1Mecanique du Solide et des MateriauxExamen du Vendredi 13 fevrier 2009 : 8h30-11h30 Promotion 126

Avertissement

Les resultats principaux etant donnes dans les enonces, la notation tiendra compte de laqualite des justifications et des arguments developpes pour les etablir.

Partie A Ecrivez lisiblement votre nom sur chaque copie

La duree de lepreuve partie A est de 50 mn. Les copies de la partie A seront ramassees a` la finde ce delai.

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La partie A se compose de deux exercices obligatoires selon le tableau suivant :

Exercice 1 obligatoire 20 mn 3 points Emmanchement soudeExercice 2 obligatoire 30 mn 4 points Emmanchement en force

Partie B Ecrivez lisiblement votre nom sur chaque copie

La duree de lepreuve partie B est de 2h10

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La partie B intitulee La balle de ping-pong se compose dun proble`me en 3 parties toutesobligatoires .

Partie 1 obligatoire 60 mn 5 points Frappe faiblePartie 2 obligatoire 20 mn 3 points Frappe modereePartie 2 obligatoire 50 mn 5 points Frappe forte

Lisez comple`tement les enonces.

2Mecanique du Solide et des MateriauxExamen - Partie A - Promotion 126

Exercice 1 obligatoire : Emmanchement soude

La jonction des canalisations interieures dadduction deau seffectue par soudage dun manchon encuivre (longueur l, rayon interieur R) embote sur les tuyaux de cuivre (rayon exterieur R, epaisseure) de faible epaisseur ( eR

33) Quelle charge maximale de traction FT peut soutenir un tel assemblage ?

4) En prenant en compte la limite de resistance P de lacier :- Determiner la force demmanchement maximale admissible Fmax, puis la valeur du produit (l)max.- Determiner ensuite lecart de rayon max admissible.A quelle demi-longueur demmanchement lmin correspond-t-il ?

5) Lorsque la longueur L des tubes a` emmancher devient grande devant leur rayon R, les tubescomprimes manifestent une instabilite de flambement au dela` de la force critique FC = pi

2

4EIL2

, le mo-ment dinertie de flexion dun tube creux en paroi mince etant I = piR3e, et se courbent. Determinerla longueur Lmax maximale admissible pour utiliser la methode demmanchement en force.

4Mecanique du Solide et des MateriauxExamen - Partie B - Promotion 126

La balle de ping-pong

Lors de la frappe dune balle de ping-pong cette dernie`re secrase sur la raquette ou sur la tablelors de son rebond. Si la frappe est tre`s violente, on constate que la balle presente un renversementde sa courbure dans la zone de contact dont la bordure est materialisee par un pli tre`s marque. Nousanalyserons les differents regimes de contact en fonction de la force de frappe, sans chercher a` calculerde manie`re exacte les profils deformes associes. On supposera que la raquette et la table sont des plansindeformables.Pour fixer les valeurs numeriques de ces ordres de grandeur, on conside`re une balle de ping-pong derayon R=2 cm, depaisseur de coque h=500 m, de module dYoung E=1 GPa et de masse m=3 g.

Partie I : Frappe Faible

1) Determiner puis calculer le volume VM , la masse volumique du materiau constituant la ballede ping-pong et la vitesse du son c

E au sein du materiau.

Dans toute la suite on utilisera des ordres de grandeur, tous les prefacteurs, constantesmultiplicatives sans dimension, seront pris egaux a` lunite.

2) Etablir la relation R a2 entre le rayon a de laire du disque de contact et lecrasement Rsur le plan rigide P .

3) En estimant les ordres de grandeurs de la contrainte et de la deformation dans la zonelocale du contact de dimension caracteristique h, deduire lordre de grandeur de la force F E a3Rquil faut exercer pour realiser lecrasement de la sphe`re. En deduire levolution de F avec .

