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AYOUB GARGOURI
Évaluation des swaps de taux d’intérêt (IRS) en présence du risque de
contrepartie : escompte OIS, CVA et risque « wrong-way »
Essai présenté
À la Faculté des études supérieures de l’Université Laval
Dans le cadre du programme de maîtrise en ingénierie financière
FACULTÉ DES SCIENCES DE L’ADMINISTRATION
UNIVERSITÉ LAVAL
QUÉBEC
Mai 2014
© Ayoub Gargouri, 2014
ii
Remerciements
Je tiens à remercier sincèrement mon directeur d’essai, Mr. Van Son Lai, pour son
soutien, ses précieux conseils et sa disponibilité tout au long de la réalisation de ce travail.
Je tiens également à remercier Mr. Issouf Soumaré, pour ses commentaires et pour avoir
accepté d’en être le lecteur.
Je remercie aussi mon frère, Issam Gargouri, pour son aide et les nombreuses
discussions que nous avons eues et qui m’ont permis à choisir ce sujet intéressant et bien
l’aborder.
iii
Dédicaces
À mon cher père Morched
Qui n’a jamais cessé de me soutenir et m’encourager,
Qui a impatiemment attendu ce jour,
Aucun mot ne serait assez loquace pour témoigner les sentiments de reconnaissance que
j’éprouve à son égard.
À ma chère mère Imène
Pour ses sacrifices démesurés et son amour infini.
Que Dieu puisse la garder afin que ses prières me protègent et que ses regards suivent ma
destinée.
J’espère pouvoir réaliser aujourd’hui l’un de ses rêves et être toujours à la hauteur de ses
espérances.
À mon chèr frère Issam, sa femme Zeinab et leurs fils Adam,
À mon chèr frère Taher,
À mes chers amis Yassine, Houcine, Wassim et Moemen,
À tous ceux qui me sont chers,
Je dédie ce projet et qu’ils trouvent dans ce modeste travail le témoignage de ma profonde
gratitude et mon infini dévouement.
Sincèrement,
Ayoub
iv
Table des matières
Remerciements ii Dédicaces iii Tables des matières iv Liste des tableaux vi Liste des figures vii Nomenclature viii 1 Introduction 1
2 Présentation des swaps de taux d’intérêt 5
2.1 Descriptions des swaps de taux d’intérêt……………………….…...………………...5
2.2 Évolution du marché des IRS……………………...….………………………………6 3 Cadre d’évaluation avant la crise 10
3.1 Le cadre théorique………...………………………...…………………….....……….11
3.2 Méthodes de construction de la courbe…………….……………...…………….…...13
3.2.1 Bootstrapping………………………………………………………………14 3.2.2 Interpolation………………………………………………………………..17 3.3 Résultats……………………………………………………………………………...18
4 Cadre d’évaluation après la crise – le modèle 19
4.1 Escompte OIS……………………………………………………………………......19
v
4.2 Modélisation du risque de contrepartie dans le cas des IRS.……………………......23
4.2.1 Formule générale d’évaluation du risque de contrepartie : CVA unilatéral…...24 4.2.2 Cadre d’évaluation des IRS en présence de risque de contrepartie…………....26 4.2.2.1 Sans risque “wrong-way”……………………………………………….27
4.2.2.2 Avec risque “wrong-way”………………………………………………31
5 Méthodologie 36
5.1 Simulation des taux d’intérêt……………………………………………...…………37 5.2 Simulation des évènements de défaut…………………………………………….….40 5.3 Espérances futures……………………………………………………………………41 5.4 Évaluation du CVA…………………………………………………………………..42 5.5 Données………………………………………………………………………………43
6 Résultats 45
6.1 Évaluation sans risque « wrong-way »……………………………………………....45 6.2 Évaluation avec risque « wrong-way »………………………………………………47
7 Conclusion et extensions de l’étude 55
7.1 Conclusion…………………………………………………………………………...55 7.2 Extensions de l’étude………………………………………………………………...56
Bibliographie 58
Annexes 60
vi
Liste des Tableaux
Tableau 2.1: Dérivés OTC par classe d'actifs – 30 Juin 2010
Tableau 2.2: Dérivés de taux d'intérêt par produit - 30 Juin 2010
Tableau 2.3: Swaps de taux d'intérêt par contrepartie – 30 Juin 2010
Tableau 3.1: Dollar US taux de dépôt – 30 juin 2010
Tableau 3.2: Dollar US FRAs – 30 juin 2010
Tableau 3.3: Dollar US taux swap – 30 juin 2010
Tableau 6.1: Une estimation des intensités de défaut et des probabilités de survie Q [τ> T] à des
dates différentes pour les trois scénarios de risque – 30 Juin 2010
Tableau 6.2: Taux swap sans risque implicite et spreads du CVA positifs (en points de base)
associés pour le cadre d’escompte Libor – 30 join 2010
Tableau 6.3: Taux swap sans risque implicite et spreads du CVA positifs (en points de base)
associés pour le cadre d’escompte OIS – 30 join 2010
Tableau 6.4: Résultat des régressions (éq. 4.13) qui reflètent la dépendance entre le taux spot OIS
et l’intensité de défaut pour les trois exemples de contrepartie
Tableau 6.5 : Tests skewness/kurtosis pour la normalité des résidus
Tableau 6.6: Spreads du CVA positifs (en points de base) en présence de WWR pour le cadre
d’escompte OIS – 30 juin 2010
Tableau C.1.1: Matrice de volatilité des swaptions dans la monnaie observée sur le marché le 30
juin 2010 – escompte OIS
Tableau C.1.2: Matrice de volatilité des swaptions dans la monnaie observée sur le marché le 30
juin 2010 – escompte Libor
Tableau C.2: Spreads du CVA positifs (en points de base) en présence de WWR pour le cadre
d’escompte Libor – 30 juin 2010
vii
Liste des Figures
Figure 2.1: Un IRS vanille
Figure 2.2: Montant notionnel total et sa répartition sur les différentes catégories des produits
dérivés OTC 1998 – 2010
Figure 3.1: Courbe spot complète – 30 juin 2010
Figure 3.2: Courbe swap dérivée – 30 juin 2010
Figure 4.1: US Dollar 3M Libor vs 3M OIS rate
Figure 4.2: US Dollar Libor - OIS spreads
Figure 4.3: La fonction d'intensité comme une fonction constante par morceaux où
représente le plus grand intervalle [ ] qui ne contient pas .
Figure 5.1: Diagramme des étapes d’implémentation du modèle
Figure 6.1: Diagramme de dispersion – JP Morgan
Figure 6.2: Diagramme de dispersion – Bank of America
Figure 6.3: Diagramme de dispersion – Ally Financial
Figure 6.4: Comparaison entre les valeurs du spread de CVA pour IRS avec et sans WWR pour
différentes maturités et différents niveaux de risque
Figure 6.5: Évolution de la corrélation instantanée et absolue par rapport aux temps pour
différents scénarios de risque
Figure C.2: Courbes des facteurs d’escompte OIS et Libor à partir des données du marché – 30
juin 2010
viii
Nomenclature
Ajustement d'Évaluation de Crédit (Credit Valuation Adjustment – CVA)
C'est la différence entre le prix d’un produit dérivé (ou un portefeuille) et le prix qu'il aurait si la
contrepartie ne risque pas de faire défaut. En d’autres termes, c’est le prix marchand du risque de
contrepartie.
Overnight Index Swap (OIS)
Un OIS est un swap de taux d'intérêt fixe contre variable avec la jambe flottante liée à un indice
publié d'un taux de référence quotidien du jour ou lendemain (overnight), soit le taux des fonds
fédéraux sur le marché américain et l’EONIA (Euro OverNight Index Average) sur le marché
Euro.
Risque de Crédit de Contrepartie
Le risque de crédit de contrepartie est le risque de perte en raison du non-respect d'une
contrepartie spécifique de ses obligations contractuelles relatives à un accord financier, avant
l'expiration de cet accord.
Wrong-Way Risk (WWR)
Le wrong-way risk se pose lorsqu’il y a une corrélation significative défavorable entre la valeur
d'un contrat d’un produit dérivé et la probabilité de défaut d'une contrepartie.
1
Chapitre 1
Introduction
Le marché de gré-à-gré (OTC) des dérivés de taux d'intérêt a connu une
croissance phénoménale au cours des dernières décennies (le montant notionnel total a
passé de moins de 40$ trillions en 1998 à plus de 400$ trillions en 2008). Les entreprises
et institutions financières utilisent fréquemment des dérivés de taux d'intérêt aux fins de
la gestion d’exposition de risque des taux d'intérêt et le marché s’est élargi pour contenir
plusieurs instruments et échéances. L'instrument le plus largement utilisé qui représente
la majorité du marché des dérivés de taux d'intérêt, et qui est l'objet de cet essai, est le
swap de taux d'intérêt vanille.
L’évaluation des swaps de taux d'intérêt a été longtemps considérée comme simple et les
chercheurs étaient d'accord sur l'approche à utiliser. Cependant, en 2007, avec le début de
la crise financière, l'état du marché a radicalement changé et la procédure d’évaluation
élémentaire utilisée par les praticiens est devenue peu fiable et obsolète. En effet, la crise
financière a affecté l'économie mondiale sérieusement et conduit à des problèmes de
liquidité et de crédit pour les institutions financières et les entreprises à travers le monde.
Les taux du marché qui ont été étroitement liés avant la crise sont devenus incompatibles
et affichent différentes liquidités et primes de crédit (Mercurio, 2009). Ces problèmes de
crédit et de liquidité semblent avoir des impacts considérables sur les prix des produits
financiers, et depuis la crise de 2007-2009, l'un des principaux intérêts des praticiens est
d'essayer de surmonter ces problèmes.
2
D’une part, les spreads de base, c'est à dire la différence entre les taux du marché
avec des sous-jacents de différentes échéances, observés sur les marchés de taux d'intérêt
après le début de la crise financière en 2007 ont indiqué que le cadre d’évaluation
traditionnel devait être revu. Pour être en mesure d’évaluer correctement les swaps de
taux d'intérêt, il est devenu nécessaire d'intégrer les risques de crédit et de liquidité des
différents ténors, à savoir les échéances, et par conséquent, l’évaluation des swaps est
devenue beaucoup plus complexe au cours des dernières années. Il n'est plus suffisant
d'utiliser seulement une seule courbe à terme pour déterminer les taux à terme de
différentes échéances, à la place, on aura besoin de plusieurs courbes. En outre, on aura
également besoin d’une pratique d’escompte différente puisque la courbe d'actualisation
avant la crise n'est plus le meilleur proxy du taux sans risque.
D’autre part, La présence du risque de crédit de la contrepartie dans le commerce
des instruments financiers a attiré l'attention depuis le début de la crise du crédit. Avant la
crise, un grand nombre de prêts, hypothèques et obligations de sociétés ayant une
mauvaise cote de crédit ont été émises ce qui a créé une demande des assurances de crédit
qui ont été émises par ce qu'on appelle des accords de swap sur défaillance de crédit
(aussi appelés contrats CDS). À la fin de 2008, AIG qui était la plus grande compagnie
d'assurance aux États-Unis était au bord de la faillite et le blâme a été mis sur son vaste
portefeuille de contrats de CDS. Cela a mis en évidence qu’un grand élément du risque de
crédit n'a pas été pris en compte, dans cette situation le risque de défaut de contrepartie.
Le cadre de gestion du risque de crédit de la contrepartie dépasse l’ajout d’une certaine
prime supplémentaire sur les taux d’intérêt et les prix des instruments financiers. Il
affecte également la collatéralisation et le processus de prise de décision d'une banque. Il
est présenté à la fois dans les accords de Bâle II et Bâle III qui sont les règlements sur la
façon dont une banque doit mener ses activités d'une manière sûre et saine.
Ceci a amené les grandes banques à réviser leur approche de valorisation et de gestion du
risque de crédit de la contrepartie. Au fil du temps, ils ont convergé vers des méthodes et
des procédés généralement cohérents. Le concept du credit valuation adjustment (CVA)
est maintenant largement accepté et régulièrement calculé sur les marchés. Les
transactions de gré à gré qui contiennent un risque de contrepartie signée par toutes les
grandes institutions ont désormais une composante de CVA dans le cadre de l'évaluation.
3
Aujourd'hui, un nouveau cadre de modélisation des taux d'intérêt est en pleine
évolution fondé sur l'actualisation OIS (hull et white; 2013) et l’intégration de
l’ajustement d'évaluation de crédit (CVA) (Brigo et Pallavicini; 2007). L’évaluation d'un
simple swap de taux d'intérêt prend désormais en compte la différence entre les taux
projetés tels que l'Euribor et le Libor, qui incluent le risque de crédit, et les taux
appropriés pour l'actualisation des flux de trésorerie, qui sont sans risque ou basé sur le
coût de financement des risques. Cette approche est appelée courbe dual ou actualisation
OIS et force une re-dérivation de l'évaluation des produits dérivés à partir des premiers
principes. En outre, le risque de crédit de contrepartie dans les transactions OTC est
mesuré en tant que CVA, qui prend en compte la probabilité du défaut de contrepartie,
ainsi que les expositions prévues, la volatilité de ces expositions prévus et le wrong-way
risk (WWR) (Ruiz et al.; 2013). Dans cet essai, nous reprenons donc les travaux de Brigo
et Pallavicini (2007) pour l’évaluation du CVA dans les contrats IRS et Ruiz et al. (2013)
pour l’introduction du risque « wrong-way » dans l’évaluation du CVA et nous proposons
un nouveau cadre d’évaluation qui intègre l’actualisation OIS dans la valorisation du
risque de crédit de contrepartie.
Ainsi, les principaux objectifs de cet essai sont de décrire l’évolution de la
modélisation des IRS en faisant ressortir comment la crise financière a affecté la
procédure d’évaluation et d’introduire une nouvelle approche d’évaluation des IRS qui
intègre l’actualisation OIS et le risque de défaut de la contrepartie dans le même cadre de
travail.
Plus spécifiquement, nous décrivons dans un premier lieu la procédure
traditionnelle d’évaluation des IRS utilisée avant la crise et nous présentons dans un
second lieu un nouveau modèle pour évaluer un seul contrat IRS où le taux OIS,
considéré comme le taux sans risque, est utilisé pour actualiser les cash-flows et où une
composante CVA est ajoutée pour calculer le risque de crédit de la contrepartie.
Le reste de cet essai est organisé de la manière suivante. Le chapitre 2 présente
une description brève du concept de swaps de taux d'intérêt et le développement du
marché des IRS et son importance pour l'industrie financière. Dans un marché sans cesse
4
croissant de swap de taux d'intérêt, les sociétés, les banques et autres institutions
financières sont fortement dépendantes d'un cadre d’évaluation approprié. Le chapitre 3
décrit le cadre d’évaluation des IRS avant la crise. Ce chapitre se concentrera sur la façon
d'amorcer la courbe spot à l'aide de différents instruments financiers ainsi que l'analyse de
différentes techniques d'interpolation utilisées pour déterminer une courbe lisse et
continue. Le Chapitre 4 porte sur le défi principal de l’essai, à savoir présenter un cadre
de modélisation pratique pour l’évaluation des swaps de taux d'intérêt à la suite de la
crise financière. Réexaminant les méthodes de construction des courbes dans le chapitre
3, le taux OIS est utilisé à la place du Libor pour la construction de la courbe d’escompte.
La fin de ce chapitre présente un modèle d'évaluation d'un swap de taux d'intérêt qui est
ajusté pour tenir compte du risque de crédit de la contrepartie par l’ajout d’une
composante CVA. Le chapitre 5 décrit brièvement les techniques de discrétisation et de
Monte Carlo ainsi que les données utilisées pour l’implémentation numérique des
modèles et pour la construction des courbes. Le chapitre 6 couvre la partie numérique de
l’essai dans lequel nous commentons et analysons les résultats obtenus des différents tests. Le
chapitre 7 conclut l’essai.
