examen final 1102– CALCUL II TOUS Automne 2009 Professeur Local Téléphone ANDRÉ DUPONT A-520.9 4773 Jour Date Durée Heures Mardi 15 décembre 2009 2h30 9h30 à 12h00 Documentation

Questionnaire examen final

MTH1102

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Sigle et titre du cours Groupe Trimestre MTH 1102– CALCUL II TOUS Automne 2009

Professeur Local Téléphone ANDRÉ DUPONT A-520.9 4773 Jour Date Durée Heures Mardi 15 décembre 2009 2h30 9h30 à 12h00

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École Polytechnique de Montréal 2 Département de mathématiques et de génie industriel MTH1102 — CALCUL II Examen final — Automne 2009

QUESTION # 1 (10 points) a) Les champs suivants sont-ils conservatifs,

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1

22

, , ln ln

, , ln

y yF x y z i x z j z kx z

yF x y z y i x j kz

= + + + +

= + +

dans le domaine 0, 0, 0?x y z> > >

b) Pour chacun des champs donnés en a) obtenez, si elle est définie (c’est-à-dire, unique), l’intégrale curviligne (le travail)

2

1

P

PF dr•∫

entre les points 1(1,1,1)P et ( )2 2

2 ,3,P e e .


QUESTION # 1 (suite)




QUESTION # 2 (10 points) Un corps du premier octant est borné par les plans 0, 1, 0, 1, 0x x y y z= = = = = et à son sommet par la surface ( ),z f x y= , d’équation inconnue, interceptant le plan yz le long de la droite 1, 0 1z y= ≤ ≤ . Soit le champ

( ) ( ) ( ), , 2 3 4 2 8F x y z x i y j z k= − − + +

dont le flux à travers la face située dans le plan 1x = est α , et le flux à travers la face située dans le plan 1y = est β . Obtenez le flux de ce champ à travers la surface ( ),z f x y= , orientée vers le haut.

z

y

x

z = f (x,y)1

1

1






QUESTION # 3 (10 points) Soit S la surface (ouverte à sa base) de l’hémisphère

( )22 2 21 3 , 1 4x y z z+ + − = ≤ ≤

dont la normale au point ( )0,0,4 est k

. Obtenez le flux du champ

( ) ( )33

2 25, , 6 53

yxF x y z x e i xz j x z k −

= + + + +

à travers S . Suggestion : évaluer indirectement à l’aide d’un théorème approprié.






QUESTION # 4 (10 points) On a construit une rampe de planche à roulettes dont la section verticale C est une courbe appelée brachistochrone paramétrée par

( ) ( )( ) ( )( )2 sin 2 1 cos , 0 2 .r t t t i t j t π= − + + ≤ ≤

La section verticale de la rampe est illustrée ci-dessous. La partie hachurée de la figure est le support en bois de la rampe.

y

x0

C

a) Quelle est la longueur de C ? (Note : l’identité ( ) ( )21 cos 2 2sint t− = pourrait être utile.)

b) Calculez la courbure de C en chaque point et déterminez en quel(s) point(s) la

courbure est minimale et en quel(s) point(s) elle est maximale.

c) On veut repeindre le support en bois de la rampe. Pour ce faire, il est nécessaire de connaître l’aire de région S hachurée de la figure. Selon le théorème de Green, avec 0P = et Q x= , l’aire à l’intérieure d’une courbe fermée γ s’obtient par l’intégrale curviligne.

x j d rγ

•∫

(1)

Calculez l’aire de S en vous servant de la formule (1).






QUESTION # 5 (10 points) Soit le champ

( ) 2 2, ,F x y z y i y x j zk= − − +

et S la surface d’équation

( ) ( ) , 0 , 0 , 0z a x y a y x a y a a= − − ≤ ≤ ≤ ≤ >

dont la normale est dirigée vers le haut. Pour quelle valeur de a , la circulation

cF dr•∫

sera-t-elle nulle, c étant la frontière de S ? Note : Évaluer indirectement est plus court.










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