Etude résurgente d’une classe d’équations diff ...math.univ-angers.fr/~delab/thesejm.pdf · Je souhaite également remercier très chaleureusement Jean-Pierre Ramis et David

UNIVERSITE D’ANGERS Annee 2006UFR SCIENCES No d’ordre 753

Etude resurgented’une classe d’equations differentielles

de type Schrodinger

THESE DE DOCTORAT

Specialite : Mathematiques

ECOLE DOCTORALE D’ANGERS

Presentee et soutenue publiquementle 15 juin 2006 a 10h30 (Amphi L001)

a l’Universite d’Angerspar

Jean-Marc RASOAMANANA

devant le Jury ci-dessous

Rapporteurs :Jean-Pierre RAMIS Professeur a l’Universite Paul Sabatier, Toulouse

Membre de l’Institut (Academie des Sciences)David SAUZIN Charge de recherches au CNRS (IMCCE), ParisExaminateurs :Michele LODAY-RICHAUD Professeur a l’Universite d’AngersMichel GRANGER Professeur a l’Universite d’AngersGuy WALLET Professeur a l’Universite de La RochelleDirecteur de these :Eric DELABAERE Professeur a l’Universite d’Angers

LAREMA, U.M.R 6093 associee au CNRS2 Bd Lavoisier, 49045 Angers cedex 01, France

ED 363

a ma femme Sophie et a mes enfants

”Sapiens nihil affirmat quod non probat”Adage latin

REMERCIEMENTS

Mes premiers remerciements vont tout naturellement a mon ”maıtre”, EricDelabaere, qui a accepte de m’encadrer pendant ces quatre annees de these etqui m’a fait partager sa passion pour la recherche. Gentillesse, disponibilite,patience et conseils eclaires ont toujours ete au rendez-vous malgre mes mo-ments de doute et d’hesitation. Je profite de l’occasion qui m’est donnee icipour lui exprimer ma profonde gratitude et lui temoigner mon amitie.

Je souhaite egalement remercier tres chaleureusement Jean-Pierre Ramiset David Sauzin qui m’ont fait l’honneur (et je pese mes mots !) d’accepterd’etre les rapporteurs de cette these. Leurs conseils m’ont ete d’une aide tresprecieuse et m’ont permis d’ameliorer grandement mon travail.

J’adresse aussi mes plus vifs remerciements a Michele Loday-Richaud (quim’avait auparavant encadre lors de mon DEA et qui m’a toujours donne d’ex-cellents conseils), a Michel Granger et a Guy Wallet qui ont accepte de fairepartie de mon jury. Merci encore !

Pour mener a bien ce travail, j’ai pu beneficier de conditions materiellesideales offertes par le departement de mathematiques de l’Universite d’An-gers et le Larema. Je souhaite egalement adresser un remerciement special aFrancois Ducrot (notre administrateur reseau bien-aime !) et a Francoise Bock(notre super bibliothecaire !) pour leur disponibilite a toute epreuve.

Pendant toute la duree de ma these, j’ai toujours pu compter sur le soutiensans faille de nombreuses personnes que je tiens ici a remercier du fond ducoeur : ma femme Sophie pour sa douceur indefectible et ses encouragementsconstants, mon fils Quentin pour ses ”coups de crayon lumineux”, mes parents,Marie-Bernadette et Edmond, qui m’ont toujours soutenu tout au long de mesetudes, ma soeur Linda et mon frere Paul-Henri pour leur regard bienveillantsur mon travail, ma belle-famille, Roger et Edith, Benoıt et Celine, Diana etRoger, qui m’a toujours supporte, et a mes amis proches, Guillaume et Estelle,Franck et Geraldine, Arnaud et Celine, Ludovic et Malvina et Christian pourleurs encouragements et leur humour tonitruant.

Enfin, je tiens a remercier tous les thesards du Larema : les ”anciens”(Celine, Oleg et Rouchdi), mes ”contemporains” (Dika, Ludovic, Jean-Francois,Pascal et Souleymane) et les ”petits nouveaux” (Alexandre, Paulo et Remi)avec qui j’ai partage de grands moments mathematiques et philosophiques ! !

Table des matieres

1 Introduction 91.1 Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Principaux resultats de la these . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Resultats du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Resultats du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Etude des coefficients de Stokes-Sibuya via la resurgence equationnelle 232.1 Solutions de (Em) au voisinage l’infini : asymptotique classique . 24

2.1.1 Le theoreme fondamental d’existence . . . . . . . . . . . 242.1.2 Coefficients de Stokes-Sibuya . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Solutions de (Em) au voisinage de l’infini : point de vue resurgent 322.2.1 Resurgence des solutions de (Em) . . . . . . . . . . . . . 322.2.2 Quelques proprietes des multiplicateurs de Stokes . . . . 532.2.3 Coefficients de Stokes-Sibuya et multiplicateurs de Stokes 54

2.3 Solutions de (Em) au voisinage de 0 : theorie de Fuchs . . . 572.4 Les matrices de connexion 0∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.5 Matrices de Stokes-Sibuya et de connexion 0∞ . . . . . . . . . . 65

2.5.1 Premiere equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . 652.5.2 Seconde equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . 662.5.3 Troisieme equation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . 722.5.4 Cas de resolubilite quasi-exacte . . . . . . . . . . . . . . 76

2.6 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.6.1 Application pour une classe speciale . . . . . . . . . . . . 802.6.2 Application lorsque m = 2 et consequences . . . . . . . . 822.6.3 Application quand m ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A Appendice A : utilisation de fonctions speciales . . . . . . . . . 94

A.1 Exemple 1 : une forme normale de l’equation de Heun . . 94A.2 Exemple 2 : une forme normale de l’equation de Whittaker 97

B Appendice B : Sommation par series de factorielles . . . . . . . 102B.1 Utilisation de la sommation par series de factorielles clas-

sique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7

8 TABLE DES MATIERES

B.2 Sommation par series de factorielles etendue au cas ramifie109

3 Analyse BKW et theoreme de reduction au voisinage d’unpoint tournant simple 1193.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.1.2 Reduction a une forme canonique . . . . . . . . . . . . . 1213.1.3 Plan d’etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.1.4 Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.2 Cas de l’equation d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.2.1 Aspect formel : le symbole BKW d’Airy . . . . . . . . . 1263.2.2 Etude du phenomene de Stokes associe . . . . . . . . . . 126

3.3 Analyse BKW formelle dans le cas general . . . . . . . . . . . . 1293.3.1 Existence de solutions BKW formelles . . . . . . . . . . 1303.3.2 Solutions BKW elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . 131

3.4 Resurgence (locale) des solutions BKW elementaires . . . . . . . 1323.4.1 Construction de fonctions confluentes . . . . . . . . . . . 1323.4.2 Decomposition et consequences . . . . . . . . . . . . . . 149

3.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.5.1 Theoreme local de reduction . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.5.2 Applications pour l’equation de Schrodinger . . . . . . . 1573.5.3 Quelques extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.6 Pistes de recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.6.1 Points tournants d’ordre superieur . . . . . . . . . . . . . 1593.6.2 Sommabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.6.3 Analyse BKW au voisinage d’un pole . . . . . . . . . . . 162

C Appendice C : Theorie de la resurgence 165C.1 Quelques generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165C.2 Developpements BKW formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174C.3 Geometrie associee aux lignes de Stokes . . . . . . . . . . . . . . 179

C.3.1 Comportement des lignes de Stokes au voisinage d’unpoint tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

C.3.2 Comportement des lignes de Stokes au voisinage de l’infini180C.3.3 Comportement des lignes de Stokes au voisinage de l’ori-

gine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181C.4 Fonctions confluentes et microfonctions . . . . . . . . . . . . . . 185

C.4.1 Decomposition locale (pour la direction α = 0) . . . . . . 187

Chapitre 1

Introduction

1.1 Presentation

Dans cette these, nous etudions des questions liees a la structure analytique

locale de certaines equations de Schrodinger dans le plan complexe, a savoir,

1. l’equation de Schrodinger unidimensionnelle autonome

(Em)d2

dx2Φ(x) = V (x, a) Φ(x),

ou le potentiel V (x, a) est de la forme V (x, a) =Pm(x, a)

x2avec

Pm(x, a) = xm+a1xm−1+· · ·+am ∈ C[x] un polynome complexe unitaire

de degre m ∈ N⋆ (nous notons a = (a1, · · · , am) ∈ Cm),

2. l’equation de Schrodinger singulierement perturbee

(Eεm) ε2 d

2

dq2Y (q) = V (q)Y (q),

avec point tournant simple a l’origine (V (0) = 0 et V ′(0) 6= 0).

Dans la premiere partie, nous analysons le phenomene de Stokes

de l’equation (Em) a l’infini, unique point singulier irregulier de (Em) ((Em)

admet aussi un point singulier regulier a l’origine). Nous definissons une famille

complete de matrices de Stokes-Sibuya et nous etablissons un certain nombre

de relations fonctionnelles qui, dans certains cas simples, suffisent a determiner

les coefficients de Stokes-Sibuya par une formule explicite en fonction des co-

efficients a du potentiel.

9

10 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Nous nous interessons en outre au calcul approche de ces matrices.

Une etude theorique analogue ([68]) a ete menee par Y. Sibuya dans le cas

plus particulier ou le potentiel de (Em) est polynomial (l’origine est alors un

point ordinaire pour (Em)). Ont aussi ete developpees des extensions de ces

resultats dans les cadres Gevrey ou resurgent (voir [17],[19],[21],[24],[35],[48],

[61],[80]), et des applications a l’etude du spectre de certaines classes

d’operateurs non hermitiens associes a l’equation (Em) ; le cas des operateurs

dont le potentiel V satisfait a la relation V (x, a) = V (−x, a), appeles

operateurs PT -symetriques, a ete etudie dans [26],[28],[31] et [67] (voir [9]

et [10] pour les motivations et les applications en physique).

La deuxieme partie porte sur l’analyse BKW exacte a l’origine de l’equation

singulierement perturbee (Eεm) dans le cas ou l’origine est un point tournant

simple, c’est-a-dire, dans le cas ou le potentiel V admet un zero simple a l’ori-

gine (en physique, c’est souvent la constante de Planck ~ qui joue le role de

“petit” parametre ε).

Dans un but de simplicite et puisque nous ne nous interessons plus a la

dependance en les coefficients du potentiel, nous notons desormais V (q) au

lieu de V (q, a).

La methode BKW exacte (du nom des physiciens Brillouin, Krammers et Went-

zel) consiste a exhiber des solutions de (Eεm) sous forme de series formelles

en ε (dont les coefficients dependent de q) appelees developpements BKW ou

developpements semi-classiques. De tels developpements sont en general diver-

gents et on est conduit a etudier le caractere Gevrey, sommable ou resurgent

de telles solutions par rapport au parametre de perturbation ε (ce que J. Ecalle

appelle resurgence quantique ou coequationnelle dans [35]).

Avant d’appliquer la methode BKW, nous ramenons l’equation (Eεm) a la forme

“redressee”

(1.1)d2Φ

dz2− z

ε2Φ = F (z)Φ,

ou F est une fonction analytique au moins au voisinage de l’origine, grace a

un changement de variable analytique multiforme. Ce changement de variable

est choisi de sorte a redresser localement la geometrie.

Nous construisons une base de solutions BKW de (1.1) qui sont localement

resurgentes en ε−1, voire, resurgentes des lors que F est une fonction entiere.

Ces solutions ne sont en general pas sommables meme dans des cas tres

1.2. PRINCIPAUX RESULTATS DE LA THESE 11

reguliers. Puis nous transportons ces proprietes a l’equation (Eεm) et nous en

deduisons un theoreme de reduction a l’equation d’Airy.

Ces resultats sont a rapprocher du theoreme d’Ecalle (§9 p.40-41, [36]) mais

ils ne relevent pas des memes hypotheses.

1.2 Principaux resultats de la these

1.2.1 Resultats du chapitre 2

Ce chapitre est consacre a l’analyse du phenomene de Stokes de l’equation

(Em) a l’infini, unique point singulier irregulier de (Em).

Nous etablissons de nouvelles relations fonctionnelles verifiees par les coef-

ficients de Stokes-Sibuya et generalisant celles etablies par Y. Sibuya ([68],

p.85).

Notre methode s’appuie sur l’etude de systemes fondamentaux de solutions

bien normalisees a l’origine (dans le cadre de la theorie de Fuchs) et a l’infini

(dans le cadre resurgent-sommable).

Etude au voisinage de l’infini

Le theoreme fondamental suivant generalise le theoreme ([68], p.15) etabli

par Y. Sibuya. La difference essentielle reside ici dans l’utilisation des theories

asymptotiques Gevrey et resurgentes qui fournissent une construction agreable

et naturelle d’une solution canonique bien normalisee :

Theoreme 1.2.1. – 1. L’equation differentielle (Em) admet une unique

solution Φ0(x, a) verifiant la condition suivante :

Φ0 est une fonction analytique de x dans le secteur

Σ0 = |x| > 0, | arg(x)| < 3πm telle que, dans tout sous-secteur strict1 de

Σ0, Φ0 admet un developpement asymptotique a l’infini de la forme 2

TΦ0(x, a) = xr(a)e−S(x,a)φ0(x, a),

1Nous designons par sous-secteur strict de Σ0 un secteur Σδ0 de la forme

Σδ

0= |x| > 0, | arg(x)| ≤ 3π

m− δ avec δ ∈]0, 3π

m[.

2Sauf mention contraire, xα designe la fonction exp (α log(x)) avec log(x) reel pourarg(x) = 0.


uniformement par rapport a a sur tout compact de Cm ; nous avons note :

T est l’operateur “developpement asymptotique”,r(a) ∈ C,S(x, a) ∈ C[a][x

12 ],

φ0 ∈ C[a][[x−12 ]].

– 2. La fonction Φ0 peut etre prolongee analytiquement en x sur le reve-

tement universel de C⋆, et elle est une fonction entiere de a.

Remarque 1.2.2. Concernant l’unicite d’une telle solution, nous montrons en

realite que l’equivalent asymptotique xr(a)e−S(x,a) suffit a caracteriser la solu-

tion Φ0 dans Σ0.

La solution Φ0 permet de construire des systemes fondamentaux de solu-

tions de (Em) et de definir les coefficients de Stokes-Sibuya.

Dans toute la suite, nous adoptons les notations suivantes :

Notation 1.2.3. ω = e2πim et pour λ ∈ C et a = (a1, · · · , am) ∈ Cm,

λ.a := (λa1, . . . , λmam).

Pour tout k ∈ Z, nous introduisons les fonctions

(1.2) Φk(x, a) = Φ0(ωkx, ωk.a),

ou Φ0 est la solution de (Em) definie au theoreme 2.1.1. La fonction Φk est

definie sur le secteur Σk = |x| > 0, | arg(x) + k arg(ω)| < 3πm deduit du

secteur Σ0 par la rotation d’angle 2πkm

.

Theoreme 1.2.4. Pour tout k ∈ Z,

– Φk(x, a) est une fonction analytique de x sur le revetement universel de

C⋆ et une fonction entiere de a.

– Le systeme Φk,Φk+1 constitue un systeme fondamental de solutions de

(Em) sur le secteur Σk ∩ Σk+1 = |x| > 0,−3πm< arg(x) + 2kπ

m< π

m.

Pour tout x ∈ Λk = |x| > 0, | arg(x) + k arg(ω)| < πm (notons que

Λk = Σk−1 ∩ Σk ∩ Σk+1), les deux systemes Φk−1,Φk et Φk,Φk+1 sont des

systemes fondamentaux de solutions. Ils sont donc lies par une relation de la

forme

(1.3)

(Φk−1

Φk

)(x, a) = Sk(a)

(Φk

Φk+1

)(x, a),


Definition 1.2.5. Nous appelons matrice de connexion de Stokes-Sibuya sur

le secteur Λk la matrice Sk(a).

Par construction, la matrice Sk(a) est inversible. Elle est de plus entiere

en a et de la forme :

Sk(a) =

(Ck(a) Ck(a)

1 0

).

Definition 1.2.6. Les coefficients Ck(a) et Ck(a) sont appeles les coefficients

de Stokes-Sibuya de Φk−1 associes respectivement a Φk et a Φk+1.

Proposition 1.2.7. Les coefficients de Stokes-Sibuya de Φk−1 associes res-

pectivement a Φk et a Φk+1 sont des fonctions entieres de la variable a et ils

verifient les relations

(1.4)

Ck(a) = C0(ωk.a), Ck = Ck+m

Ck(a) = C0(ωk.a) = ω−2+2r(ωk .a), Ck = Ck+m

.

En ecrivant de deux facons differentes l’action d’un tour autour de l’origine,

nous obtenons l’equation fonctionnelle suivante liant les matrices de Stokes :

(1.5) S0(a) · · ·Sm−1(a) = (M∞0 ( a))−1,

ou nous avons note M∞0 la matrice de la monodromie a l’infini ecrite dans la

base de solutions (Φ−1,Φ0) (a comparer a la relation fonctionnelle p. 85 [68]).

Etude au voisinage de l’origine

L’existence de cet autre point singulier pour (Em) est une difficulte supple-

mentaire par rapport au cas etudie par Y. Sibuya puisqu’il nous faut prendre

en compte la monodromie a l’origine qui est generiquement non triviale. L’exis-

tence de systemes fondamentaux au voisinage de l’origine est assuree par la

theorie classique de Fuchs.

Notation 1.2.8. Dans toute la suite, nous notons a′ := (a1, . . . , am−1), et pour

tout τ ∈ C,

τ.a′ := (τa1, . . . , τm−1am−1),

et nous introduisons les quantites p = (1 + 4am)12 et s(p) =

1 + p

2.


Theoreme 1.2.9. Il existe deux solutions lineairement independantes uniques

f1,f2 de (Em) telles que

f1(x, a′, p) = xs(p)g1(x, a

′, p) = xs(p)

(1 +

+∞∑

k=1

Ak(a′, p)xk

)

f2(x, a′, p) = λ(a′, p)f1(x, a

′, p) ln(x) + xs(−p)g2(x, a′, p)

ou g1, g2 sont des fonctions entieres de x et de a′, et λ est une fonction entiere

de a′. De plus, g1 est une fonction meromorphe de p avec au plus des poles

simples en les entiers negatifs (i.e., lorsque p ∈ −N⋆) ; les fonctions g2 et λ

sont des fonctions meromorphes de p avec au plus des poles simples en les

entiers positifs (i.e., lorsque p ∈ N⋆).

En particulier, la matrice de monodromie a l’origine M(a′, p) associee au

systeme fondamental de solutions (f1, f2) peut etre calculee explicitement.

L’existence conjointe de deux points singuliers, l’origine et l’infini, induit na-

turellement un probleme de connexion dit de connexion centrale.

Matrices de connexion centrale

Definition 1.2.10. Les matrices Mk(a′, p) definies par

(1.6)

(Φk−1

Φk

)(x, a) = Mk(a

′, p)

(f1

f2

)(x, a′, p)

sont appelees les matrices de connexion 0∞.

Par construction, ces matrices sont inversibles. Nous precisons ici leur pro-

priete essentielle :

Theoreme 1.2.11. Pour tout k ∈ Z, la matrice Mk(a′, p) est une fonction

entiere de a′ ; elle est une fonction holomorphe de p ∈ C \Z et est de la forme

Mk(a′, p) =

(1.7)

Lk(a′, p) Lk(a

′, p)

ωs(p)Lk(ω.a′, p) + 2iπ

mλ(a′, p)ωs(−p)Lk(ω.a

′, p) ωs(−p)Lk(ω.a′, p)

ou Lk(a′, p) et Lk(a

′, p) sont des fonctions entieres de a′.

Ces etudes conjointes permettent d’obtenir de nouvelles relations fonc-

tionnelles verifiees par les coefficients de Stokes-Sibuya et generalisant celles

etablies par Y. Sibuya ([68]).


Equations fonctionnelles et applications

La matrice de monodromie a l’infini M∞0 ecrite dans la base de solutions

(Φ−1,Φ0) et la matrice de monodromie a l’origine M(a′, p) ecrite dans la base

(f1, f2) sont liees par la relation

M∞0 = M−1

0 (a′, p)M(a′, p)M0(a′, p).

Nous pouvons donc traduire la formule (1.5) par la formule suivante :

Proposition 1.2.12. Les matrices de connexion de Stokes-Sibuya satisfont a

la relation fonctionnelle suivante :

(1.8) S0(a)S1(a) · · ·Sm−1(a) = M0(a′, p)M−1(a′, p)M−1

0 (a′, p).

Corollaire 1.2.13. Les matrices de connexion de Stokes-Sibuya verifient la

relation :

Tr (S0(a)S1(a) · · ·Sm−1(a)) = −2 cos(πp)

ou Tr designe la trace.

Corollaire 1.2.14. Lorsque p ∈ N⋆ et avec les notations du theoreme 1.2.9,

les matrices de connexion de Stokes-Sibuya satisfont a la relation

S0(a)S1(a) · · ·Sm−1(a) |λ(a′,p)=0 = (−1)p+1

(1 00 1

).

Le calcul explicite de la fonction λ definie au theoreme 1.2.9 permet d’ob-

tenir une nouvelle relation fonctionnelle :

Theoreme 1.2.15. Nous utilisons les notations du theoreme 1.2.11.

– 1. Supposons p /∈ Z. Supposons de plus que a soit choisi3 de telle maniere

que, pour tout k = 0, · · · , m− 1, L0(ωk.a′, p) 6= 0. Alors

(1.9)L0(a

′, p)

L0(a′, p)= −iω

− 32ω−(m+1) p

2

p sin(πp)

m−1∑

k=0

ωr(ωk.a)+(k+1)p

L0(ωk.a′, p)L0(ωk+1.a′, p).

– 2. Supposons p ∈ N⋆. Supposons egalement que a soit choisi de telle sorte

que, pour tout k = 0, · · · , m− 1, L0(ωk.a′, p) 6= 0, alors

(1.10) iπpω32+ p

2λ(a′, p) =

m−1∑

k=0

ωr(ωk.a)+(k+1)p

L0(ωk.a′, p)L0(ωk+1.a′, p).

3Notons que L0(a′, p) ne peut etre identiquement nulle ; par consequent, ceci est une

hypothese generique sur a.


Ces equations fonctionnelles fournissent des formules exactes pour les coeffi-

cients de Stokes et pour les matrices de connexion centrale lorsque le polynome

Pm est de petit degre ou admet des symetries particulieres. Nous donnons ici

deux exemples d’applications.

Proposition 1.2.16. Considerons (Em) dans le cas ou a′ = 0. Alors

S0(0, am) =

(2e−

iπm cos

(πp

m

)−e− 2iπ

m

1 0

)

ou p = (1 + 4am)1/2. En outre, pourp

m/∈ Z, la matrice de connexion M0 est

egale a

M0(0, p) =

eβm(−p) ω− 1

2

√mπ

Γ(− p

m

)eβm(p) ω

− 12

√mπ

Γ( pm

)

ωs(p)eβm(−p) ω− 1

2

√mπ

Γ(− p

m

)ωs(−p)eβm(p) ω

− 12

√mπ

Γ( pm

)

ou, comme precedemment, s(p) = 1+p2

, et ou βm(p) est une fonction entiere de

p, impaire, et telle que pour tout k ∈ N⋆,

eβm(km) = ±mk.

Proposition 1.2.17. Supposons m = 2. Alors, les coefficients de Stokes-

Sibuya peuvent s’ecrire sous la forme

(1.11)

C0(a) = −2ie−iπa12 cos

(π2(p+ a1)

) Γ(p2

+ a1

2+ 1

2)

Γ(p2− a1

2+ 1

2)e2β(a1,p)

C0(a) = e−iπa1

ou β est une fonction entiere satisfaisant a β(a1, p) = β(a1,−p) = −β(−a1, p).

De plus, les coefficients de la matrice de connexion M0 (voir theoreme 1.2.11)

satisfont, pour p /∈ Z, aux egalites

(1.12)

L0(a1, p) = −i2− p−12 eiπ p

2Γ(p)

Γ(p2− a1

2+ 1

2)eβ(a1,p)

L0(a1, p)L0(ωa1, p) = 2cos(

π2(p+ a1)

)

p sin(πp).


Nous obtenons egalement des formules exactes pour des polynomes Pm de

degre m ≥ 3 admettant certaines symetries et nous conjecturons en particulier

une formule pour le calcul de C0 dans le cas ou m = 4 et a3 = 0.

Dans l’appendice A, nous retrouvons et nous completons en outre les formules

obtenues pour un polynome Pm de degre 1 (respectivement de degre 2) a

l’aide des fonctions speciales de Bessel modifiees (respectivement les fonctions

speciales de Whittaker).

Ces resultats “exacts” peuvent servir pour le calcul de certains groupes de

Galois differentiels associes a l’equation (Em) (voir [32] et [51] par exemple).

En outre, nous relions la notion de resolubilite quasi-exacte de la mecanique

quantique (c’est-a-dire, la recherche de solutions (Em) “quasi-algebriques” au

sens de [79]) a la recherche de solutions “liouvilliennes” et au calcul du groupe

de Galois differentiel associe.

Nous nous interessons egalement au calcul numerique approche des coeffi-

cients de Stokes-Sibuya. En effet, meme si nous obtenons des formules exactes

dans certains cas simples, une formule pour le cas general est hors d’atteinte.

Les travaux de Bakken (que nous decrivons dans la these afin d’etre com-

plets) permettent d’obtenir une formule generale pour le developpement limite

a l’origine a l’ordre 1 mais il reste encore du travail pour obtenir une formule

generale a tout ordre.

Parallelement a ces resultats, compte tenu de la definition des coefficients

de Stokes-Sibuya, nous etudions les procedes de calcul effectif de fonctions ho-

lomorphes definies comme sommes de Borel de certaines series formelles. Le

calcul approche d’une somme de Borel peut se faire par plusieurs methodes :

la methode de sommation au plus petit terme (ce que Poincare appelait la

”methode des astronomes” ([60])) qui peut etre justifiee en toute rigueur dans

le cadre Gevrey (voir notamment [14] et [62]), l’utilisation des approximants de

Pade (developpee de maniere algorithmique dans le cadre Gevrey par J. Tho-

mann notamment [75] et employee dans [6]), l’outil efficace de l’hyperasymp-

totique ([12]) de l’ecole anglo-saxonne ou encore la methode de sommation par

series de factorielles (qui remonte a F. Nevanlinna ([54]), N.E. Norlund ([55])

et G.N Watson ([83]).

Dans l’appendice B, nous nous interessons a cette derniere methode qui a

le merite d’etre exacte. La difficulte par rapport au champ d’applications clas-

sique de cette methode reside dans le caractere ramifie des series formelles ap-

paraissant dans notre etude : nous proposons de fait une (legere) generalisation


de cette methode, que nous testons numeriquement.

Une partie des resultats du chapitre 1 a fait l’objet d’un article paru au

Pacific Journal of Mathematics ([27]).

1.2.2 Resultats du chapitre 3

Ce chapitre porte sur l’analyse BKW exacte a l’origine de l’equation de

Schrodinger singulierement perturbee (Eεm) :

ε2d2Y

dq2= V (q)Y,

avec V analytique au voisinage de l’origine et admettant 0 comme zero simple.

Cette hypothese sur V signifie que q = 0 est un point tournant simple pour

les solutions formelles BKW.

Rappelons que ces solutions BKW sont des combinaisons lineaires de solutions

formelles BKW elementaires de (Eεm) de la forme :

(1.13) Ybkw(q, ε) = e−1

ε

∫ q√V (t)dt

(+∞∑

k=0

Yk(q)εk

).

Ces dernieres sont definies localement en q 6= 0 et de maniere unique a norma-

lisation pres, i.e. a multiplication pres par un developpement formel inversible

de la forme ecε

∑

k≥0

ckεk, c, ck ∈ C, c0 6= 0.

L’etude du caractere sommable ou resurgent de tels developpements formels

(ce que J. Ecalle appelle resurgence quantique ou coequationnelle par opposi-

tion a la resurgence equationnelle,voir [36] et [37]) est une question delicate.

Notre approche consiste a “redresser” localement la geometrie au voisinage

de l’origine via un changement de variable analytique qui transforme (Eεm) en

l’equation “redressee” (1.1) :

d2Φ

dz2− z

ε2Φ = F (z)Φ,

avec F holomorphe au voisinage de z = 0.

Nous nous sommes alors concentres sur cette derniere equation en adoptant un

point de vue plus general : la fonction F est desormais une fonction holomophe

quelconque au voisinage de l’origine (eventuellement entiere).

Plus precisement, nous etudions le caractere resurgent de certaines solutions


BKW formelles bien normalisees.

Concernant le caractere sommable de tels developpements, il semble que nous

perdions tres vite la sommabilite, meme pour des cas tres reguliers, pour ob-

tenir de la multisommabilite mais ce n’est pour l’instant qu’une conjecture

(cette conjecture est a rapprocher des travaux de Balser et Mozo-Fernandez

[7], meme si nous ne sommes pas toutefois sous les memes hypotheses).

Nous construisons une base de solutions BKW de (1.1) qui sont localement

resurgentes en ε voire resurgentes des lors que F est une fonction entiere.

Definition 1.2.18. Un symbole resurgent elementaire Φ(z, ε) est dit de type

Airy local en (z = 0, ε = 0) (respectivement de type Airy) s’il verifie les

conditions suivantes :

1. son support singulier est inclus dans la courbe algebrique

C = (z, ξ), 9ξ2 = 4z3 au voisinage de (z = 0, ε = 0),

2. pour toute direction α, et tout germe de secteur de Stokes (respecti-

vement secteur de Stokes) S relatif a α, toute determination du sym-

bole Φ(z, ε) peut s’ecrire comme la decomposition locale (respectivement

decomposition), pour z ∈ S, d’une fonction confluente (respectivement

d’une fonction confluente resurgente) a support singulier inclus dans C.

Notre resultat principal est le theoreme suivant :

Theoreme 1.2.19. Lorsque F est holomorphe au voisinage de l’origine (res-

pectivement entiere), il existe une famille de solutions BKW elementaires (res-

pectivement elementaires resurgentes) de type Airy local (respectivement de

type Airy) Φbkw(z, ε) de l’equation (1.1).

En outre, en utilisant ce resultat, nous obtenons un theoreme local resur-

gent de reduction a l’equation d’Airy :

(1.14) ε2d2y

ds2= sy,

(l’equation d’Airy est le modele local universel pour un point tournant simple).

Definition 1.2.20. Une constante locale de resurgence (respectivement cons-

tante de resurgence) c(Z, η) est un developpement formel c(Z, ε) =∑

n≥0

cn(Z)εn


tel que son mineur∑

n≥1

cn(Z)ξn−1

Γ(n)definit un germe de fonctions holomorphes

en (Z, ξ) = (0, 0) ∈ Cm × C, m ≥ 1 (respectivement une fonction holomorphe

sur Cm × C, m ≥ 1).

Remarque 1.2.21. Pour une constante locale de resurgence c(Z, ε) =∑

n≥0

cn(Z)εn,

nous demandons donc des estimations de type Gevrey sur les cn(Z) uniformes

pour Z dans un voisinage de l’origine mais en revanche la definition n’impose

rien quant au prolongement analytique dans le plan de Borel du mineur de c.

Theoreme 1.2.22. Supposons que F (z) dans (1.1) soit holomorphe au voi-

sinage de l’origine (resp. une fonction entiere). Alors il existe une constante

locale de resurgence (resp. une constante de resurgence) s(z, ε) telle que, sous

l’action de la transformation

(1.15)

s(z, ε) =∑

k≥0

sk(z)εk, s0(z) = z

Φ(z, ε) =(∂s∂z

)− 12

y(s(z, ε), ε

),

l’equation (1.1) prenne la forme (1.14), pour z (resp. s) au voisinage de l’ori-

gine. De plus, sous l’action de la transformation (1.15), une solution BKW

elementaire de (1.14) est transformee en une solution BKW elementaire de

(1.1).

Ce theoreme est a rapprocher de ceux etablis par T.Aoki et al ([1]) ou F.

Pham ([59]).

Toutefois, la demonstration de ce theoreme ne repose ni sur le calcul mi-

crodifferentiel, ni sur le theoreme d’Ecalle mais sur l’existence de fonctions

confluentes dont la construction est basee sur la resolution d’une equation aux

derivees partielles singuliere.

En particulier, en suivant les idees de la mecanique analytique et de ses

prolongements (voir [52]), nous considerons une quantification de la transfor-

mation canonique afin d’obtenir une representation integrale de type Laplace

de solutions dont le comportement asymptotique est precisement donne par

des symboles BKW bien normalises.

Un travail en cours concerne le prolongement de cette etude au voisinage

d’un point tournant multiple, et dans le cas d’un point tournant simple, lorsque

la fonction F admet des singularites.


Le chapitre 3 a fait l’objet d’une prepublication (en francais) au LAREMA

([63]) et a ete soumis (en anglais).


Chapitre 2

Etude des coefficients deStokes-Sibuya via la resurgenceequationnelle

Dans ce deuxieme chapitre1, nous allons etudier la structure des coefficients

de Stokes-Sibuya associes a l’equation

(Em)d2

dx2Φ(x) =

Pm(x, a)

x2Φ(x), m ∈ N⋆,

ou

Pm(x, a) = xm + a1xm−1 + · · ·+ am, a = (a1, · · · , am) ∈ Cm

est un polynome complexe unitaire de degre m.

Plus precisement, nous allons degager des relations fonctionnelles verifiees

par ces coefficients, qui sont des fonctions transcendantes du parametre a de

l’equation (Em).

Ces relations vont s’obtenir par l’etude detaillee de systemes fondamentaux de

solutions de (Em) particuliers, au voisinage des deux points singuliers de (Em),

a savoir l’origine et l’infini. L’etude au voisinage de l’infini se fera dans un pre-

mier temps dans le cadre de l’analyse classique selon Poincare, puis dans un

deuxieme temps a l’aide de la theorie de la resurgence (equationnelle) d’Ecalle.

L’etude au voisinage de l’origine quant a elle se fera par le biais de la theorie

de Fuchs.

Dans certains cas simples, ces relations fonctionnelles suffisent a determiner

1Une partie de ce chapitre reprend le contenu d’un article commun avec E. Delabaeredans Pacific Journal of Mathematics (voir [27]).

23

24 CHAPITRE 2. COEFFICIENTS DE STOKE-SIBUYA

ces coefficients de Stokes-Sibuya par une formule explicite en fonction des co-

efficients a du polynome Pm.

Nous regarderons egalement differents procedes de calcul numerique approche

de ces coefficients de Stokes-Sibuya.

2.1 Solutions de (Em) au voisinage l’infini : asymp-

totique classique

Nous travaillons ici dans le cadre de l’asymptotique usuelle au sens de

Poincare (voir, par exemple, [29, 39, 57, 82]). Nous nous posons la question de

l’existence d’une solution (formelle ou non) a l’infini de (Em).

Le point de depart de notre etude est le theoreme fondamental d’existence

2.1.1, qui peut etre vu comme une adaptation d’un theoreme classique du a

Sibuya ([68], p.15). Il affirme l’existence et l’unicite d’une solution de (Em)

definie par son developpement asymptotique a l’infini.

2.1.1 Le theoreme fondamental d’existence

Dans la suite, il est commode de voir x comme un element du revetement

universel de C⋆ avec 1 comme point base. Puisque ce revetement peut etre

identifie a C par le biholomorphisme t 7→ x = et, nous associons a x son

argument arg(x) ∈ R.

Dans la suite,

√Pm(x, a)

x= x

m2−1 +

N∑

k=1

bm2−k(a)x

m2−k−1 +O(x

m2−N−2)

designe le developpement asymptotique a l’infini en x de

√Pm(x, a)

x.

Theoreme 2.1.1. – 1. L’equation differentielle (Em) admet une unique

solution Φ0(x, a) satisfaisant a la condition suivante :

Φ0 est une fonction analytique de x dans le secteur

Σ0 = |x| > 0, | arg(x)| < 3πm telle que, dans tout sous-secteur strict2 de

2Nous designons par sous-secteur strict de Σ0 un secteur Σδ0

de la forme

Σδ

0= |x| > 0, | arg(x)| ≤ 3π

m− δ avec δ ∈]0, 3π

m[.

2.1. SOLUTIONS DE (EM) AU VOISINAGE L’INFINI 25

Σ0, Φ0 admet un developpement asymptotique a l’infini de la forme 3

TΦ0(x, a) = xr(a)e−S(x,a)φ0(x, a),

uniformement par rapport a a sur tout compact de Cm ; nous avons note :

T est l’operateur “developpement asymptotique”,

r(a) ∈ C,

S(x, a) ∈ C[a][x12 ],

φ0 ∈ C[a][[x−12 ]].

Plus precisement, nous avons les formules suivantes :

– i) si m est impair,

S(x, a) =2

mx

m2 +

m−12∑

k=1

bm2−k(a)

m2− k

xm2−k ∈ C[a][x

12 ]

r(a) =1

2− m

4

φ0 ∈ C[a][[x−12 ]] de terme constant 1.

– ii) si m est pair,

S(x, a) =2

mx

m2 +

m2−1∑

k=1

bm2−k(a)

m2− k

xm2−k ∈ C[a][x]

r(a) =1

2− m

4− b0(a)

φ0 ∈ C[a][[x−1]] de terme constant 1.– 2. La fonction Φ0 peut etre prolongee analytiquement en x au revetement

universel de C⋆, et elle est une fonction entiere de a.

– 3. La derivee Φ′0 de Φ0 par rapport a x admet un developpement asymp-

totique a l’infini de la forme :

T

(d

dxΦ0(x, a)

)=

d

dx(TΦ0(x, a)) = xr(a)+ m

2−1e−S(x,a)(−1 + o(1))

lorsque x tend vers l’infini dans tout sous-secteur strict de Σ0, uni-

formement par rapport a a.

3Dans tout le theoreme, xα = exp (α log(x)) avec log(x) reel pour arg(x) = 0.


Bien sur, le developpement asymptotique TΦ0(x, a) de Φ0 a l’infini dans

Σ0 peut etre calcule de maniere algorithmique. Par exemple, pour m = 3, nous

obtenons (avec Maple) :

TΦ0(x, a) = e−23x3/2−a1x1/2

x−14×

(1 + (a2 − 1

4a2

1)x−1/2 + (−1

4a2

1a2 + 132a4

1 − 14a1 + 1

2a2

2)x−1 +O(x−3/2)

),

et pour m = 4 :

TΦ0(x, a) = e(−12x2− 1

2a1x) x(− 1

2− 1

2a2+ 1

8a21)×

(1 + ( 1

16a3

1 − 14a1a2 − 1

4a1 + 1

2a3)x

−1 + ( 532a2

1 − 116a2

2 − 164a4

1a2 + 132a2

1a22 + 5

32a2

1a2−

18a1a2a3 + 1

4a4 − 1

4a2 − 9

256a4

1 − 14a1a3 − 3

16+ 1

512a6

1 + 132a3

1a3 + 18a2

3)x−2 +O(x−3)

).

Nous allons demontrer le theoreme 2.1.1 dans la partie §2.2.

Notons qu’en realite, nous pouvons donner un resultat d’unicite plus fort (cf.

theoreme 2.1.7) grace aux considerations du paragraphe suivant, ou nous allons

montrer comment on peut deduire des systemes fondamentaux de solutions de

(Em) a partir de Φ0 seulement.

2.1.2 Coefficients de Stokes-Sibuya

Dans toute la suite, il est commode d’adopter les notations suivantes :

Notation 2.1.2. Pour tout λ ∈ C et tout a = (a1, · · · , am) ∈ Cm, nous notons

λ.a := (λa1, · · · , λmam).

Nous posons :

ω = e2πim

et nous introduisons :

∀k ∈ Z, Φk(x, a) = Φ0(ωkx, ωk.a).

ou Φ0 est donnee au theoreme 2.1.1.

Remarque 2.1.3. Remarquons qu’ici, avec les notations precedentes, nous avons :

ωk.a ∈ Cm mais ωkx /∈ C (ωk+mx 6= ωkx).


Nous allons utiliser la propriete de quasi-homogeneite verifiee par (Em). En

effet, (Em) est invariante sous l’action de la transformation (x, a) 7→ (ωx, ω.a),

de sorte que, avec les notations precedentes, nous deduisons facilement du

theoreme 2.1.1 le lemme suivant :

Lemme 2.1.4. Pour tout k ∈ Z, Φk est une solution de (Em) et est une fonc-

tion entiere de a. Son developpement asymptotique quand x tend vers l’infini

dans le secteur Σk = |x| > 0, | arg(x) + k. arg(ω)| < 3πm, uniformement en a

sur tout compact de Cm, est donne par :

TΦk(x, a) = TΦ0(ωkx, ωk.a)

ou TΦ0 est le developpement asymptotique de Φ0 dans Σ0 decrit dans le theoreme

2.1.1.

Nous deduisons le corollaire suivant :

Corollaire 2.1.5. Pour tout k ∈ Z, la solution Φk decroıt exponentiellement

(i.e. est une solution recessive –“subdominant solution” en anglais, cf [68], p.

19) dans le secteur Λk = | arg(x) + k. arg(ω)| < πm .

π/m

π

π

π

/m

/m

/m

Λ

Λ

Λ

k+1

k−1

−(2k+1)

−(2k+3)

−(2k−1)

−(2k−3)

k

Σ k

ΦkΦk+1

récessive

dominante

Fig. 2.1 – Le secteur Σk

Notons que les secteurs Λk−1, Λk et Λk+1 sont inclus dans Σk (cf. figure 2.1)

et que, par le lemme precedent 2.1.4, chaque solution Φk admet une croissance


exponentielle a l’infini d’ordrem

2dans les deux secteurs Λk−1 et Λk+1 adjacents

a Λk (la famille des Σk forme un bon recouvrement au sens de la theorie

Gevrey).

Ceci permet de montrer le lemme suivant :

Lemme 2.1.6. Pour tout k ∈ Z, Φk,Φk+1 constitue un systeme fondamental

de solutions de (Em) sur le secteur Σk ∩ Σk+1 = |x| > 0,

−3πm< arg(x) + 2kπ

m< π

m, et de plus,

W (Φk,Φk+1) = 2(−1)kωk(1−m2

)+r(ωk+1.a)

ou W designe le Wronskien, tandis que r est donne par le theoreme 2.1.1 .

Demonstration. Par la quasi-homogeneite de Pm(x, a), nous notons que

S(ωx, ω.a) = −S(x, a).

De fait, par le lemme 2.1.4, pour x ∈ Σk,

TΦk(x, a) = ωkr(ωk.a)xr(ωk .a)e(−1)k−1S(x,a)(1 + o(1)).

En utilisant la partie 3. du theoreme 2.1.1 nous avons egalement, pour x ∈ Σk,

TΦ′k(x, a) = (−1)k−1ωkr(ωk.a)xr(ωk .a)+ m

2−1e(−1)k−1S(x,a)(1 + o(1)).

De plus, le coefficient b0 du theoreme 2.1.1 est un polynome quasi-homogene

en a d’ordre m2

de telle sorte que :

r(ωk.a) + r(ωk+1.a) = 1 − m

2.

Par suite, nous avons les egalites : pour x ∈ Σk ∩ Σk+1,

W (Φk,Φk+1) = ΦkΦ′k+1 − Φ′

kΦk+1

= 2(−1)kωk(r(ωk.a)+r(ωk+1.a))+r(ωk+1.a)xr(ωk .a)+r(ωk+1.a)+ m2−1(1 + o(1))

= 2(−1)kωk(1−m2

)+r(ωk+1.a)(1 + o(1)).

Le WronskienW (Φk,Φk+1) etant independant de x, ceci complete la demonstration.

Ces resultats, combines au theoreme 2.1.1 permettent de montrer le resultat

d’unicite suivant :


Theoreme 2.1.7. Il existe une unique solution Φ0 de l’equation (Em) dont

un equivalent asymptotique dans le secteur Σ0 = |x| > 0, | arg(x)| < 3πm

soit xr(a)e−S(x,a), uniformement par rapport a a sur tout compact de Cm, ou

r(a) ∈ C et S(x, a) ∈ C[a][x12 ] sont comme dans le theoreme 2.1.1.

