Avec E est un ensemble défini implicitement ou explicitement.
∗
∀ , ; ∗
= + ∗ + = ′ ∗
2 La Stabilité
,∗ ∀ , ; ∗
= + ∗ + = ′ ∗
Avec ∗ est une loi de composition interne dans E et ⊆
5 L’associativité :
∗ ∗ = ∗ ∗
= + ∗ + = ′ ∗
Avec ∗ est une loi de composition interne dans E .
6 La commutativité :
7 L’élément neutre :
′éé ,∗
∃! , ∀ ∗ = ∗ =
8 L’élément neutre - Avertissement
,∗
′éé ,∗
′éé
9 La Symétrie :
= + ∗ + = ′ ∗
Avec ∗ est une LCI dans E. e est l’élément neutre dans (,∗).
L’élément a’ est unique dans E.
10 Le symétrique d’un composé :
∗ = ∗ ()
∗ ′ = ′ ∗ ′
= + ∗ + = ′ ∗
Avec ∗ est une loi de composition interne associative dans E. e est
l’élément neutre dans (,∗). a et b sont deux éléments de E.
11 L’élément régulier d’une LCI :
Quelques soient x et y dans E. Pour toute LCI ∗ dans E.
éé é ,∗
∗ = ∗ = ∗ = ∗ =
= + ∗ + = ′ ∗
12 L’Homomorphisme :
13 L’Isomorphisme :
4 La Stabilité – Avertissement :
∗
= + ∗ + = ′ ∗
Des Fiches mnémotechniques – Structures Algébriques – Résumé du
cours - proposées par Badr Eddine El Fatihi – Ouarzazate 2020 -
page 016
3 La stabilité conserve
= + ∗ + = ′ ∗
14 L’Homomorphisme conserve la stabilité :
,∗ ,
,
17 L’Homomorphisme et l’élément neutre :
,∗ ,
′ ,∗
′
,
,∗ ,
′ = (,∗)
′ =
,
19 La structure de groupe :
,∗
∗ ∗ ∀ ,∗ ∃! = ′ ,∗
= + ∗ + = ′ ∗
,∗ é
,∗ ∗
= + ∗ + = ′ ∗
Groupe abélien = Groupe commutatif
,∗
= + ∗ + = ′ ∗
20 Le sous-groupe d’un groupe :
,∗ −
,∗
⊆ ; ≠ ∅
= + ∗ + = ′ ∗
22 La structure d’Anneau :
prp = par rapport
= + ∗ + = ′ ∗
,∗ ,
= + ∗ + = ′ ∗
23 Diviseurs de Zéro dans un anneau
é ,∗ ,
∃ , ≠ = =
= + ∗ + = ′ ∗
Avec A ,∗ , est un anneau. e est l’élément neutre de la loi ∗ . et
≠ .
24 Anneau intègre :
∀ ,
= + ∗ + = ′ ∗
25 La structure de corps :
,∗ ,
∀∗ , ∃! ′ =
= + ∗ + = ′ ∗
Le mot unitaire veut dire que T admet un élément neutre (appelé
souvent l’unité) dans K. Avec e est l’élément neutre de ∗ dans K.
et ∗ = \{}
,∗ ,
,∗
= + ∗ + = ′ ∗
∗ ()
= ,∗ = ,
′ = ′ = ()
la structure de groupe :
21 L’Homomorphisme conserve
∗ ,∗
l’associativité :
∗ ,∗
= + ∗ + = ′ ∗
16 L’Homomorphisme conserve
Des Fiches mnémotechniques – Structures Algébriques – Résumé du
cours - proposées par Badr Eddine El Fatihi – Ouarzazate 2020 -
page 017
26 Caractérisation des corps :
,∗ ,
∗ , à ∗
= + ∗ + = ′ ∗
Abélien signifie commutatif. e est l’élément neutre de ∗ dans K. ∗
= \{}.
27 Espace vectoriel réel :
,∗ é
∗ = ∗ =
∗ = ∗ =
= + ∗ + = ′ ∗
Avec sont deux éléments de . et sont deux éléments de E.
28 Famille génératrice :
∀ , ∃ ,
= +
= + ∗ + = ′ ∗
29 Dépendance & indépendance :
∃ , ∗ + =
= + ∗ + = ′ ∗
,
∀ ,
+ = = =
= + ∗ + = ′ ∗
30 Caractérisation des SEV :
∀ , ∀ ,
+
= + ∗ + = ′ ∗
sev = sous-espace vectoriel. avec (, +,) est un R-espace vectoriel.
et ⊆ .
