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FR9906450 Université d'Evry Val d'Essonne Institut National des Sciences et Techniques Nucléaires Mémoire de D.E.A "Solides, Structures et Systèmes Mécaniques" Option IV : Vibrations des structures ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE D'UN POTEAU EN BETON ARME Ali LARAS Maîtres de stage : René-Jean GIBERT, Didier BROCHARD Stage réalisé au : Centre d'Etudes de Mécaniques d'Ile de France (C.Ë.M.I.F) (Laboratoire mixte Université d'Evry Val d'Essonne et Commissariat à l'Energie Atomique)

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FR9906450

Université d'Evry Val d'EssonneInstitut National des Sciences et Techniques Nucléaires

Mémoire de D.E.A "Solides, Structures et Systèmes Mécaniques"Option IV : Vibrations des structures

ETUDE DU COMPORTEMENT SOUSEXCITATION ALEATOIRE D'UN POTEAU

EN BETON ARME

Ali LARAS

Maîtres de stage : René-Jean GIBERT, Didier BROCHARD

Stage réalisé au :

Centre d'Etudes de Mécaniques d'Ile de France (C.Ë.M.I.F)(Laboratoire mixte Université d'Evry Val d'Essonne et

Commissariat à l'Energie Atomique)

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REMERCIEMENTS

Je tiens à remercier tout d'abord Mr. René-Jean GIBERT pour m'avoir permis de réaliser cestage dans son laboratoire.

Je remercie également Mr. Didier BROCHARD pour l'aide précieuse qu'il m'a apporté dans laréalisation de ce travail.

Un grand merci également à Messieurs Naoufel AZZOUZ et Georges NAHAS, qui ontrépondu avec gentillesse à mes nombreuses questions.

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SOMMAIRE

1. INTRODUCTION. POSITION DU PROBLEME 11.2 INTRODUCTION 11.2 POSITION DU PROBLEME 11.3 OBJECTIFS DE L'ETUDE 1

2. ESSAIS SISMIQUES. CARACTERISTIQUESDES MATERIAUX 3

2.1 CARACTERISTIQUES DES STRUCTURES TESTEES 42.2 CONSTITUTION DES POTEAUX 42.3 CARACTERISTIQUES MECANIQUES DES MATERIAUX ... 4

2.3.1 Aciers 42.3.2 Bétons 5

2.4 DEROULEMENT DES ESSAIS 52.5 INTERPRETATION DES RESULTATS DES ESSAIS 6

3. MODELE GLOBAL EN FLEXION : GAUVAIN 73.1 CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX 73.2 DESCRIPTION DU CALCUL 7

3.2.1 Maillage de la structure 83.2.2 Conditions aux limites 83.2.3 Modèles de comportement des matériaux 8

3.2.3.1 L'acier 83.2.3.2 Le béton 9

3.3 OBTENTION DES CARACTERISTIQUES EQUIVALENTES ... 103.3.1 Cas élastique 103.3.2 Cas plastique 11

3.4 ETABLISSEMENT DE LA LOI MOMENT-COURBURE ... 113.4.1 Expression analytique 113.4.2 Résultats du calcul numérique 12

3.5 DESCRIPTION DES CYCLAGES DU MODELE GAUVAIN ... 13

4. EXCITATION ALEATOIRE : CREATION DE SIGNAUXSISMIQUES SYNTHETIQUES 15

4.1 NOTION DE SPECTRES DE REPONSE D'OSCILLATEUR(SRO) 15

4.1.1 Définition 154.1.2 SRO de dimensionnement 16

4.2 GENERATION DE SIGNAUX SYNTHETIQUES 17

5. DEVELOPPEMENT D'UN MODELE DE CALCULNON-LINEAIRE 20

5.1 PRINCIPE DU CALCUL 215.2 RESOLUTION TEMPORELLE DU SYSTEME DYNAMIQUE ... 225.3 STRUCTURE DU PROGRAMME 22

Page 4: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

5.4 VALIDATION SUR UN CAS TEST 22

6. INTRODUCTION DES PARAMETRESD'ENDOMAGEMENT 23

6.1 DEFINITION DES PARAMETRES 236.2 CALCUL DE CES PARAMETRES 23

7. ANALYSE DES RESULTATS DE SIMULATIONSNUMERIQUES 27

7.1 RECALAGE DES RESULTATS. ASPECTSPHENOMENOLOGIQUES 27

7.2 INTERPRETATION DES RESULTATS 307.3 FACTEURS INFLUENÇANT LA RUINE 30

8. CONCLUSION 32

Page 5: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

1 .Introduction. Position du problème.

1. INTRODUCTION. POSITION DU PROBLEME

1.1 INTRODUCTION

Dans une centrale nucléaire, le bâtiment réacteur (enceinte de confinement) assure troisfonctions principales :

• Abriter et supporter la cuve du réacteur, les générateurs de vapeurs, le circuit primaire,ainsi que les principaux auxiliaires permettant d'assurer la sûreté du réacteur.

• Protéger contre les agressions externes, qu'elles soient naturelles telles que les séismes,les tempêtes, ou accidentelles telles que les incendies, les explosions,., etc et faire en sortequ'en cas d'accidents, les dommages occasionnés au bâtiment ne mettent pas en péril lesorganes sensibles qu'il abrite.

• Assurer la fonction de confinement (d'où l'appellation enceinte de confinement), quiconsiste à s'opposer à la dispersion dans l'atmosphère de produits radioactifs, même encas d'accidents.

Les deux dernières fonctions (protection et étanchéité) doivent être impérativement assurées,même dans les conditions les plus défavorables d'exploitation du réacteur (agressionssismiques), justifient l'intérêt particulier qu'on attache à l'étude, du point de vue conception etdimensionnement.

1.2 POSITION DU PROBLEME

La méthode couramment utilisée pour le calcul sismique des bâtiments, consiste à déterminerle maximum probable de la réponse pour chacun des modes propres de la structure, à partir duspectre de réponse d'oscillateurs du séisme lui étant appliqué.Cependant cette méthode bien que pratique présente néanmoins quelques inconvénients quisont :

• La modélisation suppose un comportement linéaire de la structure pour le calculdes raideurs. Or des essais ont montré que même pour un faible niveau de séisme,il y a toujours une chute de fréquence due à la dégradation du béton.

• Les maximas des chargements dynamiques sont appliqués statiquement alors qu'enréalité ils changent considérablement en intensité durant leur application .

• Le S.R.O (spectre de réponse d'oscillateurs) ne donne que le maximum moyenabsolu de la réponse. Une description probabiliste de la source et donc de laréponse est indispensable pour obtenir une information suffisante sur les marges.

1.3 OBJECTIFS DE L'ETUDE

kLe but de ce travail était donc de développer un modèle de calcul non linéaire, permettantd'estimer, avec une assez bonne précision, la réponse des structures en béton armé dans le butde comprendre la physique des phénomènes conduisant au maximum de la réponse.

Page 6: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

1.Introduction. Position du problème.

Le type de structure que l'on s'est proposé d'étudier est une poutre en béton armé encastrée àsa base et supportant en tête une masse de 2 Tonnes, cette structure étant excitée par un signalsismique ou impulsionnel.

Dans un premier temps nous nous sommes attachés à déterminer le modèle de comportementglobal du béton armé à partir des lois de comportement du béton et de ses armatures en acier.

Ensuite, nous avons développer un programmme en langage GIBIANE permettant le calculsous excitation sismique du poteau avec la loi de comportement précédemment établie.Le poteau a été modélisé sous la forme d'un oscillateur non linéaire, que l'on a programmé àl'aide d'un algorithme explicite de type différences centrées.

Ce modèle simple rend bien compte des fréquences de vibrations en fin d'excitation , maistrès mal des amortissements observés expérimentalement. Nous avons donc amélioré lemodèle précédent en introduisant un paramètre d'endommagement du matériau.

Finalement, nous avons regardé ce qui, dans le signal d'excitation, conduit à une augmentationsensible du niveau de la réponse de la structure.

%-l:,-

Page 7: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

2. Essais sismiaues. Caractéristiques mécaniques des matériaux.

2. ESSAIS SISMIQUES. CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX

Depuis un certain nombre d'années, énormément d'essais dans des laboratoires différents ontété réalisés de par le monde, pour étudier la réponse des structures en béton armé.Ces essais étaient soit statiques monotones ou cycliques, soit dynamiques en vibrationsforcées. On peut en citer quelques uns à titre d'exemples :

1. Bertero et Maclune en 1964 ont étudié cinq portiques simples sous chargementstatique horizontal monotone et alterné. Ils ont observé une diminution notable dela rigidité des poteaux au cours des essais.

2. Eisenberg en 1966 a étudié des portiques à trois étages à l'échelle VA° sur tablevibrante. H a noté une diminution de la fréquence propre d'un facteur 2.5 à 4.

3. Gauvain et Al en 1978 ont réalisé des essais dynamiques sur table vibrante enutilisant des poteaux en béton armé à l'échelle 1/3, en utilisant un signald'excitation sismique (Taft 1952, San Fransisco 1957). Nous verrons ces essaisavec plus de détails puis que nous avons recalé nos résultats de simulationsnumériques sur ceux de ces essais.

Etc . .

D'une manière générale les essais statiques ont montré :

• Une dégradation de la rigidité.• Une évolution de la loi de comportement du matériau en fonction du

chargement.

Quant aux essais dynamiques ils ont montré essentiellement :

• La variation remarquable de la fréquence et de l'amortissement au coursdes essais.

• La détérioration du matériau commence à l'encastrement suite à uneflexion prédominante; l'effet de cisaillement étant faible.

On se propose dans ce qui suit d'étudier les essais effectés au CE.A par Gauvain et Al :

L'ensemble des essais concernait essentiellement des éléments structurels représentant desbâtiments d'habitation relativement peu ferrailles comparés aux stuctures nucléaires quiconstituent l'objet de notre étude.

Le C.E.A en colaboration avec E.D F et le C.E.B.T.P a entrepris un programme d'essais quiavait pour buts de :

• Donner des informations sur le comportement dynamique des structures en bétonarmé, et chercher des corrélations éventuelles entre les résultats dynamiques etstatiques.

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2. Essais sismiaues. Caractéristiques mécaniques des matériaux.

Avoir des résultats d'essais dynamiques, qui permettent de mettre au point unmodèle de calcul non linéaire de structures en béton armé et de le valider.

2.1 CARACTERISTIQUES DES STRUCTURES TESTEES

Pour les premiers essais, on a voulu étudier le comportement dynamique, d'une structure enflexion simple sans cisaillement. Le choix de la stucture à étudier a été guidé par cetteconsidération, ainsi que par les limites de la table vibrante VESUVE du centre d'études deSACLAY. Parmis ces limites : la charge limite est de 15000daN et la force du vérin est de35000 daN. Le système de pilotage permet de passer les fréquences comprises entre 0.1 et 100Hz.On peut introduire un signal sismique de type classique en échelle de temps réelle oucontractée. Ces raisons ont orienté le choix vers un poteau reproduisant à l'échelle 1/3 unpoteau typique d'un bâtiment existant. Le poteau était encastré en pied dans une fondation enbéton armé, et supportait une masse en tête. Les spectres de réponse des séismes utilisés (TAFT N.S et SAN FRANSISCO N.S) ont été contractés par le facteur d'échelle du poteau, cequi permet de conserver les vitesses et les contraintes. L'importance de la masse en tête esttelle que la fréquence fondamentale de la structure (de l'ordre de 5 Hz), se trouve dans la zoned'amplification du spectre de réponse du séisme. Le dimensionnement des poteaux a été faitconformément au règlement CCBA 68.

