UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE HOUARI BOUMEDIENE

FACULTE DE PHYSIQUE __________________________________________________________________________

Mmoire

Prsente en vue de lobtention du diplme de

MAGISTER en PHYSIQUE

Spcialit : Physique des Rayonnements. Option : Science Nuclaire et Interactions Ions - Matire.

Par : Wassila DALI ALI Sur le sujet :

tttuuudddeee d ddeee lllaaa dddgggrrraaadddaaatttiiiooonnn pppaaarrr lllaaa tttuuurrrbbbuuullleeennnccceee aaatttmmmooosssppphhhrrriiiqqquuueee dddeeesss iiimmmaaagggeeesss d dduuu bbbooorrrddd sssooolllaaaiiirrreee :::

EEEssstttiiimmmaaatttiiiooonnn ddduuu pppaaarrraaammmtttrrreee d ddeee FFFrrriiieeeddd...

Sera soutenue publiquement le : 07/07/2007 devant le jury compos de :

S. OUICHAOUI Professeur (USTHB) Prsident du jury. T. ABDELATIF Directeur de recherche (CRAAG) Directeur de thse. J. BOURGNINO Professeur mrite (Universit de NICE) Examinateur. A. MEZAOUI Matre de confrence (USTHB) Examinateur. A. IRBAH Directeur de recherche (CNRS, Paris) Examinateur.

Ddicace :

A toi chre maman, Et mon cher papa, A mes frres et surs, A la personne qui ma aid reprendre confiance en moi A toutes les personnes qui mont apport leurs aides et leurs encouragements. Je ddie cette thse.

Remerciements

C'est avec la logique que nous prouvons et avec l'intuition que nous trouvons. Henri Poincar.

Je voudrai remercier Monsieur Abdelatif Toufik El Hak qui a accept de diriger ce travail.

Un grand merci Mokrane pour son assistance continue, son aide et la patience dont il a fait preuve pour mclairer sur pas mal daspects, tout le long de ce travail.

Je remercie le Professeur Julien Borgnino, pour ces valeureux conseils qui mont beaucoup servie et, malgr son emploi du temps trs charg a eu la gentillesse dexaminer ce travail. Jaimerai le remercier aussi pour le bon accueil qui ma t rserv lors de mon sjour scientifique luniversit de Nice.

De mme je remercie Monsieur Irbah docteur au CNRS (Paris) pour son appui, ses conseils et davoir accepter dexaminer ce travail.

Je voudrai remercier Monsieur Mezaoui qui a, gentiment, accept dtre membre du jury.

Je remercie Monsieur Ouichaoui qui ma fait lhonneur de prsider le jury, et pour tous ses encouragements.

Je remercie infiniment ma mre et mon pre pour leur comprhension et leur encouragement poursuivre toujours MON chemin mme si cela mloigne deux.

Merci mes surs et mes frres qui mon toujours soutenu en particulier Nawel et Yazid.

Un grand merci mes grands parents ainsi que mes tantes qui mon encourag et ouvert leur maison durant mes tudes suprieurs.

Merci mes chers cousines et cousins surtout ma petite princesse lydia.

A mes deux professeurs de physique (au CEM et au lyce) qui mon transmit cette passion pour la physique et lobservation de la nature.

A tous mes amis je dis merci dtre toujours l pour maider en particulier Fadia.

Merci mes collgues de travail au CRAAG particulirement : Hadjara Massinissa qui ma souvent aid pour bien avancer dans ce travail ainsi que Madame Benchlighem Salima.

Je remercie aussi tous les doctorants et astronomes du LUAN luniversit de Nice ainsi que tous les responsables lObservatoire de la Cte dAzur, pour leur sympathie et leur gentillesse durant mon stage.

Et pour finir je dis merci notre mre LA NATURE , qui ne cesse de rvler ses secrets, aussi mystrieux quils le soient, ceux qui savent lobserver et ladmirer !

A vous tous . Je dis merci du fond du cur.

Table des matires : _______________________________________________________________________________________ Chapitre 1 : Introduction loptique atmosphrique. 1.1. Introduction gnrale......................................................................................3 1.2. Modlisation.

1.2.1. Turbulence atmosphrique...................................7 1.2.2. Propagation optique dans le cas gnral.............17 1.2.3. Propagation optique travers la turbulence atmosphrique.......................... 20

Chapitre 2 : Limagerie travers la turbulence atmosphrique.

2.1. Introduction la formation de limage 34

2.1.1. Loi de propagation dune onde lumineuse.....34 2.1.2 Relation objet image...34 2.1.3 Dfinition de la rponse impulsionnelle du systme optique ....35 2.1.4 Rponse impulsionnelle du systme compos uniquement du tlescope....37 2.1.5. Rponse du systme optique en prsence de turbulence atmosphrique............38 2.1.6. Image instantane et image long temps de pose.....................39

2.2. Etude du phnomne dagitation et ltalement :

2.2.1. Etude de lagitation dans le plan image (Fluctuations des angles darrive (A.A)). ..............42 2.2.2. La densit spectrale des fluctuations des AA ( ( )yx ffW , ).............................42 2.2.3. La fonction de structure des fluctuations des AA ..... 43 2.2.4. Etude du phnomne dtalement.......44 2.2.5. Etude du phnomne de scintillation...........................46

2.3 Dtermination du paramtre de Fried :

2.3.1. Dtermination de r0 en utilisant lagitation..........................................48 2.3.2. Dtermination de r0 en utilisant ltalement....49 2.3.3. Dtermination des diffrents paramtres caractristiques (mthodes

dinversion)...50

1

2.4 Le bord solaire :

2.4.1 Le Modle du limbe (assombrissement centre bord).............................51 2.4.2 Mesure du diamtre solaire........55 2.4.3 Lastrolabe..... ............57 2.4.4 Lexprience DORaySol .......58 2.4.5 Le projet Franco-Algrien (MISolFA)...60

Chapitre 3 : Simulation numrique. 3.1. Simulation du bord solaire sans turbulence atmosphrique

3.1.1 Construction de limage du bord solaire.......65 3.1.2 Le bord pour diffrentes longueurs dondes.................67 3.1.3 Le bord en fonction de lchantillonnage......68 3.1.4 Simulation du bord solaire vu travers la pupille dun tlescope....................69

3.2. Simulation de la turbulence atmosphrique

3.2.1 Choix de la mthode spectrale.......71 3.2.2 Mthode de Nakajima......71

3.3. La construction de la PSF pupille atmosphre

3.3.1 Echantillonnage....77 3.3.2 Cas anisoplantique.................78 3.3.3 Cas isoplantique.............79

3.4 Image du bord perturb....80 3.5. Dduction du paramtre de Fried......82

3.5.1 La variance thorique des fluctuations dangle darrive....82 3.5.2 Extraction du paramtre de Fried sur les images du bord solaire........87 3.5.3 Etude du phnomne dagitation ..................................88 Fluctuations de langle darrive (AA) donnes par lagitation de la PSF.....88

3.5.4 Agitation du bord solaire..93

Etude statistique des fluctuations point dinflexion.93 Etude statistique des fluctuations du photo-centre de la drive du bord....98

2

3.5.5 Agitation du bord convolu (correction de leffet dassombrissement) ............102 Etude statistique des fluctuations du photo-centre de la drive du bord ........104

3.5.6 Calcul de ltalement sur le bord solaire ....................107 La PSF en long temps de pose.....108 Le bord solaire en longue pose......109 Relation entre la FWHM et le paramtre de Fried........110

3.5.7 Discussion et comparaison des mthodes...................113

Conclusion.114 Perspectives..115 Bibliographie.......116 Annexe.....121

3

Chapitre 1

Introduction loptique atmosphrique

Bien triste un ciel dont les toiles ne brillent pas

I.Introduction gnrale :

Le ciel, cest sans aucun doute, la premire chose qui intrigua lhomme, fascin par la majestueuse brillance du Soleil ou de la Lune, et par la myriade de points scintillants sur la vote du ciel nocturne, sans se douter quun tel spectacle perdrait beaucoup de sa magie sil se trouvait ailleurs dans lunivers. Puisque ajout son rle dans la diffusion qui donne le bleu du ciel le jour, latmosphre terrestre est aussi responsable de la scintillation des toiles la nuit, ou encore des magnifiques couleurs du crpuscule (figure (1.1a))qui font toujours rver les romantiques ! Jusquau 14eme sicle lhomme navait que ses yeux pour observer le ciel mais dans sa qute daller toujours plus loin, il ne cessa, par son ingniosit, de mettre en uvre les moyens qui lui ont permis non seulement dobserver mais dtudier dinfimes objets au fin fond de lunivers. Depuis quatre sicles nous disposons dinstruments optiques toujours plus efficaces, commencer par la lunette astronomique (Galile 1610) jusquaux plus grands tlescopes dont la taille du miroir na cess dtre augmente pour atteindre dans un futur proche les 50 mtres de diamtre pour un miroir segment (OWL). Actuellement des tlescopes gigantesques sont utiliss partout dans le monde, et dont le diamtre nest pas moins de 8 mtres et qui peuvent atteindre une rsolution angulaire de lordre de 0.25, qui reprsente la taille, en seconde d'arc, du plus petit dtail que l'on peut observer sur une image, comme pour le VLT (Very Large Tlescope) conu par lESO (European Southern Observatory) au Paranal, Chili. Or cette rsolution peut tre atteinte avec un tlescope de 40 cm. Cependant, augmenter la taille du miroir ne donnera pas forcement une meilleure rsolution car celle-ci ne peut aller au del dune limite lie aux conditions dobservation. Cet obstacle auquel sont heurts les instruments astronomiques les plus puissants est, dsormais, latmosphre terrestre. Si celle-ci constitue une condition indispensable lexistence et la survie des cratures vivantes, elle apparat dans ce cas l comme un phnomne gnant.