31 Base d’un espace vectoriel :
,
∀ , ∃! ,
= +
32 La dimension d’un esp vectoriel :
′ éé ′ ′
′ . é = ∗.
= + ∗ + = ′ ∗
33 Espace vectoriel de dim fini E=R² :
,
= + ∗ + = ′ ∗
,
,
34 Calcul du Déterminant d’une Matrice:
=
=
=
= −
+
−
= + ∗ + = ′ ∗
è + − + − + − + − +
Des Fiches mnémotechniques – Structures Algébriques – Résumé du
cours - proposées par Badr Eddine El Fatihi – Ouarzazate 2020 -
page 018
Nombres Complexes
= ′
+ ′ = + ′
+ ′ = + ′
= + ∗ + = ′ ∗
Avec est un réel.
36 affixe d’un vecteur dans le plan :
Ça s’écrit aussi sous : = − .
Et encore : + = + . Avec est un nombre réel.
= −
+ = +
= + ∗ + = ′ ∗
, é
−
−
37 Colinéarité de trois points :
38 Affixe d’un Barycentre :
= ; =
40 Relations de conjugaison :
+
41 Distribuer la conjugaison :
+ ′ = + ′
× ′ = × ′
Avec P est un polynôme à coefficients réels.
42 Module d’un nombre complexe :
= × =
+
× ′ = × ′
≡ −
≡
≡
≡ ;
, ≡ −
−
, ≡
; ≠
≠
Des Fiches mnémotechniques – Nombres complexes – Résumé du cours -
proposées par Badr Eddine El Fatihi – Ouarzazate 2020 - page
018
35 Parties réelle et imaginaire :
= =
= − =
= + ∗ + = ′ ∗
39 Conjugué d’un nombre complexe :
= + = −
= + ∗ + = ′ ∗
= ′
= ′
= + ∗ + = ′ ∗
45 Colinéarité de deux vecteurs :
é
46 Parallélisme :
−
−
47 Perpendicularité :
⊥
−
−
48 Points cocycliques :
−
, , , é , , ,
= + ∗ + = ′ ∗
Avec A,B,C et D sont différents 2à2.
49 Formules d’Euler :
= =
+
≤≤−
On dit que z est une racine nième du nombre complexe a.
51 Zéros d’un polynôme :
é
ô + + =
+ = −
52 Translation :
53 Homothétie :
= + ∗ + = ′ ∗
54 Rotation :
= + ∗ + = ′ ∗
55 La transformation φ(z) = az + b :
= ≡
= + ∗ + = ′ ∗
\ ; ≡
−
= ≡
−
= ≡ = ;
≡
−
44 Forme trigonométrique - exponentielle :
− = +
=
= + ∗ + = ′ ∗
Des Fiches mnémotechniques – Nombres complexes – Résumé du cours -
proposées par Badr Eddine El Fatihi – Ouarzazate 2020 - page
020
Arithmétiques Dans Z 56 PGCD & PPCM
= ∧
′
= + ∗ + = ′ ∗
= ∨
′ ≥
∧ = ∧
∨ = ∨
∧ ∨ =
∧ = ∧
= + ∗ + = ′ ∗
Avec a, b et c sont des éléments de . et n est un élément de
∗.
57 Réduction de a Λ b = d :
= ∧ ∃ , ;
= =
∧ =
Avec a et b sont deux éléments de ∗.
Avec a et b appartiennent à .
= ∧ ∃ , ; = +
= + ∗ + = ′ ∗
59 PGCD & PPCM
∧ = ∃ , ; + =
= + ∗ + = ′ ∗
Avec a et b appartiennent à ∗ .
61 Théorème de Gauss :
Avec a, b et c sont des éléments de ∗.
62 Le produit diviseur :
63 Nombres premiers entre eux :
∧ = ∧ =
∧ =
= + ∗ + = ′ ∗
∧ = ∧ =
= + ∗ + = ′ ∗
Avec a, b et c sont dans ∗. Et m et n sont dans ∗.
64 L’équation ax + by = c :
+ =
= + ∗ + = ′ ∗
Avec a, b et c sont dans ∗.
65 Division Euclidienne :
= + ≤ <
= + ∗ + = ′ ∗
66 La relation modulo (≡) :
= + ∗ + = ′ ∗
Avec a, b deux entiers relatifs .
58 Algorithme d’Euclide :
Avec a, b, c et d sont des éléments de . Et ≠ 0.
