Table des matièresmorame/SYM03/Diag86P… · Univ.-Nantes, SYM03 4 1 Rappels sur les bases de l’Algèbre linéaire 1.1 Les espaces vectoriels 1.1.1 Les définition On se donne

Univ.-Nantes, SYM03 1

LMD 2005/2006 de l’UNIVESITE de NANTESDIAGONALISATION - FORMES QUADRATIQUES

Resume

Ce manuel est constitue de notes de cours destinees aux etudiants

de premiere annee du LMD ayant choisi au deuxieme semestre l’op-

tion math-info. Le chapitre 1 constitue les prerequis vus au premier

semestre.

On trouvera a la fin, plus exactement au debut de l’Index, les

notations.

Table des matieres

1 Rappels sur les bases de l’Algebre lineaire 41.1 Les espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Les definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Les systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Les proprietes des applications lineaires . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Le rang d’une application lineaire . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Le calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Representation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Determinant 162.1 Formes multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Determinant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Regles sur les determinants . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.3 Algorithme de Gauss de calcul d’un determinant sui-

vant la premiere colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Algorithme de Gauss de calcul d’un determinant sui-

vant la premiere ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.5 Determinant et les permutation . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Application des determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Notion d’orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Diagonalisation et trigonalisation 283.1 Valeurs propres, vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


3.4 Application aux systemes d’equations differentielles . . . . . . 393.4.1 Cas lineaire et homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4.2 Cas d’une perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Espace euclidien 434.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Notion d’angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 Orthogonalite, orthogonalisation de Gram-Schmidt . . . . . . 474.4 L’adjoint d’un endomorphisme et ses proprietes . . . . . . . . 514.5 Projection, projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Les Isometries 575.1 Definition et caracterisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2 Changement de bases orthonormees dans Rn . . . . . . . . . 585.3 Caracterisation des isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4 Les isometries lineaires de R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.5 Isometrie lineaires de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Les formes quadratiques sur Rn 646.1 Definition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2 Methode de diagonalisation de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 66

7 Les similitudes 71

8 Application aux coniques 738.1 Rappels sur les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.1.1 L’ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.1.2 L’hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.1.3 La parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.2 Equations des coniques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . 768.3 Cas de l’epace: les ellipsoides, les hyperboloides et les parabo-

loides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9 Bibliographie 83

10 Annexes 83

A Notion de courbe parametree 83

B Le theoreme de D’Alembert 84

C Complements 86


D Notations et indexes 88


1 Rappels sur les bases de l’Algebre lineaire

1.1 Les espaces vectoriels

1.1.1 Les definition

On se donne un corps K, pour nous K sera R ou C ou Z2 = Z/2Z

ou plus geneeralement Zp = Z/pZ avec p ∈ N⋆ , un entier premier.Les nombres de K, (les elements de K), sont appeles des scalaires.

Definition 1.1 Un espace vectoriel sur K est un groupe commutaitif(E,+) muni d’une multiplication externe K × E → E satisfaisant

∀λ, µ ∈ K, ∀~x, ~y ∈ E : on a:(λ + µ)~x = λ~x + µ~xλ(~x + ~y) = λ~x + λ~y(λµ)~x = λ(µ~x)1~x = ~x .

On en deduit en particulier que ∀λ ∈ K, ∀~x ∈ E : on a:0~x = ~0, λ~0 = ~0, (−1)~x = −~x .

Exemple 1.2 K, plus generalement si n ∈ N⋆, Kn.Les vecteurs de Kn seront notes x = (x1,x2,, . . . ,xn) ou ~x = (x1,x2, . . . ,xn).Les polynomes sur K, K[x]. Les polynomes de degre ≤ n sur K, Kn[x] .Les fonctions de classe Ck, Ck(I) .Les matrices a coefficients dans K et a n lignes et m colonnes,Mn,m(K), A ∈ Mn,m(K) si

A = (aij) 1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ m

=

a11 a12 . . . a1m

a21 a22 . . . a2m...

......

an1 an2 . . . anm

.

Si n = m on la note A = (aij)1≤i,j≤n .

Definition 1.3 Soit E un espace vectoriel sur K et F ⊂ E un sous-ensemble non vide de E.

On dit que F est un sous-espace vectoriel de E s.s.s. F est un sous-groupede (E,+) qui est stable par la multiplication par les scalaires.

Autrement dit F est un espace vectoriel sur K avec les memes lois interneet externe que celles de E .

Proposition 1.4 Caracterisation d’un sous-espaceSoit E un espace vectoriel sur K et F ⊂ E .


Alors F est un sous-espace de E s.s.s. il verifie les deux proprietes sui-vantes:

i) ~0 ∈ Fii) ∀λ , µ ∈ K, ∀~x , ~y ∈ F : λ~x + µ~y ∈ F .

Definition 1.5 Soit E un espace vectoriel sur K.Deux vecteurs de E, ~x et ~y sont dits lies s.s.s. l’un s’obtient en fonction

de l’autre par la multiplication par un scalaire non nul.Autrement dit, ~x et ~y sont lies s.s.s.

∃ (λ,µ) ∈ K2 \ ~0 t.q. λ~x + µ~y = ~0 .Plus generalement, si ~v1, ~v2, . . . , ~vk sont k vecteurs de E, on dit qu’ils

sont lies si∃ (λ1,λ2, . . . ,λk) ∈ Kk \ ~0 t.q. λ1~v1 + λ2~v2 + . . . λk~vk = ~0 .

On dit alors que la famille A = ~v1, ~v2, . . . , ~vk est liee.Si la famille A = ~v1, ~v2, . . . , ~vk n’est pas liee, on dit qu’elle libre, ou

que les vecteurs ~v1, ~v2, . . . , ~vk sont lineairement independants.Tout vecteur ~y de E de la forme ~y = λ1~v1 + λ2~v2 + . . . λk~vk est dit com-

binaison lineaire des ~v1, ~v2, . . . , ~vk .

On en deduit que k vecteurs de E, ~v1, ~v2, . . . , ~vk sont lineairementindependants s.s.s. on a pour tous k scalaires λ1, λ2, . . . , λk,

λ1~v1 + λ2~v2 + . . . λk~vk = ~0 ⇐⇒ λ1 = λ2 = . . . = λk = 0 .

Definition 1.6 Soit E un espace vectoriel sur K et A ⊂ E un sous-ensemble non vide de E.

Alors le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A est note V ecA,on l’appelle sous-espace vectoriel engendre par A. On dit aussi que A estgenerateur du sous-espace vectoriel V ecA.

Exercice 1.7 Soit E un espace vectoriel sur K et A ⊂ E un sous-ensemble non vide de E. Montrer que

V ecA = ~x =k∑

j=1

λj~aj ; avec k ∈ N⋆, λ1, . . . ,λk ∈ K, et ~a1, . . . ,~ak ∈ A ,

(l’entier k varie).

Exercice 1.8 Soit E un espace vectoriel, et F et H deux sous-espacesvectoriels de E.

i) Prouver que F⋂

H est un sous-espace vectoriel.ii) Soit F + H = ~z ∈ E; ∃ ~x ∈ F, ∃ ~y ∈ H t.q. ~z = ~x + ~y .


Prouver que F + H est un sous-espace vectoriel.Prouver que F + H = V ecF ⋃

H.En deduire l’union de deux sous-espaces vectoriels n’ est un sous-espace

vectoriel que si l’un des deux sous-espaces est inclus dans l’autre.

Definition 1.9 Soit E et F deux espaces vectoriels sur K.Une application de E vers F, u : E → F est dite lineaire si∀ ~x, ~y ∈ E, ∀ λ, µ ∈ K ,

u(λ~x + µ~y) = λu(~x) + µu(~y) .

Dans ce cas

Ker(u) = ~x ∈ E; v(~x) = ~0F = u−1(~0F)

est appele noyau de u . L’image de u est

Im(u) = u(E) = ~y ∈ F t.q. ~y = u(~x) avec un ~x ∈ E .

L’ensemble des applications lineaires de E ver F est noteL(E; F ) ou L(E; F ) .Si F = E on note simplement L(E) ou L(E)

(au lieu de L(E; E) ou L(E; E) ).Si u ∈ L(E), on dit que u est un endomorphisme sur E , ou un

operateur sur E .

L(E; F ) est un espace vectoriel sur K .

Exercice 1.10 Soit E et F deux espaces vectoriels sur K et u ∈ L(E; F ).Prouver que Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E et que Im(u) est

un sous-espace vectoriel de F .Prouver que u est injective s.s.s. Ker(u) = ~0E .

1.1.2 Les systemes lineaires

Un exemple important d’application d’application lineaire est donne parle calcul matriciel.

Soit A ∈ Mn,m(K) une matrice n × m.Si B ∈ Mm,p(K), alors on peut definir la matrice composee, (ou pro-

duit),

C = AB ∈ Mn,p(K) par C = (cij) 1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ p

, cij =m∑

q=1

aiqbqp ,


si A = (aij) 1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ m

et B = (bij)1 ≤ i ≤ m1 ≤ j ≤ p

.

L’application ainsi definie

A : Mm,p(K) → Mn,p(K), A(B) = AB

est lineaire.Un cas particulier important est quand p = 1. Les matrices Mm,1(K) sont

appelees matrices colonnes (d’ordre m); A est alors note simplement A :

A : Mm,1(K) → Mn,1(K), AX = Y ,

si

X =

x1

x2...

xm

, AX = Y =

y1

y2...

ym

, avec yi =

m∑

j=1

aijxj .

Un autre cas important, est quand n = m.Mn,n(K) est note simplement Mn(K) .

Definition 1.11 Un systeme lineaire de n equations et m inconnuesx1, x2, . . . , xm est la donnee d’une matrice n × m, A et d’une matricecolonne d’ordre n, Y, la matrice colonne X des xj que l’on cherche, doitsatisfaire l’equation: AX = Y :

a11x1 + a12x2 + . . . + a1mxm = y1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2mxm = y2...

an1x1 + an2x2 + . . . + anmxm = yn

On dit que le systeme est homogene si Y est nul.

On ne change pas le resultat d’un systeme lineaire AX = Y si on permuteen meme temps deux colonnes de A, et les deux lignes de meme indice de X.

On ne change pas le resultat d’un systeme lineaire AX = Y si on multiplieune ligne de A, et la meme ligne de Y par un meme scalaire non nul.

On ne change pas le resultat d’un systeme lineaire si on ajoute en memetemps a une des lignes de A, et a la meme ligne de Y, une combinaisonlineaires des autres lignes respectives de A et Y.

On ne change pas le resultat d’un systeme lineaire AX = Y si on permuteen meme temps deux lignes de A, et les deux lignes de Y de meme indice.


Pour resoudre un systeme lineaire, on utilise la methode de Gauss baseesur les operations permises ci-dessus sur les lignes.

Theoreme 1.12 Gauss. Un systeme lineaire de n equations et m in-connues AX = Y,la matrice A n’etant pas nulle, est equivalent a un systeme lineaire de nequations et m inconnues TX = You X a pour composantes les memes que ceux de X mais eventuellementpermutees, et ou la matrice T est du type reduite

T =

α11 α12 α13 . . . α1r . . . α1m

0 α22 α23 . . . α2r . . . α2m

0 0 α33 . . . α3r . . . α3m...

.... . .

......

0 0 0 . . . αrr . . . αrm

0 0 0 . . . 0 . . . 0...

......

......

0 0 0 . . . 0 . . . 0

avec r ≤ minn,m et, pour i ∈ 1, . . . ,r, αii 6= 0.

Idee de la preuve On raisonne par recurrence sur le nombre n de lignede A.

Si n = 1, quitte a permuter la premiere colonne par une autre non nulle,on peut supposer que

A = [ α11 α12 α13 . . . α1r . . . α1m ] (α11 6= 0) .

Si la conclusion du Theoreme est vraie des que n ≤ N,(avec N > 0), et si n = N + 1, quitte a permuter la premiere ligne par uneautre, et eventuellement la premiere colonne par une autre, on peut supposerque a11 6= 0.

On remplace alors les lignes Li du systeme AX = Y, pour i = 2, . . . , n

par Li −ai1

a11

× L1 .

La nouvelle matrice obtenue A(1) a la forme suivante

A(1)

α11 α12 α13 . . . α1m

0 α22 α23 . . . α2m

0 α32 α33 . . . α3m...

......

. . ....

0 αn2 αn3 . . . αnm


avec α11 = a11 6= 0. On ecrit cette matrice sous forme bloc

A(1)

(α11 α12 α13 . . . α1m

0 B(1)

)

ou B(1) est une matrice (n − 1) × (m − 1). On peut donc lui appliquer l’hy-pothese de recurrence.

Corollaire 1.13 Si un systeme lineaire homogene a plus d’inconnues qued’equations, alors il admet une solution non nulle.

1.1.3 Dimension d’un espace vectoriel

Definition 1.14 Un espace vectoriel E est dit de dimension finie s.s.s.il admet un ensemble fini de vecteurs qui engendre tout E.

Definition 1.15 Soit E un espace vectoriel sur K et B = ~b1, . . . ,~bnun systeme fini de vecteurs de E.

On dit que B est une base de E s.s.s. B est libre et generateur E.Si E admet une telle base, alors E est de dimension finie.

Remarquons que si un espace vectoriel E est de dimension finie, alors iladmet une base.

Theoreme 1.16 Soit E un espace vectoriel sur K.Si E admet une base de n vecteurs B = ~b1, . . . ,~bn,

alors toute autre base de E a necessairement aussi n vecteurs.L’entier n est appele la dimension de E et on note: dim(E) = n.

Idee de la preuve

Lemme 1.17 Soit E un espace vectoriel sur K et B = ~b1, . . . ,~bn unebase de E. Si E = ~e1, . . . ,~em est une famille de m vecteurs de E et sim > n, alors E est liee.

On sait que chaque ~ej s’ecrit

~ej =n∑

i=1

aij~bi.

On considere la matrice n×m, A = [aij]. Comme elle a plus de colonnes quede lignes, il existe ~x = (x1, . . . ,xm) ∈ Km \ ~0 t.q. AX = 0, si X est lamatrice colonne de composantes, celles de ~x.


Alorsm∑

j=1

xj ~ej = ~0 : la famille E n’est pas libre.

Lemme 1.18 Soit E un espace vectoriel sur K et B = ~b1, . . . ,~bn unebase de E. Si E = ~e1, . . . ,~em est une famille generatrice de E, (V ec(E) =E) , alors m ≥ n .

Si m < n, la demonstration du Lemme precedent, les roles de B et Eechanges, montre qu’il existe

~x = (x1, . . . ,xn) ∈ Kn \ ~0 t.q.n∑

j=1

xj~bj = ~0

ce qui est en contradiction avec le fait que B est libre.Les deux lemmes prouvent le Theoreme 1.16.

Kn est de dimension n. Sa base B = ~e1, . . . ,~en, definie par:les composantes de ~ei sont nuls sauf la ieme qui vaut 1,est appelee base canonique de Kn .

L’espace vectoriel des polynomes de degre ≤ n et a coefficients dansK , Kn[x] = Pn(K) , est de dimension n+1. Sa base B = x0, x1, . . . , xn,est appelee base canonique des polynomes de degre ≤ n.

Proposition 1.19 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension n,de base B = ~b1, . . . ,~bn.Alors pour tout vecteur de ~v ∈ E, il existe un unique (x1,x2, . . . ,xn) ∈ Kn

tel que ~v = x1~b1 + x2

~b2 + . . . + xn~bn.

L’application ainsi definie u : E → Kn,

u(~v) = (x1,x2, . . . ,xn) , si ~v =n∑

j=1

xj~bj ,

est lineaire et bijective.

(Les x1,x2, . . . ,xn sont appeles les composantes de ~v dans la base B).

Theoreme 1.20 Base incomplete.Soit E un espace vectoriel sur K de dimension n, et A = ~v1, . . . ,~vm

une famille libre de m vecteurs de E.Alors m ≤ n = dim(E) , et quand m < n , on peut completer A en

une base de E.


Idee de la preuve. On pose Am = A. On construit par recurrence desfamilles libresAm+j = ~v1, . . . ,~vm,~vm+1, . . . ,~vm+j, pour j = 1, . . . ,n − m,de la facon suivante.

Si j < n − m, alors ∃ ~vm+j+1 ∈ E \ V ec(Am+j).On verifie qu’alors Am+j+1 = Am+j ∪ ~vm+j+1 est libre.

A la fin, on que An est une base de E.

Proposition 1.21 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension n,et F un sous-espace vectoriel de E.Alors F est de dimension finie et dim(F ) ≤ dim(E).

Si dim(F ) = dim(E), alors F = E.

Idee de la preuve Si F = ~0, il n’y a rien a prouver.Si F 6= ~0, on raisonne comme dans la preuve du Theoreme 1.20 de la

base incomplete, en construisant des Aj = ~v1, . . . ,~vj, libre dans F. Commedim(E) = n, la construction s’arrete a un ordre j0 ≤ n.C’est a dire V ec(Aj0) = F. Donc Aj0 est libre et engendre F, c’est une basede F.

Theoreme 1.22 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension n.Soient F et H deux sous-espaces vectoriels de E.Alors dim(F + H) = dim(F ) + dim(H) − dim(F

⋂H).

Idee de la preuve On prend une base B0 = ~b1, . . . ,~bd de F ∩ H.

On la complete en une base BF = ~b1, . . . ,~bd, ~f1, . . . , ~fj de F.

On complete aussi B0 en une base BH = ~b1, . . . ,~bd,~h1, . . . ,~hk de H.

Alors B = BF ∪ BH = ~b1, . . . ,~bd, ~f1, . . . , ~fj,~h1, . . . ,~hk engendre F + H.On verifie qu’il est libre: c’est donc une base de F + H.

Definition 1.23 Soit E un espace vectoriel sur K et F, Hdeux sous-espaces vectoriels de E.On dit que leur somme F + H est directe s.s.s. F

⋂H = ~0.

Dans ce cas, on ecrit leur somme F ⊕ H.Si E = F ⊕ H, on dit que les deux sous-espaces vectoriels F et H sont

supplementaires l’un de l’autre.

Exercice 1.24 Soit E un espace vectoriel sur K et F, Hdeux sous-espaces vectoriels de E.

Prouver lequivalence entre i) et ii) ci-dessous:i) E = F ⊕ H.ii) L’application lineaire u : F ×H → E, u((~x,~y)) = ~x+~y, est bijective.


1.2 Les proprietes des applications lineaires

1.2.1 Le rang d’une application lineaire

Theoreme 1.25 du rang.Soit E et F deux espaces vectoriels sur K et u ∈ L(E,F )

une application lineaire de E vers F.Si E est de dimension finie, alors l’image de u est aussi de dimension

finie et dim(E) = dim(Im(u)) + dim(Ker(u)) .L’entier dim(Im(u)) est appele rang de u.

Preuve On considere une base de Ker(u), B0 = ~b1, . . . ,~bd.On la complete en une base de E, B = ~b1, . . . ,~bd,~bd+1, . . . ,~bn.

Alors E = u(~bd+1), . . . ,u(~bn) engendre Im(u) et on verifie que c’est unsysteme libre, d’ou c’est une base de Im(u).

Corollaire 1.26 Soit E et F deux espaces vectoriels sur K de dimensionfinie. Soit u ∈ L(E,F ) une application lineaire de E vers F.

Alors on a les proprietes suivantes.i) Si u est inversible, on a necessairement dim(E) = dim(F ).ii) Si dim(E) = dim(F ), alors les proprietes ii-a), ii-b), ii-c) sont equivalentes

ii-a) u est inversibleii-b) u est surjectifii-c) u est injectif

Proposition 1.27 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie.Soit deux endomorphismes de E, u, v ∈ L(E).Alors u v est inversible s.s.s. u et v sont tous les deux inversibles.

Il suffit de remarque que si u v est inversible, alors v est injectif et u etsurjectif. Le Corollaire precedent dit, alors que u et v sont inversibles.

Definition 1.28 Soit E un espace vectoriel sur K etA = ~v1, . . . ,~vm une famille de m vecteurs de E.Le rang de A est par definition, la dimension du sous-espace vectoriel en-gendre par A, V ec(A).

Theoreme 1.29 du rang d’une matrice.Soit A = (aij) 1 ≤ i ≤ n

1 ≤ j ≤ m

une matrice n × m a coefficients dans K.

Soit L le sous-espace vectoriel de Km engendre par les lignes de A, et soit Cle sous-espace vectoriel de Kn engendre par les colonnes de A.Alors dim(L) = dim(C) et cet entier est appele rang de A.

Ce Theoreme sera prouve a la fin du sous chapitre suivant.