Demonstration. Nous allons montrer que l’equivalent asymptotique xr(a)e−S(x,a)

de Φ0 dans le secteur Λ0 = | arg(x)| < πm suffit a la caracteriser.

En effet, si nous considerons la fonction Φ1(x, a) = Φ0(ωx, ω.a), nous savons

d’apres le lemme 2.1.6 que le couple (Φ0,Φ1) forme un systeme fondamental

de solutions de (Em).

De plus, par le corollaire 2.1.5, nous savons que dans le secteur Λ0, Φ0 y est

recessive alors qu’au contraire la fonction Φ1 y est dominante.

Par suite, supposons qu’il existe une autre solution F de (Em) admettant

pour equivalent asymptotique xr(a)e−S(x,a) dans le secteur Λ0. Comme (Φ0,Φ1)

forme un systeme fondamental de solutions de (Em), F s’exprime comme une

combinaison lineaire de Φ0 et Φ1. Or, toute solution non multiple de Φ0 est

necessairement dominante dans le secteur Λ0 (de par la contribution de la fonc-

tion Φ1) de sorte que, par hypothese, F doit etre un multiple de la fonction

Φ0.

Nous concluons alors que F = Φ0 par unicite de la serie formelle φ0 (dont le

terme constant est egal a 1).

Remarque 2.1.8. L’unicite de Φ0, parmi les fonctions admettant un developpe-

ment asymptotique au sens Gevrey, peut se deduire directement du theoreme

de Watson [50].

Puisque chaque systeme Φk,Φk+1 constitue un systeme fondamental de

solutions de (Em) sur Σk ∩ Σk+1, nous en deduisons, par la theorie classique

des equations differentielles lineaires, l’existence de fonctions Ck(a), Ck(a) ne

dependant que de a, telles que :

(2.1) ∀k ∈ Z, ∀x ∈ Λk = Σk−1 ∩ Σk ∩ Σk+1, Φk−1 = Ck(a)Φk + Ck(a)Φk+1.

Definition 2.1.9. Les fonctions Ck(a) et Ck(a) definies par (2.1) sont appelees

les coefficients de Stokes-Sibuya de Φk−1 associes respectivement a Φk et a


Φk+1. Les matrices Sk(a) :=

(Ck(a) Ck(a)

1 0

)sont appelees les matrices de

connexion de Stokes-Sibuya.

En derivant les egalites precedentes (2.1) par rapport a la variable x, nous

obtenons les formules suivantes :

(2.2) Ck(a) =W (Φk−1,Φk+1)

W (Φk,Φk+1)

et

(2.3) Ck(a) =W (Φk−1,Φk)

W (Φk+1,Φk).

En utilisant le fait que les Φk sont des fonctions entieres de a, nous deduisons

de (2.2), (2.3) et du lemme 2.1.6 que les coefficients de Stokes-Sibuya sont des

fonctions entieres de la variable a. De plus, il s’ensuit de la definition des Φk,

de (2.3) et du lemme 2.1.6 que Ck(a) = C0(ωk.a), et que Ck(a) = C0(ω

k.a) =

ωm−2+2r(ωk .a). En particulier, puisque ωm = e2πi, nous avons : pour tout k ∈ Z,

Ck = Ck+m et Ck = Ck+m.

Resumons nos resultats :

Theoreme 2.1.10. Pour tout k ∈ Z nous notons

(2.4) Φk(x, a) = Φ0(ωkx, ωk.a),

ou Φ0 est la solution de (Em) definie au theoreme 2.1.1. Alors, pour tout k ∈ Z,

– Φk(x, a) est une fonction analytique de x sur le revetement universel de

C⋆ et elle est une fonction entiere de a.

– Le systeme Φk,Φk+1 constitue un systeme fondamental de solutions de

(Em) sur Σk ∩ Σk+1.

– Nous avons

(2.5)

(Φk−1

Φk

)(x, a) = Sk(a)

(Φk

Φk+1

)(x, a),

ou la matrice de connexion de Stokes-Sibuya Sk(a) est inversible, et est

une fonction entiere de a. De plus,

(2.6) Sk(a) = Sk−1(ω.a), Sk(a) = S0(ωk.a).


– Les coefficients de Stokes-Sibuya Ck(a) et Ck(a) de Φk−1 associes respec-

tivement a Φk et a Φk+1 sont des fonctions entieres de a et

(2.7)

Ck(a) = C0(ωk.a), Ck = Ck+m

Ck(a) = C0(ωk.a) = ω−2+2r(ωk.a), Ck = Ck+m

Pour tout k ∈ Z, le prolongement analytique de Φk−1,Φk constitue un

systeme fondamental de solutions de (Em) (par le lemme 2.1.6, le Wrons-

kien W (Φk−1,Φk) ne s’annule pas). En particulier, il existe une unique ma-

trice 2 × 2 M∞k (a) inversible, entiere en a, telle que

(Φk−1

Φk

)(ωmx, a) =

M∞k (a)

(Φk−1

Φk

)(x, a).

Definition 2.1.11. Les matrices 2 × 2 M∞k (a), k ∈ Z, definies par

(2.8)

(Φk−1

Φk

)(ωmx, a) = M

∞k (a)

(Φk−1

Φk

)(x, a),

sont appelees les matrices de monodromie a l’infini.

Par definition des Φk, nous notons que M∞k (a) = M

∞0 (ωk.a). De fait,

(Φ−1

Φ0

)(x, a) = S0(a) · · ·Sm−1(a)

(Φm−1

Φm

)(x, a)

= S0(a) · · ·Sm−1(a)

(Φ−1

Φ0

)(ωmx, ωm.a).

Etant donne que

(Φ−1

Φ0

)est entiere en a, nous obtenons :

(Φ−1

Φ0

)(x, a) = S0(a) · · ·Sm−1(a)

(Φ−1

Φ0

)(ωmx, a)

= S0(a) · · ·Sm−1(a)M∞0 (a)

(Φ−1

Φ0

)(x, a),

et Φ−1,Φ0 etant un systeme fondamental de solutions, cela nous donne :

Theoreme 2.1.12. Pour tout k ∈ Z, la matrice de monodromie a l’infini

M∞k (a) est inversible, entiere en a, et verifie la relation

(2.9) M∞k (a) = M

∞0 (ωk.a).


De plus, les matrices de connexion de Stokes-Sibuya satisfont a la relation

fonctionnelle :

(2.10) S0(a) · · ·Sm−1(a) = (M∞0 ( a))−1.

La relation (2.10) generalise une relation fonctionnelle due a Sibuya [68],

p. 85. Malheureusement, d’une maniere generale, la matrice de monodromie a

l’infini M∞0 est difficile a calculer. Nous reviendrons a cette question dans la

partie 2.5.

2.2 Solutions de (Em) au voisinage de l’infini :

point de vue resurgent

Le theoreme 2.1.1 peut etre demontre avec les methodes employees dans

le livre de Sibuya [68] et, en fait, le theoreme 2.1.1 est prouve dans [53, 5].

Toutefois, en utilisant le point de vue resurgent, nous allons obtenir un resultat

plus fort d’une maniere plus simple.

Nous avons voulu presenter cette demonstration car, s’il est vrai que les

methodes et les idees employees sont bien connues, il apparaıt que le probleme

de la dependance (analytique) par rapport aux parametres de l’equation (Em)

(i.e. les coefficients de Pm(x, a)) n’a pas jusqu’a present fait l’objet d’une ana-

lyse rigoureuse et complete4.

Le lecteur non familiarise avec la theorie de la resurgence d’Ecalle pourra

consulter l’appendice C.

2.2.1 Resurgence des solutions de (Em)

Venons-en a la demonstration proprement dite du theoreme 2.1.1. L’idee

principale est de considerer le developpement asymptotique TΦ0 du theoreme

2.1.1 comme une solution formelle de l’equation (Em), et de montrer que Φ0

peut etre realisee a partir de TΦ0 comme somme de Borel par rapport a une

variable convenable z = z(x, a) (ou z, selon la parite de m) que nous allons

definir ci-apres, uniformement en a pour a dans tout compact donne.

4La redaction de cette section repond du reste a la demande du referee de notre article[27]

2.2. POINT DE VUE RESURGENT 33

Nous commencons par un lemme preliminaire permettant de transformer

l’equation (Em) en une forme normale. Ce dernier est base sur la transformation

de Green-Liouville, mais pour des raisons techniques, nous allons distinguer le

cas m impair du cas m pair.

Dans toute la suite, nous supposons que a est dans compact arbitraire

donne K ⊂ Cm.

Le cas m impair

Nous considerons la transformation de Green-Liouville :

(2.11)

z = z(x, a) =

∫ x√Pm(t, a)

tdt

Ψ(z, a) =Pm(x, a)

14

√x

Φ(x, a)

ou le developpement en serie de Laurent-Puiseux en x de z(x, a),

z(x, a) =2

mx

m2 +

m−12∑

k=1

bm2−k(a)

m2− k

xm2−k +O(x−

12 ) ∈ x

m2 C[a]x−1,

coıncide avec l’application x 7→ S(x, a) definie au theoreme 2.1.1 modulo une

fonction analytique (multivaluee) s’annulant a l’infini. Notons que, siX↓ πC

(resp.Z↓ πC

) est la surface de Riemann (ramifiee) de x1/2 (resp. z1/m), alors

il existe un compact B (dependant de K) (resp. B) tel que l’application

(x, a) ∈ π−1(C\B) ×K 7→ (z(x, a), a) ∈ π−1(C\B) ×K est bi-holomorphe.

Remarquons que par quasi-homogeneite de Pm(x, a),

(2.12) z(ωx, ω.a) = ωm2 z(x, a).

La transformation (2.11) change (Em) en l’equation suivante :

(2.13) − d2

dz2Ψ + (1 − F (z, a))Ψ = 0,

qui est notre forme normale desiree.


Il est utile de voir qu’etudier (Em) a l’infini dans la variable x revient a

etudier (2.13) a l’infini dans la variable z. L’application reciproque x : (z, a) 7→x(z, a) peut etre identifiee a son developpement en serie de Laurent-Puiseux

(2.14) x(z, a) =(m

2z) 2

m+O(1) ∈ z

2m C[a]z− 2

m,

et elle verifie, grace a l’egalite (2.12), la relation :

(2.15) x(ωm2 z, ω.a) = ωx(z, a).

Dans (2.13), F (z, a) est definie par :

(2.16)

F (z, a) = −xP′m(x, a) + Pm(x, a)

4Pm(x, a)2−x2

(1

4

P ′′m(x, a)

Pm(x, a)2− 5

16

(P ′m(x, a))2

Pm(x, a)3

)|x = x(z, a).

Nous deduisons de (2.14) que :

(2.17) F (z, a) =m2 − 4

4m2z2+O(z−2− 2

m ) ∈ 1

z2C[a]z− 2

m

est une fonction analytique a l’infini de z−1/m, uniformement en a ∈ K. Il est

aise de montrer l’existence d’une unique solution formelle Ψ+(z, a) de (2.13)

satisfaisant a :

(2.18) Ψ+(z, a) = e−zψ+(z, a),

ou

(2.19) ψ+(z, a) = 1 ++∞∑

n=0

αn(a)

znm

+1∈ C[a][[z−

1m ]]

avec 1 comme terme constant. De plus, le developpement en serie formelle

ψ+(z, a) satisfait a l’equation differentielle ordinaire suivante :

(2.20) − d2

dz2ψ+ + 2

d

dzψ+ − F (z, a)ψ+ = 0.

Par ailleurs, grace a la propriete de quasi-homogeneite de Pm, et de (2.15)

et (2.16), nous voyons que :

(2.21) F (ωm2 z, ω.a) = F (z, a).

Definissant

(2.22) ψ−(z, a) = ψ+(ωm2 z, ω.a),


nous deduisons l’existence d’une unique solution formelle Ψ−(z, a) de (2.13)

telle que Ψ−(z, a) = ezψ−(z, a) avec ψ− ∈ C[a][[z−1m ]] de terme constant

egal a 1. Notons que Ψ+,Ψ− sont lineairement independantes, de sorte que

(Ψ+,Ψ−) forme un systeme fondamental de solutions formelles pour l’equation

differentielle lineaire du second ordre (2.13).

La serie formelle ψ± verifie les proprietes suivantes :

Proposition 2.2.1. Le developpement en serie formelle ψ+(z, a) = 1+

+∞∑

n=0

αn(a)

znm

+1∈

C[a][[z−1m ]] (resp. ψ−(z, a) = ψ+(ω

m2 z, ω.a)) est sommable de Borel par rapport

a z, uniformement en a pour a dans tout compact de Cm, pour toute direction

de sommation excepte celles d’argument π mod (2π) (resp. 0 mod (2π)).

Demonstration. Nous devons analyser les proprietes analytiques du mineur

(2.23) ψ+(ζ, a) =+∞∑

n=0

αn(a)

Γ( nm

+ 1)ζ

nm ∈ C[a][[ζ

1m ]].

de ψ+(z, a). A cet effet, nous revenons a l’equation (2.20). Au lieu de considerer

cette equation differentielle, nous allons plutot considerer sa deformation,

(2.24) − d2

dz2ψ + 2

d

dzψ − F (z, a) + εF (z, a)(1 − ψ) = 0,

ou ε est un parametre de perturbation. L’introduction d’un tel parametre va

nous permettre de reecrire ψ+ et son mineur ψ+ dans une forme analysable,

puisque (2.24) redonne (2.20) quand ε = 1. Nous recherchons maintenant une

solution formelle de (2.24) sous la forme d’un developpement en serie normalise

par rapport a ε :

(2.25) ψ(z, a, ε) = 1 ++∞∑

n=0

ψn(z, a)εn, ψn ∈ 1

zC[a][[z−

1m ]].

En injectant (2.25) dans (2.24) et en identifiant les puissances de ε, nous ob-

tenons :

(2.26)

− d2

dz2ψ0 + 2

d

dzψ0 = F (z, a)

− d2

dz2ψn+1 + 2

d

dzψn+1 = F (z, a)ψn, n ≥ 0.


Par transformation de Borel, ce systeme se traduit en terme des mineurs

ψn(ζ, a) des ψn(z, a) par les equations de convolution suivantes :

(2.27)

−ζ(2 + ζ)ψ0 = F

−ζ(ζ + 2)ψn+1 = ψn ∗ F , n ≥ 0,

ou F (ζ, a) designe le mineur de F (z, a), tandis que ∗ designe le produit de

convolution (cf. (C.1)).

Il s’agit maintenant d’analyser les proprietes analytiques de

(2.28) ψ(ζ, a, ε) =

+∞∑

n=0

ψn(ζ, a)εn.

Le point crucial de cette analyse va venir des proprietes de F .

En ecrivant

(2.29) F (z, a) =+∞∑

n=0

fn(a)

z2nm

+2∈ 1

z2C[a]z− 2

m,

nous savons que

(2.30) G(z) =

+∞∑

n=0

gn

z2nm

+2avec gn = sup

a∈K|fn(a)|,

est une fonction analytique a l’infini de la variable z−1/m. Par consequent, son

mineur

(2.31) G(ζ) =+∞∑

n=0

gn

Γ(2nm

+ 2)ζ

2nm

+1 ∈ ζCζ 2m

est une fonction entiere de la variable ζ1/m (avec une croissance exponentielle a

l’infini au plus d’ordre 1). Ainsi, si Cm designe la surface de Riemann de ζ1/m,

alors

F (ζ, a) =

+∞∑

n=0

fn(a)

Γ(2nm

+ 2)ζ

2nm

+1 ∈ ζC[a]ζ 2m

est une fonction holomorphe de (ζ, a) ∈ Cm ×K telle que :

(2.32) ∀(ζ, a) ∈ Cm ×K, |F (ζ, a)| ≤ G(|ζ |).

En utilisant le fait que F est une fonction holomorphe de (ζ, a) ∈ Cm × K

telle que F (ζ, a) = O(ζ) uniformement en a ∈ K, et en utilisant des proprietes


du produit de convolution, nous deduisons facilement de (2.27) que chaque

ψn appartient a l’espace C[a]ζ 1m et peut etre prolonge analytiquement a

˜C\0,−2 ×K, ou ˜C\0,−2 est le revetement universel de C\0,−2.Pour 0 < ρ < 2, nous definissons maintenant le domaine etoile

(2.33) Ωm(ρ) = ζ ∈ Cm, |ζ + 2| > ρ, ∀ζ1 ∈ [0, ζ ], |ζ1 + 2| > ρ ⊂ Cm

ou ζ designe la projection de ζ par l’application naturelle Cm → C. Nous

introduisons aussi la suite de fonctions analytiques hn(ζ) definie pour ζ ∈ Cm

par :

(2.34)

ρζh0 = G

ρζhn+1 = hn ∗ G, n ≥ 0.

En comparant (2.34) a (2.27), et en utilisant (2.32), nous obtenons :

(2.35) ∀(ζ, a) ∈ Ωm(ρ) ×K, ∀n ∈ N, |ψn(ζ, a)| ≤ hn(|ζ |).

Ceci se montre par une recurrence facile. Nous detaillons juste ici le cas n = 0

et le cas n = 1.

Pour tout (ζ, a) ∈ (Ωm(ρ)\0) ×K nous avons dans un premier temps :

|ψ0(ζ, a)| =|F (ζ, a)||ζ ||ζ + 2| ≤

G(|ζ |)|ζ |ρ = h0(|ζ |),

et cette inegalite s’etend a ζ = 0 par continuite. Cela prouve (2.35) pour n = 0.

Par suite, pour tout (ζ, a) ∈ (Ωm(ρ)\0) ×K :

|ψ1(ζ, a)| =|F ∗ ψ0(ζ, a)||ζ ||ζ + 2| ≤ |

∫ ζ

0F (η, a)ψ0(ζ − η, a)dη|

|ζ |ρ .

En ecrivant ζ = |ζ |eiθ et en faisant le changement de variable η = teiθ, nous

obtenons :∣∣∣∣∫ ζ

0

F (η, a)ψ0(ζ − η, a)dη

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣

∫ |ζ|

0

F (teiθ, a)ψ0((|ζ | − t)eiθ, a)dt

∣∣∣∣∣

≤∫ |ζ|

0

|F (teiθ, a)|.|ψ0((|ζ | − t)eiθ, a)|dt ≤∫ |ζ|

0

G(t)h0(|ζ | − t)dt = G ∗ h0(|ζ |).

Par consequent, pour tout (ζ, a) ∈ (Ωm(ρ)\0) ×K,

|ψ1(ζ, a)| ≤G ∗ h0(|ζ |)

|ζ |ρ = h1(|ζ |).


Cela donne (2.35) pour n = 1 par un argument de continuite.

Desormais, h(ζ, ε) =+∞∑

n=0

hn(ζ)εn n’est rien d’autre que le mineur du developpe-

ment en serie h(z, ε) =

+∞∑

n=0

hn(z)εn, ou les hn sont definis recursivement par :

(2.36)

−ρ ddzh0 = G

−ρ ddzhn+1 = hnG, n ≥ 0.

Ceci signifie que h satisfait a l’equation differentielle ordinaire suivante :

(2.37) −ρ ddzh = εG(z)h +G(z).

De (2.30), nous voyons que G est integrable a l’infini, de sorte que la fonction

(2.38) (z, ε) 7→ e−ερ

R z+∞ G(z′)dz′ − 1

ε

est une solution de l’equation (2.37) holomorphe pour z dans un voisinage de

l’infini de la surface de Riemann de z1m et ε ∈ D(0, R), R > 1.

En outre, son developpement en serie de Taylor en ε = 0 est exactement

h(z, ε) =+∞∑

n=0

hn(z)εn.

Par suite, en posant :

G(z) =

∫ z

+∞G(z′)dz′ ∈ z−1Cz− 2

m,

nous en deduisons que :

(2.39) ∀n ∈ N, hn(z) =(−1)n+1

ρn+1

1

(n+ 1)!Gn+1(z).

Comme G est une fonction analytique a l’infini de la variable z−2m , nous en

deduisons que son mineur G est une fonction entiere de la variable ζ2m , avec

au plus une croissance exponentielle a l’infini d’ordre 1 en ζ ∈ Cm : il existe

(c, B0) ∈]0,+∞[2 telles que, pour tout ζ ∈ Cm, on ait

(2.40) |G(ζ)| ≤ ceB0|ζ|.


De (2.39) et (2.40), nous deduisons alors les majorations suivantes :

(2.41) ∀n ∈ N, |hn(ζ)| =

∣∣∣∣1

ρn+1(n+ 1)!G∗(n+1)(ζ)

∣∣∣∣ ≤cn+1|ζ |n

ρn+1(n+ 1)!n!eB0|ζ|.

Nous obtenons donc :

(2.42) ∀n ∈ N, |hn(ζ)| ≤1

(n+ 1)!

(c

ρ

)n+1

eB|ζ|

avec B = B0 + 1 > 0.

Nous en deduisons finalement que h(ζ, ε) definit une fonction holomorphe

en (ζ, ε) ∈ Cm ×D(0, R), avec une croissance exponentielle au plus d’ordre 1

a l’infini en ζ , uniformement en ε ∈ D(0, R) et plus precisement qu’il existe

A,B ∈]0,+∞[ tels que

∀(ζ, ε) ∈ Cm ×D(0, R), |h(ζ, ε)| ≤ AeB|ζ|.

Ce dernier resultat, mis avec (2.35), montre que le developpement en serie

ψ(ζ, a, ε) =+∞∑

n=0

ψn(ζ, a)εn converge uniformement pour ζ sur tout compact de

Ωm(ρ), a ∈ K et ε ∈ D(0, R), et de plus,

∀(ζ, a, ε) ∈ Ωm(ρ) ×K ×D(0, R), |ψ(ζ, a, ε)| ≤ h(|ζ |, |ε|) ≤ AeB|ζ|.

En faisant ε = 1, nous deduisons le meme resultat pour ψ+(ζ, a) : holomor-

phie en Ωm(ρ) ×K, croissance exponentielle au plus d’ordre 1 a l’infini en ζ ,

uniformement en a ∈ K.

Puisque ρ > 0 peut etre choisi arbitrairement petit, nous avons montre que,

excepte pour les directions d’argument α = π mod (2π), il n’y a pas de singu-

larites sur la demi-droite arg ζ = α et, ψ+(ζ, a) ayant une croissance exponen-

tielle au plus d’ordre 1 a l’infini en ζ , uniformement en a ∈ K, nous deduisons

que ψ+(z, a) est sommable de Borel par rapport a z, uniformement en a pour

a dans tout compact de Cm, pour toute direction de sommation excepte celles

d’argument π mod (2π).

Grace a (2.22), un resultat analogue peut etre obtenu pour ψ−(z, a). La

proposition 2.2.1 est demontree.

La proposition 2.2.1 est suffisante pour prouver le theoreme 2.1.1. Soit

φ0(x, a) ∈ C[a][[x−12 ]] definie par la formule suivante :

xr(a)e−S(x,a)φ0(x, a) =

√x

Pm(x, a)14

e−zψ+(z, a) |z = z(x, a).


Par definition des ψ+, le membre de gauche de cette egalite est une solution

formelle de l’equation (Em).

Nous savons par la proposition 2.2.1 que ψ+(z, a) est sommable de Borel pour

la direction d’argument 0. Pour a dans un compact K de Cm, cela nous permet

de definir la fonction

Φ0(x, a) =

√x

Pm(x, a)14

e−zs0ψ+(z, a) |z = z(x, a),

qui est une solution analytique de (Em) pour z dans un voisinage sectoriel

de l’infini d’ouverture ] − π2, π

2[ et a dans K. Notons que la taille du voisi-

nage sectoriel depend de K. Par l’application reciproque z ↔ x (donnee par

(2.14)), cela correspond a un voisinage sectoriel de l’infini de la variable x

d’ouverture ] − πm, π

m[. Par la proposition 2.2.1 de nouveau, Φ0 peut etre pro-

longee analytiquement en variant les directions de sommation sur ] − π, π[.

Cela montre que Φ0 est holomorphe dans un voisinage sectoriel de l’infini de

la variable x Σ′0 d’ouverture ] − 3π

m, 3π

m[ et, par construction, Φ0 est asymptote

a xr(a)e−S(x,a)φ0(x, a) a l’infini dans Σ′0, uniformement en a ∈ K.

Par ailleurs, l’unicite d’une telle solution a deja ete montree dans le theoreme

2.1.7.

Par suite, puisque pour tout sous-secteur strict Σ de Σ0 l’ensemble Σ\Σ∩Σ′0

est borne, tout ce que nous avons a faire pour obtenir le point 1. du theoreme

2.1.1 est de montrer que Φ0 peut etre prolongee analytiquement en x ∈ Σ0.

Ceci est une consequence du theoreme de Cauchy-Kovalevskaya : prenons un

point x0 dans Σ′0 et considerons la donnee (Φ0(x0, a),Φ

′0(x0, a)). Alors Φ0 est

uniquement definie par cette condition de Cauchy, qui est holomorphe en a ∈K. Puisque l’equation differentielle lineaire (Em) est holomorphe en (x, a) ∈C⋆×C, nous en concluons que Φ0 peut etre prolongee analytiquement a C⋆×K,

ou C⋆ designe le revetement universel de C⋆. Nous terminons en notant que K

peut etre choisi arbitrairement. Cela montre egalement le point 2. du theoreme

2.1.1.

La partie (3) du theoreme 2.1.1 decoule du fait que la sommation de Borel par

rapport a z commute avec la derivationd

dz.

Par dela la demonstration du theoreme 2.1.1, nous avons obtenu le resultat

interessant suivant :


Proposition 2.2.2. Lorsque m est impair, la fonction analytique Φ0 du theoreme

2.1.1 est donnee par :

(2.43) Φ0(x, a) =

√x

Pm(x, a)14

e−zsαψ+(z, a) |z = z(x, a),

pour x dans un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture ] − πm− 2α

m, π

m− 2α

m[,

uniformement en a pour a dans un compact quelconque de Cm, ou la direction

de sommation de Borel α varie entre ] − π,+π[.

Les arguments utilises pour prouver la proposition 2.2.1 peuvent etre etendus

pour analyser la structure analytique complete du mineur ψ+(ζ, a) de ψ+(z, a).

Les techniques employees sont identiques a celles utilisees dans [48] et [40].

C’est l’objet de la proposition suivante :

Proposition 2.2.3. Le mineur ψ+(ζ, a) ∈ C[a]ζ 1m (resp. ψ−(ζ, a) ∈ C[a]ζ 1

m)de ψ+(z, a) (resp. ψ−(z, a)) peut etre prolonge analytiquement en (ζ, a) ∈

˜C\0,−2×Cm (resp. (ζ, a) ∈ ˜C\0,+2×Cm), ou ˜C\0,±2 est le revetement

universel de C\0,±2. De plus, ψ± admet une croissance exponentielle au

plus d’ordre 1 a l’infini en ζ, uniformement en a pour a dans n’importe quel

compact de Cm.

Demonstration. Etant donne la relation (2.22), il suffit de montrer le resultat

pour ψ+(ζ, a) seulement.

Dans la demonstration precedente, nous avons realise ψ+(ζ, a) comme somme

d’une serie de fonctions ψn(ζ, a) qui se prolongent analytiquement sur le revetement

universel de C\0,±2. Nous avons egalement montre la convergence uniforme

de cette serie dans le domaine Ωm(ρ), de sorte que, quand ρ tend vers 0, ψ+

se prolonge sur l’ouvert du revetement universel ˜C\0,−2 ×Cm consistant a

enlever chacune des m demi-droites au-dessus de ] −∞,−2].

Il s’agit maintenant d’etudier le prolongement analytique de la serie ψ(ζ, a) =+∞∑

n=0

ψn(ζ, a) sur le revetement universel ˜C\0,±2 de C\0,±2.

Dans la suite, nous notons ζ le projete de ζ ∈ ˜C\0,±2 sur C et nous

fixons ρ ∈]0, 1[ et a ∈ K. Nous designons encore par D(0, ρ) le disque ouvert

centre a l’origine et de rayon ρ.

Nous posons :

R′p =

ζ ∈ ˜C\0,±2

/|ζ | ≥ ρ, |ζ + 2| ≥ ρ

.


Chaque element ζ ∈ R′p peut etre represente par des chemins γζ (cf. figure

2.2) de classe C1, d’origine 0 et d’extremite ζ , qui restent dans R′p (excepte

evidemment pour le morceau initial dont la projection sur C est contenue dans

D(0, ρ)).

−2 0

ρ

γζ(t)

ζ

+ +

Fig. 2.2 – Un chemin γζ

Dans la classe d’homotopie a extremites fixes d’un chemin γζ , il existe un

unique chemin de longueur minimale (i.e. un chemin optimal) que nous notons

λζ . Ce chemin est une concatenation de segments (rectilignes) et d’arcs de

cercles, et il est egalement inclus dans R′p (excepte pour son segment initial

issu de l’origine dont la projection sur C est contenue dans D(0, ρ)).

Nous pouvons parametrer le chemin λζ par la longueur de l’arc :

[0, lζ] → ˜C\0,±2 ; t 7→ ηζ(t)

avec ηζ(0) = 0 et ηζ(lζ) = ζ (lζ designant la longueur du chemin λζ).

De plus, ∀t ∈ [0, lζ], |η′ζ(t)| = 1 et |ζ − ηζ(t)| ≤ lζ − t.

Remarquons ici que le chemin λζ n’a pas besoin d’etre symetriquement contrac-

tile puisque les produits de convolution qui vont intervenir ne se font qu’avec

la fonction F qui est une fonction entiere de la variable ζ1m .

Nous notons R′ ′ρ l’ensemble des points de ˜C\0,±2 representes par un

segment de longueur inferieure ou egale a ρ, de sorte que pour de tels elements,

λζ = [0, ζ ].

Nous posons alors : Rρ = R′ρ ∪R′ ′

ρ .

Concernant les proprietes du produit de convolution, nous avons le lemme

suivant :


Lemme 2.2.4. Soit φ une fonction analytique de ζ1m au voisinage de l’origine

se prolongeant analytiquement sans fin a Rρ.

Alors, nous definissons le produit de convolution φ ∗ F par :

∀ζ ∈ Rp, φ ∗ F (ζ) =

∫

λζ

φ(ζ1)F (ζ − ζ1)dζ1 =

∫ lζ

0

φ(ηζ(t))F (ζ − ηζ(t))η′ζ(t)dt.

Ce dernier definit une fonction analytique de la variable ζ1m au voisinage de

l’origine et se prolongeant analytiquement sans fin a Rρ.

Par ailleurs, s’il existe une fonction H continue positive croissante sur R+

telle que |φ(ζ)| ≤ H(lζ), ∀ζ ∈ Rp, alors nous avons la majoration suivante :

∀ζ ∈ Rp, |φ ∗ F (ζ)| ≤ H ∗ G(lζ).

Demonstration. Les proprietes d’analyticite du produit de convolution sont

bien connues (voir l’appendice C).

Par ailleurs, pour ζ ∈ Rp, nous avons :

φ ∗ F (ζ) =

∫ lζ

0

φ(ηζ(t))F (ζ − ηζ(t))η′ζ(t)dt,

d’ou :

|φ ∗ F (ζ)| ≤∫ lζ

0

|φ(ηζ(t))||F (ζ − ηζ(t))|dt

(car |η′ζ(t)| = 1).

Comme

|φ(ηζ(t))| ≤ H(lηζ(t))

|F (ηζ(t))| ≤ G(lηζ(t))

et

∀t ∈ [0, lζ],

lηζ(t) ≤ t

lζ−ηζ(t) ≤ lζ − t,

nous en deduisons finalement, par croissance sur R+ des fonctions H et G :

|φ(ηζ(t))| ≤ H(t)

|F (ηζ(t))| ≤ G(lζ − t).

Par suite, nous obtenons l’inegalite :

|φ ∗ F (ζ)| ≤∫ lζ

0

H(t)G(lζ − t)dt = H ∗ G(lζ).


Nous revenons maintenant aux mineurs ψn.

Nous rappelons que ces derniers sont definis par le systeme d’equations de

convolution suivant :

−ζ(2 + ζ)ψ0 = F

−ζ(ζ + 2)ψn+1 = ψn ∗ F , n ≥ 0.

Il s’agit maintenant de controler les ψn de la meme maniere que dans le feuillet

principal : plus precisement, il faut trouver des fonctions majorantes Hn pour

lesquelles on ait convergence de la serie∑

n≥0

Hn(ζ)ǫn.

Remarquons que nous avons toujours la majoration |ζ | ≤ lζ mais qu’en

revanche, il n’y a pas de constante d uniforme telle que lζ ≤ 1

d|ζ | sur tous les

feuillets de Rp.

Afin de contourner cette difficulte, nous introduisons, pour N ∈ N, les sous-

ensembles de Rp suivants : R(N)p est le sous-ensemble de Rp forme des elements

ζ tels que le chemin λζ optimal associe ne contient pas plus de N arcs de cercle

dont la projection coupe l’axe reel.

Par suite, nous avons : Rp =⋃

N∈N

R(N)p .

En outre, nous avons les proprietes fondamentales suivantes :

∀N ∈ N, ∀ζ ∈ R(N)p , ∃dN ∈]0, 1], lζ ≤ 1

dN|ζ |

∀N ∈ N, ζ ∈ R(N)p ⇒ lζ ⊂ R(N)

p .

Fixons N ∈ N.

Nous definissons maintenant, comme dans le feuillet principal, la suite de fonc-

tions analytiques Hn definie pour ζ ∈ R(N)p par :

(2.44)

ρζH0(ζ) = GdN

ρζHn+1(ζ) = Hn(ζ) ∗ GdN, n ≥ 0,

ou GdN(ζ) = 1

dNG(ζ), ∀ζ ∈ R(N)

p (en particulier, GdNest une fonction entiere

de ζ1m et est croissante sur R+).

La suite de fonctions (Hn)n∈N est precisement la suite de fonctions majorantes

recherchee au sens du lemme suivant :


Lemme 2.2.5.

∀n ∈ N, ∀(ζ, a) ∈ R(N)p ×K, |ψn(ζ, a)| ≤ Hn(lζ).

Demonstration. La demonstration est quasiment identique a celle de la pro-

position 2.2.1.

Soit N ∈ N et (ζ, a) ∈ R(N)p ×K.

Nous procedons par recurrence sur n ∈ N.

Pour le rang n = 0, nous avons les majorations suivantes :

|ψ0(ζ, a)| =|F (ζ, a)||ζ ||ζ + 2| ≤

G(|ζ |)ρdN lζ

≤ H0(lζ)

(car G est croissante sur R+).

Supposons maintenant que |ψn(ζ, a)| ≤ Hn(lζ), et montrons qu’alors :

|ψn+1(ζ, a)| ≤ Hn+1(lζ).

Par definition, nous avons :

|ψn+1(ζ, a)| =|ψn ∗ F (ζ, a)||ζ ||ζ + 2| .

Par hypothese de recurrence et par definition de G, nous obtenons grace au

lemme 2.2.4 la majoration suivante :

|ψn+1(ζ, a)| ≤Hn ∗ G(lζ)

pdN lζ= Hn+1(lζ).

Ceci termine la demonstration.

Nous terminons alors la demonstration exactement de la meme maniere

que dans le cas du feuillet principal, en montrant d’abord que :

∀n ∈ N, ∀N ∈ N, ∀ζ ∈ R(N)p , |Hn(lζ)| ≤

cn+1

(ρdN )n+1(n+ 1)!e

B|ζ|dN ,

puis que finalement :

∀N ∈ N, ∀(ζ, a) ∈ R(N)p ×K, |ψ(ζ, a)| ≤ A′(dN)e

B|ζ|dN

(avec 0 < A ≤ A′(dN),A etB etant les constantes figurant dans la demonstration

de la proposition 2.2.1).


Afin d’etre complet dans cette etude de la resurgence, nous terminons ce

paragraphe par le calcul des derivations etrangeres qui vont nous donner les

relations de resurgence liant ψ+ et ψ−.

Nous designons par

ψ+ (respectivement

ψ−) la singularite associee au mineur

ψ+ (respectivement ψ−) (nous renvoyons le lecteur a l’appendice C pour la

definition precise d’une singularite).

Plus precisement, nous allons montrer le theoreme suivant :

Theoreme 2.2.6. La structure resurgente associee a

ψ+ et

ψ− est donnee

par :

∆2ekiπ

ψ−(ζ, a) = ϑk(a)

ψ+(ζ, a) si k ∈ 2Z

∆2ekiπ

ψ+(ζ, a) = ϑk(a)

ψ−(ζ, a) si k − 1 ∈ 2Z

∆τ

ψ± = 0 sinon,

ou ∆τ designe la derivation etrangere en τ . Les coefficients ϑk(a) sont des

fonctions entieres de a et, pour tout k ∈ Z, ϑk = ϑk+2m.

Demonstration. L’idee de la demonstration (qui nous a ete suggeree par D.

Sauzin) a deja ete utilisee dans [56].

Par la proposition 2.2.3, nous savons que les singularites de ψ+ (respective-

ment ψ−) sont au-dessus −2 et 0 (respectivement 2 et 0). Cependant, etant

donne que ψ+ (respectivement ψ−) appartient a C[a]ζ 1m, les ∆τ non nulles

peuvent etre indexees par les elements τ au-dessus de −2 (respectivement 2)

sur la surface de Riemann Cm de ζ1m .

De plus, le mineur ψ+ (respectivement ψ−) de ψ+ (respectivement ψ−) etant

prolongeable sans fin sur ˜C \ 0,−2 (respectivement sur ˜C \ 0, 2), les derivations

etrangeres ∆τ sont bien definies pour les majeurs∨ψ+ (respectivement

∨ψ−) as-

socies a ψ+ (respectivement a ψ−) et pour la singularite associee

ψ+ (respecti-

vement

ψ−), qui est definie dans le plan de Borel par un majeur∨ψ+ (respecti-

vement∨ψ−) obtenu en translatant ψ+ (respectivement ψ−) (cf. appendice C.1).

Etant donne que ψ+ satisfait a l’equation (2.20) :

− d2

dz2ψ+ + 2

d

dzψ+ − F (z, a)ψ+ = 0,

nous en deduisons par transformation de Borel que la singularite

ψ+ = δ+ ψ+


satisfait a l’equation de convolution :

(2.45) −∂2

ψ+ + 2∂

ψ+ −

F ∗

ψ+ = 0.

Par suite, en derivant etrangerement l’equation (2.45) (cf proposition C.1.18

de l’appendice C.1), nous deduisons finalement que la singularite

φ+ = ∆τ

ψ+

est solution de l’equation lineaire :

(2.46) ∂2

φ+ + 2∂

φ+ +

F ∗

φ+ = 0.

Comme

ψ− = δ+ ψ− est une solution inversible de (2.46), en ecrivant ∆τ

ψ+ =

S ∗

ψ−, cela impose a la singularite

S de verifier l’equation :

(2.47) ∂2

S + 2(δ +

χ) ∗ ∂

S = 0,

ou

χ est la singularite associee a la transformee de Borel de1

ψ−

dψ−dz

.

Nous avons alors le lemme suivant :

Lemme 2.2.7. La singularite

a = ∂

S est nulle.

Demonstration. Etant donne que

S verifie l’equation (2.47), nous en deduisons

que

a verifie l’equation :

∂

a + 2(δ +

χ) ∗

a = 0.

Comme

χ admet une primitive

χ0 exponentiable (les primitives de

χ sont

les mineurs de log(ψ−)(z) + const et log(ψ−)(z) ∈ C[[z−1m ]]), nous posons :

a0 =

a ∗ exp∗(2

χ0).

Nous en deduisons que

a0 verifie l’equation :

∂

a0 + 2

a0 = 0,

i.e. (2−ζ)∨a0(ζ) est une fonction reguliere de ζ donc∨a0(ζ) une fonction reguliere

de ζ , d’ou

a0 = 0.

Corollaire 2.2.8. La singularite

S est un multiple de δ.

Demonstration. Comme ∂

S = 0, nous en deduisons que pour tout majeur∨S,

ζ∨S(ζ) est une fonction reguliere de ζ , d’ou

∨S(ζ) = const

ζ+ reg(ζ) et finalement

S est un multiple de δ.


Nous en deduisons l’existence de ϑτ (a) tel que ∆τ

ψ+ = ϑτ (a)

ψ−.

De la meme maniere, nous obtenons l’existence de ϑτ (a) tel que ∆τ

ψ− =

ϑτ (a)

ψ+, ou τ est au-dessus de +2 sur la surface de Riemann Cm.

Par ailleurs, les coefficients ϑτ (a) sont des fonctions entieres de a : cela

provient directement de la regularite en a des mineurs ψ+, ψ−, et du fait

que le lieu des singularites des mineurs ne depend pas de a, de sorte que

l’automorphisme de Stokes (dans n’importe quelle direction) commute avec le

prolongement analytique en a.

Cependant, ceci sera une consequence du theoreme 2.2.16 que nous allons voir

ci-apres.

Il est egalement interessant de decrire ces relations de resurgence dans le

modele geometrique. Nous proposons ici une autre demonstration du theoreme

2.2.6 en utilisant la linearite de l’equation (2.13).

Pour cela, considerons a nouveau la singularite

φ+ = ∆τ

ψ+ ∈

RES2Z.

Afin de simplifier, nous fixons maintenant τ = 2eiπ (nous nous placons donc

dans le feuillet principal de C \ 2Z).

Par la proposition 2.2.3, ψ+ se prolonge analytiquement a ˜C \ 0,−2 en ad-

mettant une croissance exponentielle au plus d’ordre 1 a l’infini en ζ (uni-

formement en a sur tout compact de Cm) de sorte que nous pouvons definir la

transformee de Laplace de

φ+ pour toute demi-droite ]0, eiθ∞[⊂ C \ 2Z avec

θ 6= 0 [π] (cf. Appendice C1). Cette derniere s’ecrit sous la forme suivante :

Lθ(

φ+

)(z, a) =

[ ∫ reiθ

rei(θ−2π)

e−zζ∨φ+(ζ, a) dζ +

∫ eiθ∞

reiθ

e−zζφ+(ζ, a) dζ

],

ou r ∈]0, 1[ est assez petit, et definit une fonction analytique de la variable z

dans un demi-plan du type ℜ(zeiθ) > C.

Etant donne que la singularite

φ+ est solution de l’equation lineaire (2.46) :

∂2

φ+ + 2∂

φ+ +

F ∗

φ+ = 0,

nous en deduisons que la fonction Lθ(

φ+

)(z, a) satisfait a l’equation :

d2ψ

dz2+ 2

dψ

dz+ F (z, a)ψ = 0.


Par suite, la fonction ezLθ(

φ+

)(z, a) est solution de l’equation (2.13) :

− d2

dz2Ψ + (1 − F (z, a))Ψ = 0.

Par ailleurs, pour θ ∈] − π, π[ (respectivement θ ∈]0, 2π[), nous deduisons de

la proposition 2.2.1 que la fonction analytique e−zsθψ+(z, a) (respectivement

ezsθψ−(z, a)) definie sur un voisinage sectoriel de l’infini Σ de la variable z

d’ouverture ] − π2− θ, π

2− θ[ est dominante (respectivement recessive) dans le

secteur Σ ∩ ℜ(z) < 0.En outre, ces deux fonctions forment un systeme fondamental de solutions de

l’equation (2.13).

Nous fixons maintenant θ ∈]π2, π[.

Par suite, nous en deduisons l’existence de constantes Aτ (a) et Bτ (a) telles

que :

ezLθ(

φ+

)(z, a) = Aτ (a) e

−zsθψ+(z, a) + Bτ (a) e

zsθψ−(z, a).

Or, nous avons les majorations suivantes pour z le long d’une demi-droite

Dθ ⊂ Σ ∩ ℜ(z) < 0 tel que ℜ(zeiθ) >> 0 :

∣∣∣∣∫ reiθ

rei(θ−2π)

e−zζ∨φ+(ζ, a) dζ

∣∣∣∣ ≤Mer|z|

∣∣∣∣∫ eiθ∞

reiθ

e−zζφ+(ζ, a) dζ

∣∣∣∣ ≤A

ℜ(zeiθ) − Ber(B−ℜ(zeiθ)).

