I~,TUDE DE L'INFLUENCE D E L ' E R R E U R D E SYNCHRONISATION

S U R LE FONCTIONNEMENT D'UN MULTIPLEX A P O R T E U S E S W A L S H *

par

Claude C A R D O T

lngdnieur en chef des t616communieations (e.d.)**

RgSUMg. - - En se basant sur les rdsultats thdoriques prdcddemment obtenus (Annales des tdldcommunicalions, janv.-f6vr. 1972, 27, n ~ 1-2, pp. 31-48), l 'auteur dtudie l ' influence de l'erreur de synchronisation darts le

/onct ionnement d 'un mul t ip lex it porteuses Walsh.

PLAN. - - �9 I : Introduction. �9 I I : Posit ion du prob ldme . �9 I I I : Calcul de let mat r i ce Kij �9 IV : Construction de lu mutr ice Ki; IV.1. Normal i sa t ion; IV.2. Construction par rdcurrence; IV.3. . lus l i f icat ion; IV.4. Appl icat ion des [ormules prdcddentes; IV.5. Restriction it une paire de classes d'@Mvalence diaphonique ; IV.6. Express ion de l'erreur de sgnchronisation en ddcibels. �9 V : Conclusion.

�9 Annexes (2). �9 Bibl iographic (1 r6f.).

I. I N T R O D U C T I O N

Darts un pr6c6dent article [11, nous avons d6fini

m a t h 6 m a t i q u e m e n t les propri6t6s spectrales des fonc-

tions de Walsh, leur classement en classes d '6quiva-

lence diaphoniquc et les principales propri6t6s de leurs

produits de convolut ion. Nous en avons d6duit l ' influence th6orique du fil-

t rage sur le fonct ionnement d 'un mul t ip lex '5 porteuses

Walsh, en supposant qu ' i l n 'y ava i t pas d 'erreur de

synchronisat ion.

Duns cette 6tude, qui complete l 'ar t icle pr6cddent

sur le plan th6orique, nous supposons au contraire

que la ligne de transmission ne produi t pus de filtrage,

mais nous 6tudions l ' influence d 'une erreur de synchro-

nisation entre l '@~etteur et le r6cepteur mult iplex.

Cette 6tude se base pr incipalement sur les propri6t6s

des produits de convolut ion des fonctions de Walsh,

6tudi6es au dernier chapi tre du pr6c6dent article, dont

nous reprenons ici routes les d6finitions et notat ions.

II. POSITION D U PROBL]~ME

I I . 1 . Consid6rons (Fig. 1) un mul t ip lex id6al t rans-

m e t t a n t N -- 2 k 6ehantil!ons analogiques : s o "~ SN-1, ehaeun d ' eux mul t ip l iant , au d6part, la porteuse

Walsb Wj de m0me numdro, les s ignaux ainsi obtenus

6tant ajout6s, puis t ransmis en ligne.

A l 'arr iv6e, le d6mult iplexage s'opSre en mul t ip l i an t

le signal composi te par les N porteuses Walsh : W' j

W0

Sl

Wi

si o - @ -

: WN. 1 SN-I

V_

Wt0 ~ s'(i

S' 1

SN.I

FIG, 1. - - Multiplex /t porteuses de Walsh.

et en envoyan t les N produits obtenus dans N int6-

grateurs IT j , supposes r ides au d6but de chaque

p6riode.

11.2. Nous supposons que l 'horloge qui engendre

les fonctions W' j est affect6e d 'un re tard cons tant T,

par rappor t h l 'horloge analogue qui engendre les

fonctions Wj au d6part.

Nous faisons 6galement les deux hypothbses suivantes.

11.2.1. Le re ta rd ~ est faible devan t la dur6e T[2~"

d 'un interval le 616mentaire des fonctions de \Valsh consid6r6es.

11.2.2. On peut n6gliger la var ia t ion re la t ive des

grandeurs sl pendan t deux p6riodes cons6cutives.

La premi6re hypoth6se rev ien t h supposer que la

synchronisat ion pent 6tre rendue app rox im a t ivemen t

correcte, ce qui est la condit ion pr6alable au fonction-

nement d 'un mult iplex.

* Cette 6rude a 6t6 effectn6e dans le cadre du contrat de la Direction des Recherches et Moyens d'Essais de la Ddl6gatiou Minist6rielle pour l'Armement sous le n o 7134.065.00.480.75.01 ,, Exploration des applications aux t616communications des fonctions de Walsh ,~.