1.2.2 Le calcul matriciel

On identifie les vecteurs de Kd a des matrices colonnes (a d composantes).Dans ce cas, si A = (aij) 1 ≤ i ≤ n

1 ≤ j ≤ m

est une matrice

n × m a coefficients dans K, alors on a vu queA definit une application lineaire A : Km → Kn, AX = Y,

si X =

x1

x2...

xm

∈ Km, Y =

y1

y2...

yn

∈ Kn, avec yi =

m∑

j=1

aijxj.

La matrice transposee de A est tA = (a′ij)1 ≤ i ≤ m

1 ≤ j ≤ n

, dont les lignes sont

les colonnes de A : a′ij = aji.

On a, si le produit de deux matrices AB est bien defini,alors t(AB) =t B tA.

En particulier, si X =

x1

x2...xm

, tX = (x1 x2 . . . xm)

et donc tXX = (x21 + x2

2 + . . . + x2m).

La matrice identite d’ordre n est I = In = (δij)1≤i,j≤n,(le symbole de Kronecker δij est defini par δij = 0 si i 6= j et δii = 1).

Une matrice carree A d’ordre n est inversible s’il existe une autre matricecarree B d’ordre n tel que AB = BA = I. On la note B = A−1.

Exercice 1.30 Soit deux matrices carrees d’ordre n, A et B.i) Si BA = I, prouver que A est inversible d’inverse B.ii) Si AB = I, prouver que A est inversible d’inverse B.iii) Prouver que AB est inversible s.s.s. A et B sont inversibles.

Plan de la preuve du Theoreme 1.29 du rang d’une matriceSoit L le sous-espace vectoriel engendre par les lignes de la matrice A et

soit C celui engendre par les colonnes.On a C = Im(A) et L = Im(tA), d’ou le Theoreme du rang dit quedim(C) = n − dim(Ker(A)) et dim(L) = n − dim(Ker(tA)).On va prouver que dim(C) ≤ dim(L) puis que dim(L) ≤ dim(C).On remarque que Im(tAA) ⊂ Im(tA) = L

et que Im(AtA) ⊂ Im(A) = C,d’ou le Theoreme du rang dit que

dim(Im(tAA)) = n − dim(Ker(tAA)) ≤ dim(L)et dim(Im(AtA)) = n − dim(Ker(AtA)) ≤ dim(C).


Alors, si on montre que dim(Ker(A)) = dim(Ker(tAA))et que dim(Ker(tA)) = dim(Ker(AtA)),on aura prouve les deux inegalites:

dim(C) ≤ dim(L) et dim(L) ≤ dim(C).

Dans le cas complexe, K = C, on utilise quedim(C) = dim(C) et dim(L) = dim(L) et que Ker(A⋆A) = Ker(A).

(Si M est une matrice, M⋆ =t M est appele l’adjoint de M).

Exercice 1.31 Soit A une matrice n × n reelle. Prouver que Ker(A) =Ker(tAA).

Indications Seule l’inclusion Ker( tAA ) ⊂ Ker(A) n’est pas evidente.Si X ∈ Ker(tAA), poser Y = AX et remarquer que

tY Y = tX tAAX = 0. Conclure en ecrivant que tY Y =n∑

j=1

y2j .

1.2.3 Representation matricielle

Definition 1.32 Soit E et F deux espaces vectoriels sur K de dimensionfinie, et soit B = ~b1,~b2, . . . ,~bm une base de E et C = ~c1,~c2, . . . ,~cn une base

de F. Soit u ∈ L(E,F ). Pour tout j ∈ 1,2, . . . ,m, u(~bj)

s’ecrit de maniere unique u(~bj) =n∑

i=1

aij~ci.

Alors la matrice n × m, A = (aij) 1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ m

est appelee matrice de u dans la base B de E et C de F.

Autrement dit ∀ ~v =m∑

j=1

xj~bj ∈ E, si ~w = u(~v),

alors ~w =n∑

i=1

yi~ci avec Y =

y1

y2...yn

= AX, si X =

x1

x2...

xm

.

Si E = F et C = B, on dit simplement queA est la matrice de u dans la base B.

Exercice 1.33 Soit u ∈ L(E,F ), de matrice A dans la base

B = ~b1,~b2, . . . ,~bm de E et C = ~c1,~c2, . . . ,~cn de F.Justifier que le rang de u et celui de A sont egaux.On suppose maintenant que m = n.Prouver que u est inversible s.s.s. A est inversible.


1.2.4 Changement de base

Definition 1.34 Soit E un espace vectoriel sur K de base B = ~b1,~b2, . . . ,~bn.Soit une nouvelle base de E, C = ~c1,~c2, . . . ,~cn.

Alors chaque vecteur de la nouvelle base s’ecrit de maniere unique en fonctionde l’ancienne base. La matrice carree P dont la jeme colonne est formee parles composantes de ~cj dans l’ancienne base est appelee matrice de change-ment de base entre B et C, ou matrice de passage de B a C :

P = (pij)1≤i,j≤n si ~cj =n∑

i=1

pij~bi .

Autrement dit, la matrice de passage de B a C est la matrice n×n, P verifiant:

∀ ~v ∈ E, ~v =n∑

i=1

xi~bi =

n∑

i=1

yi~ci avec

X =

x1

x2...

xn

= PY , si Y =

y1

y2...yn

.

Proposition 1.35 Si P est la matrice de passage d’une base B a unebase C, alors elle est inversible et P−1 est la matrice de passage de la base Ca la base B.

Theoreme 1.36 Soit E un espace vectoriel sur K de base B = ~b1,~b2, . . . ,~bnet soit u ∈ L(E). On note A la matrice de u dans la base B.

Soit une nouvelle base de E, C = ~c1,~c2, . . . ,~cn et B la matrice de u danscette nouvelle base.Alors B = P−1AP ou P est la matrice de passage de la base B a la base C.

Definition 1.37 Deux matrices carrees d’ordre n, A et B sont ditessemblables s.s.s. il existe une matrice inversible de meme orde, P, telle queP−1AP = B.

On en deduit que deux matrices semblables ont le meme rang.


2 Determinant

2.1 Formes multilineaires

Definition 2.1 Une forme lineaire dans un espace vectoriel E sur K

est une fonction f : E → K qui est lineaire: f ∈ L(E; K).L’ensemble des formes lineaires sur E est note E⋆ ou E ′.

C’est un espace vectoriel sur K appele dual de E.

Soit f est une forme lineaire non identiquement nulle d’un espace vecto-riel E sur R.Alors il existe une droite sur D de E, (c’est a dire que D est un sous-espacevectoriel de dimension 1 de E), tel que: E = D ⊕ Ker(f).

( Si f(~e) 6= 0, on prend D = V ec~e, D ∩ Ker(f) = ~0.Tout ~x ∈ E, secrit ~x = f(~x)

f(~e)~e + ~y avec ~y ∈ Ker(f) ).

On dit que F = Ker(f) est un hyperplan de E.Autrement dit, si E est de dimension n, alors dim(Ker(f)) = n − 1.

Si E = R3, un hyperplan de E est un plan, c’est a dire un sous-espacevectoriel de E de dimension 2.

Definition 2.2 Une application f : E × E → H,ou E et H sont deux espaces vectoriels sur K, est dite bilineaire s. s. s.pour tout ~u ∈ E fixe, les deux applications suivantes

fGu = f( . ,~u) : E → H, ∀ ~x ∈ E, fG

u (~x) = f(~x,~u)et

fDu = f(~u, . ) : E → H, ∀ ~x ∈ E, fD

u (~u,~x)sont lineaires: fG

u , fDu ∈ L(E,H).

Autrement dit ∀ ~x, ~y, ~a, ~b ∈ E, ∀ λ, µ, α, β ∈ K,

f(λ~x + µ~y,α~a + β~b) = λαf(~x,~a) + λβf(~x,~b) + µαf(~y,~a) + µβf(~y,~b).

On dit f est symetrique si ∀ ~x, ~y, ∈ E, f(~x,~y) = f(~y,~x).On dit f est alternee ou antisymetrique si ∀ ~x, ~y, ∈ E ,

f(~x,~y) = −f(~y,~x) .

Quand H = K on dit que f est une forme bilineaire, forme bilineairesymetrique, ou forme bilineaire alternee.

Exemple 2.3 i) Si E = Rn, f(~x,~y) =n∑

j=1

xjyj

definit sur E une forme bilineaire symetrique appele produit scalaire.


On la note aussi ~y.~x , (~y; ~x) ou 〈~y|~x〉 :

n∑

j=1

xjyj = ~y.~x = (~y; ~x) = 〈~y|~x〉 .

On a vera que 〈~y|~x〉 = ‖~x‖ × ‖~y‖ × cos(~x,~y) ,ou ‖~x‖ = (〈~x|~x〉)1/2 est la longueur de ~x .

ii) Si E = R2, g(~u,~v) = ~u ∧ ~v = u1v2 − u2v1,definit une forme bilineaire et alternee sur E, appele determinant.

iii) Si E = R3, h(~u,~v) = ~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2,u3v1 − u1v3,u1v2 − u2v1),definit une application multineaire alternee sur E vers E,appelee produit vectoriel.

Definition 2.4 Soit n ∈ N, n ≥ 2, et soit E un espace vectoriel sur K.Une n-forme lineaire et alternee sur E est une fonctionf : En → K telle quei) pour tout j ∈ 1,2, . . . ,n, pour tout n − 1 vecteurs de E,

~u1, . . . ,~uj−1,~uj+1, . . . ,~un fixes, la formex → f(~u1, . . . ,~uj−1,x,~uj+1, . . . ,~un) soit lineaire sur E.ii) pour tout i, j ∈ 1,2, . . . ,n, i < j, et pour tout ~x1, . . . ,~xn ∈ E,

f(~x1, . . . ,~xi, . . . ,~xj, . . . ~xn) = −f(~x1, . . . ,~xi−1,~xj,~xi+1, . . . ,~xj−1,~xi,~xj+1 . . . ~xn) :le signe de f change si on permute deux vecteurs.

L’ensemble des n-formes lineaires et alternees sur E est notee Λn(E).C’est un espace vectoriel sur K.

On peut remplacer la condition ii) pariii) pour tout i, j ∈ 1,2, . . . ,n, i < j, et pour tout ~x1, . . . ,~xn ∈ E

tel que ~xi = ~xj, f(~x1, . . . , . . . ~xn) = 0.Alors i) et ii) sont equilvalents a i) et iii).

Pour retrouver ii) a partir de iii), on applique iii) avec ~xi + ~xj a la placede ~xi et de ~xj et on developpe par linearite.

Theoreme 2.5 Soit f ∈ Λn(E) une n-forme lineaire et alternee,sur un espace vectoriel E.

Si ~u1, . . . ,~un est une famille liee de n vecteurs de E,alors f(~u1, . . . ,~un) = 0.

En consequence, si dim(E) < n, alors Λn(E) = 0.

Idee de la preuve. Si ~uj =∑

i6=j

λi~ui, alors

f(~u1, . . . ,~un) =∑

i6=j

λif(~u1, . . . ,~uj−1,~ui,~uj+1, . . . ,~un).


Si i 6= j, le ieme vecteur de (~u1, . . . ,~uj−1,~ui,~uj+1, . . . ,~un) est egal au jeme,d’ou l’anti-symetrie de f donne f(~u1, . . . ,~uj−1,~ui,~uj+1, . . . ,~un) = 0 .

Exemple 2.6 E = R3, h(~u,~v,~w) =< ~u ∧ ~v|~w >= det(~u,~v,~w)definit une 3-forme lineaire et alternee sur R3 appelee determinant.

2.2 Determinant d’une matrice

2.2.1 Definition

On va definir le determinant d’une matrice n × n, A ∈ Mn(K), det(A)par recurrence sur n .Cas n = 1

Si A = [a] ∈ M1(K), det(A) = a.Cas n = 2

Si A =

[a11 a12

a21 a22

]∈ M2(K),

on definit son determinant par det(A) = a11a22 − a21a12 .(On retrouve que le determinant sur M2(K) definit une 2-forme lineaireet alternee sur l’espace vectoriel des vecteurs colonnes et aussi des vecteurslignes).

On note det(

[a11 a12

a21 a22

]) =

∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .

Remarquons qu’on a det(A) = det(tA) .Cas n = 3

Si A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∈ M3(K),

on definit son determinant par, (calcul suivant la premiere ligne),

det(A) = a11 ×∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ×∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ×∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣ .

= a11a22a33 − a11a23a32 + a12a23a31 − a12a21a33 + a13a21a32 − a13a23a31 .

On retrouve qu’en fait det(A) =< c3(A)|c1(A) ∧ c2(A) >est le determinant de ses colonnes (c1(A),c2(A),c3(A)).De meme det(A) =< l3(A)|l1(A) ∧ l2(A) > est le determinant de ses lignes(l1(A),l2(A),l3(A)).Ce qui signifie que

det(tA) =

∣∣∣∣∣∣

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣= det(A)


Le determiant d’une matrice 3 × 3 est donc aussi une 3-forme lineaire etalternee sur les lignes de la matrice.

De la on trouve que l’on peut calculer le derminant suivant une lignedonnee ou suivant une colonne donnee:Calcul suivant la premiere ligne∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11 ×

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ − a12 ×∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ + a13 ×∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣ .

Calcul suivant la deuxieme ligne∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= −a21 ×

∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣ + a22 ×∣∣∣∣a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣− a23 ×∣∣∣∣a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣ .

Calcul suivant la troisieme ligne∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a31 ×

∣∣∣∣a12 a13

a22 a23

∣∣∣∣ − a32 ×∣∣∣∣a11 a13

a21 a23

∣∣∣∣ + a33 ×∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .

En remplacant A par sa transposee on trouve le calcul suivant les colonnes.Calcul suivant la premiere colonne∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11 ×

∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣ − a21 ×∣∣∣∣a12 a13

a32 a33

∣∣∣∣ + a31 ×∣∣∣∣a12 a13

a22 a23

∣∣∣∣ .

Calcul suivant la deuxieme colonne∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= −a12 ×

∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣ + a22 ×∣∣∣∣a11 a13

a31 a33

∣∣∣∣− a32 ×∣∣∣∣a11 a13

a21 a23

∣∣∣∣ .

Calcul suivant la troisieme colonne∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a13 ×

∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣ − a23 ×∣∣∣∣a11 a12

a31 a32

∣∣∣∣ + a33 ×∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ .

Remarquons que, dans tous les cas, le signe de aij

∣∣∣∣. .. .

∣∣∣∣ est (−1)i+j.

Cas d’une matrice d’ordre n > 3


Si A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

∈ Mn(K),

et si p, q ∈ 1,2, . . . ,n, on definit la mineure de A d’indices (p,q),que nous noterons M (p,q),la matrice (n − 1) × (n − 1) obtenue a partir de A en effacant la pieme lignede Aet la qieme colonne de A :

M (p,q) =

a11 a12 . . . a1,q−1 a1,q+1 . . . a1n

a21 a22 . . . a2,q−1 a2,q+1 . . . a2n...

... · · · · · · ...ap−1,1 ap−1,2 . . . ap−1,q−1 ap−1,q+1 . . . ap−1,n

ap+1,1 ap+1,2 . . . ap+1,q−1 ap+1,q+1 . . . ap+1,n...

... · · · · · · ...an1 an2 . . . an,q−1 an,q+1 . . . ann

.

On defint le determinant de A par son calcul suivant la premiere ligne:

det(A) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣=

n∑

j=1

(−1)1+ja1jdet(M (1,j)) . (2.1)

Proposition 2.7 Le determinant d’une matrice n×n, avec n > 1, definitune n-forme lineaire et alternee sur les vecteurs colonnes de la matrice.

Preuve On fait une recurrence sur l’entier n.

Theoreme 2.8 Si A est une matrice n × n, alors det(A) = det(tA) .

Ce Theoreme sera prouve plus loin.De ce Theoreme, on en deduit les deux propositions suivantes.

Proposition 2.9 Le determinant d’une matrice n×n, avec n > 1, definitune n-forme lineaire et alternee sur les vecteurs lignes de la matrice.

Theoreme 2.10 Si A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Mn(K), est une matrice n× n,alors on peut calculer son determinant suivant une de ses lignes ou suivantune de ses colonnes par la formule

det(A) =n∑

q=1

(−1)i+qaiqdet(M (i,q)) =n∑

p=1

(−1)p+japjdet(M (p,j)) ,

ceci pour tout choix d’indice de ligne i ∈ 1, . . . ,n,et pour tout choix d’indice de colonne j ∈ 1, . . . ,n.


Theoreme 2.11 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension n > 1 .Alors l’espace vectoriel des n-formes multineaires et alternees sur E

est de dimension 1 : dim(Λn(E)) = 1 .

Ce Theoreme sera prouve ulterieurement.Du Theoreme 2.11, on en deduit celui-ci.

Theoreme 2.12 Soit A et B deux matrices n × n,alors det(AB) = det(A) × det(B) .

En effet on a deux cas.Soit A ou B n’est pas inversible, ce qui revient a dire que AB n’est pas

inversible, dans ce cas 0 = det(AB) = det(A) × det(B).Soit A et B sont inversibles, ce qui revient a dire que AB est inversible,

dans casf : Mn(K) → K, f(M) = det(AM)

etg : Mn(K) → K, g(M) = det(A) × det(M)

definissent sur l’espace Kn identife aux matrices colonnes, une n-forme lineaireet alternee, qui coincide sur la base canonique, quand M = I.Le Theoreme 2.11, dit alors que f = g.

Comme Corollaire immediat on a

Corollaire 2.13 Soit A une matrice n × n.Alors les proprietes i), ii) et iii) sont equivalentes:

i) det(A) = 0ii) Les lignes de A sont lieesiii) Les colonnes de A sont liees

Autrement dit A est inversible s. s. s. det(A) 6= 0

et dans ce cas det(A−1) =1

det(A).

2.2.2 Regles sur les determinants

+ On ne change pas le determinant d’une matrice si on ajoute a une deses lignes une combinaison lineaire des autres lignes.

+ On ne change pas le determinant d’une matrice si on ajoute a une deses colonnes une combinaison lineaire des autres colonnes.

+ On change le signe d’un determinant d’une matrice si on permute,(transpose), deux de ses lignes.

+ On change le signe d’un determinant d’une matrice si on permute,(transpose), deux de ses colonnes.

+ Si on multiplie une seule ligne d’une matrice par un nombre c, sondeterminant sera multiplie par le meme nombre c.


+ Si on multiplie une seule colonne d’une matrice par un nombre c, sondeterminant sera multiplie par le meme nombre c.

+ Si on multiplie toute une matrice d’ordre n par un nombre c, sondeterminant sera multiplie par cn.

+ Le determinant d’une matrice diagonale est egale au produit des elementsde sa diagonale.

+ Le determinant d’une matrice triangulaire superieure ou inferieure estegale au produit des elements de sa diagonale.

De ces regles on trouve la methode de Gauss pour calculer le determinantd’une matrice d’ordre n > 2, A.(Quand n est tres grand, c’est la methode la plus rapide).

2.2.3 Algorithme de Gauss de calcul d’un determinant suivant lapremiere colonne

DEBUTLire nLire AInitialiser det(A) = 1Pour j = 1 jusqu’a n − 1 faireDebut

Si ajj = 0,et Si pour tout i = j + 1 a n, aij = 0, alors det(A) = 0.Autrement chercher le premier i > j tel que aij 6= 0

Multiplier cette ieme ligne par −1Permuter la jeme ligne de A avec la ieme ligne

Autrement, si ajj 6= 0 faire

Pour i = j + 1 a n ajouter a la ieme ligne −aij

ajj

× la jeme ligne

det(A) := ajj × det(A)Fin (Pour)det(A) := ann × det(A)

FIN

(La matrice finale est triangulaire superieure).

2.2.4 Algorithme de Gauss de calcul d’un determinant suivant lapremiere ligne

DEBUTLire n


Lire AInitialiser det(A) = 1Pour i = 1 jusqu’a n − 1 faireDebut

Si aii = 0,et Si pour tout j = i + 1 a n, aij = 0, alors det(A) = 0.Autrement chercher le premier j > i tel que aij 6= 0

Multiplier cette jeme colonne par −1Permuter la jeme colonne de A avec la ieme colonne

Autrement, si aii 6= 0 faire

Pour j := i + 1 a n ajouter a la jeme colonne −aij

aii

× la ieme colonne

det(A) := aii × det(A)Fin (Pour)det(A) := ann × det(A)

FIN

(La matrice finale est triangulaire inferieure).

2.2.5 Determinant et les permutation

Soit n ∈ N, n > 1 et soit l’ensemble de n entiers [[1,n]] = 1,2, . . . ,n.Une permutation sur [[1,n]] est une bijection σ : [[1,n]] → [[1,n]] .L’ensemble des permutions sur [[1,n]] est un groupe, (non commutatif),

appele groupe symetrique d’orde n et note Sn.Remarqu’on a par recurrence sur n que le cardinal de Sn

est donne par (Sn) = n! .(Il y a n facons de choisir le premier, et quand il est choisit il reste(Sn−1) manieres de classer ceux qui restent).

