ETUDES PRELIMINAIRES SUR LE CALCUL DE STABILITE ...biblio.univ-antananarivo.mg/pdfs/ratsimarofyLangoniaina...La plupart des ouvrages de génie civil reposent sur une digue en terre

Mémoire de fin d’études en vue d’obtenir le diplôme d’études

approfondies en hydraulique et aménagement

Présenté par : RATSIMAROFY Langoniaina

Membres du jury :

Président du jury : Monsieur RAKOTO David Rambinintsoa

Rapporteur : Monsieur RAMBININTSOA Tahina Michel

Examinateurs : Monsieur RAKOTOMALALA Jean Lalaina

Monsieur RAZAFINJATO Victor

Date de soutenance : 03 octobre 2015

ETUDES PRELIMINAIRES SUR

LE CALCUL DE STABILITE DES

DIGUES EN TERRE

Présenté par : RATSIMAROFY Langoniaina

Président du jury : Monsieur RAKOTO DAVID Rambinintsoa

Professeur Titulaire à l’ESPA et responsable de l’équipe d’accueil

doctorale hydraulique et aménagement.

Rapporteur : Monsieur RAMBININTSOA Tahina Michel

Maître de conférences à l’ESPA et Directeur technique du BPPAR

Examinateurs : - Monsieur RAKOTOMALALA Jean Lalaina

Professeur à l’IST et Directeur Général de l’IST-t

- Monsieur RAZAFINJATO Victor

Professeur Titulaire à l’IST et Directeur du département du génie civil à

l’IST-t

Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre

i

Remerciements

En terme de rédaction de cet ouvrage, nous remercions à tout instant notre Dieu qui a

toujours éclairé notre vie par le savoir, et nous a guidé dans le bon chemin.

Je tiens à remercier :

Monsieur RAKOTO David Rambinintsoa professeur titulaire à l’Ecole Supérieure des

polytechniques d’Antananarivo, responsable de l’équipe d’accueil doctorale hydraulique et

aménagement pour m’avoir donné l’occasion de poursuivre et mener à terme cette étude. Ses

conseils et ses aides m’ont été très précieux. J’ai beaucoup apprécié la liberté qu’il m’a laissée

dans l’organisation de ces recherches et ses encouragements nombreux et réguliers.

Monsieur RAMBININTSOA Tahina Michel, d’avoir se montré toujours très disponible

et très généreux et de m’avoir donné la possibilité d’élaborer et de présenter ce livre de mémoire

ainsi que sa gentillesse de lire et corriger ce travail. Tout cela m’a donné la permission de bien

avancer dans la réalisation de cet ouvrage.

Monsieur RAKOTOMALALA Jean Lalaina Directeur Général de l’Institut supérieur

de technologie d’Antananarivo de m’avoir donné la chance de faire ce sujet pertinent, et

d’actualité ainsi que pour son aide et son encadrement pendant l’élaboration de cet ouvrage de

recherche, en dépit de ses occupations et malgré la difficulté rencontrée tout le long de cette

étude.

Monsieur RAZAFINJATO Victor directeur de département du génie civil à l’Institut

supérieur de technologie d’Antananarivo d’avoir accepté à être examinateur du présent

mémoire, vos remarques et vos suggestions m’ont été très précieuses pour l’amélioration de cet

ouvrage.

Et je n’oublie surtout pas ma famille qui m’a soutenu aussi bien moralement que

financièrement, mes amis qui m’ont apporté aides et suggestions pour l’accomplissement du

présent mémoire.

Merci à tous.


ii

Sommaire

Remerciements

Sommaire

Liste des figures

Liste des tableaux

Nomenclature

Introduction générale

Chapitre I. Généralités sur les digues

I.1. Les différents types de digue en terre

I.2. Les matériaux constitutifs des digues

Chapitre II. Calcul de stabilité de la digue

II.1. Types de rupture d’une digue

II.2. Calcul de stabilité des talus

II.3. Calcul de stabilité de digue par la méthode des éléments finis

Conclusion générale

Bibliographie

Annexes

Table des matières

Résumé

Abstract


iii

Liste des figures

Figure 1: Forces agissant sur une masse de terre ................................................................... 12

Figure 2: cercle de glissement et les efforts agissant sur une tranche de largeur "ds" ............. 15

Figure 3: Toutes les forces qu'une tranche subit .................................................................... 16

Figure 4: Talus et glissement potentiel .................................................................................. 18

Figure 5: Efforts agissant sur la tranche en méthode d'équilibre limite .................................. 21

Figure 6: Principe de calcul de l'équilibre des moments ........................................................ 24

Figure 7: Glissement avec effort externe ............................................................................... 26

Figure 8: Glissement type et forces pour la méthode de Fellenius ........................................ 28

Figure 9: Forces agissant sur la tranche pour la méthode de Bishop ...................................... 32

Figure 10: Forces agissant sur la tranche pour la méthode suédoise....................................... 33

Figure 11: Forces et polygones d'équilibre des forces pour la méthode suédoise ................... 35

Figure 12: Cercles de glissement pour l'application des méthodes cas N°1 ............................ 37



Figure 15: Figure de comparaison de la méthode de Fellenius et de Bishop cas N°1 ............. 40



Figure 18: Type d'élément pour un problème à 2 dimensions ................................................ 50

Figure 19: Maillage de la structure à étudier ......................................................................... 52

Figure 20: Allure de la déformée de la structure .................................................................... 62

Figure 21: Point quelconque M se trouvant dans un élément à trois nœuds i-j-k .................... 63

Figure 22: Organigramme de calcul par la méthode des éléments finis .................................. 67

Figure 23: Représentation graphique de la répartition de la contrainte de cisaillement .......... 68


iv

Liste des tableaux

Tableau 1: Différentes expressions de la contrainte de cisaillement ........................... 17

Tableau 2: Inconnues et équations pour la méthode de Fellenius ............................... 30

Tableau 3: Inconnues et équations pour la méthode de Fellenius ............................... 32

Tableau 4: Résultats de calcul cas N°1 ...................................................................... 40



Tableau 7: Coordonnées de chaque nœud .................................................................. 53

Tableau 8: Forces horizontales et verticales agissant aux nœuds ................................ 58

Tableau 9: Résultats des déplacements des nœuds ..................................................... 60

Tableau 10: Résultat des réactions sur les nœuds ....................................................... 61

Tableau 11: Valeurs des contraintes obtenues par la MEF ......................................... 65


v

Nomenclature

W Poids de la tranche

l ou l Projection de b sur la ligne de rupture

H Hauteur du talus

Β Angle du talus

Xi, Xi+1 Composantes verticales des forces d’interaction

Ei, Ei+1 Composantes horizontales des forces d’interaction

u Pression interstitielle

N' Force normale à la base de la tranche due à la contrainte effective

γ Poids volumique du sol

φ' ou Angle de frottement effectif du sol

c' Cohésion effective du sol

b Largeur de la tranche du sol

αi Angle entre la base de la ième tranche et l’horizontale

τ Contrainte de cisaillement sur la surface de rupture

τm Contrainte de cisaillement admissible sur la surface de rupture

Contrainte normale sur la surface de rupture

’ Contrainte normale effective sur la surface de rupture

S Somme des contraintes de cisaillement sur la surface de rupture

A Aire de l’élément du maillage

B Matrice de

K Matrice de rigidité

F ou Fs Facteur de sécurité

U Le vecteur des déplacements

F Le vecteur des forces

J Matrice jacobienne


vi

Coefficient de Poisson

E Module d’Young

D Matrice d’élasticité

Ni Fonction d’interpolation


INTRODUCTION

GENERALE


1

Introduction générale

La plupart des ouvrages de génie civil reposent sur une digue en terre ou d’un talus qui,

dans ce cas prennent le rôle de support. Mais paradoxalement, surtout à Madagascar, le calcul

de stabilité de ces derniers est presque toujours considéré comme inutile. Cependant,

l’estimation de cette stabilité vis-à-vis du risque de rupture a été toujours l’une des importants

problèmes en géotechnique surtout dans le domaine des données limitées ou peu connues.

Habituellement ces ouvrages sont utilisés comme protection d’une ville contre la

remontée des eaux tout en étant comme voies de circulation. Mais elles peuvent aussi jouer un

rôle d’un barrage, c’est-à-dire un ouvrage d'art construit en travers d'un cours d'eau et destiné à

réguler le débit de celui-ci et/ou à en stocker l'eau pour différents usages tels que : contrôle des

crues, irrigation, industrie, hydroélectricité, pisciculture, réserve d'eau potable ou le trafic

fluvial.

L’étude d’un projet de digue en terre nécessite des calculs complexes de l’ouvrage aux

principaux stades de son histoire et notamment lorsque ses conditions de service sont les plus

défavorables, c'est-à-dire lorsque l'eau de la retenue atteint son niveau maximal.

Les caractéristiques des sols sont complexes, variables dans l’espace et dans le temps.

De ce fait, les paramètres que l’on doit introduire dans les calculs géotechniques, sont souvent

mal connus. L'étude de stabilité correspondante comporte généralement l'étude de l'écoulement

permanent à travers la digue et sa fondation, l'étude de stabilité en rupture circulaire du talus

aval et l’étude de stabilité élastique.

Les méthodes pour calculer la stabilité des pentes en terre sont très abondantes. La

plupart d’entre elles reposent sur le calcul à la rupture supposant que le facteur de sécurité reste

constant tout le long de la ligne de rupture. Le problème principal en utilisant ces méthodes se

trouve dans la comparaison des résultats.

Souvent, le plus grand souci dans le calcul de stabilité des talus se trouve dans la

pertinence des résultats obtenus car chaque méthode est différente qu’il est très difficile de se

fier au résultat obtenu. Il est donc important d’examiner de près certaines méthodes, c’est-à-

dire de façon plus explicite, afin de savoir la manière dont elles puissent avoir leurs résultats.


2

L’objectif du présent mémoire est de développer une approche sur l’analyse de stabilité

des talus vis-à-vis du glissement en utilisant des méthodes classiques suivie par l’analyse de

stabilité élastique de la section transversale de la digue en se servant de la méthode des éléments

finis. Cela nous permettra de comparer les résultats obtenus pour que nous puissions avoir une

idée sur le choix de la méthode le plus adéquate pour calculer la stabilité des digues en terre.


GENERALITES SUR LES

DIGUES


3

Chapitre I. Généralités sur les digues

I.1. Les différents types de digue en terre

Les digues en terre peuvent être différenciées selon certains nombres de critères. Le

critère le plus évident est sa forme caractérisée, en premier lieu par sa hauteur (1), Mais aussi

par la forme de sa section transversale. Il existe aussi d’autres critères qui semblent les moins

évidents comme entre autres, les matériaux qui la constituent et son rôle.

I.1.1. Distinction selon sa forme :

La forme des digues contribue beaucoup à sa stabilité surtout en renversement. En effet,

les digues en terre ont généralement la forme trapézoïdale mais elles peuvent aussi être en redan.

La hauteur d’une digue joue aussi un rôle très important dans sa stabilité vis-à-vis des efforts.

I.1.2. Distinction selon son rôle :

a) Les digues de protection contre les crues fluviales :

Elles sont situées dans le lit majeur d'un cours d'eau ou le long du littoral, parallèlement

à la rive et destinées à contenir les eaux de celui-ci à l'extérieur des digues. Elles portent alors

parfois le nom de levée.

b) Les digues de canaux :

Les canaux sont généralement alimentés artificiellement, les digues de canaux servent

à contenir l'eau à l'intérieur du canal. Les remblais composant des barrages sont aussi parfois

appelés digues mais pour éviter toute confusion, nous allons éviter d'employer le mot digue

pour désigner un ouvrage transversal qui barre un cours d'eau.

c) Les digues portuaires :

Plus ou moins longues faisant office d'écran aux vagues, sont appelés brise-lames.

N'ayant qu'une fonction de protection contre les vagues et courants de marée, elles n'ont pas

vocation à être étanches ; Certaines digues sont basses et constituées de blocs de pierre ou de

béton qui atténuent les vagues sans empêcher l'eau d'y circuler.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Lit_majeur

http://fr.wikipedia.org/wiki/Lev%C3%A9e_%28digue%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Barrages

http://fr.wikipedia.org/wiki/Brise-lame


4

d) Les ouvrages de protection contre la mer :

Sont de plus en plus nombreux ; isolant et protégeant une ville de la mer; les dunes

littorales sont des digues naturelles et doivent être respectées comme telles.

Et plus récemment, on voit aussi :

e) Les digues à bermes reprofilables :

Ce sont des digues marines conçues pour que la houle puisse les remodeler, de manière

à atteindre un profil en S plus stable.

f) Les digues dites « digues écologiques »

elles visent à limiter ou en partie compenser leur impact écologique ; ce sont des

défenses côtières (ou fluviales), auxquelles on a intégré une vocation de récif artificiel, de

support de faune et algues marines ou de filtration ou amélioration de la qualité de l'eau ou un

intérêt écotouristique. Elles peuvent alors être intégrées dans un dispositif compensateur de

perte ou fragmentation d'habitats littoraux ou sédimentaires. Elles peuvent s'intégrer dans une

trame verte et bleue ou une trame bleue marine. Des études visent à mieux comprendre

comment elles peuvent contribuer à réduire ou compenser des impacts d'endiguements.

I.2. Les matériaux constitutifs des digues (2)

Le choix des matériaux constitutifs d’une digue ou barrage en terre repose parfois sur la

disponibilité au voisinage du chantier. Et ceci décide dans la plupart des cas le type et la forme

de l’ouvrage. On peut distinguer généralement deux grandes classes de matériaux utilisés pour

la construction des digues ou des barrages en terre :

Les sols pulvérulents ou grenus classés comme matériaux perméables mais

aussi comme matériaux supportant les forces de cisaillement élevées.

Les sols cohérents ou fins classés comme matériaux peu perméables dont la

résistance au cisaillement est faible.

La proportion de ces types de matériaux joue un rôle très important dans une

construction d’une digue en terre. Si l’on utilise une très grande proportion de matériaux peu

http://fr.wikipedia.org/wiki/Dune

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure_compensatoire

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9cif_artificiel

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89co-touristique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure_compensatoire

http://fr.wikipedia.org/wiki/Trame_verte_et_bleue

http://fr.wikipedia.org/wiki/Trame_bleue_marine


5

perméable et un faible volume de matériaux perméable, l’ouvrage est donc homogène et peu

perméable. Et dans le cas contraire ou ces deux proportions est inversée, il est commode de

choisir la solution d’un ouvrage à noyau étanche c’est-à-dire que les matériaux perméables sont

utilisés comme recharges et les matériaux peu perméable en comme noyau.

Si l’on est en présence d’au moins trois types de matériaux dont la perméabilité est

nettement différente les uns des autres, on dispose les matériaux d’autant plus centrale dans le

corps de digue que leur perméabilité est plus faible.

Lorsqu’on utilise uniquement des matériaux fins, les talus de l’ouvrage sont

relativement faibles mais pour les digues à noyau, les talus peuvent être plus raides car la

résistance au cisaillement du sol de recharge est plus élevée. Ce qui explique aussi que pour les

digues à noyau la quantité des matériaux utilisés est moins importante que pour les digues

homogènes construit à partir des matériaux fins.

Que ce soit pour le sol grenu ou pour le sol fin, des essais d’identification doivent être

effectués avant leur utilisation. Identifier un sol c’est connaitre un certain nombre de propriétés

physique mécanique ou chimique. Ces propriétés sont obtenues par des essais empirique, simple

et rapides appelés essais d’identification.

Les sols étant d’aspects très voisins mais pouvant présenter des comportements très

différents, que les essais d’identifications doivent avoir une description précise, chiffrée, et non

seulement descriptives du sol.

On peut distinguer deux grandes catégories d’essais d’identification de sols :

Les essais qui répondent de l’arrangement et de la répartition des phases

(solide, eau, air). Ces essais déterminent l’état du sol et ne peuvent être réalisé

que sur des échantillons intacts ;

Les essais qui traduisent les propriétés des particules du sol et l’intensité de leurs liaisons

avec l’eau. Ces essais caractérisent la nature du sol et sont réalisés sur des échantillons

intacts ou remaniés (dont l’état a été perturbé lors du prélèvement ou du transport).


6

I.2.1. Les matériaux utilisés et leurs caractéristiques :

Les matériaux pour les remblais sont quasi de même aspect dans les zones centrales de

.En général, la partie centrale de Madagascar est caractérisée par la présence des sols

ferralitiques faiblement ou fortement rajeunis. Avec une érodibilité « K » moyenne, qui

détermine la vulnérabilité des sols à l’érosion plus particulièrement à l’érosion hydrique. Il

définit la résistance des sols à la battance des gouttes de pluie. La valeur de K varie suivant le

type de sols, la région.

Cependant, pour avoir un ouvrage apte à résister aux forces de la nature, il vaut mieux

bien sélectionner son matériau. Avant de les utiliser. Les matériaux doivent passer aux

laboratoires pour des essais comme entre autres l’essai d’identification, l’essai CBR et l’essai

Proctor.

I.2.2. Identification et description qualitative des matériaux (3)

Identifier un sol, c’est déterminer un ensemble de propriétés physiques, mécaniques ou

chimiques qui permettent de le caractériser. Ces propriétés sont déterminées par des essais

simples et rapides, appelés « essais d’identification ».

Les essais d’identification conduisent à une description précise et chiffrée, et non

seulement descriptive, du sol. Une définition chiffrée est nécessaire car des sols d’aspects très

voisins peuvent présenter des comportements (mécaniques, en particulier) très différents. Les

essais d’identification servent de base aux divers systèmes de classification des sols. Leurs

résultats permettent aussi d’estimer au moyen de corrélations des ordres de grandeur des

propriétés mécaniques des sols et d’établir un prédimensionnement grossier des ouvrages au

stade des premières études. On distingue classiquement deux grandes catégories d’essais

d’identification :

— les essais qui répondent de l’arrangement et de la répartition des phases (squelette

solide, eau, air). Ces essais caractérisent l’état du sol et ne peuvent être réalisés que sur des

échantillons intacts ;


7

— les essais qui traduisent les propriétés des particules du sol et l’intensité de leurs

liaisons avec l’eau. Ces essais caractérisent la nature du sol et sont réalisés sur des échantillons

intacts ou remaniés (dont l’état a été perturbé lors du prélèvement ou du transport).