(ou A et B sont des constantes positives telles que |φ+(ζ, a)| ≤ AeB|ζ|).

Par suite, nous en deduisons que le long de Dθ, la fonction ezLθ(

φ+

)(z, a)

est recessive (car r peut etre pris arbitrairement proche de 0) et donc que

Aτ (a) = 0 necessairement.

De fait, nous avons donc l’egalite suivante :

Lθ(

φ+

)(z, a) = Bτ (a) sθψ−(z, a).

En particulier, cela implique au niveau formel l’egalite suivante :

T

(Lθ(

φ+

))(z, a) = Bτ (a)ψ−(z, a),


ou T designe l’operateur “developpement asymptotique”.

Ceci nous permet de definir ∆τ au niveau formel par :

∆τψ+ = T

(Lθ(

φ+

)),

et de montrer la relation de resurgence suivante :

∆τψ+(z, a) = Bτ (a)ψ−(z, a).

Nous montrons de la meme maniere l’existence de constantes Bτ (a) telles que :

∆τψ−(z, a) = Bτ (a)ψ+(z, a),

avec τ au-dessus de 2.

Enfin, remarquons que nous avons necessairement l’egalite :

ϑτ (a) = Bτ (a)

par transformee de Borel inverse dans les egalites du theoreme 2.2.6.

En resume :

Theoreme 2.2.9. Pour m impair, il existe une unique serie formelle ψ+(z, a) ∈C[a][[z−

1m ]] (resp. ψ−(z, a) ∈ C[a][[z−

1m ]]) dont le terme constant est 1, telle que

e−zψ+(z, a) (resp. e+zψ−(z, a)) est solution de l’equation (2.13), et de plus :

(2.48) ψ−(z, a) = ψ+(ωm2 z, ω.a).

Ces series formelles ψ± sont resurgentes par rapport a z, dependent holomor-

phiquement de a, et sont sommables de Borel5 par rapport a z, uniformement

par rapport a a sur tout compact.

Leur structure resurgente est donnee par :

∆2ekiπψ−(z, a) = Sk(a)ψ+(z, a) si k ∈ 2Z∆2ekiπψ+(z, a) = Sk(a)ψ−(z, a) si k − 1 ∈ 2Z∆τψ± = 0 sinon,

ou ∆τ designe la derivation etrangere en τ . Les coefficients Sk(a) sont des

fonctions entieres en a et, pour tout k ∈ Z, Sk = Sk+2m.

Definition 2.2.10. Les coefficients Sk(a), k ∈ Z, sont appeles les multiplica-

teurs de Stokes.5Excepte evidemment pour les directions singulieres qui sont decrites par la structure

resurgente.


Le cas m pair

La difference fondamentale avec le cas m impair precedent est maintenant

l’existence du terme b0(a) ln(x) dans le developpement asymptotique de z(x, a)

(defini par (2.11)) a l’infini en x. C’est la raison pour laquelle il est plus judi-

cieux de travailler avec la nouvelle transformation de Green-Liouville suivante :

(2.49)

z = z(x, a) =

∫ x√Pm(t, a) − b0(a)

tdt

Ψ(z, a) =

√√Pm(x, a) − b0(a)

√x

Φ(x, a)

de sorte que le developpement en serie de Laurent-Puiseux de x 7→ z(x, a)

coıncide avec l’application x 7→ S(x, a) definie au theoreme 2.1.1 modulo une

fonction analytique s’annulant a l’infini. Les proprietes de quasi-homogeneite

(2.12) et (2.15) restent encore valables pour les applications (x, a) 7→ z(x, a)

et (z, a) 7→ x(z, a) respectivement.

L’equation (Em) est alors transformee en l’equation preparee :

(2.50) − d2

dz2Ψ +

(1 +

4b0(a)

mz−H(z, a)

)Ψ = 0

avec

(2.51)

H(z, a) = 1 +4b0(a)

mz− Pm(x, a)

(√Pm(x, a) − b0(a))2

−[xP ′

m(x, a) + Pm(x, a) − b0(a)√Pm(x, a)

4√Pm(x, a)(

√Pm(x, a) − b0(a))3

+x2

(1

4

P ′′m(x, a)√

Pm(x, a)(√Pm(x, a) − b0(a))3

− 1

16

(P ′m(x, a))2(5

√Pm(x, a) − 2b0(a))

(Pm(x, a) − b0(a)√Pm(x, a))3(

√Pm(x, a) − b0(a))

)]|z = z(x, a)

et

(2.52) H(z, a) =m2 − 4

4m2z2+O(z−2− 2

m ) ∈ 1

z2C[a]z− 2

m.

De plus, H satisfait a la propriete de quasi-homogeneite (2.21).


Nous montrons aisement l’existence d’une unique solution formelle

Ψ+(z, a) = e−ezψ+(z, a)

de (2.50) satisfaisant a :

ψ+(z, a) = z−2b0(a)

m µ+(z, a)

ou µ+ ∈ C[a][[z−2m ]] de teme constant 1.

Par quasi-homogeneite (b0(ω.a) = −b0(a)), nous deduisons l’existence d’une

autre solution formelle

Ψ−(z, a) = e+ezψ−(z, a) = e+ez z+2b0(a)

m µ−(z, a)

de (2.50) telle que

ψ−(z, a) = ψ+(ωm2 z, ω.a).

A partir de maintenant, l’analyse est similaire a celle produite pour le cas

m impair et cela conduit aux resultats suivants :

Theoreme 2.2.11. Pour m pair, il existe une unique serie formelle ψ+(z, a) =

z−2b0(a)

m µ+(z, a) ou µ+ ∈ C[a][[z−2m ]] de terme constant 1 (resp. ψ−(z, a) =

z+2b0(a)

m µ−(z, a), µ− ∈ C[a][[z−2m ]] de terme constant 1), telle que e−ezψ+(z, a)

(resp. e+ezψ−(z, a)) est solution de l’equation (2.50). De plus,

(2.53) ψ−(z, a) = ψ+(ωm2 z, ω.a).

Les series formelles ψ± sont resurgentes par rapport a z, dependent holomor-

phiquement de a, et sont sommables de Borel par rapport a z, uniformement

par rapport a a sur tout compact.

Il existe un ensemble de fonctions entieres Sk(a), les multiplicateurs de Stokes,

tel que :

∆2ekiπψ−(z, a) = Sk(a)ψ+(z, a) si k ∈ 2Z∆2ekiπψ+(z, a) = Sk(a)ψ−(z, a) si k − 1 ∈ 2Z∆τψ± = 0 sinon,

ou ∆τ designe la derivation etrangere a τ .

Dans ce theoreme, du fait de l’appartenance des solutions formelles µ+ et µ−

a C[a][[z−2m ]], les derivations etrangeres ont besoin d’etre indexees seulement

par les elements de la surface de Riemann de ζ2m . Ainsi, a priori seulement m

multiplicateurs de Stokes gouvernent la structure resurgente.

En revenant au theoreme 2.1.1, nous obtenons finalement le resultat desire :


Proposition 2.2.12. Lorsque m est pair, la fonction analytique Φ0 du theoreme

2.1.1 est donnee par :

(2.54) Φ0(x, a) =

√x

(√Pm(x, a) − b0(a))

12

e−ezsαψ+(z, a) |z = z(x, a),

pour x dans un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture ] − πm

− 2αm, π

m−

2αm

[, uniformement en a pour a dans tout compact de Cm, ou la direction de

sommation de Borel α parcourt ] − π,+π[.

2.2.2 Quelques proprietes des multiplicateurs de Stokes

La quasi-homogeneite va induire quelques proprietes interessantes pour les

multiplicateurs de Stokes.

Nous rappelons le resultat classique en theorie de la resurgence suivant, cf.[34].

Lemme 2.2.13. Soit ψ1(y) une fonction resurgente formelle et soit ν un

nombre complexe non nul. En posant y = νt et ψ2(t) = ψ1(y), nous avons

l’egalite suivante :

∆tντψ2 = ∆y

τψ1.

ou ∆xτ designe la derivation etrangere en τ par rapport a la variable x.

Proposition 2.2.14. Avec les notations des theoremes 2.2.9 et 2.2.11, nous

avons, pour tout k ∈ Z :

Sk(a) = S0(ωk.a).

Demonstration. Dans les theoremes 2.2.9 et 2.2.11 nous introduisons t = z

pour m impair, t = z pour m pair. De (2.48) et (2.53), nous tirons l’egalite

suivante :

ψ+(e+iπt, ω.a) = ψ−(t, a).

Par ailleurs, de la propriete de quasi-homogeneite (2.21) de la fonction F (res-

pectivement H), nous obtenons les relations suivantes :

F (e2iπt, ω2.a) = F (t, a)

H(e2iπt, ω2.a) = H(t, a).

Par unicite de la solution formelle ψ+ de l’equation (2.20), nous en deduisons

l’egalite :

ψ+(t, a) = ψ+(e2iπt, ω2.a).


Fixons maintenant k ∈ Z.

En utilisant le lemme 2.2.13 avec y = eiπt, nous avons :

∆t2ei(k−1)π .eiπψ−(t, a) = ∆y

2ei(k−1)πψ+(y, ω.a).

Maintenant, par definition des Sk (theoremes 2.2.9 et 2.2.11), nous avons les

egalites :

∆t2ei(k−1)π .eiπψ−(t, a) = Sk(a)ψ+(t, a)

∆y

2ei(k−1)πψ+(y, ω.a) = Sk−1(ω.a)ψ−(y, ωa).

Or, nous avons vu que :

ψ+(e+iπt, ω.a) = ψ−(t, a)

donc

ψ−(y, ω.a) = ψ+(e2iπt, ω2.a),

d’ou finalement :

Sk(a) = Sk−1(ω.a)

et donc

Sk(a) = S0(ωk.a).

Puisque ωm = e2πi, nous avons egalement :

Corollaire 2.2.15. Pour tout k ∈ Z,

Sk = Sk+m.

2.2.3 Coefficients de Stokes-Sibuya et multiplicateursde Stokes

Afin de decrire les formules de connexion, nous avons maintenant a notre

disposition deux ensembles de coefficients de Stokes. L’un est compose des coef-

ficients de Stokes-Sibuya Ck(a), et l’autre des multiplicateurs de Stokes Sk(a).

Le theoreme suivant explicite la relation entre ces deux donnees fondamentales.

Theoreme 2.2.16. Nous considerons les coefficients de Stokes-Sibuya Ck donnes

par le theoreme 2.1.10 et les multiplicateurs de Stokes decrits par les theoremes

2.2.9 et 2.2.11. Alors, pour tout k ∈ Z,

(2.55) Sk(a) = ωr(ωk.a)Ck(a)

ou, comme precedemment, ω = e2πim .


Dans ce theoreme, r(a) a ete defini au theoreme 2.1.1. En particulier,

lorsque m est impair, r(a) =1

2− m

4ne depend pas de a, de sorte que (2.55)

signifie simplement :

pour m impair, Sk(a) = ωrCk(a).

Demonstration. Afin de simplifier, nous ne donnerons la demonstration que

pour m impair seulement, de sorte que r =1

2− m

4.

Par la proposition 2.2.14 et la formule (2.7) du theoreme 2.1.10, il suffit

de montrer (2.55) pour k = 0. Par la proposition 2.2.2, Φ0 du theoreme 2.1.1

peut etre definie par :

(2.56) Φ0(x, a) =

√x

Pm(x, a)14

e−zs0ψ+(z, a) |z = z(x, a),

pour z dans un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture ] − π2, π

2[, ce qui cor-

respond pour x a un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture ] − πm, π

m[.

Par suite, par le theoreme 2.1.10, Φ1 est definie par :

Φ1(x, a) = Φ0(ωx, ω.a).

En utilisant (2.56), nous obtenons la representation suivante pour Φ1 :

(2.57) Φ1(x, a) =

√xω

Pm(xω, ω.a)14

e−zs0ψ+(z, ω.a) |z = z(ωx, ω.a),

pour ωx dans un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture ] − πm, π

m[, i.e., x

dans un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture ] − 3πm,− π

m[, de sorte que

z appartient a un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture ] − 3π2,−π

2[. Par

des considerations de quasi-homogeneite, nous avons vu que z(ωx, ω.a) =

eiπz(x, a), (cf. formule (2.12)), de sorte que, par la formule (2.48) du theoreme

2.2.9,

ψ+(z(ωx, ω.a), ω.a) = ψ−(z, a).

Nous avons egalement :

Pm(ωx, ω.a) = ωmPm(x, a).

Cela signifie que (2.57) s’ecrit sous la forme :

Φ1(x, a) = ωr

√x

Pm(x, a)14

ezsπψ−(z, a) |z = z(x, a)


pour x (resp. z) dans un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture ] − 3πm,− π

m[

(resp. ]− 3π2,−π

2[). De meme que pour Φ1, nous avons la representation suivante

pour Φ−1 :

Φ−1(x, a) = ω−r

√x

Pm(x, a)14

ezs−πψ−(z, a) |z = z(x, a)

pour x (resp. z) dans un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture ] πm, 3π

m[ (resp.

]π2, 3π

2[).

Pour comparer Φ−1, Φ0, et Φ1, nous basculons les directions de sommation

afin de sommer le long de la direction 0. Puisque ∆2ei0ψ−(z, a) = S0(a)ψ+(z, a)

(cf. theoreme 2.2.9), ψ− n’est pas sommable de Borel dans la direction 0

si S0(a) 6= 0, mais seulement sommable a droite ou a gauche. Autrement

dit, nous devons tenir compte du phenomene de Stokes. Etant donne que la

derivee etrangere directionnelle (cf. [65]) ∆0ψ−(z, a) se reduit a ∆2ei0ψ−(z, a),

nous obtenons S0ψ−(z, a) = ψ−(z, a) + ∆2ei0ψ−(z, a), ou S0 est l’automor-

phisme de Stokes dans la direction 0 (cf. [65]). Par consequent, s0−ψ−(z, a) =

s0+

[ψ−(z, a) + e−2zS0(a)ψ+(z, a)

], ou s0+ (resp. s0−) est la sommation de Bo-

rel droite (resp. gauche) dans la direction 0.

Nous obtenons :

(2.58)

Φ0(x, a) =

√x

Pm(x, a)14

e−zs0ψ+(z, a) |z = z(x, a)

Φ1(x, a) = ωr

√x

Pm(x, a)14

e+zs0+ψ−(z, a) |z = z(x, a)

Φ−1(x, a) = ω−r

√x

Pm(x, a)14

s0+[ezψ−(z, a) + e−zS0(a)ψ+(z, a)] |z = z(x, a).

Par le theoreme 2.1.10, nous avons la formule de connexion Φ−1 = C0(a)Φ0+

C0(a)Φ1 ; dans cette egalite, en substituant Φ−1, Φ0, Φ1 par les membres de

droite de (2.58) et en identifiant les coefficients de e−zs0ψ+ et e+zs0+ψ−, nous

en deduisons finalement :

S0(a) = ωrC0(a)

C0(a) = ω−2r = ωm−2+2r.

2.3. SOLUTIONS DE (EM) AU VOISINAGE DE 0 : THEORIE DE FUCHS 57

2.3 Solutions de (Em) au voisinage de 0 : theorie

de Fuchs

La relation fonctionnelle (2.10) ne suffit evidemment pas a caracteriser les

coefficients de Stokes-Sibuya Ck. Afin d’obtenir plus d’informations sur ces

derniers (ou sur les multiplicateurs de Stokes Sk, puisque c’est equivalent par

le theoreme 2.2.16), nous allons prendre les informations necessaires provenant

de l’autre point singulier de (Em), i.e., l’origine.

Puisque l’origine est un point singulier regulier de (Em), la theorie classique

de Fuchs va nous permettre de decrire des systemes “canoniques” de solutions

de (Em) au voisinage de l’origine (voir, par exemple, [64, 82]). L’equation ca-

racteristique est s(s − 1) − am = 0, de sorte que1 ± p

2sont les valeurs ca-

racteristiques, avec p = (1 + 4am)12 .

Notation 2.3.1. Dans toute la suite, nous notons a′ := (a1, · · · , am−1), et

pour tout τ ∈ C,

τ.a′ := (τa1, · · · , τm−1am−1),

et nous introduisons les quantites p = (1 + 4am)12 et s(p) =

1 + p

2.

Comme il est bien connu, nous devons distinguer trois cas : p /∈ Z, p ∈Z⋆ et p = 0. Puisque nous avons un degre de liberte quant au choix de la

determination de la racine carree (1 + 4am)12 , nous pouvons eviter le cas ou

p ∈ −N⋆ dans le theoreme suivant.

Theoreme 2.3.2. Il existe deux solutions lineairement independantes uniques

f1,f2 de (Em) telles que

f1(x, a′, p) = xs(p)g1(x, a

′, p) = xs(p)

(1 +

+∞∑

k=1

Ak(a′, p)xk

)

f2(x, a′, p) = λ(a′, p)f1(x, a

′, p) ln(x) + xs(−p)g2(x, a′, p)

ou g1, g2 sont des fonctions entieres de x et de a′, et λ est une fonction entiere

de a′. De plus, g1 est une fonction meromorphe de p avec au plus des poles

simples en les entiers negatifs (i.e., lorsque −p ∈ N⋆). Plus precisement, pour

tout k ∈ N⋆, Ak(a′, p)

k∏

l=1

(p+ l) ∈ C[a′, p].


1. Lorsque p /∈ Z, alors λ(a′, p) = 0 et g2(x, a′, p) = g1(x, a

′,−p).2. Lorsque p ∈ N⋆, alors

g2(x, a′, p) =

(1 +

+∞∑

k=1

Bk(a′, p)xk

)avec Bp = 0.

De plus, pour tout k ∈ N⋆, λ(a′, p), Bk(a′, p) ∈ C[a′], et

λ(ω.a′, p) = ω−pλ(a′, p).

3. Lorsque p = 0, alors λ(a′, p) = 1 et

g2(x, a′, p) =

+∞∑

k=1

Bk(a′, p)xk

avec, pour tout k ∈ N⋆, Bk(a′, p) ∈ C[a′].

Remarque 2.3.3. Quand −p ∈ N⋆, il suffit de changer p en −p dans le theoreme

2.3.2, ce qui correspond en realite a choisir l’autre racine de (1 + 4am)12 , ou,

de maniere equivalente, ce qui correspond a faire faire a am un tour autour de

−1/4.

Remarque 2.3.4. Dans le cas particulier ou a′ = 0, la fonction g1 est une

fonction meromorphe de p avec au plus des poles simples lorsque p ∈ −mN⋆.

L’existence et l’unicite de f1 et f2 provient directement de la theorie de

Fuchs et du choix de normalisation pour g1 et g2. Les proprietes sur les co-

efficients Ak, Bk et λ se demontrent par recurrence, et cela induit les pro-

prietes analytiques de g1 et g2. La propriete de quasi-homogeneite de λ est une

consequence de la quasi-homogeneite de l’equation (Em), ou de la formulation

explicite fournie par la proposition suivante :

Proposition 2.3.5. Considerons p ∈ N⋆ et notons p = km+r, 0 ≤ r ≤ m−1

sa division euclidienne par m. Nous introduisons ε(r) =

1 si r 6= 00 si r = 0

. Alors,

λ(a′, p) =

1

p

p∑

l=k+ε(r)

∑

i1+···+il=p1≤ij≤m

am−i1 · · ·am−il

i1(i1 − p) · · · (i1 + · · ·+ il−1)(i1 + · · ·+ il−1 − p)

avec la convention a0 = 1.

2.3. SOLUTIONS DE (EM) AU VOISINAGE DE 0 59

Demonstration. Tout d’abord, nous deduisons directement de la definition de

λ et des Bk (cf theoreme 2.3.2) les relations suivantes :

λ(a′, p) =1

p

p−1∑

k=0

am−p+kBk(a′, p)

Bk(a′, p) =

1

k(k − p)

k−1∑

l=0

am−k+lBl(a′, p), pour k ∈ 1, . . . , p− 1

avec les conventions a0 = B0 = 1, et aq = 0 si q < 0. Si p = 1, il n’y a rien a

montrer. Nous supposons donc p > 1.

Nous allons alors montrer le lemme suivant :

Lemme 2.3.6.

∀k ∈ 1, . . . , p− 1, Bk(a′, p) =

k∑

r=1

∑

i1+···+ir=k1≤ij≤k

am−i1 · · ·am−ir

i1(i1 − p) · · · (i1 + · · ·+ ir)(i1 + · · · + ir − p)

avec les conventions mentionnees precedemment.

Demonstration. Nous procedons par recurrence sur k.

Pour k = 1, par definition des Bk, nous avons : B1 =am−1

1 − pet la formule

proposee coıncide avec B1 quand k = 1 donc la formule est vraie pour le rang

k = 1.

Supposons la formule vraie pour un k ≥ 1 et montrons qu’elle est vraie au

rang k + 1.

Par definition des Bk, nous avons :

Bk+1(a′, p) =

1

(k + 1)(k + 1 − p)

k∑

l=0

am−k−1+lBl(a′, p)

=1

(k + 1)(k + 1 − p)am−k−1 +

1

(k + 1)(k + 1 − p)

k∑

l=1

am−k−1+lBl(a′, p).


Par hypothese de recurrence, nous en deduisons :

Bk+1(a′, p) =

1

(k + 1)(k + 1 − p)am−k−1

+k∑

l=1

am−k−1+l

(k + 1)(k + 1 − p)

l∑

r=1

∑

i1+···+ir=l1≤ij≤l


i1(i1 − p) · · · (i1 + · · ·+ ir)(i1 + · · · + ir − p).

Par suite, nous obtenons :

Bk+1(a′, p) =

1

(k + 1)(k + 1 − p)am−k−1

+k∑

r=1

k∑

l=r

am−k−1+l

(k + 1)(k + 1 − p)

∑



i1(i1 − p) · · · (i1 + · · · + ir)(i1 + · · ·+ ir − p).

Or, en posant ir+1 = k + 1 − l, nous avons l’egalite :

k∑

l=r

am−k−1+l

(k + 1)(k + 1 − p)

∑



i1(i1 − p) · · · (i1 + · · ·+ ir)(i1 + · · ·+ ir − p)

=∑

i1+···+ir+1=k+1

1≤ij≤k+1

am−i1 · · ·am−ir+1

i1(i1 − p) · · · (i1 + · · · + ir+1)(i1 + · · ·+ ir+1 − p).

En outre, en posant s = r + 1, nous en deduisons la formule :

Bk+1(a′, p) =

am−k−1

(k + 1)(k + 1 − p)

+

k+1∑

s=2

∑

i1+···+is=k+11≤ij≤k+1

am−i1 · · ·am−is

i1(i1 − p) · · · (i1 + · · · + is)(i1 + · · · + is − p),

i.e. :

Bk+1(a′, p) =

k+1∑

s=1

∑

i1+···+is=k+11≤ij≤k+1

am−i1 · · ·am−is

i1(i1 − p) · · · (i1 + · · ·+ is)(i1 + · · · + is − p),

ce qui acheve la recurrence.

2.3. SOLUTIONS DE (EM) AU VOISINAGE DE 0 61

Par un calcul identique a celui qui vient d’etre fait dans la demonstration

du lemme 2.3.6, nous obtenons la formule :

λ(a′, p) =

1

p

p∑

l=1

∑



i1(i1 − p) · · · (i1 + · · · + il−1)(i1 + · · ·+ il−1 − p),

et comme aq = 0 pour q < 0 par convention, cela nous donne finalement :

λ(a′, p) =

1

p

p∑

l=k+ε(r)

∑



i1(i1 − p) · · · (i1 + · · ·+ il−1)(i1 + · · ·+ il−1 − p)

avec a0 = 1 et ε(r) =

1 si r 6= 00 si r = 0

si p = km+r designe la division euclidienne

de p par m.

Cela nous donne la formule souhaitee.

Remarque 2.3.7. Pour p ∈ N⋆,

– dans le cas particulier ou a′ = 0, alors

λ(0, p) |p 6=0 mod m = 0

et pour k ∈ N⋆,

λ(0, p) |p=km =(−1)k+1

m2k−1kΓ(k)2.

– lorsque m = 2, alors,

λ(a′, p) |p=0 mod 2 = − 1

pΓ(p)2

p/2∏

k=1

(a1 + 2k − 1)(a1 − 2k + 1)

λ(a′, p) |p=1 mod 2 =1

pΓ(p)2a1

(p−1)/2∏

k=1

(a1 + 2k)(a1 − 2k)

.

De l’unicite de f1 et f2 du theoreme 2.3.2, et de la quasi-homogeneite de

l’equation (Em), nous obtenons facilement :


Corollaire 2.3.8. Considerons le systeme fondamental de solutions (f1, f2)

du theoreme 2.3.2. Alors,

(2.59)

(f1

f2

)(ωx, ω.a′, p) = N(a′, p)

(f1

f2

)(x, a′, p)

avec

(2.60) N(a′, p) =

(ωs(p) 0

2iπmλ(a′, p)ωs(−p) ωs(−p)

).

De plus

(2.61)

(f1

f2

)(ωmx, a′, p) = M(a′, p)

(f1

f2

)(x, a)

ou

(2.62) M(a′, p) =

(e2iπs(p) 0

2iπλ(a′, p)e2iπs(−p) e2iπs(−p)

)

est la matrice de monodromie a l’origine ecrite dans la base de solutions

(f1, f2).

2.4 Les matrices de connexion 0∞Dans la partie 2.1, nous avons decrit un ensemble de systemes fondamen-

taux de solutions (Φk−1,Φk) de (Em), ou k ∈ Z. Par ailleurs, dans la partie

2.3, nous avons obtenu d’autres systemes fondamentaux de solutions (f1, f2).

Pour comparer ces differents systemes fondamentaux, nous introduisons, pour

tout k ∈ Z :

(2.63)

(Φk−1

Φk

)(x, a) = Mk(a

′, p)

(f1

f2

)(x, a′, p)

ou les matrices Mk(a′, p) sont inversibles.

Definition 2.4.1. Les matricesMk(a′, p) sont appelees les matrices de connexion

0∞.

Nous allons donner maintenant quelques proprietes des Mk. Ces dernieres

dependent essentiellement de p, de meme que le systeme fondamental de solu-

tions (f1, f2).

Nous commencons par un resultat evident.

2.4. LES MATRICES DE CONNEXION 0∞ 63

Proposition 2.4.2. Pour tout k ∈ Z,

(2.64) Mk+1(a′, p) = Mk(ω.a

′, p)N(a′, p)

ou la matrice inversible N(a′, p) est donnee par (2.60).

Demonstration. Par le theoreme 2.1.10, nous avons(

Φk

Φk+1

)(x, a) =

(Φk−1

Φk

)(ωx, ω.a) = Mk(ω.a

′, p)

(f1

f2

)(ωx, ω.a′, p).

Or, par definition de N,

(f1

f2

)(ωx, ω.a′, p) = N(a′, p)

(f1

f2

)(x, a′, p), et

nous concluons par le fait que (f1, f2) est un systeme fondamental de solutions.

Theoreme 2.4.3. a) Pour tout k ∈ Z,

(2.65) detMk(a′, p) =

2(−1)kω(k−1)(1−m

2)+r(ωk .a)

ppour p 6= 0

2(−1)k−1ω(k−1)(1−m2

)+r(ωk .a) pour p = 0.

b) Pour tout k ∈ Z, la matrice Mk(a′, p) est une fonction entiere de a′ et

est de la forme

(2.66)Mk(a

′, p) =

Lk(a′, p) Lk(a

′, p)

ωs(p)Lk(ω.a′, p) + 2iπ

mλ(a′, p)ωs(−p)Lk(ω.a

′, p) ωs(−p)Lk(ω.a′, p)

ou Lk(a′, p) et Lk(a

′, p) sont des fonctions entieres de a′.

c) Pour tout k ∈ Z, la matrice Mk(a′, p) est une fonction holomorphe de

p ∈ C \ Z, et

∀p /∈ Z, ∀a′ ∈ Cm−1, Lk(a′, p) = Lk(a

′,−p).

De plus, Lk peut etre prolongee analytiquement a p ∈ N⋆.

d) Pour tout k ∈ Z,

(2.67) Mk(a′, p) = M0(ω

k.a′, p)

(ωks(p) 0

2iπkmλ(a′, p)ωks(−p) ωks(−p)

).

En particulier,

(2.68) Mm(a′, p) = M0(a′, p)M(a′, p).


Demonstration. Pour simplifier, nous detaillons simplement la demonstration

pour p /∈ Z.

a) Nous deduisons de (2.63) que :

W (Φk−1,Φk) = det(Mk)W (f1, f2)

ou W (., .) designe le Wronskien. Par le lemme 2.1.6, nous savons que

W (Φk−1,Φk) = 2(−1)k−1ω(k−1)(1−m2

)+r(ωk .a),

et, par le theoreme 2.3.2, en prenant la limite quand x→ 0 et utilisant le fait

que le Wronskien est independant de la variable x, nous obtenons :

W (f1, f2) = s(−p) − s(p) = −p.

b) Par (2.63), nous avons ∀k ∈ Z,(

Φk−1

Φk

)(x, a) = Mk(a

′, p)

(f1

f2

)(x, a′, p)

avec Mk(a′, p) =

(βk1(a

′, p) βk2(a′, p)

βk3(a′, p) βk4(a

′, p)

)de sorte que

(2.69) Φk(x, a) = βk3(a′, p)f1(x, a

′, p) + βk4(a′, p)f2(x, a

′, p).

Alors, (Φk−1

Φk

)(ωx, ω.a) = Mk(ω.a

′, p)

(f1

f2

)(ωx, ω.a′, p).

Par la proposition 2.4.2 et le corollaire 2.3.8, nous avons :(

Φk

Φk+1

)(x, a) = Mk(ω.a

′, p)

(ωs(p) 0

0 ωs(−p)

)(f1

f2

)(x, a′, p)

et donc

(2.70) Φk(x, a) = ωs(p)βk1(ω.a′, p)f1(x, a

′, p) + ωs(−p)βk2(ω.a′, p)f2(x, a

′, p).

En comparant (2.69) a (2.70), nous obtenons la forme annoncee pour Mk avec

βk1 = Lk et βk2 = Lk, puisque (f1, f2) est un systeme fondamental de solutions.

b) et c) Nous avons :

Mk = −1

p

(Φk−1 Φ′

k−1

Φk Φ′k

)(f ′

2 −f ′1

−f2 f1

)

de sorte que les proprietes analytiques de Mk decoulent facilement de celles

des Φk (theoreme 2.1.10) et de f1, f2 (theoreme 2.3.2).

d) Le resultat annonce provient de la proposition 2.4.2, par recurrence, en

tirant de (2.60) que N(ω.a′, p) = N(a′, p).

2.5. MATRICES DE STOKES-SIBUYA ET DE CONNEXION 0∞ 65

En complement du theoreme 2.4.3, il est facile de montrer la proposition

suivante (le cas particulier ou a′ = 0 provient de la remarque 2.3.4) :

Proposition 2.4.4. La restriction a p /∈ Z de la fonction Lk(a′, p) (resp.

Lk(a′, p)) admet un prolongement meromorphe en p, avec au plus des poles

simples lorsque p ∈ N (resp. −p ∈ N).

Dans le cas particulier ou a′ = 0, la restriction a p /∈ Z de la fonction Lk(a′, p)

(resp. Lk(a′, p)) admet un prolongement meromorphe en p, avec au plus des

poles simples en p ∈ mN (resp. −p ∈ mN).

2.5 Matrices de Stokes-Sibuya et de connexion

0∞Nous allons rassembler ici les differents resultats concernant les matrices de

monodromie, de Stokes-Sibuya et de connexion 0∞ afin d’obtenir des relations

fonctionnelles.

2.5.1 Premiere equation fonctionnelle

Par definition (2.63) des matrices de connexion 0∞ Mk, et de par les pro-

prietes fondamentales (2.5) des matrices de connexion de Stokes-Sibuya, nous

avons pour tout k ∈ Z :

Mk

(f1

f2

)=

(Φk−1

Φk

)= Sk

(Φk

Φk+1

)= SkMk+1

(f1

f2

).

Puisque (f1, f2) est un systeme fondamental de solutions, nous avons alors la

proposition suivante :

Proposition 2.5.1. Pour tout k ∈ Z,

(2.71) Sk(a) = Mk(a′, p)M−1

k+1(a′, p).

En utilisant (2.71), nous voyons que :

S0(a)S1(a) · · ·Sm−1(a) = M0(a′, p)M−1

m (a′, p).

En utilisant (2.68), nous obtenons le theoreme suivant :


Theoreme 2.5.2. Les matrices de connexion de Stokes-Sibuya satisfont a la

relation fonctionnelle suivante :

(2.72) S0(a)S1(a) · · ·Sm−1(a) = M0(a′, p)M−1(a′, p)M−1

0 (a′, p).

Cette relation fonctionnelle est equivalente a la formule (2.10) du theoreme

2.1.12. Cependant, cette nouvelle formulation est interessante en raison des

deux corollaires suivants.

Corollaire 2.5.3. Les matrices de connexion de Stokes-Sibuya verifient la

relation

Tr (S0(a)S1(a) · · ·Sm−1(a)) = −2 cos(πp)

ou Tr designe la trace.

Demonstration. Cela provient du fait que Tr(M0(a

′, p)M−1(a′, p)M−10 (a′, p)

)=

Tr(M

−1(a′, p))

= −2 cos(πp).

Corollaire 2.5.4. Lorsque p ∈ N⋆ et avec les notations du theoreme 2.3.2, les

matrices de connexion de Stokes-Sibuya satisfont a la relation fonctionnelle

suivante :

S0(a)S1(a) · · ·Sm−1(a) |λ(a′,p)=0 = (−1)p+1

(1 00 1

).

Demonstration. Par le corollaire 2.3.8, nous savons que

M(a′, p) = e2iπs(p)

(1 0

2iπλ(a′, p) 1

)

avec 2s(p) = 1 + p, de sorte que

M0(a′, p)M−1(a′, p)M−1

0 (a′, p) |λ(a′,p)=0

= M−1(a′, p) |λ(a′,p)=0 = (−1)p+1

(1 00 1

).

2.5.2 Seconde equation fonctionnelle

Theoreme 2.5.5. Nous utilisons les notations du theoreme 2.4.3.

2.5. RELATIONS FONCTIONNELLES 67

– 1. Supposons p /∈ Z. Supposons de plus que a soit choisi de telle maniere

que, pour tout k = 0, · · · , m− 1, L0(ωk.a′, p) 6= 06. Alors

(2.73)L0(a

′, p)

L0(a′, p)= −iω

− 32ω−(m+1) p

2

p sin(πp)

m−1∑

k=0

ωr(ωk.a)+(k+1)p

L0(ωk.a′, p)L0(ωk+1.a′, p).

– 2. Supposons p ∈ N⋆. Supposons egalement que a soit choisi de telle sorte

que, pour tout k = 0, · · · , m− 1, L0(ωk.a′, p) 6= 0, alors

(2.74) iπpω32+ p

2λ(a′, p) =

m−1∑

k=0

ωr(ωk.a)+(k+1)p

L0(ωk.a′, p)L0(ωk+1.a′, p).

Demonstration. – 1. En utilisant les formules (2.65) et (2.66) avec k = 0,

nous avons

ωs(−p)L0(a′, p)L0(ω.a

′, p) − ωs(p)L0(ω.a′, p)L0(a

′, p) = −2

pω−1+r(a)

et, plus generalement, pour tout k = 0, · · · , m− 1,

ωs(−p)L0(ωk.a′, p)L0(ω

k+1.a′, p) − ωs(p)L0(ωk+1.a′, p)L0(ω

k.a′, p) =

−2

pω−1+r(ωk.a).

Supposons a generique de sorte que pour tout k = 0, · · · , m−1, L0(ωk.a′, p) 6=

0. L’egalite precedente s’ecrit aussi :

ωs(−p)L0(ωk.a′, p)

L0(ωk.a′, p)− ωs(p)L0(ω

k+1.a′, p)

L0(ωk+1.a′, p)= −2

p

ω−1+r(ωk.a)

L0(ωk.a′, p)L0(ωk+1.a′, p).

De part l’holomorphie en a′ de L0 et L0, ceci peut s’ecrire sous la forme

suivante, puisque ωm = e2πi :

L

L0(a′, p)

L0(a′, p)...

L0(ωm−1.a′, p)

L0(ωm−1.a′, p)

= −2ω−1

p

ωr(a)

L0(a′, p)L0(ω.a′, p)...

ωr(ωm−1.a)

L0(ωm−1.a′, p)L0(a′, p)

,

6Notons que L0(a′, p) ne peut etre identiquement nulle ; par consequent, ceci est une

hypothese generique sur a.


ou

L =

ωs(−p) −ωs(p) 0 · · · 0

0. . .

. . .. . .

......

. . .. . .

. . . 00 · · · 0 ωs(−p) −ωs(p)

−ωs(p) 0 · · · 0 ωs(−p)

est une matrice circulante m × m dont le determinant vaut ωms(−p) −ωms(p). Ce determinant ne s’annule pas car s(p) − s(−p) = p n’est pas

un entier. L’inverse de cette matrice est aussi une matrice circulante, et

plus precisement : L−1 =

1

ωms(−p) − ωms(p)×

ω(m−1)s(−p) ω(m−2)s(−p)+s(p) · · · ωs(−p)+(m−2)s(p) ω(m−1)s(p)

ω(m−1)s(p) ω(m−1)s(−p) · · · ωs(−p)+(m−2)s(p)

· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·

ω(m−2)s(−p)+s(p) · · · ω(m−1)s(p) ω(m−1)s(−p)

.

Par suite, comme s(p) − s(−p) = p, nous avons :

L0(a′, p)

L0(a′, p)= − 2ω−1ω(m−1)s(−p)

p(ωms(−p) − ωms(p))

m−1∑

l=0

ωlp ωr(ωl.a)

L0(ωl.a′, p)L0(ωl+1.a′, p)

c’est-a-dire :

L0(a′, p)

L0(a′, p)= i

ω−1ω(m−1)s(−p)

p sin(πp)

m−1∑

l=0

ωlp ωr(ωl.a)

L0(ωl.a′, p)L0(ωl+1.a′, p).

– 2. Nous utilisons les formules (2.65) et (2.66) avec k = 0, lorsque p ∈ N⋆.

En utilisant egalement le fait que λ(ω.a′, p) = ω−pλ(a′, p) (voir theoreme

2.3.2), nous avons :

L

L0(a′, p)

L0(a′, p)...

L0(ωm−1.a′, p)

L0(ωm−1.a′, p)

=

−2ω−1

p

ωr(a)

L0(a′, p)L0(ω.a′, p)...

ωr(ωm−1.a)

L0(ωm−1.a′, p)L0(a′, p)

+2iπ

mωs(−p)λ(a′, p)

1

...

ω−(m−1)p


ou L est la matrice circulante precedente. Mais maintenant det(L) =

ωms(−p) − ωms(p) = 0, puisque s(p)− s(−p) = p ∈ N⋆. Il est facile de voir

que L est de rang m − 1, et la condition de compatibilite s’ecrit sous la

forme :

det

ωs(−p) −ωs(p) 0 · · · 0 α0

0. . .

. . .. . .

......

. . .. . .

. . . 0...

0 · · · 0 ωs(−p) −ωs(p)

0 0 · · · 0 ωs(−p) αm−2

−ωs(p) 0 · · · 0 0 αm−1

= 0

ou

αk = −2ω−1

p

ωr(ωk.a)

L0(ωk.a′, p)L0(ωk+1.a′, p)+

2iπ

mωs(−p)ω−kpλ(a′, p).

Cela signifie que :

ω(m−1)s(−p)αm−1 + ω(m−1)s(p)αm−2 + ω(m−2)s(p)+s(−p)αm−3+· · · + ωs(p)+(m−2)s(−p)α0 = 0,

c’est-a-dire, du fait que s(p) − s(−p) = p,

αm−1 + ω(m−1)pαm−2 + ω(m−2)pαm−3 + · · ·+ ωpα0 = 0.

Par suite, nous obtenons, p etant un entier :

iπpω32+ p

2λ(a′, p) =ωr(ωm−1.a)

L0(ωm−1.a′, p)L0(a′, p)+

m−2∑

k=0

ωr(ωk.a)+(k+1)p

L0(ωk.a′, p)L0(ωk+1a′, p).

Le theoreme 2.5.5 induit le resultat interessant suivant.

Corollaire 2.5.6. Les coefficients de Stokes-Sibuya C0(a) satisfont a :

– quand m = 1, pour tout a ∈ C :

C0(a) = −2 cos(πp),

– quand m = 2, pour tout a′ ∈ C et p /∈ −N :

C0(a)L0(ω.a′, p) = −2ie−iπ

a12 cos

(π2(p+ a1)

)L0(a

′, p),


– quand m ≥ 3, pour tout a′ ∈ Cm−1 et p /∈ −N :

C0(a)L0(ω.a′, p) =

ωr(a)−1+ m4

(L0(a

′, p)ω−r(a)+ 12−m

4+ p

2 + L0(ω2.a′, p)ωr(a)− 1

2+ m

4− p

2

).

Demonstration. La formule (2.71) de la proposition 2.5.1 avec k = 0 donne

S0(a) = M0(a′, p)M−1

1 (a′, p). En utilisant (2.66) et (2.67), nous obtenons :

(C0(a) C0(a)

1 0

)=

(L0(a

′, p) L0(a′, p)

ωs(p)L0(ω.a′, p) ωs(−p)L0(ω.a

′, p)

)(ωs(p)L0(ω.a

′, p) ωs(−p)L0(ω.a′, p)

ω2s(p)L0(ω2.a′, p) ω2s(−p)L0(ω

2.a′, p)

)−1

d’ou, avec (2.65) :

(2.75)

C0(a) = −p2ω1−r(ω.a)

(ω−pL0(a

′, p)

L0(a′, p)− ωpL0(ω

2.a′, p)

L0(ω2.a′, p)

)L0(a

′, p)L0(ω2.a′, p).

Nous appliquons maintenant la formule (2.73) sous les hypotheses faites au

theoreme 2.5.5.

– Quand m = 1, ω = e2πi et r(a) =1

4, et la formule (2.73) du theoreme

2.5.5 se reduit a :

L0(p)

L0(p)= − 1

p sin(πp)L0(p)L0(p).

Cela permet d’ecrire (2.75) sous la forme :

C0(a) = −sin(2πp)

sin(πp)= −2 cos(πp).

Ce resultat s’etend pour tout a ∈ C par prolongement analytique, puisque

C0 est une fonction entiere de a.

– Quand m = 2, nous avons ω = eiπ et r(a) = −a1

2.

La formule (2.73) du theoreme 2.5.5 devient :

L0(a′, p)

L0(a′, p)=

ω− 3p2

p sin(πp)

(ω− a1

2+p

L0(a′, p)L0(ω.a′, p)+

ωa12

+2p

L0(ω.a′, p)L0(a′, p)

),


ou aussi

L0(a′, p)

L0(a′, p)= 2

cos(

π2(p+ a1)

)

p sin(πp)

1

L0(a′, p)L0(ω.a′, p).

Cela signifie que (2.75) s’ecrit aussi sous la forme :


(π2(p + a1)

) L0(a′, p)

L0(ω.a′, p).

Le resultat annonce en decoule par prolongement analytique pour tout

a′ ∈ C et tout p /∈ −N, puisque C0 est une fonction entiere de a, et L0

est une fonction holomorphe de a′ ∈ C et de p /∈ −N.

– Quand m > 2, nous pouvons ecrire grace au theoreme 2.5.5 :

C0(a) = iω− 1

2ω−(m−1) p2−r(ω.a)

2 sin(πp)L0(a

′, p)L0(ω2.a′, p)×

(ω−p

m−1∑

l=0

ωlp+r(ωl.a)

L0(ωl.a′, p)L0(ωl+1.a′, p)− ωp

m−1∑

l=0

ωlp+r(ωl+2.a)

L0(ωl+2.a)L0(ωl+3.a′, p)

),

ce qui donne :

C0(a) =

iω− 1

2ω−(m−1) p2−r(ω.a)

2 sin(πp)

(ω−p+r(a)

L0(a′, p)L0(ω.a′, p)+

ωr(ω.a)

L0(ω.a′, p)L0(ω2.a′, p)+

m−1∑

l=2

ω(l−1)p+r(ωl.a)

L0(ωl.a′, p)L0(ωl+1.a′, p)−

m−3∑

l=0

ω(l+1)p+r(ωl+2.a)

L0(ωl+2.a′, p)L0(ωl+3.a′, p)

− ω(m−1)p+r(a)

L0(a′, p)L0(ω.a′, p)− ωmp+r(ω.a)

L0(ω.a′, p)L0(ω2.a′, p)

)L0(a

′, p)L0(ω2.a′, p).

