spec K is trivial over S.

If X is an S-homogeneous space of G with isotropy H, such that the restriction of X to Spec K is isomorphic to G/H, then Gx is locally banded by H and it is rationally equivalent to the gerb of H-torsors. Thus, applying the previous result we obtain:

THEOREM 1 : Let k be a perfect field, G an acceptable group (see [9]) over k, and H a reductive subgroup of G defined over k, which is semi-simple or split. Let X be an homogeneous space of G with isotropy H over Spec ki t l , . . . ,t,]. Assume that X is generically trivial then X is locally trivial in the Zariski topology.

Idea of the proof (see proof of theorem 3.1 for details): We first show that the gerb of liftings of X to G is neutral. It means that X is dominated over Spec kitl , . . . , t,] by a G-torsor Y. We show that there exists a Zariski covering (U,) of S such that the restriction of Y to each U, is the image of an H-torsor over U,. Thus the restriction of X to U, is trivial. q.e.d.

Let k be a perfect field, A a regular local k-algebra and K the field of fractions of A, we obtain the :

THEOREM 2 : Let G be a smooth group defined over k. Let H be a reductive subgroup of G such that Im[H1(K, 2 ) -+ H1(K, H)] is trivial. Then the morphism

has trivial kernel. In other words, an homogeneous space of G with isotropy H, defined over Spec A and which admits a section over Spec K has a section over Spec A.

In particular, the hypothesis on Im[H1(K, Z) -- H1(K, H) ] is satisfied when H is split or sinlply connected. In these cases we can apply Theorem 2.

Idea of the proof (see theorem 3.2 for details) : The gerb of liftings of X to G is trivial, thus X is dominated by a G-torsor Y over Spec A. We show that we can choose Y such

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that the restriction of Y t o Spec K is trivial, then we use results of Colliot-ThBIkne and Ojanguren to prove that Y admits a section over Spec A, and then, so does X. 9.e.d.

0. In t roduc t ion e t notat ions

Soit k un corps infini et A une k-algkbre locale de corps des fractions K. J.-L. Colliot- ThBkne et M. Ojanguren montrent dans 121 que I'application

a un noyau trivial, pour tout groupe lineaire lisse G defini sur k si k est parfait et pour tout groupe reductif lisse vkrifiant une condition d'isotropie ([2], p. 103) si k n'est pas par- fait. 11s prouvent ainsi une conjecture concernant la trivialit6 des torseurs gkneriquement triviaux formulee par Serre ( [ l l ] , remarque p. 31) et Grothendieck ([7], remarque 3, p. 26-27) dans le skminaire Chevalley de 1958 .

Le but de ce travail est de generaliser ce rCsultat au cas d'espaces homogenes de G non nbcessairement principaux.

DBfinition 1.-Soient S un schBma, G un S-schema en groupes, X un S-schBma sur lequel G opere. Le schema X est un S-espace homogene de G si il existe un sous S- schema en groupes H de G tel que localement pour la topologie Btale, X est isomorphe au quotient &ale de G par H. Le groupe H est alors appele I'isotropie de I'action de G sur X.

On note H 1 ( S , G, H ) l'ensemble des classes d'isomorphie de S-espaces homogenes de G avec isotropie H. C'est un ensemble point4 par la classe d'isomorphie de G/H. Si X est un S-espace homogene de G avec isotropie H et Y un S-torseur de G, on dit que Y domine X s'il existe un S-morphisme Y + X equivariant pour I'action de G sur Y et X. Cette relation de domination induit une relation H1 (S, G) + H1 (S, G, H )

Pour Btudier les espaces homogenes de G sur un schema S, et plus particulierement la relation H 1 (S, G) + H 1 ( S , G , H ) , nous utilisons la 2-cohomologie non abelienne developpee par Giraud 161. Plus prkcisCment, a un S-espace homogene X de G avec kc- tropie H, on associe une gerbe dont le lien est localement representable par H (voir $1 ci-dessous pour les definitions concernant les gerbes, les liens et la 2-cohomologie non abelienne ou [6] pour un traitement detailk). La neutralite de cette gerbe Bquivaut a l'existence d'un espace homogene de G dominant X sur S.