2.2 CONSTITUTION DES POTEAUX

Chaque élément est constitué par un poteau en béton armé de section carrée de coté 0.17 m etde 1.44 m de hauteur, encastré à sa base dans une semelle en béton armé de 70cm x 70cm etde 20cm d'épaisseur.Le ferraillage est constitué par :

• 12 aciers de diamètre 8 mm, ancrés totalement dans la semelle.• 29 cadres en aciers tréfilé de 4 mm de diamètre associés à des épigles

(aciers doux), de diamètre 2.4 mm espacés de 5 cm.

Le béton a été réalisé avec soin pour respecter l'échelle 1/3 dans sa granulometrie, à partir degranulats silico-calcaires du bassin de la seine.

2.3 CARACTERISTIQUES MECANIQUES DES MATERIAUX

23.1 Aciers

Dans le tableau suivant nous avons indiqué pour chaque pièce testée :

• le module d'Young.• la limite conventionnelle d'élasticié à 0.2 % d'allongement.• La charge limite supportée par l'éprouvette.

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2. Essais sismiaues. Caractéristiques mécaniques des matériaux.

• La résistance à la traction.• L'allongement en pourcentage après rupture.

Pièces

JT9JTIOJT11JT12JT13JT14JT15JT16Moyenne

E(bars)

2 300 0002 200 0002 100 0002 200 0002000 0002 100 0002 100 0002 200 0002 150 000

aeàO.2%(bars)

490047004950510049504650500049504900

Chargeultime(daN)

293029022975300729322892291329582939

Résistance àla traction(bars)

583757815926598958405760580358935854

Allongementà la rupture%

2019202018.317.517.52019

Tab.l. Caractéristiques mécaniques des aciers utilisés

2.3.2 Bétons

Les caractéristiques du béton ont été mesurés à 28 jours d'âge et le jour de l'essai.Les résultats sont regroupés dans le tableau Tab.2.

Pièces

JT9JTIOJT 11JT12JT13JT14JT15JT16Moyenne

Age(J)(jour de l'essai)

226224221214209204205330

cj* (bars)compression

483525507512523582519488518

cj (bars)traction

3736373838.53937.537.537.6

Ei (bars)

342 000348 000330 000338 000318000348 000313 000340 000334 000

Tab.2. Caractéristiques mécaniques des bétons utilisés

2.4 DEROULEMENT DES ESSAIS

Pour étudier les effets de séismes, on a choisi deux accélérogrammes de référence: lacomposante N.S du séisme TAFT (1952) d'une durée de 14 s et de fréquence centrale 2.5 Hz,et la composante N.S du séisme SAN FRANSISCO (1957) d'une durée de 5.4 s et defréquence centrale de 4 Hz.

Chaque poteau a été soumis à une succession de séismes jusqu'à la ruine (écrasement dubéton en compression). Avant chaque séisme, la fréquence propre du poteau ainsi que son

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2. Essais sismiques. Caractéristiques mécaniques des matériaux.

amortissement ont été déterminés par un balayage sinusoïdale à faible niveau (10 KN) aumoyen d'un excitateur électrodynamique.

2.5 INTERPRETATION DES RESULTATS DES ESSAIS

Les points essentiels de l'interprétation des résultats sont les suivants :

• La fréquence fondamentale de la stucture diminue quand on augmente le niveau decharge.

• Après chaque séisme, on a déterminé la fréquence propre et l'amortissement de lastructure, en assimilant son mouvement à celui d'un oscillateur libre amorti.On observe la diminution de la fréquence et l'augmentation de l'amortissement enfonction de la flèche relative maximale(flèche au sommet divisée par la longueurtotale du poteau).

• Une jauge installée sur un fer à l'encastrement, indique la fissuration du bétonmême à faible niveau de charge. En effet les contraintes de compression sont plusfaibles (en valeurs absolues) que les contraintes de traction, car dans le premiercas, l'acier et le béton travaillent, alors qu'en traction seul l'acier travaille, le bétonétant fissuré.

• En soumettant le poteau à 40 fois le même séisme, les résultats en fréquence et enamortissement montrent qu'il n'y a pas d'effet de fatigue notable étant donné quela fréquence décroit de 5 Hz à 2.5 Hz lors du premier séisme, et reste sensiblementconstante, le poteau se comporte ensuite comme une structure élastique amortieavec une nouvelle fréquence plus basse.Les valeurs de l'amortissement présentent une dispersion nettement plusimportante que les valeurs de la fréquence. L'amortissement augmente avec laflèche relative, et est comme la fréquence peu sensible au nombre de cycles.

1 : ? ; • ° ' ! ^ V

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3. Modèle elobal en flexion : Gauvain.

3. MODELE GLOBAL EN FLEXION : GAUVAIN.

La modélisation du béton armé pour le calcul de structure est un problème relativementcomplexe si l'on s'intéresse aux détails de la réponse de la structure et peut conduire à unereprésentation explicite du béton et de ses armatures, ce sont des modèles de comportementdis locaux.

Dans le cas d'une approche locale, la structure est discrétisée entièrement, généralement entridimensionnel. Les aciers et les bétons sont représentés explicitement et on utilise la loi decomportement de chacun des matériaux constituant la structure pour le calcul des inconnuesdu problème (contraintes, déformations) en tout point.Cette méthode s'applique généralement à des structures complexes et est excessivementcoûteuse en temps de calcul, du fait de la taille importante des maillages qu'elles nécessitent.

Nous avons donc éliminer cette méthode d'approche et nous nous sommes intéresser à unmodèle global du béton armé et compte tenu des structures étudiées et des sollicitations nousnous sommes intéressés à un modèle global en flexion.

Dans le cas d'une méthode globale, la structure est décomposée en plusieurs sous structures.Chacune des sous structures est discrétisée unidimensionnellement, et est définie au moyend'une loi de comportement de variables globales telles que les moments, les courbures,l'effort normal, les déplacements, ... Cette loi doit être identifiée pour chaque géométrie etchaque matériau, ce qui nécessite un calcul préalable, que l'on va détailler ici.Le coût de calcul associé à cette méthode est relativement faible.

3.1 CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX

Afin de recaler nos résultats sur les essais menés au C.E.A. nous avons repris les mêmesmatériaux que ceux du poteau d'essai JT 13 (cf. chapitre précédent).A savoir :

• Pour l'acier :Module d' Young : E = 200 GpaLimite élastique : ce = 495 MPa

• Pour le béton :Module d'Young : E = 31800 MpaLimite élastique de compression : oc = 52.3 MPaLimite élastique de traction ot = 3.85 Mpa

3.2 DESCRIPTION DU CALCUL

Ce genre de calcul est typiquement effectué à l'aide du module SANSON. Ce module ne nousétant pas disponible nous nous sommes proposés d'effectuer ce calcul avec le code CASTEM2000.Nous cherchons à obtenir à partir de ce calcul la loi Moment-Courbure du matériau équivalentau béton armé.

Page 12: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

3. Modèle global en flexion : Gauvain.

3.2.1 Maillage de la structure

Nous avons donc maillé en bidimensionnel la section carrée du poteau correspondant à notreétude. ( Cf.fig 3. ).

Ferraillage

V

Fis3. Maillage de la section carrée pour l'homogénéisation

La géométrie de la section carrée a été établie de la manière suivante :

• Les aciers sont disposés symétriquement en quatre lits d'armatures.• On prend une distance d'enrobage égale à 2 cm de chaque coté de la section.

Le modèle de béton utilisé a été le modèle BETON_INSA introduit dans le code de calculCASTEM 2000.Ce modèle fonctionne en contraintes planes (2D ou coques minces), etdéformations planes. L'élément géométrique que l'on a introduit pour le béton est l'élémentQUA4.

3.2.2 Conditions aux limites

On bloque les déplacements et rotations au centre de gravité de la plaque c'est à dire au pointP (0,0).

On bloque d'autre part les déplacements en deux points opposés sur le bord de la plaque.

3.2.3 Modèles de comportement des matériaux.

3.2.3.1 L'acier __ _ _ , . ^ . ^ . . _ T i . _ „ „ , . . , .On utilise un modèle élasto-plastique parfait avec un comportement unidirectionnel.On représente ici le diagramme contraintes-déformations pour les aciers (fig. 3.1.)

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3. Modèle global en flexion : Gauvain.

i

as

fe

- fe/Es*7si /

/

fe/Es*7& £s

Fie3.1. Loi de comportement des aciers

Fe = Limite élastique de l'acier.Es = Le module d'élasticité longitudinal de l'acier.Fs = fe/YS = La contrainte de calcul de l'acier.7s = coefficient de sécurité de l'acier.

3.2.3.2 Le béton

fb

eb

Fig3.2. Loi de comportement du béton.

• fb = contrainte de compression du béton.• Eb = module d'élasticité longitudinal du béton.• Eb = déformation du béton à la compression

Page 14: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

3. Modèle elobal en flexion : Gauvain.

3.3 OBTENTION DES CARACTERISTIQUES EQUIVALENTES

33.1 Cas élastique

Dans ce cas les contraintes sont reliées aux déformations par la loi de HOOKE ;

0{y) = E(y)£(y) = E(y).(C(y-yo) + £N)

Ces contraintes développées dans le matériau doivent équilibrer les efforts :

N = l<J(y)dS = E*.S£N + C.\E(y)(y-yo)dS.

M = \(T(y)(y-yo)dS = E*J*.C + £N[E(y)(y-yo)dSs s

Ce qui permet de définir les grandeurs homogènes équivalentes suivantes

Ou en général,

JE(y)dS

jdS

Ou encore,

\E(y)(y-yo)2ds

Si l'on impose que toute variation de EN ne doit engendrer de moment supplémentaire, leterme en EN , dans l'expression du moment doit être nul, ce qui permet le calcul de yO.

N£N = 10N E*S

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3. Modèle elobal en flexion : Gauvain.

\yE(y)dS

^\E(y)dS

Ce sont ces caractéristiques équivalentes (E*, I*, yO) de la poutre homogène qui vont êtreutilisées pour le calcul élastoplastique de la poutre hétérogène initiale.

3.3.2 Cas plastique

Dans ce cas la déformation totale est partitionnée en :

£=ee+£p

a(y) = E(y)ee(y) = E(y)(£* + C(y- yo)e "dS

Pour les efforts globaux :

N = E*SeN-\E(y)epdSs

M =E*.I*.C-JE(y)(y-yo)epdSs

Avec les expressions des déformations plastiques globales :

et, =

3.4 ETABLISSEMENT DE LA LOI MOMENT-COURBURE

3.4.1 Expression analytique

Pour établir la loi moment-courbure pour une poutre donnée on considère une sectioncourante de cette poutre et on procède de la manière suivante :

• Tout en connaissant l'effort normal N, on calcule, dans l'hypothèse élastique :

11

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3. Modèle global en flexion : Gauvain.

• On se donne une valeur de C, et on calcule :

Ayant la déformation, on détermine a(y) à partir des lois de comportement de l'acier et dubéton.

L'équilibre de la section est donné par la relation suivante :

• On calcule le moment par :

M=jcr(y)(y-yo)dSs

3.4.2 Résultats du calcul numérique

Pratiquement, notre programme de calcul sur CASTEM 2000 calcule directement cette loi decomportement globale.On applique un moment au centre de la plaque et on calcule la rotation résultante dont ondéduit la courbure.Dans le jeu de donnée (cf. ANNEXE 1), on soumet notre plaque à des incréments de chargeen moments, une procédure de calcul non linéaire incrémentale (procédure PASAPAS)permet de calculer le déplacement associé à ce type de chargement pour le modèle decomportement non linéaire que l'on a imposé à notre maillage.

On obtient les valeurs équivalentes suivantes pour le modèle global :

• Masse volumique équivalente :

p* = 2516 Kg/m3

• Module d'Young équivalent :

E* g 35510 Mpa

• Moment d'inertie équivalent :

I* = 7.137.KK-5) m4

12

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3. Modèle global en flexion : Gauvain.

