Jeudi 21 septembre 2006, soutenance de thèse de Kévin Berger 1

Etude des phénomènes couplés magnétothermiques

dans les Supraconducteurs à Haute Température

Groupe de Recherche en Electrotechnique et Electronique de NancyFaculté des Sciences et Techniques, Université Henri Poincaré Nancy 1

UMR CNRS 7037, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy

Abderrezak REZZOUGJean LÉVÊQUE

2

Plan de l’exposé

Introduction

Modélisation & outils numériques

Résultats

I. Pertes AC dans une amenée de courant en Bi-2223

II. Aimantation d’une pastille en YBCO

Conclusion & perspectives

Introduction 3

Thermally Activated Flux Flow

Thermally ActivatedFlux Creep

Flux Flow

SHT

J

E

0Jc

Ec

0

SBT

Jc

E

00 J

Comportement électrique d’un SHT

Modélisation d’un SHT nécessite une loi de comportement E(J)

Loi en puissancenE J

Modèle de Bean

0

cJ

J

Introduction 4

Problématique

( )n

cc

JE J EJ

1 μV/cm( )

(log ) / (log )

c

c c

EE J En E J

( , )

( , , )( , )

n T

cc

JE J T EJ T

B

BB

Loi en puissance telle que

Jc et n dépendent de B et T

Pour simuler le comportement des SHT Résoudre un problème couplé magnétothermique

Difficile car fortement non linéaire

5

Plan de l’exposé

Introduction

Modélisation & outils numériques

Résultats

I. Pertes AC dans une amenée de courant en Bi-2223

II. Aimantation d’une pastille en YBCO

Conclusion & perspectives

Modélisation & outils numériques 6

Formulation E-J

.

Dans le supraconducteur Dans l’air

Avantages Bonne convergence car on utilise une loi E(J) et non J(E) En 1D et 2D, il n’y a qu’une seule inconnue à calculer

• J dans le supraconducteur • E dans l’air

0 0 0t

t

H JJB H EBE

0( ) 0t

JE J

0 0 J EE

E

J

J

CI

CI1

234

1

2

3

( ) 0E J cste ( ) 0J E cste

Modélisation & outils numériques 7

Equation thermique

Pour un matériau conducteur

Echanges par convection

( ) 0p vTT C pt

T h T T n

vp E J

conductivité thermique masse volumique

Cp chaleur spécifique

pv puissance volumique dissipée

hcoefficient d’échange fluide / supraconducteur

n normale orientée à la surface du supraconducteur

T température du fluide cryogénique

Modélisation & outils numériques 8

Couplage magnétothermique

Système à résoudre

Développement d’un code de calcul en C++ basé sur la MDF Méthode de résolution par « couplage faible »

Bien adaptée pour des diffusivités très différentes (ex. : Bi-2223)• Diffusivité thermique :• Diffusivité électrique :

Plus simple à mettre en œuvre Matrices plus petites gain de mémoire

( , )

0 0( , )

( ) 0

n T

cc

p

EJ T t

TT Ct

BJ J JB J

E J

1 21.36 10 m / spC 5 2

0 3.13 10 m / sc cE J

( , )

0 0( , )

( ) 0

n

cc

p

T

EJ tT

tTCT

BJ J JB J

E J

9

Introduction Modélisation & outils numériques Résultats

I. Pertes AC dans une amenée de courant en Bi-2223• Caractérisation, simulations, mesures• Etude de la stabilité

II. Aimantation d’une pastille en YBCO• Processus d’aimantation• Paramètres influençants• Critère dimensionnant

Conclusion & perspectives

Plan de l’exposé

Résultats I : Etude des pertes 10

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.80.1

1

10

Symbole Quantité Valeur

l longueur 16 cm

Ri rayon intérieur 3.75 mm

Re rayon extérieur 5 mm

Caractéristiques

Tube en Bi2Sr2Ca2Cu3O10+δ Plongée dans un bain d’azote liquide 77 K Caractéristique E-J en champ propre

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.80

2

4

6

8

10

Densité de courant, J (A/mm2)