Une classification dite LPC utilise les résultats des essais classiques pour identifier les

sols :

Des critères granulométriques :

les pourcentages de gravier, sable et particules fines (tamisats à 2 mm et 0,08

mm)

La forme de la courbe granulométrique :

Coefficient d’uniformité ou de Hazen C,

Coefficient de courbure CZ ;

les caractéristiques de plasticité wL et IP , et la ligne A d’équation

IP = 0,73 (wL – 20) (relation de Casagrande;

la teneur en matières organiques.

La classification peut également s’effectuer à partir de l’observation visuelle du sol et

de tests simples de chantier. Mais il faut une grande expérience pour appliquer correctement

cette méthode de classification de chantier.

La classification débouche sur 15 sols types, affectés chacun d’un symbole à deux

lettres, prises dans les trois ensembles suivants.


8

Éléments du sol

G : Grave. Le gravier est la fraction principale

S : Sable. Le sable est la fraction principale

L : Limon ou limoneux

A : Argile ou argileux

T : Tourbe

O : Organique. Le sol contient des matières organiques

Granularité du sol

B : Bien gradué

m : Mal gradué

Plasticité du sol

t : Très plastique

p : Peu plastique

Pour les travaux de terrassement une classification particulière des sols est utilisée. Cette

classification est dite GTR et elle définit des classes de sols corrélées avec l’aptitude au

compactage des matériaux en fonction des conditions de chantiers et leur comportement

mécanique ultérieur. Elle tient compte des mêmes caractéristiques de base que la classification

LPC/USCS, mais elle est beaucoup plus précise pour les particules argileuses, qui ont une

grande influence sur la conduite des terrassements, et tient compte de l’altérabilité des

matériaux au cours du temps.

I.2.3. L’essai CBR :

Généralement appliqué dans les constructions routières, L’essai CBR est un essai de

portance (aptitude des matériaux à supporter les charges) des remblais compactés des


9

ouvrages. Il s’agit de déterminer expérimentalement des indices portants (IPI, CBR) qui

permettent

- d’établir une classification des sols (GTR)

- d’évaluer la traficabilité des engins de terrassement (IPI)

- déterminer l’épaisseur (pour les chaussées : CBR augmente ⇒ épaisseur diminue)

Dans notre cas l’essai CBR est bien nécessaire vu que certaines digues dans la ville

jouent en même temps le rôle d’une chaussée.

La charge qui poinçonne le sol entraine un poinçonnement qui est d’autant plus petit

que la hauteur de la digue est grande. Un essai dit proctor s’effectue avec cet essai c’est-à-dire

en compactant le matériau puis en mesurant les forces appliquées.

On lui applique les conditions hydriques prévues pendant la vie de l’ouvrage:

immersion pendant 4 jours dans de l'eau.

pas d'immersion : essai immédiat.

On applique ensuite une charge voisine de ce que sera la charge de service et on

poinçonne le matériau dans des conditions déterminées (vitesse constante et déterminée) tout

en mesurant les efforts (F) et les déplacements (Δh) en résultant: On obtient la courbe d’essai.

On mesure 3 types d'indices en fonction des buts fixés :

l’indice Portant immédiat (IPI): Il caractérise l'aptitude du sol à permettre la

circulation des engins de chantier directement sur sa surface lors des travaux (H

= 0 ⇒ pas de surcharges S)

l’indice C.B.R. immédiat: Il caractérise l'évolution de la portance d'un sol

support (ou constituant de chaussée) compacté à différentes teneurs en eau.


10

l’indice C.B.R. après immersion: Il caractérise l'évolution de la portance d'un sol

support (ou constituant de chaussée) compacté à différentes teneurs en eau et

soumis à des variations de régime hydrique.


CALCUL DE STABILITE DE

LA DIGUE


11

Chapitre II. Calcul de stabilité de la digue

II.1. Types de rupture d’une digue

Faute de pouvoir décrire de façon précise le comportement d’un massif de sol depuis

son état initial jusqu’à la rupture, la mécanique des sols s’est inspirée des modes de rupture

observés dans la nature pour développer des lois de comportement simplifiées. La nature montre

l’existence de deux principaux modes de rupture :

les ruptures par glissement sur une surface : La représentation de la résistance au

cisaillement des sols par une relation entre la contrainte tangentielle τ et la

contrainte normale σ correspond au premier mode de rupture. Les essais de

cisaillement direct à la boîte en sont la traduction expérimentale.

les ruptures par plastification et écoulement d’une masse de sol : plus difficiles

à analyser et leur compréhension nécessite l’emploi de la théorie de la plasticité.

Dans l’analyse de la plastification des massifs de sols, on raisonne sur les états

de contraintes en chaque point. À part le cas des surfaces de rupture

préexistantes, que l’on rencontre pour l’essentiel dans les talus naturels, toutes

les ruptures commencent par la plastification du sol en un ou plusieurs points et

évoluent, suivant les circonstances, vers une rupture par plastification d’un

certain volume de sol ou vers la formation d’une surface de rupture.

II.2. Calcul de stabilité des talus (4) (5) (6) (7) (8) (9)

Cette partie de notre calcul concerne surtout le premier cas de la rupture d’une digue en

terre. Elle consiste à vérifier la stabilité d’une digue donnée vis-à-vis du glissement des sols.

Cela peut être causé par des efforts extérieurs ou bien par son poids propre uniquement.

Très souvent, les glissements de terrain sont déclenchés par un ensemble de facteurs

divers. Certaines conditions doivent être réunies pour menacer la stabilité d’un versant. A

celles-ci viennent s’ajouter un ou plusieurs mécanismes déclencheurs.

Dans les terrains inclinés, le sol a tendance à glisser vers l’aval. L’ampleur de ce

phénomène est principalement déterminée par trois forces:


12

Gravité: force qui entraîne la matière vers le centre de la Terre; dépend du talus

du terrain.

Force de frottement: force qui freine une couche de terrain meuble ou de roche

par frottement contre la couche sous-jacente.

Force de cohésion: force qui repose sur l’attraction des particules du sol entre

elles et de l’attraction entre ces particules et l’eau stockée dans le sol.

Tant que les forces de résistance (force de frottement et cohésion) sont plus fortes que

la force motrice (gravité), la stabilité du versant est garantie. Si l’équilibre des forces change et

la force motrice devient plus importante que les forces de résistance, un glissement de terrain

se déclenche. Se produit alors une rupture entre deux couches de sol et une masse se met à

glisser plus ou moins rapidement vers l’aval.

L’analyse d’une série de paramètres fondamentaux permet de définir, dans une large

mesure, la probabilité d’occurrence d’un glissement ainsi que sa localisation:

Matériaux: la force de cohésion et la composition du terrain sont des facteurs

décisifs.

Force de cohésion: si le sol est, par exemple, composé exclusivement de

matériel granulaire, la cohésion entre les différentes particules du sol est

minime, voire nulle. Dans ce cas, seule la force de frottement peut s'opposer à

un éventuel glissement de terrain.

Force de frottement: la force de frottement est faible si, par exemple, les

terrains meubles ou les roches comportent des discontinuités remplies de

1

2

3

1

2

3

: Force de gravité

: Force de frottement

: Force de cohésion

Force motrice

Force de résistance

Figure 1: Forces agissant sur une masse de terre


13

particules fines. Dans ce cas, la probabilité de voir une couche glisser sur

l’autre vers l’aval est très élevée.

Déclivité: les glissements de terrain peuvent se produire sur des talus modérés

à raides, d’une déclivité de 10 à 40 degrés généralement.

Hydrologie: Un terrain offrira plus ou moins de résistance au glissement en

fonction de sa sensibilité à l'eau, celle-ci dépendant directement de la

composition des matériaux constituant le versant. Les mouvements de masse

se produisent avant tout lorsqu’un important volume d’eau pénètre dans le sol

sur une période prolongée. En montagne, cela n’arrive que lorsque les

températures se situent au-dessus de zéro degré puisque, dans le cas contraire,

les précipitations sont stockées sous forme de neige ou de glace.

Erosion: les processus d'altération tendent à faire disparaître les sols

superficiels et mettent à nu les couches sous-jacentes. L'infiltration s'en trouve

renforcée et la teneur en eau des horizons profonds augmente. De tels

phénomènes réduisent la force de frottement et la cohésion.

Végétation: les racines des arbres et des arbustes peuvent contribuer à

améliorer la cohésion du sol. Un talus peut être fortement déstabilisé en cas de

disparition soudaine de la végétation suite à un incendie de forêt, au défrichage

du terrain, à une tempête ou à la sécheresse.

Activités humaines: celles-ci peuvent avoir une forte influence sur la stabilité

d’un talus. En voici quelques exemples:

Construction d’infrastructures ou de bâtiments: augmente le poids qui repose sur

le talus et, partant, la force de gravité. La stabilité peut également être fortement

réduite si des constructions sont érigées au bas du versant avec une excavation

dans le pied du glissement (suppression de butée).

Arrosage et irrigation: modifie la teneur en eau du sol.

Défrichement: entraîne le dépérissement des racines des arbres, qui ne peuvent

plus jouer leur rôle stabilisateur.

Ecoulements d’eau: les conditions d'écoulement dans un talus peuvent être

modifiés notamment par le compactage ou l’imperméabilisation du sol. Les

canalisations présentes dans le terrain peuvent aussi constituer des chemins

d'écoulement préférentiel avec concentration locale des eaux.


14

Talus artificiels: les conditions de stabilité peuvent être fortement altérées si la

structure interne d’un talus est modifiée. Les talus artificiels présentent souvent

des caractéristiques moins favorables du point de vue de leur stabilité que les

talus naturels (compactage, cohésion, drainage des eaux, etc.).

Un mécanisme déclencheur est nécessaire pour qu’une masse se mette en mouvement.

Les principaux mécanismes déclencheurs sont les suivants:

Fortes précipitations: lorsqu’une quantité importante d’eau s’infiltre dans le

sol, la force de cohésion et la force de frottement peuvent diminuer en raison

de la poussée verticale, ce qui peut entraîner un glissement de terrain. Lorsque,

en plus de cela, la quantité d’eau qui pénètre dans le talus est supérieure à la

quantité d’eau qui s’en écoule, une pression interstitielle se forme. Cette

pression peut déclencher un glissement de terrain subit. Les apports d’eau sont

généralement considérables lorsqu’une fonte des neiges importante s’ajoute à

de fortes précipitations.

Fonte du sol: le pergélisol est maintenu par de la glace. Si celle-ci fond, le sol

se relâche et la force de cohésion diminue.

Ebranlements (tremblements de terre, éruptions volcaniques, activités

humaines): peuvent menacer l’équilibre des forces dans le talus.

Le principal objectif du calcul de stabilité des talus est d’évaluer le risque de rupture à

travers le calcul du facteur global de sécurité pour un talus et de localiser les zones à fort

potentiel de rupture.


15

Pour assurer la stabilité du talus il faut qu’il y ait au moins équilibre entre l’effort

appliqué (le moment créé par le poids propre de la masse) et l’effort mobilisable (l’effort créé

par la résistance de cisaillement le long de la ligne de glissement) en s’appuyant sur la figure et

le tableau ci-dessus on peut écrire, d’une manière encore plus simple :

Avec

Wl : Effort appliqué avec l le bras de levier

𝑅∫ 𝜏 𝑑𝑠 = 𝑅 ∫ (𝑐 + 𝜎 tan 𝜑) 𝑑𝑠𝐶

𝐵

𝐶

𝐵 : Effort mobilisable

On obtient alors le coefficient de sécurité par :

𝐹𝑠 = 𝑅∫𝑐+𝜎 tan𝜑

𝑊 𝑙 𝑑𝑠

Pour apporter plus de détails, la figure ci-dessous nous montre tous les efforts agissant

sur la tranche.

A C

B ds

O

dP

M

l

W

Figure 2: cercle de glissement et les efforts agissant sur une tranche de largeur

"ds"


16

Les essais de cisaillement à l’appareil triaxial comportent deux étapes :

une première étape de consolidation, au cours de laquelle on amène l’éprouvette

dans l’état à partir duquel on veut exécuter le cisaillement ;

une seconde étape, de cisaillement proprement dit, au cours de laquelle on

augmente le déviateur des contraintes jusqu’à ce que la rupture de l’éprouvette

se produise

Différentes modalités d’essais peuvent être définies, selon que les phases successives de

l’essai sont exécutées avec ou sans drainage. On distingue les principaux types d’essais

suivants :

essais non consolidés-non drainés (UU) : la première étape de l’essai est

effectuée à drainage fermé, de même que le cisaillement ;

essais consolidés-non drainés (CU) : au cours de l’étape de consolidation, le

drainage est ouvert et l’on attend que les contraintes effectives deviennent égales

aux contraintes totales appliquées (surpressions interstitielles nulles). Au cours

𝑋 +𝑑𝑋

2

−൬𝑋 −𝑑𝑋

2൰

−ቆ𝑈′ +𝑑𝑈′

2ቇ

𝑈 −𝑑𝑈

2

𝐸′ −𝑑𝐸′

2

−ቆ𝐸′ +𝑑𝐸′

2ቇ

y

x

ds

y

x

ds

𝑥 −𝑑𝑥

2 𝑥 +

𝑑𝑥

2

h dx

Figure 3: Toutes les forces qu'une tranche subit


17

de l’étape de cisaillement, le drainage est fermé et l’on peut, si nécessaire,

mesurer la pression interstitielle pendant le chargement jusqu’à la rupture (on

parle alors d’essais CU avec mesure de u)

essais consolidés-drainés (CD) : la première étape est identique à celle des

essais CU. Le cisaillement est exécuté en condition de drainage ouvert, en

augmentant la charge suffisamment lentement pour que la surpression

interstitielle reste négligeable tout au long de l’essai.

D’ailleurs Le tableau suivant nous montre le choix des caractéristiques de cisaillement

des sols.

Tableau 1: choix des caractéristiques de cisaillement des sols

Type de sol Type de

calcul

Type de

compor

tement

Caractérist

iques

Types

d’essai

Para

mètre

s

Formule Appareillage

Cohérent

saturé

Court

terme

Non

drainé

Non

drainées

UU

CU

cu

λcu

𝜏 = 𝑐𝑢

∆𝑐𝑢 = 𝜆𝑐𝑢 Δ𝜎𝑝′

Appareil triaxial (Boîte de

cisaillement) Scissomètre,

pressiomètre autoforeur

Cohérent

non saturé

Court

terme

Non

drainé

Non

drainées UU

cuu ,

uu

𝜏 = 𝑐𝑢𝑢 + 𝜎 tan𝜑𝑢𝑢 Appareil triaxial (Boîte de

cisaillement)

Cohérent Long

terme Drainé Drainées

CD

CU avec

mesure

de u

c’, ’ 𝜏 = 𝑐′ + 𝜎′ tan𝜑′

Appareil triaxial ou boîte de

cisaillement pour les essais

CD Appareil triaxial seul

pour les essais CU avec

mesure de u

Pulvérulent

Terme

ou court

terme

Drainé Drainées CD c’, ’ 𝜏 = 𝑐′ + 𝜎′ tan𝜑′ Appareil triaxial ou boîte de

cisaillement

Source : Résistance au cisaillement des sols (M EL GONNOUNI)

Pour les sols fins cohérents saturés, on distingue les états dits non drainés (ou de court

terme) et drainés (ou de long terme). La résistance au cisaillement du sol est définie dans les

deux cas par l’état des contraintes effectives, c’est-à-dire par une équation de même forme que

pour les sols pulvérulents.

𝜏 = 𝑐′ + 𝜎′ tan 𝜑′


18

C’est la contrainte de cisaillement de Mohr-Coulomb en utilisant la contrainte normal

effective.

Avec :

𝜎′ = 𝜎 − 𝑢

Et c’ et ’ sont respectivement la cohésion et l’angle de frottement effectifs.

Dans la plupart des cas, le calcul de la stabilité des talus se fait par des méthodes dites

d’équilibre limite. On suppose dans ces méthodes que le sol est comme un solide qui obéit aux

lois classique de la rupture par cisaillement.

On établit tout d’abord une coupe transversale du talus pour avoir un problème à deux

dimensions. Successivement, on cherche une surface de glissement possible jusqu’à ce qu’on

trouve un facteur de sécurité minimal acceptable. Si la résistance au cisaillement le long de

ligne BMC excède la résistance nécessaire pour l’équilibre, la masse ABMC est stable et vis-

versa. La stabilité ou l’instabilité de la masse dépend de son poids, les forces extérieures

Résistance au cisaillement

Ligne de rupture

A C

B

M

Figure 4: Pente et glissement potentiel


19

appliquées à la masse, la résistance au cisaillement et tous les efforts internes éventuels dans la

surface de glissement.

II.2.1. Principe d’équilibre limite :

Les méthodes basées sur les méthodes d’équilibre limite se repose sur le calcul d’un

coefficient de sécurité FS qui sera évalué en comparant l’effort mobilisable c’est l’effort qui

empêche le glissement et l’effort appliqué c’est-à-dire l’effort qui provoque le glissement. Entre

ces deux efforts doit exister une certaine différence pour qui la stabilité soit assurée.

𝐹 =𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙𝑖𝑠𝑎𝑏𝑙𝑒

𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢é=𝜏

𝜏𝑚

Si la contrainte de cisaillement est exprimée par la contrainte normale effective :

𝐹 =𝑐′ + (𝜎 − 𝑢) tan𝜑′

𝜏𝑚

Si la contrainte de cisaillement est exprimée par la contrainte normale totale :

𝐹 =𝑐 + 𝜎 tan 𝜑

𝜏𝑚

Dans ces méthodes le facteur de sécurité est calculé en utilisant une ou plusieurs

équations d’équilibre statique appliquées sur la masse dans la surface de glissement.