Cette methode est due & Springer qui utilise dans (12) la 2-cohomologie non abelienne pour montrer la proposition suivante : Si G est un groupe algkbrique connexe d6fini sur un corps parfait k de dimension cohomologique infkrieure ou Cgale a 1, tout espace homogene de G defini sur k est domine sur k par un espace homogene principal de G. L'utilisation de la 2-cohomologie non abitlienne a egalement permis a Borovoi [I] de montrer un prin- cipe de Hasse pour les espaces homogene des groupes semi-simples simplement connexes definis sur les corps locaux ou les corps de nombres. La mbme methode est encore utilisee par Flicker, Sheiderer et Sujatha [5] pour montrer une version du th6orbme de Springer sur les corps de dimension cohomologique virtuelle inferieure ou Bgale a 1.

La preuve de la conjecture de Serre par J.-L. Colliot-ThdBne et M. Ojanguren s'appuie sur la classification des torseurs du groupe G sur les espaces affines de type Spec k[tl, . . . , t,],

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Btudiee par M.S. Raghunathan dans 191 et [lo]. On s'interesse donc dans un premier temps aux espaces homogenes de G sur les schkmas de type Spec kjtl,. . . , t,].

Dans la suite de ce travail, k dksignera un corps infini. On note A,, le schema affine Spec k[tl, . . . , t,] et si L est un corps contenant k, on note A; le schema Spec L[tl , . . . , t,]. On notera k(A,) le corps k ( t l , . . . , t,,). Si H est un groupe reductif defini sur k, de centre Z, on note Had le groupe H/Z.

Dans (91 (p. 188) , M.S. Raghunathan introduit la notion de groupe acceptable :

DBfinition 2.-Un groupe G defini sur un corps k est dit acceptable si pour toute ex- tension L de k, tout torseur de G sur Spec Lit] est l'irnage d'un torseur de G sur Spec L par le changernent de base Spec L[t] + Spec L

On trouvera dans [9] de nombreux exemples de groupes acceptables. En particulier, si k est un corps de caracteristique 0, tout groupe G est acceptable sur k ; un tore est acceptable sur tout corps.

1. Gerbes et liens

1.1-Gerbes- Soit S un site &ale et B une categorie fibree au dessus de S. On suppose que pour tout ouvert &ale U de S, la fibre B(U) est un groupoide. On dit que B est un pre'champ si pour tout ouvert &ale U de S et pour tout couple (x,y) d'objets de G(U), le foncteur Hom(x,y) est un faisceau,

On dit que le prechamp B est un champ si la condition suivante est vkrifike pour tout ouvert &ale U de S, pour tout recouvrement &ale (U,)iGr de U et toute famille ( z , ) ~ , = ~ E Hi S(Ua) : S'il existe pour tout i et j dans I un isomorphisme +ij entre les restrictions de x, et x j dans G(U, n Uj) et si pour tous i,j,k dans I, les restrictions de +ij, OLk et +kJ au dessus de Ui n Ui n 9 verifient = 4ik+kj, alors, il existe x E G(U) tel que la restriction de x au dessus de chaque U, est isomorphe a 2,.

Oii sppelk S-gerbe (161, p. 129) ur, champ E au-dessgs de S satisfaisant !es prapriktes supplCrnentaires suivantes : (i) I1 existe un recouvrement &ale (U,),Er de S tel que pour tout i E I la fibre B(Ui) est non vide ; (ii) Pour tout ouvert &ale U de S, deux objets x et y de B(U) sont localement isomorphes, c'est & dire qu'il existe un recouvrement (Ui)iEI de U tel que les restrictions de x et y dans G(U,) sont isomorphes pour tout i E I.

Etant donne un ouvert U de S, on appelle sections de B au dessus de U les objets de la categorie B(U). On dit que la gerbe B est neutre (ou a une section au dessus de S) si la fibre B(S) au dessus de S est non vide.

l.2.Liens-([GI, Ch. IV $2.2)-Pour tout ouvert U de S, on note FAGR(U) la catkgorie des faisceaux de groupes au-dessus de U et on appelle FAGR le chan~p au dessus de S dont la fibre au dessus d'un ouvert U de S est la categorie FAGR(U). On considere au dessus de S le prkchamp defini de la manibre suivante: Pour tout ouvert U de S, la catitgorie au dessus de U a les mdmes objets que la categorie FAGR(U) mais les morphismes entre

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deux objets F et G sont les quotients de Hom(F,G) par I'action des automorphismes intkrieurs de F et G ([6], Ch. IV 51.1). A tout prechamp on peut associer de maniere canonique ([6], Ch. 11, Th. 2.1.3 et 52.1.3.2) un champ et on appelle Li le champ associk au prkchamp defini ci-dessus. Un lien au dessus de S est une section du champ Li au dessus de S, c'est & dire un objet de la catigorie Li(S).