Cha

mp

élec

triqu

e, E

(μV

/cm

)

masse volumique 5 g / cm3

Cp chaleur spécifique 170 J / (kg · K)

conductivité thermique 4 W / (m · K)

h coefficient d’échange avec l’azote 400 W / (m2 · K)

Tc température critique 107 K

Ec champ électrique critique 1 μV / cm

Jc0 densité de courant critique pour B = 0 2.54 A / mm2

Ic0 courant critique pour B = 0 87 A

n0 exposant n pour B = 0 23Jc

Ec

n

Résultats I : Etude des pertes 11

0.2 0.5 1 2 3

0.1

1

10

Densité de courant, J (A/mm2)

Cha

mp

élec

triqu

e, E

(μV

/cm

)

85 mT 0 mT18 mT

B

0.2 0.5 1 2 3

0.1

1

10

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1

1

10

0 20 40 60 80 1000

5

10

15

20

250

1

2

3

0

1

2

3

0 20 40 60 80 1000

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 1000

5

10

15

20

250

1

2

3

Dépendance en champ magnétique

Den

sité

de

cour

ant c

ritiq

ue,

Jc (

A/m

m2 )

Expo

sant

, n

Induction magnétique appliquée, B (mT)

1.83

1.611 ( / 0.059)( ) 2.541 ( / 0.0079)

cBJ BB

1.2

1.381 ( / 0.021)( ) 4.2 (23.3 4.2)

1 ( / 0.0048)Bn B

B

Jc

Ec

n

E (μ

V/c

m)

18 mT

Résultats I : Etude des pertes 12

Mesures d’aimantation sur un petit échantillon similaire à l’amenée de courant

.

Hypothèse : dépendances en B et T indépendantes .

.

80 85 90 95 100 10516

18

20

22

240

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dépendance en température

Den

sité

de

cour

ant c

ritiq

ue

rédu

ite, J

c(T) /

Jc(7

7 K

)Ex

posa

nt, n

Température, T (K)

( ) 1 /106.9(77 K) 1 77 /106.9c

c

J T TJ

77( ) 23.3n TT

( )( , ) ( )

(77 K)c

c cc

J TJ B T J BJ

( )( , ) ( )(77 K)n Tn B T n B

n

3 /c eJ M R

80 85 90 95 100 10516

18

20

22

24

Température, T (K)

Résultats I : Etude des pertes 13

Tbain

Tube Bi-2223Tbain

i

( )bainr R

T h T Tr

e

( )bainr R

T h T Tr

i

0r R

er

e

0

e

( )2r R

e di tr R dt

2

02 0

1 =0, 0t

e e j er r r t

2

2 00, p baint

T T TC e j T Tr r r t

Tbain

Tube Bi-2223Tbain

i

( )bainr R

T h T Tr

e

( )bainr R

T h T Tr

i

0r R

er

e

0

e

( )2r R

e di tr R dt

2

02 0

1 =0, 0t

e e j er r r t

2

2 00, p baint

T T TC e j T Tr r r t

Tbain

Tube Bi-2223Tbain

i

( )bainr R

T h T Tr

e

( )bainr R

T h T Tr

i

0r R

er

e

0

e

( )2r R

e di tr R dt

2

02 0

1 =0, 0t

e e j er r r t

2

2 00, p baint

T T TC e j T Tr r r t

Description des simulations

Longueur infinie problème 1D

i(t) = Imax sin(2×50×t) Bt (t) = 0×i(t) / 2Re

20 points dans l’épaisseur

Pas de temps de 10-5 s 2000 points par période 2 périodes 1 min de calcul

Résultats I : Etude des pertes 14

Répartition de la température Simulation pour Imax = 126 A et B = 0 (Ic0 = 87 A)

1000 périodes (20 s) 24 h de temps de calcul Simplification température globale

3.75 4 4.25 4.5 4.75 577.9

78

78.1

78.2

78.3t = 5 st = 10 st = 20 s

Tem

péra

ture

, T (K

)

