Chapitre 6

Espaces préhilbertiens réels.

I. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21/ Espace préhilbertien-réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22/ Exemples de références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23/ L’inégalité de Cauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34/ Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45/ Identités de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56/ Identité du parallélogramme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57/ Quand une notion vous manque... Suites de Cauchy (cc). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II. Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61/ Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62/ Familles orthogonales, familles orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73/ Le théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84/ Somme directe orthogonale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85/ Unicité du supplémentaire orthogonale, à défaut de l’existence. . . . . . . . . . . . . . . . 96/ Représentation des formes linéaires à l’aide du produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . 9

III. Projections et symétries orthonormales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111/ Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112/ Comment trouver l’image par une projection ou symétrie ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113/ Théorème de projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IV. Utilisation et fabrication de familles orthogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131/ Composantes d’un vecteur dans une BON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132/ Expression du produit scalaire scalaire dans une BON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143/ Rappel : expression du projeté orthonormal dans une BON . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144/ Inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145/ Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156/ Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

Chapitre 6

Espaces préhilbertiens réels.

I. Produit scalaire

I.1/ Espace préhilbertien-réel

Définition.

1. On appelle produit scalaire euclidien (pse) sur un espace R-espace vectoriel, toute application φde E ×E dans R vérifiant :

1) φ est bilinéaire.

2) φ est symétrique : ∀x, y ∈ E, φ(x, y) = φ(y, x).3) φ est positive : ∀x ∈ E, φ(x,x) ≥ 0.

4) φ est définie positive : φ(x,x) = 0Ô⇒ x = 0.

2. On appelle espace préhilbertien réel, tout couple (E,<,>) où E est un R-espace vectoriel et <,>un pse sur E

3. On appelle espace vectoriel euclidien (eve), un espace préhilbertien réel de dimension finie.

Remarques.

1) On note souvent les pse : < x, y >, (x/y) ou x.y.

2) φ positive ne signifie pas ∀x, y ∈ E, φ(x, y) ≥ 0

3) Un produit scalaire est bilinéaire, mais pas linéaire puisque pour tout λ de R et x, y dans E :

φ(λ.(x, y)) = φ(λ.x, λ.y) = λ2.φ(x, y)

4) Le pse se comporte comme un produit, il faut donc savoir développer une somme. Par exemple :

< a + b , c + d > = < a , c > + < a , d > + < b , c > + < b , d >

I.2/ Exemples de références

Exemple.1 Rn muni du pse :< x, y > = x1.y1 + . . . + xn.yn

avec x = (x1, . . . , xn) et x = (y1, . . . , yn), est un eve.

2

Exemple.2 Mpq(R) muni du pse :

< A,B > =p

∑i=1

q

∑j=1

aijbij = tr(tAB)

est un eve.

Exemple.3 C([a, b],R) muni du pse :

< f, g > = ∫b

af(x)g(x)dx

est un préhilbertien réel.

Exemple.4 R∣X] muni d’un pse du type :

< P,Q > = ∫b

aP (x)Q(x)dx

avec a et b dans R tels que a < b, est un préhilbertien réel.

I.3/ L’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Théorème.6 Soit (E,<,>) un espace préhilbertien réel, alors pour tous x et y dans E :

1. ⟨x, y⟩2 ≤ ⟨x,x⟩ ⟨y, y⟩,2. Il y a égalité ssi x et y sont liés.

Remarques.

1. L’inégalité de CS, sans le cas d’égalité, reste valable si <,> est seulement une fbsp.

2. Le cas d’égalité nécessite le caractère définie.

Exemples. Voici la traduction du théorème de Cauchy-Schwarz dans les préhilbertiens réels classiques :

1 Dans Rn, ∣n

∑i=1xi.yi∣ ≤

¿ÁÁÀ

n

∑i=1x2i

¿ÁÁÀ

n

∑i=1y2i

2 Dans Mn(R), ∣tr(tAB)∣ ≤√tr(tAA)

√tr(tBB)

3 Dans C([a, b],R), ∣∫b

af(x)g(x)dx∣ ≤

√

∫b

af2(x)dx

√

∫b

ag2(x)dx

3

I.4/ Norme euclidienne

Définition. Une norme sur un R-ev est une application N de E dans R+ vérifiant pour tous x et y deE, et tout λ de R :

1) N(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

2) N(λ.x) = ∣λ∣.N(x),3) N(x + y) ≤ N(x) +N(y) (Inégalité triangulaire).

