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Etude numérique du flambage sous contraintes résiduelles au cours du laminage des tôles métalliques

S. Abdelkhalek1,2, H. Zahrouni2, M. Potier-Ferry2, N. Legrand3, P. Montmitonnet1, P. Buessler3

1 Ecole des Mines de Paris-ParisTech- CEMEF - UMR CNRS 7635 - BP 207 - 06904 Sophia-Antipolis - Cedex – France. 2 LPMM - UMR CNRS 7554 - ISGMP - Université Paul Verlaine Metz - Ile de Saulcy - 57045 Metz - France. 3 ArcelorMittal Maizières Research, R&D Industrial Operations - BP 30320 - Voie Romaine 57283 Maizières Les Metz -Cedex- France. Sous les chargements intenses du laminage à froid, la déformation des cylindres (aplatissement, flexion, bombé thermique) induit une hétérogénéité de l’élongation en sortie de l’emprise dans le sens de la largeur de la bande. Cette hétérogénéité engendre l'apparition des contraintes résiduelles pouvant entraîner le flambage, que l'on nomme dans ce contexte défaut de planéité (cf. figure ci-dessous). Ce dernier est un souci important pour l'industrie du laminage, une bonne planéité étant un élément majeur pour la qualité du produit.

Figure 1. Illustration des défauts de planéités dans une

tôle mince laminée. Par ailleurs, le flambage conduit à la réorganisation du champ de contrainte dans la bande hors emprise (emprise = zone de contact cylindres / bande), ce qui pourrait a priori avoir une influence sur les contraintes et déformations dans l’emprise. Ainsi, le problème mécanique inclut un couplage combinant la déformation élastique des cylindres de travail, la déformation élasto-(visco)plastique de la bande dans l’emprise, et le flambage hors de l’emprise. Or la plupart des modèles [2, 6-8] négligent le couplage emprise / post-emprise, à l'exception notable de [3]. Dans une présentation précédente [4], nous avons introduit dans LAM3/TEC3 [1], modèle éléments finis 3D adapté à la simulation du laminage, le modèle de flambement simplifié de type Euler de [3]. Il s’agit d’un algorithme de relaxation des contraintes hors de l’emprise, plus précisément, en un point matériel situé hors de l’emprise, une déformation additionnelle est introduite afin de relaxer les contraintes là où elles dépassent un seuil de compression σc. Ces déformations sont calculées localement selon (1) suivant

les directions principales 1 et 2 du tenseur de contrainte σ

dans le plan de la tôle.

; ( 1,2)i ci i

E

σ σλ −= = (1)

Avec iσ sont les valeurs propres de σ et E est le module

d’Young. Les champs de contraintes relaxées ont alors été trouvés en bon accord avec l'expérience (cf. exemple Figure 2), et nous avons de plus constaté que la prise en compte ou non du flambement et des relaxations de contraintes hors-emprise qu'elle induit ne changeait pratiquement rien aux contraintes et déformations sous emprise (cf. Figure 3 et Figure 4). Mais ce modèle simplifié est incapable de prédire le mode de flambage et l’état post-flambé de la bande.

-400 -200 0 200 400

-800

-600

-400

-200

0

200

σ xx (

MP

a)

Position en largeur de la bande (mm)

LAM3/TEC3-Counhaye Mesures LAM3 Standard

Figure 2. LAM3/TEC3 couplé avec le modèle simplifié de flambage de Counhaye [3] a ramené les résultats en bon accord avec l’expérience.

-600 -400 -200 0 200 400 600-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

For

ce d

e la

min

age

(N/m

m)

Position en largeur de la tôle (mm)

avec flambage sans flambage

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Pre

ssio

n de

con

tact

(M

Pa)

Position en longueur de la tôle (mm)

Avec flambage Sans flambage

Figure 3. Le flambage ne modifie pas l’interaction entre la tôle et les cylindres de travail dans l’emprise. (a) : force linéique de laminage, (b) : pression de contact entre la tôle est les cylindres de travail dans l’emprise extraite sur l’extrême rive.

Valeurs à mi-intercage

(a)

(b)

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-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

σ xx (

MP

a)

position le long des lignes de courants (mm)

ligne16 avec flambage ligne19 avec flambage ligne16 sans flambage ligne19 sans flambage

Zone sous l'emprise

Figure 4. La contrainte longitudinale σxx sous l’emprise, comme toute autre variable d’état de la tôle, n’est pas influencée par le flambage. En revanche on observe l’effet de la relaxation des contraintes en sortie de l’emprise où les courbes commencent à s’écarter. Ici on représente les résultats sur l’extrême rive (ligne 19) et sur une ligne de courant voisine (ligne 16) là où les variations dû au flambage sont notables. Donc, dans une deuxième approche, LAM3/TEC3 est utilisé en chaînage avec un code basé sur la méthode asymptotique numérique (MAN) [10,11] et une formulation de coque pour la simulation du flambage sous contraintes résiduelles. Un couplage de LAM3/TEC3 avec un modèle complet de flambage des coques serait certe plus pertinent. Mais il serait difficile à mettre en œuvre, et l’absence de rétroaction entre l’emprise et le flambage (voir ci-dessus) justifie l’adoption d’une procédure découplée décrite comme suit:

o un premier calcul de laminage est effectué à l’aide de LAM3/TEC3, sans tenir compte du flambage, fournissant des champs de contraintes, y compris hors emprise.

o Ces champs de contraintes sont utilisés comme contraintes résiduelles initialisant le calcul de flambage de coques qui permet d’obtenir la charge critique, le mode de flambage ainsi que l’état post-flambé avec la nouvelle (et réelle) répartition des contraintes dans la tôle.