Rayon du tube, r (mm)

1 / 1tt bain t

PT T T

t hA t

pCt

hA

constante de temps thermique 1.33 s

t pas de temps utilisé 20 ms

A surface d’échange avec le bain 88 cm2

volume du supraconducteur 5.5 cm3

Résultats I : Etude des pertes 15

2

1

12 1 11

01 0.3( ) 2 ( )

6

tn n nn c

t max R c c nc t

EP I l E f I f i t dtn I

2

1

( , ) ( , ) ( , )

( , )

12

( )

1

1,

10

1

1 0.36

( , , )

2 (

( , )( , )

()

( , ,

,

) 1

)

/

t t t

t

t

T T Tt

tt

TT

R c

max tc

t

ma

n B n B n Bc

n Bn B

c

x baint

t

ttt

t

E f

I B l

TT

T

TEf i t dt

I

I Bn

B TT

P

PP Tt hA t

B

I B

2

1

( , ) ( , ) ( , )

( , )( , )

12 1 1

0

1

1 0.36

( , , )

2 ( )

( , )( , )

( , )

t t t

t

t

n B T n B T n B Tc tR c

t max t tc

t

n B Tn B T

c t t

I B Tn B T

I B T

E f

P I B T lEf i t dt

2

1

12 1 11

01 0.3( ) 2 ( )

6

tc

t max R ct

n n nnc n

c

EP II l E f fn

tI

i t d

Formule analytique B. Douine, formule de pertes en champ propre pour Imax > Ic

Résultats I : Etude des pertes 16

Comparaison numérique et analytique

0 5 10 15 20

77.4

77.6

77.8

78

78.2

NumériqueAnalytique

Tem

péra

ture

, T (K

)

Temps, t (s)

Résultats parfaitement identiques Pour le calcul de l’évolution de la température jusqu’à 20 s

24 h en numérique (avec notre code de calcul) instantané en analytique

0 20 40 60 80 100 12010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 50 10010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1000 mT3.5 mT7.1 mT10.6 mT21.3 mT42.6 mT71.1 mT

Perte

s, P

(W/m

)

Amplitude du courant, Imax (A)

B

Résultats I : Etude des pertes 17

Amplificateur différentiel

Azote liquide (77 K)

Réseau400 V / 50 Hz

Autotransformateur motorisé

Transformateur

Charge résistive

Sonde de courant

Oscilloscope numérique

( )i t

( )u tChamp magnétique

appliqué

Mesure des pertes AC

Résultats I : Etude des pertes 18

10 20 30 40 50 60 7010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 20 40 60 80 100 12010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 20 40 60 80 100 12010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 20 40 60 80 100 12010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

0 50 10010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

1000 mT3.5 mT7.1 mT10.6 mT21.3 mT42.6 mT71.1 mT

B

Perte

s, P

(W/m

)

Amplitude du courant, Imax (A)

Perte

s, P

(W/m

)Comparaison analytique et mesures

Limitation des pertes mesurées à 0.1 W/m pour ne pas risquer la destruction de l’échantillon

B > 7 mT bonne concordance Concordance médiocre à faible

champ magnétique appliqué Ne correspond pas aux applications

usuelles des supraconducteurs

Hypothèses avancées Champ propre négligé Erreurs de mesures liées notamment

à l’orientation du champ

B = 7.1 mTB = 0 mT

Résultats I : Etude des pertes 19

Influence du couplage thermique

Prise en compte du couplage thermique différences importantes 82 % d’augmentation sur la valeur des pertes

À l’origine des instabilités magnétothermiques également observées expérimentalement 2 amenées de courant détruites

105 110 115 120 125 0

5

10

15

20

25

30Sans couplage thermiqueAvec couplage thermique

Perte

s, P

(W/m

)

Amplitude du courant, Imax (A)0 5 10 15 20

77.5

78

78.5

79

79.5

80 Imax = 125 AImax = 126 AImax = 127 A

Tem

péra

ture

, T (K

)

Temps, t (s)

