Évaluation de l’incertitude due au modèle de représentation du réservoir dans les analyses de rupture de barrageLe présent ouvrage fait partie d’une série d’articles publiés

Evaluation de l’incertitude due au modele derepresentation du reservoir dans les analyses derupture de barrage1

Georges Williams Tchamen et Jeremie Gaucher

Resume : Le present article analyse l’impact du modele de representation de la vidange du reservoir sur les resultats demodelisation numerique de rupture de barrage. Le modele a representation statique a l’aide de la courbe d’emmagasi-nement est compare a celui a representation dynamique a l’aide d’un modele de Saint-Venant utilisant la bathymetrie dureservoir. La comparaison est basee sur l’hydrogramme a la breche, les niveaux maximaux, les surfaces inondees et lestemps d’arrivee de l’onde a l’aval pour trois cas de reservoir de tailles differentes. Il ressort que la difference entre lesdeux modeles de representation est maximale a la breche et a l’aval immediat du barrage, notamment pour le niveau maxi-mal et la surface inondee, et qu’elle s’estompe plus loin a l’aval. L’analyse des resultats de simulation des cas etudiesmontre que le modele statique surestime les rehaussements atteints ainsi que la surface inondee a l’aval du barrage dansune proportion qui peut atteindre 20 %. L’utilisation d’un modele dynamique de representation du reservoir peut permettrede reduire de 30 % a 40 % ces surestimations. En l’absence de donnees bathymetriques du reservoir, la reconstitution dedonnees synthetiques reproduisant la courbe d’emmagasinement pour servir de base a un modele dynamique du reservoirest examinee. Il apparaıt que cette solution peut reduire de facon appreciable l’incertitude due a la representation statique.

Mots-cles : incertitude, modelisation numerique, reservoir, rupture de barrage.

Abstract: The present paper analyzes the influence of the reservoir drawdown submodel on the numerical results of adam break analysis. A static representation, which takes into account the storage curve, is compared with a dynamic repre-sentation based on the Saint-Venant equations along with the real bathymetry of the reservoir. The comparison is based onbreach hydrograph, maximum water level, inundated area, and wave arrival time in the valley downstream. It appears thatthe difference in level attained is maximal in the vicinity of the dam, particularly for maximum level and inundated area,and that this difference decreases as the distance from the reservoir increases. The analysis performed has shown that thestatic representation overestimates the maximum depth and inundated area in a proportion that can reach 20%. The use ofdynamic representation can reduce this overestimation by 30%–40%. In the absence of bathymetric data in the reservoir, adynamic model based on a synthetic trapezoidal reconstruction of the storage curve is examined. It appears that this modelcan significantly reduce the uncertainty associated with the static model.

Key words: uncertainty, numerical modeling, reservoir, dam break.

1. Introduction

Les analyses de rupture de barrage sont actuellement desexercices traditionnels effectues pour garantir la securite despersonnes et des biens qui pourraient etre affectes suite al’avenement d’une rupture accidentelle. Au Canada, ces ana-

lyses sont encadrees par des textes legislatifs qui stipulentles obligations qui incombent aux proprietaires des barrages.Les analyses de rupture ont pour but de determiner lesconsequences — definies comme mesure des biens et infra-structures endommages par l’onde resultante — d’une even-tuelle rupture. Le niveau de consequence ainsi determine aune incidence sur le niveau de surveillance pour des barra-ges existants, ou peut servir au dimensionnement des orga-nes d’evacuation des crues a l’etape de conception d’unamenagement.

Schematiquement, il est possible de representer un modeleservant a la simulation de rupture de barrage comme un as-semblage de trois modeles constitutifs : un modele de repre-sentation du reservoir, un modele de breche et un modele depropagation de l’hydrogramme de breche. Pour chacun deces trois modeles, un niveau plus ou moins eleve de sophis-tication et de precision relative peut etre utilise.

Dans le present article, pour le modele de breche, une re-presentation parametrique de breche a forme trapezoıdale ettemps de developpement fixe sera utilisee. Pour le modelede propagation a l’aval du barrage, un modele numeriqueunidimensionnel base sur les equations de Saint-Venant sera

Recu le 4 mai 2009. Revision acceptee le 17 mars 2010. Publiesur le site Web des Presses scientifiques du CNRC, aurcgc.cnrc.ca, le 6 juillet 2010.

G.W. Tchamen2 et J. Gaucher. Hydro-Quebec Production,Direction Barrages et Environnement, Unite Barrages etHydraulique, 75 boul. Rene-Levesque O., 3e etage, Montreal,QC H2Z 1A4, Canada.

Les commentaires sur le contenu de cet article doivent etreenvoyes au directeur scientifique de la revue avant le 30novembre 2010.

1. Le present ouvrage fait partie d’une serie d’articles publiesdans ce numero special consacre au genie hydrotechnique.

2. Auteur correspondant (courriel :[email protected]).

980

Rev. can. genie civ. 37 : 980–990 (2010) doi:10.1139/L10-034 Publie par les Presses scientifiques du CNRC

utilise. L’analyse presentee ici examinera les differences desresultats de quatre modeles de representation du reservoir. Ils’agit d’un modele statique qui utilise la courbe d’emmaga-sinement du reservoir, de deux modeles dynamiques unidi-mensionnels, dont le premier utilise la bathymetrie reelle dureservoir et le second se sert de sections synthetiques, et en-fin, d’un modele dynamique bidimensionnel base sur la ba-thymetrie reelle.