3.5 DESCRIPTION DES CYCLAGES DU MODELE GAUVAIN

Le programme de calcul précédent nous a permis d'établir la loi moment-courbure dumatériau équivalent au béton armé que l'on représente sous la forme d'une courbe trilinéairecomplétée par symétrie par rapport à l'origine.

i

i * 2'

A Moment

2 , 3

0 yS

y^ Courbure

Fis. 3.3. Loi Moment-Courbure

La courbe de traction est représentée comme on le voit fig.3.3 par trois points, la courbereprésentant la loi est ensuite complétée par symétrie par rapport à l'origine. En effet lemodèle Gauvain dans CASTEM 2000 exige la donnée de ces trois points, de leurssymétriques et de l'origine.Nous avons obtenu les valeurs suivantes pour ces points :

• Point 1 : Début de fissuration du béton : c = 4.3 Mpa ; s = 0.000121

• Point 2 : Début de plastification des aciers : c = 21.5 Mpa : E = 0.003

• Point 3 : Rupture : q = 23.5 Mpa ; s = 0.008

Cette description est obtenue à partir des essais de cyclages (chargements lentementvariables).

13

Page 18: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

3. Modèle global en flexion : Gauvain.

Après avoir obtenu la relation moment-courbure (fig. 6) par la méthode exposée auparavant,la description des cyclages se fait de la manière suivante :

• Jusqu'au point 1 : on a un comportement purement élastique

• Entre les points 1 et 2 (respectivement 1' et 2') : on a un comportement pseudo-élastique.Les décharges joindront l'origine et reprendront à partir de l'origine dans le sens opposéen suivant la loi de comportement (0-1 ') lorsque le chargement est inversé.

• Entre les points 2 et 3 (respectivement 2' et 3') : on a la plastification du béton et del'acier. Les décharges se feront avec la même pente que celle du segment joignant 0 à 2dans le cas entre 1 et 2 avec des déformations plastiques. Si on inverse le chargement, onrejoint le dernier point atteint avant la décharge ( que le point soit situé entre 0-1 ', 1 '-2' ou

Au-delà du point 3 : on a la ruine de la poutre.

14

Page 19: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

4.Excitatton aléatoire : création de sienaux sismiaues svnthéthiaues.

4. EXCITATION ALEATOIRE : CREATION DE SIGNAUX SISMIQUESSYNTHETIQUES.

L'excitation sismique est un chargement important à prendre en considération pour laconception et le dimensionnement des structures. En effet, toutes les constructionsimportantes sont réalisées selon des règles parasismiques. En France, en ce qui concerne lesbâtiments et les installations nucléaires, les normes de sécurité conduisent à associer aux sitesdes niveaux sismiques élevés auxquels les principales structures doivent résister.

Les modes de ruines associés à des excitations sismiques sont différents de ceux occasionnéspar d'autres types d'excitation ( vibrations induites par des écoulements par exemple, ... ), onobserve notamment des ruptures à très faible nombres de cycles. Les méthodes d'analyseassociées seront donc plus axée sur la recherche des maxima atteints et sur le comportementnon linéaire des structures.

4.1 NOTION DE SPECTRES DE REPONSE D'OSCILLATEUR ( SRO).

4.1.1 Définition

L'idée est d'associer à une intensité I donnée, un mouvement en fonction du temps parexemple un accélérogramme y(t).Le signal sismique étant un signal très complexe, le problème ne peut se poser qu'en terme

probabiliste : c'est à dire qu'il faut associer à une intensité I, un processus aléatoire, dont y(t)peut être considérée comme une réalisation particulière.

Un signal sismique peut être caractérisé par son accélérogramme ou la transformée de Fourierde cet accélérogramme (cf.fig.4.1 ).

"è -125Î

•-S 1250

< 10s 30*

FJ2.4.1 Exemple d'accélérosramme.

15

Page 20: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

4.Excitation aléatoire : création de signaux sismiques synthéthiques.

On considère un oscillateur harmonique à un degré de liberté excité à sa base par un séismed'accélérogramme y(t).On appelle x(t) le mouvement relatif de le masse M au cours du temps par rapport au sol. Onnote par ailleurs © et s respectivement la pulsation de résonnance et l'amortissement réduit del'oscillateur.

Soit S(©,£) le maximum de la valeur absolue de x(t) au cours du temps.S(©,e) tracé en fonction de ©, et paramétré en fonction de représente les spectres de réponseassociés au signal (t).Les SRO peuvent être également tracés en pseudo-vitesse: ©S(co,s) ou en pseudo-accélération : ©2. S(a,s).

4.1.2 SRO de dimensionnement

Dans l'objectif de concevoir une installation standard pouvant être implantée sur des sitesdivers, on utilise un spectre de dimensionnement unique constitué par une enveloppe despectres associés à différents sites.

Ces spectres ont été établis à partir d'enregistrements sismiques (cf.fig.4.2). Les spectresstandards sont normalisés à une certaine valeur de l'accélération maximale du sol. Pours'adapter au site considéré, ils doivent être ajustés à la valeur de l'accélération maximale quel'on considère pour le site.

Spectra RG-1-60 (composanfe hortzonraîe)normalisé à -0,15g

1 / \ 7,! \ . -•* •••. y

1 1DFréquence IHz) 16

Page 21: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

4.Excitation aléatoire : création de signaux sismiques svnthéthiques.

4.2 GENERATION DE SIGNAUX SYNTHETIQUES

Dans le cadre de certaines applications, l'ingénieur a besoin d'une représentation temporelledu mouvement du sol :

• C'est obligatoire pour les analyses sismiques expérimentales (mouvement à imposer à unetable vibrante ).

• C'est en général indispensable lorsque le comportement de la structure à étudier estfranchement non linéaire.

Pour notre étude nous étions donc amené à créer des signaux synthétiques à partir de spectresde référence afin de pouvoir exciter la structure.

La méthode la plus couramment utilisée est appelée « Méthode des sinusoïdes à phasealéatoire ».La donnée est donc les SRO. On utilise un modèle aléatoire separable :

T(t) = a(t)F(t)

a(t) est une enveloppe déterministe en sinusoïdes.F(t) est ici un processus stationnaire formé d'une somme de sinusoïdes d'amplitudes Aidéterministes et de phases aléatoires q>i équiréparties dans l'intervalle (-TC,7T ).

Les fi sont un ensemble de fréquences discrètes décrivant la gamme qui intéressent leconcepteur.

Pratiquement on prend souvent fi = i Af avec Af = 1/T.

Le problème est donc de déterminer T et les Ai à partir de la donnée des SRO.

Des formules en analyse des processus aléatoire permettent de calculer la DSP (DensitéSpectrale de Puissance) associée à F(t).On obtient alors l'allure d'une réalisation temporelle du processus (cf.fig.4.3)

g.

c

mV

•IfeW

_

J -4

0111

-â-f

0

i i l ! j 1

lil 1.1, 1il IIffyfi mflrain11 1 1 T

» 1 !

2 iTewos

! 1

t i .•! i

il

111] fII

tseci

i '' ' J

i i ilUiW

P|te !

17

Page 22: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

4.Excitation aléatoire : création de sienaux sismiques svnthéthiaues.

La génération de ces signaux a été faite sous CASTEM 2000 à l'aide de l'opérateurSIGNSYNT.Nous avons généré deux types de signaux à partir des spectres en vitesse qui nous étaientdisponibles. Afin de recaler nos résultats sur ceux issus des essais menés au CEA et desprécédents calculs, nous sommes avons utilisé l'accélérogramme du signal de San Fransiscocontracté (1/3) et nous avons également généré le signal RG-1-60 (Regulatory Guide 1-60)utilisé pour le dimensionnement des centrales nucléaires aux Etats-Unis.

La procédure sous CASTEM demande en entrée le spectre en vitesse ou en accélération, etcertaines de ses caractéristiques notamment la fréquence de coupure et l'amortissement.

Nous avons représenter sous les figs.4.4 et 4.5 l'allure du spectre ajusté et le signal générépour l'accélérogramme de San Fransisco.

Fi2.4.4 Allure du spectre ajusté

18

Page 23: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

4. Excitation aléatoire : création de signaux sismiaues svnthéthiaues.

R«l_<0 S3OMX.

Fis. 4.5 Signal zénéré (accélérozramme. de San Fransisco)

19

Page 24: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

5. Développement d'un modèle de calcul non linéaire

5.DEVEL0PPEMENT D'UN MODELE DE CALCUL NON LINEAIRE.

La structure que nous nous sommes proposer d'étudier est un poteau en béton armé encastré àsa base et supportant en tête une masse de 2 Tonnes. Cette structure est similaire au poteauJT13 qui a été testé au C.E.A. Elle représente à l'échelle 1/3 les poteaux réels utilisés dans laconstruction des installations nucléaires (cf.fig.5.1).

Le modèle de comportement utilisé est le modèle global en flexion de Gauvain dont on adéterminé la loi d'évolution au Chapitre 3.

Des précédents calculs ont été effectués avec cette géométrie et ce modèle de comportement,la structure étant excitée par un signal sismique. Ces calculs utilisaient la procédurePASAPAS sous CASTEM 2000, mais l'inconvénient de cette méthode est qu'elle estrelativement coûteuse et qu'elle ne permet pas de modifier aisément la loi de comportement,en particulier pour la prise en compte des paramètres d'endommagement.

Fis. 5.1 Structure testée

2 Tonnes

1440

700

Page 25: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

5. Développement d'un modèle de calcul non linéaire

Dans le calcul que nous avons développé nous avons modélisé cette structure par unoscillateur non linéaire à un degré de liberté, la loi de comportement de l'oscillateur étant laloi de Gauvain.

2 Tonnes

Fis.5.2 Modélisation sous la forme d'un oscillateur non linéaire

5.1 PRINCIPE DU CALCUL

Le calcul a été développé en langage GIBIANE sous CASTEM 2000, la structure étantassimilée à un oscillateur à un degré de liberté dont la loi de comportement non linéaire estcelle du modèle Gauvain déterminée au Chapitre 3.

Nous avons utilisé pour cela un schéma d'intégration temporelle explicite de type différencescentrées.

On cherche en fait à résoudre le problème suivant :

m x + c x + f_nl(x) = f(t)

m étant la masse de la structure, c l'amortissement.f_nl(x) est la force de rappel non linéaire de l'oscillateur, elle est décrite par le modèle deGauvain.F(t) est la force d'excitation extérieure de la structure, qui sera en premier lieu un signald'excitation sismique.

21

Page 26: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

5. Développement d'un modèle de calcul non linéaire

II nous faut donc trouver l'évolution temporelle du déplacement de l'oscillateur (assimilé audéplacement de la poutre en flexion ) pour cette force de rappel et ce signal d'excitation.

5.2 RESOLUTION TEMPORELLE DU SYSTEME DYNAMIQUE.

Le déplacement étant connu à l'instant t on le cherche à l'instant t+dt.Le déplacement au pas de calcul n+1 se met sous la forme suivante à partir de l'équationdynamique du système.Il convient d'initialiser les valeurs de déplacement, vitesse et accélération au pas n = 0.

Xn + 1 = (4P-) * (feXtn - f_tllm+l ) + 2 * Xn - Xn - 1

5.3 STRUCTURE DU PROGRAMME.

Le programme est en fait une procédure qui prend en entrée l'évolution de la loi decomportement (notamment la limite élastique, le début de plastification des aciers, et le seuilde ruine du matériau), la donnée de la force d'excitation extérieure, la masse de la structure, lenombre de pas et l'intervalle de temps utilisé.

En sortie de calcul nous obtenons l'évolution temporelle du champ de déplacement, la forcede rappel non linéaire et la forme du cyclage de la loi de comportement (phase élastique,pseudo-élastique ou plastification).

La procédure s'articule en fait sous la forme de conditions imbriquées donnant l'équation dela courbe de charge ou de décharge suivant la valeur de déplacement calculé au pas précédent.