4

Parce que lon ne peut liminer le coupable, des mthodes de compensation ont t tablies pour pousser cette limite et obtenir des rsolutions limites uniquement par la taille du tlescope (limite de diffraction), on cite linterfromtrie, aussi loptique adaptative qui a connu un grand champ dapplication, en particulier dans les sites ayant de grands tlescopes [53]. Bien sr la question ne sest pas pose pour les tlescopes embarqus sur les satellites hors atmosphre. Cest clair, cette gnration de tlescopes spatiaux a constitu une vritable rvolution dans lobservation astronomique, mais le cot des oprations de lancement, la difficult du suivi et de lentretien sans parler de la dure de vie des composants de linstrument qui est bien plus faible compare leurs gaux sur terre puisque se dbarrasser des mfaits de latmosphre, cest aussi se dbarrasser dun bouclier protecteur contre les bombardements de particules et les radiations destructives venant des toiles de manire gnrale et du Soleil en particulier, ce qui fait que limagerie travers latmosphre a encore de belles annes devant elle.

Figure (1.1a) : Effet du rougissement du Soleil sur lhorizon caus par la rfraction de la lumire sur les couches de latmosphre terrestre.

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Le Soleil constitue un centre dintrt pour un bon nombre dastronomes et astrophysiciens. Bien quil existe 100 milliards dtoiles semblables au Soleil dans la Voie Lacte (notre galaxie), il demeure ltoile la plus accessible ltre humain puisque la plus proche se trouve une distance de 40.000 milliards kilomtres de notre systme solaire.

Le Soleil, qui est lorigine de la vie sur terre, du climat, de la diversit de la faune

ainsi que du rgne animal, constitue la principale source dnergie reue par le systme ocan atmosphre de notre plante. Celle-ci nous parvient sous forme de rayonnement et de particules apportes par le vent solaire. Son observation et modlisation furent le sujet dimportantes tudes dans le but de comprendre les processus physiques qui dterminent la configuration globale du Soleil, sa dynamique, sa variabilit et sa structure interne. Sa forme qui rentre dans le cadre des observations de la surface et qui a connu une grande volution peut effectivement nous renseigner sur le reste des aspects, cest dans ce cadre l que vient sinscrire la surveillance du diamtre solaire, qui a t mesur avec prcision au 17me sicle par Jean Picard dans la priode calme (pas de taches solaires). Ses mesures, reprises ultrieurement, ont rvl une variation du diamtre considr jusque l constant, le diamtre solaire tait donc plus grand d'une demi seconde d'arc par rapport sa valeur en dehors de cette priode. Ces mesures ont permis de reconstituer lirradiance solaire totale pour les priodes passes. Aprs Picard, les mesures continurent, en utilisant plusieurs instruments. Diffrentes mthodes furent et sont toujours utilises dont les rsultats semblent tre peu cohrents. Les mesures ont t obtenues par diffrentes mthodes (passage au mridien, passage de Mercure devant le Soleil, astrolabes, tlescopes imageurs, hliosismologie) et cela sur des priodes de mesure diffrentes et dans des domaines spectraux variant dun instrument lautre [56].

Certaines mesures n'indiquent aucune variation de diamtre alors que pour la mme

priode dautres observations montrent une variation avec l'activit solaire. La mesure de la dure de passage de Mercure devant le Soleil permet de dduire la valeur du diamtre solaire. Ces mesures montrent une variation priodique en relation avec le cycle de Gleissberg dont la dure est de l'ordre de 90 ans. Les variations du diamtre solaire obtenues l'aide des clipses de soleil montrent une anticorrlation avec l'activit solaire comme les mesures de Picard le suggraient. Cependant les mesures rcentes montrent des incohrences entre elles. La plus longue srie a t obtenue avec l'astrolabe de Danjon plac au plateau de Calern [33] qui a rvl une anticorrlation entre l'activit solaire et le diamtre tendant se dgrader vers les annes 2000, puis montrant de nouveau l'anticorrlation pour les mesures rcentes (2002). Cependant, le mme instrument plac Santiago montre une variation en phase avec l'activit et ayant une amplitude cinq fois plus grande qu' Calern [42]. De faon vidente, les mesures au sol sont affectes par la traverse des photons dans l'atmosphre o la diffusion, la turbulence et les absorptions peuvent expliquer les rsultats incohrents. En orbite, l'instrument MDI bord de SOHO a permis dtudier la structure interne du soleil par l'observation des modes doscillation. L'ensemble des mesures acquises depuis 1995 montre une variation du diamtre solaire dans laquelle on distingue des effets instrumentaux importants et ceux lis la turbulence atmosphrique [56].

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Le but de cette thse est dtudier les effets de la turbulence atmosphrique qui sont

prsents dans la mesure du diamtre solaire, en particulier celle prise par linstrument DORaySol (Dfinition et Observation du Rayon Solaire) une modlisation permettant de caractriser la turbulence et ce, en se basant sur la simulation numrique. On parlera aussi du projet MISolFA (Moniteur dimages Solaires Franco Algrien) qui a pour but la dtermination des paramtres caractristiques chiffrant les conditions dobservation dun site donn.

La premire partie de ce mmoire est consacre ltude de la propagation des ondes

lumineuses travers la turbulence atmosphrique et son effet sur la formation des images de manire gnrale puis sur les images du bord solaire en particulier. Elle comprend un certain nombre de rappels sur les thories doptique gnrale tel que la propagation des ondes lumineuses, la rfraction et la diffraction. On verra les modles qui ont t utiliss pour dcrire les phnomnes alatoires quest la turbulence atmosphrique, cela repose donc sur une tude statistique.

La deuxime partie sera base sur la simulation des images du bord telles quelles

seront obtenues avec linstrument DORaySol et MISolFA, puis la simulation des effets de la turbulence sur les images du bord. On discutera en dtail les mthodes adoptes, puis sur les images affectes par la turbulence on va extraire le paramtre de Fried caractrisant les effets de cette turbulence sur les fronts donde. Pour cela on utilise plusieurs mthodes dont on va comparer les rsultats.

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1.2. Modlisation

1.2.1. Turbulence atmosphrique : Latmosphre, comme on la bien remarqu et constat est responsable de tous les jeux de lumire observs dans le ciel, en perturbant de faon spectaculaire les directions et les couleurs des rayons lumineux qui nous parviennent du soleil ou de tout autre astre [1]. La rfraction, la rflexion, et la diffraction ou encore la diffusion et labsorption sont luvre de latmosphre, ces phnomnes donnent lieu des phnomnes bien connus tel que : les mirages, le rayon vert (figure, 1.1b), larc- en- ciel, la scintillation et lagitation [35].

Figure 1.1b : Image du rayon vert prise lobservatoire de la Silla2

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La turbulence, le phnomne physique

Big whirls have little whirls, witch feed on their velocity; Little whirls have smaller whirls, and so on unto viscosity L.F Richardson.

Le but de ce chapitre est, de rappeler les rsultats les plus importants des travaux qui ont t fait sur ltude statistique de la turbulence atmosphrique, et son effet sur la propagation des ondes lumineuses. Dans ce paragraphe, on va parler de la nature et de la dynamique de latmosphre terrestre pour comprendre au mieux tous les phnomnes quelle engendre et qui seront le sujet du prochain paragraphe. Leonardo da Vinci, lartiste ingnieur de la Renaissance, fut le premier avoir utiliser le mot turbolenza en franais, turbulence, pour dcrire les mouvements complexes de leau et de lair en observant de plus prs les tourbillons, les jets et les coulements des fleuves, (voir figure1.2). Les premiers exprimentateurs et thoriciens de la turbulence, parmi lesquels Poiseuille, Reynolds, viennent aprs Taylor et Von Karman ont donn la premire dfinition de la turbulence comme tant un mouvement irrgulier qui apparat dans les fluides quand ceux-ci rencontrent des obstacles solides .

Figure 1.2 : De la formation des eaux dessin la plume, Royal Library, Windsor Castel, Angleterre.