Trois barrages ayant des reservoirs dont l’emmagasi-nement varie de quelques dizaines a plusieurs dizaines demilliers d’ hectometres cube ont ete retenus pour l’analyse.Les domaines modelises, reservoir inclus, s’etendent dansun cas sur pres de 20 km, et dans les autres sur une centainede kilometres.

Le detail des caracteristiques pour chacun des cas etudiesest fourni a la section 3. La section 4 presente lamethodologie d’analyse ainsi que les modeles utilises. Lesresultats de simulation, hydrogramme a la breche,surelevation maximale, surface inondee et temps d’arriveede l’onde a l’aval seront presentes et analyses a la section5. Les conclusions et recommandations sont presentees a lasection 6.

2. Modeles de representation du reservoir

Traditionnellement, il existe deux modeles de representa-tion d’un reservoir pour la simulation d’une rupture de bar-rage : le modele statique utilisant la courbed’emmagasinement et le modele dynamique qui utilise lesdonnees bathymetriques du reservoir. L’utilisation de l’unou de l’autre des deux modeles est generalement dictee parla disponibilite des donnees.

2.1. Le modele statiqueLe modele statique est base sur un bilan de masse d’eau

contenue dans le reservoir :

½1� dV

dt¼ AðHÞ � dH

dt¼ QApport � QEvacuateur � QBreche

ou t, H(t), A(H), et V(t, H) representent respectivement letemps, le niveau, l’aire et le volume du reservoir. QApport,QEvacuateur et QBreche representent respectivement les debitsd’apport, de l’evacuateur et de la breche. La relation entrele niveau et le volume du reservoir est donnee par la courbed’emmagasinement.

Le debit d’apport est une donnee du probleme. Le debitevacue est evalue en fonction des caracteristiques geometri-ques des organes d’evacuation, de leur ouverture et du ni-veau dans le reservoir. Pour une breche de formetrapezoıdale, le debit de breche est evalue en utilisant uneformule du type debit sur un seuil a crete epaisse (Fread etLewis 1998):

½2� QBreche ¼ 1; 7 � BS � H1;5 þ 1; 34 � z � H2;5

ou BS est la largeur du seuil de la breche, H est la charge duniveau d’eau dans le reservoir au-dessus du seuil de labreche et z est la pente laterale des parois de la brechetrapezoıdale.

L’utilisation de ce modele s’impose dans le cas ou labathymetrie du reservoir est inconnue ou non disponible.

2.2. Le modele dynamiqueLorsque la bathymetrie du reservoir est connue, il est pos-

sible d’utiliser un modele base sur les equations de Saint-Ve-nant pour representer la dynamique de la vidange du reservoir.Avec ce modele, la remontee de l’onde negative dans le reser-voir, la progression de la depression due a la vidange, les dif-ferences et de niveau et de vitesse a l’interieur du reservoirsont representees. Ces differences sont d’autant plus importan-tes que la bathymetrie du reservoir est complexe et que le de-veloppement de la breche est rapide. Le modele de Saint-Venant est le meme que celui utilise pour simuler dynamique-ment la majorite des ecoulements de surface.

3. Methodologie et modeles

3.1. Methodologie d’analyseLa demarche retenue s’appuie sur une analyse compara-

tive de l’hydrogramme a la breche, de la surface inondee,du niveau maximal, ainsi que du temps d’arrivee de l’ondedans la vallee a l’aval du barrage. Le resultat lie a la modeli-sation du reservoir a l’aide d’un modele bidimensionnel deSaint-Venant est considere comme reference parce qu’il tientcompte, plus que les autres modeles compares, d’un maxi-mum de details de la bathymetrie du reservoir. Dans cettedemarche, les resultats de quatre methodes sont compares :

� la premiere methode simule la propagation dans le tron-con aval de l’hydrogramme a la breche obtenu par mode-lisation du reservoir a l’aide d’un modele dynamique deSaint-Venant bidimensionnel. Cette methode sera de-signee M1;

� la seconde methode simule la propagation dans le tronconaval de l’hydrogramme a la breche obtenu par modelisa-tion statique a l’aide de la courbe d’emmagasinement dureservoir. Cette methode sera designee M2;

� la troisieme methode represente le reservoir et le tronconaval dans un unique modele dynamique de Saint-Venantunidimensionnel. Cette methode sera designee M3;

� la quatrieme methode est presque identique a la troisiemea la difference que dans la representation du reservoir, lessections de geometrie reelle sont remplacees par une geo-metrie synthetique reconstituant la courbe d’emmagasi-nement. Cette methode sera designee M4.Aux quatre methodes de representation du reservoir, M1 a

M4, est associe un modele numerique unidimensionnel deSaint-Venant utilisant un unique ensemble de sections trans-versales pour representer la propagation de l’hydrogrammede rupture a travers la vallee en aval du barrage. Ainsi,pour chacun des cas a l’etude, l’analyse des resultats s’ef-fectue a des emplacements dont la position est rigoureuse-ment identique a travers les quatre methodes M1 a M4.D’une methode a l’autre, seul differe le modele de represen-tation du reservoir.

3.2. Codes numeriques utilisesLe modele bidimensionnel utilise dans le cadre de la pre-

sente etude pour la methode M1 est le modele par elementsfinis Telemac-2D developpe par Electricite de France (EDF-DRD 2002). Telemac-2D est base sur la forme bidimension-nelle (plan horizontal) des equations de Saint-Venant. Lecode resout l’evolution des profondeurs et vitesses sur unmodele de terrain, constitue d’un maillage triangulaire dont

Tchamen et Gaucher 981

Publie par les Presses scientifiques du CNRC

les nœuds ont une cote connue de l’elevation du terrain, enfonction des conditions initiales et aux frontieres du mail-lage (EDF-DRD 2002; Hervouet 2000). Les debits et ni-

veaux maximaux sont obtenus par post-traitement desvariables primaires (profondeur et vitesse).

