Embed Size (px)
Citation preview
EW - SERIES
Lorsque l’on regarde une suite de nombres (un)n≥0, il est naturel de sommer les n premiers termesde cette suite et d’étudier si la suite de ces sommes a elle même une limite. C’est la notion de série,dont un exemple classique est la série géométrique. Nous détaillons dans ce chapitre l’étude des sériesnumériques, puis nous appliquons les théorèmes de convergence uniforme pour étudier ensuite les sériesde fonctions.
PRELIMINAIRES : L’utilisation du symbole∑
Le symbole de sommation va être utilisé de manière systématique dans le cadre des séries. Nous rap-pelons rapidement ses principes d’utilisation dans le cas des sommes finies.
Si (u1, · · · , un) désigne une famille de nombres (ou plus généralement d’éléments d’un espace vectoriel),on note
u1 + · · ·+ un =
n∑
k=1
uk .
L’indice k est l’indice de sommation. C’est un indice muet qui peut être remplacé par d’autres lettres(autres que n et u dans l’exemple ci-dessus). Par exemple
u1 + · · ·+ un =
n∑
p=1
up .
Cette somme a des propriétés de linéarités évidentes :
n∑
p=1
(λup + µvp) = λ
n∑
p=1
up + µ
n∑
p=1
vp .
On a également la relation de Chasles :
r∑
p=1
up +
n∑
p=r+1
up =
n∑
p=1
up .
Il est possible de faire des changements de variable sur l’indice de sommation. Par exemple, si a est unentier, les sommes suivantes sont les mêmes :
n∑
p=1
up =n+2∑
q=3
uq−2 =a+n∑
r=a+1
ur−a .
Comme pour un changement de variable dans une intégrale, on n’oubliera pas de changer les borneségalement, mais contrairement à une intégrale on ne peut effectuer que des changement de variable du
EW 2
type
q = p+ a ,
où a est un nombre entier fixé. Bien sûr on peut ensuite reprendre la même lettre comme indice desommation :
n∑
p=1
up =n+2∑
p=3
up−2 .
Si (un)n≥0 est une suite de nombres (ou d’éléments d’un espace vectoriel), et si A est une partie finienon vide de N,
A = {n1, · · · , np} ,
l’on posera
∑
k∈A
uk =
p∑
r=1
unr.
En raison de l’associativité et de la commutativité, cette somme ne dépend pas de l’ordre des termes.Lorsque A = ∅, on pose par convention
∑
k∈A
uk = 0 .
On dira que A est un ensemble d’indices.
En plus des propriétés de linéarités
∑
k∈A
(λuk + µvk) = λ∑
k∈A
uk + µ∑
k∈A
vk ,
on a d’autres propriétés que l’on obtient en changeant les ensembles d’indices :
1) Si A1, . . . , Ap sont des ensembles d’indices finis deux à deux disjoints , on a
∑
k∈A1∪...∪Ap
uk =
p∑
r=1
∑
k∈Ar
uk .
2) Soit A et B deux ensembles d’indices tels que A ⊂ B ⊂ N. Si la suite (un) est une suite de nombresréels positifs, on a
∑
k∈A
uk ≤∑
k∈B
uk .
3) Si A1, . . . , Ap sont des ensembles finis d’indices, et si la suite (un) est une suite de nombres réelspositifs, on a
∑
k∈A1∪...∪Ap
uk ≤p∑
r=1
∑
k∈Ar
uk .
EW 3
La propriété 1 est évidente. Pour la 2, il suffit d’écrire B = A ∪ (B \ A). On a alors un réuniond’ensembles disjoints, donc d’après 1,
∑
k∈B
uk =∑
k∈A
uk +∑
k∈B\A
uk ,
et comme les nombre sont positifs,∑
k∈B\A
uk ≥ 0 ,
ce qui donne l’inégalité voulue.
La propriété 3 se démontre par récurrence. On a pour deux ensembles
A1 ∪ A2 = (A1 \A2) ∪ (A2 \A1) ∪ (A1 ∩ A2) ,
ainsi queA1 = (A1 \A2) ∪ (A1 ∩ A2) et A2 = (A2 \A1) ∪ (A1 ∩A2) ,
et les ensembles écrits dans ces trois réunions sont deux à deux disjoints. Alors, on a les troissommes suivantes
∑
k∈A1∪A2
uk =∑
k∈A1\A2
uk +∑
k∈A2\A1
uk +∑
k∈A1∩A2
uk ,
∑
k∈A1
uk =∑
k∈A1\A2
uk +∑
k∈A1∩A2
uk ,
et∑
k∈A2
uk =∑
k∈A2\A1
uk +∑
k∈A1∩A2
uk .
On en déduit∑
k∈A1∪A2
uk =∑
k∈A1
uk +∑
k∈A2
uk −∑
k∈A1∩A2
uk ,
et comme la suite est positive∑
k∈A1∩A2
uk ≥ 0 ,
ce qui donne l’inégalité voulue.
La propriété est donc vraie pour une réunion de deux ensembles. Supposons qu’elle soit vraiepour une réunion de p ensembles. Alors, en écrivant
A1 ∪ . . . ∪ Ap ∪ Ap+1 = (A1 ∪ . . . ∪ Ap) ∪ Ap+1 ,
on a∑
k∈A1∪...∪Ap∪Ap+1
uk ≤∑
k∈A1∪...∪Ap
uk +∑
k∈Ap+1
uk ,
puis en appliquant l’hypothèse de récurrence
∑
k∈A1∪...∪Ap
uk ≤p∑
r=1
∑
k∈Ar
uk ,
EW 4
d’où l’on déduit∑
k∈A1∪...∪Ap∪Ap+1
uk ≤p+1∑
r=1
∑
k∈Ar
uk .
La propriété est donc vraie à l’ordre p+1. Comme elle est vraie pour p = 2 et p = 1, elle est vraiepour tout p ≥ 1. �
Il n’y a pas de difficulté notable pour généraliser ce qui précède lorsque les ensembles A sont des en-sembles finis de couples (ou de n−uplets) de nombres entiers. Nous verrons dans le paragraphe I-10,un exemple de sommation à deux indices.
Dans ce qui suit nous allons généraliser les sommations dans le cas d’ensembles d’indices dénombrables.
I. Les séries numériques
1. Définition des séries numériques
Soit (un)n≥n0une suite de nombres réels ou complexes. A partir de cette suite on définit une nouvelle
suite (Sn)n≥n0en posant
Sn =n∑
p=n0
up .
On appelle série numérique le couple ((un)n≥n0, (Sn)n≥n0
). Le nombre un est appelé terme généralde la série. Le nombre Sn est la somme partielle de rang (ou d’ordre) n de la série, et (Sn)n≥n0
est la suite des sommes partielles.
En pratique pour désigner une telle série, on dira « la série de terme général un ». (Par abus de langage
on dit parfois « la série
∞∑
n=n0
un », mais cette dénomination est à éviter).
On dira que la série de terme général un converge si la suite des sommes partielles converge, et qu’ellediverge dans le cas contraire.
Lorsque la série converge, on appellera somme de la série la limite de la suite des sommes partielleset l’on notera
limn→+∞
n∑
p=n0
up =∞∑
n=n0
un ,
et on appellera reste de rang (ou d’ordre) n de la série, le nombre
Rn =
∞∑
p=n0
up −n∑
p=n0
up =
∞∑
p=n+1
up .
EW 5
La suite (Rn)n≥n0converge donc vers 0.
On adoptera aussi la notation∞∑
n=n0
un = ∞ .
lorsque la limite de la suite des sommes partielles est infinie. (La série diverge dans ce cas).
Comme pour les intégrales la notation
∞∑
n=n0
un n’a a priori de sens que si la suite (Sn) a une limite et
ne doit être employée dans un calcul que dans ce cas.
Il est important de remarquer que, si la nature d’une série (convergence ou divergence) ne dépendpas des premiers termes, que l’on peut donc supprimer, ou modifier, par contre la valeur de la sommechange dans ce cas. Dans la suite nous supposerons pour simplifier n0 = 0.
Etudier si une série converge revient à étudier si une suite converge et les théorèmes sur les suites vontdonc s’appliquer. Par ailleurs l’étude des séries ressemble beaucoup à celle des intégrales généralisées
du type+∞∫
af(x) dx. Nous aurons même un théorème qui permet de comparer les unes et les autres
dans certains cas.
2. Quelques exemples de séries numériques
Nous allons donner dans ce paragraphe quelques exemples de méthodes servant à étudier la convergenceou à calculer la somme d’une série.
La série géométrique
Soit a ∈ C. La série de terme général an converge si et seulement si |a| < 1, et dans ce cas
∞∑
n=0
an =1
1− a.
On sait calculer les sommes partielles de la série.
Sn =
1− an+1
1− asi a 6= 1
n+ 1 si a = 1
.
Si a 6= 1, la suite (an) a une limite finie si et seulement si |a| < 1 et cette limite est nulle.
EW 6
On en déduit que la série de terme général an converge si et seulement si |a| < 1, et dans ce cas
∞∑
n=0
an =1
1− a.
Si a est un nombre réel plus grand que 1, la série diverge et la somme est infinie. Dans les autrescas la suite des sommes partielles n’a pas de limite. �
La série harmonique
La série de terme général 1/n diverge.
En effet, en remarquant que, si k ≥ 1, on a, puisque sur l’intervalle [ k, k + 1 ] , 1/x est majorépar 1/k,
k+1∫
k
dx
x≤ 1
k,
on en déduit en sommant ces inégalités terme à terme,
n∑
k=1
k+1∫
k
dx
x≤
n∑
k=1
1
k.
Mais le membre de gauche vautn+1∫
1
dx
x= ln(n+ 1) ,
d’oùln(n+ 1) ≤ Sn .
Il en résulte que la suite (Sn)n≥1 tend vers l’infini, et donc que la série de terme général 1/ndiverge.
