L3 et Magistere de Physique Universite Paris-Sud

Examen de Physique statistique

Mardi 15 Mai 2012

Duree de l’epreuve : 3 heures.

L’utilisation de documents, telephones portables,. . . est interdite. Calculatrices autorisees.

Recommandations :Lisez attentivement l’enonce et redigez succintement et clairement votre reponse.Verifiez vos calculs (analyse dimensionnelle, etc) ; n’oubliez pas de vous relire.

Pensez aux informations en annexe.

Bareme indicatif :Exercice 1 : 4 pts. Exercice 2 : 11 pts. Exercice 3 : 4 pts (+ bonus).

Presentation et clarte de la redaction : 2 pts.

1 Ferromagnetisme – Loi de Bloch

Un materiau ferromagnetique est caracterise par l’existence d’une aimantation spontanee endessous de la temperature de Curie Tc. Le probleme vise a etudier le comportement de bassetemperature de l’aimantation. Une facon de decrire la destruction de l’ordre magnetique estd’analyser le role des fluctuations d’aimantation : celles-ci peuvent s’interpreter en termesd’ondes de spin, correspondant a des modulations globales de l’aimantation (des modes col-lectifs). Ces modes sont appeles des modes de magnons et sont caracterises par une relation dedispersion :

FER ROM A G NET ISM I N R ARE - EAR T H G R 0 U P V A AND V I A 1035

obtained with solid ingots in the solid solution system Gd4(SbxBh_x)a are shown in Table L The resistivity vs temperature curves for Gd4Bia and Gd4Sba are shown in Fig. 3. At the high-temperature end one obtains values of the resistivity which are not too different from those measured in Gd metal (p= 130-140 ,uQ cm) .6,6 The slope of the curves indicates a metallic conduction mechanism. Table I gives the slope of the curves above the Curie temperature that can be interpreted as the temperature dependence of the phonon part in the resistivity. The magnetic scat-tering part pm has been determined in the usual way, by linear extrapolation of the high temperature part to T= OaK and subtracting the residual resistivity Pres.

160r---------------,

o 0.1 02 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 (T/Tc )3/2

FIG. 4. Saturation magnetization of Gd metal and Gd4 (SbxBi1_x)s compounds compared with the Tl law (solid lines). For Gd metal u oo/2 has been plotted.

All samples are ferromagnetic at low temperatures. Their magnetization approaches the saturation value Uoo,T (at T=const) as UH.T=uoo ,T(1-a/H) for field strength H between 5 and 25 kOe. The values of "a" are given in Table 1. As shown in Fig. 4, the saturation magnetization UcoT follows the simple spin-wave law

to remarkably high temperatures, similar to Gd metal. The absolute saturation moments, no per Gd atom, are lower than the value 7.0,uB expected for the 8S7/2

ground state, This deviation is probably due to the presence of second phase in the grain boundaries ob-servable by micro metallurgical techniques.

The ferromagnetic Curie temperatures Tc were de-termined by three different methods: by the classical method of Weiss and Forrer (W.F.), by extrapolating

5 R. V. Colvin, S, Legvold, and F. H. Spedding, Phys. Rev. 120, 741 (1960).

6 P. W. Bridgman, Am. Acad. Arts. Sci. 82,83 (1953).

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Figure 1 – Aimantation M(T ) enfonction de la temperature pour diversmateriaux (Gd et Gd4(SbxBi1−x)3).Figure tiree de F. Holtzberg et al, � Fer-romagnetism in rare earth group VA andVIA compounds with Th3P4 �, J. Appl.Phys. 35, 1033 (1964).

ω~k ∝ ~k2 . (1)

Les quanta de ces modes sont appeles des � magnons � 1.On peut donc interpreter l’excitation du materiau entermes d’un gaz de particules libres (les magnons).Les etats quantiques a une particule sont des ondesplanes, reperees par une impulsion ~p = ~~k, d’energieε~k = ~ω~k. La densite d’etats correspondante (des etatsa une particule) est

ρm(ε) = V Ad εd2−1 (en dimension d) (2)

ou V est le volume. Les magnons representent des ex-citations : ce sont donc des bosons caracterises parun potentiel chimique nul µmagnon = 0 , puisque leur

nombre n’est pas contraint.

1/ Rappeler l’expression de la distribution de Bose-Einstein nBE

~kdonnant le nombre moyen de magnons

dans un etat d’energie ε~k. Exprimer le nombre moyen

de magnons Nm excites a une temperature T sous laforme d’une integrale (sans la calculer).

Chaque magnon represente une excitation (fluctuation d’aimantation) diminuant l’aiman-tation moyenne M(T ). On admet que l’ecart a l’aimantation maximale du cristal, atteinte a

1Les magnons sont analogues aux phonons decrivant les quanta d’excitation de vibration des atomes du cristal,ou aux photons decrivant les quanta d’excitation du champ electromagnetique.