La complexité des champs de contraintes en laminage est l’une des limitations de certains modèles de coques existants dans la littérature [5,6,7,8,9] :

o seule la composante du tenseur de contrainte suivant la direction du laminage est considérée en général, en supposant qu’elle est le principal moteur du flambage.

o Cette composante est généralement supposée uniforme le long de la tôle, ce qui est habituellement correct si on tient compte uniquement d’une zone suffisamment loin de l’emprise (là où les contraintes sont stabilisées); mais le flambement commence à se manifester très tôt après la sortie du contact, à une position où il n'est pas sûr que les contraintes soient stabilisées.

o D’autre part, ces modèles ne possèdent pas réellement de calcul de post-flambage.

o le mode de flambage tel que centre long (ondulation au centre de la tôle) ou bord long (ondulation sur le bord de la tôle) fait l'objet d'une hypothèse a priori, fondée sur l'observation des caractéristiques générales du champ de contraintes post-emprise; le mode voulu est alors obtenu en jouant sur les conditions aux limites (par exemple en interdisant le mouvement hors-plan des nœuds des bords de la bande, pour un centre long).

Dans le modèle basé sur la MAN, nous utilisons toutes les composantes du champ de contraintes issues du calcul de laminage, partant du principe que cela doit permettre d’obtenir des résultats plus complets, plus satisfaisants et plus proches des conditions industrielles. Cependant, la différence entre la topologie de maillage de LAM3/TEC3 et celle du modèle de la MAN a nécessité une technique de transfert basée sur la méthode des moindres carrés mobiles (MLS). Cette méthode a été optimisée en raison de la complexité de ce champ à transférer qui présente des piques et de fortes variations dans certaines régions de la tôle. Ainsi, la MLS optimisée se fait successivement en balayant tout le maillage de LAM3/TEC3 d’un sous domaine à un autre dont la taille est de plus en plus étroite sur ces endroits critiques et vice versa. Ci-dessous (Figure 5), on montre un exemple de transfert de la contrainte longitudinale σxx d’un maillage de LAM3/TEC3 (croix en vert) à un maillage du modèle de la MAN (points en rouge). Une amélioration notable peut être observée en utilisant la MLS optimisée par rapport à l’utilisation de la MLS classique, étant donnée qu’elle permet de minimiser la perte d’information durant le transfert.

-1500-1000

-500 0

500 1000

1500

-250-200

-150-100

-50 0

50 100

150 200

250

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

'SIGresplot.txt' u 1:2:3

'SIGresLAM3.txt' u 1:2:3σ xx (MPa)

EmpriseBord

Centre de symétrie

Sens du laminage

-1500-1000

-500 0

500 1000

1500

-250-200

-150-100

-50 0

50 100

150 200

250

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

'SIGresplot.txt' u 1:2:3

'SIGresLAM3.txt' u 1:2:3σ xx (MPa)

EmpriseBord

Centre de symétrie

Sens du laminage

-1500-1000

-500 0

500 1000

1500

-250-200

-150-100

-50 0

50 100

150 200

250

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

'SIGresplot.txt' u 1:2:3

'SIGresLAM3.txt' u 1:2:3σ xx (MPa)

EmpriseBord

Centre de symétrie

Sens du laminage

-1500-1000

-500 0

500 1000

1500

-250-200

-150-100

-50 0

50 100

150 200

250

-800

-600

-400

-200

0

200

400

'SIGresplot.txt' u 1:2:3

'SIGresLAM3.txt' u 1:2:3

EmpriseBord

Centre de symétrie

Sens du laminageσ xx (MPa)

-1500-1000

-500 0

500 1000

1500

-250-200

-150-100

-50 0

50 100

150 200

250

-800

-600

-400

-200

0

200

400

'SIGresplot.txt' u 1:2:3

'SIGresLAM3.txt' u 1:2:3

EmpriseBord

Centre de symétrie

Sens du laminageσ xx (MPa)

-1500-1000

-500 0

500 1000

1500

-250-200

-150-100

-50 0

50 100

150 200

250

-800

-600

-400

-200

0

200

400

'SIGresplot.txt' u 1:2:3

'SIGresLAM3.txt' u 1:2:3

EmpriseBord

Centre de symétrie

Sens du laminageσ xx (MPa)