�
Cet exemple montre comment l’on peut comparer une série a une intégrale. On verra un peu plus loinun résultat général permettant une telle comparaison.
EW 7
La série harmonique alternée
On étudie la série de terme général (−1)n−1/n. On utilise pour cela la formule de Taylor-Lagrange,appliquée à la fonction f qui à x > 0 associe ln(1+x). On voit facilement par récurrence que, si n ≥ 1,
f (n)(x) = (−1)(n−1)(n− 1)!(1 + x)−n ,
et donc, il existe cn dans ] 0, 1 [ tel que
f(1) =
n∑
k=0
f (k)(0)
k!+f (n+1)(cn)
(n+ 1)!,
soit
f(x) =
n∑
k=1
(−1)k−1
k+
(−1)n
n+ 1
1
(1 + cn)n+1.
On en déduit alors
∣
∣
∣
∣
∣
f(1)−n∑
k=1
(−1)k−1
k
∣
∣
∣
∣
∣
≤ 1
n+ 1
1
(1 + cn)n+1≤ 1
n+ 1,
et il résulte du théorème d’encadrement que la suite (Sn)n≥1 des sommes partielles admet f(1) = ln 2pour limite. La formule de Taylor est l’un des moyens qui permet de calculer la somme de certainesséries. Elle servira pour calculer la somme de séries de terme général anz
n (séries entières).
Un autre exemple de série dont le terme général n’est pas de signe constant
On montre que la série de terme général (−1)n−1/√n converge. On a
S2n+2 − S2n = − 1√2n+ 2
+1√
2n+ 1> 0 et S2n+3 − S2n+1 = − 1√
2n+ 2+
1√2n + 3
< 0 .
De plus
S2n+1 − S2n =1√
2n+ 1.
On constate donc que la suite (S2n)n≥1 est croissante, que la suite (S2n+1)n≥0 est décroissante, et quela différence (S2n+1 − S2n) converge vers 0. Les suites sont donc adjacentes et on la même limite finieℓ. Alors la suite (Sn)n≥1 converge aussi vers ℓ et la série de terme général (−1)n/
√n converge. On re-
marquera que cette méthode, qui elle aussi sera généralisée plus loin, ne donne pas la somme de la série.
EW 8
Le procédé télescopique
Soit (vn)n≥n0une suite numérique. On pose un = vn − vn+1. Alors la série de terme général
un converge si et seulement si la suite (vn) converge. De plus
∞∑
n=n0
un = vn0− limn→+∞
vn .
On a en effet, (c’est ce que l’on appelle le procédé télescopique),
n∑
k=n0
uk =
n∑
k=n0
(vk − vk+1) = vn0− vn+1 ,
donc la limite du membre de droite existe si et seulement si celle du membre de gauche existe,et on a égalité des limites. �
Si l’on sait écrire le terme général d’une série comme différence de deux termes successifs d’une même
suite, on arrivera donc à calculer la somme de la série. Par exemple, si un =1
n(n+ 1), la décomposition
en éléments simples donne
un =1
n− 1
n+ 1,
et donc la série de terme général un converge et
∞∑
n=1
1
n(n+ 1)= 1 .
3. Propriétés des séries numériques
Une condition nécessaire de convergence d’une série
Si la série de terme général un converge, alors la suite (un) converge vers 0.
En effet, on a
un =
n∑
k=0
uk −n−1∑
k=0
uk = Sn − Sn−1 ,
EW 9
donc, si la suite (Sn) a une limite finie S, on en déduit que (un) converge et que
limn→+∞
un = S − S = 0 .
�
Remarques : 1) l’exemple de la série harmonique montre qu’une suite (un) peut converger vers 0, sansque la série de terme général un ne converge ;
2) la situation rencontrée pour les séries n’est pas la même que pour les intégrales généralisées, puisqueune intégrale peut converger, sans que la fonction ne tende vers 0.
Les trois résultats suivants proviennent immédiatement des résultats correspondants sur les suites,appliqués aux suites des sommes partielles :
Somme de séries
Soit (un) et (vn) deux suites numériques. Si la série de terme général un et la série de termegénéral vn convergent, la série de terme général un + vn converge et
∞∑
n=0
(un + vn) =
∞∑
n=0
un +
∞∑
n=0
vn .
Si l’une des deux séries diverge et si l’autre converge, la série de terme général un+vn diverge.
Remarque : lorsque les deux séries divergent, on ne peut rien dire a priori de la somme.
On an∑
k=0
(uk + vk) =
n∑
k=0
uk +
n∑
k=0
vk ,
donc si les suites (∑nk=0 uk) et (
∑nk=0 vk) convergent la suite (
∑nk=0(uk + vk)) converge, et la
limite de la somme est égale à la somme des limites.
Si la série de terme général un converge et si la série de terme général un + vn converge, alors
n∑
k=0
vk =n∑
k=0
(uk + vk)−n∑
k=0
uk ,
et la série de terme général vn converge, donc si la série de terme général vn diverge, alors la sériede terme général un + vn diverge aussi. �
EW 10
Produit d’une série par un scalaire
Soit (un) une suite numérique et λ un nombre réel ou complexe non nul. Alors la série determe général λun est de même nature que la série de terme général un et, si elles convergent,
∞∑
n=0
(λun) = λ∞∑
n=0
un .
C’est évident à partir de la relation
n∑
k=0
(λuk) = λ
n∑
k=0
uk .
�
Critère de Cauchy
Soit (un) une suite numérique. La série de terme général un converge si et seulement si, pourtout ε > 0, il existe un entier N , tel que m > n > N implique
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
k=n
uk
∣
∣
∣
∣
∣
< ε .
Ce critère est exactement le critère de Cauchy appliqué à la suite (Sn) des sommes partiellespuisque
|Sm − Sn−1| =∣
∣
∣
∣
∣
m∑
k=n
uk
∣
∣
∣
∣
∣
.
�
4. Séries à termes positifs
On dira également « série positive » si tous les termes de la série sont positifs.
EW 11
Soit (un)n≥0 une suite positive. Si l’on pose
Sn =
n∑
k=0
uk ,
La suite (Sn)n≥0 est croissante, et la série de terme général un converge si et seulement si lasuite (Sn)n≥0 est majorée. De plus, pour tout entier n
Sn ≤∞∑
n=0
un .
On a
Sn+1 − Sn = un+1 ≥ 0 ,
et la suite (Sn) est croissante. Une telle suite converge si et seulement si elle est majorée. Si elleconverge, sa limite majore les termes de la suite. Sinon la limite est infinie. �
Critères de comparaison
Soit (un) et (vn) deux suites positives à partir d’un certain rang, telles que, à partir d’uncertain rang,
un ≤ vn .
Alors si la série de terme général vn converge, la série de terme général un converge.si la série de terme général un diverge, la série de terme général vn diverge.
Si l’on a 0 ≤ un ≤ vn pour n ≥ N , posons
Sn =
n∑
k=N
un et Tn =
n∑
k=N
vn .
On a alors, si n ≥ N , l’inégalité Sn ≤ Tn.
Si la série de terme général vn converge, on a, si n ≥ N ,
Sn ≤ Tn ≤∞∑
n=0
vn .
La suite (Sn) est croissante majorée. Alors la série de terme général un converge.
Si la série de terme général un diverge, limn→+∞
Sn = +∞ donc limn→+∞
Tn = +∞. Cela signifie que
la série de terme général vn diverge. �
EW 12
Soit (un) et (vn) deux suites de nombres réels, telles que, à partir d’un certain rang, vn soitde signe constant. On suppose que
un ∼ vn .
Alors la série de terme général un et la série de terme général vn sont de même nature.
On sait que si les suites sont équivalentes, alors un et vn ont le même signe à partir d’un certainrang.
Il suffit d’étudier le cas où les suites sont positives. (Sinon on applique le résultat à −un et −vn).On a, à partir d’un certain rang
un = εnvn ,
où (εn) est une suite qui converge vers 1. A partir d’un certain rang, on a alors
1
2≤ εn ≤ 2 ,
d’oùvn2
≤ un ≤ 2vn .
Si la série de terme général vn converge, alors la série de terme général 2vn converge, et d’aprèsle critère précédent la série de terme général un converge.
Si la série de terme général un converge, alors d’après le critère précédent la série de terme généralvn/2 converge, et la série de terme général vn converge. Les deux séries sont bien de même nature.
�
Il est important que les suites aient un signe constant comme le montre l’exemple suivant.
On pose
vn =(−1)n√
net un =
(−1)n√n
+1
n.
La série de terme général vn converge. Par contre la série de terme général un diverge comme sommed’une série convergente de terme général (−1)n/
√n et d’une série divergente de terme général 1/n.
Mais
un = vn(1 + vn) ∼ vn .
Si l’on est dans la situation du théorème précédent, on peut, suivant la nature de la série, en déduiredes équivalents soit sur les sommes partielles, soit sur les restes.
EW 13
Soit (un) et (vn) deux suites de nombres réels de signe constant à partir d’un certain rangtelles que,
un ∼ vn .
Alors si les séries convergent, on a
∞∑
k=n+1
uk ∼∞∑
k=n+1
vk ,
et si elles divergentn∑
k=0
uk ∼n∑
k=0
vk .
Remarque : si les séries convergent les restes convergent vers 0. Si les séries divergent, les sommespartielles admettent l’infini comme limite.
On suppose les suites positives à partir d’un certain rang (sinon on prend −un et −vn).
On a, à partir d’un certain rang,un = εnvn ,
où (εn) est une suite qui converge vers 1, et un et vn sont positifs.