1

T = 0, est proportionnel au nombre de magnons excites :

δM(T )def= M(0)−M(T ) ∝ Nm . (3)

2/ Loi de Bloch.– On se place en dimension d = 3.

a) Calculer explicitement Nm en fonction de V , T et de la constante A3.

b) Deduire le comportement en temperature de M(T ). Tracer son allure (facultatif : comparerau resultat de champ moyen vu en cours). Quelle est la validite de ce traitement ?

c) Commenter la courbe experimentale (figure 1).

3/ Theoreme de Mermin-Wagner.– Que devient le nombre moyen de magnons excites Nm

pour les dimensions d = 2 et d = 1 ? Qu’en deduire sur l’existence de la phase ferromagnetiqueen fonction de la dimension ?

2 Gaz d’electrons bidimensionnel

A. Prelude.– On considere un systeme de fermions sans interaction. On note |λ 〉 les etatsstationnaires individuels et ελ la valeur propre de l’energie associee (etats a une particule). Lesfermions sont en contact avec un thermostat/reservoir de particules fixant la temperature T etle potentiel chimique µ.

1/ Rappeler la definition de la grande fonction de partition Ξ(T, µ). Quelle est la relation entreΞ(T, µ) et la grande fonction de partition associee a un etat individuel ξλ ?

2/ Calculer explicitement ξFλ pour des fermions. Deduire l’expression du grand potentiel J(T, µ),

exprimee comme une somme sur les etats individuels.

3/ Comment deduire le nombre moyen de particules NG

(T, µ) et l’occupation moyenne d’unetat individuel nλ ? Calculer explicitement nF

λ . Tracer l’allure de ce dernier en fonction de ελpour deux temperatures T et T ′ > T , et meme µ.

4/ On suppose maintenant que les etats individuels forment un continuum d’etats dont ladensite d’etats est une loi de puissance ρ(ε) = K εα−1, ou K est une constante sans importanceici. Montrer qu’il existe alors une relation entre le grand potentiel et l’energie moyenne :

J = − 1

αE

G. (4)

B. Gaz d’electrons bidimensionnel.– Grace a la technique d’epitaxie par jet moleculaireil est possible de deposer des atomes couche atomique par couche atomique. En realisant ainsiune interface tres reguliere entre deux semiconducteurs GaAs et GaAl1−xAsx, on cree un puitsde potentiel electrostatique qui piege des electrons a cette interface. On forme ainsi un gazd’electrons libres bidimensionnel, dont nous etudions ici les proprietes.

1/ Densite des etats a un electron.– Les etats quantiques a un corps sont des ondes planes

d’energie ε~k = ~2~k 2

2m∗, ou m∗ est la masse effective dans le semiconducteur. Dans l’approche

semiclassique, calculer la densite d’etats ρ(ε) pour des electrons confines dans une surface A.

Indication : On pourra d’abord considerer la densite d’etats integree Φ(ε) =∫ ε

0 dε′ρ(ε′).

2/ En supposant que le gaz est en contact avec un reservoir qui fixe sa temperature, T , et son

potentiel chimique, µ, donner l’expression du nombre moyen d’electrons NG

(T, µ,A).

Jusqu’a la fin du probleme, nous nous placons a la limite thermodynamique, NG → N , etc.

2

3/ Potentiel chimique

a) Calculer N en fonction de µ pour T = 0. Donner l’expression de l’energie de Fermi, dont on

rappelle la definition, εFdef= limT→0 µ(T, n), ou n

def= N/A est la densite. Aurait-on pu deviner

(en partie) cette expression en utilisant l’analyse dimensionnelle ?

b) Calculer l’integrale de la question 2 ∀T . Montrer que le potentiel chimique est :

µ(T, n) = kBT ln(eTF /T − 1

)ou TF

def= εF /kB . (5)

c) Analyser les comportements limites de haute temperature puis de basse temperature de µ(T, n)(en particulier, identifier l’ordre en T de µ(T, n)−µ(0, n)). Pour quelle temperature le potentielchimique s’annule-t’il ?

d) Tracer soigneusement µ(T, n) en fonction de T .

4/ Equation d’etat.

a) Quel comportement attend on pour la pression p a basse densite n→ 0 (sans calcul) ?

b) Expliciter la relation (du A) entre l’energie E et le grand potentiel J . Deduire que l’equationd’etat est

p =m∗π~2

∫ ∞0

dεε

eβ(ε−µ) + 1(6)

c) En utilisant la formule de l’annexe, montrer que le developpement de basse temperature del’equation d’etat est de la forme

p = p0

(1 + a

(T

TF

)2

+ · · ·

)(7)

ou l’on exprimera p0 en fonction de n et l’on precisera la valeur de a.

d) L’equation (7) s’applique-t’elle dans la limite de

Figure 2 – Tension de Hall (en µVolts)en fonction du champ magnetique (enGauss) pour un courant I = 12 nA ;donnees fournies par Meydi Ferrier.

basse ou haute densite ?

e) Tracer l’isotherme (tracer p en fonction de 1/n,qui joue le role d’un � volume �). Comparer a l’iso-therme du gaz parfait classique, que l’on represen-tera sur le meme diagramme. Quelle est l’originephysique de la difference ?