∧ = ∧
= + ∗ + = ′ ∗
Des Fiches mnémotechniques – Arithmétiques dans Z – Résumé du cours
- proposées par Badr Eddine El Fatihi – Ouarzazate 2020 - page
021
67 modulo est une relation d’équivalence :
≡ ; ∀
≡ ≡
≡
≡ ≡
Avec a, b deux relatifs et n un entier naturel non nul.
68 Division Euclidienne vs modulo :
≡
ê
= + ∗ + = ′ ∗
Avec a, b et n sont des entiers naturels non- nuls.
70 Réduire une égalité modulo n :
≡ ≡
∧
= + ∗ + = ′ ∗
Avec a, b et c sont dans ∗. Et ∗ .
+ = +
× = ×
= + ∗ + = ′ ∗
Avec : , .
≡ =
= + ∗ + = ′ ∗
Avec : , , ∗ .
74 Nombres premiers entre eux dans P :
,
= + ∗ + = ′ ∗
75 Le premier qui divise un produit :
= + ∗ + = ′ ∗
Avec a et b sont deux entiers relatifs non nuls.
76 Théorème de Fermat (Forme Générale) :
= + ∗ + = ′ ∗
69 La relation modulo est compatible
avec l’addition et la multiplication
Avec a, b, d et d sont dans . Et ∗ ; .
≡
≡
= + ∗ + = ′ ∗
≡ ≡
= + ∗ + = ′ ∗
× ×
premiers :
Des Fiches mnémotechniques – Arithmétiques dans Z – Résumé du cours
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022
71 Réduire une égalité modulo :
/ = ; ; ; ; −
= ; ≡
= + ∗ + = ′ ∗
Avec : ∗ ; ; 0 ≤ ≤ − 1 .
73 Certificat de primalité :
Avec : ∗.
é à
= + ∗ + = ′ ∗
2 3 5 7 11 13
17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103
107 109 113
79 PGCD & PPCM :
= ;
= ;
80 Nombres de diviseurs d’un entier :
′ = × ×
+ + +
= + ∗ + = ′ ∗
81 L’équation ax = b [n] dans Z :
Avec , et ∗
et = 0 +
∧ ; .
≡
∧
∧ =
Avec : , , ∗.
∧ =
∧ =
84 La division au carré :
Avec a et b sont deux entiers relatifs.
85 diviser le diviseur :
∧
Avec a et b sont deux entiers relatifs.
Des Fiches mnémotechniques – Arithmétiques dans Z – Résumé du cours
- proposées par Badr Eddine El Fatihi – Ouarzazate 2020 - page
023
86 Le produit exponentiel :
Avec a, b et n sont des entiers naturels. ≠ 0
=
=
=
, , , , , , , , .
= + ∗ + = ′ ∗
Avec : , et ∗.
83 Produit d’entiers consécutifs :
87 La partie entière E(x)
= ≤ < + 1 ; ∀
≤ < + ; ∀
∀ ∀
+ − =
− ∉
+ ≤ + ≤ + +
≤ − ≤ − ; ∀∗
≤ < + ; ∀∗
≤
≤ ; ∀ ; ∀
≡
≡
≡
Calcul De Probabilités 89 Hypothèse d’équiprobabilité :
Avec Ω = 1 , , est l’univers de toutes les éventualités possibles.
Les expressions qui montrent que l’hypothèse d’équiprobabilité est
vérifiée sont souvent : dé non truqué, boules similaires,
identiques, boules indiscernables au toucher.
′è
90 Probabilité d’un événement :
=
=
é
= + ∗ + = ′ ∗
Avec : A est un événement dans une expérience aléatoire et Ω est
l’univers de toutes les éventualités possible. Et l’hypothèse
d’équiprobabilité est vérifiée.
93 Probabilités composées :
= + ∗ + = ′ ∗
= ∩ + ∩
= ∩ + ∩
= + ∗ + = ′ ∗
=
92 Répétition d’un événement :
éè é é é ,
é é ′
éé é
= × × ( − )−
= + ∗ + = ′ ∗
Avec : = () avant de répéter l’expérience n fois.
Des Fiches mnémotechniques – Calcul de Probabilités – Résumé du
cours - proposées par Badr Eddine El Fatihi – Ouarzazate 2020 -
page 024
91 Dénombrer le card(Ω) :
=
éé.
= !
=
1 1 35 7 7 21 21 35
20 1 1 6 6 15 15
1 1 5 5 10 10
1 1 4 4 6
1 1 3 3
95 Variable aléatoire :
é é
= + ∗ + = ′ ∗
Avec Ω est l’univers de toutes les éventualités possibles dans une
expérience aléatoire Ω = 1 , , .
96 Loi de probabilité :
= =
′ é .