** I)ivision des applications 61ectroniques, CIT-ALCATEL, Marcoussis.

- - 89

2/6 c. CARDOT [Ar~N~LES DES T]~LI~COMMUNICATIONS

La seconde hypoth~se revient , compte tenu de la premiere, h n6gliger une faible erreur sur l '6valuat ion de l 'erreur elle-meme : elle est justifi6e par la simpli- fication qu'elle apporte au calcul.

Lors d ' u n pet i t d6calage u (Fig. 2), chacun de ces passages par z6ro diminue de 2 u la valeur de l ' int@ grale du produi t des deux fonctions (aire du rectangle

hachur6, sur la figure 2).

I I .3 . Dans cos conditions, la tension recueillie pendan t une p6riode par l ' in t6grateur ITg est :

1 i=N--1 i T s'g = ~ - Y, s t Wi(t) W'g(t) dt ,

i=0 1 i=,v-I / ' T + ~

= --T ~=oE sift, wi(l) w g ( l - ~) d r ,

i=N--I

ou (1) S'g = ~ sl Pig(r), i=0

P,g(u) 6tant le p rodui t de corr61ation normalis6 :

Pig(u) = - ~ - Wt(t § u) Wg(t) dr.

Pour v---- 0, il r~sulte du caract~re or thonormal du groupe des 2 ~ premieres fonctions de Walsh que

la matr ice des Pig qui figure dans (1) est la matr ice unit~, d 'ordre 2 ~.

Nous nous proposons d '6valuer la matrice des Pig pour v v e 0, dont nous ne consid6rerons que la valeur absolue des coefficients, seule impor tan te en prat ique.

+1 w (t)

-1

"t +1

0 ~ (t- u)

-1

-1 ~.

W i (t) Wi (t- u)

Fro. 2. - - Produit d'autoconvolution pour u faible.

I I .4 . Nous avons pr6e6demment montr6 que le produi t de convolut ion Pig(u) de deux fonctions de Walsk est une fonct ion p6riodique form6e de segments

de droite. Sachant que l 'on a Pil(0) = 1 et Pig(0)= 0 ; i =/= ],

si l 'on pose : dPig(u)

Kig -- d ~ '

on aura, pour toutes les erreurs sat isfaisant h l 'hypo-

th~se II.2.1. :

(2) I Pil(v)] = 1 - I K . v l ,

[ Pig@)l = IKtg vi ;

et ces formules r6solvent le pr0bl~me, si l 'on connal t les valeurs absolues Kig des pentes au ddparl des pro- duits de convolut ion Pig(u). La matr iee Ki] est 6vi-

demment sym6trique.

I I I . C A L C U L D E L A M A T B I C E Ktg

III.1. Th6orSme.

La penle au d~parl Kit du produit d'autoconvolulion d'une fonclion de Walsh est proporlionnelle & la s~quence de cette [onclion :

4 s (3) K i i = T

En effet, une fonetion de s6quence s effectuo 2 s pas- sages par z6ro sur l ' in terval le de d6finition lerm&

Le produi t de convolut ion normalis6 diminue done de 2 u]T pour chaque passage par z6ro, soit de 4 s u ] T pour 2 s passages par z6ro.

On a done :

dPlf(0) = 4 s I T .

du

Ce th6or6me d6finit les 616ments d iagonaux de la matr ice Kig .

Les th6or6mes suivants pe rme t t en t de d6finir par r6currence les 616ments non diagonaux h par t i r des 616ments diagonaux.

I I I . 2 . Th6orSrne .

Los produits de convolution des /onctions de Walsh dtant ddfinis par les symboles ternaires & k chiffres rdsuUant de la C-addition des rangs des deux /onclions, ~erits en code binaire r~fl@hi el si deux produits ne dijf~rent que par le premier chiHre ternaire & gauche, alors le premier chiHre 0 el le premier chi/lre -- 1 d~finissent deux produits de convolution ayant, en valeur absolue, la m~me pente au ddparl.

III.3. Th6orSme.