1) On suppose que les séries convergent. Si (vn) est nulle à partir d’un certain rang, il en sera demême de (un). Les restes sont alors nuls à partir d’un certain rang et le résultat est évident dansce cas. On peut supposer que (vn) n’est pas nulle à partir d’un certain rang, donc les restes nonplus. Comme (εk) converge vers 1, pour tout ε > 0, il existe K tel que k ≥ K implique
1− ε < εk < 1 + ε ,
donc, en multipliant par vk ≥ 0 et en sommant
(1− ε)
∞∑
k=n+1
vk ≤∞∑
k=n+1
εkvk ≤ (1 + ε)
∞∑
k=n+1
vk ,
d’où l’on déduit
(1− ε)∞∑
k=n+1
vk ≤∞∑
k=n+1
uk ≤ (1 + ε)∞∑
k=n+1
vk ,
puis
1− ε ≤
∞∑
k=n+1
uk
∞∑
k=n+1
vk
≤ 1 + ε .
Ceci montre que la suite(∑∞
k=n+1 uk/∑∞k=n+1 vk
)
converge vers 1, donc que l’on a l’équivalence
∞∑
k=n+1
uk ∼∞∑
k=n+1
vk .
EW 14
2) On suppose que les séries divergent, les sommes partielles admettent l’infini comme limite etsont donc strictement positives à partir d’un certain rang. Pour tout ε > 0, il existe K tel quek ≥ K implique
1− ε
2< εk < 1 +
ε
2,
donc, en multipliant par vk ≥ 0 et en sommant, si n ≥ K,
(
1− ε
2
)
n∑
k=K+1
vk ≤n∑
k=K+1
εkvk ≤(
1 +ε
2
)
n∑
k=K+1
vk .
Alorsn∑
k=0
uk =K∑
k=0
uk +n∑
k=K+1
εkvk
se majore et l’on a
n∑
k=0
uk ≤K∑
k=0
uk +(
1 +ε
2
)
n∑
k=K+1
vk =
K∑
k=0
(
uk −(
1 +ε
2
)
vk
)
+(
1 +ε
2
)
n∑
k=0
vk ,
et se minore également et l’on obtient
n∑
k=0
uk ≥K∑
k=0
uk +(
1− ε
2
)
n∑
k=K+1
vk =
K∑
k=0
(
uk −(
1− ε
2
)
vk
)
+(
1− ε
2
)
n∑
k=0
vk .
Le nombre K étant fixé, les suites
K∑
k=0
(
uk −(
1 +ε
2
)
vk
)
n∑
k=0
vk
et
K∑
k=0
(
uk −(
1− ε
2
)
vk
)
n∑
k=0
vk
,
convergent vers 0, puisque le dénominateur admet l’infini comme limite, donc, il existe N ≥ K,tel que n ≥ N implique
K∑
k=0
(
uk −(
1 +ε
2
)
vk
)
n∑
k=0
vk
<ε
2et
K∑
k=0
(
uk −(
1− ε
2
)
vk
)
n∑
k=0
vk
> −ε2,
et par suite
1− ε <
n∑
k=0
uk
n∑
k=0
vk
< 1 + ε .
Ceci montre que la suite (∑n
k=0 uk/∑nk=0 vk) converge vers 1, donc que l’on a l’équivalence
n∑
k=0
uk ∼n∑
k=0
vk .
�
EW 15
Donnons maintenant un résultat qui permet de comparer une série à une intégrale.
Soit f une fonction définie sur un intervalle [N, +∞ [ , décroissante et positive. Alors la série
de terme général f(n), la série de terme général
n+1∫
n
f(x) dx, et l’intégrale
+∞∫
N
f(x) dx sont de
même nature.
Comme f est décroisante sur [N, +∞ [ , on a, si n ≤ x ≤ n+ 1, et si n ≥ N ,
f(n+ 1) ≤ f(x) ≤ f(n) .
et en intégrant
f(n+ 1) ≤n+1∫
n
f(x) dx ≤ f(n) .
Comme la série de terme général f(n) et la série de terme général f(n+1) sont de même nature,il résulte du critère de comparaison que la série de terme général f(n) et la série de terme généraln+1∫
n
f(x) dx sont de même nature.
Notons
F (x) =
x∫
N
f(t) dt .
Alorsn∑
k=N
k+1∫
k
f(x) dx = F (n+ 1) .
La fonction F est croissante. Il en résulte qu’elle possède une limite (finie ou non) à l’infini, etque cette limite est aussi celle de la suite (F (n+ 1)), donc, dans tous les cas,
∞∑
n=N
n+1∫
n
f(x) dx =
+∞∫
N
f(x) dx ,
et l’intégrale
+∞∫
N
f(x) dx est de même nature que la série de terme général
n+1∫
n
f(x) dx �
EW 16
5. Séries de comparaison
Nous avons déjà rencontré quelques séries positives : série géométrique (si la raison est positive), sérieharmonique. En voici quelques autres dont on obtient facilement la nature par comparaison à l’inté-grale de même nom.
Séries de Riemann
La série de terme général 1/nα converge si et seulement si α > 1.
Si α ≤ 0, la suite (1/nα) ne converge pas vers 0 et la série de terme général 1/nα diverge.
Si α > 0, on pose, pour x ≥ 1,
f(x) =1
xα.
C’est une fonction décroissante positive. Alors la série de Riemann est de même nature que
l’intégrale de Riemann
+∞∫
1
dx
xα�
Remarque : la série harmonique et la série de Riemann obtenue si α = 1.
Séries de Bertrand
La série de terme général 1/(nα(lnn)β) converge si et seulement si l’on a un des deux cassuivants :(i) α > 1 ;(ii) α = 1 et β > 1.
Si α ≤ 0, la suite (1/(nα(lnn)β)) ne converge pas vers 0 et la série de terme général 1/(nα(lnn)β)diverge.
Si α > 0, on pose, pour x ≥ 2,
f(x) =1
xα(lnx)β.
En calculant la dérivée de f , on constate qu’elle est négative sur un intervalle de la forme[N, +∞ [ , donc f est une fonction décroissante positive sur cet intervalle. Alors la série de
Bertrand est de même nature que l’intégrale de Bertrand
+∞∫
N
dx
xα(lnx)β�
EW 17
6. Règles de convergence
En plus des critères de comparaison, on a dans le cas des séries des règles qui permettent de savoirsi une série à termes positifs converge ou non. Ces règles sont obtenues par comparaison aux sériesgéométriques ou aux séries de Riemann. En voici quelques unes parmi les plus utilisées, que nous for-mulerons en termes de limite. (Il existe d’autres formulations plus générales).
Règle de Cauchy
Soit (un) une suite de nombres positifs. On suppose que la suite ( n√un) possède une limite ℓ.
Alors- si 0 ≤ ℓ < 1 la série de terme général un converge,- si ℓ > 1 ou si ℓ = 1+ la série de terme général un diverge.
Si la suite ( n
√un) converge vers ℓ < 1, soit a tel que
ℓ < a < 1 .
Alors, il existe N tel que n ≥ N implique
n√un ≤ a ,
soitun ≤ an .
On compare la série à une série géométrique de raison a < 1. La série de terme général unconverge donc.
Si la suite ( n√un) converge vers ℓ > 1 ou converge vers 1 par valeurs supérieures, alors, à partir
d’un certain rangn√un ≥ 1 ,
et doncun ≥ 1 .
La suite (un) ne peut avoir une limite nulle, et la série de terme général un diverge. �
Remarques : 1) Ne pas confondre le critère de Cauchy et la règle de Cauchy.
2) La règle de Cauchy ne permet pas de conclure si ℓ = 1. Par exemple, si un = n−α, on a
n√un = e−α lnn/n ,
EW 18
et cette suite a pour limite 1, alors que la convergence de la série de Riemann dépend de α.
3) Une série de terme général un peut converger sans que la suite ( n√un) n’ait de limite. Si elle en a
une alors nécessairement ℓ ≤ 1.
4) La règle de Cauchy s’applique bien en général pour des séries dont le terme général est une puissancede la forme abnn .
Règle de d’Alembert
Soit (un) une suite de nombres strictement positifs. On suppose que la suite (un+1/un) possèdeune limite ℓ. Alors- si 0 ≤ ℓ < 1 la série de terme général un converge,- si ℓ > 1 ou si ℓ = 1+ la série de terme général un diverge.
Si la suite (un+1/un) converge vers ℓ < 1, soit a tel que
ℓ < a < 1 .
Alors, il existe N tel que n ≥ N implique
un+1
un< a ,
donc, si n ≥ N + 1, on aunun−1
< a , . . . ,uN+1
uN< a ,
et en multipliant terme à terme ces n−N inégalités
unuN
< an−N .
Comme uN est une constante, on compare la série à une série géométrique de raison a < 1. Lasérie de terme général un converge donc.
Si la suite (un+1/un) converge vers ℓ > 1, ou converge vers 1 par valeurs supérieures, alors, àpartir d’un certain rang
un+1
un≥ 1 ,
et la suite (un) est croissante à partir d’un certain rang. Comme elle est strictement positive, ellene peut avoir une limite nulle, et la série de terme général un diverge. �
Remarques : 1) La règle de d’Alembert ne permet pas de conclure si ℓ = 1, comme le montre denouveau l’exemple des séries de Riemann.
EW 19
2) Une série de terme général un peut converger sans que la suite (un+1/un) n’ait de limite. Si elle ena une alors nécessairement ℓ ≤ 1.
3) La règle de d’Alembert s’applique bien en général pour des séries dont le terme général contient desproduits de facteurs dépendant de n, des factorielles par exemple.
Terminons ce paragraphe avec un résultat qui relie les deux régles précédentes.
Soit (un) une suite de nombres stictement positifs. Si la suite (un+1/un) possède une limite,alors la suite ( n
√un) possède la même limite.
Supposons que (un+1/un) converge vers une limite finie non nulle ℓ, et soit ε > 0. Il existe N telque n ≥ N implique
ℓ− ε
2<un+1
un< ℓ+
ε
2.