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Ce nest quau dbut du 19ime sicle que Claude Navier a crit les quations de base rgissant lvolution dans le temps de lcoulement dun fluide en turbulence [18]. Il existe deux types dcoulements, on a lcoulement laminaire et lcoulement turbulent, pour le premier type il sagit dun mouvement rgulier o tous les points du fluide ont la mme vitesse alors que on a un mouvement tourbillonnaire irrgulier dans lespace et dans le temps pour les coulements turbulents. La turbulence est donc une proprit des coulements dun fluide et non du fluide lui-mme et la complexit du phnomne a fait quaucune dfinition rigoureuse na t tablie mais on peut indiquer le caractre alatoire de la turbulence (lirrgularit), le caractre rotationnel alatoire de la vitesse (fluctuation de la vorticit), en plus de la Diffusion et la Dissipation. On note aussi parmi les proprits caractristiques de la turbulence, la diffusivit qui exprime le transfert permanent de quantit de mouvement, de la chaleur et de la masse, on a aussi un grand nombre de Reynolds (Re) qui exprime le rapport des forces inertielles aux forces visqueuses, ce dernier sans dimension, nous permet de dterminer le type dcoulement tudi si Re dpasse une certaine valeur critique de lordre de 2000 alors on a atteint le rgime turbulent. Il faut donc noter que la turbulence est un phnomne continu gouvern par les quations de la mcanique des Fluides [18]. Figure1.3 : comportement dun fluide turbulent au voisinage et loin des parois La turbulence dans les couches atmosphriques : On peut se poser la question : pourquoi latmosphre terrestre est elle le sige de la turbulence dveloppe ? Et bien la rponse peut se prsenter comme suit : Latmosphre terrestre, pige entre le vide quest le milieu interstellaire, et la surface compose de lhydrosphre et la crote terrestre, cette enveloppe constitue principalement de gaz , est responsable du transfert nergtique entre ces deux milieux, le rayonnement du soleil dun ct et la vapeur deau, sel, etc. de lautre, compte tenu de ces changes, des inhomognits apparaissent dans la rpartition de la temprature et des teneurs en vapeur deau de latmosphre, aussi on a les carts de densit en conjonction avec la gravit, la rotation et la gomtrie terrestre, sont finalement les moteurs de lensemble des mouvements atmosphriques [18].

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Caractristiques spcifiques de la turbulence atmosphrique (Profil vertical) : Lair atmosphrique est un mlange de gaz contenant des particules liquides et solides en suspension (gouttelettes deau, cristaux salins et les poussires provenant de la surface de la Terre). Chose qui a amen les mtorologistes considrer lair comme un mlange de deux gaz, lair sec (compos de plusieurs gaz dont les proportions restent sensiblement constantes) et la vapeur deau (lhumidit). Les nombreuses mesures in situ effectues dans la haute atmosphre permettent de se faire une ide de la rpartition verticale des tempratures, cela a permis de dfinir un profil vertical type de latmosphre. La stratification dans la rpartition des couches [46] dpend aussi du moment de lobservation, cest dire le jour ou la nuit. Le jour, on remarque une importante turbulence localise au sol (lenvironnement du tlescope) cause de lchauffement des structures et du sol par le Soleil en plus de leffet de cisaillement d au vent alors que la nuit la turbulence est localise en altitude. Puisque on a inversion de temprature dans la basse atmosphre (le sol se refroidit plus vite que lair), lair chaud stagne au dessus des masses dair froid, ce qui cre une stabilit dans la basse atmosphre. Dynamique des couches atmosphriques : Le passage dun coulement laminaire un coulement turbulent se fait au moment o le nombre de Reynolds atteint une valeur critique. Elle est de lordre de 106 pour lair atmosphrique en prenant en moyenne la vitesse de lcoulement V= 1m /s, pour une longueur caractristique L = 15 m et sachant que la viscosit cinmatique de lair est = 1.5.10-6 m2 s-1 ce qui correspond une turbulence pleinement dveloppe. Etudier cette turbulence revient donc ltude des processus de transfert de lnergie dans lespace et dans le temps [48][35]. Thorie du transfert dnergie en cascade (Kolmogorov) : Kolmogorov a propos que dans une turbulence dveloppe, lnergie cintique associe au mouvement une dimension de lordre de L0 dite chelle externe qui atteint les dizaines de mtres pour les couches atmosphriques, est transfre des structures dchelles de plus en plus petites jusqu une grandeur l0 chelle interne de lordre du millimtre. En dessous de cette valeur le processus de transfert sarrte et lnergie cintique est dissipe en chaleur par les frottements visqueux (friction). Le domaine compris entre ces deux valeurs caractristiques o la turbulence est pleinement dveloppe, est appel domaine inertiel car les forces inertielles sont dominantes et les fluctuations de vitesse sont considres statistiquement isotropes, les valeurs trouves pour ces chelles sont variables et dpendent de laltitude et des conditions locales. Tous les effets induits par la turbulence seront tudis dans ce domaine. En rgime stationnaire, le taux de dissipation visqueuse 0 est quivalent au taux de production de lnergie de turbulence donc on peut dire que la vitesse des mouvements V ne dpend que de la longueur caractristique L et de 0 [30][18][48].

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Un raisonnement dimensionnel bas sur le principe de transfert en cascade de lnergie cintique et en prenant en compte la loi dObukhov et Yaglom 1949, qui montre que dans un coulement turbulent les concentrations du mlange sont conservatives. Il sagit donc dun processus adiabatique cest dire, pas de ractions chimiques dans le milieu, ce qui permet de dire que les fluctuations de temprature et dhumidit comme ceux de la vitesse obissent la loi de Kolmogorov dans son domaine de validit c'est--dire le domaine inertiel [30][48]. En effet si on considre P le taux de production de lnergie cintique par unit de masse elle aura pour unit 2 1V t et le taux de dissipation visqueuse de lnergie dont lunit est 2 1V t , alors en rgime stationnaire on a P = , donc la vitesse sera donne par :

1/ 3 1/ 3.V L (1.1) Lanalyse spectrale de lnergie cintique comme une fonction du module du vecteur donde ( 2K f= ), o f est la frquence spatiale, donne une fonction ( )E f df entre f et f df+ proportionnelle 2 ( )V f et tenant compte de (1.1) on crit :

22 1/3 1/3( ) ( ) .E f df V f L or 1/L f= , et sachant quen rgime stationnaire peut tre considr comme constant, on crit finalement : 2 / 3( )E f df f (1.2)

Cest la loi de Kolmogorov qui nest valide que dans un domaine inertiel tel que :

1 1

0 0L f l

(1.3) Lavnement de la thorie de la turbulence homogne isotrope par Kolmogorov [30].qui est devenue la thorie universelle constituant les fondements de notre connaissance de la turbulence atmosphrique et est la base de toutes les paramtrisations dans les modles thoriques. A trois dimensions, en supposant lisotropie du processus on peut passer au spectre trois dimensions en intgrant sur toutes les directions on trouve : 2( ) 4 ( )TE f f f= (1.4) et le spectre tridimensionnel sera donn par : 11 / 3( )T f f

(1.5)

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Fluctuation de la temprature et lindice de rfraction (n) : La turbulence donne lieu des mouvements tourbillonnaires qui vont entraner des mlanges de masses dair diffrentes en temprature et pression. Ces fluctuations seront responsables des fluctuations de lindice de rfraction de lair entranant les perturbations dune onde lectromagntique lors de son passage travers les couches atmosphriques. Lindice de rfraction dun gaz n() la longueur donde est une grandeur physique qui varie avec sa densit [14][19] : ( , ) 1 ( )n r t k = + (1.6) o ( )k est une grandeur qui ne dpend que de la nature du gaz et de la longueur donde de la lumire. Ceci correspond bien dailleurs lintuition : plus la densit du gaz est faible, plus lindice doit tre proche de celui du vide qui est 1. Pour un gaz parfait, lquation dtat est donne sous la forme :

( , )( , ) 1 ( )( , )

P r tn r t kT r t

= + (1.7)

Donc lindice de rfraction de lair dpend essentiellement de la temprature T et de lhumidit spcifique q. On peut dire que les fluctuations de ces paramtres induisent les fluctuations de lindice de rfraction n. Dans latmosphre, la temprature de lair peut varier trs rapidement dun point un autre, lindice dpend de la position dans lespace et dans le temps. Si on prend pour une longueur donde fixe, la diffrentielle de n peut tre donne en prenant la temprature en un point donn : T T T= + (1.8) o T la moyenne, T fluctuations de temprature moyenne nulle on crit : n n n= + (1.9) avec : ( / ) ( / )n n T T n q q = + n A T B q = + (1.10) Aux longueurs dondes optiques, le second terme peut tre nglig,ce sont les fluctuations de temprature qui vont dominer par rapport aux fluctuations de pression et on crit alors en premire approximation la loi de Gladstone [14] [49] :

2( , )( )

( , ) = = P r tn A T k T

T r t (1.11)

la pression est exprime en millibars et la temprature en Kelvin. Dans le cas de lair, et pour une longueur donde 0.5 m = (dans le visible) lexpression du coefficient A peut tre dtermine par la relation de Gladstone o lon considre lair comme tant un gaz parfait avec : 6( ) 80 .10K

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Etude statistique des fluctuations de lindice de rfraction : Ltude du phnomne de fluctuation de lindice de rfraction ncessite une caractrisation statistique, on supposera dans tout ce qui suit quil sagit des fluctuations, dune variable alatoire stationnaire et homogne; on dfinira ainsi la fonction de covariance des fluctuations de lindice de rfraction [14] [49]: ( , ) ( , ) ( , )nB h n r h n r h = + avec :

(0, ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )nB h n r h n r h

n r h n r h =

= + + (1.12)

o le dcalage spatial entre deux points, h laltitude de la couche et ... est une moyenne densemble, et en prenant ( )n r stationnaire entre het .h h+ la fonction de covariance ne va dpendre localement que de la distance entre deux points. On verra par la suite que cette fonction de covariance diverge pour 0 = dans le cadre du modle de Kolmogorov. La fonction de structure des fluctuations de lindice de rfraction :

Pour saffranchir du problme de divergence de la covariance, une autre grandeur statistique a t dfinie par Tatarski [52] [48], cest la fonction de structure des fluctuations de temprature ainsi que celle des fluctuations de lindice de rfraction, elle reprsente la variance diffrentielle des fluctuations dindice de rfraction entre deux points distants de .