St, dans les m~mes conditions, deux produits ne diHdrent que par tour premier chil/re lernaire ~ gauche el que leur pattie commune comprenne au moins un zdro, alors le premier chiffre + 1 el le premier chi[/re

- - 90

t. 27, n ~ 3-4, 1972] E R R E U R D E S Y N C H R O N I S A T I O N D ' U N M U L T I P L E X W A L S H 3/6

-- 1 d~finissent deux produits de convolution agant, en valeur absolue, la mdme pente au d~part.

Les d6monstrat ions de ces th6orbmes sont donn6es

en annexe. Nous allons les uti l iser pour construire la

matr ice Ki] d 'ordre 2Y +1, soit [Ky~I] h par t i r de la

matr ice, suppos6o connue, d 'ordre 2v, soit [Ky].

IV. C O N S T B U C T I O N D E L A M A T B I C E Kil

IV .1 . N o r m a l i s a t i o n .

I1 r6sulte des th6or~mes I I I . l . , I II .2. et III .3. que

t o u s l e s K~I sont des mult iples entiers du plus pe t i t

d ' en t re eux, soit 4]T = K u . Nous 6tudions donc,

ci-apr~s, la matrice des hombres cutters positifs

ki I = [KiI(T]4)], qui est ind6pendante de T.

La const ruct ion suivante donne la matr ice kv+l , d'ordre 2Y +1, qui est sym6tr ique et qui sat isfai t

encore ~ la condi t ion C.

La matr ice kp+ 1 6rant divis6e en quarts par ses a x e s :

a) le qua r t sup6rieur gauche est occup6 par la

matr ice kp ,

b) le qua r t sup6rieur droi t est occup6 par la

matr ice Sky obtenue en effectuant une sym6trie sur

les colonnes de [kp] :

Sk i j = kf , N - i - 1 ,

c) le qua r t inf6rieur gauche est occup6 par la

matr ice S'k~ t ransverse de [Sky]; on a :

S t k l ] = k N _ i _ l , ] ,

d) le quar t inf6rieur droi t est occup6 par la matr ice :

(4) [kp] + 2P -1 [11

off [ l l est la matr ice unit6 d 'ordre 2v.

IV.2 . C o n s t r u c t i o n par r 6 c u r r e n c e (Fig. 3 et 4).

Nous supposons que la matr ice kv d 'ordre 2Y est

connue, sym6tr ique et qu'el le satisfait h la condit ion

suppl6mentai re suivante.

Les dldments non diagonaux sym~triques par rapport la scconde diagonale sont dgaux (condition C).

k i j = kN_ j_ j , N - i - l , s i i : / : ] , avec N = 2v (leslignes

et les colonnes 6taut num6rot6es de 0 h N -- 1).

[kp+ 1 ] :

[kpl [Skp]

[S'kp] [kp] +2PI [ l l

FIG. 3. - - Construction par r6currence de la matrice kpel.

y,

/

Z'

X

T / I

,_'1:,. " . . . .

1 / "

X'

/ Z

FIG. 4. - - Justification de la construction de la figure 3.

IV . 3 . J u s t i f i c a t i o n .

a) Le qua r t sup6rieur gauche 6tant relatif aux

produits de convolut ion des 2Y premieres fonctions

de Walsh, cet te por t ion de la matr ice kv+l demeure

valable quel que soit le nombre de fonctions de Walsh

de rang sup6rieur h 2Y que l 'on ra joute ~ la suite.

b) et c) Ces r5gles r6sultent du th6or~me III .2. :

deux 616ments tels que a et b (Fig. 4)j sym6triques

par rappor t ~ X X ' , out m6me num~ro de ligne (inf6-

rieur ~ 2Y) et des num6ros de colonnes compl6men-

taires ~ 2Y +1 -- 1. I1 en r6sulte que leurs num6ros de

colonnes, 6crits en code binaire r6fl6chi, ne diff6reront

que par le premier 616merit ~ gauche (0 pour a e t

1 pour b), le num6ro de ligne commun commenqant

par un 0. Les symboles ternaires d6finissant les pro-

duits de convolut ion correspondants commenceron t

doric par -- 1 pour a e t par 0 pour b. Le th6or~me III .2 .

s 'appl ique et l 'on a : a = b.