On en déduit, comme dans la démonstration de la règle de d’Alembert, que, si n ≥ N + 1,
uN
(
ℓ− ε
2
)n−N
< un < uN
(
ℓ+ε
2
)n−N
,
donc
u1/nN
(
ℓ− ε
2
)(n−N)/n
< u1/nn < u1/nN
(
ℓ+ε
2
)(n−N)/n
.
Lorsque n tend vers l’infini, les membres de droite et de gauche convergent vers ℓ+ ε/2 et ℓ− ε/2respectivement. Il existe donc un entier N ′ tel que n ≥ N ′ implique
u1/nN
(
ℓ+ε
2
)(n−N)/n
−(
ℓ+ε
2
)
<ε
2,
et un entier N ′′ tel que n ≥ N ′′ implique
−ε2< u
1/nN
(
ℓ− ε
2
)(n−N)/n
−(
ℓ− ε
2
)
.
Alors si n ≥ max(N,N ′, N ′′), on a
ℓ− ε < u1/nn < ℓ+ ε ,
ce qui montre que la suite ( n
√un) converge aussi vers ℓ. On adapte la démonstrartion si ℓ = 0 ou
ℓ = +∞. �
Il résulte de cette propriété que si les limites figurant dans les règles de Cauchy et de d’Alembertexistent, elles sont égales, donc, si l’on a obtenu ℓ = 1 par l’une des deux règles, il est inutile d’essayerl’autre. Par contre la limite peut exister pour la règle de Cauchy et pas pour celle de d’Alembert commele montre l’exemple suivant.
EW 20
Posons un = n−2+(−1)n . On a
u2n+1 = (2n + 1)−3 et u2n = (2n)−1 .
Alorsu2n+1
u2n=
2n
(2n + 1)3,
et cette suite converge vers 0. Alors que
u2nu2n−1
=(2n − 1)3
2n,
et cette suite admet +∞ comme limite, donc la suite (un+1/un) n’a pas de limite. Par contre
2n√u2n = exp
(
− ln(2n)
2n
)
et 2n+1√u2n+1 = exp
(
−3ln(2n + 1)
2n+ 1
)
,
et ces deux suites convergent vers 1, donc ( n√un) converge vers 1.
Remarque : en multipliant la suite précédente par an, on obtiendra comme limite a.
Règle de Riemann
Plutôt que de retenir le résultat donné dans cette règle, il est préférable de retenir la démonstration.
Soit (un) une suite de nombres strictement positifs. On suppose que la suite (nαun) possèdeune limite ℓ Alors- si ℓ est finie et α > 1 la série de terme général un converge.- si ℓ > 0 et si α ≤ 1 la série de terme général un diverge.
Si la limite ℓ est finie, à partir d’un certain rang, on a
nαun < ℓ+ 1 ,
et donc
un <ℓ+ 1
nα.
La série dont le terme général est le membre de droite converge, donc la série de terme généralun converge.
Si la limite ℓ n’est pas nulle, à partir d’un certain rang, on a
nαun > K ,
où
K =
{
ℓ/2 si ℓ est finie1 si ℓ est infinie
,
EW 21
donc
un >K
nα.
La série dont le terme général est le membre de droite diverge, donc la série de terme général undiverge. �
7. Série extraite - Réarrangement de l’ordre des termes - Sommationpar paquets
Les séries positives ont des propriétés qui permettent de les sommer « dans tous les sens » et géné-ralisent les propriétés que l’on a avec les ensembles finis d’indices. Dans les propositions suivantes, lasomme des séries considérées existe nécessairement (finie ou non).
Soit (un)n≥0 une suite de nombres réels positifs, et ϕ une application strictement croissantede N dans N. Alors
∞∑
n=0
uϕ(n) ≤∞∑
n=0
un .
En particulier, si la série de terme général un converge, la série de terme général uϕ(n) conver-gera également.
Posons vn = uϕ(n). L’application ϕ étant strictement croissante, on a nécessairement ϕ(n) ≥ n,donc la suite (ϕ(n)) admet +∞ comme limite. Par ailleurs
ϕ({0, 1, . . . , n}) ⊂ {0, 1, . . . ϕ(n)} ,
doncn∑
k=0
vk =n∑
k=0
uϕ(k) ≤ϕ(n)∑
r=0
ur ,
et en faisant tendre n vers l’infini∞∑
k=0
vk ≤∞∑
r=0
ur .
�
En prenant les termes d’une suite extraite de (un), on obtient donc une série dont la somme est infé-rieure à la première.
On peut également réordonner les termes de la série.
EW 22
Soit (un)n≥0 une suite de nombres réels positifs, et ψ une bijection de N sur N. Alors
∞∑
n=0
uψ(n) =
∞∑
n=0
un .
Remarque : sauf si ψ = IdN, l’application ψ n’est pas strictement croissante.
Le principe de la démonstration est le même que dans la proposition précédente.
Posons vn = uψ(n). Soit pn le plus grand des nombres ψ(0), . . . , ψ(n). L’application ψ étantbijective, l’ensemble
ψ({0, 1, . . . , n}) = {ψ(0), . . . , ψ(n)}contient n+1 éléments et ne peut être inclus strictement dans {0, . . . , n}, donc on a nécessairementpn ≥ n, et la suite (pn) admet +∞ comme limite. Par ailleurs
ψ({0, 1, . . . , n}) ⊂ {0, 1, . . . pn} ,
doncn∑
k=0
vk =
n∑
k=0
uψ(k) ≤pn∑
r=0
ur ,
et en faisant tendre n vers l’infini∞∑
k=0
vk ≤∞∑
r=0
ur .
Mais puisque un = vψ−1(n), la démonstration précédente appliquée à ψ−1 donnera l’inégalitéinverse
∞∑
k=0
uk ≤∞∑
r=0
vr .
On a donc égalité. �
Si A est un sous-ensemble dénombrable de N et si ϕ est l’application strictement croissante de N dansN telle que
A = {ϕ(0), . . . , ϕ(n) . . .} ,on posera
∑
n∈A
un =
∞∑
n=0
uϕ(n) .
En fait la proposition précédente montre que l’on peut réarranger l’ordre des termes sans changer lavaleur de cette somme, et donc on obtient la même somme si ϕ est une application de N dans N
injective telle queA = {ϕ(0), . . . , ϕ(n) . . .} .
Cette notation ayant également un sens si A est un ensemble fini, on peut alors regrouper les termesde la suite « par paquets » avant de sommer, comme le montre le résultat suivant.
EW 23
Soit une suite (un) de nombres réels positifs.
1) Si (Ar)r≥1 est une partition de N. on a
∞∑
k=0
uk =
∞∑
r=1
∑
k∈Ar
uk .
2) Si (Ar)1≤r≤ρ est une partition de N. on a
∞∑
k=0
uk =
ρ∑
r=1
∑
k∈Ar
uk .
Nous faisons la démonstration dans le premier cas. La démonstration du second cas est une ver-sion simplifiée de la première.
Rappelons tout d’abord qu’une partition est formée de sous-ensembles non vides deux à deuxdisjoints dont la réunion est N tout entier, donc tout nombre entier n appartient à un élémentet un seul de la partition. Pour tout j tel que 1 ≤ j ≤ n, il existe p tel que j appartienne à Ap.Alors il existe des indices p1, . . . , ps tels que les ensembles Apr soient disticts et
{0, 1, . . . , n} ⊂s⋃
r=1
Apr .
Si l’on noteBr = {0, 1, . . . , n} ∩Apr ,
on a encore
{0, 1, . . . , n} ⊂s⋃
r=1
Br .
Comme tous ces ensembles sont finis,
n∑
k=0
uk ≤s∑
r=1
∑
k∈Br
uk .
Mais, puisque Br est inclus dans Apr , on a
∑
k∈Br
uk ≤∑
k∈Apr
uk ,
etn∑
k=0
uk ≤s∑
r=1
∑
k∈Apr
uk .
Mais la série de terme général∑
k∈Ar
uk étant positive
s∑
r=1
∑
k∈Apr
uk ≤∞∑
r=1
∑
k∈Ar
uk ,
EW 24
(Remarque : les sommes peuvent être infinies). Finalement
n∑
k=0
uk ≤∞∑
r=1
∑
k∈Ar
uk ,
et comme ceci est vrai pour tout n
∞∑
k=0
uk ≤∞∑
r=1
∑
k∈Ar
uk .
Montrons l’inégalité inverse.
Si Ar est dénombrable, soit ϕr l’application strictement croissante de N dans N telle que
Ar = {ϕr(n) |n ∈ N } .
Si Ar est fini de cardinal sr, soit ϕr l’application strictement croissante de {0, . . . , sr − 1} dansN telle que
Ar = {ϕr(n) | 0 ≤ n ≤ sr − 1 } .Regardons l’ensemble
Ap,n = {ϕr(k) | 1 ≤ r ≤ p , 0 ≤ k ≤ inf(n, sp) } .
Les nombres ϕr(k) sont des entiers tous différents donc,
∑
j∈Ap,n
uj ≤∞∑
k=0
uk .
Mais∑
j∈Ap,n
uj =
p∑
r=1
inf(n,sp)∑
k=0
uϕr(k) ,
doncp∑
r=1
inf(n,sp)∑
k=0
uϕr(k) ≤∞∑
k=0
uk .
Alors, si n tend vers l’infinip∑
r=1
∑
k∈Ar
uk ≤∞∑
k=0
uk ,
puis si p tend vers l’infini
∞∑
r=1
∑
k∈Ar
uk ≤∞∑
k=0
uk .
On a donc bien égalité. �
En particulier on a le cas des suites d’indices de rang pair et de rang impair.
EW 25
Soit (un)n≥0 une suite de nombres réels positifs. Alors
∞∑
n=0
un =
∞∑
n=0
u2n +
∞∑
n=0
u2n+1 .
8. Série absolument convergente
Soit (un)n≥0 une suite numérique. On dira que la série de terme général un converge absolument sila série de terme général |un| est convergente.