Pour la modelisation unidimensionnelle dynamique utili-see dans les methodes M3 et M4, la version 6,1.1 du codeMascaret a ete utilisee. Ce code est egalement utilise pourmodeliser la vallee en aval du barrage pour les quatre me-thodes M1 a M4. Mascaret est un code numerique utilisantla technique des volumes finis pour resoudre la formulationunidimensionnelle des equations de Saint-Venant. Mascareta ete developpe par EDF-DRD (Gouta et Maurel 2002;EDF-DRD 2006).

Le modele numerique de representation statique du reser-voir, base sur les equations [1] et [2], qui a ete utilise dansla methode M2 pour la presente etude est un code developpea Hydro-Quebec designe BRECHA (Mellado 2005). Il utilisecomme donnees d’entree fournies dans un fichier :

� la courbe d’emmagasinement du reservoir;

Fig. 1. Representation schematisee du reservoir synthetique.

Tableau 1. Courbe d’emmagasinement du reservoirde tres grande taille (cas A).

Elevation (m) Largeur (km) Volume (hm3)274,74 0,253 0,00275,00 0,253 2,60300,00 0,253 255,57312,50 1,270 636,21337,50 5,203 3872,70355,00 9,399 8983,62365,00 12,692 13 401,81373,50 17,908 18 603,81377,50 19,193 21 571,95

Tableau 2. Courbe d’emmagasinement du reservoir detaille intermediaire (cas B).

Elevation (m) Largeur (km) Volume (hm3)0,16 0,329 0,002,00 0,329 45,4010,00 0,329 242,8012,50 0,445 315,3917,50 0,537 499,5422,50 0,693 730,1927,50 0,711 993,4431,00 0,853 1198,7232,45 0,910 1294,58

Tableau 3. Courbe d’emmagasinement du reservoirde petite taille (cas C).

Elevation (m) Largeur (km) Volume (hm3)45 0,007 0,0050 0,007 0,1555 0,037 0,5965 0,101 3,3775 0,220 9,7985 0,356 21,2992,5 0,490 33,98100 0,563 49,79105 0,563 61,06

982 Rev. can. genie civ. vol. 37, 2010


� les caracteristiques geometriques pour une breche deforme trapezoıdale : elevation du seuil, largeur du seuil,pentes laterales;

� temps de formation de la breche;� niveau initial du reservoir.

BRECHA produit comme resultat l’hydrogramme a la bre-che correspondant aux donnees d’entree.

3.3. Modele de brechePour representer la breche, un modele simple de breche

trapezoıdale a ete retenu. Les principales caracteristiques dece modele de breche dependent essentiellement de deux pa-rametres : soit l’elevation de la surface d’eau du reservoirau-dessus de la cote du fond de la breche, et la nature dumateriau de construction du barrage. Ainsi :

� pour un barrage en beton, la breche est de forme rectan-gulaire avec la largeur du seuil egale a quatre fois lacharge du reservoir au-dessus du seuil de la breche. Letemps de developpement de la breche dans un barrage enbeton est fixe a 0,1 h (6 min);

� pour un barrage en terre ou en remblai, la breche est deforme trapezoıdale avec une largeur au seuil egale a qua-tre fois la charge, et la pente des parois laterales est egalea 1H:V. Le temps de developpement de la breche dans unbarrage en remblai est fixe a 0,5 h (30 min).Les valeurs des parametres de ce modele de breche ont

ete inspirees par l’analyse statistique de plus d’une centainede ruptures de barrage survenues durant le siecle dernier(Wahl 1998). Ces valeurs ont ete retenues proches des limi-tes des valeurs statistiques qui produiraient les consequencesparmi les plus catastrophiques, et donc les mesures les plussecuritaires.

Le tableau 5 a la section 4 presente les caracteristiques debreche correspondant aux trois cas d’etude retenus pour lapresente analyse.

Alors que pour le modele statique M1, l’equation (2) estutilisee pour evaluer le debit a la breche, pour les modelesdynamiques M2, M3 et M4, l’evaluation de ce debit decouledirectement de la mise a jour, effectuee par le modele dyna-mique du reservoir, des variables hydrodynamiques au sitede la breche dont la geometrie est integree au domaine decalcul.

3.4. Construction synthetique de sections du reservoirLa construction de sections synthetiques se justifie dans le

cas de reservoirs pour lesquels la bathymetrie est inconnue.C’est notamment le cas d’amenagements tres anciens pourlesquels les cartes topographiques avant amenagement nesont pas disponibles; la seule donnee disponible est lacourbe d’emmagasinement qui est utilisee pour l’exploi-tation du reservoir. La construction de section synthetiqueou virtuelle permet de realiser une modelisation dynamiquedu reservoir.

Dans la presente analyse, l’algorithme utilise pour la re-construction de section synthetique est assez simple. Il uti-lise les elements suivants :

� la courbe d’emmagasinement du reservoir;� la longueur du reservoir : distance moyenne longitudinale

entre le barrage et la limite amont du plan d’eau horizon-

tal. La longueur disponible correspond generalement a lacote maximale d’exploitation;

� la largeur du reservoir : distance moyenne transversaleentre les deux berges du reservoir. Cette largeur corre-spond generalement a la cote maximale d’exploitation.Les donnees de longueur et largeur sont en general dispo-

nibles sur cartes ou des plans geographiques de localisationde l’amenagement.