5
Chapitre 2
Présentation des Swaps de taux
d’intérêt
Dans ce chapitre, nous décrivons brièvement les swaps de taux d'intérêt et
l'évolution du marché des swaps de taux d'intérêt (IRS). Tout d'abord, dans la section 2.1,
nous expliquons le concept des IRS et la façon dont ces contrats sont conçus. Puis, dans
la section 2.2, nous décrivons la hausse du marché des IRS et comment il s'est développé
au fil du temps.
2.1 Description des Swaps de taux d’intérêt :
Un swap de taux d'intérêt vanille (IRS), aussi appelé fixed-for-floating IRS, est un
contrat de swap basic entre deux contreparties, dans lequel les paiements d'intérêts
périodiques, fixes et flottants, sur un certain montant nominal sont échangés. L'acheteur
du swap est la partie qui paie le taux fixe et reçoit le taux flottant (payeur taux fixe) et le
vendeur du swap est la partie qui paie le taux flottant et reçoit le taux fixe (récepteur taux
fixe). Dans un IRS, contrairement à une obligation, il n'y a pas d'échange du montant
nominal, et les contreparties échangent seulement les différentiels d'intérêt, c'est à dire la
différence entre les taux fixes et flottants. Le taux fixe, payé par l'acheteur du swap, est
déterminé lors de l’initiation du contrat de swap de sorte que les flux de trésorerie
6
actualisés attendus soient égaux pour le payeur et le récepteur. Le taux fixe reste constant
jusqu'à l'échéance du swap, alors que le taux flottant, versé par le vendeur du swap, est
rajusté périodiquement et basé sur un taux d'intérêt de référence comme le Libor ou
Euribor.
Le flux de trésorerie dans un swap de taux d'intérêt est constitué de deux jambes,
la jambe fixe, qui est le courant des flux généré par le payeur, et la jambe flottante, qui est
le courant des flux généré par le récepteur. Lorsque deux parties concluent un accord de
swap, ils conviennent d'échanger des paiements futurs de taux d'intérêt sans prendre de
paiements initiaux. Par conséquent, le contrat de swap est conçu de telle sorte que,
initialement, la valeur actuelle de la jambe flottante est égale à la valeur actuelle de la
jambe fixe. L'actualisation de la série des flux de trésorerie futurs pour chaque jambe est
l’étape principale lors de l’évaluation des swaps de taux d'intérêt (ou tout autre
instrument à revenu fixe), car le prix d'un IRS est la somme de tous les flux de trésorerie
actualisés.
Figure 2.1: Un IRS vanille
2.2 Évolution du marché des IRS :
Le marché OTC des produits dérivés négociés a augmenté de façon significative
au cours de la dernière décennie en raison d'une demande plus forte pour des produits
personnalisés pour gérer les risques financiers. La figure 2.2 illustre clairement la forte
hausse de la classe d'actifs de produits dérivés du taux d'intérêt (IR) depuis 1998 et
jusqu’à 2008, soulignant son importance pour les marchés financiers. Fait intéressant, le
volume des transactions de swaps sur défaillance de crédit (CDS) a connu une forte
augmentation jusqu'à ce que la crise financière éclate alors que les autres classes d'actifs
sont plus ou moins restées à leurs niveaux respectifs.
Taux fixe
Taux flottant (Libor)
7
Figure 2.2: Montant notionnel total et sa répartition sur les différentes catégories des produits
dérivés OTC 1998 – 2010
Le tableau 2.1 présente le montant notionnel en cours de différentes classes
d'actifs au 30 juin 2010. Ici, pour un montant de 451,8 trillions dollar US, ce qui est
équivalent à 83% du marché de gré à gré de produits dérivés négociés, la classe d'actif
des dérivés de taux d’intérêt (IR) domine clairement les marchés de devises (FX), de
CDS, d'équité et des dérivés de matières premières.
Notionnel - Total
Classe d’actifs Trillion USD Eqv. en %
Taux d’intérêt 451.8 83.0
FX 53.1 9.8
CDS 30.3 5.6
Actions 6.3 1.1
Commodités 2.9 0.5
Total 544.4 100.0
Source: Bank for International Settlements, semi-annual OTC derivatives statistics
Tableau 2.1: Dérivés OTC par classe d'actifs – 30 Juin 2010
8
Une analyse intéressante est d'examiner quels produits dans la classe d'actifs des
dérivés IR contribuent principalement à l'augmentation significative de 1998 à 2010.
D'après le tableau 2.2, il est frappant de constater que les IRS représentent une partie
importante des dérivés IR négociés, soit 74% ce qui souligne clairement l'importance de
revoir le cadre d’évaluation de cet instrument. En outre, le tableau 2.2 montre que le
groupe des banques G14 (un groupe constitué par 14 des plus grandes banques au monde)
commerce une partie importante du montant global négocié, soit 20,1%.
Notionnel - Total Notionnel - G14 Produits Trillion USD Eqv. en % Trillion USD Eqv. Part de G14 en %
Cross Currency (CC) Swap 8.9 2.0 3.5 38.7 CC - Swap Exotique 0.8 0.2 0.2 24.1 IR - Cap/Floor 12.1 2.7 3.6 29.4 IR - FRA 53.9 12.0 29.8 55.3 IR - Inflation Swap 1.4 0.3 0.6 43.7 IR - Option 1.3 0.3 0.4 31.7 IR - Option Exotique 0.8 0.2 0.3 34.8 IR - Swap 332.2 74.0 35.0 10.5 IR - Swap Basis 10.7 2.4 4.8 44.9 IR - Swap Exotique 3.9 0.9 1.1 27.8 IR - Swaption 22.9 5.1 11.0 48.2 IR - non spécifié 0.3 0.1 0.1 43.2
Total 449.2 100.0 90.3 20.1 Source: TriOptima, Interest Rate Trade Repository Report
Tableau 2.2: Dérivés de taux d'intérêt par produit - 30 Juin 2010
Le tableau 2.3 se concentre uniquement sur la composition des contreparties
négociant des swaps de taux d'intérêt simples. Naturellement, une grande partie de ces
swaps sont négociés par les institutions financières, néanmoins les produits financiers
sont également pertinents pour les institutions non financières car ils représentent 9,2%
des swaps de taux d'intérêt négociés. C'est pourquoi les institutions financières et non-
financières doivent payer plus d'attention au cadre d’évaluation afin de gérer
adéquatement les risques de taux d'intérêt.
Notionnel - Total
Contrepartie Trillion USD Eqv. en %
Courtiers déclarants 79.7 22.9
Institutions financières 235.7 67.8
Institutions non financières 32.1 9.2
Total 346.5 100.0
Source: Bank for International Settlements, semi-annual OTC derivatives statistics
Tableau 2.3: Swaps de taux d'intérêt par contrepartie – 30 Juin 2010
9
En enquêtant sur le marché des dérivés de gré à gré négociés, il est clair que les
dérivés de taux d'intérêt représentent une grande partie de ce marché avec les swaps de
taux d'intérêt étant le produit le plus important. En outre, les participants du marché
primaire sont des institutions financières, néanmoins les institutions non financières sont
aussi engagées dans une certaine mesure. Par conséquent, un cadre d’évaluation correcte
sur le marché du swap est d'une grande importance en raison de sa taille et de la
possibilité pour les institutions financières et non financières de gérer les risques de taux
d'intérêt par le biais de cet instrument.
10
Chapitre 3
Cadre d’évaluation avant la crise
La pratique standard du marché d’avant crise a été la même depuis près de trois
décennies, depuis l'ouverture du marché du swap de taux d'intérêt au début des années
1980, et a été basée sur la construction d'une courbe spot unique pour calculer les taux à
terme et les facteurs d'actualisation.
Ametrano et Bianchetti (2009) résument le cadre traditionnel d’évaluation des
IRS dans les étapes suivantes:
1. Sélectionnez un ensemble fini des instruments vanilles de taux d'intérêt
à échéances croissantes.
2. Construire une courbe spot en utilisant les instruments sélectionnés et
la méthode de bootstrapping (une méthode pour la construction de la
courbe progressivement dans l'ordre croissant de maturité).
3. Calculer sur la même courbe, les taux à terme et les facteurs
d'actualisation et déterminer les prix en additionnant les flux de
trésorerie actualisés.
11
Dans ce chapitre, nous aborderons l'approche d’avant crise pour l’évaluation des
swaps de taux d'intérêt. Tout d'abord, à la section 3.1, nous examinons le cadre théorique
d’évaluation des swaps de taux d'intérêt en termes d'accords de taux futurs. Puis, à la
section 3.2, nous décrivons les méthodes pour la construction de la courbe spot.
Finalement, nous reportons les résultats trouvés à la section 3.3.
3.1 Le cadre théorique :
Dans cette section, le cadre théorique est examiné pour le cadre de la courbe
unique avec contreparties sans risque de défaut. Il existe plusieurs points de références
officiels pour les dépôts à terme interbancaires comme le Libor, Euribor, Cibor ou Tibor.
Le taux spot Libor, , est défini comme le taux de rendement de l'achat d'une unité
d'une obligation zéro coupon sans défaut à l'instant et de la vendre à l'échéance .
Ainsi, le taux spot Libor est en fait le taux d'actualisation:
(
) (3.1)
Où fait référence au taux d'escompte sans défaut et est la fraction du nombre de
jours pour l'intervalle [ ].
Ensuite, le taux forward Libor de à tenant au temps peut être estimé par
l'équation suivante:
(
) (3.2)
Où est la fraction du nombre de jour pour l'intervalle [ ]. En raison de la
relation entre les taux forward Libor et les facteurs d'actualisation dans l'équation (3.2), le
cadre de la courbe unique évite les opportunités d'arbitrage.
Un instrument qui est basé sur le taux forward Libor est le Forward Rate
12
Agreement (FRA). Prendre une position longue sur un FRA, le payoff à l'échéance
peut être déterminée par la différence entre le taux spot Libor et le taux fixe :
( ) (3.3)
Pour déterminer la valeur de la FRA à l'instant , l'équation suivante peut être
appliquée:
( [ ] ) (3.4)
Cela impose le défi de déterminer le taux forward Libor. Ici, [ ] désigne
l'opérateur d'espérance sous la mesure -froward . Au début, le taux fixe du FRA, ,
est déterminé de telle sorte que le contrat soit juste pour les deux parties:
[ ] (3.5)
Le choix d'une obligation zéro coupon avec échéance au moment comme
numéraire est particulièrement utile lorsqu'il s'agit de dérivés de taux d'intérêt. Il s'ensuit
que tout taux à terme composé simplement et couvrant un intervalle de temps, se
terminant en est une martingale sous la mesure -forward, c’est-à-dire
[ ] (3.6)
En appliquant cette relation, il s'ensuit que l'équation (3.2) peut être écrite comme
suit:
[
]
(
) (3.7)
Ainsi, les dérivés dépendants de taux d'intérêt futurs peuvent être évalués en
appliquant les taux à terme. Cette fonctionnalité simplifie essentiellement la procédure
d’évaluation des dérivés de taux d'intérêt. Maintenant, l’évaluation d'un FRA devient une
procédure simple. Simultanément, un swap de taux d'intérêt peut être évalué comme un
portefeuille de plusieurs FRA où les deux jambes du swap doivent aussi être égales à
l'initiation:
13
∑ ⏟
∑ [
] ⏟
(3.8)
Où est le taux nominal swap (coupon fixe) de l’IRS de longueur N à l'instant , et
sont les fractions du nombre de jours de la jambe fixe et flottante, respectivement.
Pour plus de simplicité, on suppose que les paiements de la jambe fixe et flottante se
produisent simultanément ( ). En insérant l'équation (3.7) dans l'équation (3.8), on
obtient:
∑
∑ (
(
))
∑ ( )
( ) (3.9)
La partie droite de l'équation ci-dessus peut être considérée comme une position
longue sur une obligation zéro-coupon de maturité et une position courte dans une
autre obligation zéro-coupon de maturité . Enfin, le taux nominal swap (coupon fixe)
peut être déterminé comme suit:
∑
(3.10)
3.2 Méthodes de construction de la courbe:
Rappelons que dans le cadre de la courbe unique, une seule courbe est utilisé à la
fois pour l'actualisation et les calculs futurs. Par une seule courbe, on entend que les
mêmes instruments sont utilisés pour calculer les trois courbes, la courbe d'actualisation,
la courbe spot et la courbe à terme. Puisque nous savons que toute courbe peut être
dérivée de l'autre, il n’est en fait pas nécessaire de préciser exactement quelle courbe est
désignée lorsque le terme « courbe unique » est utilisé. Dans la littérature, cependant, une
courbe unique se réfère souvent à la courbe spot, et donc nous adapterons ce point de vue.
14
3.2.1 Bootstrapping :
Construire la courbe spot, noté de façon équivalente la courbe zéro dans certaines
parties de la littérature, est effectuée par le bootstrapping des instruments les plus liquides
et dominantes de leurs horizons de temps respectifs (Ron, 2000). Les instruments d'entrée
devraient couvrir toutes les régions de la structure à terme. La courbe spot « bootstrapée »
sera construite pour le dollar américain, utilisant des données de marché à partir du 30
Juin 2010).
Le bootstrapping peut être divisé en trois segments; l’extrémité courte, la zone
centrale et l’extrémité longue de la courbe. Les instruments à inclure dans la construction
de la courbe spot dépendent du cadre utilisé, mais en général, les dépôts, les accords de
taux futurs (FRA), les contrats futures et les swaps sont inclus.
La partie courte de la courbe est basé sur les taux des dépôts à court terme ayant
une échéance jusqu'à trois mois. Les dépôts sont des contrats à zéro coupon négociés de
gré à gré qui commencent à la date de référence et paient le taux fixe du contrat, à savoir
le taux de dépôt, jusqu'à la maturité correspondante. Ici, le Libor est le benchmark
mondial principal pour les taux d'intérêt à court terme car il est largement utilisé comme
taux de référence pour de nombreux contrats de taux d'intérêt. Chaque jour, le British
Bankers’ Association (BBA) calcule les taux Libor basés sur des panneaux de grandes
banques qui soumettent leur coût d'emprunt non garantis des fonds pour diverses périodes
de temps et dans différentes devises. Par conséquent, l’utilisation des taux Libor comme
des instruments d'entrée pour la partie courte de la courbe spot reflète bien la liquidité sur
le marché monétaire. Le tableau 3.1 présente une cotation de Libor au 30 juin 2010 :
Instrument Date de début Date de fin Quote (%)
Libor ON 30 Jun 2010 1 Jul 2010 0.30563 Libor 1W 2 Jul 2010 9 Jul 2010 0.32875 Libor 2W 2 Jul 2010 16 Jul 2010 0.33875 Libor 1M 2 Jul 2010 2 Aou 2010 0.34844 Libor 2M 2 Jul 2010 2 Sep 2010 0.43188 Libor 3M 2 Jul 2010 4 Oct 2010 0.53394
Tableau 3.1: Dollar US taux de dépôt – 30 juin 2010
15
En dénotant le taux spot au temps avec maturité comme le taux à être
« bootstrapé » à partir des instruments du marché, il peut être déduit directement du taux
de dépôt Libor que:
(3.11)
La zone centrale de la courbe spot couvrant jusqu'à trois ans est construite en
utilisant des contrats FRA ou futures sur taux d'intérêt. Les contrats FRA sont des dépôts
futures qui portent sur un horizon de temps fixe de règlement et se règlent à l'échéance.