Théorème - définition.7 Soit (E,<,>) est un préhilbertien réel.

1. On peut associer à ce produit scalaire une norme ∥ ∥, dite norme euclidienne, par ∥x∥ = √< x,x >pour tout x de E.

2. De plus on contrôle également le cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire :

∀x, y ∈ E, ∥x + y∥ = ∥x∥ + ∥y∥ ⇐⇒ ∃λ ∈ R+, y = λx ou x = λy

Remarques.

1. Avec les notations de la norme euclidienne, l’inégalité de Cauchy-Schwarz devient :

∀x, y ∈ E, ∣⟨x, y⟩∣ ≤ ∥x∥.∥y∥

2. Comme dans tout evn, on a donc une distance associée à la norme euclidienne, c’est la distanceeuclidienne :

∀x ∈ E, d(x, y) = ∥x − y∥

puis une topologie associée à la distance, c’est la topologie euclidienne :

O est un ouvert de E ⇐⇒ ∀x ∈ O, ∃r ∈ R∗+, B(x, r) ⊂ O

3. On rappelle que :

{Esp. préhilbertiens} ⊂ {Esp. normée} ⊂ {Esp. métriques} ⊂ {Esp. topologiques}

4

I.5/ Identités de polarisation

Propriété.8 Il existe certaines relations entre le produit scalaire et la norme euclidienne. Pour tous xet y de E, on a :

1. ∥x + y∥2 = ∥y∥2 + ∥x∥2 + 2 < x, y >

2. < x, y > = 1

2(∥x + y∥2 − ∥y∥2 − ∥x∥2)

3. < x, y > = 1

4(∥x + y∥2 − ∥x − y∥2)

Intérêt. Ceci permet, à partir d’une norme euclidienne de retrouver le produit scalaire.

Exercice.9

1. Montrer que la valeur absolue sur R est une norme euclidienne, déterminer le ps associé.

2. Montrer que le module sur le R-ev C est une norme euclidienne, déterminer le ps associé.

I.6/ Identité du parallélogramme.

Théorème.10 Si ∥ ∥ est une norme euclidienne alors :

∀x, y ∈ E, ∥x + y∥2 + ∥x − y∥2 = 2∥x∥2 + 2∥y∥2

Exercice.11 Soit p dans R∗+ ∪ {+∞}. Montrer que dans Rn la norme ∥ ∥p est euclidienne si et seulementsi p = 2.

I.7/ Quand une notion vous manque... Suites de Cauchy (cc).

Définitions. Soit (E, ∥...∥) un espace vectoriel normé.

1. Une suite (xn) est une suite de Cauchy si et seulement si :

∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀p, q ≥ N, ∥xp − xq∥ ≤ ε

Ainsi, une suite de Cauchy est une suite qui ne "bouge" plus beaucoup à partir d’un certain rang.

2. On remarquera que les suites convergentes convergent. Si la réciproque est vraie, c’est-à-dire quetoutes les suites de Cauchy de E convergent alors E est dit complet.

3. Un espace de Hilbert réel est un préhilbertien réel complet.

5

Exercice - une suite de Cauchy non convergente.12 Considérons E = (C0([0,2],R), ∥ ∥1) et pourtout n de N∗, l’application fn de E définie par :

12

12 +

1n

1

1. Montrer que ∥fp − fq∥1 ≤ ∣1p −1q ∣. En déduire que (fn) est une suite de Cauchy.

2. Montrer que (fn) n’est pas convergente.

II. Orthogonalité

II.1/ Définition

Définition. Soit (E,<,>) un préhilbertien. Soient x, y dans E et A, B des sous ensembles de E.

1. x et y sont othogonaux (x ⊥ y) ssi : < x, y >= 0

2. x et A sont othogonaux (x ⊥ A ou A ⊥ x) ssi : ∀a ∈ A, < x, a >= 0

3. A et B sont othogonaux (A ⊥ B) ssi : ∀ a ∈ A, b ∈ B, < a, b >= 0

4. Soit A une partie de E, on appelle orthogonale de A (A⊥), l’ensemble des vecteurs orthogonaux àtous les vecteurs de A :

A⊥ = { x ∈ E / ∀a ∈ A, ⟨a, x⟩ = 0 }

Propriétés.13 Soit A et B des parties quelconques de E

1. A⊥ est un sous-espace vectoriel de E.

2. A ⊥ A⊥ et donc A ⊂ (A⊥)⊥.3. A ⊂ B Ô⇒ B⊥ ⊂ A⊥.4. A⊥ = (V ect(A))⊥

5. ∅⊥ = {0}⊥ = E, E⊥ = {0}

6

II.2/ Familles orthogonales, familles orthonormales

Définition. Soit I = N ou I = {1, . . . , n} avec n dans N∗.1. La famille (xi)i∈I est dite orthogonale si et seulement si xi ⊥ xj pour tous i et j différents dans I.