On a, de m6me : a = b' pour deux 616ments sym6-

tr iques par rappor t h Y ' Y et : d - d' pour deux 616-

ments symetr iques par rappor t ~ Y 'Y, dont Fun se

t rouve sur ta moitid sup6rieure de la diagonale prin-

cipale (le num6ro binaire r6fl6chi de ligne et de

cotonne de d commence alors par un 0).

d) Cette r~gle r6sulte des th6or~mes III .1. et III .3. : deux 616ments non diagonaux, tels que a et c, sym6-

tr iques par rappor t ~ ZZ', sont 6gaux en ver tu du

th6or~me III .3. , car :

- - ces 616ments n '6 tan t pas diagonaux, l 'expression

ternaire de chacun des produits de convolut ion qu'i ls

repr6sentent comporte au moths un z6ro ;

- - l e num6ro de ligne de chacun e tan t compl~-

menta i re ~ 2Y +1 -- 1 du num6ro de colonne de l ' aut re ,

il en r6sulte que les symboles ternaires correspondants

commencen t par -- 1 pour l'616ment a et par + 1

- - 91 - -

4 / 6 c. CARDOT [ANNALES DES TI~LECOMMUNICATIONS

pour l'616ment c. Le th6or~me s 'applique donc et l 'on a : a = c.

En ver tu de la condi t ion C, on a, en outre : c = c', c' 6rant l '616ment sym~trique de c par rappor t X 'Y. F ina lement , a = c', ces deux 616ments se corres-

pondan t dans la t rans la t ion de la matr ice kp dans le quar t inf6rieur gauche de kp+ 1 .

Quant h u n 616ment diagonal, tel que d", il ne peu t pas 6tre 6valu6 par applicat ion du th6or~me III .2. (parce que le symbole ternaire correspondant ne ren- ferme pas de 0). Son 6valuat ion r6sulte du th6o- r~me III .1. : la valeur de kl~ qui correspond ik un pro- dui t d ' au toconvolu t ion est 6gale h la s6quence de la fonction de Walsh correspondante.

Ceci justifie le second terme de la formule (4), compte tenu de la succession des s6quences dans la suite complete des fonctions de Walsh.

IV.4. Appl icat ion des formules pr6c6dentes.

IV .4 .1 . Pour obtenir la matr ice klj relative h la suite complete des fonctions de Walsh, on par t de la

matr ice k I = [ 0 0 0 J 1 relat ive aux deux premieres fone-

t ions de Walsh. La figure 5 mont re la matr iee k 4 obtenue par r6eur-

rence avee Its formules pr6e6dentes.

s

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 I 0 0 1 1 0 1

2 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

3 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 ,0 2 2 0 0 0 2

4 0 0 0 2 2 O. 0 0 0 0 i0 2 2 0 0 0

5 0 1 1 0 0 3 1 0 0 1 3 0 0 1 1 0 3

6 0 1 1 0 0 I 3 0 0 3 1 0 0 1 1 0

7 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 4

:8 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0

9 0 1 1 0 0 i 3 0 0 5 1 0 0 1 1 0 5

10 0 1 1 0 0 3 1 0 0 1 5 0 0 1 1 0

6 11 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 6 2 0 0 0

12 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 6 0 0 0

13 0 1 1 0 0 i 1 0 0 1 1 0 0 7 1 0 7

14 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 7 0

8 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8

F I G . 5 . - - M a t r i c e k 4 .

Cette matr ice fourni t les coefficients d 'erreur de synchronisat ion du groupe des seize premieres fonc-

tions de Walsh.

IV.5. Restr ic t ion 5 une paire de classes d '6quivalence d iaphonique .

IV .5 .1 . L'examen de la figure 5 mont re la pr6sence d 'un grand nombre de z6ros, qui correspondent aux

produits de convolut ion iden t iquement nuls entre fonctions de Walsh a ppa r t e na n t ~ des classes d'6qui- valence diaphonique qni n ' o n t pas la m~me valeur

du param~tre k 0 d6fini dans le prSc6dent article (rang du premier ehiffre binaire non nul dans l 'expression

de la s6quence en code binairc simple). Nous nous proposons de chercher une .matrice plus

condens6e, qui ne rcnferme que des ~16ments non nuls.

IV.5 .2 . C las se s d '~quivalence de convoMtion.