Cette caractéristique les rend préférables aux contrats futures qui ont des échéances fixes
et sont annotés sur le marché quotidiennement (Ron, 2000). En revanche, les contrats
futures sont généralement plus liquide que les FRA.
Dans cet essai, nous n'utilisons que des FRA. Néanmoins, nous aurions tout aussi
bien pu utiliser des contrats futures. Toutefois, si les contrats futures sont utilisés, les prix
cotés ne peuvent pas être appliqués directement mais doivent être ajustés pour la
convexité. Le tableau 3.2 présente une cotation de FRA au 30 juin 2010 :
Instrument Date de début Date de fin Quote (%)
FRA 1x4 2 Aou 2010 2 Nov 2010 0.5610
FRA 2x5 2 Sep 2010 2 Dec 2010 0.6170
FRA 3x6 4 Oct 2010 3 Jan 2011 0.7075
FRA 4x7 2 Nov 2010 2 Fev 2011 0.7300
FRA 5x8 2 Dec 2010 2 Mar 2011 0.7450
FRA 6x9 3 Jan 2010 4 Avr 2011 0.7650
FRA 7x10 2 Fev 2011 3 Mai 2011 0.7870
FRA 8x11 2 Mar 2011 2 Jun 2011 0.8170
FRA 9x12 4 Avr 2011 4 Jul 2011 0.8500
FRA 12x15 4 Jul 2011 3 Oct 2011 0.9570
FRA 12x18 4 Jul 2011 3 Jan 2012 1.2100
FRA 12x24 4 Jul 2011 2 Jul 2012 1.4950
Tableau 3.2: Dollar US FRAs – 30 juin 2010
Suite à cela, l'équation 3.12 peut être appliqué pour transformer les taux à terme
en taux spot . désigne le taux à terme basés sur un FRA commençant à
et venant à échéance à . Connaissant et , nous déterminons
par bootstrapping.
16
[(
)
( )
]
(3.12)
La partie longue de la courbe spot, soit à partir de trois ans, est déterminée à partir
des taux de swap observés. Le tableau 3.3 présente une cotation des swaps au 30 juin
2010. Les swaps appliquées dans la procédure de bootstrapping ont le taux 3M US Dollar
Libor comme sous-jacent. Pour de très longues échéances, seuls les swaps les plus
liquides sont utilisés, qui sont typiquement des swaps ayant des échéances de 12, 15, 20,
25, et 30 ans. Ron (2000) dérive la longue extrémité des taux spot continûment composés
à partir des taux swap observés en utilisant l'équation 3.13 qui découle directement de
l’équation 3.10 et le fait que
:
[
∑
] (3.13)
Instrument Date de début Date de fin Quote (%)
Swap 1Y 2 Jul 2010 4 Jul 2011 0.710
Swap 2Y 2 Jul 2010 2 Jul 2012 0.951
Swap 3Y 2 Jul 2010 2 Jul 2013 1.305
Swap 4Y 2 Jul 2010 2 Jul 2014 1.686
Swap 5Y 2 Jul 2010 2 Jul 2015 2.036
Swap 6Y 2 Jul 2010 4 Jul 2016 2.330
Swap 7Y 2 Jul 2010 3 Jul 2017 2.553
Swap 8Y 2 Jul 2010 2 Jul 2018 2.732
Swap 9Y 2 Jul 2010 2 Jul 2019 2.880
Swap 10Y 2 Jul 2010 2 Jul 2020 3.007
Swap 12Y 2 Jul 2010 4 Jul 2022 3.215
Swap 15Y 2 Jul 2010 2 Jul 2025 3.423
Swap 20Y 2 Jul 2010 2 Jul 2030 3.588
Swap 25Y 2 Jul 2010 2 Jul 2035 3.661
Swap 30Y 2 Jul 2010 2 Jul 2040 3.701
Tableau 3.3: Dollar US taux swap – 30 juin 2010
Toutefois, les taux de swaps ne sont disponibles que pour certaines échéances comme on
peut le constater dans le tableau 3.3. Ce manque de liquidité réduit l'ensemble des
informations ce qui peut conduire à des facteurs d'actualisation incompatibles. Une
alternative pour atténuer ce problème est l’utilisation des méthodes d’interpolation.
17
3.2.2 Interpolation :
Une fois que les taux spot sont « bootstrapés » à partir des données du marché,
l’interpolation, à savoir les méthodes pour construire les observations entre deux points
connus dans le temps, est utilisée pour obtenir une courbe continue avec des citations
pour toutes les échéances . Il existe plusieurs techniques d'interpolation qui peuvent être
utilisées dans l'estimation de la courbe spot. Les méthodes les plus courantes sont basées
sur des splines polynomiales (Andersen, 2007). Certaines des méthodes disponibles sont
abordées ici.
Une méthode d'interpolation "rapide et sale" est l'interpolation linéaire où une
courbe spot complète est construite en utilisant des lignes droites pour relier les points de
données observées sur le marché. Il s'agit d'un procédé d'interpolation qui est simple à
mettre en œuvre et qui peut être définie sous forme clos. Malgré sa simplicité, il y a de
sérieuses lacunes qui ne peuvent pas être négligés, comme sa tendance à générer des
replis lorsque la pente de la courbe des taux change (Ron, 2000). Une approche
d'interpolation plus sophistiquée est l’interpolation spline cubique par morceaux.
L'utilisation de cette méthode pour l'estimation des courbes spot est devenu très populaire
parmi les institutions financières, principalement en raison du fait que la première et
deuxième dérivées sont continues dans tous les segments polynomiaux et la courbe
respecte donc une contrainte de lissage (Wolberg, 1999).
La méthode d'interpolation utilisée dans cet essai est l’interpolation spline cubique
par morceaux (décrite à l’annexe B). Une fois nous avons obtenu la courbe spot et la
courbe des facteurs d’escompte, les taux à terme instantanés sont déterminés en prenant
la dérivée des facteurs d'actualisation par rapport au temps. Les courbes dérivées peuvent
maintenant être utilisées pour l’évaluation des swaps de taux d'intérêt en suivant le cadre
théorique de la section 3.2.1.
18
3.3 Résultats :
L'interpolation entre les taux de la courbe spot « bootstrappée » à la section 3.2.1
en appliquant la spline cubique et les données des tableaux 3.1, 3.2 et 3.3 donne la courbe
spot complète représentée par la figure 3.1.
Figure 3.1: Courbe spot complète – 30 juin 2010
À partir de la courbe spot, nous dérivons les facteurs d’escompte. Enfin, la courbe
swap peut maintenant être dérivée à partir de l'équation 3.10. La courbe swap en date du
30 Juin 2010 est illustrée à la figure 3.2.
Figure 3.2: Courbe swap dérivée – 30 juin 2010
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Echéance en années
Tau
x s
po
t en
%
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Echéance en années
Tau
x s
wap
en
%
19
Chapitre 4
Cadre d’évaluation après la crise :
-Le Modèle-
Pendant la crise, les spreads de base qui se sont élargis soudainement entre les
taux du marché ainsi que les pertes qui ont subi plusieurs institutions financières, telles
que AIG, à cause de l’ignorance du risque de contrepartie ont mis en œuvre les limites de
l’approche traditionnelle d’avant crise décrite dans le chapitre 3; d’où la nécessité d’une
nouvelle approche qui fait l’objet de ce chapitre dans lequel nous abordons l'approche
post-crise pour l’évaluation des swaps de taux d'intérêt. Plus précisément, à la section 4.1,
nous décrivons l'importance de la courbe d'actualisation utilisant le taux OIS. Puis, à la
section 4.2, nous introduisons le risque de crédit de contrepartie et nous estimons la
valeur des accords IRS en présence du risque de contrepartie par l'ajout d'un ajustement
de valeur de crédit (CVA).
4.1 Escompte OIS:
Un OIS est un swap de taux d'intérêt fixe contre variable avec la jambe flottante
liée à un indice publié d'un taux de référence quotidien du jour ou lendemain (overnight),
soit le taux des fonds fédéraux sur le marché américain et l’EONIA sur le marché Euro.
20
Comme le taux OIS peut être considéré comme un prêt pour une très courte période de
temps, il est généralement associé à une liquidité ou risque de crédit presque négligeable
(Morini, 2009, p.10). En outre, le taux OIS donne généralement une indication des
attentes du marché à l’égard des opérations de prêts futures sur la durée du swap. D’une
manière opposée, la fixation du Libor est destiné à capturer les taux payés sur les dépôts
interbancaires non garantis dans les grandes banques internationales (Michaud et Upper,
2008, p.48). Les cotations Libor devraient donner une indication de la valeur typique du
risque de défaut ou de liquidité contenue par les acteurs dans le monde Libor. Par
conséquent, l'écart entre l'OIS et le taux Libor US peut être considéré comme un
indicateur des risques de crédit et de liquidité qui peuvent avoir une incidence sur les
contreparties lorsqu'elles prêtent pour des périodes plus longues qu'une journée. Avant
août 2007, les taux d'intérêt cotés sur le marché étaient compatibles avec ce qui est connu
dans les manuels standard. Les taux Libor et OIS se poursuivaient étroitement à part un
très petit spread de base. Cependant, une série d'événements avait déclenché une détresse
dans les marchés financiers. La crise de liquidité a élargi les bases, de sorte que les taux
du marché, qui étaient auparavant en accord entre eux, ont révélé soudainement un degré
d'incompatibilité qui s'est aggravée au fil du temps (Mercurio, 2009, p.2). L’écart entre
les taux Libor et OIS a augmenté au point qu’il n'est plus négligeable.
La relation entre le Libor 3M (3 mois) dollar US et le taux OIS 3M est illustrée à la figure
4.1.
Source: Bloomberg
Figure 4.1: US dollar 3M Libor vs 3M OIS rate
Libor 3M OIS 3M 0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
Tau
x en
%
01/2
005
06/
2005
10/2
005
03
/20
06
08/
2006
12/2
006
05/
2007
09
/200
7
02/2
008
07/2
008
11/2
008
04
/20
09
08/2
009
01/2
010
06/2
010
21
De toute évidence, les taux se suivaient de très près avant que la crise financière
n’émerge.
La figure 4.2 illustre le US Dollar Libor-OIS spread pas seulement pour les taux
de 3M, mais aussi pour les taux 1M et 6M.
Source: Bloomberg
Figure 4.2: US Dollar Libor - OIS spreads
Ici, les écarts pour les différents ténors ont été à des niveaux constants à environ
10 points de base jusqu'en août 2007. À partir de ce point, les pertes liées aux prêts
hypothécaires sub-primes aux États-Unis ont commencé à émerger. Visiblement, les
écarts atteignent leur maximum dans les premiers stades de Septembre 2008, juste après
que le gouvernement des États-Unis ait saisi Fannie Mae et Freddie Mac et quand
Lehman Brothers a annoncé une perte de 4 milliards de dollars menant éventuellement à
leur effondrement. De toute évidence, la signification des spreads est plus grande pour
des ténors plus longs. Ce n'est qu’au début de l'année 2010 que les spreads reviennent à
des niveaux plus normaux.
Compte tenu que le spread Libor-OIS était presque négligeable avant la crise
financière, il a été jugé raisonnable d'appliquer l’un des deux taux comme taux sans
risque. Les augmentations significatives du spread Libor-OIS à partir d'août 2007 ont
1M 3M 6M
0
100
200
300
400
Spre
ad e
n b
ps
01/2
005
06/2
005
10/2
005
03/2
006
08/2
006
12/2
006
05/2
007
09/2
007
02/2
008
07/2
008
11/2
008
04/2
009
08/2
009
01/2
010
06
/20
10
22
conduit à choisir l'OIS étant une mesure plus appropriée pour le taux sans risque. Il est
donc devenu populaire parmi les praticiens à construire une structure à terme sans risque
sur la base de l'OIS à la place du taux Libor (Morini, 2009, p.10).
Les marchés OIS sont devenus de plus en plus liquides au cours des dernières
années et leurs échéances ont été étendues. Ils sont maintenant disponibles jusqu’à 30 ans
permettant de construire une courbe sans risque complète.
Dans cet essai, nous construisons la courbe d'actualisation OIS en amorçant les
facteurs d'actualisation à partir des swaps des taux des fonds fédéraux avec des échéances
allant d'une nuit à 30 ans. La courbe complète est alors trouvée par interpolation entre les
points utilisant le même schéma d'interpolation que dans le chapitre 3 (section 3.2.2).
À partir de cette courbe d'escompte, nous pouvons calculer les facteurs
d'actualisation sans risque pour le cadre multi-courbes en appliquant l’équation 3.10
où le swap utilisé est l’OIS :
∑
(4.1)
Où est le taux OIS au temps avec maturité et représente la fraction d’année
entre et .
Le cadre multi-courbes nécessite également un deuxième facteur d'actualisation, qui est
lié à la courbe forward. Contrairement au facteur d’escompte OIS, , ce second
facteur d'actualisation utilise toujours le taux Libor comme le taux sans risque et les
équations 3.1 et 3.7 pour le facteur d’escompte et le taux FRA du cadre théorique dans le
chapitre 3 restent inchangées.
Étant donnée deux vecteurs de temps croissants et , où
, le taux de swap fixe est donné par l’équation 4.2 qui est
une généralisation de l’équation 3.10 (en changeant le facteur d’actualisation par ).
∑
∑
(4.2)
23
4.2 Modélisation du risque de contrepartie dans le
cas des IRS :
L’accord Bâle II définit le risque de crédit de contrepartie comme le risque où la
contrepartie à une transaction fasse défaut avant le règlement définitif de la transaction.
Si la partie qui fait défaut est un débiteur à l'autre partie de la transaction au moment de
défaut, alors il en résulterait une perte économique pour la partie qui ne fait pas défaut.
Les situations où le défaut d’une seule des deux parties est pris en compte, sont référées
au risque de contrepartie unilatéral. Dans ce cas, seul le défaut d'une partie a un impact
sur l’évaluation. L'ajustement résultant du prix de la transaction autrement sans défaut,
calculée par la partie dont le défaut n'est pas considéré, est appelé ajustement d'évaluation
de crédit unilatéral («unilateral credit valuation adjustment » UCVA). Le CVA unilatéral
a été considéré par exemple dans Sorensen et Bollier (1994), Bielecki et Rutkowski
(2001), et Brigo et Masetti (2005), entre autres. Dans l'élaboration du calcul général pour
le CVA unilatéral, nous constatons que le prix d'un contrat financier avec risque de
contrepartie est le prix du contrat sans risque de défaut, plus un portefeuille d'options.
Dans l’évaluation du risque de crédit, l'hypothèse que le dérivé sous-jacent et le
risque de crédit de la contrepartie sont indépendants est souvent faite pour simplifier les
calculs (Brigo et Masetti (2005), Sorensen et Bollier (1994),…). Cela peut conduire à
l’erreur quand il existe une relation étroite entre le comportement des deux et qu’ils sont
fortement corrélés, ou quand leurs comportements changent d'une manière très volatile.
Ce phénomène est appelé "Wrong-Way Risk" (noté WWR pour la suite) lorsque le risque
de défaut d'une contrepartie et la valeur du sous-jacent du contrat augmentent ensemble
(Pykhtin et Zhu 2007), c’est-à-dire il existe une corrélation positive entre les deux. Ceci
est risqué dans la mauvaise direction parce que plus la valeur du sous-jacents augmente,
la contrepartie devient de plus en plus susceptible de faire défaut, et présente ainsi un
potentiel pour de très grandes pertes.