A toute S-gerbe G est associk un lien C(G) de la manikre suivante: Pour tout ou- vert U de S, on dkfinit un foncteur de la catkgorie G(U) dans la catkgorie FAGR(U) en associant a tout objet x de G(U) le U-faisceau Aut(x) des automorphismes de x et A tout morphisme 4 : x + y le U-morphisme inn(4) : Aut(x) -+ Aut(y) qui envoie a E Aut(x) sur +ad E Aut(y). On compose ce foncteur avec le foncteur canonique B(U) : FAGR(U) -+ Li(U) pour obtenir un foncteur G(U) -+ Li(U). On note C, 19image de x par ce foncteur. Etant donnks deux objets x et y de la catkgorie G(U), il existe un recouvrement (Uz)zEI de U tels que les restrictions de C, et C, au dessus de U, sont egales dans la categorie L,i(U,) pour tout i E 1([6], Ch. 1V §2,2.2.2). Puisque la catitgorie fibree Li est un champ, il est possible de recoller ies objets C, ( pour U variant parmi les ouverts Ctales de S et x variant parmi les objets de G(U)) pour obtenir une section de Li au-dessus de S, c'est B dire un S-lien que l'on note C(G). On appelle ce lien le lien de la gerbe 8. On dit aussi que la gerbe est like par C(G).

On dit qu'un S-lien C est reprksentable s'il existe un faisceau en groupes H au des- sus de S tel que C = B(H) ((61, Ch. IV, Def. 1.2.1). Un S-lien est toujours localement representable par un S-faisceau en groupes H. C'est B dire qu'il existe un recouvrement Btale ( U s ) L E ~ de S tel que la restriction de L au dessus de chaque U, est l'image par B de HE,. Un S-lien C localement representable par un S-faisceau en groupe H dkfinit un Blement de H1(S, Autext(H)) ([6], Ch. IV, Cor. 1.1.7.3). On dit qu'une gerbe G est locale- rnent like par un S-faisceau en groupes H si le lien de G est localement representable par H.

1.3-cohomologie non abe'lienne([6], Ch. 1V)-Etant donne un lien 13, deux gerbes G et 8' sont dites C-kquivalentes si C(G) = L(G1) = C et s'il existe un isomorphisme de gerbes G I G' induisant l'identite sur le lien 13. Si une gerbe Q like par C admet une section s au dessus de S, elle est C-Bquivalente sur S & la gerbe des torseurs de Aut(s). Son lien est alors repre~ent~abie par Aiit(s).

Etant donne un lien C, on definit l'ensemble de cohomologie H2(S, C) comme l'en- semble des classes de L-equivalence des gerbes likes par C. Si le lien C est representable par un faisceau en groupes H, on notera H2(S, H ) pour H 2 ( S , C).

On note Z(C) le centre abkiien du lien C. Alors l'ensemble H2(S, Z(C)) est un groupe qui agit sur l'ensemble H ~ ( s , C) de manikre simplement transitive.

2. Gerbes localernent triviales

Proposition 2.1.- Soit k un corps de caracteristique 0, H un groupe reductif dbfini sur k et G une gerbe liee par H sur A,.Si il existe un point ferme so : Spec k + A,, tel que la restriction de G & xo est neutre, alors G est neutre sur A,. En particulier, si G est neutre au point generique de A,, elle est neutre sur A,. Si de plus 8 est gheriquement triviale, c'est & dire kquivalente sur k(A,) a la gerbe des torseurs de H, alors G est triviale sur A,,.

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Preuve: On note y la classe d'kquivalence de G dans H2(An, H) , Z le centre de H sur k, et . l'action de H2(An, 2) sur H2(An, H ) qui fait du second un apace principal homogene sous le premier. On kcrit y sous la forrne y = a.c oh e dhsigne la classe d'kquivalence de la gerbe des H-torseurs sur A,. On note a,, l'image de a dans H2(k, Z) par le changement de base dkfini par so. La restriction de G a xo est neutre donc

a,, E Irn[H1(k, Had) - ~ ~ ( k , Z)]

On note a' l'image de a,, dans H2(An, Z) par le changement de base A, + Spec k, on a :

a' E Im[H1(An, Had) -' H'(A,, Z)]

Or, pour un corps k de caractkristique 0, les groupes H2(k , Z) et H2(An, 2) sont is* morphes ([2], preuve du t h k o r h e 4.2) donc a' = a , et donc

ce qui implique que G est neutre.