Instable

10.5 W/m

19.1 W/m

Résultats I : Etude des pertes 20

77

78

79

80

81

82

0 5 10 15 20125128

128 A125 A à T = 80.5 K125 A à T = 79.5 K

77

78

79

80

81

82

8 s77

78

79

80

81

82

77

78

79

80

81

82

0 5 10 15 20125128

128 A125 A à T = 80.5 K125 A à T = 79.5 K

7 s

77

78

79

80

81

82

0 5 10 15 20125128

128 A125 A à T = 80.5 K125 A à T = 79.5 K

77

78

79

80

81

82

La limite de stabilité a été déterminée théoriquement Stable en régime permanent les pertes et la température Instable

le temps avant que le supraconducteur transite (par dépassement de Tc) une température à ne pas dépasser pour redevenir stable

Limite de stabilité

0 20 40 60 80 1000

20

40

60

80

100

120

Am

plitu

de d

u co

uran

t, I m

ax (A

)

Induction magnétique appliquée, B (mT)

Stable

Instable

Temps, t (s)

Tem

péra

ture

, T (K

)I m

ax (A

)

Résultats I : Etude des pertes 21

Discussion

Grâce aux abaques établis théoriquement les marges de fonctionnement sont connues la destruction de l’échantillon peut ainsi être évitée

Se souvenir des hypothèses faites différences avec l’expérience

Veiller aux phénomènes non considérés Par exemple, l’échauffement provoqué par une résistance

importante sur un contact de mauvaise qualité

22

Introduction Modélisation & outils numériques Résultats

I. Pertes AC dans une amenée de courant en Bi-2223• Caractérisation, simulations, mesures• Etude de la stabilité

II. Aimantation d’une pastille en YBCO• Processus d’aimantation• Paramètres influençants• Critère dimensionnant

Conclusion & perspectives

Plan de l’exposé

Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 23

Développement des SHT à structure cristalline (YBaCuO, …) Jc proche de 1000 A/mm2 à 77 K

Très intéressants en tant que cryoaimants (ou écrans magnétiques) Piégeage (ou écrantage) de forts champs magnétiques

Cryoaimants + machine électrique fort couple meilleur rapport Puissance/Volume qu’une machine classique

Cryoaimants

Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 24

Processus d’aimantation

Refroidissement sous champ champ magnétique piégé maximal La méthode “Pulsed Field Magnetization” (PFM)

la plus utilisée car plus commode à mettre en œuvre

Pastille pleine en Y1Ba2Cu3O7+ (Фe = 24 mm et h = 8 mm)

( ) exp 1a mt tB t B

avec 1 ms 0 1 3 4 5 10 15 200

20 %40 %

100 %

Cha

mp

appl

iqué

, Ba/B

m

Temps, t (ms)

( ) exp 1a mt tB t B

Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 25

Différentes lois E(J, B, T) Paramètres influençant l’aimantation ?

4 lois E(J, B, T) ont été utiliséesNom Modèle pour la loi E(J, B, T)

E-J

E-J-T

E-J-B

E-J-B-T

0

0

n

cc

JEJ

( )0 0 1

10 0

avec ( ) et ( )( ) 1 / 1 /

nc

c cc

J J n nE J n nJ B B

B

B BB B B

( , )0

0

0 11

0

1 / avec ( , )( , ) 1 / 1 /

et ( , )1 /

nc c

c cc bain c

b n

T

ai

J J TE JJ B T T

n n Tn nB

TTT

TT

B

BB B

BB

( )

0 01 / avec ( ) et ( )

( ) 1 /

nc ba

Tin

c c cc bain c

J T TE J J n nJ T T

TT TT T

Jc0 = 500 A / mm2

n0 = 20B0 = 0.5 T

n1 = 5

Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 26

Loi E-J

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

80 85 90 95 100 80 85 90 78 79 77.3 77.302 77.304

0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2

2A / mm

T T

K K

0.2 mst 4 mst 0.4 mst 1 mst 3 mst 20 mst 0.2 st 2 st 20 st 200 st

(a)

(b)

(c)