Nous avons d6montr6 pr6c6demment [1, w u que deux fonctions de Walsh avaient un produi t de convolut ion non nul si, et seulement si, elles se trou- va ien t dans les classes d '6quivalence diaphonique a ya n t la m6me valeur de k 0 : deux fonctions situ6es

dans deux classes diff6rentes de m6me k 0 sont l ' une paire, l ' aut re impairc, donc absolument orthogonales au point de r ue de la diaphonie, mais leur produi t

de convolut ion n 'es t pas iden t iquement nul (il est seulement nul au d6part).

Nous appellerons done classes d'dqaivalence de convolution la r6union des deux classes d '6quivalenee

diaphonique de m6me valeur de k 9. I1 existe k § 1 classes de convolut ion darts le groupe des 2 ~ premieres fonctions de ~Talsh.

Darts ces conditions, deux fonctions de "Walsh ont un produi t de convolut ion iden t iquement nul si, et seulement si, elles appa r t i ennen t ~ des classes d'~qui-

valence de convolut ion diff6rentes. Toutes les classes d '6quivalence de convolut ion sont

isomorphes, de la m6me mani~re que les classes d'6qui- valence diaphonique dont elles sont la r~union.

I1 en r6sulte que la matr ice des coefficients kij r~duite aux seuls indices i, ] f igurant dans la classe de convolut ion k o = 1, est une matr iee universelle et clue les coefficients correspondants pour une classe de convolut ion k 0 s 'ob t iendron t ~ par t i r des pr6c6dents en mul t ip l i an t ceux-ci par 2 ~ -1.

IV.5 .3 . Cons t ruc t ion de la m a t r i c e k'ij �9

Nous appellerons k ' i j la matr ice con tenan t los coefficients kij pour les fonctions de Walsh appar- t e n a n t & la classe d '6quivalence de convolut ion d6finie par k o = 1.

Les rangs N des fonctions de V~Talsh de cette classe forment la s6rie : 1, 2, 5, 6, ... (4 p § 1), (4 p § 2), ...

On voi t ais6ment que la construct ion r6currente d6finie au paragraphe IV.2. est applicable h la construct ion de la matr ice k', m o y e n n a n t deux modifi-

cations (Fig. 6) :

- - la formule (4) devient :

(5) [k'v] + 2v [11,

compte tenu de la succession des s6quences darts la s6rie des fonctions consid6r~es ;

aux deux premieres fonetions, de s6quenee 1.

La figure 7 mont re la matr ice k' 5 , et permet done

- - 92 - -

t. 27, n ~ 3-4, 1972] E R R E U R D E S Y N C H R O N I S A T I O N D ' U N M U L T I P L E X W A L S H 5 / 6

[k'p + i ] =

[ k ' p ] [ S k ' p ]

S ' k ' ] [k'p ] + 2 P [ 1 ] p

tons , d ' a u t r e pa r t , que ki] est u n en t ie r inf~r ieur ou 6gal h la p lus faible des deux s6quenees des fonc t ions eonsid6r6es.

Ces formules p e r m e t t e n t de ealeuler d i r e e t e m e n t l ' in f luence d ' u n e er reur de s y n c h r o n i s a t i o n dans le f o n e t i o n n e m e n t d ' u n m u l t i p l e x h por teuses Walsh .

V. C O N C L U S I O N Fro. 6. - - Construction par r6currence de la matrice k'p+~.

1 I 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1

2 1 I 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1

5 1 1 3 1 1' 3 1 1 I ,1 3 1 1 3 I 1 3

6 1 1 1 3 3 1 1 1 l i l 1 3 3 1 1 1 I

9 1 1 1 3 5 1 1 1 1 11 1 5 3 1 1 1 5

10 1 1 3 1 1 5 1 1 1 1 5 1 1 3 1 1

7 13 1 1 1 1 I 1 7 1 1 7 1 1 1 1 1 1

14 1 1 1 1 1 1 I 7 7 1 1 1 1 1 1 1

9 17 1 1 1 1 1 I 1 7 9 1 1 1 1 1 1 1

18 1 1 1 I 1 1 7 1 1 9 1 1 I 1 1 1

11 21 1 1 3 I 1 5 1 1 1 1 11 I 1 3 1 1 22 1 1 1 3 5 1 1 1 t 1 1 11 3 I 1 1

13 25! 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1 3 13 1 1 i

26 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 13 1 1

29 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15 1 15

30 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 15

Fro. 7. - - Matrice k' 5 .

d ' o b t e n i r les coefficients d ' e r r eu r de s y n c h r o n i s a t i o n p o u r le groupe des t r e n t e - d e u x premieres fonc t ions de -Walsh.