On a la même situation et les mêmes résultats que pour les intégrales. Les critères de comparaisons’appliquent aux suites |un| et donnent des critères de convergence absolue. De plus, dans le cadre desséries, on pourra appliquer les règles de Cauchy, d’Alembert et Riemann. On a également :
Soit (un)n≥0 une suite numérique. Si la série de terme général un converge absolument, alorselle converge. De plus
∣
∣
∣
∣
∣
∞∑
n=0
un
∣
∣
∣
∣
∣
≤∞∑
n=0
|un| .
Soit ε > 0. Il existe N , tel que m > n > N implique
m∑
k=n
|uk| < ε .
Mais∣
∣
∣
∣
∣
m∑
k=n
uk
∣
∣
∣
∣
∣
≤m∑
k=n
|uk| ,
donc
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
k=n
uk
∣
∣
∣
∣
∣
≤ ε ,
et le critère de Cauchy montre que la série de terme général un converge. On a également, pourtout entier m,
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
k=0
uk
∣
∣
∣
∣
∣
≤m∑
k=0
|uk| ,
et en faisant tendre m vers l’infini∣
∣
∣
∣
∣
∞∑
n=0
un
∣
∣
∣
∣
∣
≤∞∑
n=0
|un| .
�
EW 26
On peut pour les séries absolument convergentes, appliquer certains des résultats obtenus pour lesséries positives.
Remarquons tout d’abord que si un est le terme général d’une série absolument convergente, et ϕ uneapplication strictement croissante de N dans N, alors la série de terme général uϕ(n) est absolumentconvergente. On a donc
∞∑
n=0
|uϕ(n)| ≤∞∑
n=0
|un| ,
mais on n’a pas nécessairement∣
∣
∣
∣
∣
∞∑
n=0
uϕ(n)
∣
∣
∣
∣
∣
≤∣
∣
∣
∣
∣
∞∑
n=0
un
∣
∣
∣
∣
∣
.
Pour le problème des réarrangements on a le résultat suivant.
Soit (un)n≥0 une suite de nombres réels ou complexes, et ψ une bijection de N sur N. Alors, lasérie de terme général uψ(n) converge absolument si et seulement si la série de terme généralun converge absolument et dans ce cas
∞∑
n=0
uψ(n) =
∞∑
n=0
un .
D’après le résultat pour les séries positives, la série de terme général |un| et la série de termegénéral |uψ(n)| sont de même nature, donc la série de terme général uψ(n) converge absolument siet seulement si la série de terme général un converge absolument. Il s’agit de voir que les sommesdes deux séries sont alors égales.
Soit n un entier naturel. Notons An l’ensemble des nombres entiers p tels que
{0, . . . , p} ⊂ {ψ(0), . . . , ψ(n)} .
Si n ≥ ψ−1(0), l’ensemble An contient 0 et n’est donc pas vide. C’est un ensemble fini, puisqu’ilcontient au plus n+1 éléments. Notons alors pn le plus grand élément de cet ensemble. On formeainsi une suite (pn)n≥ψ−1(0). Si p appartient à An, alors, on a les inclusions
{0, . . . , p} ⊂ {ψ(0), . . . , ψ(n)} ⊂ {ψ(0), . . . , ψ(n+ 1)} ,
et p appartient à An+1. On en déduit que An est inclus dans An+1 et donc que pn ≤ pn+1. Lasuite (pn)n≥ψ−1(0) est croissante.
Supposons que cette suite croissante d’entiers n’admette pas l’infini comme limite. Alors elleconverge, et elle est donc stationnaire. Soit P sa limite. A partir d’un certain rangN , on a pn = P .Si n ≥ max(ψ−1(P + 1), N), alors P + 1 = ψ(ψ−1(P + 1)) est inclus dans {ψ(0), . . . , ψ(n)}, etégalement
{0, . . . , P} ⊂ {ψ(0), . . . , ψ(n)} ,
EW 27
donc{0, . . . , P, P + 1} ⊂ {ψ(0), . . . , ψ(n)} ,
etpn ≥ P + 1 .
On obtient une contradiction. Il en résulte que la suite (pn) admet +∞ pour limite.
Comme la série de terme général un converge absolument, la suite (Rn) des restes de la série determe général |un| converge vers 0. Alors la suite (Rpn) converge également vers 0.
Notons Vn l’ensemble {ψ(0), . . . , ψ(n)}\{0, . . . , pn}. Les nombres de cet ensemble sont supérieursà pn + 1. On a alors
∣
∣
∣
∣
∣
n∑
k=0
uψ(k) −pn∑
p=0
up
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
p∈Vn
up
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤∑
p∈Vn
|up| ≤∞∑
p=pn+1
|up| = Rpn ,
et il résulte du théorème de comparaison que le membre de gauche converge vers 0. Alors
n∑
k=0
uψ(k) =
(
n∑
k=0
uψ(k) −pn∑
p=0
up
)
+
pn∑
p=0
up ,
et cette suite converge vers∞∑
p=0
up, ce qui donne l’égalité voulue. �
Comme pour les série positives, si A est un sous-ensemble dénombrable ou fini de N on peut alors
donner un sens à∑
k∈A
uk. On a alors également la possibilité de sommer par paquets.
Soit (Ar)r≥1 une partition de N. On suppose que la série de terme général (un) est absolumentconvergente. Alors on a l’égalité
∞∑
k=0
uk =∞∑
r=1
∑
k∈Ar
uk ,
et toutes les séries figurant dans cette égalité sont absolument convergentes.
Remarque : ici aussi, ce qui précède reste vrai si le nombre des sous-ensembles Ar de la partition est fini.
Pour ne pas alourdir la démonstration, nous supposons que les ensembles Ar sont tous dénom-brables.
Tout d’abord, comme la série de terme général |un| converge, on a l’égalité
∞∑
k=0
|uk| =∞∑
r=1
∑
k∈Ar
|uk| ,
EW 28
et comme la somme du membre de gauche est finie, les sommes du membre de droite le sontaussi. Alors, puisque
∣
∣
∣
∣
∣
∑
k∈Ar
uk
∣
∣
∣
∣
∣
≤∑
k∈Ar
|uk| ,
il en résulte que la série de terme général∑
k∈Ar
uk converge absolument.
Soit ϕr l’application de N dans N strictement croissante telle que
Ar = {ϕr(n) |n ∈ N } .
Notons Un,m l’ensemble
m⋃
j=1
{ϕj(0), . . . , ϕj(n)} et considérons l’ensemble Yn,m des nombres entiers
p tels que
{0, . . . , p} ⊂ Un,m .
Comme les Ar forment une partition de N, le nombre 0 appartient nécessairement à un telensemble, et Yn,m n’est pas vide si n et m sont assez grands. C’est par ailleurs un ensemble fini,donc il possède une borne supérieure pn,m. On constate facilement que, si n ≤ n′ et m ≤ m′
pn,m ≤ pn′,m′ ,
puisque l’on a dans ce cas l’inclusion
m⋃
j=1
{ϕj(0), . . . , ϕj(n)} ⊂m′
⋃
j=1
{ϕj(0), . . . , ϕj(n′)} .
Si l’ensemble Yn,m était borné, il existerait N et M entiers tels que la borne supérieure soit pN,M ,et donc si n ≥ N et m ≥M , on aurait également
pn,m = pN,M .
Mais pN,M + 1 appartient nécessairement à un ensemble Ar, et donc à un ensemble Un,m quicontiendrait alors {0, . . . , pN,M , pN,M + 1}, et donc pN,M ne serait pas la borne supérieure deYn,m, d’où une contradiction. Alors, quel que soit K, il existe N et M tels que
pN,M ≥ K ,
et l’on aura alors, pour tout n ≥ N et m ≥M ,
pn,m ≥ K .
On note enfin
Vn,m = Un,m \ {0, . . . , pn,m} .
On se donne ε > 0 et on cherche à majorer par ε la différence
Dm =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
r=1
∞∑
k=0
uϕr(k) −∞∑
j=0
uj
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
EW 29
On commence par majorer Dm, avec l’inégalité triangulaire :
Dm ≤ Rm,n + Sm,n + Tm,n ,
où
Rm,n =
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
r=1
∞∑
k=0
uϕr(k) −m∑
r=1
n∑
k=0
uϕr(k)
∣
∣
∣
∣
∣
,
Sm,n =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
r=1
n∑
k=0
uϕr(k) −pn,m∑
j=0
uj
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
j∈Vn,m
uj
∣
∣
∣
∣
∣
∣
,
et
Tm,n =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
pn,m∑
j=0
uj −∞∑
j=0
uj
∣
∣
∣
∣
∣
∣
.
On a les majorations :
Rm,n ≤m∑
r=1
∞∑
k=n+1
|uϕr(k)| ,
Sm,n ≤∑
j∈Vn,m
|uj | ≤∞∑
j=pn,m+1
|uj | ,
et enfin
Tm,n ≤∞∑
j=pm,n+1
|uj| ,
donc
Dm ≤m∑
r=1
∞∑
k=n+1
|uϕr(k)|+ 2
∞∑
j=pm,n+1
|uj | .
Puisque la série de terme général |uk| converge, il existe K tel que k ≥ K implique
∞∑
j=K+1
|uj| <ε
3.
On a vu qu’il existe N et M tels que, n ≥ N et m ≥M , implique
pn,m ≥ K ,
donc∞∑
j=pm,n+1
|uj | <ε
3.
Fixons m ≥M . Puisque la série de terme général uϕr(k) converge absolument, pour r entre 1 etn, il existe Nr tel que n ≥ Nr implique
∞∑
k=n+1
|uϕr(k)| <ε
3m.
Alors en choisssant un entier n supérieur à N , N1, . . .Nm, on en déduit
Dm ≤m∑
k=1
ε
3m+ 2
ε
3= ε .