Dans le cas des produits de taux d'intérêt, la littérature antérieure traitant la
volatilité du sous-jacent et la corrélation entre le sous-jacent et le risque de défaut de la
24
contrepartie est présentée dans Brigo et Pallavicini (2007), qui abordent le cas des swaps
de taux d'intérêt vanilles et exotiques sous risque de contrepartie unilatéral. Ils proposent,
dans leur travail, un modèle d'intensité stochastique suivant Brigo et Alfonsi (2005) et qui
est en corrélation avec le processus multi-facteur à taux court déterminant la dynamique
des taux d'intérêt. Une autre partie de la littérature s’est focalisée sur la modélisation du
WWR dans le cadre de risque de crédit de la contrepartie en général, à savoir Hull et
White (2012), et Ruiz et al. (2013), entre autres. Ce dernier effectue une revue de
méthodologie de la littérature existante, et présente une critique des différents modèles
afin de choisir la méthodologie optimale en terme d’efficacité et de simplicité
d’implémentation, d’utilisation et de calibration. Le modèle proposé utilise une analyse
empirique de la structure de dépendance marché-crédit.
Dans notre cadre de travail, nous nous penchons sur le problème du point de vue
d'une contrepartie sans risque de défaut entrant dans un contrat d’un simple IRS avec une
autre contrepartie ayant une probabilité positive de défaut avant l'échéance finale. Nous
présentons dans un premier lieu le cas où il y a indépendance entre les taux d’intérêt et le
risque de défaut de la contrepartie. Nous proposons à ce propos un modèle d’intensité
simple pour le calcul des probabilités de défaut et nous nous référons à des résultats de
Brigo et Masetti (2005) pour le calcul du CVA unilatéral. Nous traitons ensuite le cas du
WWR en utilisant la méthodologie présentée dans Ruiz et al. (2013) pour la modélisation
de la corrélation afin de montrer l’importance de l’impact de cette corrélation sur le
niveau du CVA.
4.2.1 Formule générale d’évaluation du risque de contrepartie : CVA
unilatéral
La procédure générale pour évaluer un cash-flow en présence d'un risque de
défaut de la contrepartie consiste à ajouter un terme de prime qui représente ce type de
risque. Nous supposons que le risque de défaut de la contrepartie est unilatéral, c'est à
dire qu’une seule contrepartie peut faire défaut alors que l'autre est supposée être sans
risque.
25
Il peut être démontré que le payoff attendu d'une réclamation risquée est donnée
par la formule suivante (Brigo et Masetti; 2005) (preuve à l’annexe A.1):
[ ] [ ] [ ( )
]⏟
(4.3)
où - : payoff escompté d'une réclamation générique risquée.
- : payoff escompté de la même réclamation mais sans risque de contrepartie.
- : Le taux de perte sachant l’évènement du défaut ( ).
- : L’instant du défaut de la contrepartie.
- : Un facteur d'actualisation stochastique à l’instant t avec maturité .
- avec [ ] est la valeur
actuelle nette du payoff résiduel jusqu’à l’échéance .
Il est clair que la valeur d'une réclamation risquée est la valeur de la réclamation
sans risque de défaut correspondante moins une option, en particulier une option d'achat
avec prix d’exercice zéro sur la NPV résiduelle donnant contribution non nulle
uniquement dans des scénarios où . Le risque de contrepartie ajoute donc un niveau
d'optionalité au payoff original.
La formule précédente peut être approchée en prenant et pour une
discrétisation de temps comme suit (Brigo et Pallavicini; 2007)
[ ] [ ] ∑ [ { } [ ] ]
Nous supposant que est constant et nous faisons l’hypothèse que le défaut se produit
au premier temps suivant . Nous obtiendrons donc :
[ ] [ ] ∑ [ { } ( ) (
[ ( )])
] (4.4)
26
À partir de l’équation (4.4), si nous supposons que et sont indépendants, nous
pouvons simplifier les termes de l’espérance à l’intérieur de la somme en produit de
probabilités de défaut fois les prix des options. De cette façon, nous n'aurions pas besoin
d'un modèle de défaut mais que des probabilités de survie et un modèle d’option pour le
marché sous-jacent de . Nous étudierons ce cas plus en détails dans la section 4.2.2.1.
Cela dit, dans le monde réel, une telle indépendance n’est pas toujours possible et nous
devons donc prendre en compte le cas où une corrélation non nulle entre et existe de
telle sorte que, en général, nous devons calculer le risque de contrepartie sans simplifier
les termes d’espérance. Pour se faire, nous avons besoin d'un modèle de défaut, qui doit
être en corrélation avec le marché des taux d'intérêt (dans le cas des IRS). La section
4.2.2.2 est consacrée à cela.
Le modèle décrit plus haut est un modèle général. Nous allons l’appliquer en
particulier sur un simple swap de taux d’intérêt.
4.2.2 Cadre d’évaluation des IRS en présence de risque de contrepartie :
Supposons que nous sommes une contrepartie "A" sans risque de défaut entrant
dans un swap récepteur avec une contrepartie "B" qui peut faire défaut, échangeant des
paiements flottants par des paiements fixes au temps . Le contrat nous oblige à
payer un taux flottant L et de recevoir un taux fixe K déterminé à l’instant , jusqu'au
temps de défaut de la contrepartie "B", τ , ou jusqu'à l'échéance si . Le taux swap
juste, K, à un instant t donné dans un marché sans défaut est celui qui rend la valeur du
swap nulle en t. Le taux swap forward qui rend le contrat juste est donné par l’équation
(3.10) du chapitre 3. Nous verrons dans le chapitre des résultats que nous avons choisi
d’utiliser un swap récepteur pour se trouver dans le cas du risque « wrong-way » et pas le
cas contraire qui est bénéfique dans l’évaluation du CVA unilatéral et donc moins
important à étudier.
Bien sûr, si l'on considère la possibilité que la contrepartie «B» peut faire défaut,
le spread correcte à recevoir dans la jambe fixe est plus élevé, puisque nous attendons à
être récompensé pour palier ce risque de défaut (Brigo, Masetti 2005).
27
Dans cette partie, nous proposons un modèle qui nous permet d’analyser l'impact
du risque de contrepartie sur le taux juste du swap. Nous supposons dans un premier
temps que l’intensité de défaut et les taux d'intérêt sont indépendants, permettant
d’avoir un modèle plutôt simple comme nous allons le constater dans la section 4.2.2.1.
Puis, nous relâchons cette condition pour étudier l’effet du risque « wrong-way » et avoir
un modèle plus réaliste pour l’évaluation d’un IRS en présence du risque de contrepartie
(section 4.2.2.2).
4.2.2.1 Sans wrong way risk :
Modélisation de l’intensité de défaut :
Dans cette partie, nous étudions l'évaluation du risque de crédit au moyen des
modèles d'intensité.
L'intensité est définie comme une probabilité de défaut à l'intérieur d'une période
donnée de temps (infinitésimale) ∆t, c'est à dire par rapport à une filtration donnée et
un temps de défaut , compte tenu d'un processus stochastique , la probabilité de
défaut dans un intervalle de temps infinitésimal est
[ [ ]
Où [ est l’intensité de défaut.
Il convient de noter que cette intensité est un paramètre conditionnel, c'est à dire
qu'il est une mesure de la probabilité de défaut à l'instant t conditionnelle en aucun défaut
auparavant. Ainsi, est la probabilité de défaut entre le temps et
conditionnelle qu’aucun défaut est parvenu auparavant. Dans ce cadre, on peut montrer
que la probabilité de survie (le complément de la probabilité de défaillance) jusqu'à
l'instant est
[ ] [ ( ∫
)]
28
Une mise en œuvre très commune de est de le laisser suivre une fonction
constante par morceaux car elle est plus facile à calculer, informatiquement moins
intensive que les fonctions stochastiques et plus facile à monter correctement avec les
données du monde réel que par exemple les modèles CIR. L'utilisation d'intensités de
défaut constantes par morceaux est très commune dans le secteur financier lors de
calibration d'une distribution de probabilité de défaut à partir des cotations de marché des
spreads des CDS.
La meilleure façon de définir mathématiquement une fonction constante par
morceaux est de la formuler à l'aide de la fonction indicatrice de façon qu’on ait :
∑
{ }
∑ ( { } { }) (4.5)
Pour un ensemble de N intervalles de temps avec N valeurs d'intensité pour chaque
période de temps.
Dans le même contexte, soit le plus grand intervalle où [ ], c’est-à-
dire { [ } pour . La situation est illustrée à la figure 4.3.
Figure 4.3: La fonction d'intensité comme une fonction constante par morceaux où
représente le plus grand intervalle [ ] qui ne contient pas .
𝜆
𝜆2
𝜆3
𝜆𝑚
𝑇 𝑇2 𝑇3 𝑇𝑚 𝑇𝑚 𝑡 …
𝜆 𝑡
29
À partir de cela, nous avons la fonction de probabilité de survie,
[ ] [ ∑ ( ) ( )] (4.6)
qui est le résultat de l'intégration dans l'équation (4.5). L'utilisation d'un modèle
d’intensité constante par morceaux présente l'inconvénient évident d'être discontinu. En
utilisant à la place une intensité linéaire par morceaux s’est révélé à donner parfois des
résultats étranges lorsque l'on extrapole jusqu'à 20 ans (dans certains cas, donnant des
probabilités négatives) (Brigo et Pallavicini; 2007). Ce que nous pouvons observer à
partir des données du monde réel est les spreads de CDS sur les contrats CDS pour des
différentes maturités. Si nous supposons que le terme de la prime accumulé est ignoré et
qu’à un temps de défaut dans l’intervalle ] ], la perte est payée au temps ,
c’est-à-dire, à la fin de la période au lieu qu’immédiatement à , nous avons la formule
suivante pour calculer le spread de CDS étant donné la probabilité ci-dessus utilisant une
intensité constante par morceaux (Hull et White 2003) :
∑ ( )
∑
( )
Où est la récupération en cas de défaut, qui est un pourcentage de la perte qui peut être
récupéré si le défaut devait arriver, est un facteur d'actualisation et est la
fonction de distribution cumulée qui représente la probabilité de défaut qui est
[ ], c’est-à-dire [ ].
Nous pouvons estimer les paramètres d'intensité { }
en trouvant de manière
récursive les valeurs d'intensité qui donnent un spread de CDS, , qui correspond aux
données du monde réel, en commençant par le premier intervalle de temps, passant au
suivant et ainsi de suite. Cette façon d'estimer est appelé aussi bootstrapping.
30
Risque de contrepartie et évaluation d’IRS :
On note la valeur d'un swap de taux d'intérêt (payeur ou receveur) sans
risque en . En utilisant l’équation (4.1) du cadre général, on peut donc exprimer la valeur
d’un swap de taux d’intérêt risqué comme suit :
(4.7)
Où le terme d’ajustement est défini comme suit (Brigo et Masetti; 2005)
[ ( ) ]
∫ (
)
(4.8)
Où (
) représente le prix en t d'un swaption (payeur ou
récepteur selon le swap initial) avec maturité s, taux d’exercice , sous-jacent taux swap
forward , volatilité pour un sous-jacent swap avec maturité . La
volatilité est obtenue à partir de la matrice de volatilité des swaptions à la monnaie
observée sur le marché. Il faut noter qu’un swaption est une option négocié de gré à gré
sur un swap de taux d’intérêt. Donc, une explication simple de la dérivation de l’équation
4.6 est que ( )
n’est en fait qu’une option sur le cashflow d’un swap.
Si nous supposons que l'intensité et les flux de trésorerie sont indépendants, les
calculs deviennent simples. Nous pouvons simplifier davantage sans perte notable de
précision en supposant que les défauts ne se produisent qu’aux moments de paiement .
Dans ce cadre, nous pouvons soit supposer que le défaut survient avant le dernier
paiement (le payoff est alors dit être reportée) ou après le dernier paiement (Brigo et
Masetti (2005) l’appelle défaut prévu). Sous ces hypothèses, nous pouvons exprimer DP
pour le payoff reporté (P) et le défaut prévu (A) respectivement :
31
∑ ] ( )
∑ ( ) ( )
et
∑ ] ( )
∑ ( ) ( )
Ici, est la mesure de la probabilité conditionnelle risque-neutre des probabilités de
défaut de la contrepartie. Ces probabilités sont calculées à partir de la fonction d'intensité
constante par morceaux et les swaptions sont calculés en utilisant la formule de Black-
Scholes pour une option européenne avec le payoff du swap récepteur. Les taux
d’escompte utilisés sont dérivés à partir du taux OIS et les taux swaps sans risque sont
déterminés par le biais de la méthode décrite dans le chapitre 3.
4.2.2.2 Avec wrong way risk :
Il est possible que la qualité de crédit de la contrepartie soit co-dépendante avec le
niveau d'exposition. Cet effet est appelé wrong way risk si l'exposition a tendance à
augmenter lorsque la qualité de crédit de la contrepartie s'aggrave (ce qui est le cas pour
les IRS (Brigo et Pallavicini; 2007)). Dans cette partie, Nous proposerons un cadre de
modélisation qui permettra d’explorer cet effet et ses conséquences dans le calcul du
CVA dans le cas d’un simple IRS. Plusieurs modèles ont été proposés pour ces fins. Nous
utiliserons en particulier l’approche d’analyse empirique (Ruiz et al. 2013) pour son
32
optimalité en termes de validité du modèle (simplicité et capacité de représenter le monde
réel), facilité de calibration des données et d’utilisation dans les modèles existants.
Nous proposons un modèle qui est à la fois stochastique pour les taux d'intérêt et
l'intensité de défaut de la contrepartie. La stochasticité conjointe est nécessaire pour
introduire la corrélation. Le secteur de taux d'intérêt est modélisé selon un processus
gaussien bi-varié à taux court décalé (noté G2++), et le secteur d’intensité de défaut est
modélisé selon l’approche d’analyse empirique comme décrit dans Ruiz et al. (2013).
Modélisation de l’intensité de défaut :
Nous utilisons l’approche d’analyse empirique introduite par Ruiz et al. (2013)
comme indiqué plus haut pour modéliser l’intensité de défaut et sa dépendance avec le
taux d’intérêt. Dans ce modèle, la dépendance entre les facteurs du marché et
l’évènement de défaut est donnée par une forme fonctionnelle déterminée à partir des
données empiriques.
Nous suppose qu’il existe un facteur du marché tel que la probabilité de défaut
peut être exprimée sous la forme :
(4.11)
Où est un nombre aléatoire normalisé qui peut suivre n’importe quelle distribution et on
suppose que est constant.
Il faut noter que dans l’équation (4.11), nous utiliserons l’intensité de défaut à la
place de et le facteur de marché sera le taux d’intérêt dans le cas des IRS.
Il est difficile d’examiner des données historiques sur les évènements de défaut
puisque ils se produisent rarement ce qui rend difficile d’obtenir des données
statistiquement significatives. Pour obtenir des résultats pertinents, Ruiz utilise plutôt les
33
informations disponibles du marché sur les probabilités de défaut qui sont incorporées
dans les prix des CDS, qui sont négociés au quotidien. Il utilise en particulier une
approximation souvent utilisée pour l’intensité de défaut instantanée donnée par Hull et
White (2012) :
(4.12)
Où est le spread de crédit et est le taux espéré de recouvrement en cas de défaut.
L’objectif final est de trouver la meilleure fonction g dans l’équation (4.11). Pour
cela, nous testons quatre formes de fonctions : linéaire, exposant, exponentielle et
logarithme.
2 2
3 3
(4.13)
Les paramètres A et B sont estimés à l’aide de la méthode des moindres carrés de
la régression linéaire pour chaque fonction et la qualité de ces estimations est
comparée à l’aide de 2 et de la taille de résultants. Nous cherchons la fonction qui
donne le meilleur 2 avec le plus bas.