[ ]2( , ) ( , ) ( , )nD h n r h n r h = + (1.13) Et on peut exprimer cette fonction de structure en fonction de la covariance suivant lquation (1.12) par: [ ]( , ) 2 (0, ) ( , )n n nD h B h B h = (1.14)

On peut dterminer la fonction de structure des fluctuations de lindice de rfraction en appliquant la relation de Gladstone sur la fonction de structure des fluctuation de temprature qui peut tre rcrite, en terme dnergie, en considrant 0 ( L2.t 3) le taux de

14

production de lnergie turbulente et 0 ( deg2.t-3) le taux de production de temprature, lanalyse dimensionnelle nous ramne ncessairement une combinaison de ces paramtres telle que la fonction de structure des fluctuations de tempratures sera donne par [48][49] :

1/3 2 /30 0( ) . .TD (1.15) Do la loi dObukhov: 2 2 /3( ) .T TD C = (1.16) valable pour 0 0l L

2 ( )TC h reprsente la constante de structure des fluctuations de la temprature. La fonction de structure de lindice de rfraction suit aussi la loi dObukhov et on a :

2 2 /3( , ) ( )n nD h C h = (1.17) Avec 2 ( )nC h (de dimension [m]-2/3.) dfinie comme tant la constante de structure des fluctuations de lindice de rfraction, elle reprsente la force de turbulence une hauteur h donne. La fonction de structure montre en fait, la contribution de la diffrence des moyennes entre deux points, quon ngligera devant celle due la diffrence des fluctuations, puisque les moyennes sont peu variables entre deux points proches ( trs petit) donc elle ne dpend que du dcalage spatial qui appartient au domaine inertiel. Elle est relie la constante de structure de la temprature en utilisant (1.4) par la relation [36]:

2 ( )nC h = 2 2. ( )TA C h (1.18)

15

( ) ( ) 2 2 11/32 11/3

( ) 8 / 3 sin / 3 / 4 .

( ) 0.033T T

T T

K C K

K C K

= =

2 11/ 3( ) 0.033n nK C K =

La densit spectrale des fluctuations de lindice de rfraction : On peut aussi caractriser statistiquement les fluctuations de lindice de rfraction en considrant sa densit spectrale. La relation entre la covariance et la densit spectrale peut tre donne en utilisant le thorme de Wiener -Khinchine qui dit que dans le cas dun processus homogne et isotrope, la covariance est la transforme de Fourier trois dimensions de la densit spectrale et on crit [48] [14]:

3

2 .

( ) ( )

( ) ( )T T

i fT T

B TF f

B f e df

(1.19)

cela revient dire que la densit spectrale sera de la forme (Tatarski 1961) :

(1.20)

La densit spectrale de fluctuation de lindice de rfraction sera dtermine de la mme faon :

(1.21)

ou encore[48] 2 / 3 2 11/3( ) 0.033(2 ) ( ) .n nf C h f

= (1.22) avec f le module de la frquence spatiale, cette formule nest valide que dans le domaine inertiel [52].

La densit spectrale ( )n f selon le modle de Von Karman : Pour viter la divergence en zro. Von Karman a propos un modle ad hoc pour prendre en considration les chelles limites du domaine inertiel, en introduisant une frquence de coupure haute (f=1/l0) et basse (f=1/L0), avec l0 lchelle interne et L0 lchelle externe de la turbulence, et lexpression de la densit spectrale des fluctuations dindice sera donne dans ce modle par :

1162

2/3 2 20

0

1( ) 0.033(2 ) ( ) exp ( ).n nf C h f f lL

= +

(1.23)

16

Le profil vertical de la turbulence atmosphrique 2( )nC h : La constante de structure est un paramtre important pour la qualification des sites dobservation astronomique. Elle donne lintensit des fluctuations de lindice de rfraction le long du chemin optique de londe lors de sa traverse de latmosphre. Sa connaissance est essentielle sil on veut tablir un profil caractristique de la turbulence. Cette constante tant dpendante de plusieurs paramtres chiffrant les conditions mtorologiques ainsi que la topographie du terrain et du temps dobservation (diurne ou nocturne). Plusieurs profils ont t tablis exprimentalement (figure (1.4)) de deux manires diffrentes [53] : Mesure intgre : on obtient pour cette mthode la force globale de la turbulence sur le

trajet de londe h .pour cela on a utilis des instrument optiques tel que le Shack Hartmann [53] et le DIMM [50].

2 2 ( )n nC h C h dh = Mesure ponctuelle : dans ce cas l on a une valeur de 2 ( )nC h pour chaque altitude h en

utilisant soit des ballons sondes (mesures de la fonction de structure des fluctuations de lindice), soit un SCIDAR Gnralis [5] (mesure de la scintillation)

Figure 1.4 : Profils bruts de la constante de structure de lindice de rfraction 2 ( )nC h en fonction de laltitude h , obtenus au moyen de ballons instruments (campagne PARSCA92 U. de Nice, Dpartement dAstrophysique).

h(km) h(km)

2 ( )nC h (m-2/3 )

17

1.2.2 Propagation optique :

Elle parcourt des chemins interminables, elle passe travers tout et rien ne larrte, mme du fin fond de lunivers elle arrive toujours au bon moment au bon endroitplus fidle que toi Lumire il n y a pas.

Dans ce qui a prcd on a parl des proprits de la turbulence atmosphrique, maintenant on va passer ltude des effets de la turbulence sur la formation des images et donc il sagit dtudier la propagation de londe lumineuse issue dun objet observ travers les couches atmosphriques. On commence dabord par un rappel de la thorie principale de la propagation dune onde optique dans un milieu quelconque puis on parlera de la propagation optique dans un milieu turbulent quest la couche atmosphrique.

Propagation dune onde lectromagntique :

Les ondes lumineuses : La lumire se prsente comme un ensemble dondes lectromagntiques, un champ lectrique E et un champ magntique B, se dplaant transversalement lun par rapport lautre dans le plan perpendiculaire la direction de propagation. Lintensit de chaque radiation est proportionnelle au carr de lamplitude A. la longueur donde associe cette radiation est donne par /c = o reprsente la frquence de londe et c la vitesse de la lumire. La loi de propagation spatiale de londe qui doit obir lquation d Helmholtz pour une onde monochromatique est donne par [19]: 2 2 2( , ) ( , ). ( , ) 0.r z k n r z r z + = (1.24)

18

Propagation : optique gomtrique

Le dplacement des ondes lumineuses obit plusieurs lois, selon la nature du milieu qui

reoit cette lumire. Toutes ces lois dcoulent dun seul principe celui de Fermat et peut se traduire ainsi : La lumire emprunte toujours le chemin prenant le temps de parcours le plus court pour aller dun point un autre. On rappelle quelques proprits de la propagation lumineuse [1] :

dans un milieu homogne, la lumire se dplace en ligne droite. lorsque un rayon lumineux tombe sur une lame, il y a rflexion qui peut tre totale (cas dun miroir) ou partielle selon la nature de la lame rflchissante, dans le deuxime cas une partie du faisceau va tre transmise travers cette lame. la rfraction indique le passage du rayon lumineux dun milieu dindice n1 un milieu dindice n2 diffrent. Lindice de rfraction n variant avec la couleur de la lumire incidente, donnera donc, pour un faisceau de lumire blanche (polychromatique) la sortie dun prisme, un spectre de plusieurs couleurs monochromatiques, cette dcomposition est due au fait que langle de dviation du rayon lumineux dpend de la longueur donde associe.

Interfrences et diffraction : optique physique

Les lois de la rflexion et de la rfraction ne peuvent expliquer toutes les observations,

alors il a t tabli dautres proprits de la lumire qui peuvent tre regroupes sous le nom doptique physique [1].

Si deux ondes lumineuses de mme amplitude et mme longueur donde se rencontrent avec un dcalage dune demi priode, leur somme est nulle. Il y a extinction par interfrences lumineuses. Un autre phnomne souvent observ, lorsque la lumire passant par une ouverture (fente ou trous) de dimensions trs petites, donne lieu dans le plan image, une tche centrale brillante suivie de zones sombres puis par dautres zones de brillance de plus en plus faible. Cela peut sexpliquer par le fait que les rayons arrivant sur le bord du trou vont se diffracter dans tout les sens, de sorte que chaque point du trou va se comporter comme une source secondaire et tous les rayons ayant une diffrence des trajets qui diffre dun nombre entier de priodes, vont saccumuler en un point do les zones brillantes et ceux dont le trajet diffre dun nombre impair de demi priodes vont donner les zones sombres. Dans le cas de lobservation dune toile brillante o lon utilise des lentilles concentrant la figure de diffraction au centre du plan image, on a pour un systme optique douverture circulaire D, la tche centrale est bien plus intense que les anneaux, elle nest pas ponctuelle, son rayon linaire vaut 1, 22. . /f D o f est la distance focale de la lentille. Le pouvoir sparateur dun instrument est dautant meilleur que louverture est grande.