EW 30
Il en résulte que
limm→+∞
m∑
r=1
∞∑
k=0
uϕr(k) =
∞∑
n=0
un ,
ce qui donne l’égalité∞∑
k=0
uk =∞∑
r=1
∑
k∈Ar
uk .
�
9. Séries semi-convergentes
Lorsque une série converge sans converger absolument, on dit qu’elle est semi-convergente.Donnons tout d’abord un résultat bien utile.
Si la série de terme général un est semi-convergente, et la série le terme général vn est abso-lument convergente, alors la série de terme général un + vn est semi-convergente.
Si la série de terme général un + vn était absolument convergente, alors
|un| ≤ |un + vn|+ |vn| ,
et la série de terme général un serait absolument convergente. �
Par contre la somme de deux séries semi-convergentes peut être absolument convergente.
Pour montrer qu’une série converge, sans être absolument convergente, on utilise fréquemment un cri-tère spécial appelé, critère d’Abel. Nous allons commencer par donner un cas particulier, le critère deLeibniz.
Soit (vn)n≥0 une suite monotone tendant vers 0. Alors la série alternée de terme général(−1)nvn converge. De plus
∣
∣
∣
∣
∣
∞∑
k=n+1
(−1)kvk
∣
∣
∣
∣
∣
≤ |vn+1| .
On peut supposer la suite (vn) décroissante positive (sinon on considère −vn). La démonstrationest la même que celle effectuée dans un des exemples du paragraphe I-2. On considère la suite(Sn) des sommes partielles. Alors
S2n+2 − S2n = v2n+2 − v2n+1 ≤ 0 et S2n+1 − S2n−1 = −v2n+1 + v2n ≥ 0 .
EW 31
La suite (S2n) est décroissante, et la suite (S2n+1) est croissante. Comme
S2n+1 − S2n = −v2n+1 ,
la suite (S2n+1 − S2n) converge vers 0. Les suites (S2n) et (S2n+1) sont donc adjacentes et ontla même limite finie S. Alors c’est la limite de la suite (Sn), ce qui montre que la série de termegénéral (−1)nvn converge. De plus, pour tout entier n,
S2n+1 ≤ S ≤ S2n+2 = S2n+1 + v2n+2 ,
donc
0 ≤ S − S2n+1 ≤ v2n+2 .
De même
S2n − v2n+1 = S2n+1 ≤ S ≤ S2n ,
donc
−v2n+1 ≤ S − S2n ≤ 0 .
On en déduit que, pour tout entier n,
|Sn − S| ≤ vn+1 .
�
Le reste d’une série alternée est donc majoré, en valeur absolue, par la valeur absolue du premier termenégligé. On a même, si on le désire, le signe de l’erreur commise en prenant Sn comme valeur approchéede S.
En particulier il résulte immédiatement de ce critère que la série de terme général (−1)n/nα convergesi α > 0. On sait qu’elle converge absolument si et seulement si α > 1, donc si 0 < α ≤ 1 elle estsemi-convergente. (Si α ≤ 0, le terme général de la série ne tend pas vers 0 et la série diverge).
Le critère d’Abel.
Soit (vn)n≥0 une suite monotone qui converge vers 0. Soit (wn)n≥0 une suite de nombres réelsou complexes, telle que les sommes partielles wn + wn+1 + · · ·wm soient majorées par unnombre M indépendant de n et de m. Alors la série de terme général un = vnwn converge.De plus
∣
∣
∣
∣
∣
∞∑
k=n+1
vkwk
∣
∣
∣
∣
∣
≤M |vn+1| .
Le critère de Leibniz est le cas particulier où wn = (−1)n, avec M = 1.
EW 32
On peut supposer que (vn) est décroissante positive, sinon on prend −vn. La démonstrationrepose sur la décomposition d’Abel
m∑
p=n
vpwp = vm
(
m∑
k=n
wp
)
+ (vm−1 − vm)
(
m−1∑
k=n
wp
)
+ · · ·+ (vn − vn+1)
(
n∑
k=n
wp
)
.
On a donc
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
p=n
vpwp
∣
∣
∣
∣
∣
≤ |vm|∣
∣
∣
∣
∣
m∑
k=n
wp
∣
∣
∣
∣
∣
+ |vm−1 − vm|∣
∣
∣
∣
∣
m−1∑
k=n
wp
∣
∣
∣
∣
∣
+ · · ·+ |vn − vn+1|∣
∣
∣
∣
∣
n∑
k=n
wp
∣
∣
∣
∣
∣
,
et, en majorant chaque somme par M ,
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
p=n
vpwp
∣
∣
∣
∣
∣
≤M(|vm|+ |vm−1 − vm|+ · · ·+ |vn − vn+1|) .
Mais si la suite (vn) est décroissante positive,
|vm|+ |vm−1 − vm|+ · · ·+ |vn − vn+1| = vm + (vm−1 − vm) + · · ·+ (vn − vn+1) = vn = |vn| ,
Il en résulte que∣
∣
∣
∣
∣
m∑
p=n
vpwp
∣
∣
∣
∣
∣
≤M |vn| .
Comme la suite (vn) converge vers 0, il existe N tel que n ≥ N implique |vn| < ε/M , donc, sim > n ≥ N , on a
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
p=n
vpwp
∣
∣
∣
∣
∣
≤ ε ,
ce qui d’après le critère de Cauchy, montre que la série de terme général un converge. De plus,en faisant tendre m vers l’infini
∞∑
p=n
vpwp ≤M |vn| ,
donc pour le reste Rn de la série
|Rn| ≤M |vn+1| .
�
Comme application de ce critère, on a le résultat suivant.
Soit a, b et α des nombres réels. Alors la série de terme généralcos(an+ b)
nαconverge si α > 0
et a 6= 2kπ (k entier).
EW 33
Si l’on pose wn = cos(at + b), et vn = 1/nα, on voit déjà que la suite (vn) décroit et convergevers 0, si α > 0.
Pour calculer la somme wn+ · · ·+wm, on considère wn comme la partie réelle de ei(an+b], et l’oncalcule
ei(an+b) + ei(a(n+1)+b) + · · ·+ ei(am+b) = ei(an+b)(
1 + eia + · · ·+ ei(m−n)a)
.
On reconnaît la somme des termes d’une suite géométrique de raison eia. Cette raison n’est paségale à 1, puisque a 6= 2kπ, donc
1 + eia + · · ·+ ei(m−n)a =1− ei(m−n+1)a
1− eia,
d’où
|ei(an+b) + ei(a(n+1)+b) + · · ·+ ei(am+b)| = |1− ei(m−n+1)a||1− eia| .
Mais|1− ei(m−n+1)a| ≤ 1 + |ei(m−n+1)a| = 2 ,
donc
|ei(an+b) + ei(a(n+1)+b) + · · ·+ ei(am+b)| ≤ 2
|1− eia| =M .
Mais puisque la valeur absolue de la partie réelle d’un nombre complexe est inférieure à sonmodule, on obtient
|wn + · · ·+ wm| ≤ |ei(an+b) + ei(a(n+1)+b) + · · ·+ ei(am+b)| ,
et finalement|wn + · · ·+ wm| ≤M .
On peut donc appliquer le critère d’Abel et la série de terme général vnwn converge. �
En fait on a montré que la série de terme général eina/nα convergeait avec les mêmes conditions α > 0et a 6= 2kπ.
On peut préciser le résultat précédent en disant que la série de terme généralcos(an+ b)
nαest semi-
convergente si 0 < α ≤ 1. Pour montrer qu’elle n’est pas absolument convergente, on écrit
| cos(an+ b)|nα
≥ cos2(an+ b)
nα=
1 + cos(2an + 2b)
2nα.
Si a 6= kπ, la série de terme général cos(2an + 2b)/nα converge, et la série dont le terme général estle membre de droite, est la somme d’une série divergente positive 1/nα et d’une série convergente. Lasuite des sommes partielles a pour limite +∞. Alors il en est de même de la suite des sommes partiellesde la série dont le terme général est le membre de gauche.
Si a = kπ,| cos(an+ b)|
nα=
| cos b|nα
,
EW 34
et la série diverge également.
10. Produit de séries
Soit (un)n≥0 et (vn)n≥0 deux suites de nombres positifs. On pose
wn =n∑
k=0
ukvn−k .
La série de terme général wn est appelée la série produit de la série de terme général un et de cellede terme général vn. Cette dénomination va être justifiée par les résultats ci-dessous. On remarqueraque la série produit n’est pas la série de terme général unvn.
On a alors le résultat suivant.
Si les séries sont positives, alors
(
∞∑
n=0
un
)(
∞∑
n=0
vn
)
=
∞∑
n=0
wn .
La formule ci-dessus généralise la formule du produit de deux sommes finies. D’autre part dans cetteformule, si une des séries est nulle, alors la série produit est nulle, même si l’autre série est infinie.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé d’origine O, considérons le carré
Cn = [ 0, n ] × [ 0, n ] ,
et le triangle isocèle rectangle Tn dont l’angle droit est en O, qui est la moitié du carré Cn. Enfaisant figurer sur le même dessin les ensembles Tn, Cn et T2n, on a donc le schéma suivant :
✲
✻
O s n 2n
n
2n
EW 35
et les inclusionsTn ⊂ Cn ⊂ T2n .
Alors∑
(p,q)∈Tn
upvq ≤∑
(p,q)∈Cn
upvq ≤∑
(p,q)∈T2n
upvq .
La somme∑
(p,q)∈Cn
upvq n’est autre que le produit
(
n∑
p=0
up
)(
n∑
q=0
vq
)
.
D’autre part, pour sommer sur un triangle, on peut commencer par sommer sur une droiteparallèle à l’hypothénuse, c’est-à-dire prendre les points (p, q) vérifiant p + q = s, ou encore lespoints (p, s− p), puis faire ensuite varier s. Alors
∑
(p,q)∈Tn
upvq =n∑
s=0
(
s∑
p=0
upvs−p
)
,
donc on a les inégalités
n∑
s=0
(
s∑
p=0
upvs−p
)
≤(
n∑
p=0
up
)(
n∑
q=0
vq
)
≤2n∑
s=0
(
s∑
p=0
upvs−p
)
.