Pour résumer, nous utiliserons des données historiques du taux OIS (comme
meilleur proxy du taux d’intérêt sans risque ) pour trouver la meilleure fonction qui
répond à l’équation (3), ensuite sera simulé en utilisant
(4.14)
Modélisation du taux d’intérêt :
Dans Brigo et Pallavicini (2007), il est suggéré d'utiliser le modèle G2 ++ pour le
taux d'intérêt. Le processus G2 est un processus gaussien bi-varié. Le «++» signifie qu'il
34
est calibré par une fonction déterministe contre des observations sur le marché
qui sont dans ce cas la structure à terme des taux d'intérêt.
Le taux d’intérêt sous la mesure risque neutre est donné par ( ) :
(4.15)
Où les processus et , adaptés à la filtration , satisfont les équations différentielles
stochastiques :
2 (4.16)
Avec et 2 est un mouvement brownien bidimensionnel avec
corrélation instantanée 2 [ ].
sont des constantes positives qui, conjointement avec la corrélation 2
constituent l’ensemble des paramètres 2 .
La fonction est une fonction déterministe et bien définie sur l’intervalle
[ ] , et qui peut être réglée à une valeur calibrant automatiquement la courbe zéro
coupon initiale observée sur le marché où (Brigo et Mercurio; 2006), ou
dans notre cas la courbe OIS.
Supposons maintenant que la structure à terme des facteurs d'actualisation qui est
actuellement observée sur le marché, est donnée par la fonction suffisamment lisse
.
Si l'on désigne par le taux à terme instantané au temps 0 pour une maturité T
implicite par la structure à terme , à savoir,
35
Nous avons alors (livre Brigo et Mercurio (2006), p.146) que le modèle 4.15 correspond à la
structure à terme observée des facteurs d'actualisation si et seulement si, pour chaque T,
2
2 2
2 2 2
Corrélation implicite:
En reprenant l’équation (4.11), un changement dans l’intensité de défaut est
approximativement donnée par
(4.17)
La corrélation entre une variation de l’intensité de défaut et une variation du
facteur déterminant est donnée par
(4.18)
Où est la covariance entre et , et et sont l’écart type de et
respectivement.
En utilisant les équations (4.17) et (4.18), nous pouvons voir que
√
√
√
(4.19)
36
Chapitre 5
Méthodologie
Nous avons vu dans le chapitre précèdent que, contrairement au cas où il y a
indépendance entre la qualité de crédit de la contrepartie et le niveau d’exposition, il
n’existe pas une façon simple (une formule close) pour évaluer le CVA unilatéral pour un
simple IRS lorsque le taux d’intérêt et la probabilité de défaut de la contrepartie sont
corrélés. Pour se faire, nous avons eu recourt à un modèle qui met en œuvre cette
corrélation, dont nous avons fait la description dans la section 4.2.2.2. Dans ce chapitre,
nous abordons en détail les étapes d’implémentation de notre modèle ainsi que les
méthodes utilisés afin de calculer le CVA unilatéral pour IRS avec présence de « wrong
way risk ». Rappelons que l'évaluation de CVA nécessite le calcul de la valeur attendue
du coût de remplacement de l’IRS en cas de défaut de la contrepartie, comme le montre le
terme CVA de l'équation (4.3).
La méthode employée pour y parvenir est de déterminer les temps de défaut
pertinents de la contrepartie (dates d’échange de payement dans le cas d’IRS) et d'obtenir
les probabilités de survie de la contrepartie à ces moments. À l’aide d’une simulation
Monte Carlo, l’IRS peut être réévalué à ces points, en utilisant les probabilités de survie
calculés, et le coût de remplacement déterminé (équation 4.4).
Les étapes fondamentales de l’implémentation du modèle sont présentées dans le
diagramme de la figure 5.1. La première étape consiste à déterminer les paramètres du
37
modèle du taux d’intérêt qui permettent de calibrer le modèle contre la structure à terme
du taux d’intérêt observée sur le marché. En utilisant les paramètres obtenus par le biais
de cette procédure de calibration, le processus du taux d’intérêt est ensuite simulé dans le
temps jusqu'à l'échéance de l’IRS sous-jacent. Pour chaque scénario, nous calculons les
facteurs d’escompte correspondants. Une fois le taux d’intérêt simulé, l’étape suivante
consiste à générer les intensités de défaut par le biais de la fonction g(r) qui calibre ces
intensités au marché des CDS en suivant l’approche décrit dans la section 4.2.2.2 du
chapitre précèdent. Nous aurons aussi besoin de simuler les événements de défaut pour
chaque scénario pour calculer le terme en espérance conditionnelle dans l’équation 4.4
qui est la troisième étape d’implémentation. L’idée générale de la méthode est de bien
exprimer la dépendance entre le défaut de la contrepartie et le niveau d’exposition du
portefeuille aux temps à l’aide d’une régression moindres carrés de l’exposition sur les
valeurs des processus simulés x et y, calculés pour les scénarios où un défaut de la
contrepartie se produit à l’instant . Finalement, nous déduisons la valeur du CVA en
appliquant la formule 4.4. l’espérance dans l’équation est approchée par la moyenne du
terme à l’intérieur de l’espérance sur tous les scénarios pour chaque .
Dans la suite, nous décrirons plus en détails les quatre étapes de l’implémentation
du modèle.
5.1 Simulation des taux d’intérêt :
Calibration du modèle G2++ :
La calibration du modèle consiste à trouver l’ensemble des paramètres
2 qui permettent d’ajuster le modèle aux données du marché à la
date d’évaluation. À partir de la courbe zéro et la matrice de volatilité des swaptions
observées à cette date, nous calculons les prix des swaptions correspondants en utilisant
le modèle de Black (1976, voir annexe A.2). Ces prix sont ensuite utilisés pour comparer
38
Figure 5.1: Diagramme des étapes d’implémentation du modèle
1. Simulation des taux
d’intérêt
-Calibration du modèle à partir des données
du marché : déterminer les paramètres du
modèle G2++.
-Simulation des processus x et y pour M
trajectoires et N pas de temps : déterminer
la courbe zéro et en déduire les facteurs
d’escompte pour chaque trajectoire.
2. Simulation des
évènements de défaut
-Calibration aux données historiques des
CDS : déterminer la fonction g(r).
-Calculer les intensités de défaut à partir
des IR simulés.
-Intégrer les intensités de défaut (Λ 𝑇𝑗 ).
-Simuler une variable aléatoire
exponentielle 𝜉 à partir d’une variable
uniforme U.
-Déterminer les évènements de défaut
en comparant Λ et 𝜉.
3. Calcul des espérances
futures 𝔼𝑇𝑗[Π(𝑇𝑗 𝑇)]
-Approcher l’espérance conditionnelle à un
défaut au temps 𝑇𝑗 par une série
polynomiale en x et y.
+Les coefficients sont calculés par
l’intermédiaire d’une régression des
moindres carrés à l’aide de l’algorithme de
Longstaff et Schwarz (2001) pour évaluer
des options bermudiennes.
+Les données à régresser sont
sélectionnées à partir des évènements de
défaut simulés de telle sorte que 𝑇𝑗 soit le
premier temps de défaut pour les scénarios
choisis.
4. Évaluation du CVA
Calculer le terme du CVA dans la
formule 4.4 en moyennant sur tous les
scénarios simulés.
39
les valeurs prédites par le modèle G2++ qui sont obtenus à partir du processus de
calibration. La fonction swaptionbylg2f de Matlab est utilisée pour calculer les valeurs
analytiques du prix des swaptions pour les paramètres du modèle et par conséquent peut
être utilisée pour calibrer le modèle. La calibration consiste à minimiser la différence
entre les prix observés sur le marché (calculés à l’aide du modèle de Black) et les prix
prévus par le modèle. La fonction d’optimisation par moindres carrés non linéaires
lsqnonlin de Matlab est utilisée pour ce propos, en proposant des valeurs et des
contraintes de départ pour .
Simulation des scénarios :
Une fois les paramètres du modèle obtenus, nous pouvons maintenant simuler les
scénarios pour la structure à termes du taux d’intérêt à partir du modèle défini par les
équations 4.15 et 4.16 dans le chapitre 4. En particulier, nous simulons les deux
processus x et y pour scénarios et en supposant que les payements se font
semi annuellement pour les deux parties ( pas de temps). Les
dynamiques des processus x et y peuvent aussi être exprimées en termes de deux
mouvements browniens indépendants et 2 comme suit :
2 √ 22 2 (5.1)
avec
et 2 2 √ 2
2 2
Nous simulons donc deux processus browniens indépendants et 2 pour scénarios
et pas de temps pour calculer x et y à partir des équations différentielles stochastiques
(5.1) (mouvements browniens géométriques).
Finalement, la courbe zéro est calculée pour tous les scénarios à partir de la
formule suivante (pour plus de détails, voir la section 4.2 du livre de Brigo et Mercurio)
pour le taux d’intérêt zéro coupon, noté ,
40
( ) (5.2)
Avec
{
2[ ]},
,
et
[
2
2 2
3
2 ]
[
2
2 2
3
2 ]
2
[
]
Cette procédure ne garantit pas d’avoir toujours des taux d’intérêt positifs ce qui peut
être problématique pour la suite des calculs. Nous éliminerons donc les scénarios obtenus
après la simulation du taux d’intérêt et qui présentent une telle situation avant de passer
aux étapes suivantes.
5.2 Simulation des événements de défaut :
À partir des scénarios simulés du taux d’intérêt et en suivant l’approche d’analyse
empirique après avoir trouvé la fonction g(r) convenable, nous calculons les intensités de
défaut de la contrepartie pour chaque pas de temps sur tous les scénarios. La tache
suivante consiste à simuler des événements de défaut pour chaque scénario. L'algorithme
de simulation permet à la contrepartie de faire défaut aux dates de paiement du contrat,
c.-à-d. aux temps . Si un événement de défaut survient dans l’intervalle ] ], nous
supposerons que l’événement est survenu au temps .
Afin de déterminer les temps de défaut, nous aurons besoin de l’intégrale
d’intensité de défaut. L’interpolation fonction constante par morceaux est utilisée.
∫ ∑
41
Analogiquement au cas d’un processus de Poisson avec temps homogène, nous
savons que le temps du premier saut est distribué exponentiellement de sorte que
a une distribution exponentielle de paramètre 1,
(5.4)
L’inversion de l’équation (5.4) mène à l’expression suivante pour le temps du premier
saut,
Enfin, la variable aléatoire uniforme, , est définie comme suit: de telle
sorte que . Le fait que est uniformément répartie résulte des propriétés
des variables aléatoires exponentielles.
Nous générons donc une variable aléatoire uniforme de dimension M pour la
transformer en une variable aléatoire exponentielle, . Il reste maintenant à comparer les
variables aléatoires exponentielles générées aux intensités intégrées qui ont été obtenus à
partir de l’équation 4.5 pour chaque . L’événement de défaut se produit au temps
lorsque la variable générée est supérieure ou égale à l'intensité intégrée et
est le premier temps validant cette condition.
5.3 Espérances futures :
Le calcul de l'espérance future, requis pour l'évaluation du risque de contrepartie,
comme indiqué dans l'équation (4.4) ( [ ( )]) est prise en rapprochant l'espérance
au temps de défaut avec une série polynomiale sur les sous-jacents du modèle de taux
d'intérêt, x et y, évalués au premier temps de défaut autorisé après τ, c.-à-d. . Les
coefficients de l'expansion de la série sont calculés au moyen d'une régression des
42
moindres carrés, comme on le fait habituellement pour évaluer des options bermudiennes,
au moyen de l'algorithme de Longstaff et Schwarz (2001).
Pour chaque pas de temps , nous prenons les scénarios ou un événement de
défaut est survenu à ce temps et nous calculons le payoff résiduel. Ensuite, nous
régressons le vecteur des payoffs résiduels sur les valeurs correspondantes de 2
et 2
[ ( )] 2 3
2 2
Une fois les coefficients de la régression calculés, nous appliquons le résultat sur tous les
scénarios. Après avoir calculé les espérances futures pour tous les pas de temps, nous
pouvons maintenant calculer la valeur du CVA en appliquant l’équation 4.4 et en utilisant
la moyenne sur tous les scénarios pour le calcul de l’espérance extérieur dans le terme du
CVA (
5.4 Évaluation du CVA :
Le CVA est essentiellement la perte attendue confronté dans un contrat survenant
en cas de défaut de la contrepartie. Cela implique que le CVA est mieux défini comme un
montant initial. Dans de nombreux cas, cependant, il peut être plus approprié d'utiliser un
spread de CVA. La raison en est que les clients peuvent être plus soucieux d’ajuster un
paramètre en cours d'exécution (un taux swap dans notre cas, par exemple) plutôt que de
faire un paiement initial. Un cadre cohérent de conversion du CVA est donc nécessaire
pour ajuster le taux par swap dans un simple contrat d’IRS. Nous utilisons en particulier
un proxy analytique du spread du CVA donné par Vrins et Gregory (2011). Le spread de
CVA, , peut donc être calculé comme suit,
(5.5)
43
pour un certain paramètre [ ],
où représente la valeur actuelle (sans risque) du paiement en cours d'exécution
de valeur 1, ∑ ,
et ( )
avec la valeur actuelle (risquée) du paiement en cours d'exécution de valeur 1,
∑
Le choix du paramètre peut être déterminé à l’aide d’une méthode d’itération.
Cependant, cela requiert beaucoup de calcul et nous utilisons plutôt
2 pour la
simplicité et puisque ceci donne des bonnes estimations par rapport à la valeur optimale
de (Vrins et Gregory; 2011).
5.5 Données :
Dans cet essai, nous avons fixé le 30 juin 2010 comme la date d’établissement de
tous les IRS que nous allons évaluer. Toutes les données que nous avons utilisé, sauf
précisés autrement, sont des données que nous avons pris à cette date. Nous avons récolté
toutes les données nécessaires pour cette étude à partir de Bloomberg.
Pour la première partie de notre étude, nous avons utilisé les courbes des spreads
de CDS jusqu’à 30 ans pour trois contreparties présentant trois scénarios de risque
différents : JP Morgan (risque faible, A+ selon S&P en juin 2010), Bank of America
(risque moyen, A- selon S&P en juin 2010) et Ally Financial anciennement General
Motors (risque élevé, CCC selon S&P en juin 2010).
Dans la deuxième partie, nous avons besoin de calibrer notre modèle aux données
du marché pour pouvoir faire les simulations. Pour calibrer le modèle de taux d’intérêt,
nous avons eu besoin de la structure à terme du taux d’intérêt et de la matrice de volatilité
des swaptions. Nous avons utilisé les données du marché au 30 juin 2010, listées dans
44
l’annexe C.1. La calibration de l’intensité de défaut passe par contre, par une étude
empirique et nous avons donc eu recours aux données historiques hebdomadaires du taux
spot OIS et des spreads de CDS 1 an pour les mêmes trois contreparties de la première
partie pour nous permettre de comparer les résultats par la suite. Nous avons choisi la
période de 30 juin 2007 au 30 juin 2010 puisque les spreads des CDS dont nous avons
besoin sont disponibles pendant toutes cette période mais pas nécessairement avant. Nous
avons un total de 160 observations par contrepartie que nous utiliserons pour les
régressions. Les résultats sont présentés dans le chapitre suivant.
45
Chapitre 6
Résultats
Nous considérons l’évaluation d’un simple IRS à la monnaie qui reçoit un taux
fixe et paye le taux Libor deux fois par an en présence du risque de contrepartie pour
différentes maturités et trois scénarios différents de probabilité de défaut. Le taux de
recouvrement est supposé fixe et égale à (Brigo et Pallavicini (2007); Brigo et
Masetti (2005), etc.). Nous avons effectué quelques expériences numériques pour
analyser l'impact du risque de contrepartie sur la juste valeur du taux swap en l’absence
puis en présence de risque « wrong-way » par le biais du modèle décrit dans la section
4.2.2.2.