I V . 6 . E x p r e s s i o n de l ' e r r e u r de s y n c h r o - n i s a t i o n e n d 6 c i b e l s .

L ' e n t i e r ki j a y a n t 6t6 ma t r i ces p r 6 c 6 d e m m e n t d ' e r r e u r qui son t donn6s compte t e n u de (3), 6Ire s u i v a n t e :

d6 te rmin6 au m o y e n des d6finies, les coefficients

pa r la fo rmule (2) p e u v e n t , mis sous la forme p r a t i q u e

(6) [Pi~(~')I = 1 - - 4 k 0 @ - P

[po.(~) I = 4k~j @ ,

ou (~ 6 t a n t fa ible d e v a n t T) :

(7) S U = 201oglo [Pr - - 34,74 k u / - J ~ ) ( d B ) , N

S~]= 20 loglo [Po(~')] = 12,04 + 20 log~o k O" - -

20 loglo ( ~ ) (dB) �9

R a p p e l o n s que k/i qu i figure dans ces formules est 6gal /~ la s~quence de la fouc t ion consid6r6e et cons ta -

Cette 6tude, j o in t e h l ' a r t ie le prSc6dent , p e r m e t de calculer les l imi tes th6or iques de l ' in f luence des imper - fect ions de t r a n s m i s s i o n (bande p a s s a n t e finie de la l igne et e r reur de synch ron i sa t i on ) sur le fonc t ion-

n e m e n t d ' u n m u l t i p l e x id6alis~ u t i l i s a n t des por teuses Walsh .

Les r e su l t a t s essent iels de ce prSsent t r a v a i l o n t 6t~ pr6sent~s h l 'Acad6mie des sciences pa r M. M. P o n t e le 31 j a n v i e r 1972 [2].

A N N E X E

A . I . D 6 m o n s t r a t i o n d u t h 6 o r 6 m e I I I . 2 .

A . L I . Selon les r6su l ta t s ob t enus [1, w V.3.], les va leurs successives du p rodu i t de c o n v o l u t i o n de deux fonc t ions de W a l s h h la fin des 2~ in te rva l les d6finis-

s a n t u n e p6riode son t donn6es pa r les coefficients successifs du p o l y n b m e :

(1) Q(y) = co + clg + ..... c2~_ 1 y2%1, modu lo (g~'~ - 1).

La pen t e h l 'o r ig ine du p r o d u i t de c o n v o l u t i o n normal i s6 est d o n c :

K - [Q c~ T

K T et la va leu r de k -- est :

4

(2) k - - ]C l - - - cOl

4

A. I .2 . Le p o l y n 6 m e Q(y) est o b t e n u en f a i san t ,

dans l ' a n n e a u des po lyn6mes modu lo (y 2 k - 1), le p r o d u i t de k fac teurs F o h Fk 1 donn6s pa r le t a b l e a u I ;

TABLEAU 1

F o F 1 l ; p

(1 -~-g) (1--1/g)

( l - y ) (1--1/g)

0 ~) O- - l / y )

(1 +y~)(1 + 1/u ~)

(1 -- y2)(1--1/y2)

(1 y2)(1 l[y 2)

'1 ] y2P)(1 -[- 1 [y2P)

:',1 + g2V)(1--1/y~V)

1 y2t')(1--1/U2V;

Chiffre t er n air_______~e

ehaque fae teur 6 t an t choisi selon la va leu r du chilIre t e rna i re de m6me r a n g depuis la gauche, dans l ' expres - s ion s y m b o l i q u e du p r o d u i t de compos i t ion eonsid6rfi,

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6 / 6 c. CARDOT [ANNALES DES TELECOMMUNICATIONS

lequel est la C-somme des rangs des fonc t ions de Walsh , 6crits en code b ina i r e r6fl6chi.

Le p o l y n 6 m e Q(y) es t o b t e n u en c h a s s a n t les d 6 n o m i n a t e u r s et en o r d o n n a n t le r6 su l t a t sous la forme (1).