Le membre de droite de cette egalite se simplifie pour donner finalement :

C0(a) =

ωr(a)−1+ m4

(L0(a

′, p)

L0(ω.a′, p)ω−r(a)+ 1

2−m

4+ p

2 +L0(ω

2.a′, p)

L0(ω.a′, p)ωr(a)− 1

2+ m

4− p

2

).

La encore, le resultat annonce en decoule par prolongement analytique.


2.5.3 Troisieme equation fonctionnelle

Dans ce paragraphe, nous allons etudier une classe d’equations differentielles

(Em) avec certaines symetries. A cet effet, nous allons introduire quelques no-

tations utiles.

Notation 2.5.7. Pour m,n ∈ N⋆, nous definissons :

an = (0, · · · , 0, an, 0, · · · , 0, a2n, 0, · · · , 0, ajn, 0 · · · , 0, anm) ∈ Cnm,

i.e.,

an = (aj)1≤j≤nm tel que aj = 0 si j 6= 0 mod m.

Pour un tel an, nous definissons aussi :

a′n := (aj)1≤j≤nm−1

et

an :=

(an

n2m

,a2n

n4m

, · · · , an(m−1)

n2(m−1)

m

,−1

4+

1 + 4anm

4n2

)∈ Cm

a′n :=

(an

n2m

,a2n

n4m

, · · · , an(m−1)

n2(m−1)

m

)∈ Cm−1.

Nous allons considerer dans ce paragraphe l’equation differentielle suivante :

(Ennm) x2 d

2

dx2Φ(x, an) = Pnm(x, an)Φ(x, an).

Cette equation est un cas particulier de notre equation principale (Enm), mais

sa symetrie particuliere va nous permettre de comparer ses matrices de Stokes-

Sibuya et de connexion 0∞ a celles de (Em), associees au polynome Pm(x, an)

de degre plus petit.

Nous commencons par un lemme :

Lemme 2.5.8. Si Φ satisfait a l’equation differentielle (Ennm) avec n,m ∈ N⋆,

alors Ψ definie par

Ψ(x, an) := xn−12n Φ

((n

2mx)

1n , an

)

satisfait a l’equation differentielle (Em) avec a = an, c’est-a-dire :

(2.76) x2 d2

dx2Ψ(x, an) = Pm(x, an)Ψ(x, an).


Demonstration. Considerons la transformation

Ψ(x, an) = xαΦ(λx1n , an)

avec α =n− 1

2n. Alors,

x2Ψ′′(x, an) =λ2

n2xα+ 2

n Φ′′(λx1n , an) + α(α− 1)xαΦ(λx

1n , an).

En supposant que x2Φ′′(x, an) = Pnm(x, an)Φ(x, an), nous avons :

x2Ψ′′(x, an) =

(1

n2Pnm(λx

1n , an) + α(α− 1)

)Ψ(x, an).

Nous choisissons λ = n2

nm pour obtenir le resultat.

Notation 2.5.9. Nous notons Cnk (an) et Cn

k (an), k ∈ Z, les coefficients de

Stokes-Sibuya associes a l’equation (Ennm).

Le lemme precedent induit le corollaire suivant :

Corollaire 2.5.10. Les coefficients de Stokes-Sibuya Cn0 (an) et Cn

0 (an) as-

socies a l’equation (Ennm) sont lies aux coefficients de Stokes-Sibuya C0 et C0

de l’equation (Em) par la relation :

(2.77)Cn

0 (an) = ωn−12n n

2m−1− 4

mrm(ean)C0 (an)

Cn0 (an) = ω

n−1n C0 (an)

ou ω = e2iπm .

Demonstration. Notons Φ0 la solution de (Em) caracterisee par son developpe-

ment asymptotique :

TΦ0(x, a) = xrm(a)e−Sm(x,a) (1 + o(1))

a l’infini dans le secteur Σ0 = |x| > 0, | arg(x)| < 3πm (ou rm = r et Sm = S

sont definis au theoreme 2.1.1). Les coefficients de Stokes-Sibuya C0 et C0 sont

definis par :

(2.78)

Φ0(ω−1x, ω−1.a) =

C0(a)Φ0(x, a) + C0(a)Φ0(ωx, ω.a)


ou ω = e2πim . Notons Φn

0 son analogue pour l’equation (Ennm), telle que

TΦn0 (x, an) = xrnm(an)e−Snm(x,an) (1 + o(1))

a l’infini dans le secteur Σn0 = |x| > 0, | arg(x)| < 3π

nm (ou rnm = r et Snm = S

sont definis au theoreme 2.1.1), et

(2.79) Φn0 (ω−1

n x, ω−1n .an) = Cn

0 (an)Φn0 (x, an) + Cn

0 (an)Φn0 (ωnx, ωn.an)

avec ωn = e2πimn . En introduisant, avec le lemme 2.5.8, la fonction

(2.80) Ψ0(x, an) = xn−12n Φn

0

((n

2mx)

1n , an

)

nous obtenons une solution de (Em) telle que :

TΨ0(x, an) = n2

nmrnm(an)x

1n

rnm(an)+ n−12n e−Snm((n

2m x)

1n ,an) (1 + o(1))

a l’infini dans le secteur Σ0. Nous montrons facilement que Snm((n2mx)

1n , an) =

Sm(x, an) et1

nrnm(an) = rm(an) − n− 1

2n. Cela signifie que

(2.81) Ψ0(x, an) = n2m

rm(ean)−n−1mn Φ0 (x, an) .

De (2.79), observons que :

(2.82)

ωn−12n (ω−1x)

n−12n Φn

0 ((n2mω−1x)

1n , ω−1

n .an) =

Cn0 (an)x

n−12n Φn

0 ((n2mx)

1n , an) + ω−n−1

2n Cn0 (an) (ωx)

n−12n Φn

0 ((n2mωx)

1n , ωn.an).

Par suite, par (2.80),

(2.83)ω

n−12n Ψ0(ω

−1x, ω−1.an) =

Cn0 (an)Ψ0(x, an) + ω−n−1

2n Cn0 (an)Ψ0(ωx, ω.an).

En utilisant (2.81), il suffit de comparer cette derniere equation a (2.78) pour

obtenir le resultat voulu.

Le lemme 2.5.8 peut etre utilise egalement pour comparer les matrices de

connexion 0∞. Nous allons utiliser les notations suivantes :

Notation 2.5.11. Notons Lnk(a′n, p(amn)) et Ln

k(a′n, p(amn)), k ∈ Z, les co-

efficients des matrices de connexion 0∞ associees a l’equation (Ennm) avec

p(amn) = (1 + 4amn)12 .


Corollaire 2.5.12. Si −p(amn)

n/∈ N,

(2.84) Ln0 (a′n, p(amn)) = e

iπm

(1− 1n

)n− 2m

r(ean)+ p(amn)mn

+ 1m−1L0

(a′n,

p(amn)

n

).

Demonstration. Nous allons utiliser les notations du theoreme 2.3.2. Soit f1(x, a)

la solution de (Em) qui s’ecrit sous la forme :

(2.85) f1(x, a′, p(am)) = xs(p(am))g1(x, a

′, p(am)),

ou nous supposons que p(am) = (1 + 4am)12 /∈ −N. De la meme maniere, nous

notons fn1 (x, a′n, p(amn)) la solution de (En

nm) qui peut s’ecrire sous la forme :

(2.86) fn1 (x, a′n, p(amn)) = xs(p(amn))gn

1 (x, a′n, p(amn))

sous la condition p(amn) /∈ −N. En suivant le lemme 2.5.8, nous definissons :

(2.87) F1(x, an) = xn−12n fn

1

((n

2mx)

1n , a′n, p(amn)

)

qui est solution de (Em) avec le parametre an. Nous montrons facilement que,

necessairement,

(2.88) F1(x, an) = n2

mns(p(amn))f1

(x, a′n,

p(amn)

n

).

Autrement dit,

(2.89) f1

(x, a′n,

p(amn)

n

)= n− 2

mns(p(amn))x

n−12n fn

1

((n

2mx)

1n , a′n, p(amn)

).

Notons que cette egalite permet de prolonger analytiquement fn1 (x, a′n, p(amn))

pourp(amn)

n/∈ −N, ainsi que Ln

k(a′n, p(amn)) de la meme maniere.

Considerons les matrices de connexion 0∞ M1 et Mn1 associees a (Em) et

(Ennm) respectivement. Nous avons :

(2.90)L1(a

′, p(am)) =− 1

p(am)(f1(x, a

′, p(am))Φ′0(x, a) − f ′

1(x, a′, p(am))Φ0(x, a))

et

(2.91)Ln

1 (a′n, p(amn)) =− 1

p(amn)(fn

1 (x, a′n, p(amn))Φn0′(x, an) − fn

1′(x, a′n, p(amn))Φn

0 (x, an))


ou Φn0 a ete definie dans la demonstration du corollaire 2.5.10. Par (2.80) et

(2.81), nous savons que :

(2.92) Φ0 (x, an) = n− 2m

r(ean)+ n−1mn x

n−12n Φn

0

((n

2mx)

1n , an

).

De l’equation (2.90), de (2.89) et de (2.92) nous deduisons :

(2.93)

L1

(a′n,

p(amn)n

)= −n− 2

mr(ean)− p(amn)

mn+ 1

m×

1p(amn)

(fn

1 ((n2mx)

1n , a′n, p(amn))Φn

0′((n

2mx)

1n , an)−

fn1′((n

2mx)

1n , a′n, p(amn))Φn

0 ((n2mx)

1n , an)

).

En comparant (2.93) a (2.91), nous obtenons :

(2.94) Ln1 (a′n, p(amn)) = n

2m

r(ean)+p(amn)

mn− 1

m L1

(a′n,

p(amn)

n

).

En utilisant la formule (2.67) du theoreme 2.4.3, nous trouvons finalement,

puisque r(a) + r(ω.a) = 1 − m

2,

(2.95) Ln0 (a′n, p(amn)) = e

iπm

(1− 1n

)n− 2m

r(ean)+p(amn)

mn+ 1

m−1L0

(a′n,

p(amn)

n

).

2.5.4 Cas de resolubilite quasi-exacte

Solutions quasi-algebriques

Dans ce paragraphe, nous allons discuter de ce qui peut etre vu comme un

analogue de la resolubilite quasi-exacte7.

Ce faisant, nous obtiendrons des informations sur la localisation des zeros du

coefficient L0 .

Nous supposerons que m = 2k est pair. Nous recherchons des solutions de

(Em) de la forme :

Φ(x, a) = xs(p)e−S(x,a)

+∞∑

n=0

Γ(p+ 1)Qn(a′, p)

Γ(n+ p+ 1)xn

7En mecanique quantique, une classe speciale de problemes spectraux admet une partielle(ou parfois meme complete) algebrisation, c’est-a-dire qu’une partie du spectre d’energie etde ses fonctions propres associees est calculable algebriquement. Ces systemes sont qualifiesde “resolubles quasi-exactement”, d’apres Turbiner [79].


avec S(x, a) comme dans le theoreme 2.1.1, s(p) =1 + p

2et p = (1 + 4am)

12 .

Nous supposons que p /∈ −N⋆. Nous normalisons Φ en imposant la condition

Q0(a′, p) = 1.

En demandant a Φ d’etre une solution de (Em), cela impose aux coefficients

Qn(a′, p) de satisfaire a la relation recurrente a k + 1 pas suivante :

(2.96)

k−1∑

j=0

αn+j(a′, p)Qn+j(a

′, p) = (n + k)Qn+k(a′, p), n ∈ Z

Q0(a′, p) = 1

Qn(a′, p) = 0 for n < 0.

Dans (2.96), les coefficients αn sont des fonctions polynomiales de (a′, p) de

sorte que la relation de recurrence (2.96) determine les Qn(a′, p) ∈ C[a′, p] de

maniere unique. Nous explicitons (2.96) pour m = 2, 4, 6 :

1. m = 2 :

S(x, a) = x

(a1 + p+ 1 + 2n)Qn(a1, p) = (n+ 1)Qn+1(a1, p), n ≥ 0

Q0(a1, p) = 1.

2. m = 4 :

S(x, a) = 12x2 + 1

2a1x

(n+ p+ 1)[(a2 − 1

4a2

1

)+ 2n+ p+ 2

]Qn −

[a3 + (n + p

2+ 3

2)a1

]Qn+1

= (n+ 2)Qn+2, n ≥ −1

Q−1(a′, p) = 0, Q0(a

′, p) = 1.

3. m = 6 :

S(x, a) = 13x3 + 1

4a1x

2 + 12

(a2 − 1

4a2

1

)x

(n+ p+ 1)(n+ p + 2)[−1

2a1

(a2 − 1

4a2

1

)+ a3 + 2n+ p+ 3

]Qn

+(n+ p+ 2)[−1

4

(a2 − 1

4a2

1 )2 + a4+(n+ p2

+ 2 )a1]Qn+1

+[(n+ p

2+ 5

2)(a2 − 1

4a2

1

)+ a5

]Qn+2 = (n+ 3)Qn+3, n ≥ −2

Q−2(a′, p) = 0, Q−1(a

′, p) = 0, Q0(a′, p) = 1.

Dans le casm = 2, nous voyons facilement que la condition p+a1+1 = −2N

avec N ∈ N est une condition suffisante de resolubilite quasi-exacte puisque,

pour p /∈ −N⋆,

Φ(x, a) = xs(p)e−x

N∑

n=0

Γ(p+ 1)Qn(a1, p)

Γ(n+ p+ 1)xn


est une solution exacte de (E2). Dans ce cas, Φ(x, a) coıncide avec f1(x, a1, p),

et de plus Φ(x, a) = (−1)N2N Γ(p+ 1)

Γ(N + p+ 1)Φ0(x, a).

Cela signifie que L0(ω.a′, p) = 0 quand

p+ a1 + 1 ∈ −2N

p /∈ −N⋆ , et par suite :

Lemme 2.5.13. Pour m = 2, L0(a′, p) = 0 quand

p− a1 + 1 ∈ −2N

p /∈ −N⋆ .

Un resultat du meme type peut etre obtenu pour des valeurs de m plus

grandes. Par exemple, lorsque m = 4, en supposant qu’il existe N ∈ N tel que

a2 − 14a2

1 + 2N + p + 2 = 0, alors la relation de recurrence a trois pas (2.96)

implique que pour tout n ≥ N + 1, Qn est un multiple de QN+1.

Par consequent,

a2 − 1

4a2

1 + 2N + p + 2 = 0, N ∈ NQN+1(a

′, p) = 0est une condition suf-

fisante de resolubilite quasi-exacte (par exemple, si N = 0, nous obtenonsa2 − 1

4a2

1 + p+ 2 = 02a3 + (p+ 1)a1 = 0

). Dans ce cas, L0(ω.a′, p) = 0 de nouveau.

Pour terminer ce paragraphe, notons que quelques conditions de resolubilite

quasi-exacte pour m impair peuvent etre deduites du cas m pair en utilisant

le lemme 2.5.8 (par exemple, le cas m = 3 peut se deduire du cas m = 6).

Lien avec le calcul de groupes de Galois differentiels

La recherche de solutions quasi-algebriques est en lien etroit avec la re-

cherche de solutions de (Em) de type Liouville et le calcul effectif du groupe

de Galois associe.

Nous renvoyons le lecteur a [51], [33] et [32] pour plus de details. Nous rappe-

lons d’abord la definition suivante :

Definition 2.5.14. 1. Une extension de corps differentiel L de C(x) est

dite liouvillienne s’il existe une tour croissante de corps

C(x) = L0 ⊂ L1 ⊂ . . . ⊂ Lm = L telle que, pour i = 0, . . . , m,

Li+1 = Li(ηi) ou ηi verifie l’une des conditions suivantes :

• ηi est algebrique sur Li,

• η′i ∈ Li,

• η′iηi

∈ Li.


2. Une solution de (Em) est dite de type Liouville (ou liouvillienne) si elle

appartient a une extension liouvillienne de C(x).

La recherche de solutions de type Liouville est directement liee au calcul

du groupe de Galois associe a (Em) grace a la proposition suivante (due a

Kovacic) :

Proposition 2.5.15. L’equation differentielle ordinaire

d2

dx2Φ(x) − V (x)Φ(x) = 0, avec V (x) ∈ C(x)

admet des solutions de type Liouville si et seulement si son groupe de Galois

differentiel est un sous-groupe algebrique propre de SL(2,C).

Le cas m = 2 Dans le cas m = 2, la condition p − a1 + 1 ∈ −2N que

nous avions trouvee pour obtenir l’existence d’une solution quasi-algebrique de

l’equation (Em) est exactement l’une des conditions obtenues dans [32] pour

l’existence d’une solution liouvillienne de (Em) (cette derniere s’exprimant a

l’aide d’un polynome de Laguerre).

En particulier, le nombre de solutions liouvilliennes influe directement sur le

calcul du groupe de Galois differentiel associe a (Em) :

Proposition 2.5.16. S’il existe deux (respectivement une, respectivement au-

cune) solutions de (Em) de type Liouville, alors le groupe de Galois differentiel

est egal a C∗ (respectivement C∗ ⋉ C, respectivement GL(2,C)).

L’exemple de Setoyanagi Nous considerons un cas particulier de l’equation

(Em) (etudie par Setoyanagi dans [66] puis par A.Duval et M.Loday-Richaud

dans [32]) lorsque le polynome Pm est constitue de deux monomes exactement.

Plus precisement, nous nous focalisons sur l’equation :

(2.97)d2

dx2Φ(x) −

(x2(2+r) + bx2+r

x2

)Φ(x) = 0,

ou b ∈ C∗ et r ∈ N.

En recherchant une solution quasi-algebrique de la forme :

Φ(x, b) = xe−S(x,b)

+∞∑

n=0

Qn(b)

Γ(n+ 2)xn,


nous obtenons le systeme :

S(x, b) =xr+2

r + 2

Qn+r+2(b) =(n+ r + 1)!(2n+ r + 3 + b)

(n+ 1)!Qn(b), n ≥ 0

Q0(b) = 1.

Ainsi, une condition necessaire de resolubilite quasi-exacte (ou d’existence

d’une solution liouvillienne) est l’existence d’un d ∈ N tel que :

b = −r − 1 − 2[1 + d(r + 2)

].

Cette condition est justement celle obtenue dans [32] pour cette equation.

En utilisant les resultats obtenus dans la partie 2.5.3, nous pouvons utiliser

les formules explicites pour les matrices de Stokes ainsi que les matrices de

monodromie a l’infini du casm = 2 pour en deduire celles associees a l’equation

(2.97).

Ces formules doivent theoriquement permettre le calcul explicite du groupe de

Galois differentiel de l’equation (2.97) : un travail est engage dans cette voie.

2.6 Quelques applications

2.6.1 Application pour une classe speciale

Des simplifications apparaissent lorsque a′ = 0, ce qui nous permet d’obte-

nir la proposition suivante :

Proposition 2.6.1. Considerons (Em) dans le cas ou a′ = 0. Alors

S0(0, am) =

(2e−

iπm cos

(πp

m

)−e− 2iπ

m

1 0

)

ou p = (1 + 4am)1/2. En outre, pourp

m/∈ Z, la matrice de connexion M0 est

egale a :

M0(0, p) =

eβm(−p) ω− 1

2

√mπ

Γ(− p

m

)eβm(p) ω

− 12

√mπ

Γ( pm

)

ωs(p)eβm(−p) ω− 1

2

√mπ

Γ(− p

m

)ωs(−p)eβm(p) ω

− 12

√mπ

Γ( pm

)

2.6. QUELQUES APPLICATIONS 81

ou, comme precedemment, s(p) = 1+p2

, et ou βm(p) est une fonction entiere de

p, impaire, et telle que pour tout k ∈ N⋆,

eβm(km) = ±mk.

Remarque 2.6.2. Nous allons voir ulterieurement (§A.1) par d’autres outils que

L0(a) = −eiπp Γ(p)√π

quand m = 1. De plus r(a) =1

4pour m = 1. En appliquant

le corollaire 2.5.12 avec a′ = 0, nous deduisons que,

L0(0, p) = e−iπmm

pmeiπ p

mΓ( p

m)√

mπ

et que

L0(0, p) = e−iπmm− p

m e−iπ pm

Γ(− pm

)√mπ

.

Demonstration. Notons que, lorsque a′ = 0, alors ω.a = a et r(a) =1

2− m

4.

Ceci a deux consequences. Premierement, en utilisant le corollaire 2.5.6, nous

deduisons immediatement que, p /∈ −N,

C0(0, am) = 2e−iπm cos

(πp

m

).

Puisque C0(a) est une fonction entiere de a, la formule precedente s’etend a

tout am, par prolongement analytique.

Deuxiemement, la formule (2.73) du theoreme 2.5.5 devient :

1

L0(0, p)L0(0, p)= −ωp sin

(πp

m

),

ce qui fait penser a la formule de reflexion d’Eulerπ

Γ(z)Γ(−z) = −z sin (πz).

Par la proposition 2.4.4, la restriction a p /∈ Z de la fonction L0(0, p) (resp.

L0(0, p)) admet un prolongement meromorphe en p, avec au plus des poles

simples en p ∈ mN (resp. −p ∈ mN). Par suite, nous pouvons ecrire :

L0(0, p) = α(p)ω− 1

2

√mπ

Γ(− p

m

)

et

L0(0, p) =1

α(p)

ω− 12

√mπ

Γ( pm

)


ou α(p) est une fonction entiere de p ne s’annulant jamais. Autrement dit,

α(p) = e−βm(p)

avec βm(p) une fonction entiere de p. De plus, par le theoreme 2.4.3 de nouveau,

nous savons que L0(a′,−p) = L0(a

′, p). Cela signifie que βm peut etre choisie

impaire.

Par ailleurs, toujours par le theoreme 2.4.3, nous savons que L0(a′, p) peut

etre prolongee analytiquement a p ∈ N⋆. De plus, quand

p = km, k ∈ N⋆,

la formule (2.74) du theoreme 2.5.5 donne :

L20(0, p) |p=km = (−1)k+1 mω−1

πpλ(0, p)|p=km.

Par la remarque 2.3.7, nous savons que :

λ(0, p) |p=km =(−1)k+1

m2k−1kΓ(k)2,

et par consequent,

L20(0, p) |p=km = m2kω

−1Γ2(k)

mπ,

c’est-a-dire :

L0(0, p) |p=km = ±mkω−1/2Γ(k)√mπ

.

2.6.2 Application lorsque m = 2 et consequences

Nous considerons maintenant le cas m = 2, de sorte que ω = eiπ et r(a) =

−a1

2.

D’un cote, le corollaire 2.5.3 implique que

C0(a)C1(a) + C0(a) + C1(a) = −2 cos(πp)

avec C1(a) = C0(ω.a), ou, par le (2.7) du theoreme 2.1.10,

C0(a) = e−iπa1 , C1(a) = C0(ω.a) = eiπa1 .


Par suite,

C0(a)C0(ω.a) = −4 cos(π

2(p+ a1)

)cos(π

2(p− a1)

).

D’un autre cote, nous savons par le corollaire 2.5.6 que (pour a generique) :

(2.98) C0(a) = −2ie−iπa12 cos

(π2(p+ a1)

) L0(a′, p)

L0(ω.a′, p).

Aussi, par la formule (2.74) du theoreme 2.5.5, nous avons, lorsque p ∈ N⋆ et

pour a′ = a1 generique,

πpλ(a′, p) = 2cos(

π2(p− a1)

)

L0(a′, p)L0(ω.a′, p)|p∈N⋆.

Par la remarque 2.3.7,

λ(a′, p) |p=0 mod 2 =(−1)p+1

pΓ(p)2

p/2∏

k=1

(a1 + 2k − 1)(a1 − 2k + 1)

λ(a′, p) |p=1 mod 2 =(−1)p+1

pΓ(p)2a1

(p−1)/2∏

k=1

(a1 + 2k)(a1 − 2k),

donc L0(a′, p)L0(ω.a

′, p) |p∈N⋆ =

2(−1)p+22

cos(

π2a1

)Γ(p)2

π∏p/2

k=1(a1 + 2k − 1)(a1 − 2k + 1), p pair

2(−1)p+12

sin(

π2a1

)Γ(p)2

πa1

∏(p−1)/2k=1 (a1 + 2k)(a1 − 2k)

, p impair.

Ceci peut aussi s’ecrire

(2.99) L0(a′, p)L0(ω.a

′, p) |p∈N⋆ = −2−p+1eiπp Γ(p)2

Γ(p2

+ a1

2+ 1

2)Γ(p

2− a1

2+ 1

2).

Or, dans le lemme 2.5.13, nous avons vu que :

(2.100) L0(a′, p) = 0 quand

p− a1 + 1 ∈ −2N

p /∈ −N⋆.

Comme le membre de droite de (2.99) admet seulement des zeros simples quand

p+ a1 + 1 ∈ −2N, nous pouvons ecrire :

(2.101)L0(a

′, p) |p∈N⋆ = −i2− p−12 eiπ p

2Γ(p)

Γ(p2− a1

2+ 1

2)eβ(a1,p) |p∈N⋆

avec β(−a1, p) = −β(a1, p).


De fait, quand p /∈ Z, le coefficient L0(a′, p) se deduit de la formule (2.73) du

theoreme 2.5.5. Cela donne :

(2.102) L0(a′, p)L0(ω.a

′, p) = 2cos(

π2(p+ a1)

)

p sin(πp).

Rappelons ici que L0(a′, p) peut se deduire de L0(a

′, p) en changeant sim-

plement p en −p. En utilisant (2.100) et les proprietes analytiques connues de

L0(a′, p) et L0(a

′, p) decrites par la proposition 2.4.4, l’equation (2.102) montre

que l’equation (2.101) peut s’etendre a tout (a′, p) ∈ C2 avec p /∈ −N⋆,

L0(a′, p) = −i2− p−1

2 eiπ p2

Γ(p)

Γ(p2− a1

2+ 1

2)eβ(a1,p)

ou β peut etre choisie comme une fonction entiere satisfaisant a

β(−a1, p) = −β(a1, p) et β(a1,−p) = β(a1, p).

Finalement, la formule (2.98) devient :


(π2(p+ a1)

) Γ(p2

+ a1

2+ 1

2)

Γ(p2− a1

2+ 1

2)e2β(a1,p).

En resume :

Proposition 2.6.3. Supposons m = 2. Alors, les coefficients de Stokes-Sibuya

peuvent s’ecrire sous la forme

(2.103)


(π2(p+ a1)

) Γ(p2

+ a1

2+ 1

2)

Γ(p2− a1

2+ 1

2)e2β(a1,p)

C0(a) = e−iπa1

ou β est une fonction entiere satisfaisant a β(a1, p) = β(a1,−p) = −β(−a1, p).

De plus, les coefficients de la matrice de connexion M0 du theoreme 2.4.3

satisfont, pour p /∈ Z, aux egalites

(2.104)

L0(a1, p) = −i2− p−12 eiπ p

2Γ(p)

Γ(p2− a1

2+ 1

2)eβ(a1,p)

L0(a1, p)L0(ωa1, p) = 2cos(

π2(p+ a1)

)

p sin(πp).


Remarque 2.6.4. La proposition ci-dessus est interessante puisque, par exemple,

cela determine deja la localisation des zeros de C0 et des autres coefficients de

Stokes-Sibuya. Toutefois, nous pouvons etre plus precis, en utilisant les fonc-

tions speciales de Whittaker. Nous allons voir en fait (§A.2) que :

β(a1, p) = − ln(2)

2a1.

Avec la remarque et les corollaires 2.5.10 et 2.5.12, la proposition 2.6.3

implique les consequences suivantes :

Corollaire 2.6.5. Considerons l’equation differentielle

(En2n) x2 d

2

dx2Φ =

(x2n + anx

n + a2n

)Φ

ou n ∈ N⋆. Alors,

Cn0 (an) = 2e−

iπ2n e−iπ an

2n 2−ann n

ann

Γ( p2n

+ an

2n+ 1

2)

Γ( p2n

− an

2n+ 1

2)

cos((p

2n+an

2n)π)

Cn0 (an) = −e− iπ

n e−iπ ann

ou p = (1 + 4a2n)12 . De plus, quand p /∈ −nN,

Ln0 (a′n, p) = e−

iπ2n eiπ p

2n

(n2

) an2n

+ p2n

− 12 Γ( p

n)

Γ( p2n

− an

2n+ 1

2).

2.6.3 Application quand m ≥ 3

Nous allons discuter ici seulement des cas m = 3 et m = 4, et montrer

quels types d’informations nous pouvons tirer de notre analyse.

Le cas m = 3.

Dans un sens, m = 3 est le premier cas interessant, car il n’y a pas de

fonctions speciales connues a ce jour pour l’equation (E3).

Rappelons ici que ω = e2πi3 et que r(a) = −1

4est une fonction constante.

Nous allons appliquer dans un premier temps le corollaire 2.5.3, afin d’ob-

tenir une relation fonctionnelle entre les coefficients de Stokes-Sibuya :

C0(a)C1(a)C2(a) + C0(a)C2(a) + C1(a)C0(a) + C2(a)C1(a) = −2 cos(πp)


ou, par le (2.7) du theoreme 2.1.10,

C0(a) = C1(a) = C2(a) = eiπ3 .

Appliquant maintenant le corollaire 2.5.6, nous trouvons, pour tout a′ ∈ C2 et

p /∈ −N :

(2.105) L0(ω.a′, p)C0(a) = ω− 1

2

(L0(a

′, p)ωp2 + L0(ω

2.a′, p)ω− p2

).

Nous nous concentrons sur le cas p ∈ N⋆. Par la formule (2.74) du theoreme

2.5.5, nous avons :

(2.106)iπpω

74+ p

2λ(a′, p)L0(a′, p)L0(ω.a

′, p)L0(ω2.a′, p) =

L0(ω.a′, p) + ωpL0(ω

2.a′, p) + ω2pL0(a′, p).

Nous supposons maintenant en plus que a′ est choisi de telle maniere que :

λ(a′, p)L0(a′, p)L0(ω.a

′, p)L0(ω2.a′, p) = 0.

En utilisant le fait que L0(ω.a′, p) = 0 implique L0(a

′, p)L0(ω2.a′, p) 6= 0

necessairement (sinon l’une des deux matrices de connexion M0 ou M1 serait

non inversible, ce qui est absurde), les equations (2.106) et (2.105) impliquent

que :

C0(a) = C1(a) = C2(a) = −ω− 12− 3p

2 = (−1)p+1e−iπ3 .

Resumons alors nos resultats :

Proposition 2.6.6. Supposons m = 3. Alors les coefficients de Stokes-Sibuya

C0(a) satisfont a l’equation fonctionnelle

(2.107)

C0(a)C0(ω.a)C0(ω2.a) + e

iπ3

(C0(a) + C0(ω.a) + C0(ω

2.a))

= −2 cos(πp)

avec p = (1 + 4a3)12 et ω = e

2πi3 , et

(2.108) C0(a) = eiπ3 .

De plus, quand a3 =p2 − 1

4avec p ∈ N⋆, alors

λ(a′, p)L0(a′, p)L0(ω.a

′, p)L0(ω2.a′, p) = 0

est equivalent au fait que C0 soit constant, et plus precisement

C0 = (−1)p+1e−iπ3 .


Notons que la proposition 2.6.6 peut etre deduite du corollaire 2.5.4 quand

λ(a′, p) = 0, tandis que le cas particulier a1 = a2 = 0 est donne par la propo-

sition 2.6.1.

Pour un p ∈ N⋆ donne, le cas λ(a′, p) = 0 peut etre considere comme une

condition de deformation isomonodromique, puisque la monodromie a l’origine

et la structure de Stokes sont fixees. Nous avons :

Corollaire 2.6.7. Pour m = 3 et p ∈ N⋆, la condition λ(a′, p) = 0 est une

condition de deformation isomonodromique.

En calculant λ(a′, p) (voir la proposition 2.3.5), nous obtenons par exemple,

grace a la proposition 2.6.6 :

– Si p = 1, alors λ(a′, p) = a2. Par consequent, pour tout a1 ∈ C,

C0(a1, 0, 0) = e−iπ3 .

Par une transformation de Tschirnhaus, ce cas est equivalent a l’equation

d’Airy. Cela signifie egalement que L0(a1, 0, 1) = L0(0, 0, 1) et de fait, par

la remarque 2.6.2,

L0(a1, 0, 1) = e−iπ3 3

13 eiπ 1

3Γ(1

3)√

3π,

et L0(a1, 0, 1) = e−iπ3 3−

13 e−iπ 1

3Γ(−1

3)√

3π.

– Si p = 2, alors λ(a′, p) = −a22

2+a1

2. Nous en deduisons que, pour tout

a2 ∈ C,

C0(a22, a2,

3

4) = −e− iπ

3 .

– Si p = 3, alors λ(a′, p) =a3

2

12− a2a1

3+

1

3. Ainsi, pour tout a2 ∈ C⋆,

C0(4 + a3

2

4a2, a2, 2) = e−

iπ3 .

Puisque λ(a′, p) peut etre calculee de maniere exacte pour tout p ∈ N⋆ fixe,

il est naturel d’essayer d’obtenir plus d’informations de l’equation (2.106). Le

resultat est quelque peu decevant, comme nous allons le voir.

Supposons que

(2.109) L0(a′, p)L0(ω.a

′, p)L0(ω2.a′, p) 6= 0.


Notons que, par la remarque 2.6.2,

L0(0, p) = e−iπ3 3

p3 eiπ p

3Γ(p

3)√

3π

et de fait l’hypothese (2.109) est valide pour a′ au voisinage de l’origine. Nous

pouvons ecrire (2.106) sous la forme

(2.110) y(a′, p) + ωpy(ω.a′, p) + ω2py(ω2.a′, p) = −πpω1− p2λ(a′, p)

avec

y(a′, p) =1

L0(a′, p)L0(ω.a′, p).

L’equation (2.110) est une equation aux q-differences lineaire non-homogene

du second ordre. Malheureusement, nous sommes dans le cas degenere ou q

est une racine de l’unite et par consequent resoudre (2.110) ne donnera que

peu d’informations. En effet, nous remarquons d’abord que −πp3ω1− p

2λ(a′, p)

est une solution particuliere de (2.110), car λ(ω.a′, p) = ω−pλ(a′, p). Ainsi, par

linearite de (2.110), il suffit maintenant de resoudre l’equation homogene

(2.111) y(a′, p) + ωpy(ω.a′, p) + ω2py(ω2.a′, p) = 0

dans l’espace Ca1, a2. En posant y(a′, p) =

+∞∑

k,l=0

bk,lak1a

l2, l’equation (2.111)

est equivalente a (puisque ω3 = e2πi) :

+∞∑

k,l=0

(1 + ωp+k+2l + ω2p+2k+l)bk,lak1a

l2 = 0.

Par suite, y ∈ Ca1, a2 est solution de (2.111) des que bk,l = 0 quand p+ k+

2l = 0 mod 3. Ceci correspond a un espace vectoriel de dimension infini !

Pour terminer ce paragraphe, nous mentionnons [72] pour le calcul numerique

des matrices de connexion 0∞.

Le cas m = 4

Lorsque m = 4, nous avons r(a) = −1

2− 1

2a2 +

1

8a2

1 de sorte que, par le

theoreme 2.1.10,

C0(a) = ie−iπ2

(a2− 14a21).


Aussi, par le corollaire 2.5.3 :

(2.112)

C0(a)C1(a)C2(a)C3(a) + C0(a)C2(a)C3(a) + C1(a)C0(a)C3(a)+

C2(a)C0(a)C1(a) + C3(a)C1(a)C2(a) + C0(a)C2(a) + C1(a)C3(a) = −2 cos(πp).

Nous savons deja, grace au corollaire 2.6.5 applique avec n = 2, que :

(2.113) C0(0, a2, 0, a4) = 2e−iπ4

(a2+1) Γ(p4

+ a2

4+ 1

2)

Γ(p4− a2

4+ 1

2)

cos(π

4(p+ a2)

)

avec p = (1 + 4a4)12 .

Des propositions similaires a la proposition 2.6.6 peuvent etre obtenues

pour tout m ≥ 3. En particulier pour m = 4, nous allons montrer ce que

nous obtenons pour les valeurs de a telles que a4 =p2 − 1

4avec p ∈ N⋆ et

λ(a′, p) = 0. En evaluant la derniere colonne du produit S0(a)S1(a) · · ·S3(a)

et en appliquant le corollaire 2.5.4, nous obtenons

(· · · · · ·(

C1(a)C2(a) + C1(a))C3(a) + C1(a)C2(a)

(C1(a)C2(a) + C1(a)

)C3(a)

)

= (−1)p+1

(1 00 1

).

Or ω = eiπ2 donc C2(a) = C0(ω

2.a) = C0(a). Nous avons ainsi

C0(a)C1(a) + C0(a) = (−1)p+1C−10 (a)

et (C0(a)C1(a) + C0(a)

)C2(a) + C0(a)C1(a) = 0.

Puisque C0(a)C1(a) = −1, nous obtenons

C0(a) = (−1)p+1C2(a), C0(a)C1(a) = (−1)p+1C−10 (a) − C0(a).

En calculant λ(a′, p), nous avons par exemple :

– Si p = 1, alors λ(a′, p) = a3. Par consequent, pour tout (a1, a2) ∈ C2,

C0(a1, a2, 0, 0) = C2(a1, a2, 0, 0),

C0(a1, a2, 0, 0)C1(a1, a2, 0, 0) = −2i cos

(π

2(a2 −

1

4a2

1)

).


Ce cas correspond a l’equation de Weber. Par une transformation de

Tschirnhaus, nous pouvons utiliser l’equation (2.113) afin d’obtenir :

C0(a1, a2, 0, 0) =

2e−iπ4 e−iπ 1

4(a2− 1

4a21) Γ(a2

4− 1

16a2

1 + 34)

Γ(−a2

4+ 1

16a2

1 + 34)cos

(π

4(a2 −

1

4a2

1 + 1)

).

Par la formule de reflexion d’Euler et par la formule de duplication pour

la fonction Gamma, nous obtenons les formules usuelles bien connues (cf.

[68]).

En comparant ce resultat a (2.113), il est assez naturel de conjecturer la

formule suivante :

Conjecture :

C0(a1, a2, 0, a4) =

2e−iπ4

(a2− 14a21+1)Γ(p

4+ a2

4− 1

16a2

1 + 12)

Γ(p4− a2

4+ 1

16a2

1 + 12)

cos

(π

4(p+ a2 −

1

4a2

1)

).

(qui satisfait a la relation fonctionnelle (2.112) et qui est coherente avec

les formules du theoreme 2.7.1 de la section 2.7).

– Si p = 2, alors λ(a′, p) = −a23

2+a2

2. Nous en deduisons que, pour tout

(a1, a3) ∈ C2,

C0(a1, a23, a3,

34) = −C2(a1, a

23, a3,

34),

C0(a1, a23, a3,

34)C1(a1, a

23, a3,

34) = −2 sin

(π2(a2

3 − 14a2

1)).

– Si p = 3, alors λ(a′, p) =a3

3

12− a2a3

3+a1

3. Ainsi, pour tout(a2, a3) ∈ C2,

C0(−a33

4+ a2a3, a2, a3, 2) = C2(−a3

3

4+ a2a3, a2, a3, 2),

C0(−a33

4+ a2a3, a2, a3, 2)C1(−a3

3

4+ a2a3, a2, a3, 2) =

−2i cos(

π2(a2 − 1

4(−a3

3

4+ a2a3)

2)).

2.7 Conclusion

Comme nous l’avons vu, l’etude du probleme de connexion centrale entre

les solutions de (Em) definies au voisinage de l’infini et celles definies au voisi-

nage de l’origine debouche sur une famille d’equations fonctionnelles auxquelles

2.7. CONCLUSION 91

doivent satisfaire les coefficients de Stokes-Sibuya .

L’exploitation de ces informations permet, dans certains cas, notamment ceux

ou des symetries supplementaires entrent en ligne de compte, le calcul explicite

de ces coefficients.

Par ailleurs, il se peut que les recents developpements en theorie des equations

aux q-differences puissent s’appliquer a certaines de nos equations fonction-

nelles (et deboucher notamment sur l’etude de la croissance a l’infini des coef-

ficients de Stokes-Sibuya) mais un tel travail reste a faire.

Dans le cas ou le polynome Pm(x, a) est de petit degre (i.e. m = 1 ou m = 2),

nous pouvons nous ramener a des equations bien connues et faire alors usage

de leurs fonctions speciales associees afin d’obtenir des formules exactes pour

les coefficients de Stokes-Sibuya : c’est l’objet de l’appendice A.

Afin d’etre complet, nous signalons a ce propos que les travaux de I. Bakken

(voir [5]) debouchent sur le calcul explicite du developpement limite a l’ordre

1 a l’origine des Ck(a) pour m ∈ N∗ quelconque.

Comme les notations de I. Bakken different des notres, il nous a semble utile

de reformuler ses resultats dans le cas qui nous occupe :

Theoreme 2.7.1. Supposons m ≥ 3. Nous reprenons les notations de la partie

2.4.

Par le theoreme 2.4.3, nous avons la relation :

Φ0(x, a) = µ(a′, p)f1(x, a) + ν(a′, p)f2(x, a),

avec

µ(a′, p) = ωs(p)L0(ω.a′, p) +

2iπ

mλ(a′, p)ωs(−p)L0(ω.a

′, p)

ν(a′, p) = ωs(−p)L0(ω.a′, p).

Notons

µ(a′, p) = µ0 + µ1a1 + µ2a2 + . . .+ µmam +O(‖a‖2)

ν(a′, p) = ν0 + ν1a1 + ν2a2 + . . .+ νmam +O(‖a‖2)

(avec ‖a‖2 = |a1|2 + . . .+ |am|2) le developpement limite a l’ordre 1 a l’origine

en les parametres a1, . . . , am de µ(a′, p) et ν(a′, p).


Alors, nous avons les egalites suivantes :

µ0 = −Γ(1 − 1

m

)m

12+ 1

m

√π

,

µk = −Γ(1 − 1

m

)

√π

m12− 2k+1

m

Γ(1 − k

m

)Γ(1 − k+1

m

)Γ(

2km− 1)

Γ(

km

)Γ(

k−1m

) , pour 1 ≤ k ≤ m− 2, k 6= m

2,

µm2

= −Γ(1 − 1

m

)

√π

m12− 1

m

[Ψ(1

2− 1

m

)+ ln

(m4

)](dans le cas m pair),

µm−1 =Γ(1 + 1

m

)

√π

m− 12+ 1

m

[γ − Ψ

(1 +

1

m

)− Ψ

(1 − 1

m

)+ Ψ

(1 − 2

m

)− 2 ln(m)

],

µm = −2Γ(1 − 1

m

)

√π

m− 12− 1

m

[ln(m) + Ψ

(− 1

m

)],

et

ν0 =Γ(1 + 1

m

)m

12+ 1

m

√π

,

νk =Γ(1 + 1

m

)

√π

m12− 2k−1

m

Γ(1 − k

m

)Γ(1 − k−1

m

)Γ(

2km

− 1)

Γ(

km

)Γ(

k+1m

) , pour 1 ≤ k ≤ m− 1, k 6= m

2,

νm2

= −Γ(1 + 1

m

)

√π

m− 12+ 1

m

[Ψ(1

2+

1

m

)+ ln

(m4

)](dans le cas m pair),

νm = 2Γ(1 + 1

m

)

√π

m− 12+ 1

m

[ln(m) + Ψ

( 1

m

)],

ou Ψ(z) =Γ′(z)

Γ(z)designe la derivee logarithmique de la fonction Γ et γ =

limn→+∞

( n∑

k=1

1

k− ln(n)

)designe la constante d’Euler.