19

2

15

1 1. .1

Ct

CIe

=

Les photons (nature corpusculaire de la lumire) :

Un autre aspect de la lumire expliquant les interactions entre matire et rayonnement o la thorie ondulatoire de la lumire ne pouvait le faire, la thorie corpusculaire qui admet que les ondes lectromagntiques sont associes un courant de photons. Planck a tabli que lnergie transporte par un photon photonE pour une radiation de frquence est donne par :

/photonE h hc = =

o h est la constante de Planck, gale 346.626.10 . .S I

On sintressera cet aspect l pour modliser le bruit photonique affectant les images, en particulier celles du bord solaire. Pour cela on rappelle la loi donnant la distribution de lnergie mise par une toile, qui est considre gnralement comme un corps noir, en fonction de la temprature : cest la loi de Planck :

(1.25)

2 21 2 3.74185 . /C hc erg cm s= = et 2 1, 43883 .

hcC cm Kk

= =

Pour les petites longueurs donde du domaine optique mises par une toile de type solaire, temprature denviron 6000K , le produit T est petit donc on peut le ngliger devant lexponentielle, la loi de Planck devient [1]:

2

15

1 . .CTCI e

= (1.26)

20

1.2.3 Propagation optique travers la turbulence atmosphrique :

Les couches atmosphriques constituent un milieu dindice de rfraction continment variable dans lespace et dans le temps. Etudier la propagation optique travers un tel milieu, on fait des approximations pour pouvoir appliquer les formalismes tablis dans les cas les plus simples, puis introduire petit petit les contraintes imposes par la turbulence.

Formalisme et approximation : Pour commencer, on va dabord prendre le modle simple o lon suppose que toute la turbulence est concentre dans une couche, celle-ci est suppose suffisamment mince pour ngliger les effets de diffraction de londe lumineuse lintrieur, cest lapproximation des couches minces [48] [10]. Dans ce cas l, seule la phase du front donde est perturbe et la propagation est purement gomtrique, on peut donc utiliser le formalisme de Fresnel [22].

Cas dune seule couche : On suppose que latmosphre est homogne partout sauf dans une couche mince turbulente horizontale dpaisseur h localise laltitude h. Les fluctuations de la phase sont lies aux variations du chemin optique et donc aux fluctuations de lindice de rfraction [48] [49]:

2( , ) ( , )r h n r h

= (1.27)

avec ( , ) ( , )h h

h

n r h n r z dz+

=

o ( , )n r z reprsente les fluctuations de lindice de rfraction. Le champ complexe dune onde en h scrit alors [22] :

( , ) exp ( , )r h i r h = (1.28)

En prenant celle-ci gale 1 lentre de la couche o on peut crire h h+ :

( , ) 1r h h + =

Sachant que les longueurs dondes optiques sont trs petites par rapport lchelle de la perturbation des fronts dondes, lapproximation de Fresnel peut tre utilise pour dterminer le champ form au niveau du sol [22]:

21

21( , 0) ( , ) exp

( , 0) exp ( , 0)

i rr r hi h h

A r i r

=

=

(1.29)

o ( ,0)A r , est lamplitude du champ qui dpend maintenant de r et reprsente le produit de convolution bidimensionnel.

Cas de plusieurs couches : Passant maintenant la propagation travers plusieurs couches : pour cela on suppose que les couches atmosphriques sont des couches minces, localises diffrentes altitudes [14] ( q h trs petite devant les altitudes qh ainsi que devant les distances les sparant q q-1 h -h ). La propagation de londe lumineuse sera une succession de dphasages introduits par chaque couche et une diffraction entre ces couches tel que [22] [49]:

( , ) 1q qr h h + =

( )2

1 11 1

1 1 1 1 1

2

11 1

( , ) exp ( ( , ))

1( , ) ( , ) exp( )

( , ) ( , ) exp( ( , ))

1( ,0) ( , ) exp( )

q q q

q q qq q q q

q q q q q

r h i r h

i rr h h r hi h h h h

r h r h h i r h

i rr r hi h h

=

+ =

= +

=

(1.30) Donc le champ complexe arrivant au sol est le rsultat du dphasage introduit chaque passage dune couche de turbulence (fluctuations de la phase) suivie dune diffraction entre les couches (fluctuations de lamplitude).

Approximation des faibles perturbations : On va pour la suite faire une restriction sur le domaine de la propagation tudi, en se limitant au cas des observations astronomiques. Dans ce domaine on considre que les dphasages introduits par la turbulence travers chaque couche sont trs faibles [48] [49]. ( ) 1h r

22

On a alors pour une seule couche : ( ) ( )1h hr i r + (1.31) Cest lapproximation des faibles perturbations [48], ceci reste valable tant que la distance dobservation par rapport au znith reste infrieure 60. Dans ce cas, en remplaant dans les quations (1.30), le champ complexe arrivant au sol scrit :

[ ]21( ,0) 1 ( , ) exp i rr i r h

i h h

= +

(1.32)

en passant la transforme de Fourier de cette expression on peut montrer que :

211 exp 1i r

i h h

=

lquation (1.32) devient donc: ( ,0) 1 ( )r r = + o la quantit complexe

21( ) ( , ) exp i rr r h

h h

=

(1.33)

dcrit les fluctuations de lamplitude complexe au sol et peut tre dcompose en deux termes :

2 2

( ) ( , ) cos( ) sin( ) /r rr r h i hh h

= +

Sa partie relle reprsente les fluctuations du module du champ complexe au sol ( ,0)r et sera donne par :

21( , 0) ( , ) cos( )rr r h

h h

= (1.34)

Et la partie imaginaire qui dcrit les fluctuations de la phase au sol est donne par :

21( ,0) ( , ) sin( )rr r h

h h

= (1.35)

En suivant le mme raisonnement, dans le cas de plusieurs couches et en utilisant lapproximation des faibles perturbations on peut dire que les fluctuations de lamplitude du champ complexe produites au niveau du sol sajoutent linairement et on crit :

23

Couche turbulente Pupille Front donde perturb speckle

2

1

1( ,0) ( , ) cos( )q

j jj j j

rr r hh h

=

= (1.36) avec q le nombre de couches minces correspondant aux altitudes qh . Cette expression reprsente en fait, les fluctuations de lintensit donne lieu au phnomne de la scintillation quon tudiera dans les paragraphes suivants. De la mme manire, Lexpression donnant les fluctuations de la phase au sol est donne tel que :

2

1

1( ,0) ( , ) sin( )q

j jj j j

rr r hh h

=

= (1.37)

Figure (1.5) : la formation du speckle dans le plan focal du tlescope cause de la dformation du front donde traversant la turbulence atmosphrique.

Proprits statistiques de la phase : Toutes ces hypothses nous conduisent considrer que la grandeur sur laquelle va la turbulence agir, de manire significative, est la phase de londe ce qui ncessite une caractrisation, sachant que celle-ci est directement lie aux fluctuations de lindice de rfraction du milieu.

24

La fonction de covariance associe aux fluctuations de la phase ( ),B h : On a par dfinition la covariance [48]: ( ) ( )( , ) .B h r r = + (1.38) En remplaant lquation (1.27) dans lquation (1.38)

( ) ( )2( , ) , . ,h h h h

h h

B h k dz dz n r z n r z

+ +

= + on pose : z z =

on obtient : ( ) ( )2( , ) , . ,h h h h z

h h z

B h k dz d n r z n r z

+ +

= + + Pour h trs grand devant la largeur de corrlation des fluctuations dindice, lintgrale peut tre tendue de - + tel que :

( ) ( )2( , ) , . ,h h

h

B h k dz d n r z n r z

+ +

= + +

Si lon considre la fonction de covariance tridimensionnelle des fluctuations de lindice de rfraction ( , )nB , lexpression de la covariance associe aux fluctuations de la phase sera donne par :

2( , ) ( , )h h

nh

B h k dz d B

+ +

=

donc : 2( , ) ( , ).nB h k h d B

= (1.39)

25

La fonction de structure de la phase : Comme on la dj montr, la fonction de structure des fluctuations de la phase peut tre donne en fonction de la covariance [52] [48] [49] : ]( , ) 2[ (0, ) ( , ) .D h B h B h = et en utilisant les quations (1.17) et (1.39) :

]2( , ) 2 [ (0, ) ( , ) .n nD h k h d B B

= sachant que : ]( , ) 2[ (0,0) ( , ) .n n nD B B = on obtient

]2( , ) 2 [ (0, ) ( , ) (0,0) (0,0) .n n n nD h k h d B B B B

= +

[ ]2( , ) ( , ) (0, ) .n nD h k h d D D

= et en appliquant la loi dObukhov tel que :

2 2 2 1/ 3

2 2 1/ 3 2 2 / 3

( , ) ( )

(0, ) (0 ) .n n

n n n

D C

D C C

= +

= + =

On a [ ]

{ }

2 2 2 2 1/ 3 2 / 3

2 2 5 / 3

( , ) ( )

2.914 .

n

n

D h k h C d

k h C

= +

=

Finalement, lexpression donnant la fonction de structure pour une couche localise laltitude h sera :

2

2 5/32( , ) 2.914 ( ) .nD h C h h

=

(1.40)