Figure 5. Comparaison entre le transfert de la contrainte σxx en utilisant la MLS classique (a) et la MLS optimisée (b) d’un maillage de LAM3/TEC3 (croix vertes) à un maillage du modèle de la MAN (point rouges). Plusieurs cas académiques et de laminage de tôles minces ont été analysés afin de comparer respectivement avec des

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solutions analytiques et des mesures expérimentales. Ces comparaisons qui sont illustrées dans les figures 6 et 7 ont prouvé la pertinence du modèle de la MAN qui permet de satisfaire les besoins industriels pour les procédés de laminage. En effet, la Figure 8 montre l’état d’une tôle laminée après découpage pour le cas correspondant au champ de contrainte longitudinale illustré dans la Figure 5. Dans cet état, le produit ne pourra pas remplir les besoins de la clientèle d’ARCELOR-MITTAL, or LAM3/TEC3 complémenté par le modèle de la MAN nous permettra de trouver la solution technologique permettant à éliminer ces défauts de planéité.

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8

0

5

10

15

20

25

30

Appui

simple

Bord

char

ge c

ritiq

ue d

e fla

mba

ge λ

c [ ]

Longueur/Largeur

Timoshenko (Analytique) - Bords en appuis simples Abdelkhalek et al. - Bords en appuis simples Timoshenko (Analytique) -Bord libres Abdelkhalek et al. - Bord libres

Centre de symétrieAppu

i sim

ple

Figure 6. Evolution de la charge critique de flambage en fonction du rapport Longueur / Largeur de la plaque : Validation du modèle de la MAN avec les solutions analytiques données par Timoshenko [12].

-400 -200 0 200 400

-800

-600

-400

-200

0

200

σxx

(MP

a)

Position en largeur de la bande (mm)

LAM3/TEC3-MAN Mesures expérimentales LAM3 Standard

Figure 7. LAM3/TEC3 complété par le modèle de la MAN permet d’obtenir des résultats qui collent avec les mesures expérimentales.

-800-600

-400-200

0 200

400 -250-200

-150-100

-50 0

50 100

150 200

250-4

-2

0

2

4

'def99111.txt'

Centre de symétrie

Emprise

Figure 8. Défaut de planéité en laminage d’un cas dont la contrainte longitudinale σxx qui est la principale cause du flambement est illustrée dans la Figure 5 (défaut en bord long et des plis longitudinaux en sortie de l’emprise).

Références : 1. A. Hacquin, P. Monmitonnet and J.P. Guilleraut, « A steady state thermo-elastoviscoplastic finite element model of rolling whith coupled thermo-elastic roll deformation ». Journal of Materials Processing Technology, Volume 60, pp. 109-116. 2. H. Marchand. Modélisation de la planéité en sortie de laminage des produits plats. Manuscrit de thèse de doctorat, Ecole nationale des mines de Paris, 19 décembre 2000. 3. C. Counhaye, « Modélisation et contrôle industriel de la géométrie des aciers laminés à froid », Thèse de doctorat en mécanique physique, Faculté des sciences appliquées, Université de Liège, 2000. 4. S. Abdelkhalek, P. Monmitonnet, N. Legrand, P. Buessler, « Manifested flatness predictions in thin strip cold rolling », International Journal of Material Forming, Springer/ESAFORM 2008. 5. Y. Tosawa. « Analysis of three dimentional deformation in strip rolling taken deformation of rolls into consideration ». Advanced technology of plasticity, vol. 2, 1984, pp. 1151-1160. 6. A. Bush, R. Nicholls and J. Tunstall. « Stress levels for elastic buckling of rolled strip and plate ». Ironmaking and steelmaking, vol 28, 2001, pp. 06. 7. F. G. Rammerstorfer, F. D. Fisher, N. Friedl. « Buckling of free infinite strips under residual stress and global tension ». Journal of applied mechanics, Vol 68, May 2001, pp. 399-404. 8. F. D. Fisher, F. G. Rammerstorfer, N. Friedl and W. Wisser. « Buckling phenomena related to rolling and levelling of sheet metal ». International journal of mechanical sciences. Vol. 42, 2000, pp. 1887-1910. 9. N. Yukawa, T. Ishikawa and Y. Tozawa. « Numerical analysis of the shape of rolled strip ». Proceedings of the Numiform’86 conference/Gothenburg, 25-29 August 1986. 10. H. Zahrouni, B. Cochelin and M. Potier-Ferry, « Computing finite rotations of shells by an asymptotic-numerical method », Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 175, Issues 1-2, 8 June 1999, pp. 71-85. 11. E.H. Boutyour, H. Zahrouni, M. Potier-Ferry, M. Boudi « Asymptotic-numerical method for buckling analysis of shell structures with large rotations ». Journal of Computational and Applied Mathematics 2004, pp. 75-85. 12. S. P. Timishneko, J. M. Gere, Théory of elastic stability. Mc Graw Hill Book Company, Inc, New York, 1961, Second edition.

Valeurs à mi-intercage