4) Deduire de lexpression de F lordre de grandeur de lenergie elastique stockee U en fonctionde F, .Sachant que la densite volumique denergie elastique est donnee par 12, VC etant le volume dans le-quel les deformations elastiques sont appreciables etablir une estimation de U fonction de F, a, , VC etdeduire de la comparaison de ces deux expressions lordre de grandeur de la profondeur e sur laquelleles deformations sont appreciables sous laire de contact.

5) On applique maintenant ce calcul statique au rebond sur la table dune balle possedant unevitesse incidente V . Estimer lecrasement maximal max au cours du rebond en raisonnant sur laconservation de lenergie. En deduire un ordre de grandeur du temps de contact en fonction deR, h, V et dune vitesse caracteristique dont on precisera la signification physique. Sous quelle hy-pothe`se cette estimation est-elle valide ? Calculer max et pour une balle de ping-pong impactant a`une vitesse V=10 cm.s1. Lestimation est-elle valide dans ce cas ?

6) Au vu des resultats ci-dessus, montrer que le regime F = f() obtenu est valide jusqua` lavaleur limite H = h

2

R de lecrasement. Donner la valeur numerique de H . Ce regime est-il observable

5experimentalement ?

Partie II : Frappe moderee

Au dela` de lecrasement H , h devient une longueur supplementaire a` prendre en compte dans leproble`me et le calcul de lenergie elastique stockee doit etre modifie en consequence.La calotte spherique ecrasee voit sa courbure passer de la valeur initiale 0 = 1R a` la valeur finale = 0 stockant une energie de courbure U. Dans le meme temps la longueur darc de la calottediminue jusqua` prendre la valeur 2a diame`tre de la zone de contact. Il lui correspond une energie decompression UC .

1) Donner lexpression de la deformation de contraction C de larc de calotte. Sachant que ladensite volumique denergie elastique est donnee par 12 deduire lexpression :

UC Eh3

R

de lenergie elastique de compression UC contenue dans la region de contact.

2) Sachant que la densite surfacique denergie de courbure est donnee par Eh32, en deduirelexpression :

U Eh3

Rde lenergie de courbure contenue dans la region de contact.

3) Determiner lecrasement L pour lequel ces deux energies ont le meme ordre de grandeur.Etablir lexpression de la loi F = f() dans lintervalle decrasement {H , L}.

4) Verifier que lon retrouve bien lenergie calculee en premie`re partie lorsque tend vers sa borneinferieure H .

Partie III : Frappe forte

1) On sinteresse maintenant au regime ou` lon frappe fortement sur la balle, h. En reprenantles estimations precedentes, laquelle des energies de compression et de courbure de la calotte devientpreponderante.

2) lexperience montre que la solution precedente avec un disque de contact devient instable (voirphoto ci-apre`s). La zone de contact flambe et la calotte se retourne vers linterieur en conservant sacourbure a` lexception dun pli annulaire de largeur l ou` se trouve localisee lenergie elastique. Quedeviennent alors les energies de compression et de courbure de la calotte.

3) On cherche a` determiner la taille l inconnue de ce pli. Etablir les estimations geometriquessuivantes de langle , du rayon de courbure et de la deformation du pli :

( R

)12 l(R

)12 2

6En deduire lenergie totale (extension et courbure) stockee dans le pli circulaire en fonction de lin-connue l, puis etablir lexpression suivante de l et verifier que l est toujours compris entre h et R.

l = h(R

)12

4) Montrer que lenergie elastique du pli est dordre :

U Eh22

R

et estimer la force F en remarquant que lenergie de courbure dans la calotte est negligeable. Verifierenfin que la configuration flambee est effectivement plus avantageuse du point de vue energetiquelorsque h.

5) A quels regimes de frappe correspondent les courbes 1,2,3 de la figure schematisant les resultatsrepresentes en echelle reduite ? Que represente la courbe 4 ?

6) Quelle ordre de grandeur de vitesse doit atteindre une balle de ping-pong pour flamber lors deson rebond ?