Une permutation τ ∈ Sn est dite une transposition, s’il existe deuxentiers i et j, 1 ≤ i < j ≤ n, tel que τ(i) = j, τ(j) = iet pour tout k ∈ [[1,n]] \ i,j, τ(k) = k.Autrement dit une transposition est une permutation entre deux elements.Remarquons que si τ est une transposition, son inverse est τ−1 = τ.

Si σ ∈ Sn est une permutation qui n’est pas l’identite, alors il existe unnombre fini de transpositions τ1, . . . ,τk tel que σ = τk τk−1 . . . τ1

La preuve se fait par recurrence sur n. Si σ(n) 6= n, alors il existe j < ntel que σ(j) = n. On considere la transposition τ permutant (j,n), et lapermutation σ = τσ verifie σ(n) = n. (On peut lui appliquer l’hypothese derecurrence).


Proposition 2.14 Soit E un espace vectoriel sur K de base B = ~b1, . . . ,~bn .Soit une n-forme multineaire sur E, f ∈ Λn(E) .

Alors, pour tout ~x1, . . . ~xn ∈ E, ~xj =n∑

i=1

x(j)i

~bi , on a

f(~x1, . . . ~xn) =∑

σ∈Sn

x(1)σ(1)x

(2)σ(2) . . . x

(n)σ(n)f(~bσ(1),~bσ(2), . . . ,~bσ(n)) .

Preuve On developpe par linearite et on remarque que, l’anti-symetrieimplique que si σ : [[1,n]] → [[1,n]] n’est pas bijective, (n’est pas une

permutation), alors f(~bσ(1),~bσ(2), . . . ,~bσ(n)) = 0 .

Si σ ∈ Sn est une permutation, l’entier

I(σ) = (i,j) ∈ [[1,n]] × [[1,n]]; i < j, σ(i) > σ(j) (2.2)

est appelle nombre d’inversion de σ.La signature de σ est par definition

sign(σ) = (−1)I(σ) (2.3)

Si τ est une transposition, alors I(τ) = 1 et sign(τ) = −1.Si id est l’identite, alors I(id) = 0 et sign(id) = 1.Soit σ ∈ Sn. On definit alors

uσ ∈ L(Kn), uσ((x1,x2, . . . ,xn)) = (xσ(1),xσ(2), . . . ,xσ(n)) .

C’est une bijection lineaire qu’on appelle aussi permutation.Remarquons que, si on a deux permutations σ, ρ ∈ Sn,

alors uσρ = uσ uρ .Soit la fonction (non lineaire) π : Kn → K,

π(~x) =∏

1≤i<j≤n

(xj−xi) = (x2−x1)(x3−x1) . . . (xn−x1)(x3−x2) . . . (xn−x2) . . . (xn−xn−1) .

Alors on a

∀ σ ∈ Sn, ∀ ~x ∈ Kn, π(uσ(~x)) = (−1)I(σ)π(~x) = sign(σ) × π(~x) . (2.4)

De la on trouve aisement que ∀ σ, ρ ∈ Sn, ∀ ~x ∈ Kn,

sign(σ ρ)×π(~x) = π(uσρ(~x)) = sign(σ)π(uρ(~x)) = sign(σ)×sign(ρ)π(~x) .


On deduit la relation entre les signatures des composes

∀ σ, ρ ∈ Sn, sign(ρ ρ) = sign(σ) × sign(ρ) . (2.5)

En particulier, on trouve que sign(σ−1) = 1sign(σ)

= sign(σ) .

De la formule (2.5) et du fait que toute permutation est une compositionfinie de transpositions, on peut preciser la proposition preliminaire Proposi-tion 2.14 par le theoreme suivant.

Theoreme 2.15 Soit E un espace vectoriel sur K de base B = ~b1, . . . ,~bn .Soit une n-forme multineaire sur E, f ∈ Λn(E) .

Alors, pour tout ~x1, . . . ~xn ∈ E, ~xj =n∑

i=1

x(j)i

~bi , on a

f(~x1, . . . ~xn) =∑

σ∈Sn

sign(σ) × x(1)σ(1)x

(2)σ(2) . . . x

(n)σ(n)f(~b1,~b2, . . . ,~bn) .

On en deduit entre autre quei) dim(Λn(E)) = 1ii) si A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(K),

det(A) =∑

σ∈Sn

sign(σ)×aσ(1),1aσ(2),2 . . . aσ(n),n =∑

ρ∈Sn

sign(ρ)×a1,ρ(1)a2,ρ(2) . . . an,ρ(n)

On trouve que det(tA) = det(A).

2.3 Application des determinants

Definition 2.16 Soit E un espace vectoriel sur K de base B = ~b1, . . . ,~bn .Pour tout endomorphisme u ∈ L(E), on definit son determinant pardet(u) = det(A) ou A est la matrice de u dans la base B.

Cette definition ne depend pas du choix de la base B.Si E est une autre base et si M est la matrice de u dans cette base,alors M = P−1AP ou P est la matrice de passage de la base B a la base E .

En consequence det(M) = det[P−1(AP )] = det[(AP )P−1] = det(A) .

Proposition 2.17 Soit E un espace vectoriel sur K de base B = ~b1, . . . ,~bn .Soit E = ~e1, . . . ,~en un systeme de n vecteurs de E.

Alors E est une base de E s. s. s. det(P ) 6= 0,ou P est la matrice n × n de jeme colonne formee par les composantes de ~ej

dans son ecriture dans la base B.


L’application ainsi definie detB : En → K, detB(~e1, . . . ,~en) = det(P )est une n-forme multilineaire et alternee appelee determinant suivant la baseB.

Si E = Kn et si B est la base canonique, on note simplement det au lieude detB, et on l’appelle simplement determinant.

Theoreme 2.18 Systeme de Cramer.Soit A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Mn(K) inversible, et soit Y ∈ Kn.

On identifie Kn aux matrices colonnes Mn,1(K).Alors la solution X du systeme AX = Y est donnee par

X =

x1

x2...

xn

, xj =

det(Aj,Y )

det(A)

ou Aj,Y est la matrice obtenue a partir de A en remplacantla jeme colonne de A par Y.

Preuve Notons cj(A) la jeme colonne de A.On a det(Aj,Y ) = det(c1(A), . . . ,cj−1(A),Y,cj+1(A), . . . ,cn(A)),

et comme Y =n∑

j=1

xjcj(A), l’anti-symetrie du determinant sur Kn prouve

quedet(c1(A), . . . ,cj−1(A),Y,cj+1(A), . . . ,cn(A))

= det(c1(A), . . . ,cj−1(A),n∑

ℓ=1

xℓcℓ(A),cj+1(A), . . . ,cn(A))

= det(c1(A), . . . ,cj−1(A),xjcj(A),cj+1(A), . . . ,cn(A))= xjdet(A) .

Corollaire 2.19 Soit A = (aij) ∈ Mn(K) inversible,

Alors A−1 =1

det(A)[(−1)i+jdet(M (j,i))]1≤i,j≤n =

1

det(A)×t C ,

ou C = (cij)1≤i,j≤n est la matrice des cofacteurs de A :cij = (−1)i+jdet(M (i,j)), avec M (p,q) qui designe la mineure d’indice (p,q)

de A, la matrice (n− 1)× (n− 1) obtenue a partir de A en effacant la pieme

ligne de A et la qieme colonne de A.

L’inverse de A est donnee par la transposee de la matrice descofacteurs divisee par le determinant de A.


2.4 Notion d’orientation

Soit E est un espace vectoriel sur R de dimension n . Si on se donnesur E une n-forme multineaire et alternee, det(., . . . ,.) , (non identiquementnulle), on dit qu’on s’est donne une orientation sur E .

n vecteurs ordonnes de E, ~v1, . . . ,~vn sont dits orientes positivements.s.s. det(~v1, . . . ,~vn) > 0 .Dans le cas contraire, on dit qu’ils sont orientes negativement.

On peut toujours choisir une base de E , B = ~b1, . . . ,~bn ,qui soit orientee positivent.Dans ce cas V = ~v1, . . . ,~vn sera oriente positivement s.s.s. la matrice depassage P , de B a V verifie det(P ) > 0 .

Par exemple, si E = Rn est muni de son orientation canonique, c’est adire celle correspondante a det( ., . . . , .) = det( ., . . . , .) ,telle que sa base canonique E = ~e1, . . . ,~en satisfasse det(~e1, . . . ,~en) = 1 ,alors V = ~v1, . . . ,~vn sera oriente positivement s.s.s. det(~v1, . . . ,~vn) > 0 .

Remarquez qu’on a toujours le choix entre deux orientations dans unespace vectoriel.

Cas de R2 :Soient ~v = (a,b) et ~w = (c,d) dans R2 .~v, ~w sont oreientes positivement s.s.s. ad − bc > 0 .

L’orientation de ~w, ~v est opposee a celle de ~v, ~w .

Cas de R3 :~v1, ~v2, ~v3 de R3 sont orientes positivement s.s.s. 〈~v1 ∧ ~v2 | ~v3〉 > 0 .

Dans ce cas ~v3, ~v1, ~v2 et ~v2, ~v3, ~v1 sont aussi orientes positivement,par contre ~v1, ~v3, ~v2 , ~v3, ~v2, ~v1 et ~v2, ~v1, ~v3 sont orientes negativement.


3 Diagonalisation et trigonalisation

3.1 Valeurs propres, vecteurs propres

Definition 3.1 Soit u ∈ L(E) un endomorphisme d’un espace vectorielE sur K.Un scalaire µ ∈ K est dit une valeur propre de u s. s. s.

il existe ~x ∈ E \ ~0 tel que u(~x) = µ~x ,(ce qui veut dire que Ker(u − µidE) 6= ~0).Un tel vecteur ~x est appele vecteur propre associe a la valeur propre µ.Le sous-espace Eµ = Ker(u− µidE) est appele sous-espace propre associe ala valeur propre µ .

Si A = (aij) ∈ Mn(K), une valeur propre de A est alors un scalaireµ ∈ K tel que det(A − µI) = 0.

Definition 3.2 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finiedim(E) = n . Si u ∈ L(E) , alors

p(x) = det(u − x × idE)

est un polynome de degre n, qui est appele polynome caracteristique de u.

p(x) = (−1)nxn + cn−1xn−1 + . . . + c1x + c0, c0 = det(u) .

Si A = (aij) ∈ Mn(K), son polynome caracteristique est doncp(x) = det(A − xI) .

Le polynome caracteristique d’un endomorphisme u est egal a celui desa matrice dans une base donnee.

Proposition 3.3 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie.Soit u ∈ L(E) et p(x) = det(u−x× idE) son polynome caracteristique.Alors µ ∈ K est une valeur propre de u s. s. s. µ est racine de son

polynome caracteristique, c’est a dire p(µ) = 0 .

3.2 Diagonalisation

Definition 3.4 Une matrice D = (dij)1≤i,j≤n ∈ Mn(K)est dite diagonale s.s.s.

dij = 0 des que i 6= j .On la note alors D = diag(λ1,λ2, . . . ,λn), ou

(λ1,λ2, . . . ,λn) = (d11,d22, . . . ,dnn) est sa diagonale.


Pour une matrice diagonale D = diag(λ1,λ2, . . . ,λn), ses valeurs propressont les λj et pour tout entier k, Dk = diag(λk

1,λk2, . . . ,λ

kn) est aussi diago-

nale, (pour k ≥ 0, et si D est inversible pour tout k ∈ Z ).

Definition 3.5 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finien . Un endomorphisme sur E, u ∈ L(E), est dit diagonalisables’il existe une base de E, E = ~e1, . . . ,~en tel que la matrice de u dans cettebase soit diagonale. Autrement dit u est diagonalisable s. s. s.il existe une base formee de vecteurs propres de u.

Une matrice A = (aij) ∈ Mn(K) est dite diagonalisable dans K, s’ilexiste une matrice inversible P ∈ Mn(K) tel que P−1AP soit diagonale,c’est a dire que A est semblable a une matrice diagonale.

Un endomorphisme est diagonalisable s. s. s. sa matrice dans une basedonnee est diagonalisable.

Definition 3.6 Si F1, F2, . . . ,Fk sont k sous-espaces vectoriels d’un es-pace vectoriel E sur K verifiant, ∀ ~x ∈ F1 + F2 + . . . + Fk,

∃! (~x1,~x2, . . . ,~xk) ∈ F1 × F2 × . . . × Fk

t.q.~x = ~x1 + ~x2 + . . . + ~xk

(3.1)

on dit que leur somme est directe, et on ecrit

F1 + F2 + . . . + Fk = F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fk.

La condition precedente (3.1) est equivalente a celle-ci:∀ (~x1,~x2, . . . ,~xk) ∈ F1 × F2 × . . . × Fk ,

~0 = ~x1 + ~x2 + . . . + ~xk ⇒ ~x1 = ~x2 = . . . = ~xk = ~0 . (3.2)

Dans ce cas, on a necessairement:si pour tout j, 1 ≤ j ≤ k, on a une base Bj de Fj,alors B = B1

⋃B2

⋃. . .

⋃Bk est une base de F1 ⊕ F2 ⊕ . . . ⊕ Fk.

Theoreme 3.7 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finien . Un endomorphisme sur E, u ∈ L(E), est diagonalisable s.s.s. les deuxconditions suivantes sont satisfaites:

i) p(x) = det(u − x × idE) a toutes ses racines dans K :

p(x) = (−1)n(x − µ1)d1 . . . (x − µk)

dk , µj ∈ K, (µj 6= µi si j 6= i) .

ii) ∀ j = 1, . . . ,k, dim(Ker(u − µj × idE)) = dj .


Remarque 3.8 La condition ii) est equivalente a celle iii) ci-dessous:iii) E = Eµ1

⊕ Eµ2⊕ . . . ⊕ Eµk

, si Eµj= Ker(u − µj × idE) .

Quand on a i), on dit que le polynome p(x) est scinde dans K .

Corollaire 3.9 Soit E un espace vectoriel sur R de dimension n .Si u ∈ L(E) et si son polynome caracteristique p(λ) = det(u− λidE)

admet n racines reelles (simples), alors u est diagonalisable.

Idee de la preuve du Theoreme (3.7)On montre par recurrence sur j, 2 ≤ j ≤ k, que

Eµ1+ Eµ2

+ . . . + Eµj= Eµ1

⊕ Eµ2⊕ . . . ⊕ Eµj

.

Si Eµ1+ Eµ2

+ . . . + Eµj= Eµ1

⊕ Eµ2⊕ . . . ⊕ Eµj

,

avec 2 ≤ j < k, et si ~x ∈ Eµj+1

⋂(Eµ1

⊕ Eµ2⊕ . . . ⊕ Eµj

) ,

alors ∃ (~x1,~x2, . . . ,~xj) ∈ Eµ1× Eµ2

× . . . × Eµj

tel que ~x = ~x1 + ~x2 + . . . + ~xj .Comme µj+1~x = u(~x) = µ1~x1 + µ2~x2 + . . . + µj~xj ,

on trouve (µj+1 − µ1)~x1 + (µj+1 − µ2)~x2 + . . . + (µj+1 − µj)~xj = ~0 .Comme on a suppose que Eµ1

+ Eµ2+ . . . + Eµj

= Eµ1⊕ Eµ2

⊕ . . . ⊕ Eµj,

on en deduit que (µj+1 − µ1)~x1 = (µj+1 − µ2)~x2 = . . . = (µj+1 − µj)~xj = ~0 ,et comme µj+1 − µi 6= 0 si i ≤ j, on trouve que

~x1 = ~x2 = . . . = ~xj = ~0 .On conclut aisement que ~x = ~0 .

Exemple 3.10 .

1) A =

3 2 32 0 −6−1 −2 −1

,

alors p(x) =

∣∣∣∣∣∣

3 − x 2 32 −x −6−1 −2 −1 − x

∣∣∣∣∣∣

= (3 − x)(x2 + x − 12) − 2(−2x + 4) − (−12 + 3x) .

On trouve p(x) = −(x3−2x2−16x+32) . Les entiers racines doivent diviser32, on trouve que 2 est racine,p(x) = −(x − 2)(x2 − 16) = −(x − 2)(x − 4)(x + 4), d’ou A a trois valeurspropres distinctes λ1 = −4, λ2 = 2, λ3 = 4 . A est donc diagonalible.Pour chaque valeur propre, on cherche a lui associer un vecteur propre,l’union de ces vecteurs propres forme une base, on trouve par exemple lamatrice de passage de la base canonique a cette base


P =

−1 1 12 −2 21 1 −1

, P−1AP = dig(−4,2,4) =

−4 0 00 2 00 0 4

.

2) B =

−1 1 11 −1 11 1 −1

,

alors q(x) =

∣∣∣∣∣∣

−1 − x 1 11 −1 − x 11 1 −1 − x

∣∣∣∣∣∣. On ajoute a la premiere ligne

les autres lignes et on met en facteur (1 − x),

q(x) =

∣∣∣∣∣∣

1 − x 1 − x 1 − x1 −1 − x 11 1 −1 − x

∣∣∣∣∣∣= (1 − x) ×

∣∣∣∣∣∣

1 1 11 −1 − x 11 1 −1 − x

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

1 1 10 −2 − x 00 0 −2 − x

∣∣∣∣∣∣= (1 − x)(x + 2)2 .

Les valeurs propres sont λ1 = 1, λ2 = λ3 = −2 .

Ker(B − I) = V ec

111

, et Ker(B + 2I) = V ec

1−10

,

01−1

.

La dimension de chaque sous-espace propre est egale a la multiplicite algebriquede la valeur propre associee: B est donc diagonalisable.

Une base de vecteurs propres est B =

111

,

1−10

,

01−1

.

Si P =

1 1 01 −1 11 0 −1

, alors P−1BP = diag(1,−2,−2) =

1 0 00 −2 00 0 −2

.

Une application de la diagonalisation est le calcul des puissancesd’une matrice:

si A est une matrice n × n est diagonalisable, alors on peut trouverune matrice inversible P telle que P−1AP soit diagonale:

P−1AP = D = diag(λ1,λ2, . . . ,λn) . Alors pour tout entier k ≥ 0 ,

Ak = PDkP−1 = P.diag(λk1,λ

k2, . . . ,λ

kn).P−1 .

3.3 Trigonalisation

Une matrice A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Mn(K) est triangulaire superieure siaij = 0 des que i > j .

Elle est dite triangulaire inferieure si


aij = 0 des que i < j , c’est a dire que sa transposee tA est triangulairesuperieure.

Exercice 3.11 Soit deux matrices A = (aij)1≤i,j≤n, B = (bij)1≤i,j≤n

triangulaires superieures.1) Montrer que C = (cij)1≤i,j≤n = AB est aussi triangulaire superieure.2) Montrer que cii = aiibii

3) Montrer que det(A − x × I) =n∏

i=1

(aii − x) .

Definition 3.12 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie:dim(E) = n . Un endomorphisme sur E, u ∈ L(E), est dit trigonali-

sable s’il existe une base de E, E = ~e1, . . . ,~en tel que la matrice de u danscette base soit triangulaire superieure.Une matrice A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Mn(K) est dite trigonalisable dans K s’ilexiste une matrice inversible P ∈ Mn(K) tel que P−1AP soit triangulairesuperieure,c’est a dire que A est semblable a une matrice triangulaire superieure.

En utilisant l’Exercice (3.11), on en deduit que, si une matriceA ∈ Mn(K) est trigonalisable dans K, alors son polynome caracterisque

est scinde dans K :

det(A − xI) = (−1)n(x − µ1)d1 . . . (x − µk)

dk , µj ∈ K, (µj 6= µi si j 6= i) .

Definition 3.13 Un endomorphisme sur E, u ∈ L(E), est dit nilpotents’il existe un entier m ∈ N⋆, tel que um = 0 .

Le plus petit entier m satisfaisant um = 0est appele l’ordre de nilpotence de u.

Une matrice A ∈ Mn(K) est dite nilpotente s’il existe un entierm ∈ N⋆, tel que Am = 0 .

Exercice 3.14 Soit A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Mn(K) une matrice triangu-laire superieure a diagonale nulle: aij = 0 des que i ≥ j .

1) Montrer, que pour k = 1, . . . ,n, Ak = (a(k)ij )1≤i,j≤n avec a

(k)ij = 0

des que i + k > j .2) En deduire que A est nilpotent d’ordre ≤ n.

Theoreme 3.15 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finiedim(E) = n . Soit un endomorphisme sur E, u ∈ L(E).Si u est nilpotent, alors son polynome caracteristique estdet(u − x × idE) = (−1)nxn . De plus u est trigonalisable dans K .


Idee de la preuve On utilise le lemme suivant

Lemme 3.16 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie net soit v ∈ L(E) un endomorphisme de E.