Nous deduisons de ce theoreme 2.7.1 et du corollaire 2.5.6 le corollaire

suivant :

2.7. CONCLUSION 93

Corollaire 2.7.2. Nous reprenons les notations et les hypotheses du theoreme

2.7.1 precedent et de la section 2.5.

Les fonctions L0(ωa′, p) et C0(a) admettent le developpement limite a l’origine

suivant :

L0(ωa′, p) = ν0 + ν1a1 + ν2a2 + . . .+

(νm +

2iπ

mν0

)am +O(‖a‖2)

C0(a) =

[1 + ξ0

]+

[ξ1 +

(ξ0(ω − 1

)+(ω−1 − 1

))ν1

ν0

]a1 + . . .

+

[ξm−1 +

(ξ0(ωm−1 − 1

)+(ω−(m−1) − 1

))νm−1

ν0

]am−1 +

[2iπ

m+ ξm

]am +O(‖a‖2),

ou ξ0+

m∑

j=1

ξjaj +O(‖a‖2) designe le developpement limite a l’ordre 1 a l’origine

de ω2r(a)+ m−p−32 .

Notons pour terminer que le calcul numerique approche des coefficients de

Stokes-Sibuya (a a fixe) peut egalement se faire par le biais de l’hyperasymp-

totique.

Ici, parallelement, le calcul approche des sommes de Borel des solutions doit

etre fait. Nous reviendrons en appendice B sur le probleme du calcul des

sommes de Borel, par le biais d’une autre voie que celle de l’hyperasymp-

totique, celle de la sommation par series de factorielles.


A Appendice A : utilisation de fonctions speciales

Nous allons voir dans cet appendice comment l’equation (E1) (respecti-

vement (E2)) peut se ramener, via un changement de variable convenable, a

l’equation de Bessel modifiee (respectivement a l’equation hypergeometrique

confluente).

L’interet de se ramener a ces equations est de pouvoir utiliser les proprietes

des fonctions speciales associees a ces deux equations (et notamment utiliser

les formules de connexion qui sont connues).

Ce travail va permettre d’une part de redecouvrir la formule des Ck pour

l’equation (E1) et d’autre part de completer la formule des Ck obtenue pour

l’equation (E2) afin d’avoir une formule explicite complete dans ce cas egalement.

A.1 Exemple 1 : une forme normale de l’equation de

Heun

Considerons l’equation :

(E1) x2Φ′′ = (x+ a)Φ.

C’est le cas le plus simple, lorsque m = 1. Dans ce cas, la matrice de connexion

de Stokes-Sibuya S0 est donnee par la proposition 2.6.1. Cette proposition in-

duit aussi le calcul de la matrice de connexion M0, a une fonction impaire

entiere de p = (1 + 4a)12 pres, que nous allons calculer ici grace au fait que

la forme normale (E1) ci-dessus de l’equation de Heun peut se ramener a

l’equation de Bessel modifiee. En effet, en posant :

(2.114)

t = 2x1/2

Ψ(t) = x−1/2Φ(x)

l’equation (E1) est transformee en l’equation :

(2.115) t2Ψ′′(t) + tΨ′(t) − (t2 + p2)Ψ(t) = 0, p = (1 + 4a)12 ,

qui est une equation de Bessel modifiee de parametre p. Ainsi, nous allons

pouvoir utiliser les fonctions speciales bien connues associees a l’equation de

Bessel modifiee.

Nous supposons que p = (1 + 4a)12 /∈ Z. Avec les notations du theoreme

2.3.2, nous obtenons facilement un systeme fondamental de solutions (f1, f2)

A. APPENDICE A : UTILISATION DE FONCTIONS SPECIALES 95

de (E1) de la forme :

(2.116)

f1(x, p) = Γ(p+ 1)√xIp(2

√x), Ip(t) =

(t

2

)p +∞∑

n=0

1

n!Γ(n + p+ 1)

(t

2

)2n

f2(x, p) = Γ(−p+ 1)√xI−p(2

√x), I−p(t) =

(t

2

)−p +∞∑

n=0

1

n!Γ(n− p+ 1)

(t

2

)2n

.

ou Ip (respectivement I−p) designe la fonction de Bessel modifiee (ou fonction

de Bessel d’argument imaginaire) d’ordre p (respectivement d’ordre −p), voir

[57].

Remarque A.1. Rappelons ici que les fonctions Ip et I−p sont liees etroitement

aux fonctions de Bessel de premiere espece Jp et J−p par (voir [57]) :

Ip(t) = e−iπp2 Jp(it)

I−p(t) = eiπp2 J−p(it)

Maintenant, grace au theoreme 2.1.1, il existe une unique solution Φ0 de

(E1), asymptote a l’infini a TΦ0(x, a) = e−2√

xx14φ0(x, a) avec φ0 ∈ C[a][[x−

12 ]]

dans le secteur −3π < arg(x) < 3π. Plus precisement

(2.117)TΦ0(x, a) = e−2

√xx

14

(1 +

+∞∑

n=1

(4p2 − 1) . . . (4p2 − (2n− 1)2)

n!16nxn2

)

dans Σ0 = | arg(x) |< 3π.

Par ailleurs, par le lemme 2.1.4 et le theoreme 2.1.10, nous avons un systeme

fondamental de solutions (Φ0,Φ1) de (E1), ou Φ1 est caracterisee par le developpement

asymptotique a l’infini suivant :

(2.118)

TΦ1(x, a) = e2√

xω14x

14

(1 +

+∞∑

n=1

(−1)n (4p2 − 1) . . . (4p2 − (2n− 1)2)

n!16nxn2

)

dans Σ1 = | arg(x) + 2π |< 3π

ou ω = e2πi. Comme nous allons le voir, ces fonctions Φ0 et Φ1 peuvent s’ex-

primer a l’aide des fonctions de MacDonald K(1)p et K

(2)p .

Les fonctions de MacDonald K(1)p (t) et K

(2)p (t) sont des fonctions analy-

tiques de la variable t pour t non nul ; elles sont lineairement independantes


(W (K(1)p , K

(2)p ) = π

t) et sont solutions de l’equation de Bessel modifiee (2.115).

Ces fonctions sont liees aux fonctions de Hankel par les relations suivantes :

(2.119)

K(1)p (t) =

1

2iπe

piπ2 H(1)

p (it)

K(2)p (t) =

1

2πe−

piπ2 H(2)

p (it).

De plus, elles admettent respectivement un developpement asymptotique TK(1)p

et TK(2)p quand t tend vers l’infini de la forme (voir [57]) :

(2.120)

TK(1)p (t) =

( π2t

) 12

e−t

(1 +

+∞∑

n=1

(4p2 − 1) · · · (4p2 − (2n− 1)2)

n!8ntn

)

dans Σ0 = | arg(t) |< 3π2

et

(2.121)

TK(2)p (t) =

( π2t

) 12

et

(1 +

+∞∑

n=1

(−1)n (4p2 − 1) · · · (4p2 − (2n− 1)2)

n!8ntn

)

dans Σ1 = | arg(t) + π |< 3π2.

En utilisant (2.114) et (2.115), nous en deduisons par unicite de Φ0 (resp. Φ1),

en comparant (2.120) (resp. (2.121)) a (2.117) (resp. (2.118)), que

(2.122) Φ0(x, a) =2√π

√xK(1)

p (2√x)

et

(2.123) Φ1(x, a) =2√πω

14√xK(2)

p (2√x).

Par les formules de connexion (voir [57]),

Jp(t) =1

2(H(1)

p (t) +H(2)p (t))

J−p(t) =1

2(eiπpH(1)

p (t) + e−iπpH(2)p (t)),

nous deduisons a l’aide de la remarque A.1 et de (2.119) que :

(2.124)

Ip(t) =e−iπp

iπK(1)

p (t) +1

πK(2)

p (t)

I−p(t) =eiπp

iπK(1)

p (t) +1

πK(2)

p (t).


En regroupant (2.116), (2.122), (2.123) et (2.124), nous obtenons

(2.125)

f1

f2

(x, p) =

−iΓ(p+ 1)

2√π

e−iπp −iΓ(p + 1)

2√π

−iΓ(−p + 1)

2√π

eiπp −iΓ(−p + 1)

2√π

Φ0

Φ1

(x, a)

ou la matrice du membre de droite de cette egalite est l’inverse de la matrice de

connexion M1 (cf. formule (2.63)). Par la proposition 2.4.2 nous en deduisons

finalement :

M0(p) =

−e−iπp Γ(−p)√π

−eiπp Γ(p)√π

Γ(−p)√π

Γ(p)√π

.

Remarque A.2. Ce resultat est coherent avec la proposition 2.6.1 et la remarque

2.6.2.

A.2 Exemple 2 : une forme normale de l’equation deWhittaker

Nous nous concentrons sur l’equation :

(E2) x2Φ′′ = (x2 + a1x+ a2)Φ.

Cette equation se ramene a l’equation de Whittaker. En effet, la transformation

x = t

2

φ(t) = Φ(x)

change l’equation (E2) en :

φ′′(t) = (1

4+a1

2t+a2

t2)φ(t)

qui est l’equation de Whittaker de parametres

k = −a1

2et n =

p

2= (

1

4+ a2)

12 .

Dans ce qui va suivre, nous allons faire un large usage des proprietes des

fonctions speciales associees a l’equation de Whittaker, voir par exemple [57].


Etude au voisinage de l’origine

Nous supposons ici que p = (1 + 4a2)12 /∈ Z, i.e. 2n /∈ Z. Le systeme

fondamental de solutions (f1, f2) du theoreme 2.3.2 peut s’ecrire sous la forme :

(2.126)

f1(x, a1, p) = 2−n− 12Mk,n(2x) ou

Mk,n(t) = e−t2 tn+ 1

2M(n− k +1

2, 2n+ 1, t), M(α, c, t) =

+∞∑

s=0

(α)s

(c)s

ts

s!

f2(x, a1, p) = 2n− 12Nk,n(2x) ou

Nk,n(t) = e−t2 tn+ 1

2N(n− k +1

2, 2n+ 1, t), N(α, c, t) = t1−cM(1 + α− c, 2 − c, t).

avec la notation de Pochhammer :

(α)0 = 1(α)s = α(α + 1) . . . (α + s− 1).

Remarque A.3. La fonction Mk,n est appelee une fonction de Whittaker et

M(α, c, t) est appelee une fonction de Kummer (qui est une fonction entiere

de t).

Etude a l’infini

Dans le theoreme 2.1.1, la solution Φ0 de (E2) est caracterisee par son

asymptotique. Puisque

r(a) = −a1

2= k et ω = eiπ,

nous avons TΦ0(x, a) = xke−xφ0(x, a) avec φ0(x, a) ∈ C[a1, a2][[x−1]] de terme

constant 1, dans le secteur −3π2< arg(x) < 3π

2.

De la meme maniere, Φ1 est caracterisee par son asymptotique, TΦ1(x, a) =

ω−kx−kexφ1(x, a) ou φ1(x, a) ∈ C[a1, a2][[x−1]] de terme constant 1, dans le

secteur −3π2< arg(x) + π < 3π

2.

En fait, ces deux fonctions Φ0 et Φ1 peuvent s’exprimer a l’aide des fonctions

U et V de l’equation hypergeometrique confluente :

td2f

dt2+ (c− t)

df

dt− αf = 0.


Proposition A.4.

Φ0(x, a) = 2−kWk,n(2x) ou Wk,n(t) = e−t2 tn+ 1

2U(n− k +1

2, 2n+ 1, t)

et U(α, c, t) ∼ t−α

+∞∑

s=0

(−1)s(1 + α− c)s

s!tsdans le secteur | arg(t)| < 3π

2

Φ1(x, a) = i2kenπiVk,n(2x) ou Vk,n(t) = e−t2 tn+ 1

2V (n− k +1

2, 2n+ 1, t)

et V (α, c, t) ∼ et(eiπt)α−c+∞∑

s=0

(c− α)s(1 − α)s

s!tsdans le secteur | arg(t) + π| < 3π

2

Remarque A.5. La fonction Wk,n est egalement appelee une fonction de Whit-

taker, voir [57].

Formules de connexion

Nous rappelons ici la formule de connexion suivante (voir [57]) :

M(α, c, t) = Γ(c)( e−απi

Γ(c− α)U(α, c, t) +

e(c−α)πi

Γ(α)V (α, c, t)

)

Par consequent,

Mk,n(2x) =−ie(k−n)πiΓ(2n+ 1)

Γ(n + k + 12)

Wk,n(2x) +ie(k+n)πiΓ(2n+ 1)

Γ(n− k + 12)

Vk,n(2x)

ce qui signifie que

(2.127)

f1(x, a1, p) = −ieiπ(k−n) 2k−nΓ(2n+ 1)√2Γ(n+ k + 1

2)Φ0(x, a)+e

iπk 2−k−nΓ(2n+ 1)√2Γ(n− k + 1

2)Φ1(x, a).

Par ailleurs, grace a la formule de connexion (voir [57])

U(α, c, t) =Γ(1 − c)

Γ(1 + α− c)M(α, c, t) − Γ(c)Γ(1 − c)

Γ(α)Γ(2 − c)N(α, c, t),

nous en deduisons que :

N(α, c, t) =( Γ(α)Γ(2 − c)e−απi

Γ(1 + α− c)Γ(c− α)− Γ(α)Γ(2 − c)

Γ(c)Γ(1 − c)

)U(α, c, t)

+e(c−α)πiΓ(2 − c)

Γ(1 + α− c)V (α, c, t)


et par suite :

Nk,n(2x) =(Γ(n− k + 1

2)Γ(1 − 2n)e−(n−k+ 1

2)πi

Γ(−n− k + 12)Γ(n+ k + 1

2)

−Γ(n− k + 12)Γ(1 − 2n)

Γ(2n+ 1)Γ(−2n)

)Wk,n(2x)

+(e(n+k+ 1

2)πiΓ(1 − 2n)

Γ(−n− k + 12)

)Vk,n(2x)

i.e. :

f2(x, a1, p) =

(−i2k+ne(k−n)πiΓ(1 − 2n)Γ(n− k + 12)√

2Γ(n+ k + 12)Γ(−n− k + 1

2)

− 2k+nΓ(1 − 2n)Γ(n− k + 12)√

2Γ(2n+ 1)Γ(−2n)

)Φ0(x, a)

+(2n−kekπiΓ(1 − 2n)√

2Γ(−n− k + 12)

)Φ1(x, a).

ce qui s’ecrit aussi :

(2.128)

f2(x, a1, p) = −ieiπ(n+k) 2k+nΓ(1 − 2n)√2Γ(−n+ k + 1

2)Φ0(x, a) + eiπk 2n−kΓ(1 − 2n)√

2Γ(−n− k + 12)Φ1(x, a).

Les formules (2.127) et (2.128) induisent le calcul de l’inverse de la matrice

de connexion M1. En revenant aux variables p et a1, nous avons :

(2.129)

M−11 (a1, p) =

−ieiπ(− a12− p

2) 2−

a12− p

2 Γ(p+ 1)√2Γ(p

2− a1

2+ 1

2)

e−iπa12

2a12− p

2 Γ(p+ 1)√2Γ(p

2+ a1

2+ 1

2)

−ieiπ(− a12

+ p2) 2−

a12

+ p2 Γ(1 − p)√

2Γ(−p2− a1

2+ 1

2)

e−iπa12

2a12

+ p2 Γ(1 − p)√

2Γ(−p2

+ a1

2+ 1

2)

.

En utilisant la proposition 2.4.2 nous en deduisons finalement que :

(2.130)

M0(a1, p) =

−ie−iπ p2

2−a12

+ p2+1Γ(−p)√

2Γ(−p2− a1

2+ 1

2)

−ieiπ p2

2−a12− p

2+1Γ(p)√

2Γ(p2− a1

2+ 1

2)

2a12

+ p2+1Γ(−p)√

2Γ(−p2

+ a1

2+ 1

2)

2a12− p

2+1Γ(p)√

2Γ(p2

+ a1

2+ 1

2)

.


Remarque A.6. Ce resultat est coherent avec le theoreme 2.4.3. Avec les nota-

tions du theoreme 2.4.3, nous avons egalement trouve que :

L0(a1, p) = −ieiπ p2

2−a12− p

2+1Γ(p)√

2Γ(p2− a1

2+ 1

2).

En particulier, lorsque a1 = 0 nous obtenons, en utilisant la formule de dupli-

cation de Legendre pour la fonction Gamma

L0(0, p) = 2p2 eiπ p

2(−i)√

2πΓ(p

2),

resultat qui est aussi en accord avec la proposition 2.6.1 et la remarque 2.6.2.

Par la formule (2.71) du theoreme 2.5.2, nous avons S0(a) = M0(a1, p)M−11 (a1, p)

et le resultat s’etend a 2n ∈ Z par prolongement analytique, puisque S0 est

entiere. Nous obtenons au final :

Proposition A.7. Supposons m = 2. Alors, pour tout a = (a1, a2) ∈ C2, la

matrice de connexion de Stokes-Sibuya S0 est egale a :

S0(a) =

−2ie−iπa12 2−a1

Γ(p2

+ a1

2+ 1

2)

Γ(p2− a1

2+ 1

2)

cos((p

2+a1

2)π)

e−iπa1

1 0

ou

p = (1 + 4a2)12 .

De plus, lorsque p /∈ Z, la matrice de connexion M0 est donnee par la formule

(2.130).


B Appendice B : Sommation par series de fac-

torielles

Nous nous interessons ici a la sommation effective des solutions Φk de la

section 2.1. Nous avons vu dans la partie 2.2 que, dans des variables adaptees,

ces expressions formelles etaient sommables de Borel.

Le calcul approche d’une somme de Borel peut etre fait par ce que Poin-

care appelait la “methode des astronomes” ([60]). C’est en fait la methode de

sommation au plus petit terme, que Stokes employait deja dans son article

fondateur de 1857 ([74]). Cette sommation approchee peut etre justifiee en

toute rigueur dans le cadre Gevrey (voir notamment [14] et [62]).

D’autres methodes de sommation ont ete developpees : l’utilisation des

approximants de Pade fait son apparition des les annees 1970 en physique

mathematique (voir [71]), a la suite d’ailleurs de la redecouverte de la somma-

tion de Borel par l’ecole francaise de physique theorique (groupe de Saclay),

puis est developpee dans le cadre Gevrey et d’un point de vue algorithmique

par J. Thomann notamment ([75]).

L’ecole anglo-saxonne, suivant des idees de Dingle ([30]) et sous l’impulsion de

Berry, a developpe quant a elle l’outil efficace de l’hyperasymptotique ([12]).

Nous allons nous pencher ici sur la methode des series de factorielles. Cette

methode, en theorie exacte et non approchee, remonte a F. Nevanlinna ([54]),

N.E. Norlund ([55]) et G.N Watson ([83]). Elle a regagne en interet dans le

cadre Gevrey. Nous nous refererons ici a l’article de B. Malgrange ([50]).

En sous-section 1, nous montrerons comment cette methode peut s’appli-

quer dans notre cadre. En sous-section 2, nous proposerons une legere extension

(mais a priori originale) de cette methode.

B.1 Utilisation de la sommation par series de facto-rielles classique

Rappels

Dans ce premier paragraphe, nous allons exposer la theorie classique de

sommation par series de factorielles decrite dans [50], reference a laquelle nous

renvoyons le lecteur pour les demonstrations.

Nous rappelons d’abord le theoreme suivant du a Nevanlinna (theoreme de

sommation de Borel fine) :

B. SERIES DE FACTORIELLES 103

Theoreme B.1. Soit f(z) =

+∞∑

n=0

an

zn∈ C[[z−1]]1 une serie de type Gevrey-1.

Notons f(ζ) =

+∞∑

n=1

anζn−1

(n− 1)!son mineur (qui est donc par hypothese analytique

au voisinage de l’origine).

Les assertions suivantes sont equivalentes :

1. Il existe R > 0 tel que f puisse etre prolonge analytiquement a la bande

ouverte BR = ζ ∈ C/d(ζ,R+) < R (d designant la distance eucli-

dienne) ; de plus, dans cet ouvert, f est a croissance exponentielle au

plus d’ordre 1, i.e. nous avons l’existence de A > 0, B > 0 telles que

|f(ζ)| ≤ AeB|ζ|.

2. Il existe ρ > 0, F holomorphe dans z ∈ C/ℜ(z) > ρ et deux reels

positifs K et C tels que nous ayons, pour ℜ(z) > ρ et n ≥ 1 :

∣∣∣F (z) −n−1∑

k=0

ak

zk

∣∣∣ ≤ KCn n!

|z|n−1ℜ(z).

De plus, pour ℜ(z) >> 0, F (z) = a0 +

∫ +∞

0

f(ζ)e−zζ dζ.

Remarque B.2. De facon plus precise, 1. entraıne que pour tout ℜ(z) > B et

tout n ≥ 0,

∣∣∣F (z) −n∑

k=0

ak

zk

∣∣∣ ≤ AeBR

(1

R

)nn!

|z|n(ℜ(z) −B).

Considerons maintenant une serie Gevrey-1 f(z) =

+∞∑

n=0

an

znqui satisfait aux

conditions du theoreme B.1 precedent.

Nous voulons trouver un procede de calcul effectif de F a partir de f .

Par hypothese, nous savons que le mineur f(ζ) =

+∞∑

n=1

anζn−1

(n− 1)!de f peut etre

prolonge a une bande ouverte BR = ζ ∈ C/d(ζ,R+) < R (R > 0) avec une

croissance exponentielle au plus d’ordre 1 dans cette bande.

Sa serie de Taylor le caracterise et nous allons rendre cette determination ex-

plicite.

Quitte a faire une transformation homothetique, nous supposons que R = π2

:


en posant s = e−ζ , cela definit une application biholomorphe entre le disque

ouvert D(1, 1) (i.e. le disque de centre 1 et de rayon 1) et un ouvert ∆ ⊂ Bπ2

contenant R+ : nous nous sommes ramenes a un disque.

Posons alors φ(s) = f(ζ) = f(

ln(1

s))

: φ est donc holomorphe dans D(1, 1)

et s’ecrit dans ce disque sous la forme : φ(s) =+∞∑

n=0

bn(1 − s)n.

Formellement, nous pouvons ecrire :

F (z) = a0 +

+∞∑

n=0

bn

∫ +∞

0

(1 − e−ζ)ne−zζ dζ = a0 +

+∞∑

n=0

bn

∫ 1

0

(1 − s)nsz−1 ds

= a0 ++∞∑

n=0

n!bnz(z + 1) . . . (z + n)

.

Ce developpement est precisement celui que nous cherchons et est appele

developpement en serie de factorielles.

Pour l’utiliser de maniere effective, il s’agit deja de justifier de maniere rigou-

reuse le calcul precedent. Les points clef de la demonstration sont les deux

lemmes suivants (voir [50] et [82]) :

Lemme B.3. Supposons qu’il existe A > 0 et B > 1 tels que pour tout ζ ∈ Bπ2,

nous ayons |f(ζ)| ≤ AeBℜ(ζ). Alors, pour tout C > B, la serie

+∞∑

n=1

|bn|n−C

converge.

Lemme B.4.Γ(n + 1)

Γ(z + n + 1)∼

n→∞ n−z pour z ∈ C \ R−.

Ces lemmes conduisent alors au theoreme suivant :

Theoreme B.5. Avec les notations precedentes, supposons qu’il existe A > 0

et B > 1 tels que pour tout ζ ∈ Bπ2, nous ayons |f(ζ)| ≤ AeBℜ(ζ).

Alors la serie de factorielles a0+

+∞∑

n=0

Γ(z)Γ(n + 1)bnΓ(z + n + 1)

converge absolument pour

ℜ(z) > B et represente F dans cet ouvert.

Nous avons en fait un resultat plus fort car nous pouvons montrer qu’il y

a une veritable correspondance entre le fait que la serie de factorielles associee

a F converge absolument dans un demi-plan du type ℜ(z) ≥ a > 0 et le fait


que f soit sommable de Borel dans la direction R+ de somme F .

Plus precisement, nous avons le theoreme reciproque suivant :

Theoreme B.6. Supposons qu’il existe z ∈ C, avec ℜ(z) = a > 0, tel que la

serie a0 +

+∞∑

n=0

Γ(z)Γ(n + 1)bnΓ(z + n + 1)

est absolument convergente.

Alors nous avons :

1. Cette serie est absolument convergente pour ℜ(z) ≥ a et definit une fonc-

tion F .

2. La serie φ(s) =

+∞∑

n=0

bn(1 − s)n a un rayon de convergence superieur ou

egal a 1 et en particulier la fonction f(ζ) = φ(

ln(1s))

est holomorphe

dans ∆.

De plus, pour ℜ(z) ≥ a, la fonction f(ζ)e−zζ est integrable sur [0,+∞[

et nous avons l’egalite F (z) = a0 +

∫ +∞

0

f(ζ)e−zζ dζ.

3. Pour tout ε > 0, la fonction f(ζ)e−aℜ(ζ) est bornee dans |ℑ(ζ)| ≤ π2−

ε ∩ ℜ(ζ) >> 0.

Il ne reste plus qu’a exprimer les coefficients bn en fonction des coefficients

an afin d’obtenir un calcul explicite, ce qui est donne par l’algorithme de Stir-

ling (voir [50]) :

Proposition B.7.

∀n ≥ 0, bn =1

n!

n+1∑

k=1

akΓnn−k+1,

ou Γpq est la q-ieme fonction symetrique de 0, 1, . . . , p− 1.

Remarque B.8. Les Γpq sont relies aux nombres de Stirling de premiere espece

s(n, k) (cf. [18]) par la relation Γpq = (−1)q.s(p, p− q).

Application au cas ramifie

Dans ce deuxieme paragraphe, nous allons voir que la methode de somma-

tion par serie de factorielles classique decrite dans le paragraphe B.1 precedent


peut etre utilisee pour le calcul des solutions Φk de la section 2.1.

Dans la section 2.2 (propositions 2.2.2 et 2.2.12), nous avons montre que ces

solutions sont definies comme sommes de Borel de series sommables suivant

une variable de resurgence adaptee z ou z suivant la parite de m. Ces series

sont ramifiees, de sorte que la sommation par factorielle precedente n’est pas

directement appliquable. Nous allons voir ici comment contourner cette diffi-

culte.

Avant d’aborder cette question proprement dite, indiquons auparavant une

petite simplification pratique : au lieu de travailler avec la variable z dans le

cas m impair, ou z dans le cas pair, il s’avere plus aise (mais equivalent du

point de vue de la sommation de Borel) de travailler avec la variable S definie

au theoreme 2.1.1.

En effet, etant donne que la variable de resurgence z (resp. z) s’ecrit z =

S.Λ(S, a) (resp. z = S.Λ(S, a)) ou Λ(S, a) ∈ 1+S− 2m C[a]S− 2

m (resp. Λ(S, a))

est une fonction analytique de la variable S− 2m tendant vers 1 quand S tend

vers l’infini uniformement en a sur tout compact, un resultat bien connu en

theorie de la resurgence nous assure que S peut etre choisie comme nouvelle

variable de resurgence et que les proprietes resurgentes des developpements

formels en z sont preservees : memes singularites pour leur mineur, memes

equations de resurgence.

Par suite, les proprietes de la solution canonique Φ0 s’enoncent dans la variable

S de la maniere suivante :

Theoreme B.9. Nous utilisons les notations du theoreme 2.1.1. Il existe une

unique serie formelle ψ0 ∈ C[a][[S−1/m]] pour m impair, ψ0 ∈ C[a][[S−2/m]]

pour m pair, de terme residuel egal a 1, resurgente par rapport a S avec une

dependance reguliere8 en a sur tout compact K, et sommable de Borel, uni-

formement en a ∈ K, telle que Φ0 peut s’ecrire sous la forme

(2.131) Φ0(x, a) =(m

2S) 2

mr(a)

e−Ssαψ0(S, a) |S=S(x,a)

(uniformement en a pour a dans tout compact donne), ou sα designe la somme

de Borel par rapport a S, tandis que la direction de sommation de Borel α

parcourt ]−π,+π[. De plus, le mineur de ψ0 peut etre prolonge analytiquement

au revetement universel de C\0,−2.8au sens de [24].


Revenons maintenant au calcul des solutions Φk .

Pour simplifier, nous presenterons uniquement le calcul de s0ψ0(S, a).

Dans le theoreme B.9, les developpements formels mis en jeu sont ramifies et

plus precisement, nous avons :

ψ0(S, a) =

+∞∑

k=0

Ak(a)

Skm

∈ C[a][[S− 1m ]], A0(a) = 1,

ou encore ψ0(S, a) =

m−1∑

l=0

1

Sl

m

ψ(l)0 (S, a) avec ψ

(l)0 (S, a) ∈ C[a][[S−1]] qui ne sont

plus ramifies.

Nous remarquons que, pour k = 0, 1, · · · , m− 1,

ψ0(e2iπkS, a) =

m−1∑

l=0

ω−lk

Sl

m

ψ(l)0 (S, a)

avec ω = e2πim . Par suite, nous avons aussi :

1 1 · · · 1

1 ω−1 · · · ω−(m−1)

......

......

1 ω−(m−1) · · · ω−(m−1)(m−1)

ψ(0)0 (S, a)

ψ(1)0 (S, a)

S1m

...

ψ(m−1)0 (S, a)

Sm−1

m

=

ψ0(S, a)

ψ0(e2iπS, a)

...

ψ0(e2iπ(m−1)S, a)

.

Puisque la matrice m × m du membre de gauche est une matrice de Van-

dermonde inversible, chaque ψ(l)0 (S, a) peut s’ecrire comme une combinaison

lineaire des ψ0(e2iπkS, a) fois S

lm . Par le theoreme B.9, les series formelles

ψ0(e2iπkS, a) sont sommables de Borel par rapport a S, de sorte que chaque

ψ(l)0 (S, a) est aussi sommable de Borel par rapport a S. En suivant [50, 49],

nous en deduisons :

Proposition B.10. Considerons le developpement formel ψ0(S, a) =

+∞∑

k=0

Ak(a)

Skm

∈

C[a][[S− 1m ]] du theoreme B.9. Alors, il existe b

(l)n (a) ∈ C[a] et τ > 0 tels que le

developpement en serie

m−1∑

l=0

1

Sl

m

(Al(a) +

+∞∑

n=0

Γ(S)Γ(n+ 1)b(l)n (a)

Γ(S + n+ 1)

)


converge absolument pour ℜS > τ et sa somme represente s0ψ0(S, a).

Remarque B.11. Les coefficients b(l)n (a) ∈ C[a] se deduisent des Ak(a) par l’al-

gorithme de Stirling (voir la proposition B.7).

Exemple 1

Nous considerons le cas m = 3 et a = (−2,−3, 4), autrement dit :

Pm(x, a) = x3 − 2x2 − 3x+ 4.

La fonction S(x, a) s’ecrit

S(x, a) =2

3x

32 − 2x

12 .

Par la suite, nous fixerons x = 9 ce qui correspondra a S = 12.

La serie formelle ψ0(S, a) ∈ C[[S− 1m ]] du theoreme B.9 se calcule a tout

ordre :

(2.132)

ψ0(S, a) =+∞∑

k=0

Ak(a)

Sk3

= 1 −(

128

3

) 13 1

S13

+

(2048

9

) 13 1

S23

−(

34328125

373248

) 13 1

S+ · · · .

Nous commencons l’evaluation de s0ψ0(S, a) par la sommation au plus petit

terme. Comme le mineur de ψ0(S, a) definit une serie de Puiseux de rayon de

convergence 2, la sommation au plus petit terme consiste a tronquer la serie

(2.132) au rangk

3≃ 2|S|, et il existe deux constantes Cste > 0 et ρ > 0 telles

que l’erreur commise entre la somme de cette serie tronquee et la valeur de

s0ψ0(S, a) soit majoree par Cste.|S|ρ.e−2|S| (cf. [14]).

Ceci est corrobore par la figure 2.3 : l’approximation au plus petit terme de

s0ψ0(12, a) se fait par troncation de la serie (2.132) au rang k = 73, pour une

precision de l’ordre de 10−11. Le calcul donne :

s0ψ0(12, a) ≃ 0.26256292287

Cette meme precision est atteinte par l’utilisation de la serie de factorielles2∑

l=0

1

Sl3

(Al(a) +

+∞∑

n=0

Γ(n + 1)b(l)n (a)

S(S + 1) · · · (S + n)

)en tronquant cette derniere serie

au rang n = 34.

Nous reviendrons sur cet exemple dans la sous-section B.2 qui suit.


–24–22–20–18–16–14–12–10

–8–6–4–2

02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

Fig. 2.3 – Nous avons represente pour S = 12 et m = 0, · · · , 35, par les

points de coordonnees [m, ln∣∣∣A3m(a)

Sm

∣∣∣], par les points de coordonnees [m +

13, ln∣∣∣A3m+1(a)

Sm+13

∣∣∣], par + les points de coordonnees [m+ 23, ln∣∣∣A3m+2(a)

Sm+23

∣∣∣].

B.2 Sommation par series de factorielles etendue au cas

ramifie

Dans cette deuxieme partie, nous allons presenter maintenant une methode

plus directe, qui peut etre vue comme une extension de la methode de som-

mation precedente par les series de factorielles, la difference residant dans le

fait que dans notre cas de figure, les puissances sont ramifiees.

Sommation par series de factorielles : le cas ramifie

Soit m ∈ N∗. Nous noterons encore par Cm la surface de Riemann de ζ1m ,

et par ζ le projete de ζ ∈ Cm par la projection naturelleCm

↓ πC

, et |ζ | = |ζ|.

Pour R > 0, on definit le domaine DR ⊂ Cm comme l’image inverse par π de

la bande BR = ζ ∈ C/d(ζ,R+) < R.

Dans la suite, nous considerons une serie ramifiee f(z) =

+∞∑

n=0

an

znm

∈ C[[z−1m ]]


de type Gevrey-1 (suivant 1/z), de mineur associe f(ζ) =

+∞∑

n=1

anζnm−1

Γ(

nm

) . Nous

supposons que f est une fonction holomorphe de ζ ∈ Dπ2, ζ 6= 0, et au plus a

croissance exponentielle d’ordre 1 a l’infini dans le domaine Dπ2, i.e., il existe

A > 0, B > 0 tels que ∀ζ ∈ Dπ2

(et ζ non voisin de l’origine), |f(ζ)| ≤ AeB|ζ|.

Ceci implique que la somme de Borel suivante est bien definie pour ℜ(z) > B,

F (z) = s0f(z) = a0 +

∫ +∞

0

f(ζ)e−zζ dζ,

et nous nous proposons de la calculer.

Le mineur f s’ecrit aussi sous la forme :

f(ζ) =m∑

l=1

(1 − e−ζ)l

m−1

(ζ

1 − e−ζ

) lm−1 +∞∑

k=0

al+mkζk

Γ(

lm

+ k)

=

m∑

l=1

(1 − e−ζ)l

m−1gl(ζ),

ou pour tout l ∈ 1, . . . , m, gl(ζ) est holomorphe dans Bπ2.

Par suite, pour tout r ∈ 0, 1, . . . , m− 1, nous avons :

f(e2iπrζ) =m∑

l=1

e2iπrl

m (1 − e−ζ)l

m−1gl(ζ) =

m∑

l=1

ωrl (1 − e−ζ)l

m−1gl(ζ),

avec ω = e2πim . Nous en tirons la relation :

1 1 · · · 1

1 ω · · · ωm−1

......

......

1 ωm−1 · · · ω(m−1)(m−1)

gm(ζ)

(1 − e−ζ)1m−1g1(ζ)

...

(1 − e−ζ)m−1

m−1gm−1(ζ)

=

f(ζ)

f(e2iπζ)

...

f(e2iπ(m−1)ζ)

.

Puisque la matricem×m du membre de gauche de cette derniere egalite est une

matrice de Vandermonde inversible, nous en deduisons finalement que chaque

gl(ζ) peut s’ecrire comme combinaison lineaire des f(e2iπrζ) fois (1− e−ζ)l

m−1.


Remarque B.12. Comme f est au plus a croissance exponentielle d’ordre 1 a

l’infini dans le domaine Dπ2, i.e., il existe A > 0, B > 0 tels que pour tout ζ

tendant vers l’infini dans Dπ2, |f(ζ)| ≤ AeB|ζ|, alors il en est de meme des gl :

il existe Al > 0 tel que, ∀ζ ∈ Bπ2, |gl(ζ)| ≤ Ale

B|ζ|.

Considerons a nouveau, comme dans la partie B.1 precedente, l’application

s = e−ζ , qui definit une application biholomorphe entre le disque ouvert D(1, 1)

et un ouvert ∆ contenu dans la bande Bπ2.

Posons alors : Φ(s) = f(ζ) = f(

ln(1

s)).

Φ(s) s’ecrit donc sous la forme :

(2.133) Φ(s) =m∑

l=1

(1 − s)l

m−1 gl

(ln(

1

s))

ou, comme dans la partie B.1 precedente, nous pouvons ecrire gl(ζ) sous la

forme :

(2.134) gl(ζ) =

+∞∑

j=0

b(l)j (1 − s)j.

Par consequent, Φ s’ecrit sous la forme :

(2.135) Φ(s) =+∞∑

n=1

dn(1 − s)nm−1,

avec, ∀l ∈ 1, . . . , m, ∀j ∈ N, dl+mj = b(l)j .

Formellement, nous pouvons ecrire la somme de Borel de f sous la forme :

F (z) = a0 +

∫ +∞

0

f(ζ)e−zζ dζ,

= a0 +

∫ +∞

0

+∞∑

n=1

dn(1 − e−ζ)nm−1e−zζ dζ,

= a0 +

+∞∑

n=1

dn

∫ 1

0

(1 − s)nm−1sz−1 ds

= a0 ++∞∑

n=1

Γ(

nm

)Γ(z)dn

Γ(z + n

m

) .


Ce developpement de F (z) est justement celui que nous cherchons : il

s’agit maintenant de justifier ce calcul et d’exprimer les coefficients dn de ce

developpement en fonction des coefficients an.

Nous avons la generalisation suivante du theoreme B.5 :

Theoreme B.13. Avec les notations precedentes, supposons qu’il existe A > 0

et B > 1 tels que pour tout ζ ∈ Dπ2

(et ζ non voisin de l’origine), nous ayons

|f(ζ)| ≤ AeBℜ(ζ).

Alors la serie de factorielles ramifiee a0 +

+∞∑

n=1

Γ(

nm

)Γ(z)dn

Γ(z + n

m

) converge absolu-

ment pour ℜ(z) > B et represente la somme de Borel F dans cet ouvert.

Remarque B.14. Si m = 1, le theoreme B.13 est identique au theoreme B.5.

Demonstration. Nous reprenons les idees de la demonstration du cas non ra-

mifie (voir [50]) qu’il faut bien sur adapter.

Tout d’abord, nous avons besoin de deux lemmes preliminaires.

Lemme B.15. ∀z ∈ C\R−,Γ(z)Γ( n

m)

Γ(z + nm

)∼

n→∞Γ(z)(

nm

)z .

Demonstration. Nous savons par la formule de Stirling que pour z ∈ C\R−,

Γ(z)∼

|z|→+∞z∈C\R−

√2πzz− 1

2 e−z, d’ou :

Γ(n

m) ∼

n→+∞√

2π( nm

) nm− 1

2 e−nm

1

Γ(z + nm

)∼

n→+∞ez+ n

m

√2π(z + n

m

)z+ nm− 1

2

=e

nm

√2π(z + n

m

)z− 12

ez

(z + n

m

) nm

.

Or, nous avons les equivalences suivantes :

(z +

n

m

)z− 12 ∼

n→+∞( nm

)z− 12

(z +

n

m

)− nm ∼

n→+∞( nm

)− nm e−z,

ce qui nous donne l’equivalence souhaitee.

Lemme B.16. Sous les hypotheses du theoreme B.13 precedent, la serie

+∞∑

n=1

|dn|( nm

)−C

converge pour tout C > B > 1.


Demonstration. Par la remarque B.12, nous savons que les gl(ζ), l = 1, · · · , m,

heritent des proprietes de croissance a l’infini de f(ζ) : il existe Al > 0 tel que,

∀ζ ∈ Bπ2, |gl(ζ)| ≤ Ale

B|ζ|. En vertu du lemme B.3, nous en deduisons que les

coefficients b(l)j definis par (2.134) verifient :

∀C > B > 1,+∞∑

j=1

|b(l)j |j−C < +∞.

A fortiori : pour tout l = 1, · · · , m,

∀C > B > 1,+∞∑

j=0

|b(l)j |(j +

l

m

)−C

< +∞.

Par suite, par la definition (2.135) des coefficients dn et par sommation finie

sur l,

∀C > B > 1,

m∑

l=1

+∞∑

j=0

|dl+mj|(j +

l

m

)−C

< +∞.

Ceci fournit in fine la relation :

∀C > B > 1,

+∞∑

n=1

|dn|( nm

)−C

< +∞.

Nous revenons maintenant a la demonstration du theoreme B.13 propre-

ment dite.

1. Pour ce qui est de la convergence absolue de la serie a0++∞∑

n=1

Γ(

nm

)Γ(z)dn

Γ(z + n

m

) ,

comme par le lemme B.15 :

dn

Γ(z)Γ( nm

)

Γ(z + nm

)∼

n→+∞ dnΓ(z)( nm

)−z

,

il suffit donc de voir que pour ℜ(z) > B > 1 la serie+∞∑

n=1

|dn|( nm

)−ℜ(z)

converge, ce qui est une consequence du lemme B.16.

2. Pour voir que cette serie represente bien la somme de Borel F , il s’agit

de montrer que dans l’expression

+∞∑

n=1

|dn|∫ 1

0

sz−1(1 − s)nm−1ds


nous pouvons permuter∑

et∫

.

Il suffit pour cela de montrer que la fonction

+∞∑

n=1

|dn||sz−1|(1− s)nm−1 est

integrable sur [0, 1].

Or, nous avons les egalites suivantes (en posant C = ℜ(z) > B > 1) :

+∞∑

n=1

|dn|∫ 1

0

(1 − s)nm−1|sz−1|ds =

+∞∑

n=1

|dn|∫ 1

0

(1 − s)nm−1sC−1ds

=

+∞∑

n=1

|dn|Γ(

nm

)Γ(C)

Γ(C + n

m

) .

Or cette derniere serie converge comme nous l’avons demontre au point precedent.

Il nous reste pour terminer a deduire les coefficients dn des an. Tout ce que

nous avons a faire est de calculer la decomposition donnee par le theoreme

B.13 pour1

zr, r > 0. Pour ℜ(z) > 0, nous avons

1

zr=

1

Γ(r)

∫ +∞

0

e−uzur−1du

de sorte que, avec u = − ln(s),1

zr=

1

Γ(r)

∫ 1

0

sz−1 (− ln(s))r−1 ds. Pour s ∈

]0, 1[, nous pouvons ecrire − ln(s)

1 − s=

+∞∑

j=0

j!

j + 1

(1 − s)j

j!. La serie de Taylor,

(− ln(s)

1 − s

)r−1

=+∞∑

j=0

cr,j(1 − s)j ,

se deduit alors de la formule de Faa di Bruno ([18]), et nous obtenons :

cr,0 = 1, cr,j =1

j!

∑

1≤p≤j

Γ(r)

Γ(r − p)Bj,p(

1!

2,2!

3, · · · , l!

l + 1, · · · ), j ≥ 1,

ou les Bj,p designent les polynomes de Bell exponentiels partiels ([18]). En

permutant∑

et∫

(licite par un calcul identique a celui effectue dans la

demonstration du theoreme B.13), nous en deduisons que

1

zr=

+∞∑

j=0

cr,jΓ(r)

∫ 1

0

sz−1(1 − s)r+j−1ds =+∞∑

j=0

cr,jΓ(r)

β(r + j, z)


1

zr=

+∞∑

j=0

cr,jΓ(r)

Γ(r + j)Γ(z)

Γ(r + j + z).

Nous avons en particulier :

1

zr=

Γ(z)

Γ(r + z)+

+∞∑

j=1

dr,jΓ(z)

Γ(r + j + z)

avec

(2.136) dr,j =

(∑

1≤p≤j

Bj,p(1!2, 2!