On appelle ( )2 5/32 / le facteur de forme (il dtermine les proprits spectrales de la turbulence) et 2 ( )nC h h son facteur dnergie. Dans le cas des couche multiples, o on suppose que la turbulence est stratifie en altitude selon des plans parallles au sol et que les proprits spectrales sont les mmes quelle que

26

( )1162

2 2 20

0

10 .3827 exp (1 .12 ) ( ) .nW f f f l C h hL

= +

soit h, seule lnergie varie, donc la fonction de structure totale des fluctuations de la phase sera donne dans les deux cas, discret et continu par :

2

5/ 3 22( , ) 2.914 ( ) .n j jj

D h C h h

=

(1.41)

2

5 / 3 2

0

2( , ) 2.914 ( ) .nD h C h h

= (1.42)

La densit spectrale de la phase : En appliquant le thorme de Wiener -Khinchine, la densit spectrale de la phase not DSP, dans le domaine inertiel de Kolmogorov scrit en fonction de la covariance tel que : ( ) ( ) ( )exp 2 .W f B i f d = et en utilisant lquation (1.39)

( ) ( ) ( )22 exp 2 .nW f h B i f d

=

De cette expression on peut crire la DSP en fonction de la densit spectrale des fluctuations de lindice de rfraction :

( )22 ( )nW f h f

=

(1.43) En remplaant ( )n f par son expression donne selon le modle de Kolmogorov (quation(1.22)) on obtient: ( ) 2 11 / 3 20.3827 ( ) .nW f f C h h = (1.44)

et dans le modle de Von Krmn (quation.(1.23)) :

(1.45)

Dans notre tude on prendra le modle propos par Von Krmn, qui est le plus utilis dont la dtermination de lexpression exacte de la densit spectrale des fluctuations de lindice ainsi que celle de la phase.

27

0 0 0

0

( , ) ( , ) ( , )

( , )

W f h W f h W f h

W f h

= +

Cas de multiples couches : On prend pour cela lexpression de la phase pour londe arrivant au sol aprs avoir subi la diffraction travers ces couches, comme on a dj montr dans le paragraphe prcdent on a, selon lquation (1.37):

max 2

0

1( , 0) ( , ) sin( )h rr dh r h

h h

=

En appliquant le thorme de Wiener Khinchine la densit spectrale des fluctuations de la phase au sol sera donne par :

( )2

2

01( , ) , sin rW f h TF dh r hh h

=

sachant que la Transform de Fourier dune somme est la somme des Transforms de Fourier on crit :

( ) ( )2

2

01. s in rW f d h W f T Fh h

=

( ) ( ) ( )220 . cosW f dh W f hf = (1.46)

De la mme manire on peut dterminer lexpression donnant la densit spectrale des fluctuations du logarithme de lamplitude :

( ) ( ) ( )220 . sinW f dh W f hf = (1.47) Approximation du champ proche : Dans le cas des observations en astronomie les effets de la diffraction sont ngligeables par rapport aux effets de fluctuation de la phase, on peut donc approximer la propagation dans latmosphre par les perturbations affectant juste la phase. En ngligeant leffet de la diffraction entre les couches, la densit spectrale des fluctuations spatiales de lamplitude complexe (r) est confondue avec celle de la phase [48].

(1.48)

28

La DSP selon les diffrents modles utiliss : Le modle de Kolmogorov : En utilisant lquation (1.44) et (1.47) la densit spectrale des fluctuations de la phase de londe arrivant au sol et traversant plusieurs couches dans une direction dobservation par rapport au znith , sera donne selon le modle de Kolmogorov :

( ) ( )21 2 2 11/3 20 0.3827 cos ( ) ( ) cosnW f C h h f hf = (1.49)

Le modle de Kolmogorov tant incapable de dcrire le comportement des fluctuations atmosphriques en dehors du domaine inertiel, alors que des tudes concernant les observations astronomiques ncessitent une extension du domaine surtout pour les basses frquences spatiales. Ainsi, diffrents modles ont t proposs pour faire une extension au modle prcdent au del de la limite externe, par souci de compatibilit, bien entendu, ces modles qui sont empiriques sont prsents comme des corrections du modle de Kolmogorov, do la ncessit de vrifier certaines conditions afin de retrouver les mmes rsultats dans le domaine inertiel. La validit des modles, en question, ne peut tre obtenue quen comparant les rsultats exprimentaux et thoriques.

Le modle de Von Krmn :

( ) ( )116

0

22(1.12 )1 2 2 2 2

00

10.3827 cos ( ) ( ) e cosf lnW f hC h f h fL

= +

(1.50)

Le model de Von Karman et Hill Andrews : Un autre modle qui prend en compte une correction sur les hautes frquences :

( )

( )

11/ 621 2 2 2

00

27 / 6 2 20 0 0

10.3827 cos ( ) ( )

1 3.431 0.5384( ) exp 3.6215( ) cos

nW f h C h fL

f l f l f l hf

= +

+

(1.51)

La fonction de structure de la phase arrivant au sol : Pour dterminer la fonction de structure de la phase arrivant au sol, on doit crire lexpression de la covariance ( ),0B qui est la transforme de Fourier inverse de la densit spectrale de la phase, on prendra pour notre tude celle donne par Von Krmn, donc pour une couche localise laltitude h, sachant que la densit spectrale est une fonction

29

relle et paire et que sa transforme de Fourier possde les mmes caractristiques, la covariance spatiale des fluctuations de la phase sera donne par :

( )

( )116

0

1 2 20

22(1.12 )2 2

00

0.3827 cos ( ) ( ) 2

1(2 ) e cos

n

f l

B r df h C h f

J fr f hfL

=

+

o J0(X) est la fonction de Bessel de premire espce et dordre 0. Or on a dj tabli la relation entre la covariance et la fonction de structure; on arrive lexpression finale de celle-ci :

( )

[ ] ( )116

0

1 2 20

22(1.12 )2 2

00

0.3827 cos ( ) ( ) 2

11 (2 ) e cos

n

f l

D r df h C h f

J fr f hfL

=

+

(1.52)

Diffrents paramtres optiques sont utiliss dans la caractrisation des effets de la turbulence sur les fronts dondes. On dtermine dans ce qui suit ceux qui sont importants dans notre tude. Pour cela on doit dabord, rcrire lexpression de la covariance du front donde 0 ( , )B r h lie lamplitude complexe de londe arrivant au sol ( )0 r par:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

0 0

0 0

( , ) . *

e x p . e x p

e x p

B r h r r

i r i r

i r r

= +

= +

= +

en utilisant les statistiques dune distribution Gaussienne valeur moyenne nulle , on peut dans notre cas appliquer la formule suivante:

2 21e x p ( ) e x p ( )2

a G a G=

La covariance devient :

( ) ( ) 20 0 0

0

1( , ) exp21exp ( , )2

B r h r r

D r h

= + =

(1.53)

30

on remplace ( )D par son expression en fonction de Cn2 (h) on obtient :

2

2 5 / 30

1 2( , ) exp 2.914 ( )2 n

B r h C h h

=

En tenant compte de lcart on multiplie par 1cos ( ) et en intgrant sur toute latmosphre, on a :

2

1 5 / 3 20

1 2( , ) exp 2.914 cos ( ) ( )2 n

B r h C h dh

=

(1.54)

Le paramtre de Fried :

Cest un paramtre trs important quand on sintresse aux effets de la turbulence atmosphrique sur la propagation optique des ondes lumineuses et sur la formation des images [21] [48]. Fried proposa une expression simple pour la fonction de structure de la phase en introduisant un paramtre r0 tel que [21]:

( )5/3

00

, 6.88 rD r hr

=

(1.55)

remplaons dans (1.53) on a :

( )5 / 3

00

, exp 3.44 rB r hr

=

(1.56)

En comparant les deux expressions de la covariance (1.54) et (1.56) on a lexpression de r0 en fonction de la constante de structure :

3/52 1 20 16.704 cos ( ) ( )nr C h dh

= (1.57) Cette expression est dfinie pour le spectre de Kolmogorov mais elle sera utilise aussi pour le spectre de Von Krmn. Le paramtre de Fried peut tre vu comme le rayon de la zone o le champ complexe associ londe, traversant la turbulence, reste cohrent spatialement et de manire gnrale il nous donne la force de la turbulence. On verra plus loin aussi ce quil reprsente en imagerie. Avec les mesures exprimentales de r0, on trouve comme ordre de grandeur, dans le visible, 5 cm dans des conditions de grande turbulence, et pouvant atteindre 20 cm pour une faible turbulence, sous de bonnes conditions dobservation comme cest le cas dans les observatoires situs sur les sommets des montagnes (ESO, Paranal) ou en antarctique (Dme C).

31

Les observations exprimentales nous permettent de vrifier la dpendance en tel que [48]:

3/52 6/5

0r

0r est donc un paramtre chromatique( plus la longueur donde sera faible, plus les effets de

la turbulence sur les images seront importants).

Evolution angulaire de la phase :

Si lon prend deux sources de lumire spares angulairement, les fronts dondes associs chacune des deux sources ne vont pas traverser la mme perturbation dans les couches atmosphriques. On parle alors dune dcorrlation angulaire de la phase, ce qui est souvent le cas lorsquon prend une source de lumire tendue dont tous les points ne vont pas traverser la mme turbulence. Ceci reprsente lun des grands problmes auxquels est soumise limagerie en haute rsolution angulaire. En vue de simplifier ltude on dfinit un domaine o lon suppose lisoplantisme [48] [20].