L’algorithme de reconstruction suppose que la longueurdu reservoir est constante et ne change pas avec l’elevation.A partir de la largeur moyenne correspondant a une eleva-tion donnee (cote maximale d’exploitation), la largeur cor-respondant a une nouvelle elevation (elevation suivantedans la courbe d’exploitation) est evaluee en sorte que le vo-lume du polygone prismatique a section trapezoıdale com-pris entre les deux elevations consecutives soit egal audifferentiel de volumes entre ces deux memes niveaux lussur la courbe d’emmagasinement. L’algorithme de recons-truction produit donc une largeur moyenne constante parelevation. Dans cette reconstruction, le reservoir est mode-lise comme un domaine de section transversale prismatique(geometrie transversale constante). La figure 1 illustre le re-servoir schematise par cet algorithme.

Pour les cas d’etude de la presente analyse, les sectionsainsi synthetisees sont donnees dans les tableaux 1, 2 et 3de courbe d’emmagasinement.

4. Description des cas d’etudeLes cas d’etude retenus comportent deux amenagements

du Grand Nord du Quebec au Canada, tandis que le troi-sieme cas est constitue par l’amenagement Malpasset enFrance. Ces cas ont ete selectionnes en sorte de couvrir unelarge gamme de caracteristiques de reservoir. Les principalescaracteristiques du reservoir et les dimensions de la brechesont presentees aux tableaux 4 et 5 respectivement.

4.1. Cas A : reservoir de tres grande tailleLe cas A concerne la rupture hypothetique d’un amenage-

ment du Grand Nord quebecois dont le barrage principal,dans lequel la breche est consideree, est en remblai. Ce bar-rage ferme un reservoir de tres grande taille : pres de 50 kmen longueur sur 30 km en largeur, et un volume de total de20 579 hm3 a son niveau maximal d’exploitation (377 m).La figure 2a presente un maillage triangulaire plan du do-maine, reservoir et vallee aval compris. La bathymetrie al’interieur du reservoir est complexe et comporte plusieursıles et hauts-fonds. Cette figure montre egalement l’empla-cement des 33 sections transversales utilisees, dont 8 al’amont et 25 a l’aval, pour la modelisation unidimension-nelle. La figure 2b presente le profil longitudinal du thalwegpour le cas a l’etude. La courbe d’emmagasinement du re-servoir est donnee par le tableau 1. La surface du pland’eau a la cote maximale d’exploitation normale presenteune charge de 125 m par rapport au seuil de la breche envi-sagee. Le tableau 5 indique que la largeur du seuil de la bre-che est de 252 m, ce qui est inferieur a la norme 4�HAindiquee a la section 3,3. Cela se justifie a ce site par la lo-calisation du profil du roc qui limite la largeur erodable.C’est pour la meme raison que la pente laterale de la breche,a 2,5 H:V, deroge du standard 1 H:V. Le barrage etant en



Tableau 4. Caracteristiques du reservoir pour les trois cas a l’etude.

Caracteristiques du reservoir Cas A Cas B Cas CLongueur moyenne (m) 40 000 75 000 4000Largeur moyenne (m) 30 000 1000 400Niveau maximal d’exploitation (m) 377,00 32,00 100,00Volume total au niveau maximal d’exploitation (hm3) 20 579 1266 49

Tableau 5. : Caracteristiques de breche pour les trois cas a l’etude.

Caracteristiques de la breche Cas A Cas B Cas CNature de l’ouvrage a rompre Remblai Beton BetonHauteur du niveau initial au-dessus du seuil de la breche (m) 125 30 55Elevation du seuil (m) 252 2 45Largeur a la base (m) 150,00 144,50 20,00Pente laterale (H:V) 2,15 0 2,5Temps de formation de la breche (h) 0,5 0,1 0,0

Fig. 2. (a) Maillage et emplacement des sections transversales pour le cas A du reservoir de tres grande taille. (b) Profil longitudinal duthalweg de la riviere pour le cas A du reservoir de tres grande taille.

Fig. 3. (a) Maillage et emplacement des sections transversales pour le cas B du reservoir de taille intermediaire. (b) Profil longitudinal duthalweg de la riviere pour le cas B du reservoir de taille intermediaire.



remblai, le temps de formation de la breche est fixe a 0,5 h.Le niveau initial de la surface du cours d’eau a l’aval dubarrage s’eleve a 260 m.

4.2. Cas B : reservoir de taille intermediaireLe cas B est associe au reservoir de taille intermediaire et

qui contient pres de 1200 hm3 a son niveau maximal d’ex-ploitation (32 m). Les dimensions moyennes de ce reservoirsont de pres de 75 km en longueur, et 1 km en largeur. Lahauteur du barrage principal dans lequel la breche est consi-deree est de 30 m. La figure 3b montre le maillage utilisesur le domaine entier qui englobe le reservoir ainsi que lavallee en aval de celui-ci. Ce maillage est celui qui a ete uti-lise pour evaluer l’hydrogramme de breche pour la methodeM1. La figure 2 montre egalement l’emplacement des 65sections transversales utilisees, dont 32 a l’amont et 33 al’aval, pour la modelisation unidimensionnelle. La figure 3bpresente le profil longitudinal du thalweg pour le cas al’etude. La courbe d’emmagasinement du reservoir est don-nee par le tableau 2. La surface du plan d’eau a la cotemaximale d’exploitation normale presente une charge de 30m par rapport au seuil de la breche consideree. Le tableau 5indique que la largeur du seuil de la breche est de 144,5 m,valeur qui est legerement superieure a la norme 4�HA indi-quee a la section 3,3. Cela se justifie par la largeur des plotsde construction qui seraient brises au moment de l’etablis-sement de la breche. Le barrage etant en beton, les paroislaterales de la breche sont supposees verticales, tandis quele temps de formation de la breche est fixe a 0,1 h. Le ni-veau initial de la surface du cours d’eau a l’aval du barrages’eleve a 3,5 m.