Alors pour tout entier k ∈ N, Ker(vk) est un sous-espace vectoriel deKer(vk+1), Ker(vk) ⊂ Ker(vk+1),et par contre Im(vk+1) est un sous-espace vectoriel de Im(vk) :

Im(vk+1) ⊂ Im(vk) .De plus, si v n’est pas injectif, il existe un unique entierd ∈ N⋆, d ≤ n, tel que

Ker(vd−1) 6= Ker(vd), et ∀ j ∈ N, Ker(vd+j) = Ker(vd) et Im(vd+j) = Im(vd) .

Pour sa preuve, on utilise que la suite des entiers (dim(Ker(vk)))k≥0

est croissante et majoree par n = dim(E),d’ou il existe un plus petit entier d, (d ≤ n), tel quedim(Ker(vd)) = dim(Ker(vd+1)). Alors Ker(vd) = Ker(vd+1) car Ker(vd) ⊂Ker(vd+1) .Ceci entraine qu’en fait Im(vd) = Im(vd+1).

En effet, si on considere l’application restriction de v,w : Im(vd); → Im(vd+1), w(~x) = v(~x).

On a w qui est lineaire et on verifie que w est injective,(ca provient de Ker(vd) = Ker(vd+1)) .

Comme Im(w) ⊂ Im(vd+1) ⊂ Im(vd)et que le Theoreme du rang dit quedim(Im(w)) = dim(Im(vd)) − dim(Ker(w)) = dim(Im(vd)) ,on a en fait Im(w) = Im(vd+1) = Im(vd), w est une bijection.

De la on trouve que, pour tout entier j, Im(vd+j) = Im(wj) = Im(vd)et donc Ker(vd+j) = Ker(vd) .

Suite et fin de la preuve du Theoreme (3.15).On considere l’entier d donne par le Lemme 3.16 relativement a u :

Ker(ud−1) 6= Ker(ud), ∀ j ∈ N, Ker(ud+j) = Ker(ud) et Im(ud+j) = Im(ud) .

Comme u est nilpotent, on a necessairement Ker(ud) = E et Im(ud) = ~0.On a alors, pour tout entier k, 0 < k < d,Ker(uk) ⊂ Ker(uk+1), Ker(uk) 6= Ker(uk+1), et Ker(ud) = E .

D’ou on peut trouver une base B de E, B =d⋃

k=1

Bk,


ou Bk est une base de Ker(uk) et Bk+1 est la base de Ker(uk+1)completee de Bk . Il est clair que B triagonalise u .

Exemple 3.17 A =

1 1 −11 −1 12 0 0

, A2 =

0 0 02 2 −22 2 −2

, A3 = 0 ,

A est niloptent.

Ker(A) = V ec

011

, Ker(A2) = V ec

011

,

101

.

A

101

= 2

011

.

On complete en une base de B de R3 = Ker(A3), B =

011

,

101

,

100

.

A

100

=

011

+

101

.

Alors la matrice de passage de la base canonique a cette base est

P =

0 1 11 0 01 1 0

et P−1AP =

0 2 10 0 10 0 0

est triangulaire superieure a diagonale nulle.

Theoreme 3.18 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finiedim(E) = n . Soit un endomorphisme sur E, u ∈ L(E).Alors u est trigonalisable s. s. s. son polynome caracteristique

p(x) = det(u − x × idE) est scinde dans K :

p(x) = (−1)n(x−λ1)d1 . . . (x−λm)dm avec les λj ∈ K, dj ∈ N⋆, (λj 6= λi si j 6= i ).

Idee de la preuve Il est clair que si u est trigonalisable, alors p(x) estscinde.

Pour la reciproque, on pose v = u − λ1idE. Soit d l’entier donne par leLemme 3.16 relativement a v :

Ker(vd−1) 6= Ker(vd), ∀ j ∈ N, Ker(vd+j) = Ker(vd) et Im(vd+j) = Im(vd) .

On a alors E = Ker(vd) ⊕ Im(vd).Comme v = u−λ1idE restreint a Ker(vd) est nilopotent, on peut trouver

une base B′1 qui la trigonalise, (la matrice triangulaire est a diagonale nulle).

On la complete en choisissant une base B′′1 de Im(vd).


Alors B1 = B′1 ∪ B′′

1 est une base de E.On verifie que u(Ker(vd)) ⊂ Ker(vd) et que u(Im(vd)) ⊂ Im(vd).

D’ou si A1 = MatB1(u), on a p(x) = det(A1−xI) = (λ1−x)k1×det(B1−xI),

ou B1 est la matrice dans la base B′′1 de u ∈ L(Im(vd)),

la restriction de u a Im(vd) : u(~x) = u(~x).De la, comme λ1 n’est pas une valeur propre de u, on en deduit que k1 = d1,et que det(B1 − xI) = (λ2 − x) . . . (λn − x) .On recommence le procede avec u (au lieu de u ).

Corollaire 3.19 Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finiedim(E) = n . Soit un endomorphisme sur E, u ∈ L(E) ,

tel que son polynome caracteristique p(x) = det(u−x×idE) soit scinde dansK :

p(x) = (−1)n(x − λ1)d1 . . . (x − λm)dm λj ∈ K, (λj 6= λi si j 6= i ).

Alors E = Ker(u − λ1 × idE)d1 ⊕ . . . ⊕ Ker(u − λm × idE)dm .

De ce Corollaire on en deduit une reciproque au Theoreme (3.15).

Corollaire 3.20 Soit E un espace vectoriel de dimension finie net soit u ∈ L(E). Alors u est nilpotent s.s.s.

p(x) = det(u − x × idE) = (−1)nxn .

Remarque 3.21 La preuve du Theoreme 3.18 permet de trouver unebase B telle que la matrice de u dans cette base soit triangulaire superieurede la formeMatB(u) = T = D + N ou D est diagonale, N est triangulaire superieurea diagonale nulle, (donc Nn = 0), et surtout ND = DN,( N commute avec D).

Cette derniere propriete, permet d’utiliser la formule du binome pour cal-culer les puissances de T :

∀ k ∈ N, (D + N)k =k∑

j=0

k!

j!(k − j)!Dk−jN j

et donc, si k ≥ n, (D + N)k =n−1∑

j=0

k!

j!(k − j)!Dk−jN j .

Exercice 3.22 Soit A et B deux matrices n × n.On dit A et B commutent s.s.s. AB = BA .


On suppose A et B commutent.(1) Montrer que ∀ j ∈ N, AjB = BAj .(2) Montrer que ∀ j, k ∈ N, AjBk = BkAj .

(3) Etablir la formule du binome ∀ n ∈ N, (A+B)m =m∑

j=0

(mj

)AjBm−j .

Exemple 3.23 Soit E = R4 et E = ~e1,~e2,~e3,~e4 sa base canonique.Soit u ∈ L(E) de matrice dans la base B,

A =

4 1 −3 −11 1 −1 03 1 −2 −14 1 −3 −1

.

Calcul du polynome caracteristique

p(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 − x 1 −3 −11 1 − x −1 03 1 −2 − x −14 1 −3 −1 − x

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 − x 1 1 − x −11 1 − x 0 03 1 1 − x −14 1 1 −1 − x

∣∣∣∣∣∣∣∣

(On a ajoute a la troisieme colonne la premiere). On calcul suivant la deuxiemeligne

p(x) = −1 ×

∣∣∣∣∣∣

1 1 − x −11 1 − x −11 1 −1 − x

∣∣∣∣∣∣+ (1 − x) ×

∣∣∣∣∣∣

4 − x 1 − x −13 1 − x −14 1 −1 − x

∣∣∣∣∣∣

= 0 + (1 − x) ×

∣∣∣∣∣∣

4 − x −x −13 −x −14 −x −1 − x

∣∣∣∣∣∣= −x(1 − x) ×

∣∣∣∣∣∣

4 − x 1 −13 1 −14 1 −1 − x

∣∣∣∣∣∣

(On a ajoute a la deuxieme colonne la troisieme et on a mis en facteur −x).On ajoute a la deuxieme colonne la troisieme et on trouve

p(x) = −x(1−x)×

∣∣∣∣∣∣

4 − x 0 −13 0 −14 −x −1 − x

∣∣∣∣∣∣= −x2(1−x)×

∣∣∣∣4 − x −1

3 −1

∣∣∣∣ = x2(x−1)2

Les valeurs propres sont donc λ1 = λ2 = 0 et λ3 = λ4 = 1.Le polynome caracteristique est scinde, u est donc trigonalisable.Base de Ker(A − λ1I) = Ker(A)


On trouve que Ker(u) = V ec~b1, ~b1 = ~e1 + ~e3 + ~e4 , un’est pas diagonalisable.On doit completer cette base en une base de Ker(A − λ1I)2.

Base de Ker(A − λ1I)2 = Ker(A2)

A2 =

4 1 −4 02 1 −2 03 1 −3 04 1 −4 0

.

Ce qui donne Ker(u2) = V ec~e1 + ~e3 + ~e4,~e4 = V ec~b1,~b2 avec ~b2 = ~e4 .Base de Ker(A − λ3I)

On trouve que Ker(u − idE) = V ect~b3 avec ~b3 = ~e1 + ~e2 + ~e3 + ~e4.On doit completer cette base en une base de Ker(A − λ3I)2.Base de Ker(A − λ3I)2

(A − I)2 =

−3 −1 2 20 0 0 0−3 −1 2 2−4 −1 2 3

.

Ce qui donne queKer(u − idE)2 = V ec~e1 − ~e2 + ~e4,2~e1 + ~e3 + 2~e4

= V ec~e1 + ~e2 + ~e3 + ~e4,~e1 − ~e2 + ~e4= V ec~b3,~b4,

avec ~b4 = ~e1 − ~e2 + ~e4.Matrice dans la nouvelle baseLa nouvelle base est B = ~b1,~b2,~b3,~b4 de matrice de passage

P =

1 0 1 10 0 1 −11 0 1 01 1 1 1

, det(P ) = 1 ×

∣∣∣∣∣∣

1 1 10 1 −11 1 0

∣∣∣∣∣∣= −1 6= 0 .

u(~b1) = ~0, u(~b2) = −~b1, u(~b3) = ~b3, u(~b4) = ~b4 +~b3,d’ou la matrice de u dans cette nouvelle base est

B = P−1AP =

0 −1 0 00 0 0 00 0 1 10 0 0 1

B est triangulaire superieure.


Si on ecrit B = D + N avec D = diag(0,0,1,1) =

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1

on remarque que DN = ND, ce qui autorise la formule du binome pour le

calcul des puissances de B, Bk =k∑

j=0

k!

j!(k − j)!Dk−jN j .

Comme N2 = 0, on trouve que, si k > 1,

Bk = Dk + kDk−1N =

0 0 0 00 0 0 00 0 1 k0 0 0 1

.

Ce qui donne Ak = PBkP−1 =

(2 + k) 1 −(2 + k) 0k 1 −k 0

(1 + k) 1 −(1 + k) 0(2 + k) 1 −(2 + k) 0

.

Un corollaire immediat du Corollaire 3.19 estle Theoreme de Hamilton-Cayley.

Theoreme 3.24 d’Hamilton-CayleySoit A une matrice n × n, a coefficients dans R ou C.

Soit p(x) = det(A − xI) son polynome caracteristique.Alors p(A) = 0.

Pour sa preuve, on utilise le Theoreme de d’Alembert B.1 qui dit que toutpolynome dans C est scinde. Par consequent

p(x) = (−1)n(x−λ1)d1 . . . (x−λm)dm avec les λj ∈ C, dj ∈ N⋆, (λj 6= λi si j 6= i ).

On considere la matrice comme etant a coefficients dans C.Le Corollaire 3.19 dit que Cn = Ker(A − λ1)

d1 ⊕ . . . ⊕ Ker(A − λm)dm

On ecrit que p(A) = (−1)n(A − λmI)dm . . . (A − λ1I)d1 ,pour voir que p(A) est nul sur Ker((A − λ1I)d1), et plus generalement,on peut toujours ecrire que p(A) = qj(A)((A − λj)

dj

pour voir que p(A) est nul sur Ker(A − λj)dj .

ApplicationSoit A une matrice n × n, a coefficients dans R ou C.Soit son polynome caracteristiquep(x) = det(A − xI) = (−1)nxn + an−1x

n−1 + . . . + a1x + a0

Si det(A) 6= 0, alors A−1 = − 1

a0

[(−1)nAn−1+an−1An−2+. . .+a2A+a1I] .


3.4 Application aux systemes d’equations differentielles

3.4.1 Cas lineaire et homogene

Soit A une matrice reelle n × n et soit X0 =

c1

c2...cn

un vecteur non nul donne de Rn .

La solution X(t) =

x1(t)x2(t)

...xn(t)

du systeme differentiel

d

dtX(t) = A.X(t) , X(0) = X0

est donnee par X(t) = exp(tA).X(0) ou la matrice exponentielle de tA est

exp(tA) = limN→+∞

N∑

j=0

1

j!tjAj .

On diagonalise ou trigonalise A pour determiner exp(tA) .Si A est diagonalisable, A = PDP−1 avec D = diag(λ1,λ2, . . . ,λn) ,

alors Y (t) = P−1X(t) est solution du systeme differentiel

y′1(t)

y′2(t)· · ·

y′n(t)

= D.

y1(t)y2(t)· · ·

yn(t)

; Y (0) = P−1X0 ,

dont la solution est donnee par yi(t) = yi(0)eλit , pour tout i = 1, . . . ,n ,ce qui permet de trouver X(t) via la formule X(t) = PY (t) .

Remarquons qu’on en deduit que exp(tD) = diag(eλ1t,eλ2t, . . . ,eλnt) etque exp(tA) = P.diag(etλ1 ,etλ2 , . . . ,etλn).P−1 .

Le cas ou A est seulement trigonalisable, on fait aussi un changementde fonctions via la matrice de changement de base.

Exemple 3.25 .

+ Si A =

(λ α0 λ

), alors exp(tA) =

(etλ tαetλ

0 etλ

).


+ Si A =

λ α 00 λ 00 0 µ

, alors

exp(tA) =

etλ tαetλ 00 etλ 00 0 etµ

.

+ Si A =

λ 1 00 λ 10 0 λ

, alors

exp(tA) =

etλ tetλ 12t2etλ

0 etλ tetλ

0 0 etλ

.

Theoreme 3.26 . Soit A une matrice reelle n × n et soit X0 =

c1

c2...cn

un vecteur non nul donne de Rn .

On considere la solution X(t) =

x1(t)x2(t)

...xn(t)

du systeme differentiel

d

dtX(t) = A.X(t) , X(0) = X0 .

i) Si A a toutes ses valeurs propres qui sont > 0 ou a partie reelle > 0 ,

alors ‖X(t)‖ =[x2

1(t) + x22(t) + . . . + x2

n(t)]1/2 −−−−−→

t → +∞ + ∞ .

ii) Si A a toutes ses valeurs propres qui sont < 0 ou a partie reelle < 0 ,

alors ‖X(t)‖ =[x2

1(t) + x22(t) + . . . + x2

n(t)]1/2 −−−→

t → 0+ ∞ .

iii) Si X0 ∈ Ker(A) , alors X(t) est stationnaire: X(t) = X0 ∀ t .On dit que X0 est un point stationnaire pour le systeme differentiel.

Le cas ou la matrice A du Theoreme 3.26 a des valeurs propres non nullesmais a partie reelle nulle, on peut avoir une solution periodique.

Proposition 3.27 .

Soit A =

(a bc d

)une matrice reelle 2 × 2 , non nulle et a valeurs

propres imaginaires: (a − d)2 + 4bc < 0 .


On se donne un vecteur X0 =

(αβ

)non nul de R2 et on considere la

solution X(t) =

(x(t)y(t)

)du systeme differentiel

d

dtX(t) = A.X(t) , X(0) = X0 .

Alors cette solution est periodique de periode T : X(t + T ) = X(t) .

La periode T est le module des valeurs propres de A : T =[−(a − b)2 − 4bc

]1/2.

3.4.2 Cas d’une perturbation

Soit F : Rn → Rn une application telle qu’en tout point W ∈ Rn ,il existe une matrice n × n , A , (que l’on note aussi DF (W ) ), tel que

lim‖X−W‖→0

‖F (X) − F (W ) − A.(X − W )‖‖X − W‖ = 0 . (3.3)

Quand n = 1 , A = F ′(W ) .On montre alors, que pour tout X0 ∈ Rn et pour tout t0 ∈ R ,

le systeme differentiel

d

dtX(t) = F (X(t)) , X(t0) = X0 , (3.4)

admet une unique solution.Une telle solution est stationnaire, (X(t) = X0 ∀ t ) ,

s.s.s. F (X0) = ~0 .

Un point stationnaire W ∈ Rn , (F (W ) = ~0) , est dit attractifs.s.s. il existe η > 0 tel que, pour tout X0 tel que ‖W − X0‖ < η ,la solution X(t) du syteme (3.4) verifie

limt→+∞

‖X(t) − W‖ = 0 .

Proposition 3.28 . Soit W ∈ Rn un point stationnaire de (3.4):F (W ) = ~0 . Soit A est une matrice n× n ayant toutes ses valeurs propres< 0 ou a partie reelles < 0 . Si

lim‖V −W‖→0

‖F (V ) − A.(V − W )‖‖V − W‖ = 0 ,

alors W est un point stationnaire attractif pour le systeme differentiel (3.4).


Quand n = 2 la condition sur A =

(a bc d

)

devient det(A) > 0 et Tr(A) = a + d < 0 ,( Tr(A) est appele la trace de A ) .

Cas particulier d’une equation differentielleSoit f(x) ∈ C2(R) et a ∈ R tel que f(a) = 0 et f ′(a) < 0 .Alors a est un point stationnaire attractif pour l’equation differentielle

x′(t) = f(x(t)) .

Exemple 3.29 . Pour l’equation differentielle x′(t) = x2(t) − x(t) ,x0 = 0 est un point stationnaire attractif.Verification: si x(0) = b verifie |b| < 1 , alors

x(t) =b

b + (1 − b)et−−−−−→t → +∞ 0 .


4 Espace euclidien

4.1 Produit scalaire

Definition 4.1 Soit E un espace vectoriel sur R. Un produit scalaireϕ sur E est une une forme bilineaire sur E, symetrique et definie-positive,c’est a dire que ϕ : E × E 7−→ R verifie les trois proprietes suivantes:

i) ϕ est lineaire a gauche

∀ ~u, ~v, ~y ∈ E, ∀ λ, µ ∈ R, ϕ(λ~u + µ~v,~y) = λϕ(~u,~y) + µϕ(~v,~y)

ii) ϕ est symetrique

∀ ~x, ~y ∈ E, ϕ(~x,~y) = ϕ(~y,~x)

iii) ϕ est defini-positive

∀ ~x ∈ E \ ~0, ϕ(~x,~x) > 0

Remarquer que i) et ii) implique que ϕ est aussi lineaire a droite

∀ ~u, ~v, ~x ∈ E, ∀ λ, µ ∈ R, ϕ(~x,λ~u + µ~v) = λϕ(~x,~u) + µϕ(~x,~v)

Un espace vectoriel E sur R de dimension finie, muni d’un produit sca-laire ϕ est appele espace euclidien, on le note (E, ϕ).

On adoptera les notations suivantes pour un produit scalaire ϕ( . , . ) :

ϕ(~x,~y) = (~x; ~y)

ouϕ(~x,~y) = 〈~y|~x〉 .

Le produit scalaire canonique sur Rn est donne par

〈~y | ~x〉 =n∑

i=1

yixi .

Remarque 4.2 Si E un espace vectoriel sur C, un produit scalaire ϕ surE est une fonction ϕ : E × E 7−→ C

verifiant les trois proprietes suivantes:i) ϕ est lineaire a gauche

∀ ~u, ~v, ~y ∈ E, ∀ λ, µ ∈ C, ϕ(λ~u + µ~v,~y) = λϕ(~u,~y) + µϕ(~v,~y)


ii) ϕ est hermitienne

∀ ~x, ~y ∈ E, ϕ(~x,~y) = ϕ(~y,~x)

iii) ϕ est defini-positive

∀ ~x ∈ E \ ~0, ϕ(~x,~x) > 0

Remarquer que i) et ii) implique que ϕ est semi-lineaire a droite

∀ ~u, ~v, ~x ∈ E, ∀ λ, µ ∈ C, ϕ(~x,λ~u + µ~v) = λϕ(~x,~u) + µϕ(~x,~v)

Un espace vectoriel E sur C de dimension finie, muni d’un produit sca-laire ϕ est appele espace hermitien, on le note (E, ϕ).

Si on prend les notations des physiciens,ϕ(~x,~y) = 〈~y | ~x〉 , le produit scalaire sur Cn est donne par

∀~x ~y ∈ Cn , 〈~y | ~x〉 = Y ⋆X =n∑

j=1

yjxj ,

(X =

x1

x2

· · ·xn

, Y =

y1

y2

· · ·yn

, Y ⋆ = [ y1 y2 . . . yn ]).