3, · · · , l!

l+1, · · · )

Γ(r − p)

)Γ(r + j)

j!.

En particulier, pour m ∈ N⋆ et l ∈ N⋆,

1

zl

m

=Γ(z)

Γ(z + lm

)+

+∞∑

j=1

d lm

,j

Γ(z)

Γ(z + l+jmm

).

Nous en deduisons alors facilement le resultat qui suit :

Lemme B.17. Dans le theoreme B.13, nous avons, pour n ∈ N⋆,

dn =1

Γ( nm

)

an +

∑j≥1, l≥1l+jm=n

d lm

,j.al.

ou les dr,j sont definis par (2.136).

Notons pour finir que le theoreme B.13 induit le resultat interessant sui-

vant :

Theoreme B.18. Soit f(z) =

+∞∑

n=0

an

znm

∈ C[[z−1m ]] une serie de type Gevrey-1,

de mineur associe f(ζ) =+∞∑

n=1

anζnm−1

Γ(

nm

) .

Supposons qu’il existe R > 0 tel que f puisse etre prolonge holomorphiquement

sur DR pour ζ 6= 0, et qu’il existe A > 0, B > 0 tels que ∀ζ ∈ DR (et ζ non

voisin de l’origine), |f(ζ)| ≤ AeB|ζ|.

Nous posons λ =Rπ2

et a(λ)n = λ

nm−1an et nous supposons que λB > 1.

Alors la serie de factorielles modifiee λ

a(λ)

0 ++∞∑

n=1

Γ(

nm

)Γ(λz)d

(λ)n

Γ(λz + n

m

)

converge

absolument pour ℜ(z) > B et represente la somme de Borel s0f(z) dans cet

ouvert.


Demonstration. Posons fλ(ζ) = f(λζ). Ainsi fλ se prolonge holomorphique-

ment sur Dπ2

pour ζ 6= 0, et ∀ζ ∈ Dπ2

(et ζ non voisin de l’origine), |fλ(ζ)| ≤AeλB|ζ|.

Par ailleurs, fλ n’est autre que le mineur de la serie formelle fλ(z) =1

λf(zλ

)=

+∞∑

n=0

a(λ)n

znm

, ou a(λ)n = λ

nm−1an. Puisque λB > 1, nous deduisons du theoreme

B.13 que la serie de factorielles ramifiee a(λ)0 +

+∞∑

n=1

Γ(

nm

)Γ(z)d

(λ)n

Γ(z + n

m

) converge ab-

solument pour ℜ(z) > λB et represente la somme de Borel s0fλ(z) dans cet

ouvert.

Exemple 2

Nous considerons de nouveau le cadre du theoreme B.9 avec m = 3 et

a = (−2,−3, 4), c’est a dire

Pm(x, a) = x3 − 2x2 − 3x+ 4.

Nous fixerons encore une fois x = 9 dans

S(x, a) =2

3x

32 − 2x

12 .

de sorte que S = 12.

–25–20–15–10

–50

20 40 60 80 100

Fig. 2.4 – Nous avons represente pour S = 12 et n = 1, · · · , 107 les points de

coordonnees [n, ln

∣∣∣∣∣Γ(

n3

)Γ(S)

Γ(S + n

3

) dn(a)

∣∣∣∣∣].


Partant du calcul de la serie formelle ψ0(S, a) ∈ C[[S− 1m ]] du theoreme B.9,

ψ0(S, a) =

+∞∑

n=0

An(a)

Sn3

= 1 −(

128

3

) 13 1

S13

+

(2048

9

) 13 1

S23

−(

34328125

373248

) 13 1

S+ · · · ,

nous evaluons sa somme de Borel s0ψ0(S, a) en S = 12 par le biais du theoreme

B.13 :

s0ψ0(S, a) = A0(a) ++∞∑

n=1

Γ(

n3

)Γ(S)dn(a)

Γ(S + n

3

) .

Les coefficients dn(a) se deduisent des An(a) par le lemme B.17.

En tronquant la serie de factorielles ramifiee a l’ordre n = 107, le calcul redonne

(2.137) s0ψ0(12, a) ≃ 0.26256292287

pour une precision de l’ordre de 10−11 comme dans l’exemple 1.

Pour cet exemple, le theoreme B.18 s’applique pour tout R < 2. En prenant

R = 1.99 et en tronquant la serie de factorielles generalisee a n = 79, le calcul

nous fournit de nouveau le resultat (2.137) avec le meme ordre de precision :

comme nous pouvions nous y attendre, pour R > π2, le theoreme B.18 fournit

une acceleration de la convergence.

Plus surprenant, ce phenomene d’acceleration de convergence continue a

s’observer en appliquant le theoreme B.18 pour des valeurs de R plus grande

que celles theoriquement permises. C’est ce que montre le tableau suivant :

Ordre de troncation nSommation au plus petit terme n = 73

Sommation par fact. gene. R = π/2 n = 107R = 1.99 n = 79R = 3 n = 64R = 4 n = 55R = 5 n = 46R = 6 n = 43R = 7 n = 43

Calcul de s0ψ0(12, a) a 10−11 pres.


Ceci pose evidemment la question pratique suivante :

Probleme : dans le cadre du theoreme B.18, si nous nous donnons z tel

que ℜ(z) > B et ε > 0 (assez petit), pouvons-nous determiner N tel que

l’erreur commise entre la somme de Borel s0fλ(z) et la somme de la serie de

factorielles generalisee tronquee λ

a(λ)

0 +N∑

n=1

Γ(

nm

)Γ(λz)d

(λ)n

Γ(λz + n

m

)

soit au plus

egale a ε ?

Chapitre 3

Analyse BKW et theoreme dereduction au voisinage d’unpoint tournant simple

3.1 Introduction

3.1.1 Motivations

1Comme nous l’avons vu dans le chapitre precedent, les relations fonc-

tionnelles verifiees par les coefficients de Stokes-Sibuya Ck ne suffisent pas en

general a les caracteriser. Il s’agit donc de chercher d’autres types d’informa-

tions les concernant.

Dans ([68]), Y. Sibuya a analyse le comportement asymptotique des Ck

dans le cas ou le potentiel V de (Em) est polynomial (ce qui correspond, dans

notre etude, au cas ou Pm(x, a) est divisible par x2). L’equation (Em) s’ecrit

alors sous la forme

d2Φ(x)

dx2=(xm−2 + a1x

m−3 + · · · + am−2

)Φ(x).

Plus precisement, il a etudie la croissance a l’infini des Ck dans le theoreme

suivant (nous enoncons le resultat pour C0 seulement) :

Theoreme 3.1.1. Supposons m ≥ 5. Soit ω = exp(−2iπm

).

Considerons le coefficient de Stokes-Sibuya C0(a1, . . . , am−2, 0, 0) associe a l’equation

(Em) dans le cas ou le polynome Pm(x, a) est divisible par x2.

Nous rajoutons un parametre complexe perturbatif λ et nous posons C0(a1, . . . , am−2+

1Le contenu de ce chapitre a ete soumis pour publication (en anglais).

119

120 CHAPITRE 3. ANALYSE BKW EXACTE

λ, 0, 0) = C0(a′′, λ).

Nous voyons alors C(a′′, λ) comme une fonction de la variable λ ∈ C.

Pour tout δ0 > 0 fixe assez petit, C0(a′′, λ) admet le comportement asympto-

tique suivant :

– C(a′′, λ) ≃ expM(ω

mm−2 − 1)λ

m2m−4 [1 + o(1)]

quand λ → ∞ dans le

secteur V1 = | arg(λ) − π| < π − δ0 et

– C(a′′, λ) ≃ expM(ω

mm−2 − 1)λ

m2m−4 [1 + o(1)]

+ exp

− M(ω

mm−2 −

1)λm

2m−4 [1+o(1)]

quand λ→ ∞ dans le secteur V2 = | arg(λ) − 2π| < δ0

uniformement par rapport a a′′ sur tout compact de Cm−2.

Dans ces expressions, on a

M =

∫ +∞

0

[(tm−2 + 1)12 − t

m−22 ]dt = − 1

2√π

Γ(−1

2− 1

m− 2)Γ(1 +

1

m− 2),

et, bien entendu, o(1) → 0 quand λ→ ∞.

Notons que dans le theoreme 3.1.1, le comportement asymptotique de

C(a′′, λ) depend des secteurs dans lesquels λ tend vers l’infini.

C´est ce phenomene que Stokes decouvrit en 1857 (voir [74]) pour la fonction

d’Airy et qui porte aujourd’hui son nom.

Cette estimation de la croissance exponentielle a l’infini des coefficients Ck

est essentielle car elle renseigne directement sur la localisation et la distribution

des zeros des Ck (voir [13]).

Or, ces dernieres jouent notamment un role fondamental dans l’etude spec-

trale de certains operateurs (par exemple les operateurs dits PT -symetriques)

associes a l’equation (Em) et qui interviennent en mecanique quantique (voir

[9], [10]).

De fait, il est naturel et interessant de s’interroger, dans notre cas, sur

le comportement asymptotique global des coefficients de Stokes-Sibuya Ck

lorsque a→ ∞. De telles considerations conduisent a des problemes d’asymp-

totiques et de phenomene de Stokes a plusieurs variables (voir [7], [73]).

Une autre idee (voir [59]) consiste a introduire un parametre de pertur-

bation ε via un changement d’echelle convenable dans l’equation (Em), et a

analyser le caractere Gevrey ou resurgent par rapport a ce dernier parametre.

Ce type de resurgence est appelee resurgence quantique ou coequationnelle,

et debouche tout naturellement sur l’etude de developpements formels sui-

vants ε, solutions de l’equation (Em), et qu’on appelle developpements BKW

3.1. INTRODUCTION 121

ou developpements semi-classiques (voir [22], [24]). Une telle etude a ete deja

menee dans la these de T.D. Trinh ([78]) dans le cadre polynomial et il est

donc naturel d’essayer de la prolonger dans notre cas de figure.

Comme annonce, par des considerations de quasi-homogeneite, nous procedons

par perturbation en introduisant un facteur d’echelle, i.e. un “petit” parametre

de perturbation singuliere ε, ce qui conduit au changement de variables :

x = qε−2m

ak = Akε− 2k

m , ∀k ∈ 1, . . . , m.

L’equation (Em) est alors transformee via ce changement de variable en :

(Eεm) ε2 d

2

dq2(Ψ(q)) = Qm(q, A)Ψ(q)

avec

A = (A1, . . . , Am)

Ψ(q, A) = Φ(x, a)

Qm(q, A) =qm + A1 + · · · + Am

q2.

Nous n’allons pas etudier la structure resurgente quantique complete de (Eεm)

mais nous allons nous interesser a la structure resurgente locale au voisinage

des points “interessants” du point de vue de l’analyse BKW.

L’objet de ce chapitre est l’etude resurgente locale au voisinage d’un point

tournant simple, qui est bien sur le cas generique pour un point tournant.

Il est egalement naturel de se demander si une etude analogue peut etre mise

en oeuvre dans le cas d’un pole puisque le potentiel de (Eεm) est une fraction

rationnelle. Un premier resultat en ce sens a ete etabli par Koike ([47]) (voir

le paragraphe 3.6).

3.1.2 Reduction a une forme canonique

Nous nous placons donc maintenant au voisinage d’un point tournant simple

de l’equation (Eεm) i.e. nous supposons que Qm admet un zero simple et, quitte

a translater la situation, nous supposons que ce zero est l’origine.

Afin de simplifier les notations nous ecrivons l’equation (Eεm) sous la forme

(Eεm) ε2d

2Y

dq2= V (q)Y


avec

(3.1) V (q) = q +

+∞∑

n=2

vnqn

analytique au voisinage de l’origine admettant 0 comme zero simple.

Cette hypothese sur V signifie que q = 0 est un point tournant simple pour

les solutions formelles BKW. Nous rappelons que ces solutions BKW sont des

combinaisons lineaires de solutions formelles BKW elementaires de (Eεm) de la

forme :

(3.2) Ybkw(q, ε) = e−1

ε

∫ q√V (t)dt

(+∞∑

k=0

Yk(q)εk

).

Nous rappelons egalement que ces solutions formelles BKW elementaires (definies

localement en q 6= 0) sont definies de maniere unique a normalisation pres,

i.e. a multiplication pres par un developpement formel inversible de la forme

ecε

∑

k≥0

ckεk, c, ck ∈ C, c0 6= 0.

En suivant [1] et [59], notre strategie a ete d’abord de “redresser” la geometrie

au voisinage de l’origine via un changement de variable q ↔ z qui transforme la

forme differentielle√V (q)dq en

√zdz (l’application cotangente associee trans-

forme l’equation de la sous-variete Lagrangienne P 2 − V (q) = 0 en p2 − z = 0

).

Ceci nous amene a poser la transformation :

(3.3)

z(q) =

(3

2

∫ q

0

V (t)12dt

) 23

Y (q, ε) =(dzdq

)− 12

Φ(z, ε).

Ce changement de variable transforme (Eεm) en l’equation “redressee” :

(3.4)d2Φ

dz2− z

ε2Φ = F (z)Φ,

avec

(3.5) F (z) =z

2V (q)z, q|q = q(z),

3.1. INTRODUCTION 123

ou z, q =z′′′(q)

z′(q)− 3

2

(z′′(q)

z′(q)

)2

designe la derivee Schwarzienne de z par

rapport a q.

Concernant F , nous avons la propriete suivante :

Lemme 3.1.2. Si V (q) est holomorphe au voisinage de 0, V (q) ∼ q, alors

F (z) est holomorphe au voisinage de l’origine.

Demonstration. Du developpement en serie de Taylor convergent (3.1), nous

en deduisons que3

2

∫ q

0

V (t)12dt−q 3

2 ∈ q52 Cq, de sorte que z(q)−q ∈ q2Cq.

Le theoreme de Lagrange nous permet d’obtenir la fonction inverse q(z) qui

est elle aussi une fonction holomorphe au voisinage de 0. Etant donne que

z, q = −q, z(dzdq

)2

, nous en deduisons facilement que F (z) est holomorphe

au voisinage de 0 (et F (z) =3

7v3 − 9

35v22 + O(z), ou les vi sont definis en

(3.1)).

Remarque 3.1.3. Lorsque V (q) est une fonction entiere (ou meme une fonc-

tion meromorphe), un resultat plus precis peut etre obtenu en utilisant les

proprietes bien connues de la transformation q 7→∫ q

V (t)12dt en termes de

transformation conforme (voir, par exemple, [43, 68, 38]). La figure 3.1 illustre

ce type de resultat :

Par la transformation (3.3), l’analyse BKW exacte pour l’equation “cano-

nique” (3.4) va ainsi se traduire en une analyse similaire pour l’equation de

Schrodinger (Eεm).

A partir de maintenant, nous allons generaliser notre etude en nous focali-

sant sur l’equation (3.4) :

d2Φ

dz2− z

ε2Φ = F (z)Φ,

avec F une fonction holomorphe, au moins au voisinage de l’origine.

3.1.3 Plan d’etude

Le chapitre est organise de la maniere suivante.

Dans un premier temps, nous allons analyser en detail dans la section 3.2


–2

–1

0

1

2

–4 –3 –2 –1 0 1 2 –3

–2

–1

0

1

2

3

–2 –1 0 1 2 3

Fig. 3.1.a Fig. 3.1.b

Fig. 3.1 – La transformation q → z (donnee par (3.3)) pour V (q) = q +1

2q2.

L’ouvert complementaire de la zone grisee dans le plan de la variable q (Fig.3.1.a) est envoye conformement sur le domaine coupe dans le plan de la variablez (Fig. 3.1.b. La coupure est la ligne pleine). Les lignes en pointille sont leslignes de Stokes (relatives a la direction d’argument 0). La fonction F (z) estholomorphe dans le domaine coupe dessine a la Fig. 3.1.b.

l’equation (3.4) dans le cas ou F = 0 : l’equation (3.4) n’est alors rien d’autre

que l’equation d’Airy, qui va nous servir de modele pour l’analyse BKW exacte

de l’equation (3.4) dans le cas general. En particulier, nous y definissons le

symbole BKW d’Airy, y rappelons ses proprietes de resurgence et sommabilite

et analysons en detail le phenomene de Stokes associe.

Dans la section 3.3, nous commencons par l’analyse BKW formelle de

l’equation (3.4) dans le cas general en montrant l’existence d’une famille de

solutions BKW formelles “bien normalisees” de (3.4).

La section 3.4 constitue la partie centrale de ce chapitre, ou nous allons

etudier la structure resurgente locale des solutions BKW formelles elementaires

et plus precisement montrer que leur structure de Stokes (locale) est la meme

que celle des symboles BKW d’Airy. La demonstration se fait en deux etapes :

1. La premiere etape consiste a construire dans le cas ou la fonction F est

holomorphe au voisinage de l’origine (respectivement entiere) des fonc-

tions confluentes (respectivement fonctions confluentes resurgentes) solu-

tions de (3.4) a support singulier la courbe algebrique C = (z, ξ), 9ξ2 =

4z3. Cette construction repose essentiellement sur deux ingredients :

une quantification de la transformation canonique associee a l’operateur

3.2. CAS DE L’EQUATION D’AIRY 125

principal intervenant dans l’equation (3.4), puis la resolution d’une EDP

singuliere.

2. La deuxieme etape consiste alors a demontrer l’existence d’une famille de

solutions BKW elementaires qui peuvent etre vues comme la decomposition

locale (respectivement decomposition) dans des germes de secteurs de

Stokes (respectivement secteurs de Stokes) convenables des fonctions

confluentes (respectivement fonctions confluentes resurgentes) precedemment

construites.

La section 3.5 est consacree aux applications des resultats obtenus en

section 3.4. Un premier paragraphe etablit l’existence d’un theoreme local

resurgent de reduction tandis qu’un deuxieme paragraphe est consacre a l’ana-

lyse BKW de l’equation de Schrodinger (Eεm) induite par celle de notre equation

principale (3.4). Un dernier paragraphe expose quelques extensions possibles

de nos resultats.

Enfin, la section 3.6 expose quelques pistes de recherche decoulant naturel-

lement de notre analyse.

Nous terminons par un appendice qui expose brievement quelques notions

fondamentales utilisees dans ce papier.

3.1.4 Convention

Dans l’analyse BKW exacte, tous les principaux objets ((pre)sommation

de Borel, secteurs de Stokes, etc.) sont relatifs a une direction donnee α, qui

peut etre vue comme un argument.

Dans tout ce qui va suivre, sauf mention contraire, nous supposerons que α = 0,

de sorte que ℜ(ε) > 0 (et |ε| assez petit).

3.2 Cas de l’equation d’Airy

Nous nous concentrons ici sur l’equation d’Airy :

(3.6)d2Φ

dz2=

z

ε2Φ,

c’est-a-dire sur l’equation (3.4) lorsque F = 0.

Comme nous l’avons dit, cette equation va nous servir de reference pour l’ana-

lyse BKW de l’equation (3.4), du fait que l’operateur principal intervenant


dans (3.4) est precisement celui d’Airy.

Nous rappelons ici les principaux resultats connus concernant l’analyse BKW

de l’equation d’Airy.

3.2.1 Aspect formel : le symbole BKW d’Airy

Nous commencons par introduire une solution BKW formelle “bien norma-

lisee” associee a l’equation d’Airy :

Definition 3.2.1. La solution BKW elementaire suivante :

(3.7)

Abkw(z, ε) =e−2

3

z3/2

ε

z14

(1 +

+∞∑

n=1

αn(z)εn

)

αn(z) =

(−3

4

)n Γ(n+ 16)Γ(n+ 5

6)

2πΓ(n+ 1)z−

3n2 , n ≥ 1.

sera appelee le symbole BKW d’Airy.

Le symbole BKW d’Airy satisfait aux proprietes fondamentales de resurgence

et de sommabilite (de Borel) suivantes :

Proposition 3.2.2. Le symbole BKW d’Airy est resurgent sommable de Borel

en ε−1, a dependance reguliere en z 6= 0.

Remarque 3.2.3. En particulier, le mineur ζ 7→+∞∑

n=1

αn(z)ζn−1

(n− 1)!se prolonge

holomorphiquement a˜C \ 0,−4

3z

32.

3.2.2 Etude du phenomene de Stokes associe

Pour cette etude, nous renvoyons a [44, 21, 22, 24] pour plus de details.

Rappelons ici que nous avons fait le choix de prendre la direction α = 0 comme

direction de sommation de Borel.

Les lignes de Stokes et les secteurs de Stokes sont alors ceux dessines sur la

figure 3.2.a.

Tant que z reste dans l’un des secteurs de Stokes, le symbole BKW d’Airy

est sommable de Borel. Par exemple, fixons les conventions suivantes :

3.2. CAS DE L’EQUATION D’AIRY 127

S−1

S1S2

0

L 1

L 0

L −1

23

32z

λ

Fig. 3.2.a Fig. 3.2.b

Fig. 3.2 – Fig. 3.2.a : L0, L1 et L−1 sont les lignes de Stokes (dans le z-plan)associees a la direction α = 0. Les trois secteurs de Stokes sont les secteursouverts connexes bornes par les lignes de Stokes (en oubliant la ligne ondulee).Fig. 3.2.b : Le contour d’integration dans le ξ-plan. Les lignes ondulees sontdes coupures.

Convention : en dessinant une coupure comme sur la Fig. 3.2.a, nous fixons

la determination de z3/2 (resp. z1/4) de sorte que z3/2 (resp. z1/4) est reel positif

le long de L0.

Nous notons A+bkw(z, ε) la determination de Abkw(z, ε) ainsi definie. Nous po-

sons egalement A−bkw(z, ε) := A+

bkw(z,−ε).

Notation : nous avons vu dans la proposition 3.2.2 que le symbole BKW

d’Airy A+bkw est sommable de Borel.

Nous noterons

(3.8) A(z, ε) = s0

(A+

bkw

)(z, ε)

sa somme de Borel.

Pour z ∈ S−1 ∪ L0 ∪ S1, A+bkw(z, ε) est le developpement asymptotique de

A(z, ε) qui par ailleurs s’etend analytiquement en une fonction entiere en z.

En particulier, A(z, ε) = 2√πε−1/6Airy(zε−2/3), ou Airy est la fonction d’Airy.

Historiquement, c’est par l’intermediaire de l’equation d’Airy que Stokes

decouvrit le phenomene qui porte aujourd’hui son nom (voir son article fon-

dateur de 1857 [74]).


Il y a plusieurs facons de decrire le phenomene de Stokes : le point de vue adopte

ici est de decrire ce phenomene comme une rupture dans la decomposition de

la fonction A(z, ε) lors de la traversee d’une ligne de Stokes. Cette rupture est

due a la presence de singularites pour le mineur associe a A(z, ε).

Precisons les choses (nous renvoyons le lecteur a l’appendice C.3.1 pour la

notion de “decomposition”).

La sommabilite de Borel induit une correspondance bijective entre un

developpement formel et sa somme de Borel de sorte que nous pouvons as-

socier a A sa decomposition A+bkw pour z ∈ S1 (resp. S−1) :

(3.9)

A(z, ε)σS1−→ A+

bkw(z, ε).

(resp. A(z, ε)

σS−1−→ A+bkw(z, ε).

)

Le fait que la decomposition de A(z, ε) dans S1 et S−1 est donnee par le

meme developpement formel, ou autrement dit, que la sommation de Borel et

prolongement analytique en z commutent encore lorsque l’on franchit la ligne

de Stokes L0, est du au fait que le symbole BKW d’Airy A+bkw est recessif le

long de L0 (avec la determination precedemment choisie pour z3/2).

En revanche, ce n’est plus vrai lorsque, venant de S1 (resp. S−1) l’on traverse la

ligne de Stokes L1 (resp. L−1) : pour z sur ces lignes, un phenomene de Stokes

apparaıt, et ce dernier est completement decrit par l’action de la derivation

etrangere suivante :

(3.10) ∆− 43z3/2A+

bkw(z, ε) = ℓA+bkw(z, ε) = −iA−

bkw(z, ε)

ou ℓ est le prolongement analytique en z autour de 0 dans le sens trigo-

nometrique. Cela signifie que la decomposition de A pour z ∈ S2 (disons)

devient :

(3.11) A(z, ε)σS2−→ A+

bkw(z, ε) − ℓA+bkw(z, ε) = A+

bkw(z, ε) + iA−bkw(z, ε)

De meme, pour z ∈ L0, nous avons :

(3.12) ∆+ 43z3/2A−

bkw(z, ε) = ℓA−bkw(z, ε) = −iA+

bkw(z, ε).

La presence de ces deux singularites (mobiles avec z) pour le mineur associe

a A(z, ε) se traduit egalement naturellement en termes de lieu singulier d’un

3.3. ANALYSE BKW FORMELLE DANS LE CAS GENERAL 129

majeur.

En effet, la somme de Borel de A+bkw pour z ∈ S1 (disons) peut etre definie

comme une integrale,

(3.13) s0 (Abkw) (z, ε) =

∫

λ

e−1εξ

∨Abkw (z, ξ) dξ.

ou∨

Abkw (z, ξ) est un majeur associe au symbole BKW d’Airy. Ce majeur est

holomorphe sur le revetement universel de C2\C, ou le support singulier C est

la courbe algebrique C = (z, ξ), 9ξ2 = 4z3. Le contour d’integration λ est

dessine sur la figure 3.2.b pour z ∈ S1, et sa deformation pour z ∈ S2 apres la

traversee de la ligne de Stokes L1 est dessinee sur la figure 3.3.

23

32z

32z2

3

Fig. 3.3 – Effet du phenomene de Stokes decrit par (3.10) en termes de ladeformation du contour d’integration pour la somme de Borel (3.13).

Notons pour terminer que la representation integrale (3.13) ci-dessus peut

etre deduite de la representation usuelle pour la fonction d’Airy, plus precisement

(a un facteur de normalisation pres) :

(3.14)

∫e−

1εS(z,bz) dz ou S(z, z) = zz − 1

3z3.

Notre analyse dans la section 2.4 sera basee sur une extension de cette representation

integrale.

3.3 Analyse BKW formelle dans le cas general

Nous nous focalisons maintenant sur l’equation :

(3.4)d2Φ

dz2− z

ε2Φ = F (z)Φ,


en supposant desormais que F est une fonction analytique au voisinage de

l’origine quelconque.

Nous nous interessons tout d’abord au probleme de l’existence de solutions

BKW formelles de l’equation (3.4) (de maniere analogue a la section 3.2).

3.3.1 Existence de solutions BKW formelles

Etant donne que l’operateur principal apparaissant dans l’equation (3.4)

est celui d’Airy, il est naturel de rechercher des solutions BKW formelles de la

meme forme que celle du symbole BKW d’Airy.

Ceci nous conduit a la proposition suivante (dont la demonstration est immediate) :

Proposition 3.3.1. Il existe des solutions BKW formelles de l’equation (3.4)

de la forme :

(3.15) Φbkw(z, ε) =e−2

3

z3/2

ε

z14

(1 + g1(z)ε1 + g2(z)ε

2 + · · · ).

Dans ce cas, les fonctions gn verifient les equations (differentielles) de transport

suivantes :

(3.16)

32z5/2dg1

dz+ 16z2F (z) − 5 = 0

32z5/2dgn+1

dz− 16z2d

2gn

dz2+ 8z

dgn

dz+(16z2F (z) − 5

)gn = 0, n ≥ 1.

Bien evidemment, le developpement (3.15), qui est multivalue en z, depend

du choix de la determination pour z3/2 (de meme que pour z14 ).

Puisque l’equation (3.4) est invariante sous l’action de ε 7→ −ε, nous en

deduisons que

(3.17) Φbkw(z,−ε)

est une autre solution BKW formelle, et que de plus Φbkw(z, ε),Φbkw(z,−ε)definit une base de solutions BKW formelles pour l’equation (3.4).

3.3. ANALYSE BKW FORMELLE DANS LE CAS GENERAL 131

3.3.2 Solutions BKW elementaires

Nous voudrions obtenir une normalisation analogue a celle adoptee pour le

symbole BKW d’Airy.

Pour cela, il est interessant d’utiliser une autre representation de ces developpe-

ments BKW. En ecrivant Φbkw(z, ε) sous la forme

(3.18) Φbkw(z, ε) = exp

(−1

ε

∫ z

P (t, ε)dt

),

l’equation (3.4) devient :

(3.19)1

ε

dP

dz+

1

ε2

(z − P 2

)+ F (z) = 0.

Cela signifie que si

(3.20) P (z, ε) =∑

n≥0

pn(z)εn

alors :

(3.21)

p20 = z

2p0p1 =dp0

dz

2p0p2 =dp1

dz− p2

1 + F (z)

2p0pn+1 =dpn

dz−∑

1≤j≤n

pjpn+1−j, n ≥ 2.

Nous montrons facilement par recurrence que :

(3.22)

p0(z) = z12

p1(z) =1

4z

pn(z) ∈ z−3n−1

2 Cz, n ≥ 2.

En introduisant la decomposition P = Ppair+Pimpair,

Ppair =∑

k≥0

p2kε2k

Pimpair =∑

k≥0

p2k+1ε2k+1

,

nous deduisons de (3.19) que Pimpair =ε

2

P ′pair

Ppairou P ′

pair =dPpair

dz. Par consequent,

nous avons la representation :

(3.23)

Φbkw(z, ε) =C(ε)√Ppair(z, ε)

exp

(−1

ε

∫ z

Ppair(t, ε)dt

), avec C(ε) ∈ C[[ε]].


Proposition 3.3.2. Les solutions BKW formelles (3.15) de (3.4) peuvent etre

normalisees de telle maniere que pour tout n ≥ 0, gn(z) ∈ z−3n2 Cz.

Demonstration. Pour n = 1, nous deduisons de (3.16) que g1(z) = h1(z)+Cste,

ou h1(z) ∈ z−32 Cz tandis que Cste est un nombre complexe quelconque. En

choisissant Cste = 0, cela fournit le resultat.

Maintenant, pour un n ≥ 1 fixe, nous supposons que gn(z) ∈ z−3n2 Cz. De

(3.16) nous tirons :

gn+1(z) = − 1

32

∫Hn(z) dz,

ou

Hn(z) =−16z2g′′n(z) + 8zg′n(z) + (16z2F (z) − 5) gn(z)

z5/2∈ z−

3n+52 Cz.

Si n est pair, nous obtenons que gn+1(z) = hn+1(z) + Cste, ou hn+1(z) ∈z−

3n+32 Cz. En choisissant Cste = 0 pour la constante d’integration, cela

donne le resultat. Si n est impair, un log(z) pourrait a priori apparaıtre par

integration, mais cela serait en contradiction avec la representation equivalente

(3.23) et la propriete (3.22).

Definition 3.3.3. Les solutions BKW formelles decrites dans la proposition

3.3.2 seront appelees les solutions BKW elementaires de l’equation (3.4).

3.4 Resurgence (locale) des solutions BKW elementaires

3.4.1 Construction de fonctions confluentes

Considerons les solutions BKW elementaires decrites dans la proposition

3.3.2. Nous voudrions “realiser” le theoreme de Borel-Ritt, c’est-a-dire construire

des fonctions analytiques dont l’asymptotique est gouvernee par (au moins une

famille de) ces symboles BKW elementaires.

Le point de vue est ici “inverse” par rapport au cas d’Airy : nous ne

partons pas d’objets formels pour en deduire des fonctions analytiques par

(pre)sommation mais au contraire nous voulons partir de fonctions confluentes

(respectivement confluentes resurgentes) et deduire nos objets formels (plus

precisement une famille de symboles BKW elementaires) par decomposition

dans des germes de secteurs de Stokes (respectivement secteurs de Stokes)

convenables. Ce point de vue “inverse” est en effet souvent plus commode

3.4. RESURGENCE (LOCALE) DES SOLUTIONS BKW ELEMENTAIRES133

lorsque l’on manipule des objets dependant analytiquement d’un parametre

(typiquement lorsqu’on etudie la resurgence parametrique d’objets formels).

Representation de type Laplace

Puisque le symbole principal p2 − z de l’operateur definissant l’equation

(3.4) est simplement l’operateur d’Airy, en nous inspirant des deux differentes

representations de la somme de Borel du symbole BKW d’Airy, nous aimerions

trouver des solutions analytiques de (3.4) sous forme integrale.

1. Une premiere piste est de partir de la representation (3.14) ci-dessus, en

pensant S(z, z) = zz − 1

3z3 comme une fonction generatrice de la trans-

formation canonique (p, z) ↔ (p, z) dans l’espace cotangent, dont l’effet

est de redresser la sous-variete Lagrangienne p = p2 − z = 0.

Cette piste de recherche nous amene a considerer, comme dans [58], la

quantification de la transformation canonique, i.e. rechercher des solu-

tions de la forme :

(3.24) Φ(z, ε) =

∫e−

1εS(z,bz)ϕ(z, ε) dz.

2. Une seconde piste est de rechercher des solutions de (3.4) definies comme

somme de Borel, i.e. :

(3.25) Φ(z, ε) =

∫e−

1εξ

∨Φ (z, ξ) dξ,

ou∨Φ (z, ξ) doit etre un majeur d’une microfonction confluente conve-

nable (au sens developpe dans l’appendice C). Ce que nous entendons

par “convenable” est la chose suivante : dans la representation integrale

(3.25), en derivant sous le signe somme et en integrant formellement par

parties, nous traduisons le fait que Φ est solution de (3.4) par le fait de

demander a∨Φ de satisfaire a l’equation :

(3.26)∂2

∨Φ

∂z2− z

∂2∨Φ

∂ξ2= F (z)

∨Φ .

Dans les deux cas, plusieurs difficultes se presentent :

– En general, il n’existe pas de chemin “sans fin” pour lequel les integrales

(3.24) ou (3.25) convergent.


– L’idee naturelle est alors de tronquer un chemin convenable, ce qui per-

met alors, sous de bonnes hypotheses sur l’integrande, d’obtenir des fonc-

tions analytiques mais ces dernieres ne sont pas necessairement des so-

lutions de (3.4).

Au lieu de rechercher directement des solutions pour l’EDP (3.26), nous

allons combiner les deux idees precedentes liees aux representations integrales

(3.24) et (3.25).

En faisant dans (3.25) le changement de variable ξ ↔ z defini par ξ = S(z, z),

nous obtenons la representation integrale :

(3.27) Φ(z, ε) =

∫

γ

e−1εS(z,bz)Ψ(z, z) dz,

∨Φ (z, ξ)

∣∣ξ = S(z, z) =

Ψ(z, z)

z − z2,

ou le chemin d’integration γ est, pour l’instant, vu comme un chemin sans fin,

allant a l’infini dans les zones ou ℜ(1εS(z, z)

)→ +∞.

En posant Ψ(z, z) =∨Φ (z, ξ), nous deduisons facilement de (3.26) que Ψ doit

etre solution de l’EDP lineaire suivante :

(3.28)∂2Ψ

∂z2− 2z

z − z2

∂2Ψ

∂z∂z− 1

z − z2

∂2Ψ

∂z2= F (z)Ψ.

Resolution de l’EDP singuliere associee

Le resultat principal de cette section est le theoreme fondamental d’exis-

tence suivant :

Theoreme 3.4.1. Supposons que F et h soient des fonctions holomorphes au

voisinage de l’origine. Alors il existe une unique fonction holomorphe Ψ(z, z)

au voisinage de (0, 0) satisfaisant aux conditions :

(3.29)

Ψ(z, z)∣∣z = z2 = 1

(− 1

2z

∂Ψ

∂z(z, z)

)∣∣z = z2 = h(z).

et telle que Ψ(z, z) :=Ψ(z, z)

z − z2soit solution de l’EDP lineaire (3.28).

De plus, si F et h sont des fonctions entieres de z, alors Ψ(z, z) s’etend ana-

lytiquement a C2.

Remarque 3.4.2. La demonstration de ce theoreme permet de voir que la fonc-

tion Ψ(z, z) est necessairement une fonction paire en z.


Deux exemples Nous donnons ici deux exemples de resolution explicite.

– Lorsque F (z) = λ2, λ ∈ C, nous montrons facilement que

(3.30) Ψ(z, z) =e±λ(z−bz2)

z − z2

sont solutions particulieres de (3.28) (avec h(z) = ±λ). En choisissant

dans (3.27) des contours d’integration convenables γ, nous obtenons ainsi

une base de solutions resurgentes de (3.4) de la forme :

(3.31) Φ(z, ε) =

∫

γ

e−1εS(z,bz)Ψ(z, z) dz, Ψ(z, z) = e±λ(z−bz2).

– Lorsque F (z) = λ2z, λ ∈ C, des solutions particulieres de (3.28) sont

donnees par

(3.32) Ψ(z, z) =e±

13λ(z−bz2)

√4z−bz2

z − z2,

qui, par linearite, fournissent des solutions de (3.4) de la forme :

(3.33)

Φ(z, ε) =

∫

γ

e−1εS(z,bz)Ψ(z, z) dz, Ψ(z, z) = cosh

(1

3λ(z − z2)

√4z − z2

).

Notons que Ψ(z, z) (qui correspond a h(z) = 0) est holomorphe pour

(z, z) ∈ C2 (grace a la parite du cosinus hyperbolique), et que cette

integrale converge pour |ε| assez petit (pour un choix convenable de γ).

Demonstration dans le cas general Ce paragraphe est entierement consacre

a la demonstration du theoreme fondamental 3.4.1.

Dans la representation integrale (3.27), ayant en tete la methode du col,

nous demandons a la fonction Ψ(z, z) d’etre holomorphe au voisinage du lieu∂S(z, z)

∂z= 0 definissant les points cols. Puisque

∂S(z, z)

∂z= z − z2, nous

introduisons la transformation :

(3.34)

(z, z) ↔ (z, x = z − z2)

ψ(z, x) := Ψ(z, z) = Ψ(z, z)(z − z2)

Par cette transformation, l’equation (3.28) se traduit pour ψ en l’equation

suivante :

(3.35) x2∂2ψ

∂x2+ (4xz − 2x2)

∂2ψ

∂x∂z+ x2∂

2ψ

∂z2+ (2x− 4z)

∂ψ

∂z− x2F (z)ψ = 0.


Nous allons maintenant rechercher des solutions holomorphes de l’equation

(3.35) pour x au voisinage de zero (et z proche de 0 egalement).

Etant donne que dans l’equation (3.35), x = 0 est un point singulier, le resultat

est non trivial car il ne peut decouler simplement du theoreme de Cauchy-

Kovalevska.

Nous allons d’abord commencer par regarder l’existence de solutions for-

melles pour (3.35) de la forme

(3.36) ψ(z, x) =∑

n≥0

an(z)xn.

Lemme 3.4.3. Soit h(z) une fonction holomorphe au voisinage de l’origine.

Alors il existe un unique developpement formel ψ(z, x) =∑

n≥0

an(z)xn solution

de (3.35) tel que les an(z) soient des fonctions holomorphes au voisinage de

z = 0, avec

(3.37)

a0(z) = 1a1(z) = h(z).

Dans ce cas, nous avons de plus, pour n ≥ 2 :

(3.38)

an(z) =1

n− 1

∫ 1

0

un−1

(−a′′n−2(u

4z)+2(n−2)a′n−1(u4z)+F (u4z)an−2(u

4z)

)du

Demonstration. En remplacant ψ(z, x) par (3.36) dans l’equation (3.35), et en

identifiant les puissances de x, nous obtenons le systeme suivant :

(3.39)

∂a0

∂z= 0

4z∂an

∂z+ nan =

1

n− 1

(−∂

2an−2

∂z2+ 2(n− 2)

∂an−1

∂z+ F (z)an−2

), pour n ≥ 2.

Il suffit alors d’integrer l’equation (3.39) en tenant compte du fait que les an

doivent etre holomorphes au voisinage de z = 0.

Nous avons demontre au lemme 3.4.3 l’existence d’une famille de solutions

formelles de (3.35). A notre connaissance, les theories classiques (voir [41, 45])

pour analyser la convergence de ces solutions formelles de l’EDP singuliere

(3.35) ne s’appliquent pas dans notre cas. Afin de montrer la convergence,

nous allons utiliser le resultat suivant :


Lemme 3.4.4. Une serie formelle ψ(z, x) ∈ Cz[[x]] verifie (3.37) et (3.38)

si et seulement si ϕ(z, x) :=ψ(z, x)

x− 1

x∈ Cz[[x]] satisfait a l’equation

integrale suivante :

(3.40)

ϕ(z, x) = h(z) + x

∫ 1

0

uF (zu4)du+ 2x

∫ 1

0

u∂1ϕ(zu4, ux)du

−∫ 1

0

du

∫ ux

0

dt(t∂2

1ϕ(zu4, t) + 2∂1ϕ(zu4, t) − tF (zu4)ϕ(zu4, t)),

ou ∂21ϕ :=

∂2ϕ

∂z2et ∂1ϕ :=

∂ϕ

∂z.

Demonstration. Nous considerons la serie ψ(z, x) =∑

n≥0

an(z)xn donnee par le

lemme 3.4.3, en supposant la convergence.

Comme

∫ x

0

xn−21 dx1 =

xn−1

n− 1, nous pouvons ecrire, pour u ∈ [0, 1] et (z, x)

dans un voisinage de l’origine,

−∑

n≥2

un−1

n− 1a′′n−2(zu

4)xn = −x∑

n≥2

un−1a′′n−2(zu4)

∫ x

0

xn−21 dx1

= −xu∫ x

0

∑

n≥2

a′′n−2(zu4)(ux1)

n−2 dx1

= −xu∫ x

0

∑

n≥0

a′′n(zu4)(ux1)n dx1

= −xu∫ x

0

∂21ψ(zu4, ux1) dx1

= −x∫ ux

0

∂21ψ(zu4, t) dt.

Par consequent,

(3.41)∑

n≥2

(∫ 1

0

(− un−1

n− 1a′′n−2(zu

4)

)du

)xn = −x

∫ 1

0

du

∫ ux

0

∂21ψ(zu4, t) dt.


Par ailleurs, nous avons :

∑

n≥2

un−1

n− 1F (zu4)an−2(zu

4)xn = x∑

n≥2

un−1F (zu4)an−2(zu4)

∫ x

0

xn−21 dx1

= ux

∫ x

0

∑

n≥2

F (zu4)an−2(zu4)(ux1)

n−2 dx1

= ux

∫ x

0

∑

n≥0

F (zu4)an(zu4)(ux1)n dx1

= ux

∫ x

0

F (zu4)ψ(zu4, ux1) dx1

= x

∫ ux

0

F (zu4)ψ(zu4, t) dt,

de sorte que

(3.42)∑

n≥2

(∫ 1

0

(un−1

n− 1F (zu4)an−2(zu

4)

)du

)xn = x

∫ 1

0

du

∫ ux

0

F (zu4)ψ(zu4, t) dt.

Enfin, nous avons

∑

n≥2

2(n− 2)un−1

n− 1a′n−1(zu

4)xn

=∑

n≥2

2un−1a′n−1(zu4)xn − 2x

∑

n≥2

a′n−1(zu4)un−1 x

n−1

n− 1

= 2x∑

n≥0

a′n(zu4)(ux)n − 2x∑

n≥2

un−1a′n−1(zu4)

∫ x

0

xn−21 dx1

= 2x∂1ψ(zu4, ux) − 2x

∫ x

0

∑

n≥2

a′n−1(zu4)(ux1)

n−1 dx1

x1


et par suite

∑

n≥2

2(n− 2)un−1

n− 1a′n−1(zu

4)xn = 2x∂1ψ(zu4, ux) − 2x

∫ x

0

∑

n≥0

a′n(zu4)(ux1)n dx1

x1

= 2x∂1ψ(zu4, ux) − 2x

∫ x

0

∂1ψ(zu4, ux1)dx1

x1

= 2x∂1ψ(zu4, ux) − 2x

∫ ux

0

∂1ψ(zu4, t)dt

t,

ou nous avons utilise a0(z) = 1 (voir (3.37)). Par consequent,

∑

n≥2

(∫ 1

0

(un−1

n− 12(n− 2)a′n−1(zu

4)

)du

)xn

(3.43) = 2x

∫ 1

0

∂1ψ(zu4, ux)du− 2x

∫ 1

0

∫ ux

0

∂1ψ(zu4, t)dt

tdu.