On note x1 ⊥ x2 ⊥ . . ..2. La famille (xi)i∈I est dite orthonormale si et seulement si la famille est orthogonale et si tous les

vecteurs ont une norme de 1. En d’autres termes, pour tous i et j de I :

< xi, xj > = δij = { 0 si i ≠ j1 si i = j

Propriétés.15

1. Toute famille orthonormale est libre.

2. Toute famille orthogonale ne présentant pas le vecteur nul, est libre.

Exercice.16 La base canonique de (Rn,<,>) est une base othonormale.

Exercice.17 La base (Ei,j)ij est une base orthonormale deMpq(R).

Exercice.18 Notons E = C2π(R,R) l’ensemble des fonctions continues 2π périodiques de R dans R.Posons

< f, g >= 1

2π∫

2π

0f(t)g(t)dt

1. Montrer que <,> est un pse sur E.

2. Pour tout n de N, notons cn et sn les applications définies par cn(x) = cos(nx) et sn(x) = sin(nx).Montrer pour tout n de N que la famille suivante est orthogonale :

(c0, c1, . . . , cn, s0, s1, . . . , sn)

3. Expliquer pourquoi cette famille n’est pas libre. Quelle sous famille faut-il prendre pour qu’ellesoit libre ?

7

Exercice.19 Pour des polynômes P et Q à coefficients dans R, on note :

⟨P,Q⟩ = ∫1

−1P (x)Q(x)√

1 − x2dx

1. Montrer que l’intégrale précédente converge pour tous polynômes P et Q.

2. Montrer que ⟨, ⟩ est un pse sur R[X]3. Pour tout n de N, notons Tn le nième polynôme de Tchebitchev, c’est-à-dire l’unique polynôme

vérifiant Tn(cos(x)) = cos(nx) pour tout x de R. Montrer que la famille (T0, T1, . . . , Tn) est unefamille orthogonale de R[X].

II.3/ Le théorème de Pythagore

Théorème - Pythagore.20 Soit (E,<,>) un préhilbertien.

1. x1 ⊥ x2 si et seulement si ∥x1 + x2∥2 = ∥x1∥2 + ∥x2∥2.2. Si x1 ⊥ x2 ⊥ . . . ⊥ xn alors ∥x1 + x2 + . . . + xn∥2 = ∥x1∥2 + ∥x2∥2 + . . . + ∥xn∥2 .

Remarque. La réciproque du point 2 est fausse pour n ≥ 3. On peut le vérifier en prenant par exempleles vecteurs (1,1), (0,−1) et (1,0).

II.4/ Somme directe orthogonale.

Propriété.21 Soient F et G des sev de E, alors :

F ⊥ G Ô⇒ F ⊕G

Définition. Lorsque deux sev F et G sont orthogonaux, on note F⊥⊕G pour penser que cela signifie

F ⊥ G mais aussi F ⊕G.

Méthode - Comment montrer que E = F⊥⊕G ?.

1. On montre que F ⊥ G2. Connait-on les dimensions de E, F et G ?

● Si oui, on vérifie que dim(F ⊕G) = dim(E) et on conclut,

● Si non, on montre que E = F +G

Exercice.22 Montrer que :Mn(R) = Sn(R)⊥⊕An(R).

8

Exercice.23 Soit a dans R∗+. Montrer que :

C0([−a, a],R) = P([−a;a],R)⊥⊕ I([−a;a],R)

avec P([−a;a],R) et I([−a;a],R) les R-ev des fonctions continues paires et impaires de [−a;a] dans R.

II.5/ Unicité du supplémentaire orthogonale, à défaut de l’existence.

Exercice.24 On identifie polynôme et fonction polynôme, on peut donc supposer R[X] sev de C0([a, b],R).