5.4 VALIDATION SUR UN CAS TEST

La validation du programme a été effectué à l'aide d'une excitation déterministe detype sinusoïde. Les résultats ont été comparés à ceux de la procédure OSCI permettant lecalcul de la réponse d'un oscillateur linéaire à une excitation donnée en l'occurrence un signalsinusoïdale de fréquence proche de la première fréquence propre de notre structure (premiermode de flexion).

22

Page 27: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

ô.Introduction des paramètres d'endommaeement.

6. INTRODUCTION DES PARAMETRES D ENDOMMAGEMENT

6.1 DEFINITION DES PARAMETRES.

Afin de mieux rendre compte des valeurs des amortissements observésexpérimentalement, nous avons introduis des paramètres d endommagement dans la loi decomportement globale du modèle de Gauvain.Ces paramètres, appelés D+ et D- (endommagements positifs et négatifs) sont des coefficientscompris entre 0 et 1 venant diminuer les pentes de charges ou de décharges dans la loi decyclage.

F ^

Fig 5.1.Intoduction des paramètres d'endommaeement

6.2 CALCUL DE CES PARAMETRES

L'amortissement est l'image des phénomènes de dissipation d'énergie se produisant au seind'une structure en mouvement vibratoire.Ces phénomènes sont nombreux et ils sont notamment dus à la plasticité du matériau.

Dans le cas d'un comportement élasto-plastique on peut tracer un diagramme force-déplacement représenté ici fig.5.1. L'aire de ce cycle correspond à l'énergie AE dissipée parcycle.

23

Page 28: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

ô.Introduction des paramètres d'endommasement.

On a ainsi proportionnalité entre l'amortissement réduit équivalent et l'aire du cycle rapportéeà l'énergie moyenne du système (AE/E).

L'énergie moyenne du système est donnée par :

= -Kdech.X max2

On considérera dans une première approximation que le déplacement maximal atteint est lemême dans les deux directions (ce qui est une hypothèse acceptable dans le cas desexcitations sismiques sur ce types de structures)

On calcule maintenant l'énergie moyenne dissipée par cycle

Kdech = -?-{\-D)Y

AE = 2[(X max+ Xpl)F max- (X max- Xpl)F max]

D'où:

AE = 2F max Xpl

E = -KdechX max2

2

F max = Kdech(X max- Xpl)

On obtient l'expression suivante pour l'aire du cycle rapportée à l'énergie moyenne

_ ... Fmax.. ~ T-, v , FmaxfAmax )AE 1 Fmax.Xpl _ / ] Kdech -E ' KdeckX max2 ' Kdech.X max2

On cherche donc l'expression de Kdech de la façon suivante :

24

Page 29: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

ô.Introduction des paramètres d'endommagement.

„, 1 F max ... F max,e* = r-(Xmax )

n Kdech.X max Kdech

On a donc :

2 ... F max „ , , F max2

K.Kdech1 £* = ̂ -===- Kdech - -X max X max

On a alors une équation du second degré en Kdech :

Tee*.Kdech1 -^^Kdech+* ""~\ =0Xmax Zmax

2 F max „ , , F max

D'où:

F max-, j , X maxKdech =

±.F max . , F max

-4JT.6*.-Xmax Xmax

2JI£*

F max 1Kdech = ' " i a A x (l-VT-4jr.£*X max 2JTE *

Or:

Kdech = ̂ -(l-D)=^D = l- Kdech.^-Xp" Fp

On obtient finalement pour les expressions du paramètre d'endommagement en fonction del'amortissement réduit correspondant au cycle considéré:

25

Page 30: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

6. Introduction des paramètres d'endommaeement.

.. . F max Xp 1 r.—D = 1 .—î~. (1 - VI -

Xmax Fp 2JU£*

Nous avons postulé cette expression à partir de considérations sur l'évolution expérimentalede l'amortissement (qui tend vers une valeur limite).

Ce sont donc ces expressions que nous avons programmé dans l'algorithme de calcul nonlinéaire, avec cette forme d'amortissement réduit dont nous avons ajusté le paramètre alphaafin de mieux rendre compte des résultats expérimentaux.

•:%?•-«26

Page 31: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

7. Analyse des résultats de simulations numériques.

7. ANALYSE DES RESULTATS DE SIMULATIONS NUMERIQUES

Nous nous sommes proposés de simuler des excitations sismiques sur le modèle decomportement que l'on a décris auparavant. Les signaux sismiques retenus ont été le signal deSan Fransisco et le RG 1-60 contracté.

On s'intéressera dans un premier temps à la compréhension des aspects phénoménologiquesmis en jeu, notamment en recalant nos résultats sur les essais expérimentaux et les calculsprécédemment effectués.Ensuite nous analyserons les simulations avec la prise en compte de l'endommagement, etenfin nous tenterons de comprendre ce qui amène, dans le signal d'excitation, uneaugmentation sensible du niveau de réponse de la structure.

7.1 RECALAGE DES RESULTATS.ASPECTS PHENOMENOLOGIQUES

La démarche des calculs est résumée en annexe 1.A chaque calcul, la structure saine (non endommagée), est excitée par le signal sismique deSan Fransico ou le RG 1-60 (cf fig.7.1).A la fin de l'excitation les vibrations libres sont observés (déplacement relatif en tête), à partirdesquelles on détermine la fréquence et l'amortissement de la structure.

XI. E2

4 .00

nu» n i HXRME m i

Fie. 7.1.Exemple d'excitation sismique utilisée pour la simulation (ici San Fransiscocontracté)

27

Page 32: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

7. Analyse des résultats de simulations numériques.

A très faible niveau d'excitation (comportement linéaire) la fréquence finale du poteauest de 5.67 Hz.

Lorsque le comportement de la structure est pseudo-élastique, on obtient unefréquence en fin d'excitation de 5.62 Hz. Ceci est du au début de fissuration du béton, ce quifait perdre un peu de sa rigidité à la structure. Par ailleurs, les vibrations libres en find'excitation se font toujours à amplitude constante, il n'y a donc pas de dissipation d'énergie.

Pour des niveaux d'excitation plus élevés, la fréquence diminue encore aprèsl'excitation, de manière considérable puisque pour une accélération maximale du séisme delg, on note une diminution de fréquence de plus de 50% par rapport à la fréquence initiale.Les vibrations libres se font toujours à amplitudes constantes (pas de dissipation d'énergie) ;en outre il faut remarquer que nous sommes allez dans ce cas jusque des niveaux de séismespour lesquels la limite d'élasticité du béton en compression n'est pas atteinte.

On observe pour des niveaux encore plus élevés (1.6g et 1.8g), toujours une chutenotable de la fréquence, et également une décroissance des amplitudes des vibrations libres(phénomène d'amortissement du à la dissipation d'énergie). Cette dissipation s'explique,compte tenu de la loi de comportement en cyclage utilisée par le modèle Gauvain, par le faitque lors de l'excitation la limite de plastification en compression des aciers et du béton ait étéatteinte.

Finalement, les calculs montrent que ce modèle global rend bien compte de la chute defréquence même pour un faible niveau d'excitation cependant, lors des vibrations libres il n'ya dissipation que si le niveau d'excitation conduit à la plastification de l'acier et du béton encompression.

Nous allons maintenant comparer nos résultats avec ceux des essais et des calculs déjàeffectués avec la procédure PASAPAS.

Pour cela, nous avons représenté la fréquence en fin d'excitation (vibrations libres de lastructure) en fonction de la flèche relative qui est en fait le déplacement maximal en tête dupoteau rapporté à la longueur totale (cf.Fig.7.2).

De même nous avons représenté également l'amortissement en fin d'excitation en fonction dela flèche relative ( cf. Fig.7.3 ).

28

Page 33: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

7. Analyse des résultats de simulations numériaues.

6

5,5

5

4,5

ï 4oa) 3,53«» 3u.

2,52

1,5

1

0,5 1,5 2 2,5 3

Flèche relative %

3,5

Calcul PASAPAS

Essai POTEAU JT13

Calcul Diff.Centrées

Fis. 7.2 Evolution de la fréquence en fonction de la flèche relative

0)m

.52o

<

7

6,5

6

5,5

5

4,5

4

3,5

2,5

2

1,5

1

0,5

Z

Zz

-Calcul PASAPAS

Essai POTEAU JT13

Calcul Diff.Centrées

2 3 4 5

Flèche relative %

Fis. 7.3 Evolution de l'amortissement en fonction de la flèche relative

29

Page 34: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

7. Analyse des résultats de simulations numériques.

7.2 INTERPRETATION DES RESULTATS

Bien que les modules d'Young de l'acier et du béton ainsi que la géométrie du poteauutilisés dans les calculs soient identiques aux valeurs du poteau JT 13 utilisé dans les essais(cf. Ch.2), un écart est observé sur la fréquence à faible niveau (fréquence fondamentale).L'écart existant entre la fréquence propre mesurée et celle calculée à faible niveau se justifiepar la microfissuration suite au retrait du béton, ce qui cause une imperfection del'encastrement des appuis auquel est sensible la flexion. Par ailleurs, l'évolution de lafréquence est la même que celle obtenue lors des essais ou des précédents calculs effectuésavec la procédure PASAPAS.

Les calculs numériques donnent une chute de fréquence plus brusque pour une flècherelative inférieure à 0.5 %.

Au delà de cette valeur (qui est la limite du domaine élastique), les courbes évoluentpresque parallèlement avec, cependant, une chute de fréquence plus importante pour l'essai.Ceci peut être du à la dégradation cumulée par le poteau de l'essai. En effet, lors des essais lepoteau a été soumis à une succession de séismes de niveaux croissants jusqu'à la ruine, alorsque dans les calculs on est toujours parti d'un poteau "sain" pour chaque niveau se séismetesté. On a également un effet de l'effort normal à la masse en tête présente dans les essais.

Après l'écrasement du béton en compression, on retrouve quasiment la mêmefréquence (dernier point) qui correspond à l'inertie des aciers seuls.

En ce qui concerne l'amortissement, les résultats de calculs montrent qu'à faible niveaule poteau ne manifeste aucun phénomène d'amortissement (pas d'atténuation des amplitudesde vibrations libres); on remarque également que notre modèle de calcul avec la prise encompte des paramètres d'endommagement rend mieux compte des amortissementsexpérimentaux que les calculs effectués avec la procédure PASAPAS mais pour des niveauxplus élevés de séismes (pour une flèche relative supérieure à 2%).

7.3 FACTEURS INFLUENÇANT LA RUINE

Nous allons désormais nous intéresser à ce qui, dans le signal d'excitation conduit à la ruinede la structure, ou du moins à une augmentation sensible du niveau de la réponse.Pour ce faire nous allons comparer le signal d'excitation et l'évolution du déplacement autourd'un instant t pour lequel la réponse du poteau est maximale.On représente annexe IV l'allure temporelle du déplacement et du signal d'excitation autour decet instant t.On remarque qu' un des facteurs influençant une augmentation de la réponse est l'existenced'une séquence résonnante à la fréquence propre de l'oscillateur non endommagé.

30

Page 35: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

8. CONCLUSION ET PERSPECTIVES D'ETUDES

Les résultats de simulation de cette étude ont permis dans un premier temps de valider notremodèle de calcul non linéaire en les recalant sur les résultats des essais menés par le C.E.A etceux issus d'un calcul PASAPAS.

Notre modèle de calcul aux différences centrées présente l'avantage d'être moins coûteux entemps de calcul et de pouvoir modifier aisément la loi de comportement non linéaire du bétonarmé notamment en introduisant des paramètres d'endommagement dans le modèle global deGauvain.

Nos calculs rendent bien compte de la chute de fréquence (donc de la fissuration due à ladégradation de la rigidité du béton) avec le niveau d'excitation du séisme. H décrit égalementbien les cycles de charges et de décharges observés lors des essais statiques.