Le domaine isoplantique 0 : Lisoplantisme exprime dans le cas gnral, la similitude des fronts dondes arrivant sur la pupille du tlescope en provenance de deux sources ponctuelles spares par un angle (figure (1.6)) et qui ont travers diffrentes zones de la turbulence atmosphrique. Plusieurs types disoplantisme ont t introduits par Fried selon le domaine dtude (loptique adaptative si on prend les fronts dondes ou linterfromtrie si lon considre les figures de speckle) [48] [53]. Pour calculer les effets danisoplantisme, on suit la trace des rayons venant de deux toiles spares par un angle vu par rapport la pupille du tlescope, o ils concident, leur sparation r la distance d est donne par r d= , si on considre langle dobservation par rapport au znith () et laltitude h on aura ( ) 1. . cosr h = on calcule la variance de la phase entre ces deux rayons, celle-ci est en fait, la fonction de structure de la phase : 2 0 ( , )D r h en remplaant r par sa valeur et prenant lexpression de la fonction de structure (1.42) on aura:

32

( )2 5/ 3

12 2

0

22.914 cos ( ) .cosn

hh C h

=

( )2

8/32 5/3 2 5/ 3

0

22.914 cos ( )nC h h dh

=

quon crit sous la forme : 5 / 3

2

0

=

avec : 0 langle isoplantique pour lequel la variance de la phase relative est de 1 rad

2 et qui a pour expression :

( )3/52

8/3 5/3 2 5/30

0

22.914 cos ( )nC h h dh

=

La relation entre 0 et 0r , peut tre dtermine en comparant les expressions des deux paramtres : 0

0

0.314 cos / Hr =

avec 3/5

2 5/3

20

( )( )

n

n

C h h dhHC h dh

=

o H reprsente la hauteur de turbulence effective moyenne. On remarque que plus la turbulence est localise en haute altitude plus la dcorrlation est importante. Couche de turbulence h

Figure (1.6) : si le champ angulaire de la turbulence dpasse langle isoplantique, alors on ne peut plus parler de cohrence spatiale.

33

Evolution temporelle de la phase : Dans ce qui prcde, on a considr que leffet des structures spatiales de la turbulence atmosphrique sur les fronts dondes comme tant des phnomnes statiques , chose qui nest pas relle. Ajout la dcorrlation spatiale des fronts dondes cause de la turbulence atmosphrique, on a leffet d lvolution de cette dernire dans le temps. Ce sont, en ralit, deux processus dynamiques : La translation horizontale des couches atmosphriques par effet dentranement du vent qui est un mouvement densemble, et le boiling. Le boiling : Le bouillonnement ou (boiling) est un mouvement chaotique dans les structures turbulentes dune couche donne. Ce processus est li aux proprits intrinsques de cette couche, il peut tre dcrit comme une dcorrlation temporelle dans le spectre des fluctuations de la phase [6]. Lhypothse de Taylor et le temps de cohrence : Puisque certaines techniques dimagerie en haute rsolution angulaire sont bases sur lenregistrement dimages en un temps trs court (ou courte pose), limagerie classique dite image longue pose, se diffrencie de la premire par la perte dinformations haute rsolution angulaire. La limitation du temps de pose, impose par la variabilit temporelle des perturbations du front donde, va tre ncessaire pour geler lvolution de la turbulence pendant toute la dure de lenregistrement. On introduit, alors, le paramtre 0 , appel temps de cohrence de latmosphre qui caractrise la dcorrlation entre des perturbations de la surface donde deux instants diffrents [18][6]. En utilisant lhypothse de Taylor pour un modle dune couche de perturbations fige (frozen), se dplaant vitesse constante dans une direction donne, Roddier a montr que le comportement temporel de la turbulence peut tre caractris par la constante 0 /D V avecV : la vitesse du vent (qui a une valeur typique de 20 m/s) et D le diamtre du tlescope.

34

Chapitre 2

Une image vaut mille mots Limagerie travers

La turbulence atmosphrique.

2.1. Introduction la thorie de la formation de limage : Dans ce chapitre on parlera dabord de la formation de limage dans le plan focal dun tlescope et cela en tenant compte des effets de la turbulence sur celle-ci. 2.1.1. Loi de propagation dune onde lumineuse : En astrophysique, lobservateur ne peroit quune projection deux dimensions sur la sphre cleste du flux mergeant de lastre tudi. Cette projection sappelle la fonction dmission radiative de lobjet et lon notera dans la suite O(x0, y0), o x0 et y0 sont les coordonnes spatiales dans le plan objet, de mme on dfinit la fonction donnant la distribution dirradiance observe dans le plan image par I(x, y). Limage peut tre reprsente comme une fonction de la position, de la longueur donde, du temps ou de lintensit I(x, y,, t). Si lon considre le cas idal dune onde se propageant dans un milieu parfaitement homogne et sachant que limage optique est la reproduction homothtique dun objet partir de la lumire quil met alors il existe une fonction reliant les distributions dnergie dans le plan objet celles dans le plan image, soit [48] : 0 0 0 0( , ) ( , , , , ( , ))I x y S x y x y O x y= 2.1.2 Relation objet image : Afin de simplifier ltude, on prendra en compte dans ce qui suit les hypothses suivantes [22] : Lincohrence de la source lumineuse : ceci nous permettra de faire une sommation sur les intensits des diffrents points de lobjet en chaque point de limage ; cest la proprit

35

de linarit ce qui est le cas, gnralement, dans le processus de formation des images astronomiques. Le phnomne est continu : cest dire que pour des points voisins, on a les mmes proprits (dans le cas des sources tendues). Linvariance par translation : dans ce cas on suppose qu une translation de lobjet, correspond une translation gale de limage (mme sens et mme direction). Lisoplantisme : pour lequel on suppose que les ondes lumineuses subissent les mmes perturbations atmosphriques dans un domaine angulaire qui est le domaine disoplantisme. Les deux premires hypothses nous permettent dcrire la relation prcdente sous la forme de lintgrale de Fredholm : 0 0 0 0 0 0( , ) ( , , , ). ( , )I x y S x y x y O x y dx dy= (2.1)

0 0( , , , )S x y x y est appele la rponse impulsionnelle du systme, en anglais Point Spread Function ; on prendra comme notation dans ce qui suit PSF. Cependant, si lon considre lhypothse de linvariance par translation, on suppose en fait que pour chaque point de limage on a la mme PSF et donc limage dpendra de la diffrence des variables tel que :

0 0 0 0 0 0( , ) ( , ). ( , )I x y S x x y y O x y dx dy= (2.2) qui est le produit de convolution des deux fonctions O et S donn par : ( , ) ( , ) ( , )I x y O x y S x y= (2.3) 2.1.3 Dfinition de la rponse impulsionnelle du systme optique (PSF) : Chaque onde lumineuse mergent de lobjet est transmise, lors de sa traverse de la turbulence et de la pupille, avec une amplitude affaiblie dun facteur ( , )S x y et subit un

dphasage dune quantit gale ( , )S x y phase de ( , )S x y . Si on applique sur lquation (2.3) le thorme de convolution (Annexe) pour crire le spectre ( , )I x yA f f des ondes transmises par le systme (pupille atmosphre), on obtient : ( , ) ( , ). ( , )I x y O x y x yA f f A f f T f f= (2.4) o AI , AO et T reprsentent, respectivement, les transformes de Fourier de I ,O et S .

36

1( , )

0P x y

=

La fonction donne par : ( , ) ( , ) exp 2 (x y x yT f f S x y i xf yf dxdy = + (2.5) est appele la fonction de transfert de modulation instantane FTM. Cette fonction caractristique, exprime les effets du systme dans le domaine des frquences. La PSF donne dans le cas dune lumire incohrente est proportionnelle au carr du module de la PSF obtenue en clairage cohrent [22] selon la thorie de la diffraction de Fraunhofer, on crit :

2

( , ) ( , )x y x yFTM T f f G f f= = (2.6) avec G (fx, fy) reprsentant ici la fonction de transfert cohrente ; elle est donne par :

1/21( , ) ( , ) ( , )exp 2 ( )x y x yG f f x y P x y i xf y f dxdy = + (2.7)

lintrieur de la pupille o ailleurs. Cest la fonction pupillaire caractristique du tlescope considr comme parfait ou sans aberrations. La fonction ( , )x y , reprsente lamplitude complexe de londe aprs son passage travers la perturbation atmosphrique et la surface de la pupille gale 2

4D

ajoute comme facteur de normalisation. Si on reprend lexpression(2.7) , on remarque que cette fonction, elle mme, est une transforme de Fourier tel que [48] [49] :

[ ]1/21( , ) ( , ) ( , )x yG f f TF x y P x y=

Et lquation (2.6) devient :

[ ] 21( , ) ( , ) ( , )x yT f f TF x y P x y= (2.8) En appliquant le thorme de Wiener -Khinchine (Annexe), on peut dire que la fonction de transfert optique (FTO) nest rien dautre que lauto-corrlation du produit ( , ). ( , )P x y x y dfinie par :

*1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yT f f x y x u y v P x y P x u y v dxdy = + + + + (2.9) avec ,x yu f v f = = Cette expression donne la distribution angulaire dintensit dans le plan image.