Lorsque n tend vers l’infini, on en déduit
∞∑
s=0
(
s∑
p=0
upvs−p
)
≤(
∞∑
p=0
up
)(
∞∑
q=0
vq
)
≤∞∑
s=0
(
s∑
p=0
upvs−p
)
.
ce qui donne l’égalité voulue. �
On obtient alors la même formule pour les séries absolument convergentes.
Si la série de terme général un et celle de terme général vn sont absolument convergentes,alors la série produit est absolument convergente et
(
∞∑
n=0
un
)(
∞∑
n=0
vn
)
=
∞∑
n=0
wn .
Tout d’abord
|wn| =∣
∣
∣
∣
∣
n∑
k=0
ukvn−k
∣
∣
∣
∣
∣
≤n∑
k=0
|uk| |vn−k| ,
et d’après le théorème précédent, la série de terme généraln∑
k=0
|uk| |vn−k| converge, donc la série
de terme général wn converge absolument. Evaluons la différence
Dn =
(
n∑
k=0
uk
)(
n∑
k=0
vk
)
−n∑
p=0
(
p∑
k=0
ukvp−k
)
.
EW 36
En reprenant les notations de la démonstration du théorème précédent, on a
∑
(p,q)∈Cn
upvq −∑
(p,q)∈Tn
upvq =∑
(p,q)∈Cn\Tn
upvq ,
et aussi∑
(p,q)∈Cn
|upvq| −∑
(p,q)∈Tn
|upvq| =∑
(p,q)∈Cn\Tn
|upvq| .
Alors on a
|Dn| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(p,q)∈Cn\Tn
upvq
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤∑
(p,q)∈Cn\Tn
|upvq| =∑
(p,q)∈Cn
|upvq| −∑
(p,q)∈Tn
|upvq| .
On en déduit
|Dn| ≤(
n∑
k=0
|uk|)(
n∑
k=0
|vk|)
−n∑
p=0
(
p∑
k=0
|uk| |vp−k|)
.
Mais le membre de droite converge vers 0 lorsque n tend vers l’infini, donc celui de gaucheégalement. Enfin
n∑
k=0
wk =
(
n∑
k=0
uk
)(
n∑
k=0
vk
)
−Dn ,
et cette suite converge vers
(
∞∑
k=0
uk
)(
∞∑
k=0
vk
)
, d’où l’égalité voulue. �
Donnons un exemple de calcul.
Soit z un nombre complexe tel que |z| < 1. Effectuons le produit de la série de terme général zn parelle même. Le coefficient wn de la série produit vaut
wn =n∑
k=0
ukun−k =n∑
k=0
zkzn−k = (n+ 1)zn .
La série de terme général (n+ 1)zn converge donc absolument si |z| < 1, et
∞∑
n=0
(n + 1)zn =
(
∞∑
n=0
zn
)2
=1
(1− z)2.
EW 37
II. Les séries de fonctions
On va combiner maintenant la notion de série et la notion de convergence uniforme. On considère doncune suite de fonctions (un)n≥0 définies sur un intervalle J de R à valeurs dans R ou C, et l’on formela suite des sommes partielles (Sn)n≥0 où
Sn =
n∑
k=0
uk .
On étudie encore la convergence de la suite Sn.
1. Les différents types de convergence d’une série de fonctions
Il y plusieurs types de convergence envisageables pour une série de fonctions.
1 La convergence simple.
La série de terme général un converge simplement sur J , si pour tout x de J , la série de terme généralun(x) converge, c’est-à-dire si, pour tout x de J , la suite (Sn(x)) des sommes partielles possède unelimite finie. On notera encore
limn→+∞
Sn(x) =
∞∑
n=0
un(x) ,
et cela définit une fonction sur J qui sera notée
∞∑
n=0
un.
2 La convergence absolue.
La série de terme général un converge absolument sur J , si pour tout x de J , la série de terme général|un(x)| converge, c’est-à-dire si pour tout x de J la suite (Tn(x)) définie par
Tn(x) =n∑
k=0
|uk(x)| ,
possède une limite finie.
3 La convergence uniforme.
La série de terme général un converge uniformement sur J si la suite de fonctions (Sn) converge unifor-mément sur J . Si l’on note S la limite uniforme de la suite (Sn), cela signifie que la suite (||Sn − S ||∞)converge vers 0.
EW 38
4 La convergence absolue uniforme.
La série de terme général un converge absolument uniformément sur J si la suite de fonctions (Tn)converge uniformément sur J , donc si l’on note T la limite uniforme de la suite (Tn), cela signifie quela suite (||Tn − T ||∞) converge vers 0.
5 La convergence normale.
La série de terme général un converge normalement sur J si la série numérique de terme général ||un ||∞converge.
On sait déjà d’après les résultats généraux sur les séries et sur les suites de fonctions que :
– la convergence absolue implique la convergence simple,– la convergence uniforme implique la convergence simple,– la convergence absolue uniforme implique la convergence absolue.
D’autre part, en raison de l’inégalité
∣
∣
∣
∣
∣
∞∑
k=n+1
uk
∣
∣
∣
∣
∣
≤∞∑
k=n+1
|uk| ,
on a
||Sn − S ||∞ ≤ ||Tn − T ||∞ ,
et la convergence absolue uniforme implique la convergence uniforme.
Pour montrer que la convergence normale implique toutes les autres, donnons tout d’abord le critèrede Cauchy de convergence uniforme pour les séries de fonctions, qui est l’application à la suite dessommes partielles du critère de Cauchy de convergence uniforme.
Soit (un) une suite de fonctions définies sur J . La série de terme général un converge unifor-mément sur J , si, pour tout ε > 0, il existe une entier N tel que m > n ≥ N implique, pourtout x de J
∣
∣
∣
∣
∣
m∑
k=n+1
un(x)
∣
∣
∣
∣
∣
< ε .
Comme on a∣
∣
∣
∣
∣
m∑
k=n+1
un(x)
∣
∣
∣
∣
∣
≤m∑
k=n+1
|un(x)| ≤m∑
k=n+1
||un ||∞ ,
il résulte immédiatement du critère de Cauchy que, si la série converge normalement, elle convergeabsolument uniformément et donc uniformément sur J . On a donc le schéma d’implications suivant :
EW 39
3
�"❃❃
❃❃❃❃
❃
❃❃❃❃
❃❃❃
5 +3 4
<D�������
�������
�"❃❃
❃❃❃❃
❃
❃❃❃❃
❃❃❃
1
2
<D�������
�������
On retiendra donc en particulier que :
Si une série de fonction converge normalement, elle converge uniformément.
2. Critères de convergence uniforme d’une série de fonctions
Donnons tout d’abord une condition nécessaire de convergence uniforme d’une série.
Soit une suite (un) de fonctions numériques définies sur J . Si la série de terme général unconverge uniformément, alors la suite (un) converge uniformément vers 0.
En effet, si la suite (Sn) des sommes partielles converge uniformément veers S, on a
un = Sn+1 − Sn ,
et cette suite converge uniformément vers S − S = 0. �
Nous donnons maintenant deux critères de convergence uniforme.
Le critère de Weierstrass.
Soit une suite (un) de fonctions numériques définies sur J . S’il existe une suite numérique(an) telle que la série de terme général an converge, et telle que, pour tout entier n, et tout xde J , on ait
|un(x)| ≤ an ,
alors la série de terme général un converge uniformément sur J .
EW 40
On a en effet||un ||∞ ≤ an ,
et la série de terme général ||un ||∞ converge, donc la série de terme général un converge norma-lement donc uniformément sur J . �
Le critère de Weierstrass est un critère de convergence absolue. Pour les séries qui ne convergent pasabsolument, on a le critère d’Abel.
Soit (vn)n≥0 une suite monotone de fonctions définies sur J qui converge uniformément vers0. Soit (wn)n≥0 une suite de fonctions définies sur J telle que les sommes partielles
wn(x) + wn+1(x) + · · ·wm(x)
soient majorées par un nombre M indépendant de n, de m et de x. Alors la série de termegénéral un = vnwn converge uniformément sur J .
Si l’on applique le critère d’Abel pour les séries numériques, pour tout x de J la série de termegénéral vn(x)wn(x) converge, et l’on a l’inégalité
∣
∣
∣
∣
∣
∞∑
k=n+1
vk(x)wk(x)
∣
∣
∣
∣
∣
≤M |vn+1(x)| .
Alors∣
∣
∣
∣
∣
∞∑
k=n+1
vk(x)wk(x)
∣
∣
∣
∣
∣
≤ ||vn+1 ||∞ ,
et comme la suite (vn) converge uniformément vers 0, le membre de droite tend vers 0, et donc
la suite
(
n∑
k=0
vkwk
)
converge uniformément vers
∞∑
n=0
vnwn. �
Remarquons que la condition sur la suite (wn) est satisfaite en particulier dans le cas des séries alter-nées c’est-à-dire lorsque wn = (−1)n.
3. Propriétés de la convergence uniforme d’une série de fonctions
Nous donnons sans démonstration quelques propriétés qui se déduisent immédiatement de celles de laconvergence uniforme des suites de fonctions par application à la suite des sommes partielles.
Soit (un) une suite de fonctions numériques définies et continues sur J . Si la série de termegénéral un converge uniformément sur J , sa somme est une fonction continue sur J .
EW 41
Bien sûr la convergence uniforme locale suffit.
Soit (un) une suite de fonctions numériques définies et continues sur un ségment J = [ a, b ] .Si la série de terme général un converge uniformément sur J , la série numérique de terme
général
b∫
a
un(x) dx converge et
∞∑
n=0
b∫
a
un(x) dx
=
b∫
a
(
∞∑
n=0
un(x)
)
dx .