Maintenant en utilisant (3.37) et (3.38), nous deduisons de (3.41), (3.42)

et (3.43) que :

ψ(z, x) = 1 + h(z)x+∑

n≥2

an(z)xn

= 1 + h(z)x− x

∫ 1

0

du

∫ ux

0

∂21ψ(zu4, t) dt+ x

∫ 1

0

du

∫ ux

0

F (zu4)ψ(zu4, t) dt

+2x

∫ 1

0

∂1ψ(zu4, ux)du− 2x

∫ 1

0

du

∫ ux

0

∂1ψ(zu4, t)dt

t.

En se rappelant que ϕ(z, x) :=ψ(z, x)

x− 1

x, cela nous donne (3.40).

Le lemme 3.4.4 va nous permettre de demontrer la convergence des

developpements formels definis dans le lemme 3.4.3. A cet effet, introduisons

une definition.

Definition 3.4.5. Si W est un ouvert borne de Cn, n ≥ 1, et E espace de

Banach, nous notons par H(W,E) l’espace des fonctions f : Z 7→ f(Z) ∈ E

qui sont continues pour Z ∈W et holomorphes dans W .

Nous rappelons le resultat classique suivant :


Proposition 3.4.6. Soit W un ouvert borne de Cn, n ≥ 1, et E un espace de

Banach. Nous munissons l’espace H(W,E) de la norme du maximum :

‖f‖W = supZ∈W

|f(Z)|.

Alors (H(W,E), ‖.‖W ) est un espace de Banach.

Dans toute la suite, D(0, l) ⊂ C designe le disque ouvert centre en 0 de

rayon l > 0.

Proposition 3.4.7. Supposons F, h ∈ H(D(0, r1),C) et soit 0 < r0 < r1.

Posons R =3r12

(− 1 +

√1 +

4r0(r1 − r0)

9er21

).

Alors, il existe une unique fonction holomorphe ψ(z, x) au voisinage de (0, 0)

solution de l’equation (3.35), et satisfaisant aux conditions initiales suivantes :

(3.44)

ψ(z, 0) = 1

∂ψ

∂x(z, 0) = h(z).

De plus, ψ(z, x) peut etre prolongee analytiquement sur D(0, r0) ×D(0, R).

Demonstration. La demonstration est inspiree plus ou moins de techniques

standards (voir, par exemple, [76], §17).

1. Pour 0 ≤ s ≤ 1 nous notons Us := D(0, rs) avec rs := r0 + sd0 et

d0 = r1 − r0.

2. Nous cherchons une solution φ ∈ H(D(0, r′), H(U0,C)), 0 < r′ < R, de

l’equation (3.40) avec la convention φ(x)(z) = φ(x, z).

Cette equation s’ecrit sous la forme :

φ(x) = θ0(x) + 2x

∫ 1

0

uTu(φ(ux)) du−∫ 1

0

du

∫ ux

0

Lu,t(φ(t)) dt,

avec θ0 ∈ H(D(0, r1), H(U1,C)) definie par :

θ0(x) : z 7→ h(z) + x

∫ 1

0

uF (zu4) du,

et des operateurs Tu, Lu,x : H(Us,C) → H(Us′,C) definis pour tout

(u, x) ∈ [0, 1] × C et 0 ≤ s < s′ ≤ 1 (ou s = s′ si u < 1) par :

(3.45)

(Tuψ)(z) = ∂ψ(zu4)

(Lu,xψ)(z) = x∂2ψ(zu4) + 2(Tuψ)(z) − xF (zu4)ψ(zu4).


Par les formules de Cauchy,

(3.46)

∂ψ(zu4) =1

2iπ

∮ψ(t)

(t− zu4)2dt

∂2ψ(zu4) =2

2iπ

∮ψ(t)

(t− zu4)3dt,

ou nous integrons dans le sens direct sur un cercle centre en zu4. Etant

donne que rs − u4rs′ = (1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0, nous avons :

(3.47)

‖∂ψ(u)‖Us′≤ ‖ψ‖Us

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0

‖∂2ψ(u)‖Us′≤ 2‖ψ‖Us(

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0

)2 ,

ou ∂ψ(u) : z 7→ ∂ψ(zu4) et ∂2ψ(u) : z 7→ ∂2ψ(zu4).

Par suite, pour tout (u, x) ∈ [0, 1] ×D(0, R), nous avons :

(3.48)

‖Tuψ‖Us′≤ ‖ψ‖Us

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0

‖Lu,xψ‖Us′≤(

2|x|((1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0

)2 +2

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0

+|x|‖F‖D(0,r1)

)‖ψ‖Us

3. Introduisons maintenant la suite de fonctions definie pour k ≥ 0 par :

(3.49)

θk+1(x) = θ0(x) + 2x

∫ 1

0

uT (u, x)θk(ux) du−∫ 1

0

du

∫ ux

0

L(u, t)θk(t) dt.

Evidemment (3.49) definit une suite (θk)k de fonctions holomorphes en

x ∈ D(0, R), continues pour x ∈ D(0, R), a valeurs dans H(Us,C),i.e.

pour tout 0 ≤ s < 1 :

(3.50) ∀k ≥ 0, θk ∈ H(D(0, R), H(Us,C)

).


Posons egalement :

(3.51)

δ0(x) := θ0(x)

δk+1(x) := θk+1(x) − θk(x)

= 2x

∫ 1

0

uT (u, x)δk(ux) du−∫ 1

0

du

∫ ux

0

L(u, t)δk(t) dt, k ≥ 0.

Observons dans un premier temps que, pour tout 0 ≤ s < 1, et tout

x ∈ D(0, R),

(3.52) ‖δ0(x)‖Us ≤M, avec M = ‖h‖D(0,r1) +R

2‖F‖D(0,r1).

Nous allons alors montrer le lemme suivant

Lemme 3.4.8. Pour tout 0 ≤ s < 1, pour tout k ∈ N et tout x ∈D(0, R),

(3.53) ‖δk(x)‖Us ≤M(e|x|

(αk(s)|x| + β

)

r0d0(1 − s)

)k

,

avec α0 = 1, αk(s) = 1 +r0d0(1 − s)‖F‖D(0,r1)

kpour k ≥ 1 et β = 3r1.

Demonstration. Nous procedons par recurrence sur k.

Le cas k = 0 est donne par (3.52).

Supposons maintenant que (3.53) soit satisfaite pour un k ∈ N donne et

pour tout 0 ≤ s < 1.

Pour tout 0 ≤ s′ < s < 1, nous deduisons de (3.51) et (3.48) que :

‖δk+1(x)‖Us′≤ 2|x|

∫ 1

0

u‖δk(ux)‖Us

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0du

+

∫ 1

0

du

∫ u|x|

0

(2t

((1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0

)2 +2

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0

(3.54) +t‖F‖D(0,r1)

)‖δk(t)‖Us dt.


Par l’hypothese de recurrence faite sur δk(x), nous avons alors :

I1 = 2|x|∫ 1

0

u‖δk(ux)‖Us

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0du

≤ 2Mek

(r0d0(1 − s)

)k∫ 1

0

(u|x|)k+1(αk(s)u|x| + β)k

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0du

≤ 2Mek|x|k+1(αk(s)|x| + β)k

(r0d0(1 − s)

)k∫ 1

0

uk+1

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0du.

Or, nous avons la majoration suivante :

∫ 1

0

uk+1

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0du ≤ 1

d0(s− s′)

∫ 1

0

uk+1du ≤ 1

(k + 1)d0(s− s′).

Par suite, nous en deduisons que :

(3.55) I1 ≤Mek(αk(s)|x| + β)k|x|k+1

(k + 1)(r0d0(1 − s)

)k( 2r1r0d0(s− s′)

).

De meme, nous avons :

I2 =

∫ 1

0

du

∫ u|x|

0

2t‖δk(t)‖Us((1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0

)2 dt

≤ 2Mek(αk(s)|x| + β)k

(r0d0(1 − s)

)k∫ 1

0

du

∫ u|x|

0

tk+1

((1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0

)2 dt

≤ 2Mek|x|k+2(αk(s)|x| + β)k

(k + 1)(r0d0(1 − s)

)k∫ 1

0

uk+1

((1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0

)2 du.

Or, nous avons la majoration suivante :

∫ 1

0

uk+1

((1 − u4)r0 + (s− u4s′d0

)2du ≤∫ 1

0

u((1 − u2)r0 + (s− u2s′)d0

)2du

d’ou : ∫ 1

0

uk+1

((1 − u4)r0 + (s− u4s′d0

)2du ≤ 1

2r0d0(s− s′).



(3.56) I2 ≤Mek(αk(s)|x| + β)k|x|k+2

(k + 1)((r0d0(1 − s)

)k( 1

r0d0(s− s′)

).

Par ailleurs, nous avons egalement :

I3 = 2

∫ 1

0

du

∫ u|x|

0

‖δk(t)‖Us

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0dt

≤ 2Mek(αk(s)|x| + β)k

(r0d0(1 − s)

)k∫ 1

0

du

∫ u|x|

0

tk

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0dt

≤ 2Mek(αk(s)|x| + β)k|x|k+1

(k + 1)(r0d0(1 − s)

)k∫ 1

0

uk+1

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0du.

Or, nous avons les majorations suivantes :∫ 1

0

uk+1

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0du ≤

∫ 1

0

u

(1 − u2)r0 + (s− u2s′)d0du,

d’ou∫ 1

0

uk+1

(1 − u4)r0 + (s− u4s′)d0du ≤ 1

2(r0 + s′d0)ln( r0 + sd0

d0(s− s′)

)≤ r1

2r0d0(s− s′).


(3.57) I3 ≤Mek(αk(s)|x| + β)k|x|k+1

(k + 1)(r0d0(1 − s)

)k( r1r0d0(s− s′)

).

Enfin, nous avons :

I4 =

∫ 1

0

du

∫ u|x|

0

t‖F‖D(0,r1)‖δk(t)‖Us dt

≤ Mek(αk(s)|x| + β)k‖F‖D(0,r1)(r0d0(1 − s)

)k∫ 1

0

du

∫ u|x|

0

tk+1 dt

≤ Mek|x|k+2(αk(s)|x| + β)k‖F‖D(0,r1)

(k + 1)(r0d0(1 − s)

)k

d’ou :

(3.58) I4 ≤Mek(αk(s)|x| + β)k|x|k+2

(k + 1)(r0d0(1 − s)

)k(r0d0(s− s′)‖F‖D(0,r1)

r0d0(s− s′)

).


Finalement, en utilisant les majorations (3.55), (3.56), (3.57) et (3.58),

nous obtenons :

‖δk+1‖Us′≤

(3.59)Mek(αk(s)|x| + β)k|x|k+1

(r0d0(1 − s)

)k(k + 1)

[(1+r0d0(s−s′)‖F‖D(0,r1)

)|x|+β

] 1

r0d0(s− s′).

En choisissant dans (3.59) : s = s′ +1 − s′

k + 1, i.e. 1 − s =

k

k + 1(1 − s′),

nous obtenons :

(3.60) ‖δk+1‖Us′≤ Mek(αk+1(s

′)|x| + β)k+1|x|k+1

(r0d0(1 − s′)

)k(1+

1

k

)k 1

r0d0(1 − s′).

Mais, ∀k ∈ N,(1 +

1

k

)k ≤ e, donc nous en deduisons finalement que :

(3.61) ‖δk+1‖Us′≤ M

[e|x|(αk+1(s′)|x| + β)

r0d0(1 − s′)

]k+1

,

ce qui acheve la recurrence.

4. Remarquons alors que

(αk(s)|x| + β)k = (|x| + 3r1)k

(1 +

r0d0(1 − s)‖F‖D(0,r1)|x|(|x| + 3r1)k

)k

.

Par suite, par le lemme 3.4.8, nous en deduisons que la serie majorante

de∑

k≥0

δk(x) converge des que

e|x|(|x| + 3r1)

r0d0(1 − s)< 1,

c’est-a-dire pour

0 ≤ |x| ≤ 3r12

(− 1 +

√1 +

4r0d0(1 − s)

9er21

).

Par consequent, la serie∑

k≥0

δk(x) converge absolument dans H(Us,C)

(pour tout 0 ≤ s < 1) et uniformement en x ∈ K, ou K est un compact


quelconque du disque ouvert |x| < 3r12

(− 1 +

√1 +

4r0d0(1 − s)

9er21

). Par

construction, sa somme θ(x) satisfait a l’equation :

(3.62)

θ(x) = θ0(x) + 2x

∫ 1

0

uT (u, x)θ(ux) du−∫ 1

0

du

∫ ux

0

dt L(u, t)θ(t),

de sorte que la fonction holomorphe ϕ(z, x) := θ(x)(z) est solution de

l’equation integrale (3.40). En specialisant le resultat pour s = 0, nous

obtenons le theoreme par le lemme 3.4.4.

Nous deduisons facilement de la proposition 3.4.7 le resultat suivant :

Corollaire 3.4.9. Dans la proposition 3.4.7, si F et h sont des fonctions

entieres de z, alors ψ(z, x) s’etend analytiquement a C2.

Nous revenons maintenant a la fonction Ψ(z, z) associee a ψ(z, x) par (3.34).

Le theoreme fondamental 3.4.1 se deduit alors directement du lemme 3.4.3, de

la proposition 3.4.7 et de son corollaire 3.4.9.

Construction explicite

Comme ξ = S(z, z) = zz − 13z3, nous avons l’equivalence :

z = z2 ⇐⇒ ξ = ±2

3z

32 .

Par suite, le theoreme fondamental 3.4.1 entraıne le theoreme suivant :

Theoreme 3.4.10. Supposons que F et h soient des fonctions holomophes au

voisinage de l’origine. Alors la fonction∨Φ (z, ξ) definie par :

(3.63)∨Φ (z, ξ)|ξ = S(z, z) :=

Ψ(z, z)

z − z2

avec Ψ comme dans le theoreme 3.4.1, est solution de (3.26) et est un majeur

d’une microfonction confluente en (0, 0) a support singulier la courbe algebrique

C = (z, ξ), 9ξ2 = 4z3 (cf. definition C.4.2).

Lorsque F et h sont des fonctions entieres de z, alors∨Φ (z, ξ) est un ma-

jeur d’une microfonction confluente resurgente en (0, 0) a support singulier la

courbe algebrique C.


−z1/2

z1/2

γ λ

23

32z

Fig. 3.4.1a Fig. 3.4.1b

−z1/2

z1/2

γ λ

23

32z

23

32z

Fig. 3.4.2a Fig. 3.4.2b

z1/2

−z1/2

γ λ

23

32z

23

32z

Fig. 3.4.3a Fig. 3.4.3b

Fig. 3.4 – Sur les figures de gauche les chemins de plus grande pente et lechemin γ, et sur les figures de droite son image λ par la transformation z 7→ξ = S(z, z) (les lignes ondulees sont des coupures). Fig. 3.4.1 pour z ∈ S1, Fig.3.4.2 pour z sur L1, Fig. 3.4.3 pour z ∈ S2 (voir figure 3.2).


L’existence d’un tel majeur va nous permettre de construire in fine les

fonctions confluentes recherchees en utilisant la representation integrale (3.27).

Proposition 3.4.11. Considerons l’integrale

(3.64) Φ(z, ε) =

∫

γ

e−1εS(z,bz)Ψ(z, z) dz

avec Ψ comme dans le theoreme 3.4.1 (ou d’une maniere equivalente l’integrale

(3.65) Φ(z, ε) =

∫

λ

e−ξε

∨Φ (z, ξ) dξ.

avec∨Φ (z, ξ) comme dans le theoreme 3.4.10).

Notons γ le chemin γ tronque comme dans la figure 3.4 (et λ son image par

la transformation z 7→ ξ = S(z, z) pour l’integrale (3.65)).

Alors, si F et h sont holomorphes au voisinage de l’origine (respectivement

entieres), alors les representations integrales

(3.66) Φ(z, ε) =

∫

γ


et

(3.67) Φ(z, ε) =

∫

λ

e−ξε

∨Φ (z, ξ) dξ

representent une fonction confluente Φ(z, ε) (respectivement une fonction confluente

resurgente) a support singulier la courbe algebrique C (au sens de la definition

C.4.4).

Demonstration. 1. Dans le cas ou F et h sont holomorphes au voisinage

de l’origine, en suivant le theoreme 3.4.1, nous savons que Ψ(z, z) est

holomorphe dans un voisinage de l’origine dans C2, disons pour (z, z) ∈D(0,

r2

4) × D(0, r) avec r > 0 assez petit, ou D(0, r) designe le disque

ouvert de rayon r centre en 0. Par consequent, l’integrale (3.27) est bien

definie pourvu que nous tronquions le chemin d’integration γ qui est alors

note par γ, comme sur la figure 3.4.

Alors, dans la representation integrale

(3.68) Φ(z, ε) =

∫

γ



en faisant le changement de variable ξ = S(z, z), nous avons l’integrale

correspondante, ou le chemin λ est dessine sur la figure 3.4.

(3.69) Φ(z, ε) =

∫

λ

e−ξε

∨Φ (z, ξ) dξ.

Une consequence du theoreme 3.4.10 est que l’integrale de Laplace (3.69)

represente une fonction confluente Φ(z, ε) a support singulier dans C, au

sens de la definition C.4.4.

2. Lorsque F et h sont des fonctions entieres, puisque par le theoreme 3.4.1

(resp. theoreme 3.4.10) Ψ(z, z) (resp.∨Φ (z, ξ)) peut etre prolonge ana-

lytiquement dans tout C2 (resp. peut etre prolonge comme un majeur

d’une microfonction confluente resurgente), l’integrale tronquee (3.68)

(resp. (3.69)) a encore un sens pour toute troncature, et nous pou-

vons interpreter les representations integrales (3.69) et (3.68) comme

une presomme de Borel [24, 17], definissant ainsi fonction confluente

resurgente Φ(z, ε) a support singulier dans C (cf. remarque C.4.5).

3.4.2 Decomposition et consequences

Existence de solutions BKW elementaires de type Airy (local)

Nous rappelons d’abord la definition suivante (voir [44]) :

Definition 3.4.12. Un symbole resurgent elementaire Φ(z, ε) est dit de type

Airy local en (z = 0, ε = 0) (respectivement de type Airy) s’il verifie les

conditions suivantes :

1. son support singulier est inclus dans la courbe algebrique

C = (z, ξ), 9ξ2 = 4z3 au voisinage de (z = 0, ε = 0),

2. pour toute direction α, et tout germe de secteur de Stokes (respecti-

vement secteur de Stokes) S relatif a α, toute determination du sym-

bole Φ(z, ε) peut s’ecrire comme la decomposition locale (respectivement

decomposition), pour z ∈ S, d’une fonction confluente (respectivement

d’une fonction confluente resurgente) a support singulier inclus dans C.


L’existence de la fonction confluente Φ(z, ε) definie a la proposition 3.4.11

va nous permettre d’etablir le theoreme suivant (qui est le resultat central de

ce chapitre) :

Theoreme 3.4.13. Lorsque F est holomorphe au voisinage de l’origine (res-

pectivement entiere), il existe une famille de solutions BKW elementaires (res-

pectivement elementaires resurgentes) de type Airy local (respectivement de

type Airy) Φbkw(z, ε) de l’equation (3.4),

Demonstration. Le point crucial de la demonstration repose sur le fait que la

decomposition locale (resp. decomposition) de la fonction confluente Φ(z, ε)

(resp. fonction confluente resurgente Φ(z, ε)) de la proposition 3.4.11 peut

se deduire de la representation integrale (3.66) par la methode du col. Nous

decrivons ce que nous obtenons pour un germe de secteurs de Stokes (resp.

secteurs de Stokes) dans la figure 3.2.a.

1. Decomposition dans S1 :

Lemme 3.4.14. Pour z dans le germe de secteurs de Stokes (resp. sec-

teur de Stokes) S1, la decomposition locale (resp. decomposition) de la

fonction confluente (resp. fonction confluente resurgente) Φ(z, ε) induit

un developpement BKW formel unique :

(3.70) Φ(z, ε)σS1−→ i

√πεΦ+

bkw(z, ε).

De plus, Φ+bkw(z, ε) est la determination dans S1 d’une solution BKW

elementaire Φbkw(z, ε) de l’equation (3.4)

Demonstration. Pour la representation integrale (3.66), z etant dans le

(germe de) secteur de Stokes S1, cela correspond a la situation decrite

sur la Fig. 3.4.1a. En deformant le chemin d’integration γ sous le flot

∇(ℜ(S(z, z)

ε

))(les extremites γ restant fixees), nous voyons que seul

le point col z =√z a une contribution non triviale a la decomposition.

Il s’agit tout d’abord d’inverser la formule :

(3.71) S(z, z) − 2

3z

32 = −1

3(z −

√z)2 (z + 2

√z).

Cela decoule du lemme de Morse, dont nous explicitons la demonstration

dans notre cadre.

En posant

Z2 = S(z, z) − 2

3z

32 ,


l’equation (3.71) s’ecrit sous la forme suivante :

(A− (iZ)F(A)

)(A + (iZ)F(A)

)= 0,

avec

A = z −√z,

F(A) =√

3 (A + 3√z)−

12 .

Par ailleurs, F est analytique dans un disque ferme D(0, R) pour R > 0

assez petit et nous posons : M = sup|A|=R

|F(A)| < +∞.

Nous en deduisons que, pour Z tel que |Z| < RM

, l’equation A−(iZ)F(A) =

0 (respectivement A + (iZ)F(A) = 0) admet, en vertu du theoreme

d’inversion locale, une unique racine A = G(iZ) (respectivement A =

G(−iZ)) dans le disque ouvert D(0, R) et de plus G est analytique dans

Z, |Z| < RM.

En outre, son developpement de Taylor a l’origine est donne par la for-

mule d’inversion de Lagrange :

A = G(iZ) =

+∞∑

l=1

αlZl,

avec αl =1

l!

dl−1

dAl−1

(F(A)

)lA=0

(αl depend de z).


(3.72) z −√z =

Z

z14

(∑

l≥0

αl

(Z

z34

)l)

(de maniere explicite,

z−√z = −

∑

l≥0

Γ(3l + 12)

32lΓ(2l + 2)Γ(l + 12)

(iZ)2l+1

z32l+ 1

4

−∑

l≥1

Γ(3l − 1)

32l−1Γ(2l + 1)Γ(l)

(iZ)2l

z32l− 1

2

).

Par ailleurs, la fonction Ψ(z, z) du theoreme 3.4.1 est paire en z.

Ainsi, son developpement en serie de Taylor a z =√z s’ecrit sous la

forme :

Ψ(z, z) =∑

n≥0

β2n(z)(z −√z)2n +

∑

n≥0

β2n+1(z)√z(z −

√z)2n+1


avec βm(z) ∈ Cz pour tout m ∈ N (et β0 = 1).

Posons alors :

G(z, Z) = Ψ(z, z),

Le developpement de Taylor de G a Z = 0 est alors de la forme suivante :

(3.73) G(z, Z) =∑

p≥0

δp(z)Zp

z34p

avec δp(z) ∈ Cz pour tout p ∈ N (et δ0 = 1). En combinant (3.72)

et (3.73), nous obtenons le developpement en serie de Taylor a Z = 0

suivant :

G(z, Z)dz

dZ=∑

m≥0

τm(z)Zm

z34m+ 1

4

,

avec τm(z) ∈ Cz pour tout m ∈ N (et τ0 = α0 β0 = i).


σS1 (Φ(z, ε)) = e−23

z3/2

ε

∑

m≥0

τm(z)

z34m+ 1

4

∫

R

e−Z2

ε Zm dZ

et nous concluons par le fait que, pour n ∈ N,∫

R

e−Z2

ε Z2n dZ =Γ(2n + 1)

22nΓ(n + 1)

√πεn+ 1

2 .

De plus, le developpement BKW formel ainsi obtenu est une solution

formelle de l’equation (3.4) puisque le majeur∨Φ (z, ξ) est une solution

de (3.26) (cf. theoreme 3.4.10).

2. Decomposition dans S2 :

De la meme maniere, nous pouvons montrer que, pour z sur la ligne de

Stokes L1, un phenomene de Stokes se produit (voir Fig. 3.4.2) de sorte

que, pour z dans le germe de secteur de Stokes (resp. secteur de Stokes)

S2 (voir Fig. 3.4.3a), la decomposition locale (resp. decomposition) de

la fonction confluente Φ(z, ε) induit maintenant une somme de deux

developpements BKW formels (par le theoreme de Cauchy, nous avons

deforme le contour d’integration pour tenir compte des deux points cols) :

(3.74) Φ(z, ε)σS2−→ i

√πεΦ+

bkw(z, ε) −√πεΦ−

bkw(z, ε),

ou Φ−bkw(z, ε) = Φ+

bkw(z,−ε) (les formules s’obtenant de la meme maniere

que pour la decomposition dans S1).


3. Reciproquement, considerons la solution BKW elementaire Φbkw(z, ε) de

l’equation (3.4) deduite de l’analyse precedente. Par (3.70), a un fac-

teur i√πε pres, une determination de cette solution BKW elementaire

apparaıt comme la decomposition locale dans un germe de secteur de

Stokes d’une fonction confluente. Plus generalement, toute determination

de Φbkw(z, ε) dans n’importe quel germe de secteur de Stokes peut etre

vue comme la decomposition locale dans ce germe de secteur de Stokes

d’une fonction confluente (a un facteur c√πε, c ∈ ±1,±i pres) : dans

la representation integrale (3.66), cela en decoule simplement en choi-

sissant un chemin d’integration tronque convenable γ. En outre, toute

notre analyse peut etre reconduite en choisissant une autre direction α

que 0, ce qui nous donne le theoreme.

Lien avec le modele d’Airy

L’idee de la definition 3.4.12 est que la structure de Stokes (locale) d’un

symbole resurgent elementaire de type Airy (local) est la meme que celle du

symbole BKW d’Airy.

Plus precisement, nous pouvons montrer que tout symbole resurgent elementaire

de type Airy (local) s’ecrit de facon unique comme combinaison lineaire du

symbole BKW d’Airy et de sa derivee (par rapport a z), dont les coefficients

possedent une structure resurgente locale triviale. Ce resultat est du a A.O.

Jidoumou. Par suite, en nous referant a [44] (section 2, p.141), nous deduisons

alors du theoreme 3.4.13 precedent le resultat suivant :

Theoreme 3.4.15. Si F est une fonction holomorphe au voisinage de l’ori-

gine (respectivement entiere), et si nous notons Φbkw(z, ε) une solution BKW

elementaire (respectivement elementaire resurgente) donnee par le theoreme

3.4.13, alors pour z 6= 0 dans un voisinage de 0 (respectivement z ∈ C\0),nous avons la decomposition unique suivante :

Φbkw(z, ε) = a(z, ε)Abkw(z, ε) + b(z, ε) ε∂Abkw

∂z(z, ε),

ou Abkw(z, ε) designe le symbole BKW d’Airy (3.7), tandis que a et b (qui

dependent de Φbkw) sont des constantes locales de resurgence (respectivement

constantes de resurgence), a inversible et b petite.


Notons qu’ici, “une constante (locale) de resurgence” signifie la chose sui-

vante :

Definition 3.4.16. Une constante locale de resurgence (respectivement constante

de resurgence) c(Z, η) est un developpement formel c(Z, ε) =∑

n≥0

cn(Z)εn tel

que son mineur∑

n≥1

cn(Z)ξn−1

Γ(n)definit un germe de fonctions holomorphes en

(Z, ξ) = (0, 0) ∈ Cm ×C, m ≥ 1 (respectivement une fonction holomorphe sur

Cm × C, m ≥ 1).

Remarque 3.4.17. Pour une constante locale de resurgence c(Z, ε) =∑

n≥0

cn(Z)εn,

nous demandons donc des estimations de type Gevrey sur les cn(Z) uniformes

pour Z dans un voisinage de l’origine mais en revanche la definition n’impose

rien quant au prolongement analytique dans le plan de Borel du mineur de c.

Le theoreme 3.4.15 met en relief le fait (remarquable) que les solutions

BKW elementaires de type Airy (local) s’expriment a l’aide de deux types

d’ingredients aux proprietes resurgentes bien differentes :

– d’une part le symbole BKW d’Airy et sa derivee, qui revetent un ca-

ractere universel et qui ont toutes les proprietes souhaitables (analyticite

et croissance) dans le plan de Borel,

– et d’autre part les constantes (locales) de resurgence a et b qui dependent

en revanche egalement de F et dont les mineurs peuvent avoir, de fait,

des singularites si F en admet ; ce n’est que dans le cas ou F est entiere

que leur mineur n’apporte pas de singularites (i.e. a et b ont une structure

de Stokes triviale) mais dans ce cas il n’est toutefois pas garanti que nous

puissions ressommer (par exemple, nous avons vu dans la section 3.4.1

que dans le cas ou F est un polynome de degre 1, nous avions deja une

croissance exponentielle limite pour le majeur).

3.5 Applications

3.5.1 Theoreme local de reduction

Nous deduisons du theoreme 3.4.15 le theoreme suivant :

Theoreme 3.5.1. Supposons que F (z) dans (3.4) soit holomorphe au voisi-

nage de l’origine (resp. une fonction entiere). Alors il existe une constante

3.5. APPLICATIONS 155

locale de resurgence (resp. une constante de resurgence) s(z, ε) telle que, sous

l’action de la transformation

(3.75)

s(z, ε) =∑

k≥0

sk(z)εk, s0(z) = z

Φ(z, ε) =(∂s∂z

)− 12y(s(z, ε), ε

),

l’equation (3.4) prenne la forme (3.6), pour z (resp. s) au voisinage de l’ori-

gine. De plus, sous l’action de la transformation (3.75), une solution BKW


(3.4).

Demonstration. Nous reproduisons ici la demonstration de ce theoreme dont

les arguments sont ceux utilises par F.Pham dans [59] §2.4.

Tout d’abord, nous avons besoin d’une proposition pour la demonstration de

laquelle nous renvoyons a [59] :

Proposition 3.5.2. Pour tout polynome P ∈ C[z],

1. il existe deux suites uniques (hn) et (kn) de fonctions polynomiales telles

que : (d

dz

)n

≡ hn + knd

dzmod

(d2

dz2− P

),

ou

(d2

dz2− P

)designe l’ideal a gauche engendre par

d2

dz2− P dans

l’anneau des operateurs differentiels a coefficients polynomiaux.

2. De plus, les series h et k definies par :

h(z, ξ) =+∞∑

n=0

hn(z)

n!ξn

k(z, ξ) =

+∞∑

n=0

kn(z)

n!ξn

(de premiers termes h(z, ξ) = 1 + P (z)ξ2

2!+ P ′(z)

ξ3

3!+ . . . et k(z, ξ) =

ξ + P (z)ξ3

3!+ . . .) convergent vers des fonctions holomorphes sur C2 qui

sont en outre des fonctions entieres des coefficients du polynome P .


Nous en deduisons alors les deux corollaires suivants :

Corollaire 3.5.3. Toute solution A de

(d2

dz2−z)A = 0 satisfait a la relation :

A(z + ξ) = h(z, ξ)A(z) + k(z, ξ)dAdz

(z).

Corollaire 3.5.4. Considerons le changement d’echelle :

z = ε23 z

ξ = ε53 ξ,

et notons Aε (respectivement hε, respectivement kε) la solution de(ε2 d

2

dz2− z

)A = 0 deduite de A (respectivement h, respectivement ε−

13k)

par le changement d’echelle precedent.

Alors, nous avons la relation suivante :

Aε(z + εξ) = hε(z, ξ)Aε(z) + kε(z, ξ)εdAε

dz(z).

Nous revenons maintenant a la demonstration du theoreme 3.5.1 propre-

ment dite.

Par le theoreme 3.4.15, nous avons l’existence d’une famille de solutions BKW

elementaires Φbkw(z, ε) de l’equation (3.4), de type Airy, et qui se decomposent

sous la forme suivante :

Φbkw(z, ε) = a(z, ε)Abkw(z, ε) + b(z, ε) ε∂Abkw

∂z(z, ε),

ou Abkw(z, ε) designe le symbole BKW d’Airy (3.7), tandis que a et b sont des

constantes (respectivement constantes locales) de resurgence si F est entiere

(respectivement si F est holomorphe au voisinage de l’origine), avec a inversible

et b petite.

Par le corollaire 3.5.4, nous en deduisons pour une telle decomposition l’equi-

valence suivante :

Φbkw(z, ε) = ρ(z, ε)Abkw(z + εξ(z, ε))

si et seulement si

ρ(z, ε)h(z, ξ(z, ε)) = a(z, ε)

ρ(z, ε)k(z, ξ(z, ε)) = b(z, ε).

3.5. APPLICATIONS 157

Pour ε = 0, une solution evidente du systeme precedent est (ξ = 0, ρ = a).

Par ailleurs, au point (ε = 0, ρ = a, ξ = 0), la matrice jacobienne du systeme

est de la forme : (1 00 a(z, 0)

)

(ou la premiere (respectivement la deuxieme) colonne represente la derivation

par rapport a ρ (respectivement par rapport a ξ)).

Comme a est inversible par hypothese (i.e. a(z, 0) 6= 0), nous pouvons appliquer

le theoreme des fonctions implicites resurgentes (voir [17]) qui nous fournit

l’existence et l’unicite des fonctions ρ et ξ.

Ces dernieres heritent directement des proprietes des fonctions a et b, a savoir

que ce sont des constantes (respectivement constantes locales) de resurgence

lorsque F est entiere (respectivement lorsque F est holomorphe au voisinage

de l’origine).

Nous terminons la demonstration du theoreme 3.5.1 en posant s(z, ε) = ξ(z, ε)

et en remarquant que necessairement ρ(z, ε) =

(dξ

dz

)− 12

.

3.5.2 Applications pour l’equation de Schrodinger

Nous revenons maintenant sur l’equation de Schrodinger (Eεm) :

ε2d2Y

dq2= V (q)Y

avec

V (q) = q ++∞∑

n=2

vnqn

analytique au voisinage de l’origine admettant 0 comme zero simple.

Nous voulons traduire l’analyse BKW que nous avons faite pour l’equation

(3.4) en une analyse analogue pour cette equation.

Par la transformation (3.3), nous deduisons maintenant du theoreme 3.5.1

le theoreme suivant :

Theoreme 3.5.5. Il existe une constante locale de resurgence∑

k≥0

εksk(q) telle


que, sous l’action de la transformation

(3.76)

s(q, ε) =∑

k≥0

sk(q)εk

Y (q, ε) =(∂s∂q

)− 12y(s(q, ε), ε

),

l’equation (Eεm) prenne la forme de (3.6), pour q (resp. s) au voisinage de

l’origine. De plus, sous l’action de la transformation (3.76), une solution BKW

formelle (3.6) est transformee en une solution BKW formelle de (Eεm).

Autrement dit, nous avons montre que, dans le cadre de l’analyse BKW,

l’equation (Eεm) se ramene a l’equation (3.6).

En fait, le theoreme 3.5.5 n’est pas un resultat nouveau.

Au niveau formel, il a deja ete etabli dans un article de Silverstone [69], alors

que notre version a ete prouvee pour la premiere fois dans [1] (voir aussi [46])

par T. Aoki, T. Kawai et Y. Takei dans le cadre du calcul microdifferentiel de

Sato.

Par la suite, ce resultat a ete etendu dans [4] dans le cas ou le potentiel V

figurant dans l’equation (Eεm) est une constante de resurgence locale. Nous

allons voir dans la section suivante que nous pouvons deduire egalement cette

generalisation de notre analyse.

Notons enfin que dans [59], F. Pham montre que le developpement s(q, ε) est

resurgent en ε−1 a dependance reguliere en q. Cependant, ce resultat est base

sur l’hypothese qu’une base de solutions BKW resurgentes de (Eεm) puisse etre

definie, avec une dependance reguliere en q excepte aux points tournants (cf.

theoreme d’Ecalle).

3.5.3 Quelques extensions

Nous pouvons etendre facilement nos resultats a l’equation :

(3.77)d2Φ

dz2− z

ε2Φ = F (z, β)Φ,

ou F depend holomorphiquement de (z, β) ∈ C2 au voisinage de l’origine. Dans

ce cas, les theoremes 3.4.13 et 3.4.15 deviennent :

Theoreme 3.5.6. Il existe une famille de solutions BKW elementaires Φbkw(z, β, ε)

de l’equation (3.77) qui sont de type Airy local, a dependance reguliere en β au

3.6. PISTES DE RECHERCHE 159

voisinage de l’origine. Pour une telle solution BKW elementaire Φbkw(z, β, ε),

et pour z 6= 0 dans un voisinage de 0 et β pres de l’origine, nous avons l’unique

decomposition suivante :

Φbkw(z, β, ε) = a(z, β, ε)Abkw(z, ε) + b(z, β, ε)∂Abkw

∂z(z, ε),

ou Abkw(z, ε) est le symbole BKW d’Airy (3.7), tandis que a et b sont des

constantes locales de resurgence.

Nous traduisons egalement facilement le theoreme 3.5.1.

Nous en deduisons la consequence suivante : en substituant a β une petite

serie Gevrey-1 β(ε) =∑

k≥1

βkεk dans une constante locale de resurgence, nous

obtenons encore une constante locale de resurgence [24], nous retrouvons le

resultat de Aoki et al [4].

De meme, par extension, nous obtenons le theoreme suivant :

Theoreme 3.5.7. Considerons l’equation differentielle

(3.78)d2Φ

dz2− z

ε2Φ = F (z, ε)Φ,

ou F (z, ε) est une constante locale de resurgence . Alors il existe une constante

locale de resurgence s(z, ε) telle que, sous l’action de la transformation

(3.79)

s(z, ε) =∑

k≥0

sk(z)εk, s0(z) = z

Φ(z, ε) =(∂s∂z

)− 12y(s(z, ε), ε

),

l’equation (3.78) prenne la forme de (3.6), pour z (resp. s) au voisinage de

l’origine. De plus, sous l’action de la transformation (3.79), une solution BKW


(3.78).

3.6 Pistes de recherche

3.6.1 Points tournants d’ordre superieur

L’analogue de notre forme canonique pour les points tournants d’ordre

superieur est l’equation differentielle suivante :

d2Φ

dz2− zn

ε2Φ = F (z)Φ, (Mn)


ou F (z) est holomorphe au voisinage de l’origine et n ∈ N\0. Afin de copier

ce que nous avons fait dans la section 2.3, il nous faut definir une fonction

generatrice convenable dans une transformation canonique (p, z) ↔ (p, z) de

l’espace cotangent qui simplifie la geometrie de la sous-variete Lagrangienne

p2 − zn = 0.

Un point de depart interessant est l’article [42] ou Hardy introduit un ensemble

de fonctions speciales Φn solutions de :

d2Φ

dz2− zn

ε2Φ = 0, (An)

sous la forme2

(3.80) Φn(z, ε) =

∫e−

1εSn(z,bz) dz.

Les fonctions Sn peuvent etre definies de la maniere suivante : pour m =

n + 2 ≥ 3, nous introduisons la fonction polynomiale Pm(t) ∈ Z[t] d’ordre m

definie par :

– si m est pair, nous posons cosh(mq) = Pm (sinh(q)).

– si m est impair, nous posons sinh(mq) = Pm (sinh(q)).

Nous associons a Pm la fonction polynomiale Qm,

Qm(z, z) = zm/2Pm(z/√z),

et Sn(z, z) ∈ Q[z, z] est definie comme la fonction polynomiale quasi-homogene

donnee par :

(3.81) Sn(z, z) =2

n+ 2Qn+2(−z, z).

Ces fonctions polynomiales Sn satisfont aux proprietes suivantes :

(3.82)

(∂Sn

∂z

)2

= Tn(z, z)∂Sn

∂z+ zn

ou la fonction polynomiale Tn(z, z) satisfait a :

(3.83)∂2Sn

∂z2=∂Tn

∂z.

2Hardy montre en particulier comment ces fonctions sont reliees aux fonctions de Bessel.


A titre d’exemple, nous avons :

S1(z, z) = 83z3 − 2zz T1(z, z) = 1

2

S2(z, z) = 4z4 − 4z2z + 12z2 T2(z, z) = z

S3(z, z) = 325z5 − 8z3z + 2zz2 T3(z, z) = 2z2 − 1

2z

· · ·

Le fait que la fonction Φn(z, ε) donnee par (3.80) soit en effet une solution de

(An) peut se montrer par integration par parties, en utilisant les proprietes

fondamentales (3.82) et (3.83), cf. [15].

Notons que, a normalisation pres, Φ1(z, ε) correspond a fonction d’Airy, tandis

que Φ2(z, ε) correspond a la fonction cylindro-parabolique de Weber.

En revenant a ce que nous avons fait dans la section 2.3, cela nous amene

a considerer une solution de (Mn) de la forme :

(3.84) Φ(z, ε) =

∫e−

ξε

∨Φ (z, ξ) dξ =

∫e−

1εSn(z,bz)Ψ(z, z) dz,

ou∨Φ doit satisfaire a l’equation :

(3.85)∂2

∨Φ

∂z2− zn∂

2∨Φ

∂ξ2= F (z)

∨Φ .

En utilisant (3.82) et (3.83), ceci se traduit par le fait que Ψ(z, z) =∨Φ (z, ξ)

doit satisfaire a l’EDP lineaire :

(3.86)∂2Ψ

∂z2− 2∂Sn

∂z∂Sn

∂bz

∂2Ψ

∂z∂z+

Tn

∂Sn

∂bz

∂2Ψ

∂z2= F (z)Ψ.

Comme dans la section 2.3, le probleme se reduit maintenant a analyser les

proprietes d’holomorphie de Ψ(z, z) := Ψ(z, z)∂Sn

∂zavec Ψ(z, z) une solution

de (3.86) telle que Ψ(z, z) se comporte bien au voisinage du lieu∂Sn

∂z= 0

definissant les points cols.

La difficulte reside maintenant dans le fait que la transformation

(z, z) ↔ (z, x =∂Sn

∂z)

ψ(z, x) := Ψ(z, z)∂Sn

∂z,


qui definit un changement de variables ramifie, ne s’inverse plus facilement

(nous devons resoudre une equation algebrique de degre n + 2) et l’analyse

devient d’autant plus delicate que n devient grand.

3.6.2 Sommabilite

En ce qui concerne les proprietes de sommabilite des solutions BKW elementaires

du theoreme 3.4.13, il semble, au regard des exemples explicites obtenus dans

la section 3.4.1, que nous perdions le caractere 1-sommable des que la crois-

sance de la fonction F a l’infini est plus grande qu’un polynome du premier

degre.

Notre conjecture est qu’en realite nous obtenons des solutions formelles multi-

sommables, au moins dans le cas ou la fonction F est polynomiale (les travaux

de Balser et al dans [7] ne sont d’ailleurs certainement pas sans lien avec ce

phenomene).

Un travail est engage dans cette voie afin de determiner notamment les differents

niveaux de sommabilite (qui doivent a priori dependre du degre de F ).

3.6.3 Analyse BKW au voisinage d’un pole

Afin d’etre complet dans notre etude, nous rappelons ici l’etude faite par

T. Koike au voisinage d’un pole via l’analyse BKW exacte (voir [47]).

Considerons l’equation :

(3.87) ε2d2Y

dq2=(qV0(q) + ε2V2(q)

q2

)Y,

ou ε designe un petit parametre et Vi (i = 0, 2) designent des fonctions holo-

morphes au voisinage de l’origine avec la condition que V0(0) 6= 0.

T. Koike a montre l’existence d’un changement de variable s(q, ε) de type

Gevrey-1 (“presommable de Borel” dans [47]) qui transforme l’equation 3.87

en l’equation “canonique” suivante :

(3.88) ε2d2y

ds2=(s+ λε2

s2

)y,

avec λ constante, independante de s et ε.