Dans certaines méthodes, la contrainte de cisaillement et la contrainte normale peut être

obtenues directement par les équations d’équilibre statique avant de les introduire dans ces

équations ci-dessus pour calculer le facteur de sécurité. Mais dans d’autres cas comme les

méthodes de Bishop simplifiée, Suédoise modifiée, de Spencer, plusieurs procédures doivent

être suivi pour parvenir à calculer le facteur de sécurité. La contrainte de cisaillement mobilisée

est obtenue à partir des équations ci-dessus. On obtient donc :

𝜏𝑚 =𝜏

𝐹


20

On calcule cette valeur de contrainte en variant successivement les paramètres de la

surface de glissement et en supposant la valeur du facteur de sécurité et l’introduire dans

l’équation ci-dessus jusqu’à ce que l’équilibre soit atteint. Cette équation peut aussi être

exprimée comme suit :

𝜏𝑚 =𝑐′

𝐹+(𝜎 − 𝑢) tan𝜑′

𝐹

Le premier terme est en relation avec la cohésion et le second avec l’angle de frottement.

Et on appelle cohésion développée 𝑐𝐷′ =

𝑐′

𝐹 et 'D le frottement développé tel que

tan 𝜑𝐷′ =

tan𝜑′

𝐹

La plupart des méthodes basées sur la méthode d’équilibre limite attribue l’équilibre

statique en divisant la surface de glissement en nombre fini de tranches verticales. Les forces

exerçant sur une tranche sont montrées sur la figure ci-dessous :

Avec :

P : Poids de la tranche

E : Forces horizontales exerçant sur les côté de la tranche (force horizontale inter

tranche)

X : Forces verticales exerçant sur les côté de la tranche (force verticale inter tranche)

N : Force normale sur le fond de la tranche

S : Force de cisaillement sur le fond de la tranche.


21

Parmi ces forces, seul le poids de la tranche est connu. Par conséquent, on doit tous les

calculer de façon à ce que l’équilibre statique soit satisfait.

Pourtant, la force de cisaillement sur le fond de la tranche n’est pas directement

considérée comme inconnue dans les équations d’équilibre. Elle est exprimée en termes

d’autres quantités connues et inconnues. S est alors égal à la force de cisaillement multipliée

par la largeur de la base de la tranche.

𝑆 = 𝜏𝑚 ∆𝑙

Ou, en l’introduisant dans l’équation ci-dessus

𝑆 =𝑐′ ∆𝑙

𝐹+(𝜎 − 𝑢) ∆𝑙 tan 𝜑′

𝐹

Et on peut aussi constater que la force normale N peut être exprimée comme suit :

𝑁 = 𝜎 ∆𝑙

Par conséquent

P

Ei Ei+1

Xi+1

Xi

S

N

Figure 5: Efforts agissant sur la tranche en méthode d'équilibre limite


22

𝑆 =𝑐′ Δ𝑙

𝐹+(𝑁 − 𝑢 ∆𝑙) tan 𝜑′

𝐹

C’est une équation issue de celle de Mohr-Coulomb et la définition du facteur de sécurité

indépendamment de l’équation d’équilibre statique et qui met en relation la force de

cisaillement, la force normale sur le fond de la tranche et le facteur de sécurité. Les autres

inconnues doivent être obtenues par l’équation d’équilibre.

II.2.2. Les différentes formes de surfaces de glissement :

Toutes les méthodes d’équilibre limite supposent des surfaces de glissement possible

afin de calculer le facteur de sécurité. Le calcul est répété pour un nombre suffisant

d’éventuelles surfaces de glissement pour s’assurer que la valeur minimale du facteur de

sécurité soit suffisante. Pour simplifier le calcul, la surface de glissement est le souvent supposer

circulaire ou composée de lignes courtes. Toutefois, Il peut y avoir des formes de surfaces de

glissement. Généralement, on trouve de formes :

Circulaire : A part qu’il simplifie le calcul, il est souvent employé parce qu’il est

commode d’additionner les moments autour du centre du cercle. D’ailleurs, il est indispensable

de le mettre en œuvre dans certaines méthodes comme la méthode ordinaire des tranches, la

méthode de Bishop simplifiée, Il est toujours maniable pour commencer une analyse. En effet,

la surface de glissement circulaire est suffisante pour analyser les remblais ou les talus

relativement homogènes et des remblais sur des bases avec des couches relativement épaisses.

Triangulaire : La ligne de rupture est tracée à l’aide de trois segments formant un trapèze

et deux triangles. Ce type de surface de glissement peut être plus approprié pour les talus dont

la surface de glissement comporte un segment relativement long limitant un matériau à faible

résistance reposant sur un matériau plus résistant. Par exemple, une digue en remblai construite

sur une couche de sol alluvial.

II.2.3. Localisation de la surface de glissement :

La surface de glissement critique est définie comme une surface avec un facteur de

sécurité minimal acceptable. Sa localisation peut varier quelque peu selon la méthode

d’analyse. La surface de glissement pour un problème donné analysé par une méthode donnée


23

est trouvée par un système de procédure qui consiste trouver le facteur de sécurité minimal en

construisant plusieurs surfaces de glissement.

Surface de glissement circulaire : Elle est définie par la position de son centre, et de

l’autre côté son rayon, un point à travers lequel le cercle passe, ou un plan tangent sur la surface

de glissement. On change l’un de ces paramètres puis on varie un autre et on répète ce processus

jusqu’à ce que le facteur de sécurité minimum soit trouvé.

Surface de glissement triangulaire : elle est définie par la position du bloque central en

variant les coordonnées des extrémités de sa base (voir figure ci-dessous) et en même temps

l’inclinaison de la base du triangle actif et du triangle passif jusqu’à ce que le facteur de sécurité

minimum soit trouvé. Généralement, on suppose que l’inclinaison du côté du triangle actif est

45° +𝜑𝐷′

2 et celui du triangle passif 45° −

𝜑𝐷′

2 si les sommets des deux triangles sont

horizontaux.


24

II.2.4. Equation d’équilibre des moments :

Une tranche est dite stable si la résultante ou la somme de moments de toutes les forces

qui y agissent est nulle. On doit donc établir une équation d’équilibre pour qu’on puisse calculer

le facteur de sécurité F.

Pour avoir l’équation d’équilibre des moments, on calcul d’abord chaque moment de

chaque force par rapport au centre du cercle. Avoir l’équation exacte de ces moments demande

beaucoup de temps et de calcul. Et d’après la figure ci-dessus on peut citer comme moments :

b

W

N

Ei+1

Ei

R

Lg

xG

yG

S

lg h

O

Figure 6: Principe de calcul de l'équilibre des

moments


25

a) Le moment dû à W :

Que ce soit horizontalement ou verticalement, La position de W ne se trouve pas

nécessairement exactement au milieu de la tranche parce que la tranche n’est pas forcément un

parallélogramme mais elle peut être aussi un quadrilatère de forme quelconque.

Comme la montre la figure ci-dessus la position de W est présentée par les coordonnées

xg et yg dont le calcul est comme suit :

On pose : 𝑆1 = 𝑏(ℎ + 𝑏 tan(𝛽)) ; 𝑆2 =𝑏2 tan 𝛼

2 ; 𝑆3 =

𝑏2 tan (𝛽)

2

𝑥𝑔 =𝑆1𝑏2 − 2 𝑆2

𝑏3 − 𝑆3

𝑏3

𝑆1 − 𝑆2 − 𝑆3

𝑦𝑔 =𝑆1ℎ + 𝑏 tan 𝛽

2 − 𝑆2𝑏 tan𝛼3 − 𝑆3 ൬ℎ + 2

𝑏 tan𝛽3 ൰

𝑆1 − 𝑆2 − 𝑆3−𝑏 tan 𝛼

2

𝛾 = arctan 𝑥𝑔

𝑦𝑔

𝑙𝑔 = √𝑥𝑔2 + 𝑦𝑔2

𝐿𝑔 = √𝑅2 + 𝑙𝑔2 − 𝑅 𝑙𝑔 cos (𝛼 + 𝛾)

Et avec 𝑅2 = 𝐿𝑔2 + 𝑙𝑔

2 − 𝐿𝑔 𝑙𝑔 cos (𝜆) on a 𝜆 = arccos ൬− 𝑅2−𝐿𝑔

2−𝑙𝑔2

𝐿𝑔 𝑙𝑔൰

𝑀𝑊 = 𝑃 𝐿𝑔 cos (𝛾 + 𝜆 −𝜋

2)


26

b) Le moment dû à S :

𝑀𝑠 = 𝑆 𝑅 =𝑐′ ∆𝑙

𝐹𝑅 +

(𝜎−𝑢) ∆𝑙 tan 𝜑′

𝐹𝑅

c) Le moment dû à P :

Dans le cas où il existe de l’eau à l’extérieur du talus, cette première peut être considérée

comme une charge ponctuelle qui s’exerce sur le talus. La charge s’exerce donc sur la partie

supérieure de la tranche.

Le moment par rapport au centre du cercle dû à P est :

𝑀𝑃 = 𝑃 [𝑑𝑣 sin(𝛽) + 𝑑ℎ cos (𝛽)]

Mp est considéré comme positif quand est opposé au moment dû au poids de la masse

de sol.

P est la résultante des forces exercée perpendiculairement à le talus.

dh

R

Centre du cercle

P

dv

Figure 7: Glissement avec effort externe


27

𝑀𝑃 = 𝑃 [𝑑𝑣 sin(𝛽) + 𝑑ℎ cos (𝛽)]

L’équation d’équilibre des moments s’écrit donc comme suit :

𝑀𝑤 +𝑀𝑃 −𝑀𝑆 = 0

Et on obtient enfin :

𝐹 =Δ𝑙[𝑅 𝑐′ + ( 𝜎 − 𝑢)tan 𝜑′ ]

𝑊 𝐿𝑔 sin(𝛾 + 𝜆) + 𝑃(𝑑ℎ cos𝛽 + 𝑑𝑣 sin 𝛽)

Obtenue à partir de l’équilibre des moments, cette équation ne satisfait pas les équilibres

des forces horizontales et verticales. La valeur du facteur de sécurité obtenue peut avoir donc

une très grande différence par rapport à la valeur réelle. Il est donc préférable d’adopter d’autres

méthodes plus élaborées.

Depuis le début du XXème siècle, nombreuses sont ces méthodes qu’il est impossible

de les énumérer toutes dans cette ouvrage. Nous allons par conséquent, essayer de présenter les

méthodes les plus utilisées par les ingénieurs.

II.2.5. Méthode ordinaire des tranches (Méthode de Fellenius) :

Inventé par Fellenius en 1936, elle est aussi appelée méthode de Fellenius. Dans cette

méthode, les forces sur les côté des tranches sont considérées comme nulles. La force normale

sur le fond de la tranche est supposée perpendiculaire au segment du fond de la tranche. Le

moment est alors obtenu à partir du centre du cercle de glissement pour calculer le facteur de

sécurité.


28

N = W cos () N’ = W’ cos ()

Avec

N = l cos ( = W cos () et ’ = - u

W’ = W - u l

N’ = (W – u l ) cos ()

Dans la méthode de Fellenius, on suppose que d= r sin , ce qui nous donne le moment

dû au poids de la tranche c’est-à-dire le moment moteur:

𝑀𝑊 = 𝑊 𝑟 sin 𝛼

W

N

l

W’

N’

l

Pente avec une tranche type

Tranche avec contrainte normale totale Tranche avec contrainte normale effective

W’

O

R

d

Figure 8: Glissement type et forces pour la méthode de Fellenius


29

Et avec

𝜏 = 𝑐′ + σ tan𝜙

Ce qui nous donne un effort total

𝐹𝜏 = (𝑐′ + σ tan 𝜙) Δ𝑙

Et d’après l’équation ci-dessus

𝐹𝜏 = [𝑐′ + ൬

Wcos𝛼

Δ𝑙− u ൰ tan 𝜙] Δ𝑙

On obtient ainsi un moment de résistance

𝑀𝜏 = 𝑐′Δ𝑙 + (Wcos𝛼 − u Δ𝑙 )tan 𝜙′ 𝑟

Et

𝐹𝑠 =𝑀𝑤

𝑀𝜏=𝑐′Δ𝑙 + (Wcos 𝛼 − u Δ𝑙 )tan𝜙′ 𝑟

𝑊 𝑟 sin 𝛼

Pour la masse toute entière,

𝐹𝑠 =Σ[𝑐′ Δ𝑙 + (𝑊 cos𝛼 − 𝑢 Δ𝑙) tan 𝜑′]

Σ 𝑊 sin 𝛼

Dans la méthode de Fellenius, il n’y a qu’une seule inconnue, de telle sorte qu’une seule

équation d’équilibre suffit (équation d’équilibre de la masse entière du sol autour du centre du

cercle).


30

Tableau 2: Inconnues et équations pour la méthode de Fellenius

Inconnues Nombre d’inconnues pour n

tranches

Facteur de sécurité 1

Nombre total d’inconnue 1

Equations Nombre d’équations pour n

tranches

Equilibre de moments de la masse

entière du sol

1

Nombre total d’équation d’équilibre 1

Dans le cas où il existe de l’eau à l’extérieur du talus, l’expression du facteur de sécurité

devient donc :

𝐹 =Σ[𝑐′ Δ𝑙 + (𝑊 cos 𝛼 + 𝑃 cos(𝛼 − 𝛽) − 𝑢 Δ𝑙 𝑐𝑜𝑠2 𝛼) tan 𝜑′]

Σ 𝑊 sin 𝛼 −Σ𝑀𝑃

𝑅

La principale limitation de la méthode de Fellenius réside dans la manière où toutes les

forces agissant sur les côtés des tranches sont négligées. Cette méthode ne satisfait donc pas

l’équilibre des forces que ce soit verticales ou horizontales. L’équilibre entre les moments est

satisfait pour le sol entier ce qui n’est pas le cas pour chaque tranche. Le résultat du facteur de

sécurité obtenu en utilisant la méthode de Fellenius peut se différencier de 20% de celui des

méthodes plus rigoureuses et peut être même plus.

II.2.6. Méthode Bishop Simplifiée (1955):

La méthode de Bishop simplifiée est basée sur l’hypothèse qui admet que les forces

inter tranches sont horizontales, comme la montre la figure ci-après. Elle suppose aussi une

ligne de rupture circulaire. Elle satisfait l’équilibre des forces verticales de chaque tranche. Le

résultat de cette équation est combiné ensuit avec l’équation de Mohr-Coulomb ainsi que la

définition du facteur de sécurité pour déterminer les forces sur la fond de la tranche et

finalement, on établit l’équilibre des moments par rapport au centre du cercle de glissement

pour obtenir l’équation pour évaluer le facteur de sécurité.


31

En projetant les forces suivant la direction verticale, on a comme équation d’équilibre :

𝑊−𝑁 cos𝛼 − 𝑆 sin 𝛼 + 𝑃 cos 𝛽 = 0

D’où :

𝑁 =𝑊 + 𝑃 cos𝛽 −

sin 𝛼 (𝑐′ Δ𝑙2 − Δ𝑙2 𝑢 tan 𝜑′)𝐹

𝑚𝛼

Avec : 𝑚𝛼 = cos𝛼 + sin 𝛼 tan𝜑′

𝐹

L’équilibre des forces suivant la direction de la base de la tranche nous ramène à:

𝑆 𝑅 −𝑊 𝑅 sin 𝛼 − 𝑀𝑃 = 0

Avec

𝑆 =𝑐′ Δ𝑙

𝐹+(𝑁 − 𝑢 ∆𝑙) tan 𝜑′

𝐹

Et faisant une substitution de N on obtient :

𝐹 =

∑ [𝑐′𝑏 + (𝑊 + 𝑃 cos𝛽 − 𝑢 𝑏

1cos𝛼) tan𝜑

′

𝑚𝛼]

∑𝑊 sin 𝛼 − ∑𝑀𝑃

𝑅

Avec 𝑏 = Δ𝑙 cos𝛼

On constate dans cette équation que m est encore en fonction de F qui se trouve dans

les deux membres de l’équation. Par conséquent, F ne peut pas être calculé d’une façon directe,

alors on utilise le calcul par itération successives en adoptant la valeur obtenue par la méthode

de Fellenius comme première valeur de F.


32

Tableau 3: Inconnues et équations pour la méthode de Fellenius

Inconnues Nombre d’inconnues

pour n tranches

Facteur de sécurité (F) 1

Force normale sur le fond de la tranche (N) n

Force normale inter tranche (E) n-1

Force de cisaillement inter tranche (X) n-1

Positionnement des forces normales n

Positionnement des forces normales inter tranche

Nombre Total d’inconnues Nombre d’inconnues

pour n tranches

Forces d’équilibre dans la direction horizontalΣF𝑥 = 0e n

Forces d’équilibre dans la direction verticale ΣF𝑦 = 0 n

Moments d’équilibre n

Nombre total d’équations d’équilibre 3n

b

W

N

Ei+1

Ei

Figure 9: Forces agissant sur la

tranche pour la méthode de Bishop


33

II.2.7. Méthodes de forces d’équilibre incluant la méthode suédoise modifiée :

Les méthodes de forces d’équilibre raisonnent sur l’équilibre des forces horizontales et

vertical mais contrairement à la méthode de Bishop, elles ne prennent pas en compte l’équilibre

des moments. Les forces inter-tranches sont inclinées d’un angle . Les inconnues est les

équations d’équilibres sont résumées dans le tableau ci-dessous.

Les forces inter-tranches sont représentées en deux sens. Le premier c’est

qu’elles sont considérées comme la résultante des forces entre les tranches,

c’est-à-dire la résultante des contraintes et la pression d’eau interstitielle. Le

second c’est qu’elles représentent les forces effectives, c’est-à-dire les forces

dues aux contraintes effectives. Les forces de pression d’eau sont considérées

comme des forces qui séparent les tranches. Les forces inter-tranches agissant

sur la tranche sont alors le poids de la tranche (W), les forces inter-tranches

(Zi ; Zi+1), La force de cisaillement (S) et la force normale (N) sur le fond de la

tranche.