Dans la suite, nous allons etablir des resultats sur les espaces vectorielseuclidiens. Ces resultats seront valables aussi dans le cas des espaces vectorielshermitiens, mais quand il y aura une difference, nous la signalerons.

Rappellons la definition d’une norme donnee dans le chapitre sur les seriesde fonctions.

Definition 4.3 Soit E un ensemble.Une distance sur E est une fonction positive sur d : E × E → R+

telle que

∀ a ∈ E , d(a,a) = 0∀ a, b ∈ E , a 6= b , d(a,b) > 0∀ a, b, c ∈ E , d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c)

La derniere propriete s’appelle inegalite triangulaire.

Soit un espace vectoriel E sur le corps K(= R ou C).Une norme sur E est une fonctionN : E → R+ satisfaisant les trois proprietes suivantes:i) N(X) = 0 ⇔ X = 0


ii) ∀ X ∈ E, ∀ λ ∈ K, N(λX) = |λ|N(X)iii) ∀ X, Y ∈ E, N(X + Y ) ≤ N(X) + N(Y ) .Dans ce cas d : E × E → R+, d(X,Y ) = N(X − Y )

definit une distance sur E :

d(X,Y ) = d(Y,X) ≥ 0d(X,Y ) = 0 ⇒ X = Yd(X,Z) ≤ d(X,Y ) + d(Y,Z)

Proposition 4.4 Si (E , 〈 | 〉) est un espace euclidien, alors la fonction

~x 7−→ ‖ ~x ‖=√〈~x|~x〉

definie sur E une norme appelee norme euclidienne:

‖~x‖ > 0 si ~x 6= −→0

‖λ~x‖ = |λ| ‖~x‖‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖ + ‖~y‖

On a l’inegalite de Cauchy-Schwarz:

|〈~y | ~x〉| ≤ ‖ ~x ‖ × ‖ ~y ‖ , ∀~x, ~y ∈ E.

d : E × E → R+ , d(x,y) = ‖x − y‖ , est une distance appelee distanceeuclidienne.

Preuve: On etablit Cauchy-Schwarz avant en considerant le polynome enλ ∈ R, p(λ) =‖ λ~x + ~y ‖2 .Une consequence immediate est la propriete suivante. Si ~v ∈ E, on a

∀ ~y ∈ E, 〈~v|~y〉 = 0 ⇔ ~v = ~0 . (4.1)

Remarque 4.5 . Si (E , 〈. | .〉) est un espace euclidien, alors

∀ ~x, ~y ∈ E, 〈~y | ~x〉 =1

4[‖ ~x + ~y ‖2 − ‖ ~x − ~y ‖2] .

La connaissance de la norme determine completement le produit scalaire.On note aussi (E , ‖ . ‖) au lieu de (E , 〈. | .〉)

pour designer un espace euclidien, ‖ . ‖ designant la norme euclidienneassociee.

Remarque 4.6 Tout espace vectoriel E, de dimension finie n, peut etremuni d’une structure euclidienne.


4.2 Notion d’angle

Soit (E , 〈 . | . 〉) unespace euclidien de dimension n.On a sur E une notion de distance, elle permet de definir la longuer d’un

segment AB :ℓ(AB) = distance(A,B) = ‖−→AB‖ .

De la, on peut definir la longuer d’une ligne brisee, et on en deduit plusgeneralement la longueur d’une courbe reguliere par morceaux.

Si ~v et ~w sont duex vecteurs non nuls, l’angle (non oriente), entre cesdeux vecteurs est

(~v,~w) ∈ [0,π]

definit de la facon suivante:+ si ~v et ~w sont libres, alors F = V ec~v, : ~w verifie dim(F ) = 2 .

On considere le cercle C de F centre a l’origine et de rayon 1. La demi-droiteV+ =]0, + ∞[~v coupe C en un point M et la demi-droite W+ =]0, + ∞[~wcoupe C en point N, le plus petit arc de cercle C , (MN) , joignant M et N

a alors pour longueur (~v,~w) .+ si ~v et ~w sont lies, alors soit 〈~v | ~w〉 > 0 et dans ce cas

(~v,~w) = 0 ,

soit 〈~v | ~w〉 < 0 et dans ce cas

(~v,~w) = π .

Si θ = (~v,~w) , alors

〈~v | ~w〉 = ‖~v‖ × ‖~w‖ × cos(θ) .

Dans le cas ou on considere E comme un espace a affine, si A , B et Csont trois points distincts deux a deux de E ,

BAC =

(−→AB,

−→AC) .

Quand E est de dimension 2, on peut definir une orientation dans E quipermet de definir une notion d’angle oriente.

Par exemple si ~v et ~w sont 2 vecteurs de R2 , l’angle oriente entre ~v et~w est

(~v,~w) , si det(~v,~w) ≥ 0

−(~v,~w) , si det(~v,~w) < 0


4.3 Orthogonalite, orthogonalisation de Gram-Schmidt

Definition 4.7 Soit (E , 〈. | .〉) un espace vectoriel euclidien. Deux vec-

teurs de E, ~a, ~b sont dits orthogonaux s.s.s. 〈~a|~b〉 = 0.

Definition 4.8 Soit B = ~e1,...,~ek un systeme de vecteursd’un espace euclidien (E,〈.|.〉).

On dit que B est un systeme orthogonal s.s.s. on a

〈~ei | ~ej〉 = 0 , si i 6= j .

Si de plus ‖ ~ej ‖= 1, ∀j, on dit alors queB = ~e1,...,~ek est un syteme de vecteurs orthonormes.Un systeme de vecteurs de E, E = ~e1,...,~en est dit

une base orthonormee s.s.s. c’est une base de Equi est aussi un systeme orthonorme.

Remarque 4.9 Soit (E,〈.|.〉) un espace euclidien de dimension n.Un systeme de vecteurs de E, B = ~e1,...,~ek est orthonorme

s.s.s. on a 〈~ei | ~ej〉 = δi,j =

0, si i 6= j1, si i = j

Si un systeme de vecteurs de E, V = ~v1,...,~vm est orthonorme,alors c’est un systeme libre.

Theoreme 4.10 Soit (E,〈.|.〉) un espace euclidien de dimension n.Alors E admet une base orthonormee.Un systeme de n vecteurs de E , E = ~e1,...,~en est une base ortho-

normee s.s.s. il verifie:

〈~ei | ~ej〉 = δij =

0, si i 6= j1, si i = j

.

Theoreme 4.11 Soit (E,〈.|.〉) un espace euclidien de dimension n.La matrice de passage P entre deux bases orthonormees de E , E et B

verifieP−1 = tP .

Definition 4.12 Si A ⊂ E,

A⊥ = ~x ∈ E; ∀ ~a ∈ A, 〈~x|~a〉 = 0,

est appele l’orthogonal de A.


Remarque 4.13 Soit (E , 〈. | .〉) un espace vectoriel euclidien de di-mension finie et soit A ⊂ E. Alors on a les proprietes suivantes:

A⊥ est un sous − espace vectoriel de E (4.2)

E⊥ = ~0 et ~0⊥ = E (4.3)

A ⊂ (A⊥)⊥ (4.4)

B ⊂ A ⇒ A⊥ ⊂ B⊥ (4.5)

A⊥ = [V ec(A)]⊥ (4.6)

A⊥ = 0 =⇒ V ec(A) = E (4.7)

Theoreme 4.14 Soit (E , 〈. | .〉) un espace euclidien de dimension finie.Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors F⊥ est un sous-espace vec-

toriel de E, complementaire de E: E = F ⊕ F⊥.On dit que E est somme-othogonal de F et F⊥.On a (F⊥)⊥ = F.∀ ~x ∈ E, ∃! (~y,~z) ∈ F × F⊥ t.q. ~x = ~y + ~z, ( 〈~y|~z〉 = 0 ) ,

et on a l’egalite de Pythagore ‖~x‖2 = ‖~y‖2 + ‖~z‖2 .

Preuve 1). On sait d’apres la propriete (4.2) de la Remarque precedente queF⊥ est un sous-espace vectoriel de E.2). Verifions que F ∩ F⊥ = ~0.

Si ~x ∈ F ∩ F⊥, alors 〈~x|~x〉 = 0, ce qui signifie que ~x = ~0.3). Prouvons que (F ⊕ F⊥)⊥ = ~0.Comme F ⊂ F ⊕ F⊥, alors (F ⊕ F⊥)⊥ ⊂ F⊥

et que F⊥ ⊂ F ⊕ F⊥ , on trouve que(F ⊕ F⊥)⊥ ⊂ F ∩ F⊥ = ~0 :

d’ou : (F ⊕ F⊥)⊥ = ~0 . Ce qui signifie d’apres la propriete (4.7) de laRemarque precedente que F ⊕ F⊥ = E.

Remarque 4.15 On a deja vu que, si E est un espace vectoriel de di-mension n, un sous-espace vectoriel H de E est dit un hyperplan s’il est dedimension n − 1.(Si n = 3, un hyperplan H est en fait un plan, c’est a dire que dim(H) = 2).

Si (E,〈.|.〉) est euclidien, alors pour tout hyperplan H de E,il existe ~e ∈ E \ ~0 tel que H⊥ = V ect~e.

~e est appele vecteur normal a H. On le choisit en general de norme 1,‖~e‖ = 1, on dit alors que ~e est une normale unitaire de H.


Exemple 4.16 .1) Une droite D dans le plan R2 et passant par l’origine a une equation

de la formeD = (x,y) ∈ R2; ax + by = 0 .

Le vecteur ~v =

(ab

)est suppose non nul, c’est une normale a D,

et l’une des deux normales unitaires a D est

~n =1

‖~v‖~v =1√

a2 + b2

(ab

)(D = [V ec~v]⊥ = [V ec~n]⊥) .

Le vecteur directeur de D est le retourne de ~v,

~w =

(−ba

)( 〈~v | ~w〉 = 0 et ~v ∧ ~w = a2 + b2 ) .

L’equation parametrique de D est D = t~w; t ∈ R .On peut prendre le retourne de ~n comme vecteur directeur de D.

2) Un plan P de R3 qui passe par l’origine aune equation de la forme

P = (x,y,z) ∈ R3; ax + by + cz = 0 .

Le vecteur ~v =

abc

est suppose non nul, c’est une normale a P, et l’une

des normales unitaires a P est

~n =1

‖~v‖~v =1√

a2 + b2 + c2

abc

, (P = [V ec~v]⊥ = [V ec~n]⊥) .

Pour trouver une base orthonomee de P, BP = ~i, ~j, on considere le casle moins simple ou ~v a au moins deux composantes non nulles, par exemple

a 6= 0, c 6= 0, on a alors ~i =1√

a2 + c2

−c0a

∈ P

et on prend ~j = ~n ∧~i, comme ca, on aura en plus C = ~i, ~j, ~nqui sera une base orthonormee directe de R3.

3) Une droite D dans le plan R3 et passant par l’origine a une equationde la forme

D = (x,y,z) ∈ R3; ax + by + cz = a′x + b′y + c′z = 0, D = P⋂

P ′ ,


ou P et P’ sont deux plans distincts:

P = [V ec~v]⊥, P ′ = [V ec~w]⊥, ~v =

abc

, ~w =

a′

b′

c′

, ~v ∧ ~w 6= ~0 .

Le vecteur directeur de D est un vecteur ~u tel queV ec~u = [V ec~v]⊥ ⋂

[V ec~w]⊥ = [V ec~v, ~w]⊥ .On peut prendre ~u = ~v ∧ ~w la normale du plan F = V ec~v, ~w,

et on a l’equation parametrique de D: D = t~v ∧ ~w; t ∈ R .

Theoreme 4.17 Orthogonalisation de Gram-Schmidt.Soit (E , 〈. | .〉) un espace euclidien. Soit V = ~v1,...,~vk

un systeme libre de k vecteurs de E.Alors il existe un autre systeme de k vecteurs B = ~e1,...,ek

verifiant les proprietes suivantes:i) B = ~e1,...,~ek est orthonorme: 〈~ei | ~ej〉 = δi,j

ii) Pour tout entier j, 1 ≤ j ≤ k, on a

V ect~e1,...,~ej = V ec~v1,...,~vj.

B est appelee l’orthonormalisee de Gram-Schmidt de V ,c’est une base orthonormee de V ecV.

Idee de la preuve On part de ~e1 =1

‖~v1‖~v1

et on construit les autres vecteurs par la formule de recurrence de Gram-Schmidt

~ej+1 =1

‖~wj+1‖~wj+1 avec ~wj+1 = ~vj+1 −

j∑

q=1

〈~vj+1|~eq〉~eq . (4.8)

Exemple 4.18 On se place dans R3 avec sa base orthonormee canoniquenotee

E = ~e1,~e2,~e3. B = ~e1 +~e2 +~e3, ~e1 −~e2 +~e3, ~e1 +~e2 −~e3 = ~b1,~b2,~b3est un syteme libre (son determinant est 4).Son orthonormalisation de Gram-Schmidt est la base orthonormee

C = ~c1,~c2,~c3, ~c1 = 1√3~b1, ~c2 = 1√

6[~e1 − 2~e2 + ~e3], ~c3 = 1√

2[~e1 − ~e3] .

Remarque 4.19 Soit (E , 〈. | .〉) un espace euclidien de dimension n,et soit E = ~e1,...,~en une base orthonormee de E:

〈ei | ej〉 = δi,j .


On a alors, pour tout ~x ∈ E, ~x =n∑

j=1

xj~ej , avec

i) ∀j = 1,...,n, xj = 〈~ej | ~x〉 : ~x =n∑

j=1

〈~ej|~x〉~ej

ii) ‖ ~x ‖=

√√√√n∑

j=1

|xj|2

iii) ∀ ~y =n∑

j=1

yj~ej ∈ E, 〈~x | ~y〉 =n∑

j=1

xjyj .

Une application interessante est

Proposition 4.20 Soit (E , 〈. | .〉) un espace euclidien munie d’unebase orthonormee

E = ~e1,...,~en . Soit un syteme de vecteurs de E, V = ~v1, ~v2, . . . ,~vk.Alors V est un systeme libre s. s. s. sa matrice de Gram G = ( 〈~vi|~vj〉 )1≤i,j≤k

a un determinant non nul.

Remarque 4.21 On peut generaliser le procede de Gram-Schmidt a dessystemes de vecteurs non necessairement libres: dans l’algorithme de Gram-Schmidt, quand on trouve dans (4.8) un vecteur nul ~wj+1 = ~0, c’est que ~vj+1

est combinaison lineaire des ~v1, . . . ,~vj,on degage ~vj+1 et on continue.

Les vecteurs ~ej vont former une base orthonormee de V ec~v1, . . . ,~vk.

4.4 L’adjoint d’un endomorphisme et ses proprietes

Theoreme 4.22 Soit (E , 〈. | .〉) un espace euclidien de dimension n.Pour tout u ∈ L(E), il existe un unique u∗ ∈ L(E),

appele adjoint de u et defini par la relation

∀ ~x, ~y ∈ E, 〈~y | u(~x)〉 = 〈u∗(~y) | ~x〉 .

Si B = ~e1,...,~en est une base orthonormee de E,〈ei|ej〉 = δi,j , et si A = MatB(u),

alors A∗ = MatB(u∗) ou A∗ = tA est la matrice transposee de A.

Remarque 4.23 Des proprietes suivantes sur les matrices, on en deduitles proprietes similaires sur les adjoints desendomorphismes d’un espace euclidien:

1) t(A B) = tB tA .2) t( tA) = A .


3) t(λA + µB) = λ tA + µ tB4) det(A) = det( tA)5) Si det(A) 6= 0 alors t(A−1) = ( tA)−1 .

Definition 4.24 Si un endomorphisme u verifie u∗ = u,on dit que u est symetrique ou auto-adjoint .

Theoreme 4.25 Soit A une matrice reelle n × n (considiree comme unendomorphisme sur Rn muni de sa structure euclidienne canonique).Alors Im(A) = [Ker( tA)]⊥ et Ker(A) = [Im( tA)]⊥.On a donc dim(Im(A)) = dim(Im( tA)) et dim(Ker(A)) = dim(Ker( tA)).

Remarque 4.26 Si A est symetrique, tA = A , alors

Im(A) = [Ker(A)]⊥, Rn = Ker(A) ⊕ Im(A).

Si p(λ) = det(A − λI) , alors toute racine de p(λ) est reelle.

Theoreme 4.27 Spectral. Soit A une matrice reelle n × n(considiree comme un endomorphisme sur Rn muni de sa structure eucli-dienne canonique). Si A symetrique, tA = A ,alors son polynome caracteristique p(λ) = det(A − λI)n’a que des racines reelles et A est diagonalisable dans une base orthonormee.

Idee de la preuveSoit B une base orthonormee de E et A la matrice de u dans cette base:

A⋆ = A.

Si µ est une valeur propre de A alors on sait d’apres laRemarque 4.26 que µ ∈ R, donc A − µI est auto-adjoint. Comme

(A − µI)⋆ = A − µI =⇒ Ker(A − µI) = [Im(A − µI)]⊥,

on a donc Ker(A − µI) ⊕ Im(A − µI) , la somme etant orthogonale.Le sous-espace propre associe a µ est egal au sous-espace caracteristique:

∀ j ∈ N, Ker(A − µI)j+1 = Ker(A − µI).

1) Donc, si µ est une racine d’ordre d de p(λ), on a dim(Ker(A−µI)) = d .Si ρ est une autre racine de p(λ), (ρ 6= µ),

alors on a Ker(A − µI) ⊂ [Ker(A − ρI)]⊥.2) Deux sous-espaces propres distinctes sont donc orhogonaux.

De ces deux proprietees, on en deduit que u est diagonalisable, et si danschaque sous-espace propre on choisit une base orthonormee, alors leur reu-nion, forme une base orthonormee E qui diagonalise u.


4.5 Projection, projection orthogonale

Definition 4.28 Soit E un espace vectoriel de dimension n.Soient F et H deux sous-espaces vectoriels de E complementaires:

E = F ⊕ H . Alors l’application

pF : E = F ⊕ H 7−→ E, pF (~x) = ~y , si ~x = ~y + ~z , avec (~y,~z) ∈ F × H,

est lineaire. On l’applelle la projection sur F parallelement a H.Dans ce cas idE − pF = pH est la projection sur H parallelement a F.

Si E est un espace euclidien de norme ‖ . ‖ , et si H = F⊥,on dit que pF est la projection orthogonale sur F.Dans ce cas on a l’egalite de Pythagore ∀ ~x ∈ E ,

‖~x‖2 = ‖pF (~x)‖2 + ‖pH(~x)‖2 .

Remarque 4.29 Soit (E , 〈. | .〉) un espace euclidien de dimension n.

Soit F est un sous-espace de E. Si BF = ~b1, . . . ,~bd est une base orthonormee de F,et si p ∈ L(E) est la projection orthogonale sur F, alors

∀ ~x ∈ E, p(~x) =d∑

j=1

〈~bj|~x〉~bj . (4.9)

Exemple 4.30 On prend E = R3 et on considere le planF = (x,y,z) ∈ R3; x − y + 2z = 0 .1) La methode la plus rapide pour determiner la projection orthogonale sur

F consiste a determiner avant, celle sur son orthogonal qui est de dimensionplus petite.

L’orthogonal du plan F est la droite D = F⊥ = V ec(1, − 1,2)de vecteur directeur unitaire ~n =

1√6(1, − 1,2) :

~n est une base orthonormee de D .Si pD est la projection orthogonale sur D ,

alors ∀ ~v = (x,y,z) ∈ R3 , pD(~v) = 〈~n|~v〉~n = x−y+2z6

(1, − 1,2) .La projection orthogonale pF sur F est donnee par pF = idE − pD ,

et donc ∀ ~v = (x,y,z) ∈ R3 ,

pF (~v) = ~v − 〈~n|~v〉~n = (x,y,z) − x − y + 2z

6(1, − 1,2) .

2) La deuxieme methode, directe, pour determiner pF consiste a trouverune base orthonormee de F.

CF = ~c1, ~c2 est une base de F , si ~c1 = (1,1,0) et ~c2 = (0,2,1) .


On orthonormalise cette base en une base orthonormee de F,

BF = ~b1, ~b2 : ~b1 =1

‖~c1‖~c1 =

1√2(1,1,0)

et ~b2 =1

‖~w2‖~w2 ou ~w2 = ~c2 −〈~b1| ~c2〉~b1 , on trouve que ~b2 =

1√3(−1,1,1) .

La projection orthogonale pF sur F est alors donnee par

∀ ~v = (x,y,z) ∈ R3 , pF (~v) = 〈~b1|~v〉~b1+〈~b2|~v〉~b2 =x + y

2(1,1,0)+

(−x + y + z)

3(−1,1,1) .

Theoreme 4.31 Soit E un espace vectoriel de dimension n et soitp ∈ L(E). Alors p est une projection s.s.s. p2 = p.