6.1 Évaluation sans risque « wrong-way »:
Nous construisons trois scénarios de risque (Brigo et Masetti; 2006), risque faible
(JP Morgan), risque moyen (Bank of America) et risque élevé (Ally Financial) pour la
qualité du crédit d’une partie donnée. Chacun de ces scénarios comporte un ensemble
d'intensités et des probabilités de survie pour des dates données, obtenu à partir de la
courbe des spreads de CDS pour les trois contreparties indiquées plus haut. Nous
supposons que les intensités suivent une fonction constante par morceaux tel que définie
dans l'équation (4.3). Les valeurs de ces trois profils de risque sont présentées dans le
tableau 6.1.
46
Maturité
(ans)
Risque faible Risque moyen Risque élevé
Intensité Pr. Survie % Intensité Pr. Survie % Intensité Pr. Survie %
1 0.0116 98.83 0.0176 98.23 0.0625 93.86
2 0.0163 97.20 0.0218 96.08 0.0902 85.64
3 0.0186 95.39 0.0243 93.75 0.1008 77.31
4 0.0229 93.21 0.0333 90.63 0.0988 69.94
5 0.0265 90.74 0.0357 87.41 0.1078 62.70
7 0.0196 87.20 0.0245 83.18 0.0938 51.82
10 0.0190 82.30 0.0244 77.21 0.0999 38.24
15 0.0190 74.74 0.0253 67.90 0.0921 23.97
20 0.0190 67.87 0.0253 59.71 0.0921 15.03
25 0.0190 61.63 0.0253 52.50 0.0921 9.42
30 0.0190 55.96 0.0253 46.16 0.0921 5.90
Tableau 6.1: Une estimation des intensités de défaut et des probabilités de survie Q [τ> T] à
des dates différentes pour les trois scénarios de risque – 30 Juin 2010
Les facteurs d’escompte et les taux par swap (sans risque) utilisés pour
l’évaluation du CVA sont obtenus à partir du cadre d’escompte OIS. Nous rapportons
aussi les résultats d’évaluation obtenus en utilisant le Libor comme étant le taux sans
risque. Les spreads d’ajustement de crédit de contrepartie à ajouter (en points de base) au
taux swap sans risque pour les approximations anticipée et reportée du CVA sont
présentées dans les tableaux 6.2 et 6.3.
Maturité
(ans)
Taux swap
(sans risque)
Risque faible Risque moyen Risque élevé
Antic. Postp. Antic. Postp. Antic. Postp.
5 2.021% 0.05 0.04 0.07 0.06 0.22 0.20
10 2.984% 0.59 0.58 0.76 0.75 1.96 1.97
15 3.396% 1.68 1.66 2.10 2.10 4.71 4.83
20 3.559% 3.08 3.08 3.80 3.82 7.52 7.76
25 3.631% 4.58 4.59 5.58 5.62 9.93 10.28
30 3.671% 6.03 6.05 7.26 7.32 11.87 12.30
Tableau 6.2: Taux swap sans risque implicite et spreads du CVA positifs (en points de base)
associés pour le cadre d’escompte Libor – 30 join 2010
47
Maturité
(ans)
Taux swap
(sans risque)
Risque faible Risque moyen Risque élevé
Antic. Postp. Antic. Postp. Antic. Postp.
5 2.053% 0.07 0.05 0.10 0.08 0.31 0.25
10 3.093% 0.81 0.75 1.05 0.98 2.79 2.61
15 3.568% 2.30 2.21 2.91 2.80 6.76 6.58
20 3.754% 4.09 4.00 5.09 4.98 10.47 10.39
25 3.830% 5.89 5.81 7.22 7.14 13.40 13.48
30 3.867% 7.57 7.51 9.17 9.11 15.64 15.81
Tableau 6.3: Taux swap sans risque implicite et spreads du CVA positifs (en points de base) associés
pour le cadre d’escompte OIS – 30 join 2010
Nous constatons que le spread d’ajustement croît avec la maturité du swap sous-
jacent et aussi avec le niveau du risque de la contrepartie comme prévu puisque la
probabilité du défaut de la contrepartie augmente avec le temps et avec le niveau du
risque (comme le montre le tableau 6.1). Nous remarquons aussi que la différence entre
les deux approximations (anticipée et reportée) est très faible (inférieure à 0.5 point de
base) et nous pouvons utiliser la moyenne des deux valeurs pour obtenir un meilleur
proxy de la correction exacte à appliquer aux taux swap.
Nous notons aussi que les valeurs des spreads du CVA obtenues dans le cadre
d’escompte OIS (tableau 6.3) sont plus élevées que celles obtenues dans le cadre
d’escompte Libor (tableau 6.2). Les taux swap sans risque sont, par ailleurs, plus élevés.
Ceci peut être expliqué essentiellement par les facteurs d’escompte qui sont un peu plus
grands pour le cas d’escompte OIS (Annexe C.2, figure C.2).
6.2 Évaluation avec risque « wrong-way »:
Résultats de calibration:
Nous reprenons les mêmes scénarios de la section précédente mais cette fois-ci
nous évaluons le risque de contrepartie en présence de risque « wrong-way ». Lors de nos
tests numériques, nous utilisons les courbes spots pour les cadres d’escompte OIS et
48
Libor et leurs matrices de volatilité des swaptions, correspondants aux données du
marché le 30 juin 2010 pour calibrer le modèle du taux court, G2++. Les données sont
listées dans les tableaux C.1.1 et C.1.2 de l’annexe C. La procédure de calibration donne
les valeurs de suivantes :
OIS: 2
Libor: 2
Nous cherchons ensuite la dépendance (mesurée empiriquement) entre le taux
d’intérêt et la probabilité de défaut de chacune des trois contreparties. Comme mentionné
dans le chapitre 4, nous obtiendrons cette information à partir de l’intensité de défaut
incorporée dans leurs spread de CDS 1 an. Le tableau suivants liste les valeurs de 2
et 2, résultats des régressions présentées par les équations 4.13 (à l’aide de Stata) pour
les trois contreparties JP Morgan, BofA et Ally Fin. respectivement.
Panel A : JP Morgan Bank
g(x) A B R2 σε
2
Puissance -7.2464 -0.5974 57.5% 2.08 .10-5
Exponentielle -3.8491 -40.8468 70% 1.73 .10-5
Logarithmique -.01570 -0.0065 48.5% 4.30 .10-5
Linéaire 0.0202 -0.3923 46.4% 4.47 .10-5
Panel B : Bank of America
Puissance -8.6538 -0.9741 77.9% 5.85 .10-5
Exponentielle -3.1819 -63.1250 85.2% 5.78 .10-5
logarithmique -0.0465 -0.0152 57.2% 1.68 .10-4
linéaire 0.0364 -0.8513 46.5% 2.10 .10-4
Panel C : Ally Financial
Puissance -3.1546 -0.3536 47.1% 2.77 .10-3
Exponentielle -2.0271 -30.1800 52.5% 2.56 .10-3
Logarithmique -0.0553 -0.0782 27.1% 7.73 .10-2
Linéaire 0.4158 -6.6951 33.5% 7.18 .10-2
Tableau 6.4: Résultat des régressions (éq. 4.13) qui reflètent la dépendance entre le taux spot OIS et
l’intensité de défaut pour les trois exemples de contrepartie
49
Nous pouvons utiliser deux méthodes pour décider laquelle de ces fonctions s’adaptent le
mieux aux données du marché, soit en prenant celle qui donne le meilleur R2, soit celle
qui donne le moindre bruit . Le tableau 6.4 affiche des meilleurs résultats pour le cas
des fonctions puissance et exponentielle selon les deux critères avec une légère
préférence à la fonction exponentielle qui donne le R2 le plus grand et
2 le plus petit et
ceci pour tous les exemples que nous avons traités. Les régressions pour le cas de Ally
Financial (panel C) donnent des résultats moins bons par rapport aux deux autres cas.
Ceci peut être expliqué par la faillite de Général Motors (son ancien nom) pendant la
période de la crise et les valeurs très élevées de son spread de CDS pendant cette période.
Malheureusement, une valeur élevée de R2 ne garantit pas que le modèle s'ajuste
bien aux données parce qu’une telle valeur peut se produire à cause d'une erreur de
spécification de la forme fonctionnelle ou de la présence de valeurs aberrantes qui
faussent la véritable relation. Pour s’assurer de la validité de la forme fonctionnelle
choisie à partir de la comparaison des R2, nous avons fait des tests sur les résidus de la
régression. Si les résidus semblent se comporter de façon aléatoire, ceci suggère que le
modèle s'ajuste bien aux données. D'autre part, si une structure non aléatoire est évidente
dans les résidus, il est un signe clair que le modèle s'ajuste faiblement aux données. Nous
avons effectué, en particulier, un test de normalité des résidus à l’aide de la commande
sktest de Stata. sktest présente un test basé sur le coefficient d’asymétrie (skewness)
et un autre basé sur le coefficient d’aplatissement (kurtosis) et combine ensuite les deux
tests dans une statistique de test global. Les résultats des tests pour la forme fonctionnelle
exponentielle appliquée aux trois contreparties sont présentés dans le tableau suivant.
Test joint
Contrepartie Prob(skewness) Prob(kurtosis) ajusté Prob
JP Morgan 0.457 0.293 1.88 0.390
BofA 0.679 0.420 0.83 0.659
Ally Fin. 0.136 0.892 2.29 0.319
Tableau 6.5 : Tests skewness/kurtosis pour la normalité des résidus
50
Les résultats du tableau 6.5 montrent que nous ne pouvons pas rejeter l’hypothèse
zéro de la normalité des résidus au niveau de significativité 5% grâce à des p-value (test
joint) élevés (prob>0.3 pour les trois contreparties). En plus, à partir des p-value obtenus
pour les tests de skewness et kurtosis, nous ne pouvons pas conclure que le skewness et le
kurtosis de la distribution des résidus sont différents de celle d’une distribution normale
au niveau de significativité 5%. Nous validons donc le choix fait à partir du tableau 6.4.
Les diagrammes de dispersion de l’intensité de défaut par rapport au taux spot
OIS (figures 6.1, 6.2 et 6.3) montrent une structure de dépendance claire entre le taux
d’intérêt et la probabilité de défaut de la contrepartie. Nous constatons que plus le taux
spot est faible, plus la probabilité de défaut est élevée. Il existe donc une dépendance
négative entre les deux qui se manifeste par la valeur négative du coefficient B dans
toutes les régressions du tableau 6.4.
Pour résumer, les données montrent clairement une structure de dépendance
inverse entre le taux OIS et la probabilité de défaut de la contrepartie pour la période
entre 30 juin 2007 et 30 juin 2010. Plus précisément, il semble qu’une loi exponentielle
est le meilleur fonctionnel pour puisqu’elle offre toujours un bon R2 par rapport aux
autres fonctions et minimise toujours le terme de bruit dans notre ensemble des
données. En remarque finale, nous tenons à souligner que l'analyse effectuée illustre la
pertinence de l'approche d’analyse empirique pour modéliser le WWR en montrant une
dépendance claire entre la probabilité de défaut et le taux d’intérêt.
Résultats des simulations :
En se basant sur les résultats de calibration que nous avons trouvés plus haut et en
suivant la méthodologie expliquée dans le chapitre 5, nous présentons le spread du CVA
pour IRS en présence de risque de contrepartie et de risque « wrong way » ainsi que
l’erreur des simulations dans le tableau 6.6 (escompte OIS). Les résultats avec escompte
Libor sont présentés dans le tableau C.2 à l’annexe C.2.
51
Figure 6.1: Diagramme de dispersion – JP Morgan
Figure 6.2: Diagramme de dispersion – Bank of America
Figure 6.3: Diagramme de dispersion – Ally Financial
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Inte
nsi
té d
e d
éfa
ut
1 an
Taux spot OIS
A. exp(B.x)
A. x^(B)
A+B.Ln(x)
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Inte
nsi
té d
e d
éfau
t 1
an
Taux spot OIS
A. exp(B.x)
A. x^(B)
A+B.Ln(x)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
Inte
nsi
té d
e d
éfau
t 1
an
Taux spot OIS
A. exp(B.x)
A. x^(B)
A+B.Ln(x)
52
Maturité
(ans)
Taux swap
(sans risque)
Risque faible Risque moyen Risque élevé
CVA sp. erreur CVA sp. erreur CVA sp. erreur
5 2.053% 0.36 3.6 .10-3
0.64 3.2 .10-3
2.10 2.2 .10-2
10 3.093% 1.31 6.7 .10-4 2.53 5.5 .10-4 6.63 1.2 .10-2
15 3.568% 2.75 2.6 .10-4 4.72 2.0 .10-4 10.95 8.9 .10-3
20 3.754% 4.57 1.3 .10-4 7.59 1.3 .10-4 15.67 7.3 .10-3
Tableau 6.6: Spreads du CVA positifs (en points de base) en présence de WWR pour le cadre
d’escompte OIS – 30 juin 2010
À première vue, nous constatons que les valeurs trouvées sont plus grandes que
les valeurs correspondantes dans le tableau 6.3 en l’absence de WWR ce qui montre
l’impact du WWR sur l’évaluation du CVA. Ceci est à prévoir. Si l'intensité de défaut
augmente avec forte corrélation négative, les taux d'intérêt corrélés diminuent plus
qu'avec une faible corrélation. Lorsque les taux d'intérêt diminuent, la valeur d’un
swaption récepteur augmente; ainsi, nous voyons qu’une corrélation négative plus élevée
implique des valeurs plus élevées pour les swaptions ce qui a un impact sur l'ajustement,
de sorte qu’avec une corrélation négative plus élevée, les valeurs d’ajustement
augmentent. Une comparaison plus détaillée pour les trois scénarios de risque est
présentée dans la figure 6.4.
L’impact du WWR sur l’évaluation du CVA n’est certainement pas négligeable.
Sur la figure 6.4, nous voyons que cet impact est d’autant plus important lorsque le
niveau du risque de défaut de la contrepartie est plus élevé et lorsque la maturité du
contrat est plus grande. Une simple explication est que la probabilité du défaut augmente
avec le niveau du risque de la contrepartie et la maturité du contrat résultant à une plus
grande exposition de notre portefeuille au défaut de la contrepartie dans le cas du WWR,
et donc un impact plus important.
Si nous prenons en particulier l’exemple de Ally Fin. (risque élevé de défaut), nous
constatons que le valeur de spread du CVA pour une maturité de 20 ans passe de 10.43
bps à 15.67 bps ce qui signifie une augmentation d’à peu près 50% et donc l’ignorance du
WWR dans l’évaluation du taux juste du contrat IRS nous mène à des ajustements au
risque de contrepartie plus faibles et faire face à une exposition au risque de contrepartie
plus élevée.
53
JP Morgan BOFA
Ally Fin.
Figure 6.4: Comparaison entre les valeurs du spread de CVA pour IRS avec et sans WWR pour
différentes maturités et différents niveaux de risque
Les résultats que nous avons trouvés montrent clairement l’importance de la
considération du WWR dans l’évaluation du risque de crédit de contrepartie et du CVA et
par la même occasion soutiennent la méthode d’analyse empirique pour la modélisation
du WWR et de la structure de dépendance donnée par la corrélation .
Il convient de noter que cette corrélation (éq. 4.17) est une fonction du facteur de
conduite du WWR, , ce qui est un résultat tout à fait naturel compte tenu des données
observées. Nous étudions en particulier l’évolution de pour les trois scénarios pour
mieux comprendre les résultats obtenus et l’impact du WWR. La figure 6.5 présente
0
1
2
3
4
5
5 10 15 20
sans WWR
WWR
0
2
4
6
8
5 10 15 20
sans WWR
WWR
0
5
10
15
5 10 15 20
sans WWR
WWR
54
l’évolution de instantanée et absolue sur une période par rapport au temps pour les trois
exemples de contrepartie.