1. En utilisant que toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de polynômes, montrerque R[X]⊥ = {0}.

2. En déduire que l’on peut trouver F sev d’un R-ev E tels que E ≠ F ⊕ F ⊥.3. En déduire que l’on peut trouver F sev d’un R-ev E tels que (F ⊥)⊥ ≠ F .

Théorème.25 Soit (E, ⟨ , ⟩) un espace vectoriel pré-hilbertien réel, et F un sev de E.

1. S’il existe G tel que E = F⊥⊕G alors G = F ⊥. Ceci montre que le supplémentaire orthogonal d’un

sev s’il existe est unique.

2. F⊥⊕F ⊥ n’est pas toujours égal à E.

3. Si F est de dimension finie alors E = F⊥⊕F ⊥

Remarques.

1. On a : Sn(R)⊥ = An(R) et An(R)⊥ = Sn(R) dans Mn(R).2. On a : P([−a, a],R)⊥ = I([−a, a],R) et I([−a, a],R)⊥ = P([−a, a],R) dans C0([−a, a],R).3. Comme le montre l’exemple précédent, il n’y a pas de réciproque au point 3.

4. On admet pour démontrer le point 4. que tout espace vectoriel admet une BON, ce qui seraprouvé grâce à Gram-Schmidt en fin de chapitre. En attendant, on se contentera d’utiliser cettepropriété pour les sev F de dimension finie dont on peut trouver une BON.

5. On peut généraliser le point 3 : si F est un sev fermé de E alors E = F⊥⊕F ⊥.

II.6/ Représentation des formes linéaires à l’aide du produit scalaire.

Théorème de représentation de Reisz.26 Soit E un eve (donc de DF). Pour toute FL φ sur E, ilexiste a dans E tel que :

∀x ∈ E, φ(x) = ⟨a, x⟩

Ainsi les FL sont exactement les applications x↦ ⟨a, x⟩ pour a dans E.

Remarque. Dans un espace de Hilbert réel quelconque (c’est-à-dire en dimension infinie) ce résultatreste vrai à condition de considérer uniquement les applications linéaires continues.

9

Conséquences.27 Soit E un eve.

1. Pour tout hyperplan H de E, il existe a dans E tel que :

x ∈H ⇐⇒ < x, a >= 0

En particulier, a est un vecteur normal de H.

2. Dans une BON, l’équation d’un hyperplan est de la forme :

a1x1 + . . . + anxn = 0

avec (a1, . . . , an) un vecteur normal de H.

Exemple. Les formes linéaires surMpq(R) sont exactement les M ↦ Tr(AM) avec A ∈Mqp(R).

Méthode.28Techniques pour obtenir un vecteur normal à un hyperplan, c’est-à-dire trouver un vecteurdirecteur de H⊥.

1. H est un hyperplan, c’est donc le noyau d’une forme linéaire l.

2. D’après Reisz, cette forme linéaire peut s’écrire sous la forme < a, . >.3. Le vecteur a est un vecteur normal à H, car ∀y ∈H, y ∈Ker(l) et donc < a, y >= 0.

Exercice.29 Trouver un vecteur normal au plan :

H =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩M = (aij) ∈Mn(K) / ∑

1≤i,j≤naij = 0

⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

10

III. Projections et symétries orthonormales.

III.1/ Définitions.

Définition. Soit F un sev d’un R-ev tel que E = F⊥⊕F ⊥

1. La projection orthogonale sur F est la projection sur F de direction F ⊥.2. La symétrie orthogonale sur F est la symétrie par rapport à F de direction F ⊥.

Remarques.

1. Si p est la projection orthogonale sur F alors Id − p est la projection orthogonale sur F ⊥. Laprojection Id − p est la projection orthogonale associée à p.

2. La projection orthogonale sur F et la symétrie orthogonale par rapport à F existent si et seulementsi E = F

⊥⊕F ⊥.

3. On verra en fin de chapitre que c’est le cas par exemple si F est de DF, mais pas uniquement.

Exercice.30 Soit p une projection d’un espace pré-hilbertien réel.

1. Montrer que p est une projection orthogonale si et seulement si :

∀x ∈ E, ∥p(x)∥ ≤ ∥x∥

Pour la réciproque, on pourra raisonner par contraposée, prendre (x, y) dans F × F ⊥ non ortho-goanux et développer l’expression : ∥x + y∥2 − ∥p(x + y)∥2

2. En déduire que les projections orthogonales sont continues.

III.2/ Comment trouver l’image par une projection ou symétrie ?

