Mathématiques Spéciales Espaces Préhilbertiens

Espaces préhilbertiens

Remarque : Dans ces exercices, lorsque rien n’est précisé, on travaille dans un espace vec-toriel euclidien E 6= {0}. La lettre n désigne un entier non nul.

1 Pour s’amuser avec le vocabulaire.

1. Une projection orthogonale est un endomorphisme orthogonal. Vrai ou faux ?

2. Une projection est symétrique. Vrai ou faux ?

3. Une symétrie est symétrique. Vrai ou faux ?

4. Quels sont les endomorphismes orthogonaux symétriques ?

5. Quels sont les endomorphismes orthogonaux diagonalisables ?

2 Diagonaliser en base orthonormée, dans R3, les matrices 6 −2 2−2 5 0

2 0 7

1

9

23 2 −42 26 2

−4 2 23

3 On munit Mn(R) du produit scalaire ⟨ | ⟩ : (A,B) 7−→ Tr(tAB). On fixe P ∈ GLn(R) et A ∈Mn(R). Trouver les adjoints des deux endomorphismes de Mn(R) suivants :

M 7−→ PMP−1 M 7−→ AM−MA

4 Soit A ∈ Sn(R) telle que A3 +A2 +A = 0. Montrer que A = 0

5 Soit A ∈ Sn(R). On suppose qu’il existe k ∈ N?, tel que Ak = In . Montrer que A est unesymétrie orthogonale.

6 Trouver toutes les matrices M ∈ Mn(R) telles que M(tMM)2 = In .

7 Soient p et q des projecteurs orthogonaux. Montrer : qp = 0 ⇐⇒ pq = 0.

8 Soit u ∈ L (E). Déterminer Keru?, Imu? en fonction de Keru et Imu. DéterminerKer(u?u) et Im(u?u) en fonction des noyaux et images de u et u?.

9 Soit u ∈L (E). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :

1. u? =−u (on dit que u est antisymétrique) ;

2. Dans toute base orthonormée, la matrice de u est antisymétrique ;

3. ∀x ∈ E ⟨ux | x⟩ = 0.

Supposons u antisymétrique. Prouver que (Keru)◦ = Imu et les valeurs propres de u2 sontnégatives. À quelle condition u est-il diagonalisable ?

10 Soit u ∈L (E) tel que u u?u = u. On note A = {x ∈ E | ‖ux‖ = ‖x‖}. Prouver que

A = Ker(u?u − idE) et A ⊥ Keru

11 Soient f et g deux endomorphismes autoadjoints. Prouver que les assertions suivantessont équivalentes :

1. f g est autoadjoint ;

2. f g = g f ;

3. f et g sont diagonalisables dans une même base orthonormée.

12 Endomorphismes positifs Si u ∈L (E), on dit que

• u est positif si, et seulement si, u est autoadjoint et ∀x ∈ E ⟨ux | x⟩> 0. L’ensembledes endomorphismes positifs est noté S +(E).

• u est défini positif si, et seulement si, u est autoadjoint et ∀x ∈ E ⟨ux | x⟩ > 0. L’en-semble des endomorphismes définis positifs est noté S ++(E).

1. Caractériser le fait d’être positif ou défini positif à l’aide des valeurs propres.

2. Soit u ∈S +(E). Prouver qu’il existe un unique v ∈S + tel que u = v2.

3. Application 1 : Soient u ∈S ++(E), et v ∈S +(E). Montrer que uv est diagonalisable etque ses valeurs propres sont positives.

4. Application 2 : Soit u ∈ G L (E). Montrer qu’il existe ω orthogonal et s défini positif,uniques, tels que u =ω s. C’est ce qu’on appelle la décomposition polaire de u.

13 Endomorphismes normaux réels On dit qu’un endomorphisme de E est normal si, etseulement si, il commute avec son adjoint.

1. Trouver les endomorphismes normaux nilpotents de E.

2. Montrer qu’un projecteur est normal si, et seulement si, il est orthogonal.

3. Soit u ∈ L (E), normal. Montrer qu’il est diagonalisable si, et seulement si, χu estscindé.

4. On suppose ici que E est de dimension 2. Montrer que u ∈ L (E) est normal non dia-gonalisable si, et seulement si, dans une base orthonormée, la matrice de u est de laforme [

α −ββ α

]avec α,β ∈R (?)

5. Soit u ∈L (E), normal.

1

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(a) Prouver que u+u? et u?u sont autoadjoints et commutent. En déduire qu’ils ontun vecteur propre commun, noté x.

(b) Prouver que Vect(x,u(x)) est de dimension 1 ou 2, stable par u et u?.

6. Conclusion : Montrer que u ∈ L (E) est normal si, et seulement si, il existe une baseorthonormée de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs, avec sur ladiagonale uniquement des blocs 1×1, ou des blocs 2×2 de la forme (?).

14 Soit u ∈ L (E), autoadjoint. Pour tout sous-espace F, on note SF = {x ∈ F | ‖x‖ = 1} lasphère de rayon 1 dans F.

1. Montrer que x 7−→ ⟨ux | x⟩ a un minimum et un maximum sur SE. Les exprimer enfonction des valeurs propres de u.

2. En déduire que, si F est un sous-espace de E, alors x 7−→ ⟨ux | x⟩ a un minimum et unmaximum sur SF.Indication : Introduire la projection orthogonale sur F.