4.3. Cas C : reservoir de petite tailleLe cas C est associe a l’amenagement Malpasset devenu

celebre par sa rupture catastrophique survenue lors de sonremplissage en 1959. Les dimensions du reservoir a l’amontdu barrage de Malpasset peuvent etre considerees petites encomparaison a celles des cas A et B. L’emmagasinement to-tal du reservoir s’eleve a pres de 49 hm3 au niveau 100 m.La longueur moyenne du reservoir s’eleve a 4 km, tandisque sa largeur moyenne se situe autour de 400 m. Lafigure 4a montre l’emplacement des 60 sections transversa-

les utilisees, dont 20 a l’amont et 40 a l’aval, pour la mode-lisation unidimensionnelle. La figure 4b presente le profillongitudinal du thalweg pour le cas a l’etude. La courbed’emmagasinement du reservoir est donnee par le tableau 3.Les caracteristiques de la breche, du barrage de Malpasset,inscrites au tableau 5 correspondent aux donnees historiquesde l’accident telles que rapportees par Hervouet (2000). Labreche est survenue dans le lit de la riviere a une elevationproche de 45 m, offrant une charge de 55 m par rapport al’elevation du plan d’eau au moment de la rupture (100 m).Selon les reconstitutions, la rupture est consideree instanta-nee (temps de formation de la breche egale a 0). A l’instantinitial, le lit de la vallee a l’aval du barrage est suppose sec.

5. Analyse des resultats de simulation

5.1. Debits de breche et vidange du reservoirLa figure 5 presente, sur un meme graphique et sous

forme adimensionnelle, les hydrogrammes a la breche pourles cas A, B et C. Sur ce graphique, les variables en abscisseet en ordonnee sont respectivement :

½3� TADLR ¼t �

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffig � HB

pLR

et QADHB ¼Q

HB � LB �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffig � HB

pou t designe le temps, Q designe le debit, LR designe lalongueur du reservoir et, LB et HB sont respectivement lalargeur a la base de la breche et la charge initiale du reser-voir par rapport au fond de la breche.

Il apparaıt que les methodes M2, M3 et M4 surestimentsystematiquement la valeur maximale du debit de ruptureprovenant de M1. Pour les trois cas d’etude, l’ordre du pluspetit vers le plus grand est M1, M4, M3 et M2. Le tableau 6indique que la surestimation de M2 par rapport a M1 est33 % pour le cas A, 81 % pour le cas B et 110 % pour lecas C. Le fait que le modele statique repartit instantanementla vidange sur l’etendue du reservoir implique que la baissedu niveau a la breche s’effectue plus lentement que dans lecas de modeles dynamiques (M1, M3 et M4). Cela constituela principale raison de la surestimation du debit de la me-thode M2 (modele statique) dans les premiers instants de larupture. Cette difference de debit maximal entre le modele

Fig. 4. (a) Maillage et emplacement des sections transversales pour le cas C du reservoir de petite taille. (b) Profil longitudinal du thalwegde la riviere pour le cas C du reservoir de petite taille.



statique et les modeles dynamiques est d’autant plus impor-tante que le temps de formation de la breche est court. Il estclair que si le temps de formation de breche s’allonge, la vi-dange dynamique du reservoir se rapprocherait d’une vi-dange statique avec repartition uniforme de la depression duplan d’eau sur l’ensemble du reservoir. La surestimation dudebit maximal par les modeles dynamiques unidimension-nels (M3 et M4) par rapport au modele dynamique bidimen-sionnel s’explique par le fait que le cone de depression dansun modele 2D est encore plus accentue au voisinage de labreche du fait de la presence d’un second axe de depression.

Le tableau 7 indique que le volume d’eau ayant transitepar la breche lors de la methode M3 a sections reelles pourle cas A est largement inferieur au volume du reservoir(20 579 hm3) alors que le reservoir est totalement vidange atoute fin pratique. Il apparaıt que le nombre limite de sec-tions (huit) utilisees pour representer le reservoir est insuffi-sant pour respecter les volumes de la courbed’emmagasinement.

5.2. Niveaux maximauxLa figure 6 presente, sur un meme graphique et sous

forme adimensionnelle, les profils longitudinaux de la pro-fondeur maximale dans la vallee en aval de la breche pourles cas A, B et C. Sur ce graphique, les variables en abscisseet en ordonnee sont respectivement :

½4� XADHB ¼x

HBet HADHB ¼

H

HB

ou x designe le chaınage de la section mesuree depuis le sitedu barrage, H designe la profondeur maximale definiecomme la difference entre la cote maximale de la surface li-bre et le fond de la riviere et HB designe la charge initialedu reservoir par rapport au fond de la breche.