Figure 6.5: Évolution de la corrélation instantanée et absolue par rapport aux temps pour différents
scénarios de risque
La corrélation absolue est la corrélation cumulative sur une période. C’est elle qui
nous intéresse puisqu’elle représente la dépendance absolue sur la période de maturité du
contrat que nous voulons évaluer. Nous constatons que plus le niveau de risque est élevé,
plus la corrélation est élevée en valeur absolue ( ). La probabilité de défaut d’une
contrepartie plus risquée est donc plus corrélée négativement avec le taux d’intérêt ce qui
donne un niveau d’exposition plus élevé au risque de contrepartie et par conséquent, des
valeurs de CVA plus grandes. La même interprétation est valide en prenant des maturités
plus longues.
-0,98
-0,97
-0,96
-0,95
-0,94
-0,93
-0,92
-0,91
-0,9
0 5 10 15 20
ρ(z
)
Temps (années)
JPM inst.
BofA inst.
Ally inst.
JPM abs.
BofA abs.
Ally abs.
55
Chapitre 7
Conclusion et extensions de l’étude
7.1 Conclusion:
Dans cet essai, nous avons revu le cadre général d’évaluation d’IRS avant la crise
financière des « sub-primes ». Nous avons ensuite introduit la procédure d’évaluation
après la crise imposée par l’accord de Basel II et qui consiste en l’évaluation du risque de
crédit de contrepartie en termes de CVA. Nous avons revu en premier lieu le cas simple
d’évaluation du CVA en l’absence d’une dépendance entre la probabilité de défaut de la
contrepartie et le niveau d’exposition au défaut (WWR) introduit par Brigo et Masetti
(2006). Nous avons ensuite traité le cas général en présence de WWR. Pour se faire,
nous avons proposé un modèle qui est en effet, une combinaison des travaux de Brigo et
Pallavicini (2007) et Ruiz (2013) dans lequel nous modélisons le taux d’intérêt par un
processus gaussien bi-varié et le WWR par une méthode d’analyse empirique. Nous
considérons toutefois le taux OIS comme le meilleur proxy du taux sans risque et nous
intégrons le cadre d’escompte OIS dans l’évaluation du risque de contrepartie.
Les résultats que nous avons trouvés sont consistants avec la littérature antérieure.
Nous avons trouvé en particulier, que le risque de contrepartie a un impact significatif sur
l’évaluation du payoff d’un swap de taux d’intérêt et qui, à son tour, la corrélation entre
le taux d’intérêt et l’intensité de défaut a un impact significatif sur l’ajustement au risque
56
de contrepartie. L’intégration d’escompte OIS dans l’évaluation du CVA conduit à des
ajustements légèrement plus élevés que dans le cas d’escompte Libor.
La conclusion est que, premièrement, nous devons prendre en compte le risque de
contrepartie ainsi que la corrélation entre le taux d’intérêt et l’intensité de défaut dans
l’évaluation des IRS. Deuxièmement, la méthode d’analyse empirique présente une
méthode simple et pertinente pour modéliser cette corrélation. Enfin, il est plus pertinent
d’utiliser le taux OIS comme meilleur proxy du taux sans risque dans l’évaluation du
risque de contrepartie.
7.2 Extensions de l’étude:
Comme nous avons indiqué dès le début de cet essai, nous avons limité notre
étude au cas simple d’un seul contrat d’IRS en supposant que seulement la contrepartie
peut faire défaut. Une étude plus élargie prend en compte la possibilité de défaut des deux
parties liés au contrat et traite un portefeuille d’IRS au lieu d’un seul IRS pour profiter
des accords de compensation et pour avoir une meilleure évaluation du risque de
contrepartie.
L’évaluation du risque de contrepartie lorsque les deux parties liées au contrat
sont susceptibles à faire défaut est appelée risque de contrepartie bilatéral et il est
présenté en terme d’ajustement de crédit bilatéral BVA. L’intérêt derrière l’utilisation du
BVA à la place du CVA peut s’expliquer par le fait qu’après la crise, il est clair
qu’aucune entreprise financière ou non financière n’est dispensée d’un éventuel défaut et
afin que les deux partie se mettent d’accord au prix juste du contrat, l’un doit considérer
son propre défaut dans l’évaluation d’ajustement de crédit. Une étude générale consacrée
à ce propos est présentée dans Brigo, Pallavicini et Papatheodorou (2009) dans le cas des
IRS.
57
Il serait toutefois intéressant d’étudier le cas d’un portefeuille d’IRS où des
opportunités de compensation se présentent puisque dans la réalité nous nous trouvons
généralement face à un portefeuille de différents IRS et différentes contrepartie comme
par exemple, un portefeuille de couverture avec des IRS. Nous pouvons trouver une étude
détaillée à ce propos dans Brigo et Masetti (2006).
58
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59
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60
Annexes
Annexe A
A.1 Preuve de l’équation 4.3 (Formule générale d’évaluation du risque de
contrepartie unilatérale)
A l'instant avec le prix d'une réclamation risquée est,
[ ] [ ] [ ( )
]⏟
(4.3)
où est la perte sachant l’évènement de défaut avec déterministe.
Preuve
Soit les flux de trésorerie nets de la réclamation entre les temps u et s, actualisé au
temps u.
On a donc,
[ ( ( )
( ) )] (1)
En effet, s'il n'y a pas eu défaut, cette expression se réduit à l’évaluation risque neutre du
payoff (premier terme du côté droit). En cas de défaut, les sommes dues avant le défaut,
sont reçus (deuxième terme), et ensuite, si la valeur actuelle nette résiduelle est positive,
seulement une partie couverte de celle-ci est reçue (troisième terme), alors que si elle est
négative, elle est payée au complet (quatrième terme).
61
On peut écrire,
Par conséquent,
( )
( )
( )
(2)
Conditionnellement à l'information jusqu'à , l'espérance du deuxième, plus le quatrième
terme du côté droit de l’égalité,
( )
est,
[ ( ) ]
[ [ ] ]
[ [ [ ] ]]
[ [ ] ]
[ [ ] ]
[ ( ) ] (3)
puisque trivialement, et .
Ensuite, nous pouvons voir que, après conditionnement sur l'information disponible au
moment de l’expression (2) et en remplaçant le deuxième et le quatrième termes par (3),
la valeur espérée de (1) au temps t coïncide exactement avec la formule générale donnée
par l’équation 4.1. (en utilisant la propriété [ [ ]] [ ])
62
A.2 Formule de Black pour l’évaluation des swaptions
Considérons un swaption payeur (respectivement récepteur) avec exercice K et
notionnel N donnant à son titulaire le droit d'entrer au moment un IRS payeur
(récepteur) avec dates de paiement et leurs fractions d'année
associées . Le swaption (payeur ou récepteur) est alors dit à la monnaie
(ATM) si et seulement si,
∑
En utilisant les mêmes notations de la section 4.2.2.1, la formule de Black pour
l’évaluation du swaption payeur décrit plus haut est,
( ) √ ∑
Une formule similaire est utilisée pour l’évaluation d’un swaption récepteur,
( ) √ ∑
Où ( √ ) est la formule de Black pour l’évaluation d’une option
européenne ( pour un call et pour un put),
( ) ( 2 )
Avec ( ⁄ )
2⁄
, 2 et dénote la fonction de distribution
cumulative d’une loi normale standard.
63
Annexe B
Interpolation par splines cubiques
Comme mentionné dans Ron (2000), il est souhaitable qu’une méthode d'interpolation
donne une courbe lisse qui est capable de répliquer des points de données observés sur le
marché relativement bien.
Dans cet essai, nous avons constamment utilisé l’interpolation par splines cubiques. Ce
procédé produit en effet, une courbe continue et lisse, et il est l'une des techniques les
plus répandues sur le marché. La méthode calcule polynômes de troisième ordre
entre les observations du marché, sur l'intervalle de temps[ ], à savoir,
2
3
Le nombre d'inconnues est donc , et nous avons besoin d'imposer quelques
contraintes pour calculer tous les coefficients. Tout d'abord, nous avons besoin que la
fonction coïncide avec les points de données observés sur le marché , . Avec
, nous obtenons les équations suivantes
2
3
De plus, nous voulons que la fonction entière soit continue et dérivable, ce qui donne lieu
à un autre équations.
2
3
Nous avons maintenant un ensemble de équations avec inconnus et donc
nous avons besoin de conditions supplémentaires. Une des approches connues, consiste
à utiliser les conditions aux limites naturelles. Dans cette configuration, nous supposons
que le dérivé est dérivable partout et que la dérivée seconde à chaque point d'extrémité
est égale à zéro.
64
Nous obtenons alors,
Et nous pouvons maintenant résoudre pour tous les coefficients.
65
Annexe C
C.1 Données
Ténor
Maturité 1 2 5 7 10 15 20 25 30
1 60.57% 52.17% 37.21% 33% 30.2% 25.91% 24.26% 22.33% 21.93%
2 48.68% 41.47% 32.26% 29.9% 27.7% 23.89% 22.5% 20.96% 20.33%
3 36.23% 32.81% 28.68% 27.19% 25.38% 22.35% 20.88% 19.79% 19.04%
4 30.46% 28.84% 26.63% 25.37% 23.69% 21.08% 19.76% 18.52% 17.92%
5 27.77% 26.61% 25.08% 23.87% 22.25% 19.75% 18.75% 17.54% 16.96%
7 25.18% 24.63% 22.6% 21.45% 20.23% 17.98% 16.77% 15.84% 15.25%
10 21.71% 21.17% 19.08% 18.35% 17.46% 15.56% 14.54% 13.75% 13.22%
15 16.54% 16.41% 15.66% 14.9% 13.99% 12.54% 11.67% 11.17% 10.65%
20 14.82% 13.55% 13.2% 12.12% 11.45% 10.51% 9.8% 9.37% 8.98%
25 12.64% 11.85% 10.9% 10.54% 10.13% 9.33% 8.76% 8.44% 8.29%
30 10.08% 9.82% 9.07% 8.69% 8.33% 8.33% 7.53% 7.3% 7.07%
Tableau C.1.1: Matrice de volatilité des swaptions dans la monnaie observée sur le marché le 30 juin
2010 – escompte OIS
Ténor
Maturité 1 2 5 7 10 15 20 25 30
1 61.23% 52.9% 38.04% 33.9% 31.18% 27.48% 26.6% 25.32% 25.69%
2 49.48% 42.24% 33.11% 30.81% 28.75% 25.54% 24.88% 23.96% 24%
3 36.98% 33.55% 29.56% 28.09% 26.52% 24.11% 23.31% 22.84% 22.69%
4 31.19% 29.63% 27.54% 26.31% 24.95% 22.98% 22.3% 21.62% 21.6%
5 28.63% 27.51% 26% 24.92% 23.69% 21.79% 21.45% 20.75% 20.73%
7 26.19% 25.61% 23.71% 22.83% 22.08% 20.41% 19.77% 19.34% 19.24%
10 22.89% 22.55% 20.94% 20.53% 20.07% 18.62% 18.09% 17.75% 17.59%
15 19.43% 19.47% 19.15% 18.56% 17.89% 16.72% 16.19% 16.05% 15.76%
20 19.4% 17.87% 17.95% 16.77% 16.27% 15.59% 15.08% 14.9% 14.67% 25 18.43% 17.43% 16.25% 16.25% 16.05% 15.39% 14.97% 14.87% 14.46%
30 16.38% 16.1% 15.28% 14.89% 14.63% 15.29% 14.24% 13.63% 13.06%
Tableau C.1.2: Matrice de volatilité des swaptions dans la monnaie observée sur le marché le 30 juin
2010 – escompte Libor
66
C.2 Autres résultats
Figure C.2: Courbes des facteurs d’escompte OIS et Libor à partir des données du marché – 30 juin
2010
Maturité
(ans)
Taux swap
(sans risque)
Risque faible Risque moyen Risque élevé
CVA sr. erreur CVA sr. erreur CVA sr. erreur
5 2.053% 0.36 3.6 .10-3 0.64 3.2 .10-3 2.10 2.2 .10-2
10 3.093% 1.31 6.7 .10-4 2.53 5.5 .10-4 6.63 1.2 .10-2
15 3.568% 2.75 2.6 .10-4 4.72 2.0 .10-4 10.95 8.9 .10-3
20 3.754% 4.57 1.3 .10-4 7.59 1.3 .10-4 15.67 7.3 .10-3
Tableau C.2: Spreads du CVA positifs (en points de base) en présence de WWR pour le cadre
d’escompte Libor – 30 juin 2010
2010 2015 2020 2025 2030 2035 2040 2045
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Date (année)
Escompte OIS
Escompte Libor
67
Annexe D
Programmes Matlab :
Les codes du traitement et la préparation des données ne sont pas présentés. Seuls
les codes des programmes servants à implémenter les modèles introduits dans le chapitre
4 dans le cadre d’escompte OIS sont donnés ici.
D.1 Évaluation du CVA sans risque « wrong-way »
function [CVA, rCVA] = CVAcalcfun(DEFPAR, MKTSWP, DRates, DRatesS,...
sigmaBS, lgd)
%
% Cette fonction calcule le CVA ainsi que le spread du CVA pour des IRS
% de différentes maturités en l’absence du risque « wrong-way »
%
% Entrées :
% DEFPAR : structure qui contient les paramètres de la contrepartie
% MKTSWP : structure qui contient les taux swap et leur maturité
% correspondante
% DRates : courbe spot OIS avec des observations semi-annuelles
% DRatesS :courbe spot cadre simple
% sigmaBS :écart-type de la volatilité des swaptions implicite
% lgd : perte sachant le défaut
%
% Sorties :
% CVA : vecteur des CVA anticipés et reportés
% rCVA : vecteur des spreads de CVA pour les valeurs de CVA
% correspondantes
%
% Auteur Ayoub Gargouri
% ======================================================================
%% intensité de défaut
lambda = [DEFPAR.lambda(2)*ones(2,1);DEFPAR.lambda(3)*ones(2,1);...
DEFPAR.lambda(4)*ones(2,1);DEFPAR.lambda(5)*ones(2,1);...
DEFPAR.lambda(6)*ones(2,1);DEFPAR.lambda(7)*ones(4,1);...
DEFPAR.lambda(8)*ones(6,1);DEFPAR.lambda(9)*ones(10,1);...
68
DEFPAR.lambda(10)*ones(10,1);DEFPAR.lambda(11)*ones(10,1);...
DEFPAR.lambda(12)*ones(10,1)];
%% Formule de black-scholes
d_1= @(K, F, v)((log(F./K)+v.^2/2)./v);
d_2= @(K, F, v)((log(F./K)-v.^2/2)./v);
Bl = @(K, F, v, w)(F.*w.*normcdf(w.*d_1(K,F,v)) - ...
K.*w.*normcdf(w.*d_2(K,F,v)) );
%% définition des variables pour stocker les résultats du CVA
ant = zeros(length(MKTSWP.Mt)-1, 1);
post = ant;
rCVA_ant = zeros(length(MKTSWP.Mt)-1, 1);
rCVA_post = rCVA_ant;
%% boucle principale pour calcul de CVA anticipé (ant) et réporté (post)
for k = 2:length(MKTSWP.Mt)
SP = zeros(2*MKTSWP.Mt(k),1); %probabilité de survie
for i = 2:2*MKTSWP.Mt(k)
% calcul du CVA reporté eq. 4.7
post(k-1) = post(k-1) + ...
(F_tau(i,lambda) - F_tau(i-1,lambda))* ...