C’est alors la projection sur Im(p) parallelement a Ker(p) et,q = idE − p est la projection sur Ker(p) parallelement a Im(p).

Corollaire 4.32 Soit (E , 〈. | .〉) un espace euclidien de dimension net soit p ∈ L(E) une projection sur F parallelement a H:

p2 = p , Im(p) = F et Ker(p) = H .

Alors p est une projection orthogonale s.s.s. p∗ = p ,c’est a dire s.s.s. la matrice de p , dans une base orthonormee, est symetrique.

Remarque 4.33 Soit (E , 〈. | .〉) un espace euclidien de dimension n etsoit p ∈ L(E) une projection orthogonale sur F=Im(p).Alors, si ~x ∈ E, p(~x) verifie

i) L’egalite de Pythagore

‖ x ‖2=‖ p(x) ‖2 + ‖ x − p(x) ‖2 (4.10)

ii) p(~x) est caracterise comme etant l’unique vecteur de Fminimisant la distance de ~x a F:

‖ ~x − p(~x) ‖= min~v∈F

‖ ~x − ~v ‖ (4.11)

iii) Par definition de la projection orthogonale, p(~x) est caracterise par

~y ∈ F et ~x − ~y ∈ F⊥ ⇔ p(~x) = ~y.Exercice 4.34 Soit (E , 〈. | .〉) un espace euclidien de dimension n.

Soit F est un sous-espace de E. Soit BF = ~b1, . . . ,~bdune base de F, et soit p ∈ L(E) la projection orthogonale sur F.

Prouver que

∀ ~x ∈ E, p(~x) =d∑

j=1

zj~bj avec GZ = Y, si Z =

z1...zd

, Y =

〈~x;~b1〉...

〈~x;~bd〉

et G est la matrice de Gram G = ( 〈~bi|~bj〉 )1≤i,j≤d .


Remarque 4.35 Une application importante pour la physique estla resolution d’un systeme AX = You A est une matrice n × m (non necessairement carree).

Le systeme n’admet pas toujours de solution.Par contre le systeme SX = Z avec S = A⋆A et Z = A⋆Y

admet toujours une solution caracterisee par

‖AX − Y ‖ = minV

‖AV − Y ‖ ⇔ AX = p(Y )

ou p est la projection orthogonale sur Im(A).On dit que X est une ’solution’ au sens des moindres carres.Parmi ces solutions existe une seule, X0, de norme la plus petite:

‖AX0 − Y ‖ = minV

‖AV − Y ‖ , X0 ∈ [Ker(A)]⊥ .

Remarque 4.36 Projection orthogonale sur une droite ou unplan affine

+ Cas du plan affine: E = R2 .Une droite affine D de E a une equation de la forme

ax + by = d , ( (a,b) 6= (0,0) ) .

Si M = (α,β) est un point de E , sa projection orthogonale sur D est l’uniquepoint N de D tel que

NM = ‖−−→NM‖ = minP∈D

PM

ce qui est equivalent a 〈−−→NM | −−→NP 〉 = 0 , ∀ P ∈ D .

On en deduit que−−→NM = λ(a,b) , avec λ ∈ R .

En ecrivant que N est dans P , on en trouve les coordonnees de N .+ Cas de l’espace affine: E = R2 .+ + Un plan affine P a une equation de la forme

ax + by + cz = d , ( (a,b,c) 6= (0,0,0) ) .

Si M = (α,β,γ) est un point de E , sa projection orthogonale sur P estl’unique point N de P tel que

NM = ‖−−→NM‖ = minP∈PPM

ce qui est equivalent a 〈−−→NM | −−→NP 〉 = 0 , ∀ P ∈ P .

On en deduit que−−→NM = λ(a,b,c) , avec λ ∈ R .

En ecrivant que N est dans P , on trouve les coordonnees de N .


+ + Une droite affine D a une equation de la forme

ax+by+cz−d = a′x+b′y+c′z−d′ = 0 , ( ~n = (a,b,c)∧(a′,b′,c′) 6= (0,0,0) ) .

Si O ∈ D , alors P ∈ D ⇔ −→OP = t ~n .

Si M = (α,β,γ) est un point de E , sa projection orthogonale sur D estl’unique point N de D tel que

NM = ‖−−→NM‖ = minP∈DPM

ce qui est equivalent a−−→NM = λ~n〉 = 0 , avec λ ∈ R .

En ecrivant que N est dans D , on trouve les coordonnees de N .


5 Les Isometries

5.1 Definition et caracterisation

Definition 5.1 Soit (E, 〈.|.〉) un espace euclidien.Une isometrie u sur E est une application de E sur E,

qui conserve les distances:

∀~x, ~y ∈ E, ‖ u(~x) − u(~y) ‖=‖ ~x − ~y ‖ .

Si u ∈ L(E) est une isometrie, on dit que u est une isometrie lineaire.Si ~x0 ∈ E et si u ∈ L(E) est une isometrie lineaire, alors l’application

U : E → E , U(~x) = ~x0 + u(~x)

est aussi une isometrie, qu’on appelle une isometrie affine.

Remarque 5.2 . Soit u : E → E une isometrie dans un espaceeuclidien (E , 〈 . | . 〉) .

Si u admet ~0 comme point fixe, c’est a dire si u(~0) = ~0 ,alors u conserve le produit scalaire: ∀ ~x , ~y ∈ E ,

〈u(~x) | u(~y)〉 = 〈~x | ~y 〉

En effet u conserve la norme:‖u(~x)‖ = ‖u(~x) −~0‖ = ‖u(~x) − u(~0)‖ = ‖~x −~0‖ = ‖~x‖ .

On en deduit alors qu’il conserve, le produit scalaire:

〈u(~x) | u(~y)〉 =1

2(‖u(~x)‖2 + ‖u(~y)‖2 − ‖u(~x) − u(~y)‖2)

=1

2(‖~x‖2 + ‖~y‖2 − ‖~x − ~y‖2) = 〈~x | ~y〉 .

Theoreme 5.3 Soit (E, 〈.|.〉) un espace euclidien de dimension n,et soit u ∈ L(E). On a les equivalences suivantes.

i) u est une isometrie lineaire: ∀~x, ~y ∈ E, ‖ u(~x)− u(~y) ‖=‖ ~x− ~y ‖⇔ii) u conserve la norme: ∀~x ∈ E, ‖ u(~x) ‖=‖ ~x ‖⇔iii) u conserve le produit scalaire: ∀~x, ~y ∈ E, 〈u(~x) | u(~y)〉 = (~x; ~y)⇔iv) u est orthogonal: u⋆u = idE

⇔v) si E = ~e1, . . . ,~en est une base orthonormee de E,

alors B = u(~e1), . . . ,u(~en) est aussi une base orthonormee de E.


Exemple 5.4 Symetrie orthogonaleSoit F un sous-espace d’un espace euclidien E. La symetrie orthogonale

par rapport a F est l’endomorphisme de E, u, defini par:

u(~x) = p(~x) − (~x − p(~x)), ∀ ~x ∈ E ,

ou p est la projection orthogonale sur F.Une symetrie orthogonale par rapport a un sous-espace vectoriel est un

isomorphisme lineaire.Si ~x0 ∈ E , alors F0 = F +~x0 est un sous-espace affine, et la symetrie

orthogonale par rapport a cet sous-espace affine est U :

U(~x) = u(~x − ~x0) + ~x0 , ∀ ~x ∈ E ,

c’est une isometrie affine:

5.2 Changement de bases orthonormees dans Rn

Soit E = Rn muni de sa base orthonormee canonique E = ~e1,...,~en.On a le produit scalaire canonique

(X; Y ) =t Y.X =n∑

i=1

xiyi

Si B = ~b1,...,~bn est une autre base de E et si P est la matrice de passagede la base E a la base B, alors on les equivalences suivantes

i) B = ~b1,...,~bn est orthonormee⇔ii) les colonnes de P sont orthonormees⇔iii) les lignes de P sont orthonormees⇔iv) tPP = I⇔v) P est la matrice dans la base E d’une isometrie

Si A ∈ Mn(R) est une matrice telle que tA.A = I, alors l’applicationlineaire sur E = Rn, associee a A dans la base canonique, est une isometrie.Une telle matrice est appelee matrice orthogonale.

O(n) = A ∈ G(n; R); A−1 = A⋆ =t A

est appele groupe orthogonal.


C’est un groupe pour la loi produit de matrices et qui est stable parpassage a la transposee:

∀ A, B ∈ O(n), AB ∈ O(n) A−1 ∈ O(n), et tA = A−1 ∈ O(n) .

Si (E, ( .; .)) est un espace euclidien de dimension n, l’ensemble desisometries lineaires sur E est note O(E).C’est un groupe pour la loi de composition des endomorphismes de E.

O(E) est appele groupe orthogonal de E.

Remarque 5.5 Une valeur propre d’une isometrie est toujours demodule 1. Le determinant d’une matrice orthogonale est egale a ±1.

Dans la suite nous aurons besoin de la notion de trace d’une matrice etd’une application lineaire que nous rappellons.

Definition 5.6 Si A = (aij)1≤i,j≤n ∈ Mn(K), on definit sa trace commeetant la somme de sa diagonale:

Tr(A) =n∑

i=1

aii . (5.1)

On verifie facilement que Tr(MN) = Tr(NM), si M, N ∈ Mn(K),d’ou si A et B sont deux matrices semblables, B = P−1AP,alors Tr(B) = Tr(P−1AP ) = Tr(APP−1) = Tr(A).Par consequent, si E est un espace vectoriel sur K de dimension n,et si u ∈ Ln(E), on peut definir la trace de u, en choisissant une base deE,en prenant la matrice A de u dans cette base et en posant: Tr(u) = Tr(A) .

Cette definition ne depend pas du choix de la base.

5.3 Caracterisation des isometries

Theoreme 5.7 . Soit (E, 〈 . | . 〉) un espace euclidien de dimension n .Alors toute isometrie f sur E est necessairement une isometrie affine,(ou lineaire).

Idee de la preuve. On considere u(~x) = f(~x) − f(~0) qui est aussi uneisometrie ayant ~0 comme point fixe: u(~0) = ~0 .D’apres la Remarque 5.2, u est une isometrie qui conserve le produit scalaire.

Soit E = ~e1, . . . ,~en une base orthonormee de E .


On en deduit que

〈u(~ei) | u(~ej)〉 = 〈~ei | ~ej〉 = δij :

u(E) = u(~e1), . . . ,u(~en) est aussi une base orthonormee.

Pour tout ~x =n∑

j=1

xj~ej ∈ E , on a grace a la conservation du produit

scalaire par u ,〈u(~x) | u(~ej)〉 = 〈~x | ej〉 = xj ;

comme u(E) est une base orthonormee, on en deduit que

u(~x) =n∑

j=1

xju(~ej) :

u est donc une application lineaire.

5.4 Les isometries lineaires de R2

Exemple 5.8 Rotation dans R2.Une rotation u = Rθ dans R2, d’angle θ et autour de l’origine, a pour

matrice dans toute base orthonormee B

A = MatB(Rθ) =

[cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

]

u est une isometrie: A ∈ O(2), A⋆A = I .Remarquez que det(A) = 1.Remarquez Rθ Rω = Rθ+ω et donc (Rθ)

−1 = R−θ .

Exemple 5.9 Symetrie orthogonale par rapport a une droite.Soit D une droite de R2 de vecteur directeur unitaire ~i :‖~i‖ = 1, D = t~i; t ∈ R.Si ~n est le retourne, (~n = Rπ

2(~i)), de ~i,

alors ~n est la normale unitaire de Det B = ~n,~i est une base orthonormee.

La symetrie orthogonale par rapport a la droite D, est l’application u,∀ λ, µ ∈ R, u(λ~n + µ~i) = −λ~n + µ~i :

A = MatB(u) =

[−1 00 1

], A⋆A = I, det(A) = −1.

Dans une base orthonormee quelconque, la matrice de u est de la forme

B =

[− cos(θ) sin(θ)sin(θ) cos(θ)

]


Theoreme 5.10 Soit u ∈ L(R2) une isometrie lineaire dans R2.Alors on a seulement deux cas possibles: det(u) = 1 ou det(u) = −1.i) Si det(u) = 1, u est une rotation d’angle θ, 2 cos(θ) = Tr(u).ii) Si det(u) = −1, u est symetrie orthogonale par rapport a la droite D

qui est le sous-espace propre associe a la valeur propre 1. −1 est aussi unevaleur propre de u.

5.5 Isometrie lineaires de R3

Exemple 5.11 Rotation autour d’un axe de R3.Soit D+ = t~n; t ≥ 0 une demi-droite de R3 issue de l’origine,

(~n ∈ R3 est suppose unitaire, ‖~n‖ = 1).On considere le plan orthogonal a ~n, P = [D]⊥,

(D = V ec~n = t~n; t ∈ R est la droite entiere contenant D+).La rotation autour de D+ d’angle θ est l’application qui consiste a faire

tourner tout vecteur ~v ∈ P , d’un angle θ autour de l’axe D+, dans le senspositif. Cette rotation induit une application u ∈ L(R3) :

∀ ~v ∈ D, u(~v) = ~v et ∀ ~w ∈ P, ~w ∧ u(~w) = sin(θ)~n .

Pour tout ~i ∈ P t.q. ‖~i‖ = 1, ~j = ~n ∧~i ∈ P.

B = ~n,~i,~j est alors une base orthonormee de R3,et la matrice de la rotation u dans cette base est

A = MatB(u) =

1 0 00 cos(θ) − sin(θ)0 sin(θ) cos(θ)

.

La rotation autour de D+, u, d’angle θ est une isometrie d’inverse la rotationautour de D+ d’angle −θ.

Remarquez que u a 1 comme unique valeur propre, si l’angle θn’est pas un multiple de π, θ 6= kπ, k ∈ Z.

Remarquez aussi que det(u) = 1 et que Tr(u) = 1 + 2 cos(θ).

Exemple 5.12 Symetrie orthogonale par rapport a un plan deR3. Soit P un plan de R3 de base orthonormee BP = ~i,~j.Soit ~n =~i ∧~j la normale unitaire de P.Alors B = ~n,~i,~j est une base orthonormee de R3.


La symetrie orthogonale par rapport au plan P est u ∈ L(R3)de matrice dans la base B :

A = MatB(u) =

−1 0 00 1 00 0 1

On a donc u/P = idP est u/P⊥ = −idP⊥ .Remaquez det(u) = −1 .

Exemple 5.13 Symetrie orthogonale par rapport a une droitede R3. Soit une droite D = t~n; t ∈ R, (~n ∈ R3 est suppose unitaire,‖~n‖ = 1).Soit B = ~n,~i,~j est une base orthonormee de R3.

La symetrie orthogonale par rapport a la droite D est u ∈ L(R3)de matrice dans la base B :

A = MatB(u) =

1 0 00 −1 00 0 −1

On a donc u/D = idP est u/D⊥ = −idD⊥ .Remaquez det(u) = 1 et qu’en fait u est

la rotation d’angle π autour de l’un des axes de D.

Exemple 5.14 Symetrie orthogonale par rapport a un plan sui-vie d’une rotation autour de l’axe normal au plan.

Soit P un plan de R3 de base orthonormee BP = ~i,~j.Soit ~n =~i ∧~j la normale unitaire de P,et l’axe normal a P, D+ = t~n; t ≥ 0.

B = ~n,~i,~j est une base orthonormee de R3.La symetrie orthogonale par rapport au plan P suivie d’une rotation d’angle

θ autour de l’axe normal a P, D+, est u ∈ L(R3) de matrice dans la baseB :

−1 0 00 cos(θ) − sin(θ)0 sin(θ) cos(θ)

.

Remarquez det(u) = −1 et que −1 est l’unique valeur propre de u, si l’angleθ n’est pas un multiple de π, θ 6= kπ, k ∈ Z.

Remarquez aussi que Tr(u) = −1 + 2 cos(θ).

Theoreme 5.15 Soit u ∈ L(R3) une isometrie lineaire.Alors on a deux cas possibles: det(u) = 1 ou det(u) = −1.


i) Si det(u) = 1, u est une rotation d’angle θ autour d’un axe D et2 cos(θ) = Tr(u) − 1; , 1 est une valeur propre de u et D est dans le sous-espace propre associe.

ii) Si det(u) = −1, u est une symetrie orthogonale par rapport a un planP suivi eventuellement par une rotation d’angle θ,autour d’un axe orthogonal a P.On a: 2 cos(θ) = Tr(u) + 1,et la normale a P est un vecteur propre associe a la valeur propre -1.

Idee de la preuve: On utilise les proprietes suivantes.(1) Toute matrice A ∈ M3(R

3) admet une valeur propre reelle.(2) Si A ∈ O(3) et si µ est une valeur propre reelle de A,

alors µ = ±1, de plus det(A) = ±1.(3) Si A ∈ O(3) et det(A) = 1 alors 1 est une valeur propre de A.(4) Si A ∈ O(3) et det(A) = −1, alors -1 est une valeur propre de A.On applique le resultat connu dans R2 a la restriction de u a

[ker(u ± idR3)]⊥ = Im(u ± idR3) .


6 Les formes quadratiques sur Rn

6.1 Definition et proprietes

Definition 6.1 Soit E un espace vectoriel sur R et ϕ : E × E → R

une forme bilineaire et symetrique: ∀ ~x, ~y, ~v, ~w ∈ E, ∀ λ, µ, a, b ∈ R,

ϕ(~x,~y) = ϕ(~y,~x) (6.1)

etϕ(~x,~y) = ϕ(~y,~x)ϕ(a~x + b~y,~v) = aλϕ(~x,~v) + bλϕ(~y,~v)

(6.2)

On associe a la forme bilineaire symetrique ϕ la forme quadratique

q : E → R, q(~x) = ϕ(~x,~x) . (6.3)

Si E est de dimension finie et si E = ~e1, . . . ,~en est une base de E,alors on tire de la formule (6.2) que,

si ~x =n∑

i=1

xi~ei ∈ E,

q(~x) =n∑

i=1

x2i ϕ(~ei,~ei) +

∑

1≤i<j≤n

xixjϕ(~ei,~ej) +∑

1≤j<i≤n

xixjϕ(~ei,~ej) .

C’est a dire, si A est la matrice A = (ϕ(~ei,~ej))1≤i,j≤n,

q(~x) = 〈X|AX〉 = X⋆AX, si X =

x1

· · ·xn

.

La matrice A est appelee, la matrice de la forme quadratique dans la base E .On l’appelle aussi la matrice de la forme bilineaire ϕ dans la base E .

Comme ϕ est symetrique, A = (aij)1≤i,j≤n est symetrique: tA = A .

ϕ(~x,~y) = 〈Y |AX〉 = Y ⋆AXetq(~x) =

∑ni=1 x2

i aii + 2∑

1≤i<j≤n xixjaij .

On dit que la forme quadratique q est positive s. s. s.∀ ~x ∈ E, q(~x) ≥ 0.On dit que la forme quadratique q est definie-positive

s. s. s. ∀ ~x ∈ E \ ~0, q(~x)〉0.(q est definie-positive s. s. s. ϕ(~x,~y) est un produit scalaire).


Remarquons que si M = (mij)1≤i,j≤n est une matrice carree d’ordre nquelconque,

q(X) = 〈MX|X〉 =n∑

i=1

n∑

j=1

mijxixj ,

est une forme quadratique sur Rn de matrice A = (tM + M)/2 ,(A = M si et seulement si M est symetrique).

Remarque 6.2 La forme bilineaire ϕ s’obtient a partir de sa forme qua-dratique par la formule

ϕ(~x,~y) =1

2[q(~x + ~y) − q(~x) − q(~y)] =

1

4[q(~x + ~y) − q(~x − ~y)] .

Si A est la matrice de q dans une base E et si B est une autre base de E,alors la matrice B de q dans la nouvelle base est donnee parB = tPAP , (et non par P−1AP ),ou P est la matrice de passage de E a la nouvelle base B.

Proposition 6.3 Soit une forme quadratique sur Rn, q(~x), de matriceA (dans la base canonique).

Alors on a la caracterisation suivante.i) q(~x) est positive, c’est a dire que q(~x) ≥ 0,

s. s. s. les valeurs propres de A sont ≥ 0.ii) q(~x) est definie-positive, c’est a dire que ∀ ~x 6= ~0, q(~x) > 0,

s. s. s. les valeurs propres de A sont > 0.

Idee de la preuve Si les valeurs propres de A sont > 0, comme A estdiagonalisable dans une base orthonormee, (car A est symetrique et reelle),on trouve que q(~x) est definie-positive.

Reciproquement, si q(~x) est definie-positive, necessairement toute valeurpropre de A est > 0.

On suit le meme raisonnement dans le cas simplement positive. C.Q.F.D.

Pour voir si une forme quadratique est definie-positive, on peut utiliser letheoreme suivant.