Plus precisement, nous avons le theoreme suivant :


Theoreme 3.6.1. Il existe un voisinage U de l’origine et une unique serie s

de type Gevrey-1

s(q, ε) =

+∞∑

n=0

sn(q)εn

verifiant les conditions suivantes :

1. ∀n ∈ N, sn est holomorphe dans U ,

2. s0(0) = 0 etds0

dq(0) 6= 0,

3. ∀n ∈ N, sn(0) = 0,

4. Pour n impair, sn = 0,

5. Nous avons la relation :

qV0(q) + ε2V2(q)

q2=

(ds(q, ε)

dq

)2(s(q, ε) + λε2

s(q, ε)2

)− 1

2ε2

s(q, ε), q

,

ou

s(q, ε), q

designe la derivee schwarzienne de s par rapport a q.

Ce theoreme est un theoreme de reduction au voisinage d’un pole dans

l’esprit du theoreme 3.5.1.

Notons ici que la serie s(q, ε) =+∞∑

n=0

sn(q)εn est seulement Gevrey-1 mais il est

tentant de conjecturer qu’elle est en fait une constante locale de resurgence.

Un travail est engage dans cette voie, en utilisant les methodes employees pour

un point tournant simple (redressement local de la geometrie et analyse BKW

exacte sur l’equation reduite ainsi obtenue).

En outre, dans le cas d’un pole simple, le modele local est alors donne par

l’equation de Bessel modifiee.


Chapitre C

Appendice C : Theorie de laresurgence

Le but de cet appendice est d’exposer de maniere la plus simple et la plus

concise possible les rudiments de la theorie de la resurgence de J. Ecalle dont

nous avons fait un large usage dans cette these.

La premiere partie de ces rappels concerne plutot le point de vue equationnel

et de fait expose les outils utilises dans la chapitre 1.

Les trois autres parties en revanche traitent plutot du point de vue coequationnel

et explicitent donc les outils utilises dans le chapitre 2.

C.1 Quelques generalites

Nos notations seront quelque peu differentes de celles employees par J.

Ecalle (cf. [16, 17, 23, 34] pour plus de details).

Nous identifierons de nouveau un element du revetement universel de C⋆ (avec

1 comme point base) en specifiant son argument dans R.

Definition C.1.1. Un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture I =]α, β[⊂ R

est un ouvert U du revetement universel de C⋆ tel que pour tout intervalle

ouvert J ⊂ I, il existe z ∈ U tel que zJ ⊂ U , ou zJ designe le secteur

angulaire ouvert de sommet z et d’ouverture J .

Definition C.1.2. Si U est un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture I et

si Ψ est holomorphe sur U , on dit que Ψ est a croissance exponentielle d’ordre

1 a l’infini dans U si pour tout intervalle ouvert J ⊂ I, il existe τ > 0 et C > 0

tel que

∀z ∈ U ∩ 0J, |Ψ(z)| ≤ Ceτ |z|.

165

166 CHAPITRE C. APPENDICE C : THEORIE DE LA RESURGENCE

Nous allons maintenant definir la notion de mineur. Nous le faisons ici

uniquement pour une classe de series formelles utilisees dans cette these.

Definition C.1.3. Considerons la serie formelle ψ(z) = r +

+∞∑

n=0

αn

znm

+1∈

C[[z−1m ]], ou m est un entier positif. Alors, r est le terme constant de ψ et

ψ(ζ) =

+∞∑

n=0

αn

Γ( nm

+ 1)ζ

nm ∈ C[[ζ

1m ]] est le mineur de ψ.

Autrement dit, le mineur d’une serie formelle ψ n’est rien d’autre que sa

transformee de Borel sans son terme constant.

Ceci nous permet de definir la sommabilite de Borel pour de telles series for-

melles.

Definition C.1.4. La serie formelle ψ(z) = r +

+∞∑

n=0

αn

znm

+1∈ C[[z−

1m ]] est

sommable de Borel dans la direction (d’argument) α ∈ R si :

1. son mineur ψ(ζ) definit une fonction analytique (ramifiee) a l’origine1,

2. il existe un secteur ouvert 0I avec I un voisinage ouvert de α tel que

ψ(ζ) se prolonge analytiquement dans 0I et est a croissance exponentielle

d’ordre 1 a l’infini dans 0I.

La somme de Borel sαψ(z) par rapport a z dans la direction α ∈ R de la serie

formelle ψ est definie par

sαψ(z) := r +

∫ ∞eiα

0

e−zζψ(ζ)dζ.

Dans la definition C.1.4, si l’on omet la condition de croissance a l’infini

(condition 2), alors on dit que ψ est presommable de Borel dans la direction α,

l’operateur de sommation sα etant remplace par l’operateur de presommation

que l’on ne definira pas ici, voir par exemple [23].

Les principales proprietes d’une somme de Borel sont les suivantes :

Proposition C.1.5. Si ψ(z) = r +

+∞∑

n=0

αn

znm

+1∈ C[[z−

1m ]] est sommable de

Borel dans la direction α ∈ R, alors :

1Pour simplifier, nous gardons la meme notation ψ(ζ) pour la serie et pour sa somme, etζ doit etre vu comme un element du revetement universel de C⋆.

C.1. QUELQUES GENERALITES 167

– sa somme de Borel sαψ(z) est holomorphe dans un voisinage sectoriel de

l’infini U d’ouverture I =] − π

2− α,

π

2− α[.

– sαψ(z) est asymptote a ψ(z) a l’infini dans U . Plus precisement, pour

tout sous-intervalle strict J de I, il existe C > 0 tel que, pour tout n ≥ 1,

pour tout z ∈ U ∩ 0J ,∣∣∣sαψ(z) − r −

n−1∑

k=0

αk

zkm

+1

∣∣∣ ≤ CnΓ(n

m+ 1)|z|− n

m−1.

–d

dz(sαψ(z)) = sα

(dψ

dz(z)

).

– si deux series formelles ψ(z), φ(z) ∈ C[[z−1m ]] sont sommables de Borel

dans la direction α ∈ R, alors sα (ψ.φ) (z) = sα(ψ)(z).sα(φ)(z).

Definition C.1.6. Une serie formelle ψ(z) = r ++∞∑

n=0

αn

znm

+1∈ C[[z−

1m ]] est

resurgente si son mineur ψ(ζ) definit une fonction analytique (ramifiee) a l’ori-

gine et est prolongeable sans fin, i.e., pour tout L > 0 il existe un sous-ensemble

fini ΩL ⊂ C tel que ψ peut etre prolonge analytiquement le long de tout chemin

λ de longueur < L evitant ΩL.

Cette definition2 peut s’etendre a une algebre de fonctions resurgentes

etendues que nous ne precisons pas ici.

Proposition C.1.7. Si deux series formelles ψ(z) = r++∞∑

n=0

αn

znm

+1∈ C[[z−

1m ]]

et φ(z) = s +

+∞∑

n=0

βn

znm

+1∈ C[[z−

1m ]] sont resurgentes, alors le produit ψ.φ(z)

est aussi resurgent : le mineur de ψ.φ(z), qui est donne par

(C.1)

ψ.φ(ζ) = r.φ(ζ) + s.ψ(ζ) + ψ ∗ φ(ζ),

ψ ∗ φ(ζ) =

∫ ζ

0

ψ(η)φ(ζ − η)dη (le produit de convolution),

est prolongeable sans fin.

Pour une serie formelle resurgente, il peut arriver que nous ne puissions

pas definir sa (pre)somme de Borel dans une direction donnee α ∈ R du fait

de la presence de singularites pour son mineur le long de cette direction : c’est

l’essence meme du phenomene de Stokes.

2Notons que J. Ecalle propose une definition plus generale.


Definition C.1.8. Considerons une serie formelle resurgente ψ(z) = r ++∞∑

n=0

αn

znm

+1∈ C[[z−

1m ]]. Soit α ∈ R une direction singuliere pour le mineur

ψ(ζ).

Hypothese : nous supposons qu’il existe ε > 0 tel que ψ(ζ) puisse se prolon-

ger analytiquement dans le secteur ouvert 0]α, α + ε[ (resp. 0]α − ε, α[ avec

une croissance exponentielle d’ordre 1 a l’infini. Nous supposons aussi que

cette croissance exponentielle a l’infini s’etend a un chemin [0,∞eiα + [ (resp.

[0,∞eiα − [) qui contourne les singularites par la gauche (resp. par la droite)

le long de la direction α, voir figure C.1.

Alors ψ est sommable de Borel a droite (resp. gauche) dans la direction α, sa

somme de Borel droite (resp. gauche) sα+ψ (resp. sα−ψ) etant definie par

sα±ψ(z) := r +

∫ ∞eiα±

0

e−zζψ(ζ)dζ,

pour z dans un voisinage sectoriel de l’infini d’ouverture ] − π

2− α,

π

2− α[.

0 Sommation droite

0 Sommation gauche

Fig. C.1 – Le chemin d’integration pour la sommation droite (resp. gauche)(pour α = 0).

Dans la definition C.1.8, il est possible de supprimer l’hypothese : il faut

alors remplacer la somme de Borel a droite (resp. gauche) par la presomme

de Borel a droite (resp. gauche) voir par exemple [23]. Autrement dit, toute

fonction resurgente formelle est toujours presommable de Borel a droite et a

gauche (dans toute direction).

Notons que la proposition C.1.5 est encore valide pour la somme de Borel

a droite et a gauche. En outre, lorsque ψ est (pre)sommable de Borel dans la

direction α ∈ R, alors

sαψ(z) = sα+ψ(z) = sα−ψ(z).


Afin de pouvoir comparer les (pre)sommations droite et gauche, nous de-

vons elargir l’ensemble des fonctions resurgentes formelles a l’ensemble des

symboles resurgents.

Definition C.1.9. Un symbole resurgent 3 dans la direction α est une somme

formelle

ϕ(z) =∑

ω∈Ω

ψω e−zω

ou chaque ψω(z) est une fonction resurgente formelle et Ω, le support singulier

de ϕ, est un sous-ensemble discret de [0,∞eiα[.

Un symbole resurgent est dit elementaire si son support est reduit a un seul

element.

La somme et le produit de deux symboles resurgents sont definis de maniere

evidente, de sorte que les symboles resurgents dans la direction α forment une

algebre que nous noterons Rα.

Les operateurs de (pre)sommation droite (resp. gauche) s’etendent aux

symboles resurgents de sorte que

sα+ ϕ =∑

ω∈Ω

(sα+ ψω) e−zω resp. sα− ϕ =∑

ω∈Ω

(sα− ψω) e−zω.

Cette construction (que nous n’explicitons pas ici) permet de voir les operateurs

sα+ et sα− comme isomorphismes d’algebres.

Le phenomene de Stokes peut alors s’etudier grace au calcul differentiel

etranger dont les operateurs, les derivations etrangeres, sont exactement les

logarithmes de l’automorphisme de Stokes.

Ce dernier se decrit en comparant les presommations de Borel droite et gauche.

Afin de construire une algebre convenable qui soit stable par l’automorphisme

de Stokes et de pouvoir y definir correctement les derivations etrangeres, il

convient :

1. soit d’imposer des restrictions sur la forme de toutes les singularites des

mineurs : dans le cadre du chapitre 2 de la these, il s’agit de demander

aux mineurs (qui sont des fonctions holomorphes de ζ1m au voisinage de

l’origine se prolongeant sans fin sur ˜C \ 0,±2) d’avoir un comporte-

ment du type :

pole simple + fonction de ζ1m + singularite logarithmique

3on parle aussi de transserie resurgente.


au-dessus des singularites 0 et 2, ou 0 et −2 (selon les cas),

2. soit d’elargir le point de vue et de travailler avec le formalisme des singu-

larites (ou microfonctions) et des fonctions resurgentes generales. L’avan-

tage de cette derniere methode est l’utilisation de majeurs et le fait que

nous n’ayons plus besoin de connaıtre a priori la forme des singularites

des mineurs.

Nous allons adopter ici le deuxieme point de vue (nous renvoyons le lecteur

a [65] pour plus de details).

Nous notons C∗ le revetement universel de C \ 0, vu comme la surface de

Riemann du logarithme.

Nous notons egalement ζ ∈ C∗ 7→ ζ ∈ C \ 0 la projection canonique.

Definition C.1.10. 1. Nous designons par ANA l’espace des germes de

fonctions analytiques dans un domaine D de la forme :

D = reiθ/0 < r < h(θ), θ ∈ R ⊂ C∗,

avec h : R → R+ continue (D est un voisinage “spirale” de l’origine).

2. Nous notons SING =ANA

Cζ l’ensemble des singularites (ou microfonc-

tions).

Un representant∨φ de la singularite

φ est appele un majeur de cette sin-

gularite.

Nous notons :

sing0 : ANA → SING ;∨φ 7→

φ = sing0(∨φ(ζ)).

3. L’application deduite de l’operateur de variation∨φ(ζ) 7→

∨φ(ζ)−

∨φ(ζe−2πi)

est notee :

var : SING → ANA ;

φ = sing0(∨φ) 7→ φ(ζ) =

∨φ(ζ) −

∨φ(ζe−2πi).

Le germe φ = var

φ est appele le mineur de la singularite

φ.

Remarque C.1.11. Le noyau de var est isomorphe a l’espace des fonctions

entieres de 1ζ

sans terme constant.


Exemple C.1.12. Les exemples usuels de singularites sont les poles :

δ = sing0

(1

2πiζ

), δ(n) = sing0

((−1)n n!

2πiζn+1

), ∀n ≥ 1,

et les singularites logarithmiques de variation reguliere :

φ = sing0

(1

2πiφ(ζ) log(ζ)

), φ(ζ) ∈ Cζ.

Proposition C.1.13. 1. L’espace SING peut etre muni d’un produit de

convolution ∗ commutatif et associatif qui en fait une algebre commu-

tative, d’element unite δ = sing0

(1

2πiζ

).

2. L’operateur lineaire de SING

∂ :

φ 7→ −ζ

φ

correspond a une derivation et son noyau est Cδ (∂ correspond du reste

a l’operateur ddz

du modele geometrique).

Nous sommes maintenant en mesure de definir une bonne algebre pour les

derivations etrangeres pour le cas qui nous occupe (cf. chapitre 2).

Definition C.1.14. 1. Nous notons RES2Z l’espace des germes de ANA

qui s’etendent analytiquement au revetement universel C \ 2Z de C \ 2Z

(c’est l’espace des mineurs resurgents).

2. Nous definissons son analogue dans le modele convolutif par :

RES2Z := var−1(RES2Z) ⊂ SING.

Proposition C.1.15.

RES2Z est une sous-algebre de SING, stable par convo-

lution.

Nous pouvons maintenant definir la derivation etrangere ∆ω comme operateur

interne de

RES2Z de la facon suivante :


Definition C.1.16. Pour tout

φ ∈

RES2Z et tout ω = 2meiθ avec m ∈ N⋆ et

θ ∈ πZ (ω est vu comme element de C∗ tel que ω ∈ 2Z⋆),

∆ω

φ =∑

ε1,...,εm−1∈+,−

p(ε)! q(ε)!

m!sing0

(∨Φγ(ε)

),

ou p(ε) et q(ε) = m − 1 − p(ε) designent le nombre de signes ‘+’ et de signes

‘-’ dans la suite ε, ou le chemin γ(ε) relie ]0, 1mω[ et ]m−1

mω, ω[ en suivant le

segment ]0, ω[ mais en contournant les singularites intermediaires 2reiθ = rmω

par la droite si εr = + et par la gauche si εr = −, et ou le prolongement

analytique du mineur φ de

φ determine le majeur :

∨Φγ(ε)(ζ) = (contγ(ǫ)φ)(ω + ζ), arg(ω) − 2π < arg(ζ) < arg(ω), |ζ | < 2.

Remarque C.1.17. Nous avons donc besoin simplement d’une hypothese de

prolongeabilite sans fin sur le mineur φ de

φ pour pouvoir definir ∆ω

φ.

Proposition C.1.18. 1. Les operateurs ∆ω sont des derivations de l’algebre

RES2Z. Elles verifient en outre la regle de Leibniz :

∀

φ1,

φ1 ∈

RES2Z, ∆ω(

φ1 ∗

φ2) = (∆ω

φ1) ∗

φ2 +

φ1 ∗ (∆ω

φ2).

2. De plus, ∀

φ ∈

RES2Z, ∆ω

(∂

φ

)= (−ω + ∂)∆ω

φ.

Les operateurs ∆ω peuvent induire dans le modele geometrique des operateurs

analogues via la transformation de Borel inverse.

Le probleme est que cette derniere n’est pas definie sur l’espace de toutes les

singularites : il faut se restreindre a des sous-algebres convolutives de SING, les

plus courantes dans la pratique etant la sous-algebre des singularites simples

notee SINGsimp et celle des singularites simplement ramifiees notee SINGs.ram.

En terme de singularites, SINGsimp est constituee des singularites qui ad-

mettent un majeur de la forme

const. δ +1

2πiφ(ζ) log(ζ), φ(ζ) ∈ Cζ,

et SINGs.ram est constituee des singularites admettant un majeur de la forme

P(1

ζ

)+

1

2πiφ(ζ) log(ζ), φ(ζ) ∈ Cζ, P (X) ∈ C[X].


Dans ce cas, nous avons l’isomorphisme suivant :

B : φ =∑

n≥0

cnz−n ∈ C[[z−1]]1 7→

φ = c0δ + φ ∈ SINGsimp,

ou C[[z−1]]1 designe l’espace des series formelles de type Gevrey-1 et φ(ζ) =∑

n≥1

cnζn−1

(n− 1)!.

Cet isomorphisme s’etend naturellement en

B : φ =∑

n≥−N

cnz−n ∈ C((z−1))1 7→

φ =

N∑

k=0

c−kδ(k) + φ ∈ SINGs.ram,

ou C((z−1))1 designe le corps des fractions de C[[z−1]]1 (i.e. l’espace des sommes

d’un polynome en z et d’une serie Gevrey-1 en z−1), N depend de φ et φ est

defini comme precedemment.

En revanche, nous pouvons definir de maniere generale une transformee de

Laplace pour les singularites (ou les majeurs).

Definition C.1.19. Soit θ ∈ R. Soit

φ = sing0(∨φ) une singularite de SING

telle que son mineur φ se prolonge analytiquement le long de la demi-droite

]0, eiθ[⊂ C∗ avec une croissance au plus exponentielle a l’infini d’ordre 1 dans

cette direction.

Nous definissons alors la transformee de Laplace de

φ par :

(Lθ

φ)(z) =

∫ aeiθ

aei(θ−2π)

e−zζ∨φ(ζ) dζ +

∫ eiθ∞

aeiθ

e−zζ φ(ζ) dζ,

ou a > 0 est assez petit et la premiere integrale est prise sur un cercle centre

en l’origine.

Proposition C.1.20. Sous les hypotheses de la definition C.1.19 precedente,

(Lθ

φ) ne depend pas du choix de a ni du majeur∨φ, et definit une fonction

analytique dans un demi-plan de la forme ℜ(zeiθ) > τ .

Remarque C.1.21. Les transformees de Laplace d’une singularite

φ dans des

directions voisines θ1 < θ2 peuvent se recoller et definir ainsi une fonction ana-

lytique (L]θ1,θ2[

φ) dans un voisinage sectoriel de l’infini, pourvu que le mineur

φ n’ait pas de singularites dans le secteur θ1 ≤ arg(ζ) ≤ θ2.

Il faut alors considerer z comme un element de C∗ avec −θ2 − π2< arg(z) <

−θ1 + π2

et |z| assez grand.


Ce point de vue permet dans certains cas de faire le lien entre le modele

convolutif et le modele formel en considerant les possibles developpements

asymptotiques de (Lθ

φ).

Par exemple, si

φ ∈ SINGs.ram et si la transformee de Laplace (L]θ1,θ2[

φ) est

bien definie, cette derniere admet pour developpement asymptotique a l’infini

B−1

φ ∈ C((z−1))1.

C.2 Developpements BKW formels

Nous nous concentrons ici sur une equation differentielle lineaire du second

ordre du type :

(C.2)

(ε2 d

2

dq2− V (q)

)Φ(q, ε) = 0,

ou ε est un petit parametre de perturbation, et V une fonction analytique en

la variable q.

La methode BKW, due aux physiciens Brillouin, Krammers et Wentzel, consiste

a trouver des solutions formelles de l’equation (C.2) de la forme :

(C.3) Φbkw(q, ε) = exp

(− 1

ε

∫ q

q0

S(t, ε) dt

),

ou

(C.4) S(q, ε) =+∞∑

n=0

Sn(q)εn

est une serie formelle en ε, et q0 est un point (de base) fixe.

Le fait d’imposer a Φ d’etre solution de l’equation (C.2) entraıne que la serie

S doit verifier l’equation de Riccati suivante :

(C.5) −1

ε

dS

dq+

1

ε2S2 =

1

ε2V.

En outre, en remplacant (C.4) dans l’equation (C.5), nous obtenons le systeme

suivant :

S20(q) = V (q)

2S0Sn +

n−1∑

r=0

Sr(q)Sn−r(q) −dSn−1

dq(q) = 0, pour n ≥ 1.

C.2. DEVELOPPEMENTS BKW FORMELS 175

Par consequent, une fois fixee la determination de la racine carree S0 =√V (q),

les Sn sont alors determines de maniere unique par recurrence.

Posons :

Simpair(q, ε) =

+∞∑

j=0

S2j+1(q)ε2j−1

Spair(q, ε) =

+∞∑

j=0

S2j(q)ε2j.

De l’equation (C.5), nous tirons la relation suivante :

Simpair =ε

2

dSpair

dq

Spair=ε

2

d

dq

[ln(Spair

)].

Par suite, de par la relation (C.3), nous en deduisons que Φ doit etre necessairement

un multiple de :1√Spair

exp

(− 1

ε

∫ q

q0

Spair(t, ε) dt

).

Si nous changeons de determination pour√V , i.e. si S0 change de signe, alors il

en est de meme pour les S2j , j ≥ 0, de sorte que nous obtenons deux solutions

formelles lineairement independantes de la forme :

(C.6) Φbkw(q, ε) =1√Spair

exp

(− 1

ε

∫ q

q0

Spair(t, ε) dt

)

et

(C.7) Φbkw(q,−ε) =1√Spair

exp

(1

ε

∫ q

q0

Spair(t, ε) dt

).

Definition C.2.1. Les solutions de l’equation (C.2) definies par les formules

(C.6) et (C.7) sont appelees solutions BKW formelles (ou developpements

BKW formels) de l’equation (C.2).

Ces developpements BKW sont des objets locaux, definis au voisinage

de q0 et sont uniques a normalisation pres, i.e. a multiplication pres par un

developpement formel inversible par rapport a ε de la forme ecε

+∞∑

n=0

anεn avec

(c, an) ∈ C2 et a0 6= 0.

Ils sont en general divergents, et il est donc naturel de se demander s’ils

sont eventuellement sommables de Borel ou resurgents.


Rappelons a cet effet ce que nous entendons par somme de Borel pour de

tels developpements BKW.

Pour fixer les choses, nous le faisons pour Φbkw(q, ε) mais la construction est

bien entendu similaire pour Φbkw(q,−ε).Posons s(q) =

∫ q

q0

S0(t) dt.

Φbkw s’ecrit alors sous la forme suivante (obtenue en developpant en serie de

Taylor) :

Φbkw(q, ε) =e−

s(q)ε

√S0

+∞∑

j=0

tj(q)εj,

avec

t0(q) = 1

t1(q) = −∫ q

q0

S2(t) dt

t2(q) =1

2

[t21(q) −

S2(q)

S0(q)

]

...

...

Definition C.2.2. Nous appelons transformee de Borel (ou mineur) de Φbkw(q, ε)

la serie :

Φbkw(q, ζ) = 1 ++∞∑

j=1

tj(q)

Γ(j)√S0(q)

(ζ − s(q)

)j−1

.

Proposition C.2.3. La serie Φbkw definit une fonction holomorphe au voisi-

nage de ζ = s(q).

En revanche, l’etude du prolongement analytique et de la croissance a l’in-

fini en ζ de Φbkw (c’est-a-dire l’etude du caractere resurgent-sommable de Φbkw)

s’avere etre une question tres delicate.

A ce propos, un theoreme du a J. Ecalle affirme que, moyennant un bon com-

portement a l’infini pour V , ces developpements BKW sont resurgents.

Supposons donc maintenant que Φbkw s’etende analytiquement au domaine

D = ζ ∈ C/ ℑ(ζ − s(q)

)= 0, ℜ

(ζ − s(q)

)> 0 avec une croissance expo-

nentielle au plus d’ordre 1 a l’infini en ζ dans D.

Nous pouvons alors definir sa somme de Borel :

C.2. DEVELOPPEMENTS BKW FORMELS 177

Definition C.2.4. Sous les hypotheses precedentes, pour ε assez petit, nous

appelons somme de Borel de Φbkw la fonction :

sΦbkw(q, ε) = 1 +

∫ ∞

s(q)

e−ζε Φbkw(q, ζ) dζ,

ou le chemin d’integration est parallele a l’axe reel.

Cette derniere est solution de l’equation (C.2).

L’interet de la sommation de Borel dans la methode BKW est immense,

tant au niveau mathematique (cf les travaux de J. Ecalle [36], de R.B. Dingle

[30], de A. Voros [80], et F. Pham-E. Delabaere [24] notamment) qu’au niveau

de ses applications en physique (cf les travaux de C. Bender-Wu [11], de B.

Simon [70], de R. Balian-C. Bloch [8] ou J. Zinn-Justin [84]).

Cette methode de sommation est souvent qualifiee d’analyse BKW exacte (ou

d’analyse semi-classique exacte).

Cette “exactitude” permet notamment l’obtention, dans certains cas, de for-

mules de connexion entre les differentes solutions BKW (voir [80] par exemple).

A cet effet, nous allons rappeler quelques definitions.

Pour simplifier, nous supposerons que notre potentiel V est un polynome ou

une fraction rationnelle.

Definition C.2.5. 1. Les zeros du polynome V sont appeles les points

tournants (“turning points”) de l’equation (C.2).

2. Pour un point tournant q0, la courbe reelle de dimension 1

q ∈ C/ ℑ

(∫ q

q0

√V (t) dt

)= cste

(respectivement

q ∈ C/ ℜ

(∫ q

q0

√V (t) dt

)= cste

)

est appelee ligne de Stokes de l’equation (C.2) provenant de q0 (respec-

tivement ligne anti-Stokes de l’equation (C.2) provenant de q0 .

3. Une region de C dont les frontieres sont des lignes de Stokes est appelee

une region de Stokes.


Le franchissement de ces lignes de Stokes correspond exactement au probleme

de connexion entre les differentes solutions de l’equation (C.2), sommes de Bo-

rel de developpements BKW.

Remarque C.2.6. – Tout developpement BKW Φbkw admet un comporte-

ment exponentiel croissant ou decroissant (respectivement oscillant) a

l’infini le long d’une ligne de Stokes (respectivement anti-Stokes).

– Nous dirons que le developpement BKW Φbkw est recessif (respectivement

dominant) le long d’une ligne de Stokes L si Φbkw est exponentiellement

evanescent (respectivement croıt) quand q tend vers l’infini le long de L.

Les coefficients Sj du developpement (C.4) sont en general singuliers en un

point tournant q0.

Cependant, si q0 est un point tournant simple, les S2j sont des sommes de

termes de la forme ak(q)V2k−1

2 (q) avec k ∈ N et ak une fonction holomorphe,

de sorte que l’integrale

∫ q

q0

S2j(t) dt est bien definie (la singularite de S2j en q0

est integrable).

Aussi, pour le choix de normalisation des developpements Φbkw, nous choisis-

sons q0 comme etant un point tournant simple.

Dans le cas ou V est un polynome, nous avons le theoreme suivant, du a A.

Voros :

Theoreme C.2.7. Supposons que l’equation (C.2) n’ait que des points tour-

nants simples. Supposons de plus qu’aucune ligne de Stokes ne relie plusieurs

points tournants (i.e. il n’y a pas de ligne de Stokes multiple).

Alors, les solutions de (C.2) sommes de Borel de developpements BKW, nor-

malisees en fixant un point tournant q0, sont bien definies dans chaque region

de Stokes.

Par ailleurs, lors d’un franchissement d’une ligne de Stokes L provenant de

q0, ces solutions sont reliees de la maniere suivante :

Soit U1 et U2 deux regions de Stokes dont les frontieres contiennent L, et

soit sΦjbkw(q,±ε) la somme de Borel de Φbkw(q,±ε) sur Uj, j = 1, 2. Alors

sΦ1bkw(q,±ε) se prolonge analytiquement a U2 en traversant L et satisfait aux

relations de connexion suivantes :

C.3. GEOMETRIE ASSOCIEE AUX LIGNES DE STOKES 179

1. Si ℜ(∫ q

q0

√V (t) dt

)< 0 sur L, alors :

sΦ1bkw(q,−ε) = sΦ2

bkw(q,−ε)

sΦ1bkw(q, ε) = sΦ2

bkw(q, ε) ± isΦ2bkw(q,−ε).

2. Si ℜ(∫ q

q0

√V (t) dt

)> 0 sur L, alors :

sΦ1bkw(q, ε) = sΦ2

bkw(q, ε)

sΦ1bkw(q,−ε) = sΦ2

bkw(q,−ε) ± i sΦ2bkw(q, ε).

Dans les deux cas, le signe + (respectivement −) apparaıt si le chemin de

prolongement analytique de U1 vers U2 traverse L dans le sens direct (respec-

tivement dans le sens des aiguilles d’une montre) lorsque nous regardons du

point q0.

C.3 Geometrie associee aux lignes de Stokes

Pour simplifier, nous supposerons dans ce paragraphe que |ε| = 1, i.e.

ε = e−iθ, avec θ ∈ R.

C.3.1 Comportement des lignes de Stokes au voisinage

d’un point tournant

Soit q0 un point tournant d’ordre m (i.e. q0 est une racine de V d’ordre m).

Alors V s’ecrit sous la forme :

V (q) = (q − q0)mφ(q),

avec φ holomorphe au voisinage de q0 et φ(q0) 6= 0.

Par suite, nous avons :

1

ε

∫ q

q0

√V (t) dt = eiθ(q − q0)

m+22 ψ(q),


avec ψ holomorphe au voisinage de q0 et ψ(q0) = 2m+2

φ(q0)12 .

Nous en deduisons alors l’egalite suivante :

ℑ(

1

ε

∫ q

q0

√V (t) dt

)=

2

m+ 2|φ(q0)|

12 |q − q0|

m+22

(sin(θ +

m+ 2

2arg(q − q0)

+1

2arg(φ(q0)

)+ o(|q − q0|)

)).

Par suite, grace au theoreme des fonctions implicites, les lignes de Stokes in-

duisent l’existence de m+ 2 courbes definies par :

Ok : q = qk(t) = q0 + rei(αk+o(|r|)),

avec

r = |q − q0| → 0 quand q → q0

αk = − 2θ

m+ 2+

2kπ

m+ 2− 1

m+ 2arg(φ(q0)

), k = 0, . . . , m+ 1.

C.3.2 Comportement des lignes de Stokes au voisinage

de l’infini

Supposons ici que V (q) = qm−2(1 +O(|q|−1) a l’infini de sorte que :

1

ε

∫ q

q0

√V (t) dt =

2

meiθq

m2

(1 +O(|q|−1)

).

Par suite, nous avons l’equivalence :

ℑ(

1

ε

∫ q

q0

√V (t) dt

)= cste⇔ arg(q) = − 2

mθ +

2kπ

m, k = 0, . . . , m− 1

i.e. les lignes de Stokes tendent a l’infini vers l’une des directions precedentes.

Ces directions sont les frontieres des secteurs definis au paragraphe precedent.

Remarque C.3.1. Plusieurs lignes de Stokes distinctes peuvent avoir une meme

direction asymptotique a l’infini et sont appelees contigues.

Si un symbole est recessif le long d’une ligne de Stokes L, il l’est aussi le long

de toutes lignes de Stokes contigues a L.

Definition C.3.2. Soit L0 une ligne de Stokes donnee, de direction asympto-

tique arg(q) = α.

Nous dirons que L est une ligne de Stokes adjacente a L0 si, partant d’un point

de L0 avec |q| assez grand, et parcourant un arc de cercle, L est la premiere

ligne de Stokes rencontree, non contigue a L0, de direction asymptotique de la

forme arg(q) = α± 2πm

.


C.3.3 Comportement des lignes de Stokes au voisinagede l’origine

Nous supposons dans ce paragraphe que V admet un unique pole d’ordre

2 en l’origine.

Nous allons maintenant decrire la geometrie des lignes de Stokes associees a

l’equation (C.2) au voisinage de l’origine.

Proposition C.3.3. Il existe une unique fonction holomorphe y0(t) ∈ Ctverifiant les conditions suivantes :

dy

dt=

√V (t)

V (0)y

y(0) = 0.

En particulier, si nous developpons y0 en serie entiere au voisinage de 0,

nous avons : y0(t) = t+O(t2) et donc y′0(0) = 1 6= 0. Le theoreme d’inversion

locale nous donne l’existence d’un voisinage ouvert U de 0 tel que :

1. y0 est injective sur U ,

2. W = y0(U) est un ouvert contenant 0,

3. y0 possede une fonction inverse holomorphe t(y) = y +O(y2).

En particulier, en revenant a la fonction s(q) =∫ q

q0

√V (t) dt pour q0 proche

de 0, le changement de variable

t = t(y)

√V (t) dt =

√V (0)

ydy

permet d’ecrire :

s(q) =

∫ y0(q)

y0(q0)

√V (0)

ydy

d’ou s(q) =√V (0)(ln(y0(q)) − ln(y0(q0))).

Ainsi, en posant Y = y0(q) et Y0 = y0(q0) (en particulier q = Y +O(Y 2)), nous

obtenons :

s(Y ) =√V (0)(ln(Y ) − ln(Y0)).


Nous regardons alors les lignes de niveaux ℑ(ks) = c avec c ∈ R et k ∈ C :

ℑ(ks(Y )) = c ⇔ ℑ(k√V (0) log(Y )) = c+ ℑ(k

√V (0) log(Y0)) = cste

⇔ cos(θ + θ′)arg(Y ) + sin(θ + θ′) ln(|Y |) = cste

si k = |k|eiθ et√V (0) =

√|V (0)|eiθ′ .

Plusieurs cas se presentent :

1. si sin(θ + θ′) = 0 (i.e. θ + θ′ = kπ, k ∈ Z), alors arg(Y ) = cste et les

courbes de niveaux sont des demi-droites d’origine 0.

2. si cos(θ + θ′) = 0 (i.e. θ + θ′ = π2

+ kπ, k ∈ Z), alors log(|Y |) = cste, i.e.

|Y | = cste et les courbes de niveaux sont des cercles centres en 0.

3. si sin(θ + θ′) 6= 0 (i.e. θ + θ′ 6= 0[π]), alors |Y | = ecste−cos(θ+θ′)arg(Y )

sin(θ+θ′) et les

courbes de niveaux sont des spirales logarithmiques autour de 0.

En revenant a la variable x, nous obtenons des lignes de niveaux quasi-

identiques (modulo une petite deformation) puisque x = Y +O(Y 2).

Nous presentons ici quelques dessins de lignes de Stokes illustrant differentes

configurations.


-2-4-6

4

2

20

-2

0

-4

Fig. C.2 – Lignes de Stokes pour V (q) = q3 + 2q2 + i (correspondant a ladirection de sommation α = π

2).

654

0,4

3

0,2

20

-0,2

1

-0,4

0

Fig. C.3 – Lignes de Stokes pour V (q) = q − 1 (correspondant a la directionde sommation α = 0).


65

0,6

4

0,4

0,2

30

-0,2

2

-0,4

10

Fig. C.4 – Lignes de Stokes pour V (q) = q − 1 (correspondant a la directionde sommation α = 0, 01π).

4

1,2

2

00,8

-2

-4

0,40-0,4

Fig. C.5 – Lignes de Stokes pour V (q) = q − 1 (correspondant a la directionde sommation α = 0, 3π).

C.4. FONCTIONS CONFLUENTES ET MICROFONCTIONS 185

C.4 Fonctions confluentes et microfonctions

Nous rappelons ici quelques notions adaptees de [44, 24].

Definition C.4.1. Une microfonction

Φ(z, ξ) a (z0, ξ0) est la classe modulo

OC×C,z0×ξ0 d’une fonction∨Φ(z, ξ) holomorphe dans un voisinage sectoriel de

(z0, ξ0). La fonction∨Φ est appelee un majeur et la microfonction correspon-

dante sa singularite a (z0, ξ0).

La microfonction

Φ(z, ξ) est resurgente si son majeur∨Φ est prolongeable sans

fin (par rapport a ξ pour tout z dans un voisinage de z0).

Dans cette definition, un voisinage sectoriel de (z0, ξ0) designe un ouvert

W ⊂ C×C intersectant z0×C comme le montre la figure C.6 pour (z0, ξ0) =

(0, 0).

Cas z=0

Cas z=0

0 0

Fig. C.6 – La trace dans le plan de la variable ξ d’un voisinage sectoriel de(0, 0).

Nous rappelons que C designe la courbe algebrique definie par :

C = (z, ξ) ∈ C2, 9ξ2 = 4z3. Nous allons utiliser la definition suivante :

Definition C.4.2. Une microfonction (resp. microfonction resurgente)

Φ(z, ξ)

a (0, 0) est dite confluente a support singulier dans C si l’un de ses majeurs∨Φ(z, ξ) s’etend analytiquement sur le revetement universel de U × V\C (resp.

de C2\C), ou U ×V est un voisinage de (0, 0). Dans ce cas,∨Φ sera dit confluent

(resp. confluent resurgent) a support singulier dans C.

Par exemple, la microfonction (resurgente) a (0, 0) associee a∨

Abkw(z, ξ) (cf.

formule (3.13)) est confluente (resurgente) a support singulier dans C.


Remarque C.4.3. La difference fondamentale entre la notion de singularite dans

le cas absolu (cf. paragraphe C.1) et celle dans le cas “parametrique” que

nous considerons ici reside dans l’existenee d’un phenomene de “confluence”

de singularites. En effet, des que z 6= 0, nous sommes en presence de deux

singularites mobiles distinctes (23z

32 et −2

3z

32 ) pour les majeurs, qui viennent

confluer vers l’origine lorsque z tend vers 0.

C’est ce type de phenomene que nous apprehendons dans ce paragraphe.

Considerons maintenant une microfonction confluente a (0, 0) a support

singulier dans C, et notons∨Φ(z, ξ) l’un de ses majeurs holomorphes dans un

voisinage sectoriel de (0, 0). En gardant z dans un voisinage suffisamment petit

U de 0, nous pouvons definir un ouvert Ω comme sur la figure C.7 tel que∨Φ

est holomorphe pour (z, ξ) ∈ U × Ω.

z32

23

z32

23

λ 0

Fig. C.7 – L’ouvert Ω (le complementaire de l’ensemble grise) et le chemin λ.Les extremites de λ doivent etre dans le demi-plan ℜ(ξ) > 0.

Cela permet de definir la transformee de Laplace suivante :

(C.8) Φ(z, ε) =

∫

λ

e−ξε

∨Φ(z, ξ) dξ,

pour un contour d’integration λ comme sur la figure C.7.

La fonction Φ(z, ε) est holomorphe pour (z, ε) ∈ U × C∗, et admet une crois-

sance sous-exponentielle d’ordre 1 a l’infini en ε−1 au sens suivant :

∀η > 0, il existe un voisinage Uη de 0, un voisinage sectoriel Ση de l’origine

d’ouverture ] − δη, δη[ (δη > 0) et cη > 0 tels que

(C.9) ∀(z, ε) ∈ Uη × Ση, |Φ(z, ε)| ≤ cηeη|ε|−1

.

C.4. FONCTIONS CONFLUENTES ET MICROFONCTIONS 187

Si dans (C.8) nous remplacons le majeur∨Φ par un autre representant de

la classe de la microfonction confluente

Φ, ou changeons les extremites de λ,

la fonction Φ(z, ε) est decalee d’une fonction holomorphe ϕ(z, ε) en z dans un

voisinage U ′ de 0, et en ε ∈ C∗ qui est a decroissance exponentielle d’ordre 1 a

l’infini en ε−1 au sens suivant :

il existe η > 0 et un voisinage sectoriel Ση de l’origine d’ouverture ] − δη, δη[

(δη > 0), il existe c > 0 tels que

(C.10) ∀(z, ε) ∈ U ′ × Ση, |ϕ(z, ε)| ≤ ce−η|ε|−1

.

Cela justifie la definition suivante [44] :

Definition C.4.4. La fonction confluente Φ(z, ε) a support singulier dans Cassociee a la microfonction confluente

Φ(z, ξ) a (0, 0) est la classe de Φ(z, ε)

definie par (C.8) modulo les fonctions holomorphes en (0, 0) qui sont a decroissance

exponentielle d’ordre 1 a l’infini en ε−1.

Remarque C.4.5. Si∨Φ est confluent resurgent a support singulier dans C, alors

la fonction confluente resurgente Φ(z, ε) a support singulier dans C associee a

la microfonction confluente resurgente

Φ(z, ξ) a (0, 0) est definie comme une

presomme de Borel, voir [24, 17].

C.4.1 Decomposition locale (pour la direction α = 0)

Pour la notion de decomposition d’une fonction resurgente, nous renvoyons

le lecteur a [24, 17]. Nous introduisons ici son analogue local. Considerons de

nouveau un majeur∨Φ(z, ξ) dans la classe d’une microfonction confluente a

(0, 0) a support singulier dans C. Nous gardons z dans un voisinage suffisam-

ment petit U de 0 et z 6= 0. Pour un tel z, la fonction ξ 7→∨Φ(z, ξ) peut se

prolonger dans un domaine coupe (localement pres de ξ = 0) comme sur la

figure 3.2.b (cas I), ou sur la figure 3.3 (cas II).

En considerant les prolongements analytiques de ξ 7→∨Φ(z, ξ) au voisinage de

chaque singularite ω(z) (definie par C), et les microfonctions associees (i.e., la

classe modulo Oω(z), ω(z) etant le support de la microfonction), nous obtenons

la decomposition locale d’une microfonction confluente

Φ. Par exemple, dans

le cas I, la decomposition locale est donnee par seulement une microfonction


Φ

23z3/2

a 23z3/2, alors que dans le cas II, la decomposition locale fait intervenir

deux microfonctions, l’une

Φ

23z3/2

a 23z3/2, et l’autre

Φ− 2

3z3/2

a −23z3/2.

Nous utilisons maintenant les germes de secteurs de Stokes, comme sur la

figure 3.2.a. Tant que nous restons dans un tel germe de secteurs de Stokes S,

les microfonctions

Φω(z)

intervenant dans la decomposition locale de la micro-

fonction confluente

Φ sont holomorphes en z. Cela nous permet de definir le

morphisme

(C.11)

Φ(z, ξ)σS−→

(

Φω(z)

(z, ξ)

)

ω(z)

de l’espace des microfonctions confluentes a (0, 0) a support singulier C dans

l’espace des collections de microfonctions resurgentes en ω(z) (ou ω(z) est

definie par C) . A chaque microfonction

Φω(z)

(z, ξ) nous pouvons associer, par

l’intermediaire d’une transformee de Laplace formelle (licite si les singularites

sont simplement ramifiees par exemple), un unique symbole BKW elementaire

Φω(z)bkw (z, ε). Par suite, nous avons le diagramme commutatif suivant :

(C.12)

Φ(z, ξ)σS−→

(

Φω(z)

(z, ξ)

)

ω(z)

↓ ↓Φ(z, ε)

σS−→ ∑ω(z) Φ

ω(z)bkw (z, ε)

ou∑

ω(z)

Φω(z)bkw (z, ε), qui designe la serie transasymptotique locale associee a la

fonction confluente Φ(z, ε), est appelee la decomposition locale dans S de la

fonction confluente Φ(z, ε).

Lorsque nous traversons une ligne de Stokes, un phenomene de Stokes ap-

paraıt. Ce dernier se traduit par une discontinuite de la decomposition locale,

et peut s’analyser en termes de derivations etrangeres. Cette etude a deja ete

menee par exemple pour le cas Airy dans la section 3.2.

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Documents

Etude résurgente d’une classe d’équations diff ...math.univ-angers.fr/~delab/thesejm.pdf · Je souhaite également remercier très chaleureusement Jean-Pierre Ramis et David