Quand la totalité des contraintes sont utilisées pour définir la contrainte de

cisaillement c’est-à-dire pour les essais consolidés non drainés, les forces inter-

tranches sont toujours considérées en totalité. Dans ce cas, les forces

interstitielles ne sont pas connues et ainsi, les forces interstitielles agissant sur

les côtés des tranches ne peuvent pas être calculées.

b

W

N

Zi+1

Zi

S

Figure 10: Forces agissant sur la

tranche pour la méthode suédoise


34

Comme la plupart des méthodes de tranches, la valeur du facteur de sécurité est obtenue

par itération.

La force de cisaillement est alors exprimée comme suit :

𝑆 =1

𝐹(𝑐 Δ𝑙 + 𝑁 tan𝜑)

Où

𝑆 = 𝑐𝐷 Δ𝑙 + 𝑁 tan 𝜑𝐷

𝑐𝐷 et 𝜑𝐷 sont respectivement la cohésion développée et l’angle de frottement

développé.

L’équilibre des forces est représenté par un polygone formé par les vecteurs force même.

En dessinant ce polygone, la force de cisaillement et la force normale sont représentées par une

résultante des forces dues à la cohésion et 𝑐𝐷 ∆𝑙 parallèle au fond de la tranche et une force 𝐹𝐷

qui est une force obtenue par la force normale 𝑁 et l’angle de frottement

𝜑𝐷𝐹𝐷 = 𝑁 tan𝜑𝐷 .orientée d’un angle 𝜑𝐷 par rapport au normal du fond de la tranche.


35

Pour pouvoir tracer le polygone, une valeur du facteur de sécurité doit être supposée car

cD et D dépendent de ce facteur.

1

2

N

FD1

D

N tan D

Z2 CD1 = cD l

W1 CD1

Z2

N

W1

W2

Z3

CD2

FD1

FD2

Z3

Z2

W2

CD2

FD2

D

Figure 11: Forces et polygones d'équilibre des forces pour la méthode suédoise


36

II.2.8. Applications des méthodes à notre problème :

Comme nous n’avons pas pu faire des essais sur terrain, nous devons utiliser des valeurs

hypothétiques des paramètres c’est-à-dire des valeurs qui peuvent correspondre au genre de sol

du haut plateau de Madagascar.

Normalement, les valeurs de chaque paramètre varient selon la profondeur et selon le

point du sondage. Mais nous avons dans nos hypothèses, les caractéristiques du sol sont

considérées constantes dans toute la section transversale de la structure.

- Données de calcul :

Poids volumique du sol : = 18 KN/m3

Angle de frottement : =30°

Contrainte de compression admissible = 5000 KPa

Force interstitielle : u= 30 KPa

Cohésion : c= 20 KN/m²

L’angle d’inclinaison du talus : =30°

Des calculs plus approfondi et complexes en utilisant des abaques peuvent nous

permettre d’avoir la localisation généralement approximative du cercle de glissement mais dans

cet ouvrage nous allons simplement comparer les valeurs du facteur de sécurité obtenues à

chaque cas en variant à chaque fois le rayon du cercle. Comme position générale du cercle par

rapport au pied du talus, nous avons donc :


37

Cas n°1 : Un cercle de glissement traversant le talus ou rupture superficielle du talus :

Figure 12: Cercles de glissement pour l'application des méthodes cas N°1

D’une façon générale, un cercle de rupture superficiel peut se produire tant que l’angle

de l’inclinaison du talus ne dépasse pas les 53°. Nous avons fait le calcul en changeant à chaque

fois la position du centre du cercle suivant une ligne droite.


38

Cas n° 2 : Un cercle de glissement passant par le pied du talus :


Normalement, on trouve toujours ce type de rupture quand la pente du talus dépasse les

53°. Comme dans le cas précèdent, les positions des centres des cercles sont choisies en suivant

une ligne droite.


39

Cas n° 3 : Un cercle de glissement passant sous le pied du pied du talus :


Ce cas peut aussi se présenter quel que soit l’angle d’inclinaison du talus. Nous allons

garder dans ce cas le centre de glissement mais en revanche, pour avoir d’autres cercles de

rupture, seuls les rayons sont changés.

A chaque cas, nous allons calculer la valeur du facteur de sécurité en utilisant en même

temps la méthode de Fellenius et la méthode de Bishop.

Les résultats sont résumés dans les tableaux et les figure ci-dessous. Tous les tableaux

plus détaillés concernant le calcul sont présentés dans l’annexe.


40

Cas n°1 :

Tableau 4: Résultats de calcul cas N°1

R(m) Facteurs de sécurité Fs

Fellenius Bishop

7,33 1,58 1,29

6,33 1,66 1,30

5,83 1,73 1,36

5,33 1,78 1,39

Figure 15: Figure de comparaison de la méthode de Fellenius et de Bishop cas N°1

1,15

1,25

1,35

1,45

1,55

1,65

1,75

5 5,5 6 6,5 7 7,5

Fs

Rayon du cercle

Fs

Ligne de rupture traversant la pente

Fellenius

Bishop

Linéaire (Fellenius)

Linéaire (Bishop)


41

Cas n°2 :



Fellenius Bishop

8,02 1,720 1,20

8,27 1,890 1,26

8,77 1,85 1,36

9,27 1,84 1,48

9,77 1,90 1,61


1,200

1,300

1,400

1,500

1,600

1,700

1,800

1,900

8 8,5 9 9,5 10

Fs

Rayon du cercle

Fs

Ligne de rupture passant sous le pied du

talus

Fellenius

Bishop


Linéaire (Bishop)


42

Cas n°3



Fellenius Bishop

8,07 1,507 1,11

8,27 1,503 1,13

8,47 1,501 1,15

8,97 1,508 1,23

9,47 1,532 1,25

10,47 1,582 1,34


Comme on peut voir sur les figures, la valeur du facteur de sécurité obtenue par la

méthode de Fellenius est nettement plus grande que dans celle obtenue par la méthode de

1,100

1,150

1,200

1,250

1,300

1,350

1,400

1,450

1,500

1,550

1,600

8 8,5 9 9,5 10 10,5

Fs

Rayon du cercle

Fs

Ligne de rupture passant par le pied du talus

Fellenius

Bishop


Linéaire (Bishop)


43

bishop. Cela est dû, par l’hypothèse concernant les forces agissant sur les côtés latéraux des

tranches. En effet, la résultante de ces efforts étant négligée par la méthode de Fellenius peut

compromettre à la stabilité du talus. Cette méthode est ainsi le plus simple mais peu fiable en

matière de sécurité.


44

II.3. Calcul de stabilité de digue par la méthode des éléments finis

L’analyse des problèmes de l’élasticité et plasticité en géotechnique par la méthode des

éléments a été acceptée depuis des années. Cependant, l’utilisation dans l’analyse de stabilité

des talus reste limitée. La raison de ce problème n’est pas entièrement claire.

Les ingénieurs qui pratiquent cette méthode sont fréquemment septiques à cause de sa

complexité, notamment quand il s’agit des sols à faible résistance.

Les avantages de l’utilisation de la méthode des éléments finis dans l’analyse de stabilité

des talus par rapport aux méthodes d’équilibre limites peuvent être résumés comme suit :

On n’a pas besoin de faire des suppositions à propos de la forme et la position

de la surface rupture. La rupture se trouve naturellement à travers la masse, là où

la résistance au cisaillement du sol ne peut pas supporter les forces appliquées

sur celle-ci.

Comme l’analyse ne se fait pas en utilisant des tranches, les hypothèses

concernant les forces agissant sur les côtés des tranches ne sont donc pas

nécessaires. La méthode des éléments finis considère l’équilibre global jusqu’à

ce que la ligne de rupture soit trouvée.

Si les données sur la compressibilité des sols sont disponibles, la méthode des

éléments finis peut donner les informations concernant les déformations par

rapport aux valeurs des contraintes.

La méthode des éléments finis peut donner la forme de déformation presque

exacte incluant l’effort de cisaillement tout le long de la ligne de rupture.

La localisation du cercle de glissement par la méthode des éléments finis exige un calcul

très long car le maillage doivent être très étroit pour que les segments des éléments puissent

formés n’importe quel forme.

Vu la complexité de cette méthode surtout quand il s’agit de trouver la ligne de rupture.

Nous allons donc supposer que la digue se comporte comme un ouvrage homogène concédant

des déformations sur toute sa section transversale dus aux forces agissant sur lui.


45

Nous sommes donc face à un problème à deux dimensions, c’est-à-dire qu’aucune des

dimensions de la structure ne peut être négligée. Un calcul par une méthode plus complexe

s’impose donc. , vu la précision et sa faculté de résoudre presque tous les problèmes de calcul

de structure nous allons mettre en œuvre la méthode des éléments finis.

II.3.1. Généralités sur la méthode des éléments finis (10)

Les structures que les concepteurs sont amenés à étudier sont le plus souvent des

assemblages de pièces élémentaires, celles-ci étant tirées des matériaux bruts disponibles. Ces

structures sont donc formées de barres, poutres, plaques et de parties massives. Pour l’analyse

du comportement de ces structures, le concepteur disposait, au début du 20ème siècle, de la

théorie de l’élasticité et des modèles simplifiés qui en découlent (théorie des poutres, des

plaques et coques). Ces formulations ne permettaient pas la résolution des problèmes relatifs

aux structures massives quelconques (problèmes de milieux continus). La première moitié du

20ème siècle a connu d’une part le développement des méthodes matricielles pour l’étude des

structures à base de poutres, et d’autre part celui des méthodes d’approximation et de

discrétisation spatiale du domaine pour l’étude des systèmes continus. Le concept d’élément

fini a été introduit en 1955. La méthode des éléments finis (MEF) est venue unifier les

différentes méthodes qui venaient de la précéder.

L’exemple le plus simple de structure discrète est celui des assemblages de barres et/ou

de poutres (treillis, ossatures…). La construction du modèle discret associé à la structure réelle

est relativement naturelle, et cela pour différentes raisons :

le découpage de la structure en « éléments » est naturel : les nœuds qui délimitent

les éléments sont les points où se situent les assemblages des différents

constituants

la théorie des poutres offre un modèle théorique simple pour caractériser le

comportement de chaque élément

les conditions d’équilibre aux nœuds sont faciles à formuler.

Pour les problèmes de plaques, coques ou pièces massives, la création d’une

discrétisation du domaine (ou maillage) ayant les qualités requises n’est pas aussi simple que

dans le cas des poutres. Dans le cas des structures 2D ou 3D, la MEF utilise des techniques


46

d’approximation et les résultats obtenus ne sont pas indépendants des caractéristiques du

maillage. La structure de départ est divisée en sous-domaines nommés « éléments finis » ayant

des formes géométriques relativement simples : triangles, quadrangles, tétraèdres, hexaèdres…

Des points remarquables, appelés « nœuds » situés sur la frontière des éléments (souvent les

sommets des éléments) servent à interconnecter les éléments. Le modèle de comportement de

chaque élément s’appuie sur une approximation de la solution (en général du champ des

déplacements dans l’élément) de sorte à permettre une formulation du problème en fonction des

valeurs de la solution aux nœuds. Le maillage est guidé par le souci de limiter l’importance des

erreurs introduites par les approximations : on peut être amené à réduire la taille des éléments

dans les zones d’étude où les gradients des contraintes sont importants (jusqu’à obtenir la

convergence des résultats utiles).

On distingue différentes grandes classes d’éléments :

les éléments unidimensionnels (1D) : barre, poutre rectiligne ou courbe.

les éléments bidimensionnels (2D) : élasticité plane (contrainte ou déformation

plane), plaques en flexion, coques courbes, de forme triangulaire ou

rectangulaire…

les éléments tridimensionnels (3D) : de forme tétraédrique, hexaédrique…

les éléments axisymétriques (pour les pièces présentant une symétrie de

révolution au niveau de la géométrie et du chargement)

les autres éléments : ressorts, amortisseurs, rigides…

La MEF s’attache à transformer les problèmes de milieux continus en problèmes

discrets où apparaissent des paramètres inconnus associés aux nœuds ou aux éléments du

maillage. Les méthodes de résolution qui en découlent portent des noms différents selon la

nature des paramètres retenus. On distingue :

la méthode des déplacements, qui est la plus utilisée. Les paramètres inconnus

sont les déplacements et, éventuellement leurs dérivées

la méthode des forces. Les paramètres inconnus sont les contraintes, ou les forces

résultantes dans les éléments

Nous n’aborderons dans cette étude que la méthode des déplacements.


47

Les problèmes qui se posent en calcul des structures sont de différentes natures. Les

classifications que l’on rencontre généralement tiennent compte de critères mécaniques

(statique/dynamique/contact …) mais aussi de la nature des techniques numériques qui sont

mises en œuvre pour les résoudre (linéaire/non linéaire, implicite/explicite…).

Les problèmes statiques linéaires, comme le nôtre, portent sur l’étude des structures à

comportement linéaire soumises à des charges supposées statiques ou à variation lente et ne

subissant que des petits déplacements. Ce type de problème, que nous étudierons dans cet

ouvrage, se ramène à la résolution d’un système linéaire :

𝐾 𝑈 = 𝐹

Où

K : est la matrice de rigidité qui est toujours symétrique et définie positive.

U : Le vecteur des déplacements : variables inconnues du problème

F : Le vecteur des forces : sollicitations connues

La solution est tout simplement �̅� = 𝐾−1. 𝐹, calculable numériquement par un nombre

fini d'opérations en utilisant une méthode de résolution directe d'un système linéaire (de type

Cholesky) ou itérative comme celle du gradient conjugué. Une fois �̅� connu, la solution de

l'équation de Galerkin peut être obtenue à tout point. Puis les tenseurs des déformations et des

contraintes approchées peuvent être calculés localement en presque tout point du domaine. (11)

Dans le cas bidimensionnel, la forme d'élément la plus simple et la plus utilisée est

triangulaire, c'est pour cette raison que l'on appelle parfois un maillage une triangulation. Les

éléments finis dans ce cas sont des éléments triangulaires. Une autre forme très souvent utilisée

est quadrilatérale et on parle dans ce cas des éléments finis quadrilatéraux. Il est important de

noter qu'il est parfaitement possible, et parfois c'est même très utile, de mélanger dans un même

maillage différent types d'éléments finis. En trois dimensions, les éléments finis les plus utilisés

sont des éléments finis tétraédriques ou hexaédriques.


48

II.3.2. Procédé de calcul (12)

Pour réaliser une étude par éléments finis, il faut que les objectifs de l’étude soient bien

définis. Le temps et les moyens disponibles, doivent être compatibles avec les objectifs et la

précision cherchée. Supposons toutes ces conditions remplies, l’étude proprement dite est

organisée de façon logique selon les étapes suivantes :

a) Analyse du problème

Cette analyse doit fixer les paramètres du calcul et conduire à la réalisation d’un

maillage. Cette phase basée sur l’expérience personnelle acquise dépend de nombreuses

considérations. La difficulté essentielle est de trouver un bon compromis entre les paramètres

propres au problème et ceux relatifs à l’environnement de travail. L’analyse du problème nous

conduit à préciser un certain nombre d’hypothèses, et à effectuer des choix qui conditionnent

les résultats.

Dans notre cas, on repose sur les hypothèses suivantes :

Le matériau qui constitue la structure est considérée comme homogène et

isotrope c’est-à-dire que son comportement est identique quel que soit la

direction ;

La digue est supposée encastrée dans un sol support horizontal qui se trouve sur

sa base ;

La structure est supposée totalement imperméable ;

La poussée et le poids propre de la structure sont les seules forces qui agissent

sur la digue ;

On ne prend pas en compte la ligne de rupture circulaire comme dans le cas des

méthodes d’équilibre limite. En revanche, la rupture est considérée verticale et

s’applique sur toute la section transversale de la digue ;

b) Choix du modèle

En calcul des structures, les plus classiques sont de type : poutre, élasticité plane,

axisymétrique, coques mince ou épaisse, tridimensionnel... À ces modèles mathématiques

correspondent des familles d’éléments finis.


49

Le calcul que nous allons faire dans cet ouvrage est simplement la vérification de la

stabilité de la section transversale d’une digue en subissant la poussée de l’eau et son poids

propre. Nous sommes donc en présence d’un problème à 2 dimensions dont les contraintes dans

la direction normale sont négligeables. Notre structure se déforme donc en restant plane. Nous

pouvons parler alors d’une déformation plane.

c) Choix du type d’éléments

Il est fonction de la précision voulue, de la nature du problème, mais aussi du temps

disponible. On choisira les éléments les mieux adaptés dans les familles disponibles.

Pour des études en deux dimensions, comme la nôtre, on peut choisir entre :

Les éléments triangulaires de type T3 et de type T6

Les éléments quadrilatéraux de type Q6 et Q8

Nous allons adopter l’élément triangulaire de type T3 c’est-à-dire qu’à chaque

élément il y a trois nœuds qui se trouvent aux trois sommets du triangle, comme

le montre la figure ci-dessous.


50

Le nombre de nœuds pour chaque élément joue un rôle très important dans la simplicité

de calcul de la structure. Plus le nombre de nœuds est élever plus le calcul est long, complexe

et précis. Pour le cas de calcul bidimensionnel, l’élément de type T3 a le nombre de nœuds le

plus faible. C’est pour cette raison que nous l’avons choisi à cause du manque de temps.

d) Choix du maillage

Il dépend essentiellement de la géométrie, des sollicitations extérieures, des conditions

aux limites à imposer, mais aussi des informations recherchées : locales ou globales. Sans

oublier bien entendu le type d’outils dont on dispose pour réaliser ce maillage.

La réalisation de notre maillage est manuelle, vu que nous voulons seulement montrer

l’essentiel concernant le calcul d’une digue en utilisant la méthode des éléments finis. Nous

allons choisir de faire une subdivision très simple et calculable manuellement afin de pouvoir

fournir une explication aussi simple.