Méthodes - comment trouver p(x) ? 32

Soit p la projection orthogonale de E sur F et x un vecteur de E. Comment peut-on trouverp(x) ?

● Idée 1. On peut facilement décomposer x en x = x1 + x2 avec x1 dans F et x2 dans F ⊥. Dans cecas p(x) = x1

● Idée 2. Il existe une BON (e1, . . . , en) sur F . Dans ce cas :

p(x) = < x, e1 > e1 + < x, e1 > e1 + . . . + < x, en > en

● Idée 3. Sinon p(x) est la seule solution du système :

{ p(x) ∈ Fp(x) − x ⊥ F

11

Méthodes - comment trouver s(x) ?33

Soient s la symétrie orthogonale de E par rapport à F , p la projection orthogonale de E sur F et x unvecteur de E. Comment peut-on trouver s(x) ?

1. On cherche p(x).2. On utilise la relation 2p = s + id

Exercice.34 Soient E = C0([−1,1],R) et p la projection orthogonale sur F le sev des fonctions pairesde E.

1. Justifier l’existence de p.

2. Déterminer l’image par p de la fonction exponentielle.

Exercice.35 Notons

A = {( a bb a

) / a, b ∈ R}

1. Montrer que A est un sevM2(R) de dimension 2.

2. Déterminer une base orthonormale de A3. En déduire la matrice de la projection orthogonale sur A dans β = (E11,E12,E21,E22).

Exercice.36 Soit F ∶ x + 2y + z = 0 un plan de R3.

1. Déterminer l’image de (x, y, z) par p la projection orthogonale sur F

2. En déduire la matrice de p dans la base canonique.

III.3/ Théorème de projection.

Définition. Soit E un préhilbertien réel, F un sev de E et x un vecteur de E, alors la distance de x àF est obtenu par :

d(x,F ) = Inf {d(x, y) / y ∈ F} = Inf {∥x − y∥ / y ∈ F}

Théorème.38 Soit E un préhilbertien réel, F un sev de E et x un vecteur de E. On supposede plus que E = F

⊥⊕F ⊥ pour avoir l’existence de p la projection orthogonale sur F , alors :

d(x,F ) = d(x, p(x)) = ∥x − p(x)∥

Remarques.

1. L’inf de la définition de d(x,F ) est en fait un min puisqu’elle est atteinte pour p(x).2. La meilleure approximation de x par un élément de F est p(x).

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Conséquences.39 Soient E un eve, β une BON de E et y, a des vecteurs de coordonnées (y1, . . . , yn)et (a1, . . . , an) dans β.

1. Notons H un hyperplan d’équation a1x1 + . . . + anxn = 0 dans β, alors :

d(y,H) = ∣ a1y1 + . . . + anyn ∣∥a∥

2. Notons D = V ect(a) alors :

d(y,D) =√

∥y∥2∥a∥2− < a, y >2

∥a∥

Remarque. Il ne faut pas apprendre les formules mais savoir les retrouver. Tout se voit sur le dessinsuivant :

H

D=H⊥

y

d(y,D)

d(y,H)a

Exercice.40 Déterminer la distance entre un vecteur Ð→u (3,4,5) de R3 et le plan F ∶ x + 2y + z = 0.

Exercice.41 Soit A dansMn(R). Déterminer la meilleure approximation (pour la norme usuelle) de Apar une matrice symétrique.

Exercice.42 Déterminer : Infa,b∈R ∫

1

−1(sin(x) − ax − b)2dx

IV. Utilisation et fabrication de familles orthogonales.

IV.1/ Composantes d’un vecteur dans une BON

Théorème.43 Soient (E,<,>) est un eve et β = (e1, . . . , en) une base orthonormale de E. Les coordonnéesd’un vecteur x de E peuvent être exprimées à l’aide du pse :

x =n

∑k=1

< x, ei > ei x

⎛⎜⎜⎜⎝

< x, e1 >< x, e2 >

⋮< x, en >

⎞⎟⎟⎟⎠

Remarque. Si on considère IdEcomme une projection orthogonale sur E, on retrouve ce théorème à

l’aide de l’expression du projeté dans une BON.