Si nous m u l t i p l i o n s la p remiere e t la deux i~me colonne du t a b l e a u I p a r y~, la t ro is i6me pa r y4, la

colonne p pa r y 2p, etc. , nous au rons f i n a l e m e n t m u l t i -

pli6 le p r o d u i t p a r y2k= 1, ce qui n ' a u r a pas chang6 le p o l y n 6 m e Q(y). Nous r6cr ivons donc le t a b l e a u sous

la forme 6qu iva len te , t a b l e a u I I .

TABLEAU I I

Fo

Y 0 + y)2

y(1 _ y 2 )

U(1 __y)2

F1

(1 + y2)2

(1 - - ~4)

(1 - - y2)~

F v

(1 -]- g2P)2

(1 - - y 2p+I)

(1 - - y 2 P ) ~

Chi e tern :e

+

A.L3. D a n s ces cond i t ions , si les symboles t e rna i res de d e u x p rodu i t s de c o n v o l u t i o n son t :

P = - - 1, x , y , z eL P ' = O , x , y , z ,

oh x, y, z son t des chiffres t e rna i res que lconques ,

c o m m u n s a u x d e u x symboles , les po lynSmes Q(y) e t Q'(y) c o r r e s p o n d a n t s s e ron t de la forme :

Q(y) = y (1 + y)2 Ql(y2),

Q'(y) = y (1 - - y2) Ql(y2).

La formule (2) p e u t s '6crire :

1 k = ~ - [ te rme c o n s t a n t de Q ( y ) / y - t e rme c o n s t a n t

de Q(y),], ou : 1

k = ~ - [ terme c o n s t a n t de Q ( y ) ( 1 / y - 1 ) ] ;

appl iqu~e a u x d e u x p o l y n 6 m e s Q(y) et Q'(y) pr6c6-

dents , cet te formule d o n n e :

1 k -- 4 [ terme c o n s t a n t de (1 - - y) (1 + y)2 Ql(yU)

= (1 + y ) ( l - - y2) Qi(y2)],

1 k ' = - - - [ terme c o n s t a n t de (1 - - y) (1 - - yZ) Ql(y2)].

4

Le p o l y n 6 m e (I - - y2) QI(ye) n ' a y a n t pas de t e rmes

de degr6 impa i r n ' a pas de t e rme en y e l ` - 1. Ces d e u x express ions son t donc 6gales au t e rme c o n s t a n t du p o l y n 6 m e (1 - - y2) Ql(y2).

A . 2 . D 6 m o n s t r a t i o n d u t h 6 o r S m e 1 1 1 . 3 .

Avec les m6mes n o t a t i o n s , nous cons id6rons d e u x

p rodu i t s de c o n v o l u t i o n d o n t les symboles t e rna i r e s

son t : P = + 1, x , y , z ,

et P ' = - - 1, x, y, z,

avec la cond i t i on que la sui te x, y, z, ... r en fe rme au

m o i n s u n z&o.

Cette derni6re cond i t i on i nd ique qu ' i l ne s ' ag i t pas de p r o d u i t s d ' a u t o c o n v o l u t i o n et l ' o n a donc, pou r

c h a c u n :

P(0) = c o = 0 (le p r o d u i t est nu l h l 'or ig ine) . La fo rmule (2) donne alors : k = [q/4] ou

1 k = - ~ - ( t e r m e c o n s t a n t de Q(y)]y) .

Les po lyn6mes consid6r6s son t de la forme :

Q(y) = y (1 - - y)2 Q:(ye) = y [(1 - - 2 y) Q: + y~ Q1)],

Q'(y) = y (1 + y)~ QI(y 2) = y [(1 + 2 y) Q1 + Y2 Oil"

Le m 6 m e r a i s o n n e m e n t que ci-dessus m o n t r e que les t e rmes c o n s t a n t s des po lynSmes Q(y)]y et Q'(y)]y

son t l ' u n e t l ' a u t r e 6gaux fl celui du po lynSme (1 + ye) Ql(y2).

M a n u s c r i t re~u le 6 ]anvier 1972.

B I B L I O G R A P H I E

[1] CARDOT (C.). Ddfinition analyt ique simple des fonctions de Walsh et application ~ la ddtermination exacte de leurs propri6tds spectrales. A n n . tdldcommunic., Fr. (1972), 27, n ~ 1-2, pp. 31-48.

[2] CAnDOT (C.) Ddfinition des produits de convolution des fonetions de Walsh-Hadamard C. B. Acad. Sci. Fr. (7 f~v. 1972) 274, 6, pp ~73-L.75.

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