1 2

3

1 3

5

2

4 6

1 2 3

4

5 6 7

8

1 2

3 4

Elément de type T3 Elément de type T6

Elément de type Q4 Elément de type Q8

(x3,y3)

(x1,y1) (x2,y2)

Figure 18: Type d'élément pour un problème à 2 dimensions


51

En conséquence, le maillage se fera en subdivisant la section transversale de la digue en

24 éléments ayant 21 nœuds au total. Ce qui implique 42 inconnues (21 déplacements verticaux

et 21 déplacements horizontaux, sans tenir compte des conditions aux limites). On a donc besoin

d’une matrice 42x42. Le maillage de la structure est montré par la figure ci-dessous.


52

Figure 19: Maillage de la structure à étudier


53

Tableau 7: Coordonnées de chaque nœud

e) Calcul des matrices élémentaires : (13) (14) (15)

A chaque élément, il y a une matrice dite élémentaire. Cette opération consiste à calculer

les matrices de rigidité élémentaires de chaque élément. Pour avoir plus de clarté dans cette

section, nous allons prendre à chaque fois l’élément 1, et la suite sera montrée dans l’annexe.

Une matrice de rigidité élémentaire est obtenue par l’équation suivante :

N° des

éléments Pt1 Pt2 Pt3

1 1 2 10

2 2 11 10

3 2 3 11

4 3 12 11

5 3 4 12

6 4 13 12

7 4 5 13

8 5 6 14

9 5 7 15

10 6 15 14

11 6 7 15

12 7 16 15

13 7 8 16

14 8 9 16

15 10 11 17

16 11 18 17

17 11 12 18

18 12 19 18

19 12 13 19

20 13 20 19

21 13 14 20

22 14 15 21

23 14 15 21

24 15 16 21

N° des

nœuds xi yi

1 0 0

2 1,5 0

3 3 0

4 4,25 0

5 5,5 0

6 6,75 0

7 8 0

8 9,5 0

9 11 0

10 1,5 2

11 3 2

12 4,25 2

13 5,5 2

14 6,75 2

15 8 2

16 9,5 2

17 3 4

18 4,25 4

19 5,5 4

20 6,75 4

21 8 4

Nœuds appartenant à chaque

élément


54

[𝐾]𝑒 = ∫ [𝐵]𝑇 [𝐷] [𝐵] 𝐽 𝑑𝑆𝑓

𝑆

En connaissant les coordonnées des nœuds, les matrices de rigidité élémentaires peuvent

s’écrire comme suit :

[𝐾]𝑒 = [𝐵]𝑇 [𝐷] [𝐵] 𝐴𝑒 𝐽

Où

A représente l’aire de l’élément et elle s’exprime pour un élément ayant dont les nœuds

sont 1 ; 2 et 3,

𝐴 =(𝑥2 − 𝑥1) (𝑦3 − 𝑦1) − (𝑥3 − 𝑥1) (𝑦2 − 𝑦1)

2

[𝐾]𝑒 : Matrice de rigidité élémentaire

[D] : matrice d’élasticité qui dépend du matériau et pour un problème de déformation

plane :

[𝐷] =𝐸

(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)[

1 − 𝜈 0 00 1 − 𝜈 0

0 01 − 2𝜈

2

]

E : Module d’Young. On prend dans notre calcul E= 17 MPa, c’est une valeur moyenne

des sols de type argile sableuse compactée.

: Coefficient de Poisson. Ce type de sol peut avoir aussi la valeur de = 0,33.

La matrice [D] est donc :


55

J est le déterminant de la matrice jacobienne [J] donnée par :

[J] =

[ 𝜕𝑁1(𝜉, 𝜂)

𝜕𝜉

𝜕𝑁2(𝜉, 𝜂)

𝜕𝜉

𝜕𝑁3(𝜉, 𝜂)

𝜕𝜉

𝜕𝑁1(𝜉, 𝜂)

𝜕𝜂

𝜕𝑁2(𝜉, 𝜂)

𝜕𝜂

𝜕𝑁3(𝜉, 𝜂)

𝜕𝜂 ]

[

𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2𝑥3 𝑦3

]

Ni : sont appelés fonctions d’interpolation. Pour les éléments triangulaires de type T3,

on a (pour l’élément 1 ayant comme nœuds 1 ;2 et 10) :

𝑵𝟏 = 𝜉, 𝑵𝟐 = 1 − 𝜉 − 𝜂, 𝑵𝟏𝟎 = 𝜂

[J]1 = [

𝜕𝑁1(𝜉,𝜂)

𝜕𝜉

𝜕𝑁2(𝜉,𝜂)

𝜕𝜉

𝜕𝑁10(𝜉,𝜂)

𝜕𝜉

𝜕𝑁1(𝜉,𝜂)

𝜕𝜂

𝜕𝑁2(𝜉,𝜂)

𝜕𝜂

𝜕𝑁10(𝜉,𝜂)

𝜕𝜂

] [

𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2𝑥10 𝑦10

]

[J]1 = [−1,5 00 2

]

𝑗1 = |J|1 = −3

[B] est une matrice d’opérateurs différentiels définie comme :

D

25.18797

12.40602

0

12.40602

25.18797

0

0

0

6.390977


56

[𝐵] =

[ 0

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

… .𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦

0

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦

𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥

. …

]

Dans les problèmes de notre cas où les éléments sont triangulaires de type T3, on a :

[𝐵] =

[ 𝜕𝑁1𝜕𝑥

0𝜕𝑁2𝜕𝑥

0𝜕𝑁1𝜕𝑦

0

𝜕𝑁1𝜕𝑦

𝜕𝑁1𝜕𝑥

𝜕𝑁2𝜕𝑦

0𝜕𝑁3𝜕𝑥

0

𝜕𝑁2𝜕𝑦

0𝜕𝑁3𝜕𝑦

𝜕𝑁2𝜕𝑥

𝜕𝑁3𝜕𝑦

𝜕𝑁3𝜕𝑥 ]

Avec {

𝜕𝑁𝑖

𝜕𝑥𝜕𝑁𝑖

𝜕𝑦

} = 𝑗−1 {

𝜕𝑁𝑖

𝜕𝜉

𝜕𝑁𝑖

𝜕𝜂

}

Pour l’élément 1 dont les numéros des nœuds sont 1 ; 2 et 10 :

[𝐵(𝑥, 𝑦)]1 = 𝑗1−1 [𝐵(𝜉, 𝜂)]1

Avec [𝐵(𝜉, 𝜂)]1 =

[ 𝜕𝑁1

𝜕𝜉0

𝜕𝑁2

𝜕𝜉

0𝜕𝑁1

𝜕𝜂0

𝜕𝑁1

𝜕𝜂

𝜕𝑁1

𝜕𝜉

𝜕𝑁2

𝜕𝜂

0𝜕𝑁10

𝜕𝜉0

𝜕𝑁2

𝜕𝜂0

𝜕𝑁10

𝜕𝜂

𝜕𝑁2

𝜕𝜉

𝜕𝑁10

𝜕𝜂

𝜕𝑁10

𝜕𝜉 ]

=[1 0 −10 0 00 1 −1

0 0 0−1 0 1−1 1 0

]

On obtient ensuite la matrice de rigidité élémentaire pour l’élément 1 :


57

K1 BT

D B A1 J

d

d float 10

113.345865

0

113.345865

55.82709

0

55.82709

0

28.7593965

28.7593965

28.7593965

28.7593965

0

113.345865

28.7593965

142.1052615

84.5864865

28.7593965

55.82709

55.82709

28.7593965

84.5864865

142.1052615

28.7593965

113.345865

0

28.7593965

28.7593965

28.7593965

28.7593965

0

55.82709

0

55.82709

113.345865

0

113.345865

Avec :

[𝐾]1𝑒

Comme nous le constatons, la sous-matrice de rigidité de l’élément 1est symétrique et

c’est le cas de toutes les sous-matrices, ce qui donne une matrice de rigidité [K] symétrique

aussi. Cela est dû au fait que les tenseurs et sont symétrique quel que soit la position.

f) Assemblage des matrices de rigidité élémentaires : (13)

La matrice de rigidité de l’élément établit la relation entre le vecteur des forces F et le

vecteur des déplacements aux nœuds.

Le déplacement de chaque nœuds peut être projeté suivant les axes des x et des y.

Autrement dit, les déplacements verticaux et les déplacements horizontaux. On a au total 21

nœuds, ce qui implique 42 déplacements éventuels.

La matrice de rigidité est donc de dimension 42x42. La matrice de rigidité élémentaire

[𝐾]1𝑒 qui correspond aux nœuds 1 ; 2 et 10 est placée dans la matrice [𝐾] de façon comme suit :

[ 𝐾11𝑒 𝐾12

𝑒 𝐾13𝑒

𝐾21𝑒 𝐾22

𝑒 𝐾23𝑒

𝐾14𝑒 …

𝐾24𝑒

𝐾15𝑒 𝐾16

𝑒 …

𝐾25𝑒 𝐾26

𝑒

𝐾31𝑒 𝐾32

𝑒 𝐾33𝑒

𝐾41𝑒 𝐾42

𝑒 𝐾43𝑒

⋮

𝐾34𝑒

𝐾44𝑒 …

𝐾35𝑒 𝐾36

𝑒

𝐾45𝑒 𝐾46

𝑒 ⋮

𝐾51𝑒 𝐾52

𝑒 𝐾53𝑒

𝐾61𝑒 𝐾62

𝑒 𝐾63𝑒

⋮

𝐾54𝑒

𝐾64𝑒 …

𝐾55𝑒 𝐾56

𝑒

𝐾65𝑒 𝐾66

𝑒 ⋮ ]

N1 N2 N10

N1

N

2

N1

0

1 2 3 4 19 20

1

2

3

4

19

20

Nœuds


58

g) Détermination des charges sur les nœuds : (14)

Les charges ne se situent pas forcement sur nœuds de la maille. Dans notre cas, nous

allons distribuer les charges en supposant que les nœuds se comportent comme des appuis

simples. Les valeurs des charges agissant sur les nœuds sont résumées dans le tableau suivant :

Tableau 8: Forces horizontales et verticales agissant aux nœuds

Nœuds Fx [MN] Fy [MN]

1 0,2492 -0,4243

2 -0,2700

3 -0,2400

4 -0,2250

5 -0,2250

6 -0,2250

7 -0,2550

8 -0,1650

9 -0,0900

10 0,2988 -0,6709

11 -0,4950

12 -0,4500

13 -0,4500

14 -0,4500

15 -0,4050

16 -0,3600

17 0,0496 -0,2315

18 -0,1500

19 -0,1500

20 -0,1500

21 -0,1650

h) Calcul des déplacements des nœuds : (13)

Comme nous l’avons mentionné ci-dessus, les déplacements des nœuds sont obtenus

par :

�̅� = 𝐾−1. 𝐹


59

Pour pouvoir faire le calcul, par la raison où les réactions aux appuis ne sont pas

connues, des conditions aux limites qui consiste à imposer des valeurs connues de déplacement

aux nœuds reposant directement sur les appuis.

Notre structure est supposée encastrée dans un sol support qui lui supposé immobile.

Par conséquent, les déplacements que ce soit horizontaux ou verticaux des nœuds qui se

trouvent en contact avec ce support est supposés nuls.


60

Tableau 9: Résultats des déplacements des nœuds (13)

Nœuds 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Déplacements

suivant x (ui) [m]

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Déplacements

suivant y (vi)[m]

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Nœuds 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Déplacements

suivant x (ui) [m]

0,0043 0,0025 0,0015 0,0008 0,0001 -0,0003 -0,0007 0,0035 0,0020 0,0011 0,0005 -0,0003

Déplacements

suivant y (vi)[m]

-0,0040 -0,0037 -0,0038 -0,0038 -0,0036 -0,0029 -0,0019 -0,0057 -0,0052 -0,0051 -0,0048 -0,0038


61

Les valeurs des réactions aux appuis sont ainsi obtenues en mettant les vecteurs forces,

c’est-à-dire la matrice [F] comme étant une matrice des inconnues.

Tableau 10: Résultat des réactions sur les nœuds (10)

N° des

nœuds 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Rx -0,4711 -0,2213 -0,0678 -0,0593 -0,0192 0,0347 0,0527 0,2486 -0,1054

Ry 0,5472 1,0234 0,8655 0,7802 0,7846 0,7618 0,7523 0,6309 0,0711

Graphiquement, les déplacements des nœuds nous conduit à une allure de la déformée

comme suit :


62

Figure 20: Allure de la déformée de la structure


63

i) Calcul des contraintes agissant sur les éléments : (10)

Isolons un élément (voir la figure ci-dessous) pour expliquer la démarche du calcul. On

note i, j et k les nœuds de cet élément dont les coordonnées sont respectivement (xi , yi), (xj , yj)

et (xk , yk). Et considérons un point M de coordonnées (x , y), placé à l’intérieur de l’élément.

Le point courant M subit un déplacement (u , v) et les déplacements nodaux de l’élément

est :

𝑞𝑒𝑇 = [𝑢𝑖 𝑣𝑖 𝑢𝑗 𝑣𝑗 𝑢𝑘 𝑣𝑘]

Les déplacements nodaux étant connus, une approximation du champ de déplacement

peut être établie à l’intérieur de l’élément e.

{𝑢(𝑥 , 𝑦) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦

𝑣(𝑥 , 𝑦) = 𝑎3 + 𝑎4𝑥 + 𝑎5𝑦

Les déplacements nodaux sont donc exprimés comme suit :

{

𝑢𝑖 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑦𝑖𝑣𝑖 = 𝑎3 + 𝑎4𝑥𝑖 + 𝑎5𝑦𝑖𝑢𝑗 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑗 + 𝑎2𝑦𝑗𝑣𝑗 = 𝑎3 + 𝑎4𝑥𝑗 + 𝑎5𝑦𝑗𝑢𝑘 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑘 + 𝑎2𝑦𝑘𝑣𝑘 = 𝑎3 + 𝑎4𝑥𝑘 + 𝑎5𝑦𝑘

i

k

j

vk

ui

uj

uk vi

vj

y ; v

x ;u

M u

v

Figure 21: Point quelconque M

se trouvant dans un élément à trois

nœuds i-j-k


64

Après substitution des coefficients ah nous sommes conduits à la relation suivante :

𝑈 = 𝐴 𝑞𝑒

[𝑢𝑣] = [

𝑁1 0 𝑁2 0 𝑁3 00 𝑁1 0 𝑁2 0 𝑁3

]

[ 𝑢𝑖𝑣𝑖𝑢𝑗𝑣𝑗𝑢𝑘𝑣𝑘]

Ou Ni sont les fonctions d’interpolation fonction de x et y.

On en déduit donc la matrice B fonction de x et y avec :

[𝐵] =

[ 𝜕

𝜕𝑥0

0𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥]

{𝑁𝑖}

La relation déformations-déplacements 𝜀 = 𝐶 𝑈 s’écrit dans ce cas :

[

𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦2𝜀𝑥𝑦

] =

[ 𝜕

𝜕𝑥0

0𝜕

𝜕𝑦𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑥]

[𝑢𝑣] = [𝐵]

[ 𝑢𝑖𝑣𝑖𝑢𝑗𝑣𝑗𝑢𝑘𝑣𝑘]

Notons que les termes de la matrice B ne dépendent plus ni de x, ni de y. La loi de Hooke

𝜎 = 𝐷 𝜀 s’écrit :

[

𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜎𝑥𝑦

] = 𝐷 [

𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦2𝜀𝑥𝑦

]

Où D est la matrice d’élasticité.


65

Contrairement aux déplacements, les déformations et les contraintes obtenues par cette

approche seront uniformes dans tout l’élément et ne seront pas continues au passage de la

frontière entre deux éléments. Cela est dû par les fonctions d’interpolation Ni qui sont des

fonctions linéaires de x et de y, ainsi leurs dérivées partielles par rapport à x et y ne dépendent

plus de ces derniers.

Et les expressions des Ni s’écrivent :

{

𝑁1(𝑥, 𝑦) = [𝑥𝑗𝑦𝑘 − 𝑥𝑘𝑦𝑗 + (𝑦𝑗 − 𝑦𝑘)𝑥 + (𝑥𝑘 − 𝑥𝑗)𝑦]/Δ

𝑁2(𝑥, 𝑦) = [𝑥𝑘𝑦𝑖 − 𝑥𝑖𝑦𝑘 + (𝑦𝑘 − 𝑦𝑖)𝑥 + (𝑥𝑖 − 𝑥𝑘)𝑦]/Δ

𝑁3(𝑥, 𝑦) = [𝑥𝑖𝑦𝑗 − 𝑥𝑗𝑦𝑖 + (𝑦𝑖 − 𝑦𝑗)𝑥 + (𝑥𝑗 − 𝑥𝑖)𝑦]/Δ

Avec Δ =(𝑥𝑗−𝑥𝑖) (𝑦𝑘−𝑦𝑖)−(𝑥𝑘−𝑥𝑖) (𝑦𝑗−𝑦𝑖)

2 qui repésente l’aire du triangle i-j-k

Nous avons dans ce problème 24 éléments d’où 24 valeurs de contraintes résumée dans

le tableau ci-après.

Tableau 11: Valeurs des contraintes obtenues par la MEF

Contraintes E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8

xx [MPa] 0,049 0,108 0,046 0,086 0,047 0,078 0,047 0,072

yy[MPa] -0,1 -0,129 -0,093 -0,113 -0,096 -0,111 -0,095 -0,108

xy[MPa] 0,0274 0,0299 0,0162 0,0149 0,0097 0,0099 0,0049 0,0069


xx[MPa] 0,045 0,064 0,036 0,047 0,023 0,023 0,084 0,083

yy[MPa] -0,09 -0,1 -0,073 -0,078 -0,048 -0,048 -0,081 -0,08

xy[MPa] 0,0009 0,008 -0,002 0,0065 -0,004 -0,004 0,0085 0,0112


xx[MPa] 0,058 0,053 0,046 0,044 0,04 0,047 0,031 0,022

yy[MPa] -0,056 -0,053 -0,047 -0,046 -0,043 -0,046 -0,033 -0,029

xy[MPa] 0,0019 0,0048 0,0027 0,0052 0,004 0,0118 0,0071 0,0087


66

Comparer avec la contrainte normale admissible des sols bien compactés qui est en

générale au-delà de 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 0,3𝑀𝑃𝑎 et qui implique une contrainte de cisaillement 𝜏𝑎𝑑𝑚 =

𝑐 + 𝜎𝑡𝑎𝑛𝜑 environ égale à 0,17MPa. Les valeurs que nous avons dans ce tableau ne présentent

aucun risque pour la rupture de notre digue.