Theoreme 6.4 Soit A = (aij)1≤i,j≤n une matrice reelle, symetrique d’ordren. Alors les valeurs propres de A sont toutes > 0 s. s. s. on a

det(∆k(A)) > 0, pour k = 1, . . . ,n, ∆k(A) = (aij)1≤i,j≤k .

(Les ∆k(A) sont appeles les mineurs principaux de A).


Idee de la preuve Si les valeurs propres de A sont > 0, alors la formequadratique

q(~x) = 〈AX|X〉 =n∑

i=1

n∑

j=1

aijxixj

est definie-positive, ce qui entraine que celle sur Rk,

qk(~x) =k∑

i=1

k∑

j=1

aijxixj

est aussi definie-positive, (pour tout k = 1, . . . ,n).On utilise la Proposition precedente pour voir que

la matrice de qk(~x), ∆k(A) a un determinant > 0.Reciproquement, si les det(∆k(A)), sont tous > 0,

on peut trouver une matrice C triangulaire superieure, a diagonale > 0,telle que tCC = A.

En effet, si C existe, on a necessairement, pour 1 ≤ i ≤ j ≤ n,

aij =i∑

m=1

cmicmj ;

ce qui permet de voir entre autre que ∆k(A) =t ∆k(C)∆k(C) .On trouve c11 =

√a11 et pour j = 2, . . . ,n, c1j = a1j/c11 .

Par recurrence sur k, on trouve que

ckk = [akk −k−1∑

m=1

c2mk]

1/2 = [det(∆k(A))/det(∆k−1(A))]1/2 ,

et pour j = k + 1, . . . ,n, (a la suite, dans l’ordre croissant),

ckj = [akj −k−1∑

m=1

cmkcmj]/ckk .

Comme C est inversible, on trouve que les valeurs propres deA sont necessairement > 0. C.Q.F.D.

6.2 Methode de diagonalisation de Gauss

Une autre methode, pour voir si une forme quadratique q(~x) sur Rn, estpositive, est la methode de Gauss qui consiste a ecrire la forme quadratiquecomme une somme de carres:

q(~x) =d∑

i=1

αi(〈~x|~ai〉)2 , (~ai ∈ Rn) ,


les vecteurs ~ai doivent etre lineairement independants,ce qui implique que d ≤ n.

Si les coeefficients de ces carres sont > 0, (αi > 0, ∀ i), alors la formequadratique est positive. Si de plus d = n,c’est a dire si ~a1, . . . , ~an est une base de Rn et si αi > 0, ∀ i,alors q(~x) est definie-positive.

Remarque 6.5 Le couple d’entiers (n+,n−),ou n+ designe le nombre de αi > 0 et n− le nombre de αi < 0,est appele signature de la forme quadratique q(~x),ou indices de Sylvester de q(~x).

La signature de q(~x) ne depend pas du choix des ~ai, (pourvu qu’ils soientlineairement independants).

n+ est la plus grande dimension des sous-espaces F tel queq(~x)/F soit definie-positive,

et n− est la plus grande dimension des sous-espaces H tel que−q(~x)/H soit definie-positive.

Pour la preuve, voir a la fin de ce chapitre le Theoreme (6.7).

Methode de GaussSoit q une forme quadratique sur Rn et soit B = e1,..,en

la base canonique de Rn :

q(X) =n∑

i=1

ai,ix2i + 2

n−1∑

i=1

(n∑

j=i+1

ai,jxixj) , ∀X =n∑

k=1

xkek ∈ E.

On cherche a ecrire

q(~x) =d∑

i=1

αi(〈~x|~ai〉)2 ,

avec un systeme libre de vecteurs de Rn, ~a1, . . . , ~ad .L’algorithme de Gauss consiste a determiner au fur et a mesure les ~ai de

la facon suivante.

+ Si q = 0, alors q(X) =n∑

i=1

0x2i , (yi = xi).

+ S’il existe i tel que ai,i 6= 0, on choisit un tel indice, le premier,et on ecrit que

q(X) = ai,ix2i + 2xivi(X

′) + q(X ′),

avec

X ′ = (xk) 1≤k≤n

k 6=i

, vi(X′) =

1

ai,i

(i−1∑

k=1

ak,ixk +n∑

k=i+1

ai,kxk).


de la, on obtient que

q(X) = ai,ixi + vi(X′)2 + q(X ′), avec q(X ′) = q(X ′) − ai,i[vi(X

′)]2.

(on a alors α1 = ai,i et ~a1 = ~ei + ~vi, ou ~vi est tel que 〈~x|~vi〉 = vi(X′) ).

q(X ′) est une forme quadratique, a (n-1) variables, on recommence aveccette nouvelle forme quadratique pour l’ecrire comme somme de carres.

+ Si tous les ai,i sont nuls, comme q(X) 6= 0,il existe 2 indices distincts i et j tels que ai,j 6= 0. On ecrit que

q(X) = 2ai,jxixj + xivi(X”) + xjvj(X”) + q(X”)

avec X” = (xk) 1≤k≤nk 6=ik 6=j

, vi(X”) =1

2ai,j

∑

1≤k≤n

k 6=j

ak,ixk +∑

1≤k≤n

k 6=j

ai,kxk.

On definit de la meme facon vj(X”).On utilise les egalites

xixj + xiwi + xjwj = (xi + wj)(xj + wi) − wiwj

et

(xi + wj)(xj + wi) =1

4[(xi + wj) + (xj + wi)]

2 − [(xi + wj) − (xj + wi)]2

avec wk = vk(X”). On a alors

q(X) =1

2ai,j[xi+xj+vi(X”)+vj(X”)]2−1

2ai,j[xi+vj(X”)−xj−vi(X”)]2+q(X”),

avecq(X”) = q(X”) − 2ai,jvi(X”)vj(X”).

(on a alors α1 = −α2 = 12ai,j, ~a1 = ~ei + ~ej + ~vi + ~vj ,

et ~a2 = ~ei − ~ej − ~vi + ~vj ,ou ~vi et ~vj sont definis par 〈~x|~vi〉 = vi(X”) et 〈~x|~vj〉 = vj(X”) .

q(X”) est une forme quadratique, a (n-2) variables, on recommence aveccette nouvelle forme quadratique pour l’ecrire comme somme de carres.

Exemple 6.6 Les exemples ci-dessous sont definis dans R3.La base de reference est la base canonique.

1) q(X) = x2 + xy − yz . Sa matrice est

1 12

012

0 −12

0 −12

0

.

q(X) = (x + 12y)2 − 1

4y2 − yz = (x + 1

2y)2 − 1

4(y2 + 4yz)

et donc q(X) = (x + 12y)2 − 1

4(y + 2z)2 + z2 .


La matrice da q(X) a deux valeurs propres > 0 et une valeur propre < 0.Les indices de Sylvester sont (2,1).

2) q(X) = xy − yz . Sa matrice est

0 12

012

0 −12

0 −12

0

.

q(X) = (x−z)y = 14[(y+x−z)2−(y−x+z)2] = 1

4(x+y−z)2− 1

4(x−y−z)2 .

La matrice da q(X) a 1 valeur propre > 0 et 1 valeur propre < 0. Lesindices de Sylvester sont (1,1).

3) q(X) = xy + xz − yz . Sa matrice est

0 12

12

12

0 −12

12

−12

0

.

q(X) = (x − z)(y + z) + z2 = 14[(x − z + y + z)2 − (x − z − y − z)2] + z2

donc q(X) = 14(x + y)2 − 1

4(x − y − 2z)2 + z2 .

La matrice da q(X) a 2 valeur propre > 0 et 1 valeur propre < 0. Lesindices de Sylvester sont (2,1).

4) q(X) = 2x2+2y2+2z2−2xy−2yz. Sa matrice est

2 −1 0−1 2 −10 −1 2

.

q(X) = 2(x − 1

2y)2 +

3

2(y − 2

3z)2 +

4

3z2 .

q(X) est definie-positive, sa matrice a 3 valeurs propres > 0 et 0 valeurspropres < 0, les indices de Sylvester sont (3,0).

Theoreme 6.7 de Sylvester.Soit E un espace vectoriel sur R de dimension n.

Soit q : E → R une forme quadratique.L’indice de Sylvester de q est le couple d’entiers (d+,d−) ∈ N2

defini par:+ d+ est la plus grande dimension des sous-espaces

F de E tels que q/F soit defini-positive.+ d− est la plus grande dimension des sous-espaces

H de E tels que −q/H soit defini-positive.Il existe une base de E, B = ~s1, . . . ,~sn, appellee base de Sylvester,

telle que

∀ ~x =n∑

i=1

ti~si, q(~x) =

d+∑

i=1

t2i −d++d−∑

i=d++1

t2i .

Si E est une autre base de E, alors la matrice A de qdans cette base a pour rang r = Im(A) = d+ + d−.

De plus, si A est diagonale, le nombre de valeurs propres > 0 de A estd+, et celui des valeurs propres < 0 de A est d−.


Idee de la preuve On considere une base de E, E = ~e1, . . . ,~en.Soit A la matrice de q dans cette base. Comme A est symetrique, il existe

une matrice orthogonale Q, tQ = Q−1, telle que D =t QAQ soit diagonale.On s’arrange pour que D = diag(λ1, . . . ,λn) avec+ λi > 0 si i ≤ d1,+ λi < 0 si d1 < i ≤ d1 + d2,+ λi = 0 si i > d1 + d2.

Ce qui signifie que, si ~cj =n∑

i=1

qij~ei

alors C = ~c1, . . . ,~cn est une base de E telle que la matrice de q dans C soitD.

+ Si i ≤ d1, on pose ~si =1√λi

~ci,

+ si d1 < i ≤ d1 + d2, on pose ~si =1√−λi

~ci,

+ si i > d1 + d2, on pose ~si = ~ci.Alors B = ~s1, . . . ,~sn est une base du type de Sylvester,

si on verifie que d1 = d+ et d2 = d−.On a clairement d1 ≤ d+ et d2 ≤ d−.Pour etablir l’inegalite dans l’autre sens, on considre le produit scalaire

〈 .; .〉 tel que B soit orthonormee.Soit F un sous-espace de E tel que q/F soit definies positive.Soit W = V ec~s1, . . . ,~sd1

.Soit enfin p la projection orthogonale sur W.p(F) est un sous-espace vectoriel de W etdim(p(F )) = dim(F ) − dim(F ∩ Ker(p)).Comme ∀ ~x ∈ F ∩ Ker(p) = F ∩ [Im(p)]⊥, q(~x) ≤ 0,

et que q/F est defini-positive, on a en fait F ∩ Ker(p) = ~0,d’ou dim(p(F )) = dim(F ), ce qui implique que

dim(W ) = dim(Im(p)) ≥ dim(F ), soit d1 ≥ d+.En considerant -q, on trouve aussi que d2 ≥ d−.


7 Les similitudes

Definition 7.1 . Soit (E, 〈 . | . 〉) un espace euclidien de dimension n .Une application f : E → E est appelee une similitude de rapport λ > 0s.s.s. ∀ A , B ∈ E ,

‖−−−−−−→f(A)f(B)‖ = λ‖−→AB‖ . (7.1)

Si f est en plus une application lineaire, on dit que f est une similitudelineaire. Plus generalement, si f est affine, c’est a dire si u ,

u(~x) = f(~x)−f(~0) , est lineaire, on dit que f est une similitude affine.

Remarquons qu’une isomertie est aussi une similitude.

Remarque 7.2 . f : E → E est une similitude de rapport λ s.s.s.1√λ

f est une isometrie; le Theoreme 5.7 nous assure alors que f est une

une similitude affine (ou lineaire):toute similitude est necessairement affine (ou lineaire).

Proposition 7.3 . Soit f : E → E une application affine.Alors les proprietes i), ii) et iii) ci-dessous sont equivalentes:i) f est une similitudeii) f conserve l’orthogonalite: ∀ A, B, M, N ∈ E ,

〈−→AB | −−→MN〉 = 0 ⇒ 〈−−−−−−→f(A)f(B) | −−−−−−−→f(M)f(N)〉 = 0

iii) f conserve les angles: ∀ A, B, C ∈ E ,

ABC = f(A)f(B)f(C)

Idee de la preuve. Il suffit de prouver la Proposition dans le cas lineaireen considerant u(~x) = f(~x) − f(~0) .

Les implications suivantes sont evidentes:

i) ⇒ iii) ⇒ ii)

Prour prouver ii) ⇒ i) , on remarque que u⋆u est diagonalisable dansune base orthonormee et que si λi et λj sont deux valeurs propres de u⋆uassociees a au couple de vecteurs propres orthonormes ~e1, ~e2 alors ~e1 + ~e2

et ~e1 − ~e2 sont orthogonaux.ii) implique alors que λ1~e1 + λ2~e2 et ~e1 − ~e2 sont aussi orthogonaux, ce

qui entraine que λ1 = λ2 .De la on obtient que u⋆u = λ idE et donc u est une similitude lineaire.


Theoreme 7.4 . Soit f : E → E une application bijective (nonnecessairement affine).

Alors les proprietes i), ii) et iii) ci-dessous sont equivalentes:i) f est une similitudeii) f conserve l’orthogonalite: ∀ A, B, M, N ∈ E ,

〈−→AB | −−→MN〉 = 0 ⇒ 〈−−−−−−→f(A)f(B) | −−−−−−−→f(M)f(N)〉 = 0

iii) f conserve les angles: ∀ A, B, C ∈ E ,

ABC = f(A)f(B)f(C)

Proposition 7.5 . Toute similitude f : E → E , de rapport λ 6= 1a un unique point fixe A qui est le centre de f .

Plus precisement, il existe un unique A ∈ E et une unique isometrielineaire u ∈ O(E) tels que

f(M) = f(A) + λu(−−→AM) , (∀ M ∈ E .

Idee de la preuve du theoreme de caracterisation des similitudes7.4.

Le seul point crutial est la preuve de ii) ⇒ i) .On peut montrer facilement que ii) ⇒ iii) .En effet, de ii), on montre que f transforme une droite en une droite, un

carre en un carre, et on en deduit que f conserve les angles.Si ABCD est un carre et P ∈ DC , considerer le carre MNPD avecM ∈ AD .

iii) ⇒ i) est facile car f transforme un triangle en un triangle de memes

angles, ce qui impose que‖−−−−−−−→f(N)f(M)‖

‖−−→NM‖soit independant de M et N , M 6= M .

Rappellons qu’on a prouve le resultat suivant.

Corollaire 7.6 . Soit E = C identifie a R2 .f : C → C est une similitude s.s.s. il existe a et b dans C tels

|a| + |b| 6= 0 et tels que f(z) = az + b .


8 Application aux coniques

8.1 Rappels sur les coniques

8.1.1 L’ellipse

Un cercle C de R2 , de centre Ω = (x0,y0) et de rayon R > 0 ,a pour equation

(x − x0)2

R2+

(y − y0)2

R2= 1 .

Toute droite passant par son centre est un axe de symetrie orthogonale pourle cercle.

Une ellipse E de R2 de centre Ω = (x0,y0) , de grand cercle principal derayon α et de petit cercle principal de rayon β , (0 < β < α) , et de grandaxe la droite D1 = Ω + R~e1 , avec ~e1 = (cos θ , sin θ) , a pour equation

x2

α2+

y2

β2= 1 ,

ou x = cos(θ)(x − x0) + sin(θ)(y − y0)et y = − sin(θ)(x − x0) + cos(θ)(y − y0) .

La droite D2 = Ω + R~e2 , (~e2 = (− sin θ , cos θ) ),orthogonale a D1, est le petit axe de E .

Les 2 axes de l’ellipse sont des axes de symetrie orthogonale.Si au depart, on avait pris comme base orthonormee de R2 , ~e1 , ~e2 ,

(de vecteurs paralleles aux axes de l’ellipse), l’equation de l’ellipse E serait

(x − x0)2

α2+

(y − y0)2

β2= 1 .

F1 = Ω +√

α2 − β2 ~e1 et F2 = Ω −√

α2 − β2 ~e1

sont les deux foyers de l’ellipse.


Un cercle est une ”ellipse” ayant ses deux foyers confondus avec son centre.

L’ellipse, ses axes et ces deux cercles

8.1.2 L’hyperbole

Une hyperbole H de R2 de centre Ω = (x0,y0) , de cercle principal derayon α > 0 , d’axe transverse la droite D1 = Ω + R~e1 ,avec ~e1 = (cos θ , sin θ) , et dont les asymptotes font un angle avec l’axetransverse de tangente β/α , a pour equation

x2

α2− y2

β2= 1 ,

ou x = cos(θ)(x − x0) + sin(θ)(y − y0)et y = − sin(θ)(x − x0) + cos(θ)(y − y0) .

La droite D2 = Ω + R~e2 , (~e2 = (− sin θ , cos θ) ) ,orthogonale a D1, est l’axe non transverse de l’hyperbole; (D2 ∩H = ∅) .

Les 2 axes de l’hyperbole sont des axes de symetrie orthogonale.Si au depart, on avait pris comme base orthonormee de R2 , ~e1 , ~e2 ,

(de vecteurs paralleles aux axes de l’hyperbole), l’equation de l’hyperbole Hserait

(x − x0)2

α2− (y − y0)

2

β2= 1 .


F1 = Ω +√

α2 + β2 ~e1 et F2 = Ω −√

α2 + β2 ~e1

sont les deux foyers de l’hyperbole.Une hyperbole a deux composantes, toutes les deux ne sont pas bornees.

Remarquons que l’hyperbole d’equation classique y =1

ax + b, (a 6= 0) ,

a pour equation normaliseea

2

(x + b

a+ y√

2

)2

− a

2

(x + b

a− y√

2

)2

= 1 .

L’hyperbole ses axes et son cercle

8.1.3 La parabole

Une parabole P de R2 de sommet Ω = (x0,y0) , d’axe de symetrieorthogonale la droite D2 = Ω + R~e2 , avec ~e2 = (− sin θ , cos θ) ,a pour equation

y =x2

α

ou x = cos(θ)(x − x0) + sin(θ)(y − y0)et y = − sin(θ)(x − x0) + cos(θ)(y − y0) .α > 0 et α/2 est appele le parametre de la parabole.

Si au depart, on avait pris comme base orthonormee de R2 , ~e1 , ~e2 ,(de deuxieme vecteur parallele a l’axe de la parabole),


l’equation de la parabole P serait

y − y0 =(x − x0)

2

α.

Une parabole n’a pas de centre de symetrie et n’a qu’un seul axe desymetrie orthogonale.

8.2 Equations des coniques dans le plan

Soit une forme quadratique sur R2 , q(x,y) = ax2 + 2bxy + cy2 .

On suppose que sa matrice A n’est pas nulle: A =

(a bb c

).

On suppose donnes aussi un vecteur ~w = (w1,w2) ∈ R2 et un reel w0 .On considere la fonction de R2, p(x,y) = q(x,y) + 〈(x,y) | ~w〉 + w0 :

p(x,y) = ax2 + 2bxy + cy2 + w1x + w2y + w0 .

p(x,y) est un polynome a 2 variables de degre 2.On s’interesse a l’etude de l’ensemble des zeros de la fonction p(x,y)

Γ = (x,y) ∈ R2 t.q. ax2 + 2bxy + cy2 + w1x + w2y + w0 = 0 .

+ Γ peut etre vide, par exemple si p(x,y) = x2 + 1 .+ Γ peut etre un unique point, par exemple si p(x,y) = x2 + y2 .+ Γ peut etre une ou deux droites, par exemple si p(x,y) = x2

ou si p(x,y) = x2 − 1 ou si p(x,y) = x2 − y2 .+ Les autres cas, ceux qui nous interessent, Γ est une conique, soit une

ellipse, (y compris un cercle), soit une hyperbole ou soit une parabole.La nature de cette conique depend de la signature de la forme quatratiqueq(x,y) .

Theoreme 8.1 .i) Si la signature de q(x,y) est (2,0) ou (0,2) , c’est a dire si det(A) > 0 ,

alors Γ est une ellipse (ou un cercle), ou bien Γ est un point ou l’ensemblevide.

ii) Si la signature de q(x,y) est (1,1) , c’est a dire si det(A) < 0 ,alors Γ est une hyperbole ou bien 2 droites concourantes.

iii) Si la signature de q(x,y) est (1,0) ou (0,1) ,c’est a dire si det(A) = 0 , (avec A 6= 0) ,alors Γ est une parabole, ou deux droites paralleles, ou une seule droite oubien l’ensemblle vide.


Preuve. On choisit une base orthonormee qui diagonalise q(x,y) ;on peut donc supposer que b = 0 : p(x,y) = ax2 + cy2 + w1x + w2y + w0 .

+ Cas i): ac > 0 , quitte a changer p(x,y) en −p(x,y) , on peut supposerque a > 0 et donc c > 0 . On ecrit que

p(x,y) = a(x − w1

2a)2 + c(y − w2

2c)2 − ρ0 , (ρ0 =

w21

4a+

w22

4c− w0 ) .