Comme pour le debit maximal, il apparaıt que pour le ni-veau maximal les resultats de la methode du modele statiqueM2 surestiment ceux des methodes des modeles dynamiquesM1, M2, et M4. L’ordre croissant M1, M4, M3 et M2 estegalement respecte pour les niveaux maximaux des trois cas

Fig. 5. Hydrogrammes adimensionnels a la breche pour les cas A, B et C.

Tableau 6. Debit maximal aux differents scenarios pour les trois cas etudies.

Modele 2D (M1) Modele statique (M2) Sections reelles (M3) Sections synthetiques (M4)

CasDebit maximal(m3/s)

Debit maximal(m3/s)

M2/M1(%) Debit maximal (m3/s)

M3/M1(%) Debit maximal (m3/s)

M4/M1(%)

Cas A 648 541 856 863 132 805 597 124 776 317 120Cas B 22 541 41 135 182 36 284 161 33 498 149Cas C 43 260 91 197 211 69 371 160 53 310 123



d’etude. Ce graphique montre la presence de ressaut, al’aval immediat des barrages, du au changement de regimedu torrent qui s’echappe de la breche. Pour les trois cas etu-dies, plusieurs autres ressauts apparaissent plus loin en aval,probablement dus aux variations subites de la geometrie dela vallee (thalweg ou largeur).

Le tableau 8 presente les surelevations relatives pour lesdifferentes methodes a plusieurs positions relatives dans lavallee. Il ressort d’une comparaison entre la surelevation re-lative des methodes M2, M3 et M4 a celle de la methodede reference M1 que la difference est maximale dans l’in-tervalle entre le barrage et la position relative 200 en avaldu barrage. Une comparaison entre les cas d’etude montreque comme pour les rapports du debit maximal, la diffe-rence de surelevation relative augmente lorsque le tempsde formation de breche diminue. Dans le cas C (rupture deMalpasset) l’importance (>50 %) des surelevations relativesa proximite immediate du barrage peut s’expliquer par lapresence d’un monticule, situe dans un coude distant dupied aval du barrage d’environ 500 m, qui reflechiraitl’onde de rupture et augmenterait la surelevation dans cetteregion. Une comparaison de l’erreur sur la surelevation parrapport a la methode de reference M1 montre que les mo-deles dynamiques unidimensionnels peuvent reduire de presde 40 % en moyenne, dans les cas A et C, l’erreur associeea la methode statique M2. Pour les trois cas etudies,l’erreur de la methode M4, a section synthetique, est appa-rue inferieure ou egale a celle de la methode M3 a sectionreelle. Cela indique que la methode dynamique a sectionsynthetique est une option intOressante de remplacementde a la methode M3 a section reelle surtout dans le cas oules donnees bathymetriques sont inexistantes ou insuffisan-tes. Dans ce cas, il peut etre justifie de privilegier la me-thode M4 qui, elle, respecte les volumes de la courbed’emmagasinement.

5.3. Surfaces inondeesPour evaluer la surface inondee associee a un scenario,

l’approximation trapezoıdale suivante est utilisee :

½5� SIM ¼XN�1

i¼1

Bi þ Biþ1

2

� �� Di;iþ1

Dans l’expression precedente, SIM est la surface inondeetotale, Bi est la largeur au miroir maximale, et Di,i+1 est ladistance entre les sections d’indices i et i + 1.

Le tableau 9 presente les valeurs de surface inondees pourles differents scenarios dans les trois cas de reservoirs etu-dies. Il apparaıt que le modele statique surestime la surfaceinondee dans une proportion de 15 % a 20 %. L’utilisationdu modele dynamique a sections synthetiques peut reduirecette surestimation dans une proportion de 20 % a 30 %.

5.4. Temps d’arrivee de l’onde de ruptureLe temps d’arrivee de l’onde de rupture est une variable im-

portante utilisee lors des analyses de rupture de barrage dans lamesure ou elle constitue une indication du temps que l’on dis-pose pour evacuer les populations situees dans la vallee a l’avaldu barrage. Pour une position a l’aval du barrage, le temps d’ar-rivee de l’onde est associe a un seuil de rehaussement de la sur-T

able

au7.

Vid

ange

dure

serv

oir

lors

des

diff

eren

tssc

enar

ios

pour

les

troi

sca

set

udie

s.

Mod

ele

2D(M

1)M

odel

est

atiq

ue(M

2)Se

ctio

nsre

elle

s(M

3)Se

ctio

nssy

nthe

tique

s(M

4)

Cas

Tem

ps(h

)V

olum

ede

vers

e(h

m3 )

%vo

lum

ein

itial

Vol

ume

deve

rse

(hm

3 )D

iffe

renc

e(M

2–

M1)

/M1

(%)

Vol

ume

deve

rse

(hm

3 )D

iffe

renc

e(M

3–

M1)

/M1

(%)

Vol

ume

deve

rse

(hm

3 )D

iffe

renc

e(M

4–

M1)

/M1

(%)

Cas

A1

1603

819

7823

,42

1916

19,5

484

8–4

7,08

610

846

5314

051

29,5

512

892

18,8

712

520

15,4

412

1679

282

2049

622

,06

1765

05,

1119

522

16,2

624

1919

093

2078

38,

3017

704

–7,7

421

016

9,52

Cas

B1

706

131

87,1

411

057

,14

103

47,1

46

394

3162

658

,88

625

58,6

356

643

,65

1265

252

926

42,0

295

246

,01

884

35,5

818

828

6510

6228

,26

1135

37,0

810

8130

,56

Cas

C0,

1718

3734

88,8

927

50,0

025

38,8

90,

3329

5945

55,1

741

41,3

838

31,0

30,

5036

7348

33,3

348

33,3

343

19,4

41,

0045

9249

8,89

5113

,33

474,

44



Fig. 6. Profils longitudinaux adimensionnels de la profondeur maximale a l’aval pour les cas A, B et C.