15 Théorème du Minimax On note n = dimE. Soit f ∈ L (E), autoadjoint. On note sesvaleurs propres λ1, . . . ,λn (comptées avec multiplicités) et on suppose qu’elles sont ordon-nées :

∀k ∈ [[1 ; n −1]] λk 6 λk+1

D’après le théorème spectral, on peut trouver une base orthonormée (e1, . . . ,en) de E, telleque chaque ek est vecteur propre de f pour λk .

1. Soit k ∈ [[1 ; n ]] ; on note Ek = Vect(e1, . . . ,ek ) et Fk = Vect(ek , . . . ,en).

λk = Maxx∈Ek‖x‖=1

⟨ f (x) | x⟩ = Minx∈Fk‖x‖=1

⟨ f (x) | x⟩

2. On pose ∀k ∈ [[1 ; n ]] Ak = {F s.e.v. de E | dimF = k}

Prouver ∀k ∈ [[1 ; n ]] MinF∈Ak

[Maxx∈F‖x‖=1

⟨ f (x) | x⟩]= Max

F∈An+1−k

[Minx∈F‖x‖=1

⟨ f (x) | x⟩]= λk

Indication : Si F ∈Ak , alors F∩Fk 6= {0} ; si F ∈An+1−k , alors F∩Ek 6= {0}.

16 Théorème d’entrelacement de Cauchy Soit f ∈L (E), autoadjoint. Ses valeurs propres(comptées avec multiplicités) sont notées λ1 6 · · ·6 λn .

Soient G un hyperplan de E et p la projection orthogonale sur G. Alors G est stable parp f , et on note g l’endomorphisme induit.

1. Montrer que g est autoadjoint. On note λ′1 6 · · ·6 λ′n−1 ses valeurs propres (comptéesavec multiplicités).

2. En utilisant le théorème du Minimax, montrer que

∀k ∈ [[1 ; n −1]] λk 6 λ′k 6 λk+1

On dit que les valeurs propres de f et g sont entrelacées, c’est-à-dire qu’entre deux valeurspropres consécutives de f , on trouve une valeur propre de g :

λ1 6 λ′1 6 λ2 6 · · ·6 λn−1 6 λ′n−1 6 λn

Automorphismes orthogonaux en dimension 3

17 On suppose E euclidien de dimension 3, orienté, rapporté à une base orthonorméedirecte (i , j ,k).

1. Identifier les transformations de E dont les matrices dans (i , j ,k) sont

−1

9

7 4 4−4 8 −1

4 1 −8

1

27

2 −26 7−23 2 14

14 7 22

1

3

2 1 −22 −2 11 2 2

18 Soit E euclidien orienté de dimension 3. Soit u ∈ E de norme 1. Soit θ ∈ [0 ; 2π[. On note

r la rotation autour de Vectu, orienté par u, et d’angle θ. Pour tout x ∈ E, exprimer r (x) enfonction de θ, u et x et des opérations usuelles dans E (somme, produit scalaire, produitvectoriel).

Application : Calculer la matrice dans la base canonique de R3 de r lorsque

u = 1−1

2

θ= π

3

19 Soit (a,b,c) ∈R3. Montrer que

a b cb c ac a b

est dans SO3(R) si, et seulement si, il existe

λ ∈ [0 ; 427 ] tel que a, b et c sont racines de X3 −X2 +λ.

20 On appelle « demi-tour » toute rotation d’angle π dans un espace euclidien E, orienté,de dimension 3.

Montrer que toute rotation de E est un produit de deux demi-tours. Dans quels cas leproduit de deux demi-tours est-il un demi-tour ?

Trouver un sous-groupe G de SO3(R) avec 4 éléments, dont 3 demi-tours.Trouver un sous-groupe H de SO3(R) avec 4 éléments, dont 3 rotations de même axe.Est-ce que G et H sont isomorphes ?

2

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Vocabulaire

Français 中文

Espace préhilbertien 准希尔伯特空间

Forme bilinéaire 双线性型

Forme bilinéaire symétrique 双线性对称型

Forme non dégénérée 非退化线性型

Norme 范数

Homogène 齐次的

Inégalité triangulaire 三角不等式

Espace vectoriel normé 赋范线性空间

Topologie 拓扑

Produit scalaire (réel, complexe) (实、复)的内积、(实、复)的数量积、点乘

Norme euclidienne 欧式范数

Application semi-linéaire 半线性映射、共轭线性映射

Symétrie hermitienne 埃尔米特对称

Norme hermitienne 埃尔米特范数

Orthogonal 正交

Famille orthogonale 正交族

Orthonormé 标准正交、正交规范

Théorème de Pythagore 毕达哥拉斯定理

Algorithme de Schmidt 施密特算法

Automorphisme orthogonal 正交自同构

Groupe orthogonal 正交群

Groupe unitaire 酉矩阵、幺正矩阵

Adjoint d’un endomorphisme 子同态的伴随

Autoadjoint 自伴的

Normal 正规的

Théorème spectral (réel) (实的)谱定理

Projecteur orthogonal 正交投影

Symétrie orthogonale 正交对称

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