13

IV.2/ Expression du produit scalaire scalaire dans une BON

Théorème. 44 Soient E un eve et β = (e1, . . . , en) une base orthonormale de E. De plus notons(x1, . . . , xn) et (y1, . . . , yn) les coordonnées de x et y dans β, alors :

< x, y > =n

∑i=1xi.yi et ∥x∥2 =

n

∑i=1x2i

Remarques.

1. Ainsi dans une BON, tous les pse d’un eve de dimension n ressemble à celui de Rn

2. Si la base n’est pas orthonormale, l’expression du produit scalaire peut être beaucoup plus lourde.

IV.3/ Rappel : expression du projeté orthonormal dans une BON

Théorème.46 Soient E un pré-hilbertien réel, F un sev de E vérifiant E = F⊥⊕F ⊥ et p la projection

orthogonale sur F . Si (e1, . . . en) une BON de F de E alors :

p(x) =n

∑k=1

⟨x, ek⟩ ek

IV.4/ Inégalité de Bessel

Théorème - Bessel.47 Soient (e1, e2, . . .) une famille orthonormale d’un espace pré-hilbertien réel,alors la série ∑ < x, en >2 est convergente pour tout x de E et

+∞∑n=0

< x, ei >2 ≤ ∥x∥

p la projection orthogonale sur F , alors :

∀x ∈ E, ∥p(x)∥ ≤ ∥x∥

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IV.5/ Procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt

Méthode.49Soit E un préhilbertien réel. On va décrire un procédé qui permet de construire unefamille orthogonale (o1, o2, . . . , on) à partir d’une famille libre (l1, l2, . . . , ln) de E. Construisons levecteur ok par récurrence forte :

1. Si k = 1 on pose o1 = l12. Supposons que o1, . . . , ok construits, construisons ok+1.

ok+1 = lk+1 − p(lk+1) = lk+1 −k

∑i=1

⟨lk+1, oi∥oi∥⟩

oi∥oi∥

avec p la projection orthogonale de E sur Fk = V ect(o1, . . . , ok).

Vision géométrique de ce qu’on fait.

Fk

F ⊥k

lk+1

p(lk+1)

ok+1

Remarques.

1. La famille β = ( o1∥o1∥ , . . . ,

ok∥ok∥) est une BON de Fk et l’expression

k

∑i=1

⟨lk+1, oi∥oi∥⟩

oi∥oi∥ est l’expression

du projeté orthogonale de lk+1 dans la BON β.

2. Si les premiers vecteurs de la famille sont déjà orthogonaux, l’algorithme ne modifie pas cesvecteurs puisque dans l’expression de ok+1 les produits scalaires sont nuls.

3. Une fois l’algorithme effectué, on peut très bien rendre la famille (o1, . . . , on) orthonormale endivisant chaque vecteur par sa norme. On peut aussi donner une autre condition de normalisation.Par exemple s’il s’agit de polynômes, on peut préférer avoir des polynômes unitaires (coefficientdominant valant 1) plutôt que normés.

Propriétés.50 Soit (o1, . . . , on) la famille orthogonale construite à partir de (l1, . . . , ln) à l’aide duprocédé de Gram-Scmidt.

1) ∀k ∈ {1, . . . , n}, V ect(o1, . . . , ok) = V ect(l1, . . . , lk)2) ∀k ∈ {1, . . . , n}, ⟨ok, lk⟩ > 0

Exercice.51 Soit⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

u1 = (1,1,1)u2 = (1,0,1)u3 = (1,1,0)

. En effectuant le procédé d’orthonormalisation de Gram-Scmidt,

trouver la base orthonormale qui est associée à la base (u1, u2, u3).

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Exercice.52 Sur R[X], choisissons le pse ⟨P,Q⟩ = ∫1

−1PQ. Utiliser l’algorithme de Gram-Schmidt pour

orthogonaliser la famille (1,X,X2)

IV.6/ Conséquences

Théorème.53

1. Dans tout R−eve, il existe au moins une BON.

2. Toute famille orthonormale peut être compléter en une BON

3. E = F ⊕ F ⊥

4. dimF ⊥ = dimE − dimF .5. (F ⊥)⊥ = F

Remarques.

1. Si F est de DF alors F ⊥ est un supplémentaire privilégié de F .

2. Si F est de DF alors la projection orthogonale sur F et la symétrie orthogonale par rapport à Fexistent.

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