Bl(MKTSWP.R(k), S_ab1(DRatesS,DRates, i,...
2*MKTSWP.Mt(k)+1, 0.5),sigmaBS*((i-1)/2)^.5, -1)* ...
0.5 * sum(DRates(i+1:2*MKTSWP.Mt(k)+1));
SP(i-1) = F_tau(i,lambda); %F_tau étant la fonction de densité
cumulative définie ailleurs qui donne SP jusqu'à Ti
end
for i = 2:2*MKTSWP.Mt(k)+1
% calcul du CVA anticipé eq. 4.8
ant(k-1) = ant(k-1) + ...
(F_tau(i,lambda) - ...
F_tau(i-1,lambda))* ...
Bl(MKTSWP.R(k), S_ab1(DRatesS,DRates, i-1, 2*MKTSWP.Mt(k)+1,
0.5), ...
sigmaBS*((i-2)/2)^.5, -1)* ...
0.5 * sum( DRates(i:2*MKTSWP.Mt(k)+1));
end
SP(2*MKTSWP.Mt(k)) = F_tau(2*MKTSWP.Mt(k)+1,lambda);
%% calcul du spread du CVA eq 5.5
DV01 = 0.5 .*sum(DRates(2:2*MKTSWP.Mt(k)+1,1));
DV_01 = 0.5*sum(DRates(2:2*MKTSWP.Mt(k)+1,1) .* SP);
rCVA_post(k-1) = lgd * post(k-1)/(DV01-0.5* lgd *(DV01-DV_01));
rCVA_ant(k-1) = lgd * ant(k-1)/(DV01-0.5 *lgd *(DV01-DV_01));
end
CVA = [10000 .* lgd .* ant,10000 .* lgd .* post];
rCVA = [10000 .* rCVA_ant,10000 .* rCVA_post];
69
D.2 Évaluation du CVA avec risque « wrong-way »
function alpha = calibration(irdc, RateSpec, InstMat,...
SwaptionBlackVol, ExerciseDates, Tenors)
%
% Cette fonction calibre le modèle G2++ aux données du marché et
% retourne l’ensemble des paramètre alpha
%
% Entrées :
% irdc : objet de type IRDataCurve pour la courbe zéro à partir des
% des dates et données
% RateSpec : structure qui spécifie les propriétés de la courbe zéro
% InstMat : maturité max des instruments que nous voulons calculer
% le CVA
% SwaptionBlackVol :matrice de volatilité des swaptions
% ExerciseDates :vecteur des dates d’exercice des swaptions dans
% SwaptionBlackVol
% Tenors : vecteur des tenors des swaptions dans SwaptionBlackVol
%
% Sorties :
% alpha : vecteur des paramètres de calibration du modèle G2+
%
% Auteur Ayoub Gargouri
% ======================================================================
%% Construction d’une matrice de dates d’exercice et Tenors
EurExDatesFull = repmat(daysadd(Settle,ExerciseDates*360,1)',...
length(Tenors),1);
EurMatFull = reshape(daysadd(EurExDatesFull,...
repmat(360*Tenors,1,length(ExerciseDates)),1),size(EurExDatesFull));
%% Selection des instruments de calibration
% trouver les swaptions qui expirent à ou avant InstMat
relidx = find(EurMatFull <= InstrumentMaturity);
%% Calcul des prix des Swaptions en utilisant le modèle de Black
SwaptionBlackPrices = zeros(size(SwaptionBlackVol));
SwaptionStrike = zeros(size(SwaptionBlackVol));
for iSwaption=1:length(ExerciseDates)
for iTenor=1:length(Tenors)
[~,SwaptionStrike(iTenor,iSwaption)] = swapbyzero(RateSpec,...
[NaN 0], Settle, EurMatFull(iTenor,iSwaption),...
'StartDate',EurExDatesFull(iTenor,iSwaption),'LegReset',...
[1 1], 'principal',1);
SwaptionBlackPrices(iTenor,iSwaption) = ...
swaptionbyblk(RateSpec, 'call', ...
70
SwaptionStrike(iTenor,iSwaption),Settle, ...
EurExDatesFull(iTenor,iSwaption), ...
EurMatFull(iTenor,iSwaption), ...
SwaptionBlackVol(iTenor,iSwaption),'principal',1);
end
end
%% Calibrer l’ensemble des parametres alpha
% fonction à minimiser (matrice des prix des swaptions par Black moins
% les prix obtenus par G2++ en variant les paramètre de alpha
G2PPobjfun = @(x) SwaptionBlackPrices(relidx) - ...
swaptionbylg2f(irdc,x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),SwaptionStrike(relidx),...
EurExDatesFull(relidx),EurMatFull(relidx),'Reset',1,'notional',1);
% conditions de départ
x0 = [.2 .1 .02 .01 -.5]; % params initiaux
lb = [0 0 0 0 -1]; % bornes inf
ub = [1 1 1 1 0]; % bornes sup
% optimisation de alpha par moindres carrés non linéaire
options = optimset('disp','iter','MaxFunEvals',1000,'TolFun',1e-5);
alpha = lsqnonlin(G2PPobjfun,x0,lb,ub,options);
% alpha(1)=a, alpha(2)=b, alpha(3)=σ, alpha(4)=η, alpha(5)=ρ12
classdef LinearGaussian2PPF
%LINEARGAUSSIAN2PPF est une classe qui crée un modèle de taux d’intérêt
% à 2 facteurs gaussiens additifs (G2++)
% Syntax:
%
% OBJ = LinearGaussian2PPF(ZeroCurve,a,b,sigma,eta,rho)
%
% Reference:
%
% Brigo, D and F. Mercurio. Interest Rate Models - Theory and
% Practice. Springer Finance, 2006.
%
% Auteur Ayoub Gargouri
%
properties
ZeroCurve
a
b
sigma
eta
rho
end
71
properties (Access = private)
SDE
PM
end
methods (Access = public)
function obj =
LinearGaussian2PPF(inCurve,ina,inb,insigma,ineta,inrho)
%Constructeur de l’objet
% la partie de vérification des paramètres a été enlévée
%Facteurs d’escompte du marché
CurveTimes = ...
yearfrac(obj.ZeroCurve.Settle,obj.ZeroCurve.Dates,...
obj.ZeroCurve.Basis);
DF = obj.ZeroCurve.getDiscountFactors(obj.ZeroCurve.Dates);
obj.PM = @(t) interp1(CurveTimes,DF,t,'pchip','extrap');
% SDE crée l’équation diff stochastique du modèle de Hull-
% White à partir des paramètres d’entrée
obj.SDE = hwv(@(t,X) diag([obj.a(t);obj.b(t)]),...
zeros(2,1), @(t,X) diag([obj.sigma(t);obj.eta(t)]),...
'Correlation',[1 inrho;inrho 1],'StartState',[0;0]);
End
function [ZeroRates, X1, Y1, nSims] = ...
simTermStructs(obj,nPeriods,varargin)
%SIMTERMSTRUCT Simule la structure à terme
%
% Syntax:
%
% [ZeroRates] = simTermStruct(nPeriods)
% [ZeroRates, X1, Y1] = simTermStruct(nPeriods,'name1','val1')
%
% Description:
%
% Simule les trajectoires de la courbe zero en utilisant le
% modèle G2++
%
narginchk(2,12);
%paramètres optionnels d’appel de la fonction
p = inputParser;
p.addParamValue('ntrials',1);
p.addParamValue('deltatime',1);
p.addParamValue('antithetic',false);
p.addParamValue('Z',[]);
72
try
p.parse(varargin{:});
catch ME
newMsg = ...
message('fininst:LinearGaussian2F:optionalInputError');
newME = MException(newMsg.Identifier,getString(newMsg));
newME = addCause(newME, ME);
throw(newME)
end
nTrials = p.Results.ntrials;
deltaTime = p.Results.deltatime;
Antithetic = p.Results.antithetic;
Z = p.Results.Z;
Tenor = deltaTime:deltaTime:deltaTime*nPeriods;
% Generation des trajectoires des processus x et y
[Paths,SimTimes] = ...
obj.SDE.simBySolution(nPeriods,'NTRIALS',nTrials,...
'DeltaTime',deltaTime,'antithetic',Antithetic,'Z',Z);
% Allocation des trajectoires de taux d’intérêt
ZeroRates = zeros(nPeriods+1,nTrials);
X1 = Paths(:,1,:);
Y1 = Paths(:,2,:);
ZeroRates(1,:) = obj.ZeroCurve.Data(1).*ones(1,nTrials);
% Formules pour le calcul de la courbe zero (eq 5.2)
V = @(t,T) obj.sigma(t)^2/(obj.a(t)^2)*(T - t + ...
2/obj.a(t)*exp(-obj.a(t)*(T-t)) - ...
1/(2*obj.a(t))*exp(-2*obj.a(t)*(T-t)) - 3/2/obj.a(t)) + ...
obj.eta(t)^2/(obj.b(t)^2)*(T - t + 2/obj.b(t)*exp(-...
obj.a(t)*(T-t)) - 1/(2*obj.b(t))*exp(-2*obj.a(t)*(T-t))-...
3/2/obj.b(t)) +2*obj.rho*obj.sigma(t)*...
obj.eta(t)/(obj.a(t)*obj.b(t))*(T - t + ...
(exp(-obj.a(t)*(T-t)) - 1)/obj.a(t) + ...
(exp(-obj.b(t)*(T-t)) - 1)/obj.b(t) - ...
(exp(-(obj.a(t) + obj.b(t))*(T-t)) - 1)/(obj.a(t) + ...
obj.b(t)));
A = @(t,T) obj.PM(T)./obj.PM(t) .*exp(1/2*(V(t,T) - ...
V(0,T) + V(0,t)));
B = @(z,t,T) bsxfun(@rdivide,(1 - ...
exp(-bsxfun(@times,z,(T-t)))),z);
73
% Calcul des trajectoires de taux zero coupon
ZR = @(t,T,x,y) bsxfun(@rdivide,bsxfun(@plus,-log(A(t,T)),...
bsxfun(@times,B(obj.a(t),t,T),x) + ...
bsxfun(@times,B(obj.b(t),t,T),y)),T-t);
for iPeriod=2:nPeriods+1
ZeroRates(iPeriod,:) = ZR(0,Tenor(iPeriod-1),...
Paths(iPeriod,1,:),Paths(iPeriod,2,:));
end
%Suppression des trajectoires négatives
NegIdx = squeeze(any(ZeroRates<0,1));
ZeroRates(:,NegIdx) = [];
X1(:,NegIdx) = [];
Y1(:,NegIdx) = [];
nSims = size(ZeroRates,2);
end
end
end
function [CVA, rCVA] = CVA_WWR_fun(RateSpec, InstrumentStrike, alpha,...
lgd)
%
% Cette fonction calcule le CVA ainsi que le spread du CVA pour des IRS
% de différentes maturités en présence du risque « wrong-way » en
% suivant la méthodologie décrite dant le chapitre 5
%
% Entrées :
% RateSpec : structure qui spécifie les propriétés de la courbe zéro
% InstrumentStrike : vecteur qui contient les taux swap sans risque
% alpha : vecteur des paramètres de calibration du modèle G2+%
% lgd : perte sachant le défaut
%
% Sorties :
% CVA : vecteur des CVA avec WWR pour les IRS utilisés
% rCVA : vecteur des spreads de CVA pour les valeurs de CVA
% correspondantes
%
% Auteur Ayoub Gargouri
% ======================================================================
%% Definition des paramètres de Simulation
Settle = datenum('30-Jun-2010'); nPeriods = [10 20 30 40 50 60];
DeltaTime = 0.5;
nTrials = 100000;
74
SimDates = daysadd(Settle,360*DeltaTime*(0:nPeriods(end)),1);
SimTimes = diff(yearfrac(SimDates(1),SimDates));
%% simulation de taux court G2++
G2PP = LinearGaussian2PPF(...
RateSpec,LG2f_a,LG2f_b,LG2f_sigma,LG2f_eta,LG2f_rho);
[ZR, x, y, nSims] = ...
G2PP.simTermStructs(nPeriods(end),'NTRIALS',nTrials,...
'DeltaTime',DeltaTime,'antithetic',true);
DF = ones(nPeriods(end)+1,nSims); % facteurs d’escompte
for i=1:nSims
DF(2:end,i) =
zero2disc(ZR(2:end,i),SimDates(2:end),SimDates(1),1,2);
End
Tenor = repmat((DeltaTime:DeltaTime:nPeriods(end)/2)',1,nSims);
%% simulation intensité de défaut et temps de défaut
% simulation intensité de défaut (lambda=g(ZR))
lambda = exp(-2.0271 -30.18 .* ((1+ZR(2:end,:)).^(1./Tenor)-1))+0.016...
.*randn(nPeriods(end),nSims); %intensité de défaut
% simulation temps de défaut
gamma = cumsum(DeltaTime .* lambda); %fonction dist cummulative
U = rand(1,nSims);
E = -log(ones(1,nSims)-U);
expRV = repmat(E,size(gamma,1),1);
time = gamma >= expRV;
cum_sum_default = cumsum(cumsum(time));
Def_Times = cum_sum_default == 1;
%% boucle principal de calcul des CVA sur toutes les maturités
CVA = zeros(length(nPeriods),1);
rCVA = CVA;
for k = 1:length(nPeriods)
% calcul des cashflows résiduels
Res_CFs = zeros(nPeriods(k),nSims);
for j=1:nSims
for i=1:nPeriods(k)-1
Res_CFs(i,j) =(1/DF(i+1,j)).* ...
(DeltaTime.*InstrumentStrike(k).*...
sum(DF(i+2:nPeriods(k)+1,j))-(DF(i+1,j)-...
DF(nPeriods(k)+1,j)));
end
end
75
% calcul des cashflows résiduels espérés
Def = Def_Times(1:nPeriods(k),:);
E_Res = (max(Res_CFs,0) .*Def)';
% regressions
for i=1:nPeriods(k)-1
coeffs = zeros(6,1);
if(sum(Def(i,:))>0)
Def1 =Def(i,:);
X = x(i+1,:).*Def1;
Y = y(i+1,:).*Def1;
RR = ZR(i+1,:).*Def1;
E_Res1 = E_Res(:,i);
NegIdx = squeeze(any(Def1==0,1));
E_Res1(NegIdx)=[];
X(NegIdx) = [];
Y(NegIdx) = [];
RR(NegIdx) = [];
Def1(NegIdx) = [];
Z = [ones(size(Def1,2),1),X', Y', X'.*Y', X'.^2, ...
Y'.^2];
coeffs = (Z'*Z)\(Z'*E_Res1);
R = [ones(1,nSims)', x(i+1,:)', y(i+1,:)',...
x(i+1,:)'.*y(i+1,:)', x(i+1,:)'.^2, y(i+1,:)'.^2];
E_Res(:,i)=R*coeffs;
end
end
% calcul du CVA et spread de CVA
E_Res = E_Res';
NPVp = max(E_Res,0);
SP = cat(1,ones(1,nSims),exp(-gamma(1:nPeriods(k),:)));
dP = (SP(1:end-1,:)-SP(2:end,:)).*DF(2:nPeriods(k)+1,:).*NPVp;
sum(mean(dP,2));
CVA(k) = lgd *(sum(mean(dP,2)))*10000; % en points de base
p = mean(DF(1:nPeriods(k)+1,:),2);
s = mean(SP,2);
DV01 = 0.5 .*sum(p(2:nPeriods(k)+1,1));
DV_01 = 0.5 .*sum(p(2:nPeriods(k)+1,1) .* s(2:nPeriods(k)+1,1));
rCVA(k) = CVA/(DV01-0.5*lgd*(DV01-DV_01)) %spread de CVA
end