0 1 3 4 5 10 15 200 1 T 2 T

5 T

ms

z

r/ 2 4 mmh

( )aB t

12 mmeR

Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 27

Loi E-J-B

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.5 1 1.5

78 80 82 84 86 88 90 92 94 80 85 90 77.5 79.5 77.301 77.302

2A / mm

T T

K K

0.2 mst 4 mst 0.4 mst 1 mst 3 mst 20 mst 0.2 st 2 st 20 st 200 st

(a)

(b)

(c)

0 1 3 4 5 10 15 200 1 T 2 T

5 T

ms

z

r/ 2 4 mmh

( )aB t

12 mmeR

Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 28

Loi E-J-T

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.5 1 1.5

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

78 80 82 84 86 88 90 78 88 77.5 79.5 77.3 77.30004

2A / mm

T T

K K

0.2 mst 4 mst 0.4 mst 1 mst 3 mst 20 mst 0.2 st 2 st 20 st 200 st

(a)

(b)

(c)

0 1 3 4 5 10 15 200 1 T 2 T

5 T

ms

z

r/ 2 4 mmh

( )aB t

12 mmeR

Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 29

Loi E-J-B-T

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

0 5 10 1505

1015

78 80 82 84 86 88 78 86 77.5 79 77.3 77.3002

2A / mm

T T

K K

0.2 mst 4 mst 0.4 mst 1 mst 3 mst 20 mst 0.2 st 2 st 20 st 200 st

(a)

(b)

(c)

0 1 3 4 5 10 15 200 1 T 2 T

5 T

ms

z

r/ 2 4 mmh

( )aB t

12 mmeR

Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 30

Champ magnétique piégé

Le champ piégé n’a pas la même forme suivant la loi utilisée E-J pénétration incomplète

max(Bz) = 1.3 T E-J-B max(Bz) = 0.95 T E-J-T max(Bz) = 1.6 T E-J-B-T max(Bz) = 0.87 T

Diminution de 33 % entre la loi E-J et la loi E-J-B-T

0 2 4 6 8 10 12

0

0.5

1

1.5 E-J

E-J-BE-J-TE-J-B-T

Cha

mp

mag

nétiq

ue, B

z (T)

Rayon, r (mm)

Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 31

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

E-JE-J-BE-J-TE-J-B-T

Amplitude du champ appliqué, Bm (T)

Ener

gie

stoc

kée,

Em

ag (J

)Energie magnétique stockée

Dépendance en B engendre une diminution du maximum

d’énergie stockée et de la valeur pour laquelle ce

maximum est atteint Dépendance en T engendre

une diminution de l’énergie au-delà d’une certaine valeur de Bm(à cause des dissipations)• phénomène également observé

expérimentalement par d’autres auteurs

3

1 12 2

s

magE dv dv

R

H B A J

Résultats II : Aimantation de pastilles YBCO 32

Ener

gie

stoc

kée,

Em

ag (J

)

Amplitude du champ appliqué, Bm (T)0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.58-0-248-8-248-16-2412-0-2416-0-24

Valeur optimale de Bm

Maximum pour Bm 1.5 Bp*

Paramètres de la loi Jc(B) Jc0 et B0

Paramètres géométriques Re et Ri

*0

01 1 2 p

pB

B BB

La valeur optimal de Bm est un critère important qui permet de dimensionner le dispositif d’aimantation

h Фi Фe

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.58-0-248-8-248-16-2412-0-2416-0-24

Amplitude réduite du champ, Bm / Bp*

Ener

gie

stoc

kée,

Em

ag (J

)

0 0 ( )p c e iB J R R

Conclusion et perspectives 33

Conclusion Influence du couplage thermique sur les pertes et l’aimantation Formule analytique des pertes très utile Différences importantes de comportement durant l’aimantation

Bm 1.5 Bp* critère dimensionnant très intéressant

Perspectives Vérifications expérimentales mesures de températures Des modifications du code de calcul permettraient d’étudier

également le comportement magnétothermique d’un limiteur de courant, d’un palier magnétique, …

Merci de votre attention !