L'amélioration du modèle par l'introduction des paramètres d'endommagement a permis demieux rendre compte de l'évolution des amortissements en fonction du niveau de séisme maisuniquement à fort niveau d'excitation (c'est à dire pour une flèche relative supérieure à 2%).

Nous avons également déterminer qu'un des facteurs influençant la ruine ou tout du moinsune augmentation du niveau de réponse est l'existence d'une séquence résonnante dans lesignal d'excitation à la fréquence propre de la structure non endommagée. Cette notion restecependant à être étudiée plus en détail.

H reste aussi à améliorer le modèle en tenant compte de la décohérence acier-béton ce quireviendrait à abaisser la limite élastique de l'acier à 6 Mpa.

Page 36: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

BIBLIOGRAPHIE

[1] René-Jean Gibert

Vibrations des structures - Editions Eyrolles

[2] Z.Chekroun

Evaluation des marges de dimensionnement parasismique des ouvrages en béton

armé

Rapport bibliograhique.

Page 37: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

ANNEXES

ANNEXE I : Organigramme des calculs

ANNEXE II : Programme de calcul des caractéristiques équivalentes

ANNEXE III : Programme de calcul non-linéaire aux différences centrées

ANNEXE IV : Signal d'excitation et réponse correspondante autour d'unevaleur maximale de la réponse

Page 38: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

ANNEXEI

Page 39: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

Structure testée Section de poteau Acier Béton

Etat détaillée des contraintes et des déformations locales dans la section

Caractéristiques équivalentes E*. I*. p*

Signal d'excitation sismiqua

Programme de calcul non linéaire CASTEM 20ÔQ

Réponse temporelle de la structure

Déplacements, fréquences et amortissements

Page 40: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

ANNEXE II

Page 41: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

Jun 25 13:23 1999 mod_global Page 1

OPTI DIME 2 ELEM QUA4 ;

************ *GEOMETRIE *******************PO = 0. 0. ;PI = 0.17 0. ;P2 = 0.17 0.17 ;P3 = 0. 0.17 ;*********Section e n béton arme************

A0 = 0. 0.0205;BO = 0. 0.0635;CO = 0. 0.1065;DO = 0. 0.1495;Nl = 40;VECT = 0.17 0.;

LPOAO = PO DROI 4 AO ;SURF1 = LPOAO TRAN Nl VECT;

LAOBO = AO DROI 10 BO ;SURF2 = LAOBO TRAN Nl VECT;

LBOCO = BO DROI 10 CO ;SURF3 = LBOCO TRAN Nl VECT ;

LCODO = CO DROI 10 DO ;SURF4 = LCODO TRAN Nl VECT;

LD0P3 = DO DROI 4 P3 ;SURF5 = LD0P3 TRAN Nl VECT ;

BETON = SURF1 ET SURF2 ET SURF3 ET SURF4 ET SURF5 ;***trac béton ;

OPTI MODE PLAN GENE PO;

*******FERRAILLAQE**************************OPTI ELEM SEG2;Al = béton poin proc (0.17 0.0205);Bl = béton poin proc (0.17 0.0635);Cl = béton poin proc (0.17 0.1065);Dl = béton poin proc (0.17 0.1495);

ferl = AO DROI Nl Al;ferl = ferl coul rouge ;*

fer2 = BO DROI Nl Bl;fer2 = fer2 coul rouge ;*fer3 = CO DROI Nl Cl ;fer3 = fer3 coul rouge ;

Page 42: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

Jun 25 13:23 1999 mod_global Page 2

fer4 = DO DROI Nl Dl ;fer4 = fer4 coul rouge ;*fer_l = ferl et fer4;fer_2 = fer2 et fer3;fer = fer_l et fer_2;*

section = béton et fer ;trac (section) ;

*MODELES-MATERIAUX-RIGIDITE *

**** ferraillage en acier, comportement ****************** plastique parfait *********************

modl_l = mode fer_l 'MECANIQUE' 'ELASTIQUE"UNIDIRECTIONNEL' 'PLASTIQUE''PARFAIT' COQ2 ;*

modl_2 = mode fer_2 'MECANIQUE' 'ELASTIQUE"UNIDIRECTIONNEL' 'PLASTIQUE''PARFAIT' COQ2 ;*modll = modl_l et modl_2 ;*

matri = mate modll YOUN 2.Eli RHO 7.95E-6 SIGY 5.E8;cari = cara modl_l epai (201.06E-6/0.17);car2 = cara modl_2 epai (100.53E-6/0.17);car = cari et car2;matri = matrl et car;

rigl = rigi modll matrl;*********** béton arme, comportement béton insa******

modl2 = mode béton 'MECANIQUE' 'ELASTIQUE''PLASTIQUE'

'BETON_INSA' QUA4 ;matr2 = mate modl2 'YOUN' 3.2E10 'NU' 0.2 'RHO'2.4E-6 'LCS' 4.E7 ;rig2 = rigi modl2 matr2 ;rigt = rigl et rig2 ;******CONDITIONS AUX LIMITES********************************P4= section poin proch (0. 0.) ;*

cil = bloq depl p4;cl2 = bloq rx p4 ;cl3 = BLOQ UX uy (section POIN PROC (0. 0.17/2.));cl4 = BLOQ UX uy (section POIN PROC (0. -0.17/2.));

cl = cil et cl2 et cl3 ET CL4;*

rigtot = cl et rigt ;modi = modll et modl2;matr = matrl et matr2;

Page 43: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

Jun 25 13:23 1999 mod_global Page 3

****** *FORCE S*****************************************

RO = DEPI cl2 0.6 ;LI1 = PROG 4 PAS 8 100. ;LI2 = PROG 4 PAS 8 100. ;EV1 = EVOL BLEU 'MANU' TEMPS LI1 MOMENTS LI2 ;CHA1 = CHAR DIMP RO EV1;

****************************************INITIALI S AT IONS

EVOLM = PROG 0. ;EVOLEPS = PROG 0. ;EVOLRX = PROG 0. ;*

****** CALCUL NON LINEAIRE *******

*

TAB1 = TABLE ;*TAB1.BLOCAGES_MECANIQUES = cl ;TAB1.CHARGEMENT = CHAI ;TAB1.CARACTERISTIQUES = matr;TAB1.MODELE = modi;TAB1.TEMPS_CALCULES = LI1;*PASAPAS TAB1;*

****** POST-TRAITEMENT ***********

**

DIM1 = DIMENSION LI1;*

REPETER BOCL1 DIM1;**TPS = EXTR LI1 I ;DEP = PECHE TAB1 DEPLACEMENTS TPS ;REA = PECHE TAB1 REACTIONS TPS ;EPS = EPSI MODL DEP CAR;EPSPO = CHAN 'CHPO' MODL EPS ;sig = pèche tabl contraintes tps ;**

***EXTRACTION DU MOMENT MX CORRESPONDANT A LA ROT RX***

MMX = EXTR REA MX P4 ;RRX = EXTR DEP RX P4;EEX = EXTR EPSPO EPSS P4 ;EVOLM = EVOLM ET (PROG MMX);EVOLEPS = EVOLEPS ET (PROG EEX);EVOLRX = EVOLRX ET (PROG RRX) ;

Page 44: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

Jun 25 13:23 1999 mod_global Page 4

*EXTRACTION DE LA DEFORMATION RESULTANTE*********

I = 1+1 ;*FIN BOCLl ;E W = EVOL MANU 'DEFORMATIONS' EVOLRX 'MOMENTS' EVOLM;DESS EW;opti donn 5;

Page 45: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

ANNEXEm

Page 46: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

Jun 25 13:17 1999 osc_nlin.spec RG-1.6C Page 1

DEBPROC OSCFL TDATA*TABLE ;

************************************************************************************************** GESTION DE L'ALGORITHME TEMPOREL ******************************************************************************************OPTI ECHO 1 ;EVTRA = TDATA.'LOI' ;EVF1 = TDATA.'FEXT' ;Ml = TDATA.'MASSE' ;DT = TDATA.'PAS_TEMPS' ;NP1 = TDATA.'NB_PAS' ;*

LFTRA = EXTR EVTRA ORDO 1 ;LXTRA = EXTR EVTRA ABSC 1 ;LTEM = EXTR EVF1 ABSC 1 ;LF1 = EXTR EVF1 ORDO 1 ;•

LDEP1 = PROG ( NP1 + 1 ) * 0. ;LDPOS = PROG ( NP1 + 1 ) * 0. ;LDNEG = PROG ( NP1 + 1 ) * 0. ;LFNL = PROG ( NP1 + 1 ) * 0. ;

TITRE 'DEPLACEMENT' ;EVDEP1 = EVOL MANU 'S' LTEM 'M' LDEP1 ;TITRE 'ENDOMMAGEMENT POSITIF' ;EVDPOS = EVOL VERT MANU 'S' LTEM 'ENDOMPOS' LDPOS ;TITRE 'ENDOMMAGEMENT NEGATIF' ;EVDNEG = EVOL ROUG MANU 'S' LTEM 'ENDOMNEG' LDNEG ;TITRE 'FORCE NON LINEAIRE' ;EVFNL = EVOL MANU 'S' LTEM 'N' LFNL ;TITRE 'CYCLAGE' ;EVCYCL = EVOL MANU 'M' LDEP1 'N' LFNL ;

TRESU = TABLE 'RESULTATS' ;TRESU.'DEPLACEMENT' = EVDEP1 ;TRESU.'ENDOMPLUS' = EVDPOS ;TRESU.'ENDOMNEG' = EVDNEG ;TRESU.'FORCE_NL' = EVFNL ;TRESU.'CYCLAGE' = EVCYCL ;*

* BOUCLE SUR LES PAS DE TEMPS*

* definition de quelques paramètre*XNMl = 0. ;XN = 0. ;XNP1 = 0. ;FNLN = 0. ;FNLN1 = 0. ;DPOS = 0. ;DNEG = 0. ;XPLP = 0. ;XPLN = 0. ;*

ICOUR = VRAI ; JCOUR = VRAI ;IRECHA =FAUX : JRECHA = FAUX ;

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ICYCL = FAUX ; JCYCL = FAUX ;IZONEP = 1 ; JZONEP = 1 ;IZONEN = 1 ; JZONEN = 1 ;ICHR = VRAI ; JCHR = VRAI ;ICAS = 1 ; JCAS = 1 ;* ICAS =1 OU -1 ELASTIQUE* 2 OU -2 QUASI ELASTIQUE* 3 OU -3 PLASTIQUE* 4 OU -4 DECHARGE à PARTIR DE LA ZONE QUASI ELASTIQUE* 5 OU -5 DECHARGE à PARTIR DE LA ZONE PALSTIQUE*

XMAXP - 0. ;XMAXN = 0. ;FMAXP = 0. ;FMAXN = 0. ;+

** points caractéristiques de la courbe de traction***XMR = EXTR LXTRA 1 ;XMP = EXTR LXTRA 2 ;XME = EXTR LXTRA 3 ;XE = EXTR LXTRA 5 ;XP = EXTR LXTRA 6 ;XR = EXTR LXTRA 7 ;FMR = EXTR LFTRA 1 ;FMP = EXTR LFTRA 2 ;FME = EXTR LFTRA 3 ;FE = EXTR LFTRA 5 ;FP = EXTR LFTRA 6 ;FR = EXTR LFTRA 7 ;

KELAS = FE / XE ;KQE = ( FP - FE ) / ( XP - XE ) ;KP = ( FR - FP ) / ( XR - XP ) ;*

IPAS = 0 ;*REPETER LOOP1 NP1 ;

IPAS = IPAS + 1 ;FEXTN = EXTR LF1 IPAS ;**************************************************************************** CALCUL DE LA FORCE NON LINEAIRE* __________„.._„„________—— —