Notons que nous n’avons pas pris en compte tous les efforts susceptibles d’agir sur notre

structure comme par exemple les efforts dus au vent, les charges créer par les véhicules. Nous

n’avons non plus considéré l’évolution des déformations en fonction du temps. Notre objectif

dans cet ouvrage étant tout simplement de montrer les méthodes pour calculer la stabilité d’une

digue. La figure suivante nous montre la répartition des contraintes de cisaillement, établie

suivant les valeurs de notre calcul, dans la section transversale de la digue.


67

II.3.1. Organigramme de calcul par la méthode des éléments finis

Figure 22: Organigramme de calcul par la méthode des éléments finis

Définir l'objectif

Vérification des ressources et des temps disponibles

Analyse du problème

Préciser les hypothèses

Choix du modèle

Choix du type d'élément

maillage

Calcul des matrices de rigidité élémentaires

Assemblage des matrices de rigidité élémentaires

Calcul des déplacements des noeuds

Calcul des déformations et des contraintes


68

Figure 23: Représentation graphique de la répartition de la contrainte de cisaillement

En partant de cette figure, nous pouvons conclure que les impacts de la poussée de l’eau

restent superficiels même si nous avons considéré la hauteur d’eau maximale. Pourtant, dans la

réalité, nombreux sont les ouvrages en terre compactée qui ne résistent rient qu’à la poussée de

l’eau. Mais dans notre problème, nous avons considéré que l’eau est complètement immobile.

Ce qui est loin d’être le cas défavorable.

La répartition des contraintes n’est pas visiblement très claire car faute de moyen et

faute de temps, nous avons utilisé des éléments de maillage dont les dimensions sont trop

grandes. La précision est donc obtenue en utilisant un maillage plus étroit.

0 5 10

2

4

1 2 3 4 6 7 8 9 11

1

3


CONCLUSION GENERALE


69

Conclusion générale

Nous nous étions fixés l’objectif de développer une approche sur l’analyse de stabilité

des talus vis-à-vis du glissement en utilisant des méthodes classiques suivie par l’analyse de

stabilité élastique de la section transversale de la digue par la méthode des éléments finis.

Et à l’issue de ce travail et malgré quelques difficultés inhérentes au calcul numérique,

nous pouvons tirer certaines conclusions surtout sur l’utilisation des méthodes classiques. La

différence des résultats entre la méthode de Bishop et la méthode de Fellenius est si importante

qu’elles nous mettent sur le doute des erreurs réelles par rapport aux vraies valeurs. En effet,

rien qu’en prenant en compte les forces horizontales inter-tranches, la méthode de Bishop a une

différence moyenne de 22% en moins de la méthode de Fellenius qui néglige toute force inter-

tranche. Et il est à noter que les forces verticales inter-tranches sont aussi négligées par la

méthode de Bishop.

Il est vrai que les résultats que nous avons obtenus par la méthode des éléments finis ne

nous permettent pas de faire une comparaison entre elle et les méthodes d’équilibre limite mais

l’utilisation de la méthode des éléments finis dans cet ouvrage est dans le but de montrer de

manière introductive la façon dont on doit procéder dans un calcul de stabilité d’une digue

supposée homogène et élastique. Certains paramètres a été ainsi négligés, non pas parce qu’ils

sont inutiles mais parce que leur emploi demande des procédures ou des essais plus élaborés.

Il est cependant nécessaire de dire qu’il existe des réticences à l’utilisation de certaines

possibilités offertes par cette méthode car les modélisations en comportement non linéaire

nécessitent de nombreuses données géotechniques, donc pouvant être très onéreuses. Mais, en

l’état actuel des choses, il est préférable d’utiliser des méthodes plus améliorer et plus précises

en matière de résultat même si elles demandent beaucoup de temps et de moyens. La précision

des méthodes d’équilibre limite dépend de la largeur ou le nombre des tranches néanmoins pour

faciliter le calcul, elles adoptent des hypothèses en éliminant certains paramètres, ce qui peut

amener le calcul à des certaines erreurs qu’on ne pourra pas évaluer. En revanche, en utilisant

un maillage plus étroit, la méthode des éléments finis reste la méthode de calcul la plus fiable.

Toutefois, la présence ou non de l’eau dans l’ouvrage remet en cause les résultats

obtenus. Autrement dit, la présence d’eau dans le corps de la digue rend la structure de plus en


70

plus hétérogène. Et même si on arrive à réaliser le calcul à l’Etat Limite Ultime, Le changement

de saison qui joue un rôle essentiel dans la vie des ouvrages en terre entraine de la difficulté

concernant l’évolution de sa stabilité en fonction du temps. Pourtant, on sait que la rupture

d’une digue est souvent un produit à long terme des actions extérieures. Il est donc plus prudent

de faire des vérifications périodiques afin de pouvoir assurer la sécurité de la population à

proximité.


Bibliographie

1. Cartier, MM. Pilot et. Digues et barrages en terre. [éd.] LABORATOIRE

CENTRAL DES PONTS ET CHAUSSÉES. 58, boulevard Lefebvre : MINISTERE DE

L'URBANISME, DU LOGEMENT ET DES TRANSPORTS, 1984. p. 37.

2. Josseaume, H. Digue en terre. 1970. pp. 199-214.

3. MAGNAN, Jean-Pierre. Description, identification et classification des sols. Paris :

Laboratoire central des ponts et chaussées, 1999. p. 17.

4. Jean-Louis DURVILLE, Gilles SEVE. Stabilité des pentes/Glissements en terrain

meuble. 2003. p. 17.

5. Martin, RABANANTOANDRO. Extrait de cours de mécanique des sols.

Antananarivo : s.n.

6. GONNOUNI, M EL. RESISTANCE AU CISAILLEMENT DES SOLS. p. 26.

7. Ph., Reiffsteck. Mécanique des Sols Avancée/Stabilité des pentes. s.l. : LCPC div.

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DESIGN, 2003. p. 205.

9. RAHMANI, Naima. Méthodes stochastiques de calcul de stabilité des pentes

(Mémoire de magistère). Alger : Faculté du génie de la construction, 2011. p. 192.

10. Sartor, Marc. Introduction à la méthode des éléments finis/Notes de cours/Ch. 1.

p. 4.

11. Tie, Bing. Eléments finis en Elasticité Linaire. s.l. : Laboratoire de Mécanique des

sols-Structures-Matérieau. Ecole Centrale de Paris, 2004.

13. Dysli, Michel. Introduction aux éléments finis. 2éme. s.l. : Ecole

polytechnique/federale de Lausanne, 1997. p. 25.


14. HASSAN, R. Mise en oeuvre de la méthode des éléments finis. s.l. : Université de

Chamberys Annecys Avoie, 2004-2005. p. 76.

15. Oudin, Hervé. Méthode deséléments finis. Nantes : Ecole d'ingénieur, Ecole

centrale de Nantes, 2008. p. 68.

16. Astrid Leutwiler. Glissements de terrain/Causes. s.l. : Office fédéral de

l'environnement/Division Prévention des dangers, 2009.

17. Naima, RAHMANI. Métode stochastiques de calcul de stabilité des pentes. Alger,

Algerie : s.n., 2011. p. 192.

ANNEXES

Annexes

Notes de calcul:

Calcul sous Mathcad:

Module d'Young

MPA

Coefficient de Poisson

Fonction d'interpolation

Coordonées des noeuds

; ; ; ; ;

;

; ; ; ; ;

;

; ; ; ; ;

; ; ; ;

Aires des éléments

E 17

0.33

N1

N2 1

N10

N1 N1 N2 N10 N

X1 0 0( ) X2 1.5 0( ) X2 1.5 0( ) X3 3 0( ) X4 4.25 0( )

X5 5.5 0( )

X6 6.75 0( ) X7 8 0( ) X8 9.5 0( ) X9 11 0( ) X10 1.5 2( )

X11 3 2( )

X12 4.25 2( ) X13 5.5 2( ) X14 6.75 2( ) X15 8 2( ) X16 9.5 2( )

X17 3 4( ) X18 4.25 4( ) X19 5.5 4( ) X20 6.75 4( ) X21 8 4( )

X6 0 0

27

4

X17 0 1

4

i 1 21

j 1 21

xi Xi 0 0

yj Xj 0 1

Pour l'élément 1

A1x2 x1 y10 y1 x10 x1 y2 y1

21.5

A2x10 x2 y11 y2 x11 x2 y10 y2

21.5

A3x3 x2 y11 y2 x11 x2 y3 y2

21.5

A4x11 x3 y12 y3 x12 x3 y11 y3

21.25

A5x4 x3 y12 y3 x12 x3 y4 y3

21.25

A6x12 x4 y13 y4 x13 x4 y12 y3

21.25

A7 A4 1.25

A8 A4 1.25

A9 A4 1.25

A10 A4 1.25

A11 A4 1.25

A12 A3 1.5

A13 A3 1.5

A14 A3 1.5

A15 A3 1.5

A16 A4 1.25

A17 A4 1.25

A18 A4 1.25

A19 A4 1.25

A20 A4 1.25

A21 A4 1.25

A22 A4 1.25

A23 A4 1.25

A24 A3 1.5

Mtrice de propriété physique

Matrice de rigidité élémentaire

Et avec et

Element 2

J

N2d

d

N2d

d

N1d

d

N1d

d

N10d

d

N10d

d

x2

x1

x10

y2

y1

y10

1.5

0.0

0

2

J 3.0

B

N1d

d

0

N1d

d

0

N1d

d

N1d

d

N2d

d

0

N2d

d

0

N2d

d

N2d

d

N10d

d

0

N10d

d

0

N10d

d

N10d

d

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

DE

1 ( ) 1 2 ( )

1

0

1

0

0

0

1 2

2

float 7

25.18797

12.40602

0

12.40602

25.18797

0

0

0

6.390977

D

25.18797

12.40602

0

12.40602

25.18797

0

0

0

6.390977

1 1

K1 BT

D B A1 J

d

d float 10

113.345865

0

113.345865

55.82709

0

55.82709

0

28.7593965

28.7593965

28.7593965

28.7593965

0

113.345865

28.7593965

142.1052615

84.5864865

28.7593965

55.82709

55.82709

28.7593965

84.5864865

142.1052615

28.7593965

113.345865

0

28.7593965

28.7593965

28.7593965

28.7593965

0

55.82709

0

55.82709

113.345865

0

113.345865


Et avec et

Element 3

N210 1 2 2 2

N211 2 2

N22 2 2

x10 1.5

J2

N210d

d

2N210

d

d

2N211

d

d

2N211

d

d

2N22

d

d

2N22

d

d

x10

x11

x2

y10

y11

y2

1.5

0.0

0

2

2N210

d

d

2N210

d

d

2N211

d

d

2N211

d

d

2N22

d

d

2N22

d

d

1

1

1

0

0

1

J 3.0

B

2N22

d

d

0

2N22

d

d

0

2N22

d

d

2N22

d

d

2N210

d

d

0

2N210

d

d

0

2N210

d

d

2N210

d

d

2N211

d

d

0

2N211

d

d

0

2N211

d

d

2N211

d

d

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

2 1 2 1

K2 22BT

D B A2 J

d

d float 10

28.7593965

0

28.7593965

28.7593965

0

28.7593965

0

113.345865

55.82709

113.345865

55.82709

0

28.7593965

55.82709

142.1052615

84.5864865

113.345865

28.7593965

28.7593965

113.345865

84.5864865

142.1052615

55.82709

28.7593965

0

55.82709

113.345865

55.82709

113.345865

0

28.7593965

0

28.7593965

28.7593965

0

28.7593965


Et avec et

Element 4

N33 1 3 3 3

N32 3 3

N311 3 3

x10 1.5

J3

N33d

d

3N33

d

d

3N32

d

d

3N32

d

d

3N311

d

d

3N311

d

d

x3

x2

x11

y3

y2

y11

1.5

0

0

2

J 3.0

B

3N32

d

d

0

3N32

d

d

0

3N32

d

d

3N32

d

d

3N33

d

d

0

3N33

d

d

0

3N33

d

d

3N33

d

d

3N311

d

d

0

3N311

d

d

0

3N311

d

d

3N311

d

d

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

3 1 3 1

K3 33BT

D B A3 J

d

d float 10

113.345865

0

113.345865

55.82709

0

55.82709

0

28.7593965

28.7593965

28.7593965

28.7593965

0

113.345865

28.7593965

142.1052615

84.5864865

28.7593965

55.82709

55.82709

28.7593965

84.5864865

142.1052615

28.7593965

113.345865

0

28.7593965

28.7593965

28.7593965

28.7593965

0

55.82709

0

55.82709

113.345865

0

113.345865

N411 1 4 4 4

N412 4 4

N44 4 4


Et avec et

Element 5

J4

N411d

d

4N411

d

d

4N412

d

d

4N412

d

d

4N44

d

d

4N44

d

d

x11

x12

x4

y11

y12

y4

1.25

1.25

0

2

J 2.5

B

4N44

d

d

0

4N44

d

d

0

4N44

d

d

4N44

d

d

4N411

d

d

0

4N411

d

d

0

4N411

d

d

4N411

d

d

4N412

d

d

0

4N412

d

d

0

4N412

d

d

4N412

d

d

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

4 1 4 1

K4 44BT

D B A4 J

d

d float 10

19.97180313

0

19.97180313

19.97180313

0

19.97180313

0

78.71240625

38.7688125

78.71240625

38.7688125

0

19.97180313

38.7688125

98.68420937

58.74061563

78.71240625

19.97180313

19.97180313

78.71240625

58.74061563

98.68420937

38.7688125

19.97180313

0

38.7688125

78.71240625

38.7688125

78.71240625

0

19.97180313

0

19.97180313

19.97180313

0

19.97180313

N54 1 5 5 5

N53 5 5

N512 5 5

J5

N54d

d

5N54

d

d

5N53

d

d

5N53

d

d

5N512

d

d

5N512

d

d

x4

x3

x12

y4

y3

y12

1.25

0.0

0

2


Et avec et

Element 6

J 2.5

B

5N53

d

d

0

5N53

d

d

0

5N53

d

d

5N53

d

d

5N54

d

d

0

5N54

d

d

0

5N54

d

d

5N54

d

d

5N512

d

d

0

5N512

d

d

0

5N512

d

d

5N512

d

d

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

5 1 5 1

K5 55BT

D B A5 J

d

d float 10

78.71240625

0

78.71240625

38.7688125

0

38.7688125

0

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Element 15


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x14

x21

y15

y14

y21

1.25

0

0

2

J 2.5

B

23N2314

d

d

0

23N2314

d

d

0

23N2314

d

d

23N2314

d

d

23N2315

d

d

0

23N2315

d

d

0

23N2315

d

d

23N2315

d

d

23N2321

d

d

0

23N2321

d

d

0

23N2321

d

d

23N2321

d

d

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

0

A23 1.25

23 1 23 1

K23 2323BT

D B A23 J

d

d float 10

78.71240625

0

78.71240625

38.7688125

0

38.7688125

0

19.97180313

19.97180313

19.97180313

19.97180313

0

78.71240625

19.97180313

98.68420937

58.74061563

19.97180313

38.7688125

38.7688125

19.97180313

58.74061563

98.68420937

19.97180313

78.71240625

0

19.97180313

19.97180313

19.97180313

19.97180313

0

38.7688125

0

38.7688125

78.71240625

0

78.71240625

N2415 1 24 24 24

N2416 24 24

N2421 24 24


Et avec et

J24

N2415d

d

24N2415

d

d

24N2416

d

d

24N2416

d

d

24N2421

d

d

24N2421

d

d

x15

x16

x21

y15

y16

y21

1.5

0

0

2

J 3.0

B

24N2415

d

d

0

24N2415

d

d

0

24N2415

d

d

24N2415

d

d

24N2416

d

d

0

24N2416

d

d

0

24N2416

d

d

24N2416

d

d

24N2421

d

d

0

24N2421

d

d

0

24N2421

d

d

24N2421

d

d

1

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

1

0

24 1 24 1

K24 2424BT

D B A24 J

d

d float 10

142.1052615

84.5864865

113.345865

28.7593965

28.7593965

55.82709

84.5864865

142.1052615

55.82709

28.7593965

28.7593965

113.345865

113.345865

55.82709

113.345865

0

0

55.82709

28.7593965

28.7593965

0

28.7593965

28.7593965

0

28.7593965

28.7593965

0

28.7593965

28.7593965

0

55.82709

113.345865

55.82709

0

0

113.345865

Programmation Matlab

%Liste des coordonées No1=[0 0]; No2=[1.5 0];No3=[3 0];No4=[4.25 0];No5=[5.5 0];No6=[6.75 0]; No7=[8 0];No8=[9.5 0];No9=[11 0];No10=[1.5 2];No11=[3 2];No12=[4.25 2]; No13=[5.5 2];No14=[6.75 2];No15=[8 2];No16=[9.5 2];No17=[3 4];No18=[4.25

4]; ;No19=[5.5 4];No20=[6.75 4];No21=[8 4];

%Matrice d'élasticité D=[25.18797 12.40602 0;12.40602 25.18797 0;0 0 6.390977]

%Calcul de delta (aires des triangles)

Dt1=((No10(:,1)-No2(:,1))*(No1(:,2)-No2(:,2))-(No1(:,1)-

No2(:,1))*(No10(:,2)-No2(:,2)))/2;