5/ Application numerique : il est facile de me-surer la densite du gaz en analysant l’effet Hall :on fait passer un courant electrique I dans une di-rection et on mesure la tension de Hall VH dans ladirection perpendiculaire.

a) La resistance de Hall est definie par RHdef= VH/I.

Calculer RH/B en utilisant les donnees de la fi-gure 2 (Attention : l’unite de champ magnetiquedu S.I. est 1 Tesla= 104 Gauss). Deduire la densiteen utilisant que RH = B/(n|qe|).b) Calculer le vecteur de Fermi kF (en nm−1) puis

l’energie de Fermi (en eV) : εF =~2k2F2m∗

; on donne la masse effective (AsGa) m∗ = 0.067me.

c) Deduire la temperature de Fermi TF (en K). Comparer aux temperatures de Fermi des metaux3D usuels (Cu, Ag, etc).

3

3 Modele d’Ising unidimensionnel

On etudie le modele d’Ising unidimensionnel decrivant une chaıne de N � spins � avec interactionferromagnetique, J > 0 , entre plus proches voisins. L’hamiltonien du systeme est

H({σi}) = −JN−1∑i=1

σi σi+1 avec σi = ±1 . (8)

1/ Pouvez-vous decrire les microetats de la chaıne ? Combien en existe-t’il ?

2/ Quel est l’etat fondamental de la chaıne (a T = 0) ?

3/ Fonction de partition.a/ Quelle est la fonction de partition Z1 pour un spin ?

b/ Montrer que la fonction de partition canonique de la chaıne de N spins obeit a une equationde recurrence

ZN = 2 ch(βJ)ZN−1 . (9)

Deduire l’expression de ZN .

4/ Calculer l’energie moyenne canonique EC

puis la chaleur specifique C(T ). Analyser les com-portements limites de cette derniere ; quelle est l’origine physique du comportement de bassetemperature ? Tracer soigneusement l’alllure de C(T ) en fonction de T .

Les dernieres questions sont plus difficiles ; elles sont facultatives (points en Bonus)

5/ Fonction de correlation.– Dans cette question, nous souhaitons calculer la fonction de

correlation entre deux spins G (n)def= 〈σi σi+n〉. Pour cela on introduit un Hamiltonien avec N−1

couplages distincts

H({σi}) = −N−1∑i=1

Ji σi σi+1 . (10)

On note ZN la fonction de partition canonique associee.

a) Montrer que 〈σi σi+1〉 = 1

βZN

∂ZN∂Ji

∣∣∣Ji=J

(attention, 〈· · ·〉 est la moyenne canonique associee a

H et non H).

b) Montrer que

G (n) =1

βnZN

∂nZN∂Ji∂Ji+1 · · · ∂Ji+n−1

∣∣∣Ji=J

. (11)

c) Calculer explicitement ZN en vous inspirant de la methode de la question 3.

d) Deduire l’expression de la fonction de correlation. On introduit la longueur de correlation ξ(T )en ecrivant G (n) = exp(−n/ξ(T )). Donner l’expression de ξ(T ). Analyser son comportement abasse temperature. Interpreter.

4

Annexe :• Volume de la sphere unite en dimension d : Vd = πd/2

Γ( d2

+1).

Quelques proprietes de la fonction gamma : Γ(z + 1) = z Γ(z) avec Γ(1/2) =√π et Γ(1) = 1.

• On donne l’integrale ∫ ∞0

dxxα−1

ex − 1= Γ(α) ζ(α) pour α > 1 (12)

ou ζ(α) =∑∞

n=1 n−α est la fonction zeta de Riemann. En particulier : ζ(1) =∞, ζ(3/2) ' 2.612,

ζ(2) = π2/6, ζ(5/2) ' 1.341, ζ(3) ' 1.202, ζ(4) = π4/90, etc.

• Soit nF(ε;T, µ) la distribution de Fermi-Dirac et ϕ(ε) une fonction reguliere ; on rappelle que∫ ∞dε ϕ(ε)nF(ε;T, µ) =

T→0

∫ µ

dε ϕ(ε) +π2

6(kBT )2 ϕ′(µ) +O(T 4) (13)

• Constante de Planck et de Boltzmann : ~ = 1.054× 10−34 J.s et kB = 1.38× 10−23 J.K−1

• Charge et masse de l’electron : |qe| = 1.60× 10−19 C & me = 0.9× 10−30 kg.Masse du proton : mp = 1.67× 10−27 kg.Vitesse de la lumiere : c = 3.0× 108m/s.

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