*

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

*

SI ( ( ABS XN ) >EG XR ) ;* RUINE*MESS 'RUINE DE LA STRUCTURE' ;OPTI DONN 5 ;

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FINSI ;*

SI IRECHA ;*MESS 'IPAS ' IPAS 'RECHARGE' ;* RECHARGE APRES PLASTIFICATION ET CYCLAGESI ( FNLN >EG 0. ) ;* CAS FNL >0SI ( IZONEP EGA 1 ) ;SI ( ( XN > XNM1 ) ET ( XN <EG XE ) ) ;

* ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGEJCYCL = FAUX ;JRECHA = VRAI ;FNLN1 = FE + ( KRECH * ( XN - XE ) ) ;

FINSI ;SI (XN > XE ) ;

* ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;JRECHA = FAUX ;JCYCL = FAUX ;JCAS = 2 ;JZONEP = 2 ;FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ;

FINSI ;SI ( XN < XNM1 ) ;

* DECHARGE DU CYCLEKCYCL = KELAS ;XMACYP = XNM1 ;XOCYP = XMACYP - ( FNLN / KCYCL ) ;SI ( XN > XOCYP ) ;

* ON RESTE SUR LA DROITE DE CYCLAGEJRECHA = FAUX ;JCYCL = VRAI ;FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYP ) ;SINON ;

* ON PASSE DE L AUTRE COTE : RECHARGEJRECHA = VRAI ;JCYCL = FAUX ;SI ( IZONEN EGA 1 ) ;

* ON VISE LA LIMITE ELASTIQUEKRECH = FME / ( XME - XÔCYP ) ;XREFP = XOCYP ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFP ) ;SINON ;

* ON VISE LE DERNIER POINTKRECH = FMAXN / ( XMAXN - XOCYP ) ;

( XN - XREFP ) ;XREFP =FNLN1 =

FINSI ;FINSI ;FINSI ;SINON ;SI ( ( XN

'- XOCYP= KRECH

> XNM1 ) ET ( XN <EG XMAXP ) )ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGEJRECHA = VRAI ;JCYCL = FAUX ;FNLN1 = FMAXP + ( KRECH * ( XN - XMAXP )

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FINSI ;SI ( XN > XMAXP ) ;ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;JRECHA = FAUX ;JCYCL = FAUX ;SI ( XN < XP ) ;QUASIELASTIQUEJZONEP = 2 ;JCAS = 2 ;FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ;SINON ;

' PLASTIQUEJZONEP = 3 ;JCAS = 3 ;FNLN1 = F P + ( K P * ( X N - X P ) ) ;

FINSI ;FINSI ;SI ( XN < XNM1 ) ;DECHARGE DU CYCLESI ( IZONEP EGA 2 ) ;KCYCL = FMAXP / XMAXP ;

FINSI ;SI ( IZONEP EGA 3 ) ;KCYCL = FP / (XP * ( 1.0 - DPOS ) )

FINSI ;XMACYP = XNM1 ;XOCYP = XMACYP - ( FNLN /KCYCL ) ;SI ( XN > XOCYP ) ;ON RESTE SUR LA DROITE DE CYCLAGEJRECHA = FAUX ;JCYCL = VRAI ;FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYP ) ;SINON ;ON PASSE DE L AUTRE COTE : RECHARGEJRECHA = VRAI ;JCYCL = FAUX ;SI ( IZONEN EGA 1 ) ;ON VISE LA LIMITE ELASTIQUEKRECH = FME / ( XME - XOCYP ) ;XREFP = XOCYP ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFP ) ;SINON ;

" ON VISE LE DERNIER POINTKRECH = FMAXN / ( XMAXN - XOCYP ) ;XREFP = XOCYP ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFP ) ;

FINSI ;FINSI ;FINSI ;

FINSI ;SINON;" CAS FNL <0SI ( IZONEN EGA 1 ) ;SI ( ( XN < XNM1 ) ET ( XN >EG XME ) )

* ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGE

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JCYCL = FAUX ;JRECHA = VRAI ;FNLN1 = FME + ( KRECH * ( XN - XME ) ) ;

FINSI ;SI (XN < XME ) ;ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;JRECHA = FAUX ;JCYCL = FAUX ;JCAS = -2 ;JZONEN = 2 ;FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ;FINSI ;SI ( XN > XNM1 ) ;DECHARGE DU CYCLEKCYCL = KELAS ;XMACYN = XNM1 ;XOCYN » XMACYN - ( FNLN / KCYCL ) ;SI ( XN < XOCYN ) ;ON RESTE SUR LA DROITE DE CYCLAGEJRECHA = FAUX ;JCYCL = VRAI ;FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYN ) ;SINON ;ON PASSE DE L AUTRE COTE : RECHARGEJRECHA = VRAI ;JCYCL = FAUX ;SI ( IZONEP EGA 1 ) ;ON VISE LA LIMITE ELASTIQUEKRECH = FE / ( XE - XOCYN ) ;XREFN = XOCYN ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFN ) ;SINON ;ON VISE LE DERNIER POINTKRECH = FMAXP / ( XMAXP - XOCYN ) ;XREFN = XOCYN ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFN ) ;

FINSI ;FINSI ;FINSI ;SINON ;SI ( ( XN < XNM1 ) ET ( XN >EG XMAXN ) )ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGEJRECHA = VRAI ;JCYCL = FAUX ;FNLN1 = FMAXN + ( KRECH * ( XN - XMAXN )

FINSI ;SI ( XN < XMAXN ) ;ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;JRECHA = FAUX ;JCYCL = FAUX ;SI ( XN > XMP ) ;QUASIELASTIQUEJZONEN = 2 ;JCAS = -2 ;

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FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ;SINON ;

* PLASTIQUEJZONEN = 3 ;JCAS = -3 ;FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ;

FINSI ;FINSI ;SI ( XN > XNM1 ) ;

* DECHARGE DU CYCLESI ( IZONEN EGA 2 ) ;KCYCL = FMAXN / XMAXN ;

FINSI ;SI ( IZONEN EGA 3 ) ;KCYCL = FMP / (XMP * ( 1.0 - DNEG ) ) ;

FINSI ;XMACYN = XNM1 ;XOCYN = XMACYN - ( FNLN / KCYCL ) ;SI ( XN < XOCYN ) ;

* ON RESTE SUR LA DROITE DE CYCLAGEJRECHA = FAUX ;JCYCL = VRAI ;FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYN ) ;SINON ;

* ON PASSE DE L AUTRE COTE : RECHARGEJRECHA = VRAI ;JCYCL = FAUX ;SI ( IZONEP EGA 1 ) ;

* ON VISE LA LIMITE ELASTIQUEKRECH = FE / ( XE - XOCYP ) ;XREFN = XOCYN ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFN ) ;SINON ;

* ON VISE LE DERNIER POINTKRECH = FMAXP / ( XMAXP - XOCYN ) ;XREFN = XOCYN ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFN ) ;FINSI ;FINSI ;FINSI ;

FINSI ;FINSI;SINON ;*mess 'pas juste avnt le test de icycl' îpas ;SI ICYCL ;*mess 'pas juste après le test de icycl' ipas ;* CYCLAGE*MESS 'PAS ' IPAS 'CYCLAGE' ;SI (FNLN >EG 0. ) ;

* CAS FNL >0SI ( ( XN >EG XOCYP ) ET ( XN <EG XMACYP) ) ;

* ON RESTE DUR LA DROITEJRECHA = FAUX ;JCYCL = VRAI ;KCYCL = FP / ( XP * ( 1. - DPOS ) ) ;FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYP ) ;

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FINSI ;SI ( XN <EG XOCYP ) ;ON CHANGE DE COTE : DECHARGEJRECHA = VRAI ;JCYCL = FAUX ;SI ( IZONEN EGA 1 ) ;ON VISE LA LIMITE ELASTIQUEKRECH = FME / ( XME - XOCYP ) ;XREFP = XOCYP ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFP ) ;SINON ;ON VISE LE DERNIER POINTKRECH = FMAXN / ( XMAXN - XOCYP ) ;XREFP = XOCYP ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFP ) ;

FINSI ;FINSI ;SI ( XN > XMACYP ) ;ON REPREND LA RECHARGESI ( IZONEP EGA 1 ) ;SI ( XN <EG XE ) ;ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGEJCYCL = FAUX ;JRECHA = VRAI ;FNLN1 = FE + ( KRECH * ( XN - XE ) ) ;FINSI ;SI (XN > XE ) ;ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;JRECHA = FAUX ;JCYCL = FAUX ;JCAS = 2 ;JZONEP = 2 ;FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ;

FINSI ;SINON ;SI ( XN <EG XMAXP ) ;ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGEJRECHA = VRAI ;JCYCL = FAUX ;FNLN1 = FMAXP + ( KRECH * ( XN - XMAXP ) )FINSI ;SI ( XN > XMAXP ) ;ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;JRECHA = FAUX ;JCYCL = FAUX ;SI ( XN < XP ) ;QUASIELASTIQUEJZONEP = 2 ;JCAS = 2 ;FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ;SINON ;PLASTIQUEJZONEP = 3 ;JCAS = 3 ;

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FNLN1 = F P + ( K P * ( X N - X P ) ) ;FINSI ; '•

FINSI ;FINSI ;

FINSI ;SINON ;

* CAS FNL<0*LIST IRECHA ; LIST ICYCL ;*MESS 'XN XOCYN XMACYN' XN XOCYN XMACYN ;

SI ( ( XN <EG XOCYN ) ET ( XN >EG XMACYN ) )* ON RESTE DUR LA DROITE

JRECHA = FAUX ;JCYCL = VRAI ;KCYCL = FMP / ( XMP * ( 1. - DNEG ) ) ;FNLN1 = KCYCL * ( XN - XOCYN ) ;

FINSI ;SI ( XN > XOCYN ) ;

* ON CHANGE DE COTE : DECHARGEJRECHA = VRAI ;JCYCL = FAUX ;SI ( IZONEP EGA 1 ) ;

* ON VISE LA LIMITE ELASTIQUEKRECH = FE / ( XE - XOCYN ) ;XREFN = XOCYN ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFN ) ;SINON ;

* ON VISE LE DERNIER POINTKRECH = FMAXP / ( XMAXP - XOCYN ) ;XREFN = XOCYN ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFN ) ;FINSI ;

FINSI ;SI ( XN < XMACYN ) ;

* ON REPREND LA RECHARGE 'SI ( IZONEN EGA 1 ) ;SI ( XN >EG XME ) ;

* ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGEJCYCL = FAUX ;JRECHA = VRAI ;FNLN1 = FME + ( KRECH * ( XN - XME ) ) ;

FINSI ;SI (XN < XE ) ;

* ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;JRECHA = FAUX ;JCYCL = FAUX ;JCAS = -2 ;JZONEP = 2 ; :

FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ;FINSI ;

SINON ;SI ( XN >EG XMAXN ) ;

* ON EST SUR LA COURBE DE RECHARGEJRECHA « VRAI ;JCYCL = FAUX ;FNLN1 = FMAXN + ( KRECH * ( XN - XMAXN ) )

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FINSI ;SI ( XN < XMAXN ) ;

* ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;JRECHA = FAUX ;JCYCL = FAUX ;SI ( XN > XMP ) ;

* QUASIELASTIQUEJZONEP = 2 ;JCAS 2 ;FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ;SINON ;

* PLASTIQUEJZONEP = 3 ;JCAS = -3 ;FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ;

FINSI ;FINSI ;

FINSI ;FINSI ;

FINSI ;*MESS XN XOCYN XMACYN FNLN1 ;*LIST JRECHA ; LIST JCYCL ;*mess 'pas ' ipas 'avant sinon';SINON ;* CHARGE OU DECHARGE DANS LE 1ER OU LE 3èME QUADRANT*mess 'pas ' ipas 'juste avnt' le test de icour' ;SI ICOUR ;* MESS 'IPAS ON EST SUR LA COURBE' IPAS ;* ON ETAIT SUR LA COURBE DE TRACTIONSI ( ( ABS XN ) >EG ( ABS XNM1 ) ) ;