Dt2=((No11(:,1)-No10(:,1))*(No2(:,2)-No10(:,2))-(No2(:,1)-

No10(:,1))*(No11(:,2)-No10(:,2)))/2;

Dt3=((No11(:,1)-No3(:,1))*(No2(:,2)-No3(:,2))-(No2(:,1)-

No3(:,1))*(No11(:,2)-No3(:,2)))/2;

Dt4=((No12(:,1)-No11(:,1))*(No3(:,2)-No11(:,2))-(No3(:,1)-

No11(:,1))*(No12(:,2)-No11(:,2)))/2;

Dt5=((No12(:,1)-No4(:,1))*(No3(:,2)-No4(:,2))-(No3(:,1)-

No4(:,1))*(No12(:,2)-No4(:,2)))/2;

Dt6=((No13(:,1)-No12(:,1))*(No4(:,2)-No12(:,2))-(No4(:,1)-

No12(:,1))*(No13(:,2)-No12(:,2)))/2;

Dt7=((No13(:,1)-No5(:,1))*(No4(:,2)-No5(:,2))-(No4(:,1)-

No5(:,1))*(No13(:,2)-No5(:,2)))/2;

Dt8=((No14(:,1)-No13(:,1))*(No5(:,2)-No13(:,2))-(No5(:,1)-

No13(:,1))*(No14(:,2)-No13(:,2)))/2;

Dt9=((No14(:,1)-No6(:,1))*(No5(:,2)-No6(:,2))-(No5(:,1)-

No6(:,1))*(No14(:,2)-No6(:,2)))/2;

Dt10=((No15(:,1)-No14(:,1))*(No6(:,2)-No14(:,2))-(No6(:,1)-

No14(:,1))*(No15(:,2)-No14(:,2)))/2;

Dt11=((No15(:,1)-No7(:,1))*(No6(:,2)-No7(:,2))-(No6(:,1)-

No7(:,1))*(No15(:,2)-No7(:,2)))/2;

Dt12=((No16(:,1)-No15(:,1))*(No7(:,2)-No15(:,2))-(No7(:,1)-

No15(:,1))*(No16(:,2)-No15(:,2)))/2;

Dt13=((No16(:,1)-No8(:,1))*(No7(:,2)-No8(:,2))-(No7(:,1)-

No8(:,1))*(No16(:,2)-No8(:,2)))/2;

Dt14=((No16(:,1)-No9(:,1))*(No8(:,2)-No9(:,2))-(No8(:,1)-

No9(:,1))*(No16(:,2)-No9(:,2)))/2;

Dt15=((No17(:,1)-No11(:,1))*(No10(:,2)-No11(:,2))-(No10(:,1)-

No11(:,1))*(No17(:,2)-No11(:,2)))/2;

Dt16=((No18(:,1)-No17(:,1))*(No11(:,2)-No17(:,2))-(No11(:,1)-

No17(:,1))*(No18(:,2)-No17(:,2)))/2;

Dt17=((No18(:,1)-No12(:,1))*(No11(:,2)-No12(:,2))-(No11(:,1)-

No12(:,1))*(No18(:,2)-No12(:,2)))/2;

Dt18=((No19(:,1)-No18(:,1))*(No12(:,2)-No18(:,2))-(No12(:,1)-

No18(:,1))*(No19(:,2)-No18(:,2)))/2;

Dt19=((No19(:,1)-No13(:,1))*(No12(:,2)-No13(:,2))-(No12(:,1)-

No13(:,1))*(No19(:,2)-No13(:,2)))/2;

Dt20=((No20(:,1)-No19(:,1))*(No13(:,2)-No19(:,2))-(No13(:,1)-

No19(:,1))*(No20(:,2)-No19(:,2)))/2;

Dt21=((No20(:,1)-No14(:,1))*(No13(:,2)-No14(:,2))-(No13(:,1)-

No14(:,1))*(No20(:,2)-No14(:,2)))/2;

Dt22=((No21(:,1)-No20(:,1))*(No14(:,2)-No20(:,2))-(No14(:,1)-

No20(:,1))*(No21(:,2)-No20(:,2)))/2;

Dt23=((No21(:,1)-No15(:,1))*(No14(:,2)-No15(:,2))-(No14(:,1)-

No15(:,1))*(No21(:,2)-No15(:,2)))/2;

Dt24=((No21(:,1)-No16(:,1))*(No15(:,2)-No16(:,2))-(No15(:,1)-

No16(:,1))*(No21(:,2)-No16(:,2)))/2;

%Importation des matrices B Be1=1/Dt1*[No2(:,2)-No10(:,2) 0 No10(:,2)-No1(:,2) 0 No1(:,2)-No2(:,2) 0; 0 No10(:,1)-No2(:,1) 0 No1(:,1)-No10(:,1) 0 No2(:,1)-No1(:,1); No10(:,1)-No2(:,1) No2(:,2)-No10(:,2) No1(:,1)-No10(:,1) No10(:,2)-

No1(:,2) No2(:,1)-No1(:,1) No1(:,2)-No2(:,2)];

Be2=1/Dt2*[No10(:,2)-No11(:,2) 0 No11(:,2)-No2(:,2) 0 No2(:,2)-No10(:,2) 0; 0 No11(:,1)-No10(:,1) 0 No2(:,1)-No11(:,1) 0 No10(:,1)-No2(:,1); No11(:,1)-No10(:,1) No10(:,2)-No11(:,2) No2(:,1)-No11(:,1) No11(:,2)-

No2(:,2) No10(:,1)-No2(:,1) No2(:,2)-No10(:,2)];


No2(:,2) No3(:,1)-No2(:,1) No2(:,2)-No3(:,2)];


No3(:,2) No11(:,1)-No3(:,1) No3(:,2)-No11(:,2)];


No3(:,2) No4(:,1)-No3(:,1) No3(:,2)-No4(:,2)];


No4(:,2) No12(:,1)-No4(:,1) No4(:,2)-No12(:,2)];


No4(:,2) No5(:,1)-No4(:,1) No4(:,2)-No5(:,2)];


No5(:,2) No13(:,1)-No5(:,1) No5(:,2)-No13(:,2)];


No5(:,2) No6(:,1)-No5(:,1) No5(:,2)-No6(:,2)];

Be10=1/Dt10*[No14(:,2)-No15(:,2) 0 No15(:,2)-No6(:,2) 0 No6(:,2)-No14(:,2)

0; 0 No15(:,1)-No14(:,1) 0 No6(:,1)-No15(:,1) 0 No14(:,1)-No6(:,1); No15(:,1)-No14(:,1) No14(:,2)-No15(:,2) No6(:,1)-No15(:,1) No15(:,2)-

No6(:,2) No14(:,1)-No6(:,1) No6(:,2)-No14(:,2)];


No6(:,2) No7(:,1)-No6(:,1) No6(:,2)-No7(:,2)];

Be12=1/Dt12*[No15(:,2)-No16(:,2) 0 No16(:,2)-No7(:,2) 0 No7(:,2)-No15(:,2)

0; 0 No16(:,1)-No15(:,1) 0 No7(:,1)-No16(:,1) 0 No15(:,1)-No7(:,1); No16(:,1)-No15(:,1) No15(:,2)-No16(:,2) No7(:,1)-No16(:,1) No16(:,2)-

No7(:,2) No15(:,1)-No7(:,1) No7(:,2)-No15(:,2)];


No7(:,2) No8(:,1)-No7(:,1) No7(:,2)-No8(:,2)];


No8(:,2) No9(:,1)-No8(:,1) No8(:,2)-No9(:,2)];

Be15=1/Dt15*[No11(:,2)-No17(:,2) 0 No17(:,2)-No10(:,2) 0 No10(:,2)-

No11(:,2) 0; 0 No17(:,1)-No11(:,1) 0 No10(:,1)-No17(:,1) 0 No11(:,1)-No10(:,1); No17(:,1)-No11(:,1) No11(:,2)-No17(:,2) No10(:,1)-No17(:,1) No17(:,2)-

No10(:,2) No11(:,1)-No10(:,1) No10(:,2)-No11(:,2)];

Be16=1/Dt16*[No17(:,2)-No18(:,2) 0 No18(:,2)-No11(:,2) 0 No11(:,2)-


No11(:,2) No17(:,1)-No11(:,1) No11(:,2)-No17(:,2)];

Be17=1/Dt17*[No12(:,2)-No18(:,2) 0 No18(:,2)-No11(:,2) 0 No11(:,2)-

No12(:,2) 0; 0 No18(:,1)-No12(:,1) 0 No11(:,1)-No18(:,1) 0 No12(:,1)-No11(:,1);

No18(:,1)-No12(:,1) No12(:,2)-No18(:,2) No11(:,1)-No18(:,1) No18(:,2)-

No11(:,2) No12(:,1)-No11(:,1) No11(:,2)-No12(:,2)];

Be18=1/Dt18*[No18(:,2)-No19(:,2) 0 No19(:,2)-No12(:,2) 0 No12(:,2)-


No12(:,2) No18(:,1)-No12(:,1) No12(:,2)-No18(:,2)];

Be19=1/Dt19*[No13(:,2)-No19(:,2) 0 No19(:,2)-No12(:,2) 0 No12(:,2)-


No12(:,2) No13(:,1)-No12(:,1) No12(:,2)-No13(:,2)];

Be20=1/Dt20*[No19(:,2)-No20(:,2) 0 No20(:,2)-No13(:,2) 0 No13(:,2)-


No13(:,2) No19(:,1)-No13(:,1) No13(:,2)-No19(:,2)];

Be21=1/Dt21*[No14(:,2)-No20(:,2) 0 No20(:,2)-No13(:,2) 0 No13(:,2)-


No13(:,2) No14(:,1)-No13(:,1) No13(:,2)-No14(:,2)];

Be22=1/Dt22*[No20(:,2)-No21(:,2) 0 No21(:,2)-No14(:,2) 0 No14(:,2)-


No14(:,2) No20(:,1)-No14(:,1) No14(:,2)-No20(:,2)];

Be23=1/Dt23*[No15(:,2)-No21(:,2) 0 No21(:,2)-No14(:,2) 0 No14(:,2)-


No14(:,2) No15(:,1)-No14(:,1) No14(:,2)-No15(:,2)];

Be24=1/Dt24*[No16(:,2)-No21(:,2) 0 No21(:,2)-No15(:,2) 0 No15(:,2)-


No15(:,2) No16(:,1)-No15(:,1) No15(:,2)-No16(:,2)];

Bt=[Be1;Be2;Be3;Be4;Be5;Be6;Be7;Be8;Be9;Be10;Be11;Be12;Be13;Be14;Be15;Be16;

Be17;Be18;Be19;Be20;Be21;Be22;Be23;Be24];

%Importation des matrices de rigidité élémentaires Ke1=xlsread('assemblage13','Feuil1','A2:F7');Ke2=xlsread('assemblage13','Fe

uil1','A10:F15'); Ke3=xlsread('assemblage13','Feuil1','A18:F23');Ke4=xlsread('assemblage13','

Feuil1','A26:F31'); Ke5=xlsread('assemblage13','Feuil1','A34:F39');Ke6=xlsread('assemblage13','

Feuil1','A42:F47'); Ke7=xlsread('assemblage13','Feuil1','A50:F55');Ke8=xlsread('assemblage13','

Feuil1','A58:F63');

Ke9=xlsread('assemblage13','Feuil1','A66:F71');Ke10=xlsread('assemblage13',

'Feuil1','A74:F79'); Ke11=xlsread('assemblage13','Feuil1','A82:F87');Ke12=xlsread('assemblage13'

,'Feuil1','A90:F95'); Ke13=xlsread('assemblage13','Feuil1','A98:F103');Ke14=xlsread('assemblage13

','Feuil1','A106:F111'); Ke15=xlsread('assemblage13','Feuil1','A114:F119');Ke16=xlsread('assemblage1

3','Feuil1','A122:F127'); Ke17=xlsread('assemblage13','Feuil1','A130:F135');Ke18=xlsread('assemblage1




3','Feuil1','A186:F191');

%Assemblage des matrices de rigidité Z1=zeros(42);

Z1(1:2,1:2)=Ke1(1:2,1:2);Z1(1:2,3:4)=Ke1(1:2,3:4);Z1(1:2,19:20)=Ke1(1:2,5:6

); Z1(3:4,1:2)=Ke1(3:4,1:2);Z1(3:4,3:4)=Ke1(3:4,3:4);Z1(3:4,19:20)=Ke1(3:4,5:6

); Z1(19:20,1:2)=Ke1(5:6,1:2);Z1(19:20,3:4)=Ke1(5:6,3:4);Z1(19:20,19:20)=Ke1(5

:6,5:6);

Z2=zeros(42);

Z2(3:4,3:4)=Ke2(1:2,1:2);Z2(3:4,19:20)=Ke2(1:2,3:4);Z2(3:4,21:22)=Ke2(1:2,5

:6); Z2(19:20,3:4)=Ke2(3:4,1:2);Z2(19:20,19:20)=Ke2(3:4,3:4);Z2(19:20,21:22)=Ke2

(3:4,5:6); Z2(21:22,3:4)=Ke2(5:6,1:2);Z2(21:22,19:20)=Ke2(5:6,3:4);Z2(21:22,21:22)=Ke2

(5:6,5:6);

Z3=zeros(42);

Z3(3:4,3:4)=Ke3(1:2,1:2);Z3(3:4,5:6)=Ke3(1:2,3:4);Z3(3:4,21:22)=Ke3(1:2,5:6

); Z3(5:6,3:4)=Ke3(3:4,1:2);Z3(5:6,5:6)=Ke3(3:4,3:4);Z3(5:6,21:22)=Ke3(3:4,5:6

); Z3(21:22,3:4)=Ke3(5:6,1:2);Z3(21:22,5:6)=Ke3(5:6,3:4);Z3(21:22,21:22)=Ke3(5

:6,5:6);

Z4=zeros(42);

Z4(5:6,5:6)=Ke4(1:2,1:2);Z4(5:6,21:22)=Ke4(1:2,3:4);Z4(5:6,23:24)=Ke4(1:2,5

:6); Z4(21:22,5:6)=Ke4(3:4,1:2);Z4(21:22,21:22)=Ke4(3:4,3:4);Z4(21:22,23:24)=Ke4

(3:4,5:6); Z4(23:24,5:6)=Ke4(5:6,1:2);Z4(23:24,21:22)=Ke4(5:6,3:4);Z4(23:24,23:24)=Ke4

(5:6,5:6);

Z5=zeros(42);

Z5(5:6,5:6)=Ke5(1:2,1:2);Z5(5:6,7:8)=Ke5(1:2,3:4);Z5(5:6,23:24)=Ke5(1:2,5:6

);

Z5(7:8,5:6)=Ke5(3:4,1:2);Z5(7:8,7:8)=Ke5(3:4,3:4);Z5(7:8,23:24)=Ke5(3:4,5:6

); Z5(23:24,5:6)=Ke5(5:6,1:2);Z5(23:24,7:8)=Ke5(5:6,3:4);Z5(23:24,23:24)=Ke5(5

:6,5:6);

Z6=zeros(42);

Z6(7:8,7:8)=Ke6(1:2,1:2);Z6(7:8,23:24)=Ke6(1:2,3:4);Z6(7:8,25:26)=Ke6(1:2,5

:6); Z6(23:24,7:8)=Ke6(3:4,1:2);Z6(23:24,23:24)=Ke6(3:4,3:4);Z6(23:24,25:26)=Ke6

(3:4,5:6); Z6(25:26,7:8)=Ke6(5:6,1:2);Z6(25:26,23:24)=Ke6(5:6,3:4);Z6(25:26,25:26)=Ke6

(5:6,5:6);

Z7=zeros(42);

Z7(7:8,7:8)=Ke7(1:2,1:2);Z7(7:8,9:10)=Ke7(1:2,3:4);Z7(7:8,25:26)=Ke7(1:2,5:

6); Z7(9:10,7:8)=Ke7(3:4,1:2);Z7(9:10,9:10)=Ke7(3:4,3:4);Z7(9:10,25:26)=Ke7(3:4

,5:6); Z7(25:26,7:8)=Ke7(5:6,1:2);Z7(25:26,9:10)=Ke7(5:6,3:4);Z7(25:26,25:26)=Ke7(

5:6,5:6);

Z8=zeros(42);

Z8(9:10,9:10)=Ke8(1:2,1:2);Z8(9:10,25:26)=Ke8(1:2,3:4);Z8(9:10,27:28)=Ke8(1

:2,5:6); Z8(25:26,9:10)=Ke8(3:4,1:2);Z8(25:26,25:26)=Ke8(3:4,3:4);Z8(25:26,27:28)=Ke

8(3:4,5:6); Z8(27:28,9:10)=Ke8(5:6,1:2);Z8(27:28,25:26)=Ke8(5:6,3:4);Z8(27:28,27:28)=Ke

8(5:6,5:6);

Z9=zeros(42);

Z9(9:10,9:10)=Ke9(1:2,1:2);Z9(9:10,11:12)=Ke9(1:2,3:4);Z9(9:10,27:28)=Ke9(1

:2,5:6); Z9(11:12,9:10)=Ke9(3:4,1:2);Z9(11:12,11:12)=Ke9(3:4,3:4);Z9(11:12,27:28)=Ke

9(3:4,5:6); Z9(27:28,9:10)=Ke9(5:6,1:2);Z9(27:28,11:12)=Ke9(5:6,3:4);Z9(27:28,27:28)=Ke

9(5:6,5:6);

Z10=zeros(42);

Z10(11:12,11:12)=Ke10(1:2,1:2);Z10(11:12,27:28)=Ke10(1:2,3:4);Z10(11:12,29:

30)=Ke10(1:2,5:6); Z10(27:28,11:12)=Ke10(3:4,1:2);Z10(27:28,27:28)=Ke10(3:4,3:4);Z10(27:28,29:

30)=Ke10(3:4,5:6); Z10(29:30,11:12)=Ke10(5:6,1:2);Z10(29:30,27:28)=Ke10(5:6,3:4);Z10(29:30,29:

30)=Ke10(5:6,5:6);

Z11=zeros(42);

Z11(11:12,11:12)=Ke11(1:2,1:2);Z11(11:12,13:14)=Ke11(1:2,3:4);Z11(11:12,29:

30)=Ke11(1:2,5:6);

Z11(13:14,11:12)=Ke11(3:4,1:2);Z11(13:14,13:14)=Ke11(3:4,3:4);Z11(13:14,29:

30)=Ke11(3:4,5:6); Z11(29:30,11:12)=Ke11(5:6,1:2);Z11(29:30,13:14)=Ke11(5:6,3:4);Z11(29:30,29:

30)=Ke11(5:6,5:6);

Z12=zeros(42);

Z12(13:14,13:14)=Ke12(1:2,1:2);Z12(13:14,29:30)=Ke12(1:2,3:4);Z12(13:14,31:

32)=Ke12(1:2,5:6); Z12(29:30,13:14)=Ke12(3:4,1:2);Z12(29:30,29:30)=Ke12(3:4,3:4);Z12(29:30,31:

32)=Ke12(3:4,5:6); Z12(31:32,13:14)=Ke12(5:6,1:2);Z12(31:32,29:30)=Ke12(5:6,3:4);Z12(31:32,31:

32)=Ke12(5:6,5:6);

Z13=zeros(42);

Z13(13:14,13:14)=Ke13(1:2,1:2);Z13(13:14,15:16)=Ke13(1:2,3:4);Z13(13:14,31:

32)=Ke13(1:2,5:6); Z13(15:16,13:14)=Ke13(3:4,1:2);Z13(15:16,15:16)=Ke13(3:4,3:4);Z13(15:16,31:

32)=Ke13(3:4,5:6); Z13(31:32,13:14)=Ke13(5:6,1:2);Z13(31:32,15:16)=Ke13(5:6,3:4);Z13(31:32,31:

32)=Ke13(5:6,5:6);

Z14=zeros(42);

Z14(15:16,15:16)=Ke14(1:2,1:2);Z14(15:16,17:18)=Ke14(1:2,3:4);Z14(15:16,31:

32)=Ke14(1:2,5:6); Z14(17:18,17:18)=Ke14(3:4,1:2);Z14(17:18,15:16)=Ke14(3:4,3:4);Z14(17:18,31:

32)=Ke14(3:4,5:6); Z14(31:32,15:16)=Ke14(5:6,1:2);Z14(31:32,17:18)=Ke14(5:6,3:4);Z14(31:32,31:

32)=Ke14(5:6,5:6);

Z15=zeros(42);

Z15(19:20,19:20)=Ke15(1:2,1:2);Z15(19:20,21:22)=Ke15(1:2,3:4);Z15(19:20,33:

34)=Ke15(1:2,5:6); Z15(21:22,19:20)=Ke15(3:4,1:2);Z15(21:22,21:22)=Ke15(3:4,3:4);Z15(21:22,33:

34)=Ke15(3:4,5:6); Z15(33:34,19:20)=Ke15(5:6,1:2);Z15(33:34,21:22)=Ke15(5:6,3:4);Z15(33:34,33:

34)=Ke15(5:6,5:6);

Z16=zeros(42);

Z16(21:22,21:22)=Ke16(1:2,1:2);Z16(21:22,33:34)=Ke16(1:2,3:4);Z16(21:22,35:

36)=Ke16(1:2,5:6); Z16(33:34,21:22)=Ke16(3:4,1:2);Z16(33:34,33:34)=Ke16(3:4,3:4);Z16(33:34,35:

36)=Ke16(3:4,5:6); Z16(35:36,21:22)=Ke16(5:6,1:2);Z16(35:36,33:34)=Ke16(5:6,3:4);Z16(35:36,35:

36)=Ke16(5:6,5:6);

Z17=zeros(42);

Z17(21:22,21:22)=Ke17(1:2,1:2);Z17(21:22,23:24)=Ke17(1:2,3:4);Z17(21:22,35:

36)=Ke17(1:2,5:6); Z17(23:24,21:22)=Ke17(3:4,1:2);Z17(23:24,23:24)=Ke17(3:4,3:4);Z17(23:24,35:

36)=Ke17(3:4,5:6); Z17(35:36,21:22)=Ke17(5:6,1:2);Z17(35:36,23:24)=Ke17(5:6,3:4);Z17(35:36,35:

36)=Ke17(5:6,5:6);

Z18=zeros(42);

Z18(23:24,23:24)=Ke18(1:2,1:2);Z18(23:24,35:36)=Ke18(1:2,3:4);Z18(23:24,37:

38)=Ke18(1:2,5:6); Z18(35:36,23:24)=Ke18(3:4,1:2);Z18(35:36,35:36)=Ke18(3:4,3:4);Z18(35:36,37:

38)=Ke18(3:4,5:6); Z18(37:38,23:24)=Ke18(5:6,1:2);Z18(37:38,35:36)=Ke18(5:6,3:4);Z18(37:38,37:

38)=Ke18(5:6,5:6);

Z19=zeros(42);

Z19(23:24,23:24)=Ke19(1:2,1:2);Z19(23:24,25:26)=Ke19(1:2,3:4);Z19(23:24,37:

38)=Ke19(1:2,5:6); Z19(25:26,23:24)=Ke19(3:4,1:2);Z19(25:26,25:26)=Ke19(3:4,3:4);Z19(25:26,37:

38)=Ke19(3:4,5:6); Z19(37:38,23:24)=Ke19(5:6,1:2);Z19(37:38,25:26)=Ke19(5:6,3:4);Z19(37:38,37:

38)=Ke19(5:6,5:6);

Z20=zeros(42);

Z20(25:26,25:26)=Ke20(1:2,1:2);Z20(25:26,37:38)=Ke20(1:2,3:4);Z20(25:26,39:

40)=Ke20(1:2,5:6); Z20(37:38,25:26)=Ke20(3:4,1:2);Z20(37:38,37:38)=Ke20(3:4,3:4);Z20(37:38,39:

40)=Ke20(3:4,5:6); Z20(39:40,25:26)=Ke20(5:6,1:2);Z20(39:40,37:38)=Ke20(5:6,3:4);Z20(39:40,39:

40)=Ke20(5:6,5:6);

Z21=zeros(42);

Z21(25:26,25:26)=Ke21(1:2,1:2);Z21(25:26,27:28)=Ke21(1:2,3:4);Z21(25:26,39:

40)=Ke21(1:2,5:6); Z21(27:28,25:26)=Ke21(3:4,1:2);Z21(27:28,27:28)=Ke21(3:4,3:4);Z21(27:28,39:

40)=Ke21(3:4,5:6); Z21(39:40,25:26)=Ke21(5:6,1:2);Z21(39:40,27:28)=Ke21(5:6,3:4);Z21(39:40,39:

40)=Ke21(5:6,5:6);

Z22=zeros(42);

Z22(27:28,27:28)=Ke22(1:2,1:2);Z22(27:28,39:40)=Ke22(1:2,3:4);Z22(27:28,41:

42)=Ke22(1:2,5:6); Z22(39:40,27:28)=Ke22(3:4,1:2);Z22(39:40,39:40)=Ke22(3:4,3:4);Z22(39:40,41:

42)=Ke22(3:4,5:6); Z22(41:42,27:28)=Ke22(5:6,1:2);Z22(41:42,39:40)=Ke22(5:6,3:4);Z22(41:42,41:

42)=Ke22(5:6,5:6);

Z23=zeros(42);

Z23(27:28,27:28)=Ke23(1:2,1:2);Z23(27:28,29:30)=Ke23(1:2,3:4);Z23(27:28,41:

42)=Ke23(1:2,5:6); Z23(29:30,27:28)=Ke23(3:4,1:2);Z23(29:30,29:30)=Ke23(3:4,3:4);Z23(29:30,41:

42)=Ke23(3:4,5:6); Z23(41:42,27:28)=Ke23(5:6,1:2);Z23(41:42,29:30)=Ke23(5:6,3:4);Z23(41:42,41:

42)=Ke23(5:6,5:6);

Z24=zeros(42);

Z24(29:30,29:30)=Ke24(1:2,1:2);Z24(29:30,31:32)=Ke24(1:2,3:4);Z24(29:30,41:

42)=Ke24(1:2,5:6); Z24(31:32,29:30)=Ke24(3:4,1:2);Z24(31:32,31:32)=Ke24(3:4,3:4);Z24(31:32,41:

42)=Ke24(3:4,5:6); Z24(41:42,29:30)=Ke24(5:6,1:2);Z24(41:42,31:32)=Ke24(5:6,3:4);Z24(41:42,41:

42)=Ke24(5:6,5:6);

K1=Z1;K2=Z2;K3=Z3;K4=Z4;K5=Z5;K6=Z6;K7=Z7;K8=Z8;K9=Z9;K10=Z10;K11=Z11; K12=Z12;K13=Z13;K14=Z14;K15=Z15;K16=Z16;K17=Z17;K18=Z18;K19=Z19;K20=Z20; K21=Z21;K22=Z22;K23=Z23;K24=Z24; K=K1+K2+K3+K4+K5+K6+K7+K8+K9+K10+K11+K12+K13+K14+K15+K16+K17+K18+K19+K20+K2

1+K22+K23+K24;

%Les forces agissant à chaque nœud fx1=0.249;fx2=0;fx3=0;fx4=0;fx5=0;fx6=0;fx7=0;fx8=0;fx9=0;fx10=0.299;fx11=0

; ;fx12=0;fx13=0;fx14=0; fx15=0;fx16=0;fx17=0.06;fx18=0;fx19=0;fx20=0;fx21=0;fy1=0.424;fy2=0.27; fy3=0.24;fy4=0.225;fy5=0.225; fy6=0.225;fy7=0.225;fy8=0.165;fy9=0.09;fy10=0.671;fy11=0.495;fy12=0.45; fy13=0.45;fy14=0.45;fy15=0.405; fy16=0.36;fy17=0.232;fy18=0.15;fy19=0.15;fy20=0.15;fy21=0.165; F=[fx10;-fy10;fx11;-fy11;fx12;-fy12;fx13;-fy13;fx14;-fy14;fx15;-fy15;fx16; -fy16;fx17;-fy17;fx18;-fy18;fx19;-fy19;fx20;-fy20;fx21;-fy21];

%Calcul des déplacements des nœuds U=K(19:42,19:42)\F; u1=0;u2=0;u3=0;u4=0;u5=0;u6=0;u7=0;u8=0;u9=0;v1=0;v2=0;v3=0;v4=0;v5=0;v6=0; v7=0;v8=0;v9=0;u10=U(1,1);v10=U(2,1);u11=U(3,1);v11=U(4,1);u12=U(5,1); v12=U(6,1);u13=U(7,1);v13=U(8,1);u14=U(9,1);v14=U(10,1);u15=U(11,1);v15=U(1

2,1); u16=U(13,1);v16=U(14,1);u17=U(15,1);v17=U(16,1);u18=U(17,1);v18=U(18,1); u19=U(19,1);v19=U(20,1);u20=U(21,1);v20=U(22,1);u21=U(23,1);v21=U(24,1); Ue1=[u1;v1;u2;v2;u10;v10];Ue2=[u2;v2;u10;v10;u11;v11];Ue3=[u2;v2;u3;v3;u11;

v11]; Ue4=[u3;v3;u11;v11;u12;v12];Ue5=[u3;v3;u4;v4;u12;v12];Ue6=[u4;v4;u12;v12;u1

3;v13]; Ue7=[u4;v4;u5;v5;u13;v13];Ue8=[u5;v5;u13;v13;u14;v14];Ue9=[u5;v5;u6;v6;u14;

v14]; Ue10=[u6;v6;u14;v14;u15;v15];Ue11=[u6;v6;u7;v7;u15;v15];Ue12=[u7;v7;u15;v15

;u16;v16]; Ue13=[u7;v7;u8;v8;u16;v16];Ue14=[u8;v8;u9;v9;u16;v16];Ue15=[u10;v10;u11;v11

;u17;v17]; Ue16=[u11;v11;u17;v17;u18;v18];Ue17=[u11;v11;u12;v12;u18;v18]; Ue18=[u12;v12;u18;v18;u19;v19];Ue19=[u12;v12;u13;v13;u19;v19];Ue20=[u13;v13

;u19;v19;u20;v20]; Ue21=[u13;v13;u14;v14;u20;v20];Ue22=[u14;v14;u20;v20;u21;v21];

Ue23=[u14;v14;u15;v15;u21;v21];Ue24=[u15;v15;u16;v16;u21;v21];

%Calcul des réactions sur les nœuds 1;2;3;4;5;6;7;8;9 F1=[fx1;-fy1;fx2;-fy2;fx3;-fy3;fx4;-fy4;fx5;-fy5;fx6;-fy6;fx7;-fy7;fx8;-

fy8;fx9;-fy9]; Rx=zeros(9,1); Ry=zeros(9,1); for i=1:2:17 Rx(i,1)=K(i,19:42)*U-F1(i,1); end

for i=2:2:18 Ry(i,1)=K(i,19:42)*U-F1(i,1); end

%Calcul des contraintes

Ut=[Ue1;Ue2;Ue3;Ue4;Ue5;Ue6;Ue7;Ue8;Ue9;Ue10;Ue11;Ue12;... Ue13;Ue14;Ue15;Ue16;Ue17;Ue18;Ue19;Ue20;Ue21;Ue22;Ue23;Ue24]; sigma=zeros(3,24);

for i=1:3:72

sigma(1:3,(i+2)/3)=D*Bt(i:i+2,:)*Ut((2*i-1):(i+2)*2,:);

end

%Exportation des résultats

xlswrite('N.xls',U,1,'A1'); i=1 xlswrite('N.xls',Rx,1,'C1'); j=1 xlswrite('N.xls',Ry,1,'D1'); k=1 xlswrite('N.xls',sigma,2,'B4');

Table des matières

Remerciements .......................................................................................................... i

Sommaire ............................................................................................................. ii

Liste des figures ....................................................................................................... iii

Liste des tableaux .................................................................................................... iv

Nomenclature ............................................................................................................v

Introduction générale ................................................................................................1

Chapitre I. Généralités sur les digues ....................................................................3

I.1. Les différents types de digue en terre .............................................................3

I.1.1. Distinction selon sa forme : ......................................................................3

I.1.2. Distinction selon son rôle : .......................................................................3

I.2. Les matériaux constitutifs des digues (2) ........................................................4

I.2.1. Les matériaux utilisés et leurs caractéristiques : .......................................6

I.2.2. Identification et description qualitative des matériaux (3) .........................6

I.2.3. L’essai CBR : ..........................................................................................8

Chapitre II. Calcul de stabilité de la digue ............................................................ 11

II.1. Types de rupture d’une digue ................................................................... 11

II.2. Calcul de stabilité des talus (4) (5) (6) (7) (8) (9) ...................................... 11

II.2.1. Principe d’équilibre limite : .................................................................. 19

II.2.2. Les différentes formes de surfaces de glissement : ................................ 22

II.2.3. Localisation de la surface de glissement :.............................................. 22

II.2.4. Equation d’équilibre des moments : ...................................................... 24

II.2.5. Méthode ordinaire des tranches (Méthode de Fellenius) : ...................... 27

II.2.6. Méthode Bishop Simplifiée (1955): ...................................................... 30

II.2.7. Méthodes de forces d’équilibre incluant la méthode suédoise modifiée : ..

............................................................................................................. 33

II.2.8. Applications des méthodes à notre problème :....................................... 36

II.3. Calcul de stabilité de digue par la méthode des éléments finis .................. 44

II.3.1. Généralités sur la méthode des éléments finis (10) ................................ 45

II.3.2. Procédé de calcul (12)........................................................................... 48

II.3.1. Organigramme de calcul par la méthode des éléments finis ................... 67

Conclusion générale ................................................................................................ 69

Bibliographie

Annexes

Table des matières

Auteur : RATSIMAROFY Langoniaina

Tél : 034 02 548 49

E-mail : [email protected]

Adresse : Porte 39 CU Ankatso I

Titre : ETUDES PRELIMINAIRES SUR LE CALCUL DE STABILITE DES DIGUES EN

TERRE

Encadreur : Monsieur RAMBININTSOA Tahina Michel

Nombre de pages:70 Nombre de figures : 23 Nombre de tableaux : 11

Résumé

Les méthodes de calcul actuellement utilisées en géotechnique se basent sur les lois

de comportement du sol où des valeurs fixes sont attribuées aux paramètres figurant dans les

équations du modèle mathématique adopté. Les facteurs de sécurités ainsi calculés sont

comparés à des différentes sources, il est évident qu’ils ne peuvent jamais être évalués de

manière entièrement déterministe. Le sujet principal abordé dans ce mémoire concerne

l’évaluation de la fiabilité d’une pente en tenant compte de la contribution des nombreuses

surfaces de ruptures potentielles ainsi que l’utilisation de la méthode des éléments finis dans

le calcul de stabilité élastique d’une digue.

Mots clés : Eléments finis, équilibre limite, facteur de sécurité, contrainte de

cisaillement, stabilité élastique, stabilité des talus.

Abstract

The calculation methods currently used in geotechnical engineering are based on the

laws of conduct soil or fixed values assigned to the parameters set in the equations of the

mathematical model adopted. It is obvious that they can never be evaluated on an entirely

deterministic. The main topic discussed in this memory concerns the evaluation of the

reliability of a slope, taking into account the contribution of many areas of potential

disruptions, as well as the use of finite element in the calculation of elastic stability of a dike.

Key words: Finite element, limit equilibrium, factor of safety, shear stress, elastic

stability, slope stability.

mailto:[email protected]

Documents

ETUDES PRELIMINAIRES SUR LE CALCUL DE STABILITE ...biblio.univ-antananarivo.mg/pdfs/ratsimarofyLangoniaina...La plupart des ouvrages de génie civil reposent sur une digue en terre