Si G est gknkriquernent neutre, alors il existe un ouvert U de A, tel que la restriction de G U est neutre. Si xo : Spec k-tU est un point fermk de U, la restriction de G xo est neutre. Si est gknkriquernent triviale, alors la restriction de a au point gknkrique est nulie. Or l'application H2(An, Z) 4 H2(k(A,,), Z ) est injective ([2], theor8me 4.2) donc a est nu1 et G est triviale. C. Q.F.D.

Corollaire 2.1.-Soit k un corps de caractkristique 0 et H un groupe rkductif d6fini sur k tels que l'une des conditions suivantes soit vrifike:

i) k est algitbriquement clos ;

ii) k est un corps local non archimkdien et est semi-simple connexe ;

iii) k est un corps global et est semi-simple simplement connexe.

En effet, dans chacun de ces cas, ~ ~ ( k , H ) ne contient que des classes neutres (c.f. (41 pour ii) et iii))

Lemme 2.1.-Soit k un corps de caractkristique non nulle et T un tore dkfini sur k. Alors l'application H2(An, T) I H2(k(An), T) est injective.

Preuve: Soit T un tore dkfini sur k. On considere le diagramme :

La flBche de droite est injective car T est dkployk sur k, et l'application

H~(A, , G,) - H~(!C(.~,,) , GI)

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est injective ([a], p.107). Un element a de H2(An ,T) dont I'image dans H2(k(An),T) est nulle a donc une image nulle dans H2(A:, T). La suite spectrale de Hochschild-Serre relative au reveternent galoisien A? --t A,, montre que a est I'image d'un dlernent P de H2(Gal(k,/k),T(k,[t l , . . . , tn]) . Or,

~ " ~ a l ( k , / k ) , ~ ( k , [ t l , . . . , t,])) = ~ ~ ( ~ a l ( k , / k ) , T ( k , ) ) = H2(k,T) .

Donc cu est l'image d'un Blkment de H2(k , T). Or, a est nu1 au point genbrique, donc a est nul. C. Q. F. D

Proposition 2.2.-Soit k un corps de caracteristique non nulle, H un groupe reductif defini sur k, G une gerbe like par H sur A,. Si la restriction de G au point generique est triviale, alors G est triviale sur A,.

Preuve: On note Z le centre de H, T un tore maximal de H et Tad le tore T/Z. La suite exacte 1 + 2 + T -t Tad --+ 1 donne un diagramme cornmutatif:

La fleche de droite est injective d'aprhs le lemnle 2.1. Soit a un 616ment de H2(A,, Z) dont l'image dans H"k(A,), 2 ) est nulle. Une chasse au diagramme montre que a est alors I'image d'un 616ment ,O de H1(An, Tad) tel que la restriction de P au point generique de A, provient d'un e1Cment de H1(k(A,,),T). Les Tad-torseurs sur A, proviennent de Tad-torseurs sur Spec k par le changement de base A, -+ Spec k (191, p. 205), donc est l'image sur A, d'un 616rnent de H1(A,,, T) et donc CY est nul. On kcrit y la classe d'equivalence de G daris H2(A,, H ) et y = a . ~ . La gerbe G est gen6riqueme~t triviale done cu est g6neriquement nul. L'injectivitC de l'application

montre que a est nu1 et donc 6 est triviale. C. Q.F.D.

Lernme 2.2.-Soit H un groupe reductif defini sur un corps k et vdrifiant l'une des deux conditions suivantes :

i) H est serni-simple;

ii) H est deploye sur k

Alors toute gerbe sur A, localement (pour la topologie etale) like par H et generiquement liee par H est like par H sur A,.

Preuve: Soit G une gerbe sur A, localement like par H et generiquement like par H. Le lien L de G dkfinit un element [L] de H1(An,Autext(H)) dont l'image dans H1(k(A,), Autext(H)) est nulle. Dans le cas ou H est semi-simple, le groupe Autext(H) est un groupe fini. Dans la cas ou H est deploy&, le groupe Autext(H) est un groupe constant. Dans ces der~x cas, l'application H1(A,, Autext(H)) -t H1(k(An), Autext(H)) a un noyau trivial. Donc le lien de G est representable par H. C.Q.F.D.

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Lemme 2.3-Soit A une algkbre locale rkgulikre sur un corps parfait k, K son corps des fractions et H un groupe reductif dkfini sur k. Toute gerbe localement like par H sur A et like par H sur K est like par H sur 4 .