37

2.1.4 Rponse impulsionnelle du systme compos uniquement du tlescope : Cest le cas simple o lon ignore leffet de la turbulence atmosphrique. Cela consiste, par exemple, en lobservation dun point source par un tlescope ayant une pupille circulaire de diamtre D. Dans ce cas lexpression (2.9)devient [48] [49] [10] :

1( , ) ( , ) ( , )inst x yT f f P x y P x u y v dxdy= + + (2.10) Cette expression donne le filtrage d, uniquement, la diffraction sur la pupille du tlescope. Ce dernier tant bien sr, suppos sans aberrations optiques (transmittance parfaite), la figure obtenue sur le plan image est la tche dAiry (figure2.1). Le rayon de la tche centrale, qui est de lordre de 1.22 D/ , dfinit la limite de rsolution du systme impose par la diffraction.

Figure (2.1) : la reprsentation de la fonction pupille, et sa transforme de Fourier qui est la tache dAiry.

38

2.1.5 Rponse du systme optique en prsence de la turbulence atmosphrique : A la traverse de latmosphre, les fronts dondes subissent une dgradation cause par les fluctuations de lindice de rfraction. Celles-ci, tant lies la phase, donnent lieu des variations alatoires de cette dernire, cela ce traduit par lagitation et la distorsion de limage qui prend une forme granulaire dans le plan image de linstrument dobservation, qui est illustre dans lexpression donnant la fonction de transfert optique (FTO), quation (2.9), elle reprsente une figure de tavelures, en anglais speckle (figure (2.2)). Chaque grain du speckle a pour dimension la tache dAiry D/ , o D est le diamtre de la pupille et lextension spatiale de cette figure de speckle est de dimension gale 0/ r ; elle est appele talement de limage d leffet de la turbulence atmosphrique caractris par son paramtre de Fried r0. Du fait de lvolution alatoire et rapide de la turbulence atmosphrique dans le temps et dans lespace rendant lapproximation de linvariance par translation non approprie, il est impratif de considrer le cas isoplantique. Les observations en astronomie et les estimations thoriques ont montr que ce domaine est de lordre de quelques secondes darc. Etoile Turbulence Pupille tache dAiry Speckle Figure (2.2) : formation de limage dans les deux cas, avec turbulence et

sans turbulence.

39

2.1.6. Image instantane et image long temps de pose : Ltude de la turbulence a mis en vidence les dgradations subies par les fronts dondes issus de lobjet lors de sa traverse de la perturbation atmosphrique : il y a une perte de cohrence temporelle, une diminution du domaine isoplantique et une perte de cohrence spectrale. Ainsi, des tavelures se forment dans limage, ayant un temps de vie de quelques millisecondes. Limagerie classique, qui utilise un temps de pose largement suprieur, moyenne ces structures fines de limage, do une perte de linformation en hautes frquences car lintensit observe en chaque point est lintgration sur le temps de pose des intensits instantanes. Dans ce cas, la FTO est videmment dgrade et sa frquence de coupure est le diamtre r0/ , alors quen absence de perturbations, elle est gale D/, o D reprsente la dimension maximale de la pupille ; donc ce nest plus la dimension de la pupille qui limite la diffraction mais la turbulence, par son paramtre de Fried r0. La fonction de transfert optique moyenne (ou long temps pose) quon appelle aussi, dans certains ouvrages, la fonction de transfert de speckle (FTS) est donne par la moyenne de lexpression (2.9), [48] par : ( , )x yFTS T f f=

*1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )FTS P x y P x u y v x y x u y v dxdy = + + + +

* 1( , ) ( , ) . ( , ) ( , )FTS x y x u y v P x y P x u y v dxdy = + + + +

quon peut crire : ( , ). ( , )instrFTS B u v T u v= (2.11) avec *( , ) ( , ) ( , ) ( , )x yB u v B f f x y x u y v = = + + Lquation (2.11) donne un rsultat important : en long temps de pose, la fonction de transfert est le produit de la FTO du tlescope et la fonction de transfert atmosphrique qui comme nous lavons vu, dans le chapitre prcdent, est la fonction de cohrence de phase alors, on peut crire la fonction de transfert, dans le cas du champ proche, comme suit : [ ]*( , ) ( , ) exp ( , ) ( , )x y x u y v x y x u y v + + = + + ( ) ( )B B f

40

Comme il a t tabli prcdemment, en introduisant lexpression de la fonction de structure de la phase on crit :

0

1( ) exp ( ) exp 3.442

fB f D fr = =

1 / 222( ) cos 1instr

f f fT f aD D D

= (2.12)

On suppose dans le calcul de ( )instrT f que le tlescope ne possde pas dobstruction centrale. On remarque dans lquation(2.11) que la longue pose a pour effet de moyenner les hautes frquences qui taient prsentes dans la FTO instantane ( ( )B f qui tend vers

zro trs rapidement, ds que 0 /f r ), comme le montre la figure (2.3), o lon a reprsent des images obtenues par simulation dun objet ponctuel dans les deux cas, court et long temps de pose. On remarque bien que pour le deuxime cas, on obtient une tche dont le diamtre angulaire varie en fonction de la valeur de r0.

41

Figure (2.3) : comparaison dimages obtenues par simulation entre la FTO instantane et celle obtenue avec un long temps de pose o on remarque leffet de moyenne des structures hautes frquences et cela pour une longueur donde 548nm =

42

2.2. Etude du phnomne de lagitation et de ltalement : Parmi les principaux effets des distorsions du front donde sur les images, on a lagitation au foyer dun tlescope, celle-ci est due aux variations alatoires de la phase et donc de langle darrive moyen sur la pupille dentre du tlescope [48] [49]. 2.2.1. Fluctuation des angles darrive AA: Dfini comme la normale en chaque point de la surface donde dgrade par la turbulence, langle darrive, tmoignera de ses caractristiques do le but de notre tude. On peut montrer que dans les directions x et y les composantes de langle darrive, pour une pupille finie circulaire de diamtre D seront donnes par [48]:

( ) ( )

( ) ( )

0

0

, ,2

, ,2

x y x yx

x y x yy

=

=

aprs diffraction travers la pupille on a :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

,4, ,2

,4, ,2

x yx y G x y

D x

x yx y G x y

D y

=

=

(2.13)

o G(x, y) reprsente la transmission en amplitude complexe de la pupille et 0 ( , )x y la phase de londe arrivant au sol. 2.2.2. La densit spectrale des fluctuations de l AA ( ( )yx ffW , ) : Cette dernire peut tre donne sous forme dun produit de la DSP et la PSF qui traduit le filtrage de la pupille. On aura donc comme expression de la densit spectrale des fluctuations dangle darrive :

( ) ( ) ( ) .,2,2

122yxxyx ffWfD

fDJfffW = (2.14)

Le terme en valeur absolue reprsente le filtrage par la pupille. Pour simplifier ltude on considre que celle-ci est circulaire et sans obstruction centrale. Dans ce qui suit en

43

prendra comme expression de la DSP celle de Von Krmn, en ngligeant le facteur en l0 et en remplaant dans lexpression de ( )yx ffW , on aura :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

11/6 2max11 2 2 2 2 2

200

21, 0.3827 cos cosh

x y n x

J fDW f f C h dh f f h f

L h fD

= +

(2.15)

2.2.3. La fonction de structure des fluctuations d AA :

on crit la fonction exprimant la cohrence spatiale des fluctuations dAA entre deux points, qui ne dpend que de la distance les sparent, cette fonction est celle qon va mesurer est quon a dfinit prcdemment, par la fonction de structure: [ ]( , ) 2 (0, 0) ( , )D x y B B x y = (2.16) Avec ( , )B x y reprsente la covariance au point ( , )M x y celle ci nest rien dautre que la transforme de Fourier inverse de la densit spectrale des fluctuations de la phase, par suite on peut, aprs dveloppement, en faisant un changement de variable en coordonnes polaire, crire la fonction de structure tel que [48] [49] :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

11/6 2max11 2 3 2 2 2

200 0

0 2

21, 2.404 cos cos

1 2 cos( ) 2 .

h

n

J fDD r C h dh df f f h f

L h fD

J f r J f r

= +

+

(2.17) On peut distinguer deux types dagitation :

Agitation longitudinale, Si 0 = :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )[ ] .221

cos21cos404.20,

20

222

1

6/11

20

23

0

max

0

21

rfJrfJ

fhfD

fDJhL

ffdfdhhCrDh

n

+

+=

(2.18)

Agitation transversale, si2 = :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

11/6 2max11 2 3 2 2 2

200 0

0 2

21, 2.404 cos cos2

1 2 2 .

h

n

J fDD r C h dh df f f h f

L h fD

J f r J f r

= +

(2.19)

44

Dans notre tude on sintressera la fonction de structure angulaire transverse et qui aura comme expression en posant hr = dans lexpression prcdente :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ] .221

cos21cos404.2

20

222

1

6/11

20

23

0

max

0

21

hfJhfJ

fhfD

fDJhL

ffdfdhhCDh

n

+

+=

(2.20)

2.2.4 Etude du phnomne de ltalement : Sur les images obtenues en long temps de pose, lintens