* ON RESTE SUR LA COURBE DE TRACTIONSI ( ( ABS XNM1 ) <EG XE ) ;

* ON ETAIT SUR LA PREMIERE ZONE (ELASTIQUE)SI ( (ABS XN ) <EG XE ) ;

* ON RESTE DANS LA ZONE ELASTIQUEJCOUR = VRAI ;FNLN1 = KELAS * XN ;SI ( XN >EG 0. ) ;JCAS = 1 ;JZONEP = 1 ;

SINON ;JCAS = -1 ;JZONEN = 1 ;

FINSI ;SINON ;

* ON ARRIVE DANS LA ZONE 2 QUASI ELEASTIQUESI ( XN > 0. ) ;JZONEP = 2 ;FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ;JCAS = 2 ;

SINON ;JZONEN = 2 ;FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ;JCAS = -2 ;

FINSI;

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FINSI ;SINON ;SI ( ( ABS XNM1 ) <EG XP ) ;

ON ETAIT SUR LA DEUXIEME ZONE (QUASI ELEASTIQUE)SI ( (ABS XN ) <EG XP ) ;

ON RESTE SUR LA DEUXIEME ZONE (QUASI ELEASTIQUE)SI ( XN > 0. ) ;JZONEP = 2 ;FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ;JCAS = 2 ;SINON ;JZONEN = 2 ;FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ;JCAS = -2 ;

FINSI;SINON ;

ON ARRIVE SUR LA ZONE PLASTIQUESI ( XN >EG 0. ) ;JZONEP = 3 ; .FNLN1 = F P + ( K P * ( X N - X P ) ) ;JCAS = 3 ;SINON ;JZONEN = 3 ;FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ;JCAS = -3 ;

FINSI ;FINSI;SINON ;

ON ETAIT SUR LA TROISIEME ZONE PLASTIQUE ET ON Y RESTESI ( XN >EG 0. ) ;JZONEP = 3 ;FNLN1 = FP + ( KP * ( X N - X P ) ) ;JCAS = 3 ;

SINON ;JZONEN = 3 ;FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ;JCAS = -3 ;

FINSI ;FINSI ;

FINSI;SINON ;

ON ENTAME UNE DECHARGEJCOUR = FAUX ;JCHR = FAUX ;SI ( ( ICAS EGA 1 ) OU ( ICAS EGA -1 ) ) ;

ON RESTE ELASTIQUESI ( XN >EG 0. ) ;

JCAS = 1 ;SINON ;

JCAS = -1 ;FINSI ;JCOUR = VRAI ;FNLN1 = KELAS * XN ;FINSI ;SI ( ( ICAS EGA 2) OU ( ICAS EGA -2 ) ) ;ON ETAIT QUASI ELASTIQUE ON DECHARGE EN PASSANT PAR 0

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KDECH = FNLN / XNM1 ;SI ( ICAS EGA 2 ) ;JCAS = 4 ;

FINSI ;SI ( ICAS EGA -2 ) ;JCAS = -4 ;

FINSI ;FNLN1 = KDECH * XN ;

FINSI ;SI ( ICAS EGA 3 ) ;

* ON ETAIT PLASTIQUE ON DECHARGE EN TENANT COMPTE DE L'ENDOMMAGEMENTJCAS = 5 ;KDECH = F P / ( X P * ( 1 . 0 - DPOS ) ) ;XPLP = XNM1 - ( FNLN / KDECH ) ;FNLN1 = KDECH * ( XN - XPLP ) ;

FINSI ;SI ( ICAS EGA -3 ) ;

* ON ETAIT PLASTIQUE ON DECHARGE EN TENANT COMPTE DE L'ENDOMMAGEMENTJCAS = -5 ; |KDECH = F P / ( X P * ( 1 . 0 - DNEG ) ) ;XPLN = XNM1 - ( FNLN / KDECH ) ;FNLN1 = KDECH * ( XN - XPLN ) ;FINSI ;FINSI ;

* FINSI ;SINON ;

* ON ETAIT EN DESSOUS LA COURBE DE TRACTION*MESS 'PAS ' IPAS 'EN DESSOUS DE LA COURBE' ;

SI ( ICAS EGA 1 ) ;* DECHARGE SUR LA BRANCHE ELASTIQUE

SI ( ( XN >EG 0. ) ET ( XN <EG XE ) ) ;* ONRESTE SUR CETTE BRANCHE

FNLN1 = KELAS * XN ;JCOUR = VRAI ;JCAS = 1 ;

SINON ;SI ( XN > XE ) ;

* BRANCHE QUASIELASTIQUEFNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ;JCOUR = VRAI ;JCAS = 2 ;

FINSI ;SI ( XN < 0. ) ;

* ON PASSE DE L'AUTRE COTESI ( IZONEN EGA 1 ) ;

* ON RESTE SUR LA COURBE ELASTIQUEFNLN1 = KELAS * XN ;JCOUR = VRAI ;JCAS = -1 ;

FINSI ;SI ( IZONEN EGA 2 );

* ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN QUASIELASTIQUEKDECH = FMAXN / XMAXN ;FNLN1 = KDECH * XN ;JCAS = -4 ;

FINSI ;

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SI ( IZONEN EGA 3 ) ;ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN PLASTIQUEJRECHA = VRAI;KRECH = FMAXN / XMAXN ;XREFN = 0. ;FNLN1 = KRECH * XN ;FINSI ;

FINSI ;FINSI ;

FINSI ;SI ( ICAS EGA -1 ) ;

DECHARGE SUR LA BRANCHE ELASTIQUESI ( ( XN <EG 0. ) ET ( XN >EG XME ) ) ;ON RESTE SUR CETTE BRANCHEFNLN1 = KELAS * XN ;JCOUR = VRAI ;JCAS = -1 ;SINON ;SI ( XN < XME );BRANCHE QUASIELASTIQUEFNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ;JCOUR = VRAI ;JCAS = -2 ;

FINSI ;SI ( XN > 0. ) ;ON PASSE DE L'AUTRE COTESI ( IZONEP EGA 1 ) ;ON RESTE SUR LA COURBE ELASTIQUEFNLN1 = KELAS * XN ;JCOUR = VRAI ;JCAS = 1 ;

FINSI ;SI ( IZONEP EGA 2 );ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN QUASIELASTIQUEKDECH = FMAXP / XMAXP ;FNLN1 = KDECH * XN ;JCAS = 4 ;

FINSI ;

SI ( IZONEP EGA 3 ) ;ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN PLASTIQUEJRECHA = VRAI;KRECH = FMAXP / XMAXP ; :

XREFP = 0. ;FNLN1 = KRECH * XN ;FINSI ;

FINSI ;FINSI ;

FINSI ;SI ( ICAS EGA 4 ) ;DECHARGE QUASIELASTIQUESI ( ( XN >EG 0. ) ET ( XN <EG XMAXP) ) ;ON RESTE SUR CETTE BRANCHEJCAS = 4 ;FNLN1 = KDECH * XN ;FINSI ;SI ( XN > XMAXP ) ;

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* ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;

SI ( XN <EG XP );* BRANCHE QUASI ELASTIQUE

FNLN1 = FE + ( KQE * ( XN - XE ) ) ;JZONEP = 2 ;JCAS = 2 ;SINON ;

* BRANCHE PLASTIQUEFNLN1 = F P + ( K P * ( X N - X P ) ) ;JZONEP = 3 ;JCAS = 3 ;

FINSI ;FINSI ;SI ( XN < 0. ) ;

* ON PASSE DE L'AUTRE COTESI ( IZONEN EGA 1 ) ;

* ON RESTE SUR LA COURBE ELASTIQUEFNLN1 = KELAS * XN ;JCOUR = VRAI ;JCAS = -1 ;

FINSI ;SI ( IZONEN EGA 2 ) ;

* ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN QUASIELASTIQUEKDECH = FMAXN / XMAXN ;FNLN1 = KDECH * XN ;JCAS = -4 ;

FINSI ;SI ( IZONEN EGA 3 ) ;

* ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN PLASTIQUEJRECHA = VRAI;KRECH = FMAXN / XMAXN ;XREFN = 0. ;FNLN1 = KRECH * XN ;

FINSI ;FINSI ;FINSI ;SI ( ICAS EGA -4 ) ;

* DECHARGE QUASIELASTIQUESI ( ( XN <EG 0. ) ET ( XN >EG XMAXN ) ) ;

* ON RESTE SUR CETTE BRANCHEJCAS = -4 ;FNLN1 = KDECH * XN ;

FINSI ;SI ( XN < XMAXN ) ;

* ON REVIENT SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;

SI ( XN >EG XMP );* BRANCHE QUASI ELASTIQUE

FNLN1 = FME + ( KQE * ( XN - XME ) ) ;JZONEN = 2 ;JCAS = -2 ;

SINON ;* BRANCHE PLASTIQUE

FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ;JZONEN = 3 ;

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JCAS = -3 ;FINSI ;

FINSI ;SI ( XN > 0. ) ;ON PASSE DE L'AUTRE COTE

SI ( IZONEP EGA 1 ) ;ON RESTE SUR LA COURBE ELASTIQUEFNLN1 = KELAS * XN ;JCOUR = VRAI ;JCAS = 1 ;

FINSI ;SI ( IZONEP EGA 2 );ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN QUASIELASTIQUEKDECH = FMAXP / XMAXP ;FNLN1 = KDECH * XN ;JCAS = 4 ;

FINSI ;

SI ( IZONEP EGA 3 ) ;ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINT EN PLASTIQUEJRECHA = VRAI;KRECH = FMAXP / XMAXP ;XREFP = 0. ;FNLN1 = KRECH * XN ;

FINSI ;FINSI ;

FINSI ;SI (ICAS EGA 5 ) ;DECHARGE PLASTIQUESI ( ( XN >EG XPLP ) ET ( XN <EG XMAXP ) ) ;ON RESTE SUR CETTE BRANCHEJCAS = 5 ;FNLN1 = KDECH * ( XN - XPLP ) ;FINSI ;SI ( XN > XMAXP ) ;ON RETOURNE SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;FNLN1 = F P + ( K P * ( X N - X P ) ) ;FINSI ;SI ( XN < XPLP ) ;ON PASSE DE L'AUTRE COTEJRECHA = VRAI ;SI ( IZONEN EGA 1 ) ;ON VISE LA LIMITE ELASTIQUEXREFN = XPLP ;KRECH = FME / ( XME - XREFN ) ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFN ) ;

FINSI ;SI ( ( IZONEN EGA 2 ) OU ( IZONEN EGA 3) ) ;ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINTXREFN = XPLP ;KRECH = FMAXN / ( XMAXN - XREFN ) ;FNLN1 = FMAXN + ( KRECH * ( XN - XMAXN ) ) ;

FINSI ;FINSI ;

FINSI ;SI ( ICAS EGA -5 ) ;

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* DECHARGE PLASTIQUESI ( ( XN <EG XPLN ) ET ( XN >EG XMAXN ) ) ;

* ON RESTE SUR CETTE BRANCHEJCAS = -5 ;FNLN1 = KDECH * ( XN - XPLN ) ;

FINSI ;SI ( XN < XMAXN ) ;

* ON RETOURNE SUR LA COURBE DE TRACTIONJCOUR = VRAI ;FNLN1 = FMP + ( KP * ( XN - XMP ) ) ;

FINSI ;SI ( XN > XPLN ) ;

* ON PASSE DE L'AUTRE COTEJRECHA = VRAI ;SI ( IZONEP EGA 1 ) ;

* ON VISE LA LIMITE ELASTIQUEXREFP = XPLN ;KRECH = FE / ( XE - XREFP ) ;FNLN1 = KRECH * ( XN - XREFP ) ;