Tableau 8. Surelevations a l’aval lors des differents scenarios pour les trois cas etudies.

Modele2D (M1) Modele statique (M2) Sections reelles (M3) Sections synthetiques (M4)

Cas XAD_HB = X/HB H/HB H/HBDifference(M2 – M1)/M1 (%) H/HB

Difference(M3 – M1)/M1 (%) H/HB

Difference(M4 – M1)/M1 (%)

Cas A 5 0,30 0,33 10,00 0,32 6,67 0,31 3,3310 0,30 0,33 10,00 0,33 10,00 0,31 3,3350 0,40 0,45 12,50 0,44 10,00 0,44 10,00100 0,36 0,42 16,67 0,40 11,11 0,40 11,11200 0,33 0,40 21,21 0,38 15,15 0,38 15,15500 0,08 0,11 37,50 0,10 25,00 0,10 25,00

Cas B 5 0,20 0,31 55,00 0,28 40,00 0,27 35,0010 0,18 0,22 22,22 0,20 11,11 0,19 5,5650 0,23 0,33 43,48 0,33 43,48 0,31 34,78100 0,23 0,33 43,48 0,33 43,48 0,30 30,43200 0,21 0,31 47,62 0,31 47,62 0,28 33,33500 0,17 0,25 47,06 0,25 47,06 0,23 35,29

Cas C 5 0,51 0,73 43,14 0,64 25,49 0,57 11,7610 0,30 0,42 40,00 0,37 23,33 0,33 10,0050 0,21 0,26 23,81 0,27 28,57 0,26 23,81100 0,30 0,35 16,67 0,32 6,67 0,31 3,33200 0,10 0,12 20,00 0,11 10,00 0,11 10,00

Nota : H designe la profondeur maximale definie comme la difference entre la cote maximale de la surface libre et le fond de la riviere, HB designe lacharge initiale du reservoir par rapport au fond de la breche, X designe le chaınage mesure depuis la position du barrage.



face due a l’arrivee de l’onde en provenance du barrage.Pour la presente analyse, le seuil retenu est de 0,3 m.

La figure 7 presente, sur un meme graphique et sous formeadimensionnelle, le temps d’arrivee de l’onde a l’aval pourles cas A, B et C. Sur ce graphique, les variables en abscisseet en ordonnee sont respectivement :

½6� XADHB ¼x

HBet TADHB ¼

TF �ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffig � HB

pHB

ou x designe le chaınage de la section mesuree depuis le site dubarrage, TF designe le temps d’arrivee de l’onde, et HB designela charge initiale du reservoir par rapport au fond de la breche.

Il apparait que le temps d’arrivee de l’onde varie a l’in-verse de l’ampleur de l’hydrogramme de breche et des ni-veaux maximaux atteints a l’aval. Cette tendance se revelede maniere tres distincte pour le cas C, du barrage de Mal-passet, pour lequel le lit de vallee a l’aval du barrage etaitsuppose sec avant la rupture. Dans ce cas, la vitesse de pro-pagation de l’onde de rupture est directement en relation in-verse avec l’ampleur de l’onde de rupture; et dans ce cas,les differences entre les methodes M1 a M4 s’accentuent amesure que l’on s’eloigne du barrage. Dans les cas A et B

ou le lit de la vallee a l’aval est initialement mouillee, la vi-tesse de propagation de l’onde depend principalement de laprofondeur du plan d’eau a l’aval. Il faut mentionner quedans les cas A et B, le temps d’arrivee des methodes M1 etM2 sont fortement influences par la methodologie qui se-pare, dans deux modeles differents executes l’un apresl’autre, la determination de l’hydrogramme de breche d’unepart, et la propagation de cet hydrogramme dans la vallee al’aval d’autre part. Le traitement de la frontiere amont quiest situee au site du barrage a egalement une influence surle temps d’arrivee de l’onde. Cette frontiere est situee enzone transcritique, et le traitement numerique de ce type decondition presente des defis notamment de stabilite nume-rique ou la solution retenue sacrifie parfois la precision a larobustesse. Alors que seul le debit suffit pour une frontiereen regime fluvial, la frontiere en regime torrentiel necessitedeux donnees, notamment le debit et le niveau. Dans ce der-nier cas, il n’est pas aise de determiner le niveau a imposer.

6. Conclusions et recommandationsTrois cas de barrages-reservoirs ont ete analyses pour eva-

luer l’impact du modele de reservoir sur les resultats d’une

Tableau 9. Surface inondee lors des differents scenarios pour les trois cas etudies.

M1 (modele 2) M2 (modele statique) M3 (sections reelles) M4 (sections synthetiques)

CasAire inondeeA1 (m2)

Aire inondeeA2 (m2)

Difference(A2 – A1)/A1 (%)

Aire inondeeA3 (m2)


Aire inondeeA4 (m2)


Cas A 146 192 079 175 912 458 20,33 168 934 154 15,56 169 355 308 15,84Cas B 39 228 087 45 324 576 15,54 45 420 414 15,79 43 810 050 11,68Cas C 10 532 400 12 118 710 15,06 11 890 056 12,89 11 608 253 10,21

Fig. 7. Profils longitudinaux adimensionnels du temps d’arrivee de l’onde a l’aval pour les cas A, B et C.



etude de rupture, notamment sur le debit a la breche et les ni-veaux maximaux dans la vallee aval. Les caracteristiques desbarrages-reservoirs retenus couvrent un large spectre : la hau-teur des barrages varie de 30 a 125 m, tandis que le volumedes reservoirs varie de quelques dizaines a plusieurs dizainesde milliers d’hectometres cube. Deux des trois barrages sonten beton, tandis que le troisieme est en remblai. Le temps deformation de breche des barrages en beton est 0,1 h ou moins,tandis que celui du barrage en remblai est de 0,5 h.