++ Cas ou ρ0 < 0 , alors Γ = ∅ .++ Cas ou ρ0 = 0 , alors Γ = Ω avec Ω = (w1

2a,w2

2c) .

++ Cas ou ρ0 > 0 , alors Γ est une ellipse (ou un cercle):

Γ = (x,y) ∈ R2 t.q.(x − x0)

2

α2+

(y − y0)2

β2= 1 .

(x0,y0) = Ω est le centre de l’ellipse, (α =

√ρ

0√a

, β =

√ρ

0√c

) .

+ Cas ii) ac < 0 . Quitte a changer p(x,y) en −p(x,y) , on peut supposerque a > 0 et alors c < 0 . On ecrit comme dans le cas precedent que

p(x,y) = a(x − x0)2 − |c|(y − y0)

2 − ρ0 .

++ Cas ou ρ0 = 0 , alors Γ = D1 ∪ D2 , D1 et D2 sont les 2 droitesparalleles d’equations

y =

√|c|√a

(x − x0) + y0 et y = −√

|c|√a

(x − x0) + y0 .

Cas ou ρ0 6= 0 , alors Γ est une hyperbole: quitte a permuter x et y ,(ce qui revient a changer l’orientation du plan), on peut supposer ρ0 > 0 etdans ce cas

Γ = (x,y) ∈ R2 t.q.(x − x0)

2

α2− (y − y0)

2

β2= 1 ,

α =

√ρ

0√a

, β =

√ρ

0√|c|

.

+ Cas iii) ac = 0 et a 6= 0 ou c 6= 0 .Quitte a changer p(x,y) en −p(x,y) et quitte a permuter x et y ,

(a changer d’orientation), on peut supposer a > 0 et c = 0 .On ecrit alors que

p(x,y) = a(x − x0)2 + w2y + γ0 , γ0 = w0 − ax2

0 .


++ Si w2 = 0 et γ0 > 0 , alors Γ = ∅ .++ Si w2 = 0 et γ0 = 0 , alors Γ est la droite x = x0 .++ Si w0 = 0 et γ0 < 0 , alors Γ = D1 ∪ D2 est l’union de 2 droites

paralleles d’equations

x =

√−γ0√a

+ x0 et x = −√−γ0√

a+ x0 .

++ Si w2 6= 0 , alors Γ est la parabole dequation

y = − a

w2

(x − x0)2 − γ0

w2

.

+ Caracterisation du centre de symetrie d’une ellipse ou d’unehyperbole.

Proposition 8.2 . Si Γ = p−1(0) est une ellipse ou une hyperbole,alors son centre Ω = (x0,y0) est la solution du systeme d’equations suivantes,(d’inconnues x et y ),

∂∂x

p(x,y) = 2ax + 2by + α = 0∂∂y

p(x,y) = 2bx + 2cy + β = 0

Remarquons que, si Γ est une parabole, le systeme de la Proposition 8.2n’admet pas de solution.

Remarque 8.3 . Si Γ = p−1(0) est une conique, alors tout axe desymetrie de Γ est parallele a un vecteur propre de la matrice de la formequatratique q(x,y) .

8.3 Cas de l’epace: les ellipsoides, les hyperboloides etles paraboloides

On se donne une forme quadratique sur R3 ,

q(x,y,z) = d1x2 + d2y

2 + d3z2 + 2axy + 2bxz + 2cyz

de matrice A non nulle, (dans la base canonique), A =

d1 a ba d2 cb c d3

.

Soient ~w = (w1,w2,w3) un vecteur de R3 et w0 ∈ R , un reel.On considere la fonction polynomiale de R3 ,

p(x,y,z) = q(x,y,z) + 〈~w | (x,y,z)〉 + w0 :


p(x,y,z) = d1x2 +d2y

2 +d3z2 +2axy +2bxz +2cyz +w1x+w2y +w3z +w0 .

Soit alors Γ = p−1(0) = (x,y,z) ∈ R3 t.q. p(x,y,z) = 0 .On suppose pour simplifier que Γ n’est pas vide et que Γ est une surface

reguliere, ce qui revient a verifier que, pour tout (x,y,z) ∈ Γ , on a

(∂

∂xp(x,y,z) ,

∂

∂yp(x,y,z) ,

∂

∂zp(x,y,z) )

= (2d1x + 2ay + 2bz + w1,2d2y + 2ax + 2cz + w2,2d3z + 2bx + 2cy + w3)

6= (0,0,0) .

On suppose en plus que Γ n’a aucune composante qui soit un plan.Alors sous ces hypotheses on a le theoreme suivant.

Theoreme 8.4 .i) Si la signature de q(x,y,z) est (3,0) ou (0,3) ,

alors Γ est une ellipsoide: dans une base orthonormee diagonalisant q(x,y,y) ,l’equation de Γ peut s’ecrire

(x − x0)2

α2+

(y − y0)2

β2+

(z − z0)2

γ2= 1 .

ii) Si la signature de q(x,y,z) est (2,1) ou (1,2) , alors Γ est soit unehyperboloıde a une nappe ou une hyperboloıde a deux nappes: dans une baseorthonormee diagonalisant q(x,y,y) , l’equation de Γ peut s’ecrire, dans lecas d’une hyperboloıde a une nappe

(x − x0)2

α2+

(y − y0)2

β2− (z − z0)

2

γ2= 1 ,

et dans le cas d’une hyperloıde a deux nappes

−(x − x0)2

α2− (y − y0)

2

β2+

(z − z0)2

γ2= 1 .

iii) Si la signature de q(x,y,z) est (2,0) ou (0,2) ,alors Γ est paraboloıde elliptique: dans une base orthonormee diagonalisantq(x,y,y) , l’equation de Γ peut s’ecrire

(x − x0)2

α2+

(y − y0)2

β2= z − z0 .

iv) Si la signature de q(x,y,z) est (1,1) ,alors Γ est une paraboloıde hyperbolique: dans une base orthonormee dia-gonalisant q(x,y,y) , l’equation de Γ peut s’ecrire

(x − x0)2

α2− (y − y0)

2

β2= z − z0 .


Dans les cas i) et ii), x0 ,y0 et z0 sont les cordonnees du centre Ω de Γ ;le centre Ω est l’unique solution du systeme

∂

∂xp(x,y,z) =

∂

∂yp(x,y,z) =

∂

∂zp(x,y,z) = 0 .

Dans les cas iii) et iv), Γ n’a pas de cenntre de symetrie.

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Z

-0.8-0.4

00.4

0.8 X

-1.8-1.4

-1.0-0.6

-0.20.2

0.61.0

1.41.8

Y

Une ellipsoide


-40

-20

0

20

40

Z

-60

-40

-20

0

20

40

60

X

-50

-30

-10

10

30

50

Y

Une partie d’une hyperboloide a une nappe

0

60

120

180

240

300

Z

-60-40

-200

2040

60 X

-130

-90

-50

-10

30

70

110

150

Y

Une partie d’une hyperboloide a deux nappes


0

10

20

30

40

50

Z

-2.0-1.3-0.60.10.81.5

X

-2.0 -1.3 -0.6 0.1 0.8 1.5

Y

Une partie d’une paraboloide


9 Bibliographie

Pour le cours et les exercices, nous conseillons vivement les ouvrages deJean-Marie MONIER reserves aux sections MPSI, PCSI-PTSI et PT enAlgebre et en Geometrie.

Editeur: DUNOD (2004 ou 2003).

L’aide memoire en mathematiquesF. Reinhardt et H. Soeder:

ATLAS des Mathematiques(Editeur: La Pochotheque -Le Livre de Poche Annee: 1997)

sera tres utile pendant et apres les etudes universitaires.

Pour les outils des applications qui n’ont pas ete traitees dans ce cours,nous conseillons les ouvrages suivants.

P. Lascaux et R. Theodor:+ Analyse Numerique Matricielle Appliquee a

l’Art de l’Ingenieur Tome 1+ Analyse Numerique Matricielle Appliquee a

l’Art de l’Ingenieur Tome 2(Editeur: Masson Annee: 1987)

10 Annexes

A Notion de courbe parametree

Une courbe parametree reguliere de Rn est l’image Γ d’une application

~γ : I → Rn , t → ~γ(t) = (γ1(t), . . . ,γn(t)) ,

ou I ⊂ R est un intervalle et ou les fonctions γj(t) sont continument derivablesur I tel que

d

dt−→γ (t) = (γ′

1(t), . . . ,γ′n(t)) 6= ~0 , ∀ t ∈ I :

Γ = −→γ (t) ; t ∈ I .

Pour tout M0 = −→γ (t0) ∈ Γ , la droite affine TM0= M0 + R d

dt−→γ (t0) ,

est la tangente a Γ au point M0 .


Quand n = 2 , le cas le plus populaire est celui ou Γ est le graphe d’unefonction

f : I → R , Γ = (x,f(x)) ; x ∈ I ;

dans ce cas −→γ (t) = (t,f(t)) .Dans le cas particulier ou n = 2 , on dit que −→γ (t) decrit Γ dans le sens

positif, si Γ est parcouru dans le sens contraire aux aiguilles d’une montre,ce qui est equivalent, quand −→γ (t) est deux fois continument derivable, a

det(d

dt−→γ (t),

d2

dt2~γ(t)) = γ′

1(t)γ′′2 (t) − γ′

2γ′′1 (t) ≥ 0 .

Quand on se donne un produit scalaire sur Rn , on definit la longueurd’un arc de la courbe Γ ,

C = −→γ (t) ; t ∈ [c,d] , ([c,d] ⊂ I) ,

est

ℓ(C) =

∫ d

c

‖ d

dt−→γ (t)‖ dt ;

(on suppose que toute point de l’arc de courbe est decrit une seule fois:c ≤ s < t ≤ d ⇒ −→γ (s) 6= −→γ (t) ) .

B Le theoreme de D’Alembert

Theoreme B.1 Soit un polyome de degre n ≥ 1, p(z) =n∑

k=0

akzk ,

(ak ∈ C) . Alors p(z) a une racine dans C .

Preuve La fonction definie sur R2, F (x,y) = |p(x + iy)|2 ,verifie lim

r→+∞F (r cos(θ),r sin(θ)) = +∞,

(uniformement en θ ∈ [0,2π]) :

∀ A > 0 , ∃ R > 0 t.q. r > R ⇒ ∀ θ ∈ [0,2π] , F (r cos(θ),r sin(θ)) > A .

On peut donc trouver R0 > 0 tel que ∀r > R0

F (r cos(θ),r sin(θ)) > F (0,0) .

Par consequent le minimum de F sur le compact, le carre

CR0= [−R0, R0] × [−R0, R0]


est un minimum de F sur tout R2; comme il est atteint, il existe(x0,y0) ∈ CR0

tel que F (x0,y0) = min(x,y)∈R2

F (x,y) .

Montrons par l’absurde que p(z0) = 0 , si z0 = x0 + iy0 .Si p(z0) 6= 0 , alors p(z0) = r0e

iω0 avec r0 > 0, ω0 ∈ [0,2π[ .

Mais q(z) = p(z0 + z) est un polynome de degre n, q(z) =n∑

k=0

bkzk ,

bn = an et b0 = p(z0) = r0eiω0 . De plus on a

|q(0)| = minz∈C

|q(z)| .

Soit j1 le premier indice > 0 tel que bj1 6= 0 :

q(z) = r0eiω0 + zj1

n∑

k=j1

bkzk , (bj1 6= 0) .

On ecrit bj1 = r1eiω1 , r1 > 0 et ω1 ∈ [0,2π[ .

Alors si z = rei

π+ω0−ω1j1 , quand r tend vers zero en restant positif, on a

|q(z)| = |r0eiω0 + bj1z

j1 | + O(rj1+1) = |r0eiω0 − r1r

j1eiω0 | + O(rj1+1)et donc quand r → 0+, |q(z)| = r0 − r1r

j1 + O(rj1+1) .|q(0)| n’est donc pas un minimum, ce qui est en contradiction avec ce qui

precede.


C Complements

Soit A = (aij)1≤i,j≤n une matrice carree, reelle et d’ordre n .On considere ici seulement le cas ou A est diagonalisable sur R

ou sur C . Soit p(z) = det(A − zI) son polynome caracteristique. Il sedecompose alors en facteurs premiers,

p(z) = (−1)n(z−µ1)d1×. . .×(z−µm)dm = (−1)n

m∏

k=1

(z−µk)dk ; (d1+. . .+dm = n) ;

avec µj 6= µk quand j 6= k .On considere alors le polynome a racines simples

q(z) = (z − µ1) × . . . × (z − µm) =m∏

k=1

(z − µk) .

On sait d’apres le Theoreme d’Hamilton-Cayley que p(A) = 0 .On a

Proposition C.1 La matrice A est diagonalisable sur R ou sur C

si et seulement si q(A) = 0 .

Notons Ek le sous-espace propre de A associe a la valeur propre µk .On sait que A est diagonalisable

si et seulement si dim(E1 ⊕ . . . ⊕ Em) = n .Supposons que A est diagonalisable. Pour chaque sous-espace propre Ej ,

notons Fj la somme directe des autres sous-espaces propres:

F1 = E2⊕. . .⊕Em , F2 = E1⊕E3⊕. . .⊕Em , . . . , Fm = E1⊕. . .⊕Em−1 .

Alors Ej ⊕ Fj = Rn (ou Ej ⊕ Fj = Cn ) .Notons Qj la matrice dans la base canonique le la projection sur Ej

parallelement a Fj .

Theoreme C.2 Quand A est diagonalisable de valeurs propresµ1, . . . , µm , (µk 6= µℓ si k 6= ℓ) , alors

Qj =∏

k 6=1; 1≤k≤m

(A − µkI

µj − µk

)

est la matrice de la projection sur le sous-espace propre associe a µj etparallelement a la somme des autres sous-espaces propres.De plus, pour tout ℓ ∈ N on a

Aℓ = µℓ1Q1 + . . . + µℓ

mQm .


Remarque C.3 On a QjQk = δjkQj et quand A est une ma-trice symetrique, Qj est aussi symetrique: c’est la matrice de la projectionorthogonale sur les sous-espace propre Ej .

Theoreme C.4 Soit le systeme d’equations differentielles

(E)

X ′(t) = A.X(t) ; ( X(t) =

x1(t)...

xn(t)

) .

Quand la matrice d’ordre n , A est diagonalisable de valeurs propresµ1, . . . , µm , (µk 6= µℓ si k 6= ℓ) ,alors les solutions de (E) sont donnees par la formule

X(t) = eµ1tQ1.X(0) + . . . + eµmtQm.X(0) ;

ou

Qj =∏

k 6=1; 1≤k≤m

(A − µkI

µj − µk

)

est la matrice de la projection sur le sous-espace propre associe a µj etparallelement a la somme des autres sous-espaces propres.

Exemple C.5 i) A =

(2 11 4

): µ1 = 3 −

√2 , µ2 = 3 +

√2 ,

[x(t)y(t)

]= −

√2e(3−

√2)t

4

(−1 −

√2 1

1 1 −√

2

).X(0)

+

√2e(3+

√2)t

4

(−1 +

√2 1

1 1 +√

2

).X(0) ;

et Ak = −√

2(3 −√

2)k

4

(−1 −

√2 1

1 1 −√

2

)+

√2(3 +

√2)k

4

(−1 +

√2 1

1 1 +√

2

)

ii) A =

3 1 11 3 11 1 3

. C’est une matrice symetrique, elle est donc dia-

gonalisable dans une base orthonormee.p(z) = −(z − 2)2(z − 5) : µ1 = 2 et µ2 = 5 sont les v.p..

Q1 =1

2 − 5(A − 5I) et Q2 =

1

5 − 2(A − 2I) .

On trouve que X(t) = −e2t

3

−2 1 11 −2 11 1 −2

.X(0) +

e5t

3

1 1 11 1 11 1 1

.X(0) ;

et que Ak = −2k

3

−2 1 11 −2 11 1 −2

+

5k

3

1 1 11 1 11 1 1

;


D Notations et indexes

Index

~u∧~v = (u2v3−u3v2, u3v1−u1v3, u1v2−u2v1), 16

F ⊕ H somme directe, 11F⊥, orthogonal de F, 47Im(u), image de u, 6Ker(u), noyau de u, 6Tr(A) = a11 + a22 + . . . + ann, 59Tr(u), trace de u, 59V ec(A) sous-espace engendre par

A, 5Λn(E) n-formes lin. altern., 17L(E) = L(E), appli. lin. de E, 6L(E,F ) = L(E,F ), (appli. lin. de

E vers F, 6Mn,m(K) matrices n × m, 4Mn(K), matrices carrees d’ordre n,

6Sn (permutations a n elem.), 23δij = 1 si i = j et 0 si non, 47K, (corps = R ou C), 4〈~y ,

; ~x〉 = y1x1 + . . . + ynxn16tA, transposee de A, 13det(A), determinant de A, 18diag(λ1, . . . ,λn) matrice diagonale,

28s.s.s. (si et seulement si), 4sign(σ) signature, 24t.q. (tel que), 5u∗ adjoint de u, 51

orthonormee directe, 49

adjoint, 51alternee, 16angle, 46antisymetrique, 16application lineaire, 6

attractif, 41auto-adjoint, 52

base, 9base canonique, 10base incomplete (theoreme de la),

10base orthonormee, 47, 50bilineaire, 16

calcul matriciel, 13Cauchy-Schwarz, 45changement de base, 15courbe parametree, 83Cramer (systeme de ), 26

D’Alembert, 84definie-positive, 43determinant de 3 vecteurs, 18determiant de la transposee, 25determinant (calcul), 18determinant (dimension), 21determinant (formule avec les per-

mutations), 25determinant (formule generale), 20determinant (n-forme), 20determinant d’un systeme de vec-

teurs, 25determinant d’une application lineaire,

25determinant de la transposee, 20determinant du produit, 21determinant nul, 21diagolasable, 28, 29diagonalisable, 30, 52diagonalisable , 29dimension (somme sous-espaces), 11dimension d’un espace vectoriel, 9distance, 44

89


droite, 16, 49

ellipse, 73endomorphisme, 6engendre (sous-espace), 5espace dual, 16espace euclidien, 43espace hermitien, 43espace vectoriel, 4euclidien, 43

forme bilineaire, 43, 64forme lineaire, 16forme quadratique, 64, 66formule du binome, 35

generateur, 5Gauss (algorithme), 66Gram, 51Gram-Schmidt, 50groupe orthogonal, 58groupe symetrique, 23

Hamilton-Cayley (theoreme), 38hermitien, 43hyperbole, 74hyperlan, 16hyperplan, 48

image, 6inegalite de Cauchy-Schwarz, 45independants (vecteurs), 5indices de Sylvester, 67inverse d’une matrice (formule), 26isometrie, 57, 58, 60–62

lies (vecteurs), 5libre (systeme), 5

matrice (formule de l’inverse), 26matrice colonne, 6matrice dans une base, 14matrice de Gram, 51

matrice de passage, 15matrice des cofacteurs, 26matrice diagonale, 28matrice orthogonale, 58matrice triangulaire, 31, 32matrices semblables, 15

n-forme, 17niloptent, 32nilpotent, 32, 35nombre d’inversion d’une permuta-

tion, 24normal unitaire, 48norme, 44norme euclidienne, 45norme hermitienne, 45noyau, 6

operateur, 6orientation, 27orthogonal, 47orthogonaux, 47orthonormalisation, 50

parabole, 75permutation, 23plan, 49polynome caracteristique, 28produit scalaire, 16, 43, 45produit vectoriel, 16projection, 53, 54projection orthogonale, 53, 54Pythagore, 48, 54

rang, 12rang d’un systeme de vecteurs, 12rang d’une matrice, 12rotation, 60–62

scinde, 30, 34, 35signature d’une forme qudratique,

67


signature d’une permutation, 24similitude, 71somme de sous-espaces, 5somme de sous-espaces (dimension),

11somme directe, 11, 28, 29somme directe de sous-espaces propres,

30somme-othogonal, 48sous-espace engendre, 5sous-espace propre, 28sous-espace vectoriel, 4sous-espace, caracterisation, 4sous-espaces suplementaires, 11spectral, 52stationnaire, 39, 41Sylvester (base), 69Sylvester (indices), 66, 69symetrie orthogonale, 58, 60–62symetrique, 16, 52systeme de Cramer, 26systeme homogene, 7, 9systeme orthogonal, 47syteme orthonorme, 47syteme lineaire, 6–8

theoreme du rang, 12trace, 59transposition, 23trigonalisable, 31, 32, 34, 35

valeur propre, 28vecteur normal, 48vecteur propre, 28

Documents

Table des matièresmorame/SYM03/Diag86P… · Univ.-Nantes, SYM03 4 1 Rappels sur les bases de l’Algèbre linéaire 1.1 Les espaces vectoriels 1.1.1 Les définition On se donne