Preuve: La dkmonstration est la mdme que dans le cas affine en remarquant que l'application H1 (A, Autext(H)) -+ H1 (K, Autext(H)) est injective [2]. C. Q.F. D.

Lemme 2.4.-Soit A une algkbre locale rkgulikre sur un corps parfait k, K son corps des fractions, H un groupe rkductif dkfini sur k et B une gerbe sur A like par H et gkneriquement triviale. Alors B est triviale.

Preuve: La dkmonstration repose ici sur l'injectivitk de l'application H2(A, 2) + H 2 ( K , 2) pour tout anneau local rkgulier ([3] proposition 2.2). C.Q.F. D.

3. Espaces homogitnes g6nBriquement t r iviaux

Proposi t ion 3.1.-Soit G un groupe rkductif dkfini sur un corps k, H un sous-groupe de G semi-simple ou reductif dkployk, X un espace homogene de G isotropie H sur A,. Si X est gknkriquement trivial, alors X est domink sur A, par un G-torseur. De plus, tout G-torseur dominant X sur A, provient gknkriquement d'un H-torseur.

Preuve : On construit la gerbe Bx des relkvements de X & G. Elle est localement (pour la topologie ktale) like par H et gknkriquement like par H. Donc d'aprks le lemme 2.2, Qx est like par H sur A,,. La restriction de Bx au point gknkrique est triviale donc Bx est triviale d'aprks la proposition 2.1 si car k = 0, d'aprks la proposition 2.2 si car k > 0. La gerbe des relkvements de X & G est triviale, donc X est domink par un G-torseur sur A,. Soit Y un G-torseur dominant X sur A,. La restriction de Y a k(A,,) domine X k ( ~ , , ) - qui est trivial- donc Y k ( ~ , ) provient d'un H-torseur. C.Q.F.D.

Corollaire 3.1-Soit G un groupe acceptable sur k, H un sous-groupe de G rkductif dkployk ou semi-simple, k vkrifiant l'une des conditions suivantes :

i) dim k 5 1 ;

ii) k est un corps local de corps rksiduel de dimension infkrieure & 1 et G est simplement connexe et quasi deploy6 ;

iii) k est un corps global et G est simplement connexe et quasi dkployk

Alors tout espace homogene de G & isotropie H gkneriquernent trivial est trivial sur A,.

En effet, dans chacun de ces cas, H1(An, G) est rkduit & l'klkment neutre.

Si car k=O et si dans les cas ii),iii) on suppose en plus H semisimple simplement connexe, tout espace homogene de G & isotropie H sur A, est domink par un torseur de G sur A, par le corollaire 2.1 et donc est trivial.

T h e o r e m e 3.1.-Soit G un groupe acceptable sur un corps parfait k, H un sous- groupe rkductif dkployk ou semi-simple de G, X un espace homogkne de G B isotropie H sur A, gknkriquement trivial, alors X est localement trivial pour la topologie de Zariski.

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Preuve : On note K le corps k(A,). D'aprbs la proposition prBcBdente, X est domink sur A, par un espace principal homogirne Y de G et la restriction YK de Y & Spec K est l'image d'un espace principal homogkne de H sur K. I1 existe donc un ouvert U de A,, tel que Yu soit l'image d'un espace principal homogene Z de H sur U. De plus, G est acceptable sur k, donc il existe un ouvert V de A, tel que Yv est l'image d'un espace principal homogkne de G sur k par le changement de base V --+ Spec k ([9], heo or em A). Soit W = U n V et soit + W un point fermB de W. On a un morphisme Z, 4 Y, et par le changement de base W + Spec k, on obtient un morphisme Z, x W i Y, x W , et Y, x W est isomorphe a Yw. On appelle 2' le H-torseur sur A, dBfini par Z' = 2, x A, et Y 1 I'image de 2' dans H1(An, G) . L'image Y& de Y' par le changement de base W 4 A, est isomorphe & Yw donc Yi( est isomorphe & YK. Soit G' la forme de G sur k obtenue en tordant G par le cocyle correspondant & Y,. I1 existe une bijection de H1(An,G) sur H1(An,G') envoyant Y' sur 0. L'image de Y dans H'(A,,G1) est g6neriquement triviale donc elle est triviale pour un recouvrement de Zariski de A,, la suite 1 + H;,,(A,,G) + H1(An,G) + H1(K,G) Btant exact (121, Th. 3.1). Donc Y est localement isomorphe & Y' pour la topologie de Zariski. Donc localement pour la topologie de Zariski, Y provient d'un espace principal hornogkne de H et X est trivial, ce qui montre l'exactitude de la suite :

C.Q.F.D.