FINSI ;SI ( ( IZONEP EGA 2 ) OU ( IZONEP EGA 3) ) ;

* ON VISE LE DERNIER POINT ATTEINTXREFP = XPLN ;KRECH = FMAXP / ( XMAXP - XREFP ) ;FNLN1 = FMAXP + ( KRECH * ( XN - XMAXP ) ) ;

FINSI ;FINSI ;

FINSI ;FINSI ;FINSI ;FINSI ;

IZONEP = JZONEP ;IZONEN = JZONEN ;ICHR = JCHR ;ICOUR = JCOUR ;ICAS = JCAS ;IRECHA = JRECHA ;ICYCL = JCYCL ;*****************************************************************************************************************************************************

* CALCUL DU DEPLACEMENT AU PAS N+l*

XNP1 = ( ( DT * DT / Ml ) * ( FEXTN - FNLN1 ) ) + ( 2.0 * XN ) - XNM1 ;*LIST IRECHA ; LIST ICYCL ;*mess ' PAS fext fnl xnpl ICAS' IPAS fextn fnlnl xnpl ICAS ;*LIST ICOUR ;

SI ( XN >EG XMAXP ) ; XMAXP = XN ; FINSI ;SI ( XN <EG XMAXN ) ; XMAXN = XN ; FINSI ;SI ( FNLN >EG FMAXP ) ; FMAXP = FNLN ; FINSI ;SI ( FNLN <EG FMAXN ) ; FMAXN = FNLN ; FINSI ;

Page 61: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

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CALCUL DE L ENDOMMAGEMENT

EPSP = EPSL1EPSN = EPSL1 * (1. - ( EXP ( -1SI ( XMAXP >EG XP );

(1. - ( EXP ( -1.0 *0

ALPH1* ALPH1

* XMAXP / XP ) ) ) ;* XMAXN / XMP ) ) ) ,

DPOS = 1.- (*

( FMAXP( 1. -

0. ) ;

XP ) / (XMAXP * FP * 2.4. * PI * EPSP

* PI * EPSP )) ) ** 0.5 ) ) )

SI ( DPOS <DPOS = 0. ;FINSI ;FINSI ;SI ( XMAXN <EG XMP ) ;DNEG = 1. - ( ( FMAXN *

* ( 1. -SI ( DNEG < 0. ) ;DNEG = 0. ;FINSI ;FINSI ;REMPLACER LDEP1REMPLACER LDPOSREMPLACER LDNEGREMPLACER LFNLXNM1 = XN ;XN = XNP1 ;FNLN = FNLN1 ;

XP ) / ( XMAXN * FP * 2. * PI * EPSN )( ( 1. - ( 4. * PI * EPSN ) ) ** 0.5 ) )

IPAS HIPAS HIPAS HIPAS H

i- i :H i :i- i :H i- :

» XN ;1 DPOS1 DNEG1 FNLN1

FIN LOOP1

FINPROC TRESU ;

*************************************************************************************************** DONNEES DU CALCUL *********************************************** r********************************V r**************

OPTI DONN 3 ECHO 1 ;**DT = 20./4094. ;dt = 1.0e-3 ;Ml = 2000. ;AMP1 = 1000. ;NP1 = 4094 ;ALPH1 = 1.5 ;EPSL1 = 0.05 ;** excitationOPTI DIME 3 ;

DONNEES RG 1.60 HORIZONTAL PSEUDO ACCE.

LFREQ = PROG 0.025 0.25 2.5 9. 33. 66. 100. ;*LSP1 = PROG 0.00722 0.722 5.95 4.96 1. 1. 1. ;

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LSP2 = PROG 0.00564 0.564 4.25 3.54 1. 1. 1.LSP3 = PROG 0.00462 0.462 3.13 2.61 1. 1. 1.LSP4 = PROG 0.00424 0.424 2.72 2.27 1. 1. 1.LSP5 = PROG 0.00384 0.384 2.28 1.90 1. 1. 1.

EVSP1 = EVOL MANU 'HZ' LFREQ 'M/S2' LSP1 ;EVSP2 = EVOL MANU 'HZ' LFREQ 'M/S2' LSP2 ;EVSP3 = EVOL MANU 'HZ' LFREQ 'M/S2' LSP3 ;EVSP4 = EVOL MANU 'HZ' LFREQ 'M/S2' LSP4 ;EVSP5 = EVOL MANU 'HZ' LFREQ 'M/S2' LSP5 ;

LAMOR = PROG 0.005 0.02 0.05 0.07 0.1 ;**DESSIN ( EVSP1 ET EVSP2 ET EVSP3 ET EVSP4 ET EVSP5 ) LOGX LOGY MIMA ;*

* CALCUL DE SIGNAUX SYNTHETIQUES ajustement sur le spectre a 0.5%*

TAB1 = TABLE ;TABl.'MOTIT' = 'RG1_6O' ;TAB2 = TABLE ;TAB1.'SEISME' = TAB2 ;

TAB2.'SPECTRE' = EVSP1 ;TAB2.'AMORT' = 0.005 ;TAB2.'TYPSP' = 'ACCE' ;*

TAB3 = TABLE ;TAB1.'SIGNAL' = TAB3 ;TAB3.'ENVE' = 'PLATLIN' ;TAB3.'NP' = 11 ;TAB3.'DUREE' = 20. ;TAB3. ' TDEBUT' = 2. ;TAB3.'TFIN' = 18. ;*TABl.'NBITER' = 4 ;TABl.'NBSIGN' = 1 ;TABl.'NALEAT' = 10 ;TABl.'FRCOUP' = 33. ;TAB1.'OPTSORT' = 'SPECTRE' ;*EVO1 = SIGNSYNT 'FABR' TAB1 ;UN = 1 ;*DESSIN EVO1.UN 'MIMA' ;*EVF1 = EVO1.UN*AMP1;dess evfl;LFF1 = EXTRA EVFl ORDO 1 ;LTE1 = EXTRA EVFl ABSC 1 ;*

LFZERO = PROG NPl*0. ;LFF = LFF1 ET LFZERO;DT1 = (EXTRA LTE1 2 ) - ( EXTRA LTE1 1 ) ;TMA1 = EXTRA LTE1 ( DIME LTEl ) ;LTEMPS = LTEl ET ( PROG ( TMA1 + DT ) PAS DT1

NPAS ( ( DIME LFF ) - ( DIME LTEl ) - 1 ) ) ;

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*LTEMPS = PROG 0. PAS DT NPAS (6141);** CONTRACTION DE L ECHELLE DES TEMPS POUR TENIR COMPTE DE L ECH DU POTEAU*COE1 = 0.33;EVF1 = EVOL MANU ( LTEMPS * COE1 ) LFF ;DESS EVF1 ;*

* CRÉATION D UNSIGNAL DE LONGUEUR NP2 < 2 NP1 ;*NP2 = 3000 ;LTE2 = PROG 0. PAS DT NPAS NP2 ;LFF2 = IPOL LTE2 ( LTEMPS * COE1 ) LFF ;EVF2 = EVOL ROUG MANU 'SEC LTE2 'EXCIT.' LFF2 ;DESSIN EVF2 MIMA ;

EVSPC = SPO EVF1 'AMOR' LAMOR ' COUL' ROUG 'ACCE' ;EVSPC1 = EXTRAIRE EVSPC 'COUR' 1 ;EVSPC2 = EXTRAIRE EVSPC 'COUR' 2 ;EVSPC3 = EXTRAIRE EVSPC 'COUR' 3 ;EVSPC4 = EXTRAIRE EVSPC 'COUR' 4 ;EVSPC5 = EXTRAIRE EVSPC 'COUR' 5 ;

*DESSIN ( EVSP1 ET EVSP2 ET EVSP3 ET EVSP4 ET EVSP5 ET EVSPC1 ET* EVSPC2 ET EVSPC3 ET EVSPC4 ET EVSPC5 ) LOGX LOGY MIMA ;*

* COURBE DE TRACTION TRILINEAIRE

XE =FE =XP =FP =XR =FR =*XMEFMEXMPFMPXMR

9.87E-42507.3 ;2.44E-218052.416.5E-2 ;19731.7

= - 1 . 0 *= - 1 . 0 *= - 1 . 0 *= - 1 . 0 *= - 1 . 0 *

?

}

}

}

XEFEXPFPXR

FMR = -1.0 * FR ;

LXTRA = PROG XMR XMP XME 0. XE XP XR ;LFTRA = PROG FMR FMP FME 0. FE FP FR ;TITRE 'COURBE DE TRACTION' ;EVTRA = EVOL ROUG MANU 'M' LXTRA 'N' LFTRA*DESSIN EVTRA ;

* CALCUL DE LA RéPONSE

TDATATDATA.TDATA.TDATA.

- TABLE' L O I ' =' F E X T ''MASSE'

'DONNEES' ;EVTRA ;

= EVF1 ;= Ml ;

TDATA.'PAS_TEMPS' = DT ;TDATA.'NB PAS' = 6141 ;

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*OPTI VERI 1 ;*

TRESU = OSCFL TDATA ;**EVX = TRESU.'DEPLACEMENT' ;EVDPOS = TRESU.'ENDOMPLUS' ;EVDNEG = TRESU.'ENDOMNEG' ;EVFNL = TRESU.'FORCE_NL' ;EVCYCL = TRESU.'CYCLAGE' ;

DESSIN EVX MIMA ;*DESSIN EVDPOS ;*DESSIN EVDNEG ;DESSIN EVFNL ;DESSIN ( EVTRA ET EVCYCL) ;

* TRACE DE L ENDOMMAGEMENT EN FONCTION DE XMAX*

LXMA1 = PROG 0. PAS ( XP / 100. ) XP PAS ( ( XR - XP ) / 100. ) XR ;NPO1 = DIME LXMA1 ;LD = PROG NPO1 * 0. ; ;

LEP1 = PROG NPO1 * 0. ;IPO1 = 0 ;REPETER LOOP100 NPO1 ;IPO1 = IPO1 + 1 ;Dl = 0. ;EPS1 = 0. ;XI = EXTRAIRE LXMA1 IPO1 ;SI ( XI >EG XP ) ;EPS1 = EPSL1 * (1. - ( EXP ( -1.0 * ALPH1 * XI / XP) ) ) ;*

Fl = FP + ( ( FR - FP ) * ( XI - XP ) / ( XR - XP ) ) ;*

Dl = 1. - ( ( Fl * XP ) / ( XI * FP * 2. * PI * EPS1 )* ( 1. - ( ( 1. - ( 4. * PI * SPS1 ) ) ** 0.5 ) ) ) ;

SI ( Dl < 0. ) ;Dl = 0. ;FINSI ;FINSI;REMPLACER LEP1 IPO1 EPS1 ;REMPLACER LD IPO1 Dl ;

FIN LOOP100 ;* 'TITRE 'AMORTISSEMENT EN FONCTION XMAX/XP ALPHA = ' ALPH1 ;EVEP1 = EVOL BLEU MANU 'XMAX/XP' ( LXMAl / XP ) 'AMORT' LEP1 ;DESSIN EVEP1 ;*

TITRE 'EVOLUTION DE L ENDOMMAGEMENT' ;EVD1 = EVOL ROUG MANU 'DEPL M' LXMAl 'D' LD ;DESSIN EVD1 MIMA ;

Page 65: ETUDE DU COMPORTEMENT SOUS EXCITATION ALEATOIRE …

ANNEXE IV

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XI. E4

1.00

0.90

0.60

0.40

0.20

0.00

-0.20

-0.40

-0.60

-0.80

-1.00

3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50

RG1 60 SPECTRE ITERATION NUM 4 MOYENNE DE l SIGNAUX

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MAXIMUM : 0.7075E-02

MINIMUM : -0.6274E-02

2.00

0.00

-2.00

-4.00

-6.00

-8.00

3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 6.50

DEPLACEMENT