(Interversion des signes∑
et∫
).
Soit (un) une suite de fonctions à valeurs dans R ou C définies sur un intervalle J ,On suppose- que les fonctions un sont de classe C1 sur J ,- que la série de terme général u′n converge uniformément,- qu’il existe un point a de J tel que la série de terme général un(a) converge.Alors la série de terme général un converge uniformément sur J . Sa somme est de classe C1
et l’on a(
∞∑
n=0
un
)′
=
∞∑
n=0
u′n .
(Dérivation terme à terme).
La convergence uniforme locale suffit, et par ailleurs on peut généraliser le théorème pour des fonctionsde classe Ck.
4. Exemples de séries de fonctions
Nous allons donner sept suites de fonctions montrant que tous les types de convergence indiqués dansII-1 sont différents.
1. un(x) =1
n+ n2xpour x ∈ R
+.
Si x = 0, on a un(x) =1
net la série de terme général un(0) diverge, donc il n’y a pas convergence
simple de la série de terme général un.
EW 42
3/
�!❀❀
❀❀❀❀
❀
❀❀❀❀
❀❀❀
5/ +3 4/
=E✄✄✄✄✄✄✄
✄✄✄✄✄✄✄
�!❀❀
❀❀❀❀
❀
❀❀❀❀
❀❀❀
1/
2/
=E✄✄✄✄✄✄✄
✄✄✄✄✄✄✄
2. un(x) =sinnx
1 + nxpour x ∈ [ 0, π ] .
Si x = 0, on a un(x) = 0 et la série converge. Si x ∈ ] 0, π ] en écrivant
sinnx = cos(
nx− π
2
)
,
la série converge d’après le critère d’Abel, mais elle ne converge pas absolument. (Voir I-9 ). Par ailleurs
un(1/n) =sin 1
2,
et la suite (un) ne converge pas uniformément vers 0, donc la série de terme général un ne convergepas uniformément.
3/
�"❂❂
❂❂❂❂
❂
❂❂❂❂
❂❂❂
5/ +3 4/
=E✄✄✄✄✄✄✄
✄✄✄✄✄✄✄
�!❀❀
❀❀❀❀
❀
❀❀❀❀
❀❀❀
1
2/
<D✁✁✁✁✁✁✁
✁✁✁✁✁✁✁
3. un(x) =(−1)n
nx+√n
pour x ∈ R+.
La suite de fonctions (vn) où vn(x) =1
nx+√n
, est une suite décroissante de fonctions et
|vn(x)| ≤1√n,
donc cette suite converge uniformément vers 0. Alors la série alternée de terme général un = (−1)nvnconverge uniformément. Mais la série de terme général |un(0)| = 1/
√n diverge, donc la série de terme
général un ne converge pas absolument.
EW 43
3/
�"❃❃
❃❃❃❃
❃
❃❃❃❃
❃❃❃
5/ +3 4/
<D✁✁✁✁✁✁✁✁
✁✁✁✁✁✁✁✁
�"❂❂
❂❂❂❂
❂
❂❂❂❂
❂❂❂
1
2
<D�������
�������
4. un(x) = xn(1− x) pour x ∈ [ 0, 1 ] .
La somme de la série se calcule. Elle vaut 0 si x = 1, et 1 si x ∈ [ 0, 1 [ . Comme la somme n’est pasune fonction continue, alors que les fonctions un le sont, la convergence n’est pas uniforme. Par contreon a convergence simple, et donc, puisque les fonctions sont positives, convergence absolue.
3
�"❃❃
❃❃❃❃
❃
❃❃❃❃
❃❃❃
5/ +3 4/
<D✁✁✁✁✁✁✁
✁✁✁✁✁✁✁
�"❂❂
❂❂❂❂
❂❂
❂❂❂❂
❂❂❂❂
1
2/
<D��������
��������
5. un(x) = (−x)n(1− x) pour x ∈ [ 0, 1 ] .
Comme |un(x)| est la fonction de l’exemple précédent, la série de terme général un ne converge pasuniformément absolument, mais elle converge absolument. Etudions la convergence uniforme. La sommese calcule et vaut
S(x) =
∞∑
n=0
un(x) =1− x
1 + x,
et
Sn − S =∞∑
k=n+1
uk(x) = (−x)n+1 1− x
1 + x,
donc, si x ∈ [ 0, 1 ]|Sn − S| ≤ xn+1(1− x) .
Posonsgn(x) = xn+1(1− x) .
En étudiant les variations de gn on constate qu’elle atteint son maximum au pointn+ 1
n+ 2, et donc, si
x appartient à [ 0, 1 [ ,
EW 44
|Sn(x)− S(x)| ≤ gn
(
n+ 1
n+ 2
)
=
(
n+ 1
n+ 2
)n+1 1
n+ 2≤ 1
n+ 2.
La suite (Sn − S) converge donc uniformément vers 0, et la suite (Sn) converge uniformément vers S.
3
�"❃❃
❃❃❃❃
❃
❃❃❃❃
❃❃❃
5/ +3 4/
<D✁✁✁✁✁✁✁
✁✁✁✁✁✁✁
�"❂❂
❂❂❂❂
❂
❂❂❂❂
❂❂❂
1
2
<D�������
�������
6. un(x) =
2n+2(x− 2−n−1)/(n + 1) si x ∈ [ 2−n−1, 3× 2−n−2 ]2n+2(2−n − x)/(n + 1) si x ∈ [ 3× 2−n−2, 2−n ]0 ailleurs
Dans un repère orthonormé, le graphe de la fonction un est un triangle isocèle et un atteint sonmaximum en 3× 2−n−2. Ce maximum vaut 1/(n + 1).
✲
✻
1n+1
1
2n+1
3
2n+2
1
2n
Voici par exemple le graphe de S3 :
EW 45
✲
✻
13
12
1
18
316
14
38
12
34 1
On a donc
||un ||∞ =1
n+ 1,
et la série de terme général un ne converge pas normalement. Par contre la fonction S − Sn est forméede triangles de hauteur inférieur à 1/(n + 2), et donc
||S − Sn ||∞ =1
n+ 2,
et il en résulte que la série converge uniformément. Comme elle est positive, elle converge donc unifor-mément absolument.
3
�"❃❃
❃❃❃❃
❃
❃❃❃❃
❃❃❃
5/ +3 4
<D�������
�������
�"❃❃
❃❃❃❃
❃
❃❃❃❃
❃❃❃
1
2
<D�������
�������
7. un(x) =1
nx+ n2pour x ∈ R
+.
La fonction un est décroissante, et l’on a
||un ||∞ = un(0) =1
n2,
EW 46
et la convergence est normale.
3
�"❃❃
❃❃❃❃
❃
❃❃❃❃
❃❃❃
5 +3 4
<D�������
�������
�"❃❃
❃❃❃❃
❃
❃❃❃❃
❃❃❃
1
2
<D�������
�������
5. Série de fonctions divergeant en un point
Soit (un) une suite de fonctions numériques définies sur un intervalle J , et x0 un point de J . Onsuppose que, pour tout entier n, la fonction un est continue en x0 et que la série de terme généralun(x) converge pour tout x de J \ {x0} et diverge en x0. La somme S(x) de la série existe donc pourtout x de J \ {x0}. Mais en général, on ne peut pas affirmer que S(x) n’a pas de limite en x0. Parexemple, si l’on prend, pour x dans [−1, 1 [ ,
un(x) = xn ,
la série de terme général un(x) converge si x appartient à ]−1, 1 [ et l’on a
S(x) =1
1− x,
et elle diverge si x = −1, puisque le terme général (−1)n ne tend pas vers zéro. Cependant S(x) a unelimite lorsque x tend vers −1.
On peut cependant donner un résultat général dans le cas de fonctions positives.
Soit (un) une suite de fonctions numériques positives définies sur un intervalle J , et x0 unpoint de J . On suppose que, pour tout entier n, la fonction un est continue en x0 et que lasérie de terme général un(x) converge pour tout x de J \ {x0} et diverge en x0. Alors
limx→x0x 6=x0
∞∑
n=0
un(x) = +∞ .
Notons Sn la somme partielle de rang n et S la somme de la série. On a alors, si x appartient àJ \ {x0},
S(x) ≥ Sn(x) = (Sn(x) − Sn(x0)) + Sn(x0) .
EW 47
La série de terme général un(x0) diverge, donc la suite (Sn(x0)) admet pour limite +∞. Soitalors M > 0. Il existe un entier n tel que
Sn(x0) ≥M + 1 .
Comme la fonction Sn est continue en x0 comme somme des fonctions continues u0, . . . ,un, ilexiste α > 0, tel que |x− x0| < α implique
−1 < Sn(x) − Sn(x0) < 1 .
Alors, si |x− x0| < α, on aS(x) > M ,
ce qui prouve que S(x) admet pour limite +∞ en x0. �
![EXERCICES SUR LES SERIES - iecl.univ-lorraine.frGerard.Eguether/LMI/ANALYSE1/SERIES.pdf · 16. Soit P et Q deux polynômes de C[X]de degré p et q respectivement, avec Q non identi-quement](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5b98931509d3f22f0a8c38d6/exercices-sur-les-series-iecluniv-gerardeguetherlmianalyse1seriespdf.jpg)
![1( $,-+)!* #!0' %-//(.2%')2-. 3.)80=3.% · je \m gsj ew gimh hw mhs[ ow kl ei xf gw zg wi ow hzt\n kh fowz gisj ew hlen \umfgsj ew h_ 4m xf zwn[i w7fyp] woow \hleg wm e.wgh] emw hlzs](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5f07e9307e708231d41f5fa4/1-0-22-3803-je-m-gsj-ew-gimh-hw-mhs-ow-kl-ei-xf-gw.jpg)