Pour Btudier les torseurs de G sur il,, Ragunathan (1101) introduit la condition d'iso- tropie suivante sur G:

Chacune des composantes k-simples du groupe G est isotrope sur k.

Sous cette condition J.-L.Colliot-Thitlbne et M. Ojanguren ([2]) montrent que l'applica- tion

H ' ( L [ ~ ~ , . . . , t,], G ) -+ f W ( t l , . . . , t , ) , ~ )

a un noyau trivial.

Proposition 3.2.-Soit G un groupe ditfini sur un corps k et vBrifiant la condition d'isotropie ci-dessus, H un sous-groupe reductif ditploye ou semi-simple de G, de centre Z v6rifiant

1m[H1(k(A,), Z ) -+ H1(k(An), H)] = 0.

Alors tout espace homogkne de G a isotropie H sur A,, trivial au point g6nerique de A,, est trivial sur A,. En d'autres termes, l'application H1(An, G, H ) + H1(k(An) ,G, H ) a un noyau trivial.

La proposition s'applique en particulier quand H est un sous-groupe dBploy6, simple- ment connexe ou adjoint de G. En particulier si k est algebriquement clos, G et H dBfinis sur k, alors pour tout corps L contenant k, l'application

a un noyau trivial.

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LEYSSENS

Preuve : la gerbe Bx des relevements de X & G est Bquivalente sur A, a la gerbe des H-torseurs. Soit donc Y un espace principal de G dominant X sur A,. On note H' le groupe AutG,x(Y). H' est une forme de H tordue par un cocyle de Z1(A,, H ) . Quitte B modifier Y par une forme tordue de Y, on peut choisir Y tel que A U ~ ~ , ~ ( Y ) = H . On note K le corps k(A,). Un torseur Y' de G sur K dominant X K definit un 616ment 17 dans H1(K, H ) et la forme de H obtenue en tordant H par 17 est le groupe A U ~ ~ , ~ , ( Y ' ) . La restriction XK de X au dessus de Spec K est triviale donc dominee par GK. o n note 17 1' klement defini par le morphisme GK -+ XK dans H1(K, H ) . Le groupe AutG,x(GK) est isomorphe a H . Ce qui signifie que la forme de H obtenue en tordant H par 7 est encore H. Donc 17 E Im[H1(K, 2) -+ H1(K, H)] . D'aprhs l'hypothese faite sur H, on a 17 = 0. L'es- pace homogene Y est donc isomorphe sur K a G. Or l'application H1(An, G) -+ H1 (K, G) a un noyau trivial (121, p. 106). L'espace homogene principal Y admet donc une section sur A, et il en est de mbme pour l'espace homogene X.

Soit maintenant A un k-alghbre locale essentiellement lisse, de corps des fractions K, k designant un corps parfait, les lemmes 2.3 et 2.4 permettent d'obtenir en reproduisant la demonstration du cas affine:

Proposition 3.3-Soit A une k-algitbre locale essentiellement lisse, G un groupe lineaire lisse dkfini sur k, H un sous-groupe reductif de G, X un espace homogene de G a isotropie H sur A genkriquement trivial. Alors X est domine sur A par uri espace principal homogene de G. De plus tout espace homogene principal de G dominant X sur A provient gknkriquement d'un H-torseur.

Thkorgme 3.2.-Soient G et H comme dans la proposition et Z le centre de H. Si Im[H1 (K, Z ) --+ H'(K, H ) ] est triviale alors l'application H'(A, G, H ) + H'(K, G, H ) a un noyau trivial.

Preuve: On prockde une nouvelle fois comme dans le cas affine, en remarquant que l'application H1(A, G) + H1 (K, G) a un noyau trivial [2]. C. Q.F. D.

Le th6oreme 3.2 s'applique en particulier si H est simplement connexe, adjoint ou d6ployk. On obtient donc :

Corollaire 3.2.-Soit k un corps algkbriquement clos, L un corps contenant k, G un groupe linkaire lisse defini sur k, H un sous groupe reductif de G defini sur k. Alors pour tout L-algkbre A locale essentiellement lisse, de corps des fractions K, l'application H1(A, G, H ) + H1(K, G, H ) a un noyau.trivia1.

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Received: March 1999

Revised: June 1999

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