L’analyse presentee vise en premier a evaluer la diffe-rence entre une modelisation statique et modelisation dyna-mique du reservoir. Cette evaluation est effectuee encomparant les resultats de modeles unidimensionnels sta-tique — bilan de masse statique: modele M2 — et dyna-mique — modele de Saint-Venant 1D avec sections reelles(M3) ou synthetiques (M4) — aux resultats de reference ob-tenus a l’aide d’un modele dynamique bidimensionnel basesur les equations de Saint-Venant 2D et designe modeleM1. Les resultats des cas etudies ont montre que le modelestatique surestime le debit maximal dans une proportion de20 % a 100 %. La surestimation augmente lorsque le tempsde formation de la breche diminue. Outre la valeur maxi-male du debit, les temps de vidange du reservoir differentegalement lorsque sont compares les hydrogrammes de bre-che des modeles statique et dynamique. La difference entreles hydrogrammes de breche provoque egalement une diffe-rence dans les niveaux maximaux atteints dans la vallee enaval de la breche. La surestimation de la profondeur maxi-male en aval (pour XADHB < 50) associee au modele statiqueest de l’ordre de 5 % (en valeur relative de la hauteur dubarrage) pour un temps de formation de breche de 0,5 h,10 % pour 0,1 h et 12 % a 15 % en moyenne pour une rup-ture instantanee. Cette surestimation peut etre reduite depres de 40 % en moyenne lorsque le modele dynamique estsubstitue au modele statique. Des conclusions similairespeuvent etre tirees en ce qui concerne la surface inondeeavec une surestimation de 15 % a 20 % du modele statiquepar rapport au modele dynamique, et une reduction de 20 %a 30 % de cette surestimation par l’utilisation d’un modelede representation dynamique du reservoir. La tendanced’une relation inverse entre le temps d’arrivee de l’onde etles niveau maximum est claire lorsque la vallee en aval dubarrage est seche a l’instant initial. Pour un troncon aval ini-tialement mouille, la tendance est moins evidente parcequ’elle depend a la fois de l’ampleur de l’onde et de la pro-fondeur initiale de la riviere.

La possibilite d’utiliser un modele dynamique avec dessections synthetiques reconstruites pour respecter la courbed’emmagasinement a ete examinee. Les resultats obtenuspour les trois cas d’etudes ont montre que le modele dyna-mique a section synthetique offrait une performance equiva-lente, ou quelquefois legerement meilleure, que le modeledynamique a bathymetrie reelle. Lorsque la bathymetrie dureservoir est complexe et definie par un nombre insuffisantde sections, le modele a section synthetique a clairementl’avantage, sur le modele a bathymetrie reelle, de respecterle volume du reservoir tel que decrit par la courbe d’emma-gasinement. En consequence, en absence de donnees bathy-metriques, ou en presence de donnees bathymetriquesinsuffisamment precises (par exemple qui ne respectent pasla courbe d’emmagasinement), le modele a section synthe-tique pourrait etre une option interessante a considerer.

Les conclusions tirees etant basees sur une analyse effec-tuee sur trois barrages-reservoirs, il est recommanded’elargir ce type d’analyse a un plus large ensemble de sitesafin de verifier ces conclusions.

BibliographieEDF-DRD. 2002. Systeme de modelisation Telemac. Hydrodyna-

mique bidimensionnelle. Logiciel Telemac-2D. Manuel de refer-ence. Disponible au www.telemacsystem.com (consulte le 22decembre 2009).

EDF-DRD. 2006. Le systeme Mascaret : Simulation numeriqued’ecoulements a surface libre unidimensionnels. Electricite deFrance . Disponi b l e au ht tp : / / rd . ed f . com/accue i l - f r /edf-recherche-developpement/logiciels/code-mascaret-107043.html (consulte le 14 fevrier 2009).

Fread D.L. et Lewis J.M. 1998. NWS FLDWAV Model, Hydrolo-gic Research Laboratory, Office of hydrology, National WeatherService, November 1998.

Goutal, N., et Maurel, F. 2002. A finite volume solver for 1D shal-low-water equations applied to an actual river. InternationalJournal for Numerical Methods in Fluids, 38(1) : 1–19. doi:10.1002/fld.201.

Hervouet, J.M. 2000. A high resolution 2-D dam-break model usingparallelization. Hydrological Processes, 14(13) : 2211–2230. doi:10.1002/1099-1085(200009)14:13<2211::AID-HYP24>3.0.CO;2-8.

Mellado, A. 2005. BRECHA: Debit de breche avec bilan hydrique.Hydro-Quebec, Montreal, Que.

Wahl, T. 1998. Prediction of embankment dam breach parameters,a literature review and needs assessment. Dam Safety ResearchReport, DSO-98-004. US Bureau of Reclamation, July 1998.



Documents

Évaluation de l’incertitude due au modèle de représentation du réservoir dans les analyses de rupture de barrageLe présent ouvrage fait partie d’une série d’articles publiés