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Évaluation des interactions Guy Gauthier ing.Ph.D. SYS-823 - Été 2011

Évaluation des interactions

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Évaluation des interactions. Guy Gauthier ing.Ph.D . SYS-823 - Été 2011. Exemple. Soit le système suivant :. Exemple (suite). La valeur de lambda 11 sera : Donc la matrice de Bristol sera :. Cas #1 : k = 0. La matrice de Bristol devient :. u 1 devrait contrôler y 1. Cas #1 : k = 0. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Évaluation des interactions

Évaluation des interactionsGuy Gauthier ing.Ph.D.SYS-823 - Été 2011

Page 2: Évaluation des interactions

ExempleSoit le système suivant :

G s s sks s

( )

21

12 1

4 14

8 1

Page 3: Évaluation des interactions

Exemple (suite)La valeur de lambda 11 sera :

Donc la matrice de Bristol sera :

111

18

112 4

11

kk

88 8

88

8

kk

kk

k k

G s s sks s

( )

21

12 1

4 14

8 1

Page 4: Évaluation des interactions

Cas #1 : k = 0La matrice de Bristol devient :

1 00 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=0

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon u1 à 1 minÉchelon u2 à 50 min u1 devrait

contrôler y1

G s s sks s

( )

21

12 1

4 14

8 1

Page 5: Évaluation des interactions

Cas #1 : k = 0La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=0 - Réponses à des échelons avec PI

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon yd1 à 1 minÉchelon yd2 à 10 min

λ=1 : cas idéal à rechercher

G s s sks s

( )

21

12 1

4 14

8 1

Page 6: Évaluation des interactions

Cas #2 : k = -1La matrice de Bristol devient :

89

19

19

89

u1 devrait contrôler y1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=-1

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon u1 à 1 minÉchelon u2 à 10 min 50

G s s sks s

( )

21

12 1

4 14

8 1

Page 7: Évaluation des interactions

Cas #2 : k = -1La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=-1 - Réponses à des échelons avec PI

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon yd1 à 1 minÉchelon yd2 à 12 min

0.75 ≤ λ<1 : cas moins idéal, mais acceptable

G s s sks s

( )

21

12 1

4 14

8 1

Page 8: Évaluation des interactions

Cas #3 : k = -8La matrice de Bristol devient :

12

12

12

12

u1 peut contrôler y1 ou

y2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-8

-6

-4

-2

0

2

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=-8

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon u1 à 1 minÉchelon u2 à 50 min

G s s sks s

( )

21

12 1

4 14

8 1

Page 9: Évaluation des interactions

Cas #3 : k = -8La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :

0 5 10 15 20 25 30-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=-8 - Réponses à des échelons avec PI

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon yd1 à 1 minÉchelon yd2 à 12 min

0≤λ<0.75 : cas à éviter

G s s sks s

( )

21

12 1

4 14

8 1

Page 10: Évaluation des interactions

Cas #4 : k = 4La matrice de Bristol devient :

2 11 2

u1 devrait contrôler y1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

8

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=4

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon u1 à 1 minÉchelon u2 à 12 min

Page 11: Évaluation des interactions

Cas #4 : k = 4La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=4 - Réponses à des échelons avec PI

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon yd1 à 1 minÉchelon yd2 à 45 min

λ>1, mais pas trop loin de 1, pas idéal, mais

acceptable

Page 12: Évaluation des interactions

Cas #5 : k = 7La matrice de Bristol devient :

8 77 8

u1 devrait contrôler y1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=7

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon u1 à 1 minÉchelon u2 à 50 min

Page 13: Évaluation des interactions

Cas #5 : k = 7La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=7 - Réponses à des échelons avec PI

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon yd1 à 1 minÉchelon yd2 à 45 min

λ>>1 : cas à éviter

Page 14: Évaluation des interactions

Cas #6 : k = 16La matrice de Bristol devient :

1 22 1

u1 devrait contrôler y2,

mais persistons à vouloir

contrôler y10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=16

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon u1 à 1 minÉchelon u2 à 50 min

Page 15: Évaluation des interactions

Cas #6 : k = 16La réponse si les systèmes sont contrôlés par des PI :

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6x 10

12

Temps (min)

y 1 et y

2

Cas ou k=16 - Réponses à des échelons avec PI

y1

y2

Échelons unitaires

Échelon yd1 à 1 minÉchelon yd2 à 45 min

λ<0 : cas à éviter

Page 16: Évaluation des interactions

Interprétation de la valeur des éléments

Si λij = 1, cela indique que le gain en boucle ouverte entre yi et mj est identique au gain en boucle fermée.

Combinaison idéale, car les autres boucles n’ont aucun effets suite à un changement de mj.

Recommandation : contrôler yi avec mj.

Page 17: Évaluation des interactions

Interprétation de la valeur des éléments [2]

λij = 0 indique que le gain en boucle ouverte entre yi et mj est égal à 0.

mj n’a aucun effet sur yi.

Recommandation : ne pas contrôler yi avec mj.

Page 18: Évaluation des interactions

Interprétation de la valeur des éléments [3]

0< λij <1 indique que le gain en boucle ouverte entre yi et mj est inférieur au gain en boucle fermée.

Une interaction existe.

Recommandation : ne pas contrôler yi avec mj si λij ≤ 0.5

Page 19: Évaluation des interactions

Interprétation de la valeur des éléments [4]

λij >1 indique que le gain en boucle ouverte entre yi et mj est supérieur au gain en boucle fermée.

Une interaction existe, les autres boucles s’opposent à l’effet voulu. Peut entraîner une instabilité si λij est très élevé.

Recommandation : ne pas contrôler yi avec mj si λij est très élevé.

Page 20: Évaluation des interactions

Interprétation de la valeur des éléments [5]

λij <0 indique que le gain en boucle ouverte entre yi et mj à un signe opposé au gain en boucle fermée.

Une interaction existe, les autres boucles s’opposent à l’effet voulu et dominent. Situation dangereuse si une boucle est ouverte (instabilité de la boucle i).

Recommandation : ne jamais tenter de contrôler yi avec mj si λij est négatif.

Page 21: Évaluation des interactions

RecommandationLa paire de variable à combiner ensemble devrait avoir un gain relatif lambda aussi près de 1 que possible.

Page 22: Évaluation des interactions

ExempleSoit le système suivant:

G s

ss s s s

ss s s ss

s s s s

( )

15 1

53 1

110 1

10 110 5 1

84 1

215 1

15 5 1

61

320 1

2

2

2

Page 23: Évaluation des interactions
Page 24: Évaluation des interactions
Page 25: Évaluation des interactions
Page 26: Évaluation des interactions

Matrice de BristolMatrice de gain en régime permanent:

K G

( )01 5 11 8 21 6 3

Page 27: Évaluation des interactions

Matrice de BristolCalcul de la transposée de l’inverse de K:

R KT

1

2 4 0 2 0 41 8 0 4 0 20 4 0 2 0 6

. . .. . .. . .

Page 28: Évaluation des interactions

Matrice de BristolProduit terme par terme:

2 4 1 0 0 41 8 3 2 0 40 4 1 2 1 8

. . .. . .. . .

Situation très mauvaise.

Page 29: Évaluation des interactions

BilanFaute de mieux: m1 et y1; m2 et y2; m3 et y3.

Page 30: Évaluation des interactions
Page 31: Évaluation des interactions

ContrôleMalgré les efforts, les effets du couplage se font sentir.