= + ∗ + = ′ ∗
′é é é
é :
= =
=
=
98 Variance & Covariance :
= −
=
=
é
=
() mesure le rapprochement ou l’éloignement des valeurs de autour
de la valeur moyenne .
99 Fonction de répartition :
= + ∗ + = ′ ∗
Avec est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé
Ω, .
Des Fiches mnémotechniques – Calcul de Probabilités – Résumé du
cours - proposées par Badr Eddine El Fatihi – Ouarzazate 2020 -
page 025
97 Espérance Mathématique :
=
= =
= + ∗ + = ′ ∗
100 Intersection et Réunion d’événements
∪ = ∩ = ∅
∪ ∩ = ∪ ∩ ∪
∩ ∪ = ∩ ∪ ∩
∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪
∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∩
∪ = ∩ ∩ = ∪
= ∩ ∪ ∩
104 La fonction exp(x)/x :
105 La fonction ln(x)/x :
106 La fonction xexp(x) :
+ ∗
→−∞
→+
→−∞
=
= + ∗ + = ′ ∗
N’apprenez surtout pas ces limites par cœur. La mémorisation de
l’allure de la courbe suffit pour en tirer les limites que vous
voulez
N’apprenez surtout pas ces limites par cœur. La mémorisation de
l’allure de la courbe suffit pour en tirer les limites que vous
voulez
N’apprenez surtout pas ces limites par cœur. La mémorisation de
l’allure de la courbe suffit pour en tirer les limites que vous
voulez
N’apprenez surtout pas ces limites par cœur. La mémorisation de
l’allure de la courbe suffit pour en tirer les limites que vous
voulez
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proposées par Badr Eddine El Fatihi – Ouarzazate 2020 - page
026
109 La fonction xln(x) :
= +∞
→
→
→+∞
= +∞ →+∞
=
107 La fonction tan(x) :
110 La fonction arctan(x) :
+
= +
∗ +
= ′ ∗
= +
∗ +
= ′ ∗
= +
∗ +
= ′ ∗
= +
∗ +
= ′ ∗
N’apprenez surtout pas ces limites par cœur. La mémorisation de
l’allure de la courbe suffit pour en tirer les limites que vous
voulez
N’apprenez surtout pas ces limites par cœur. La mémorisation de
l’allure de la courbe suffit pour en tirer les limites que vous
voulez
N’apprenez surtout pas ces limites par cœur. La mémorisation de
l’allure de la courbe suffit pour en tirer les limites que vous
voulez
N’apprenez surtout pas ces limites par cœur. La mémorisation de
l’allure de la courbe suffit pour en tirer les limites que vous
voulez
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027
113 Existence d’une primitive :
111 Formes indéterminées :
= ′ ∗
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028
119 Branches infinies :
→
à
→±∞
() =
à
→±∞
′
→±∞
′ ()
→±∞
à
→±∞
120 Continuité en un point :
121 Continuité d’une somme de fcts :
+
= + ∗ + = ′ ∗
() =
122 Continuité d’un produit de fcts :
×
= + ∗ + = ′ ∗
123 Continuité d’un quotient de fcts :
≠
= + ∗ + = ′ ∗
.
. ⊆
= + ∗ + = ′ ∗
124 Continuité d’une composition :
⊆
= + ∗ + = ′ ∗
125 TVI – version générale :
,
; ∃ , ; =
= + ∗ + = ′ ∗
; ; Selon la monotonie de la fonction .
126 TVI – version particulière :
,
≤ ∃ , ; =
= + ∗ + = ′ ∗
Des Fiches mnémotechniques – Analyse réelle – Résumé du cours -
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029
127 limites trigonométriques
128 Dérivabilité en un point :
é
= + ; ,
±
= + ; ,
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032
149 La suite récurrente = :
=
∞
lim ∞
′
159 Intégration et Ordre :
Avec : f continue sur et a et b appartiennent à .
Avec : continue sur et ≤ appartiennent à .
160 valeur médiane d’une fonction :
, ; ≤ ∀ , ; ≤ ≤
− ≤ ()
la fonction sur , .
161 Théorème de la médiane :
,
<
,
≤ =
Avec S est le solide de révolution de autour de (OX).
Et l’unité de mesure est × × .
163 Sommes de Riemann sur [a,b] :
∞
−
Avec : est continue sur , , < et ∗.
164 Sommes de Riemann sur [0,1] :
∞
157 Intégration par parties :
= − ′
Il faut faire attention à l’existence et la continuité des
fonctions et ’ sur l’intervalle , .
Des Fiches mnémotechniques – Analyse réelle – Résumé du cours -
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033
165 Intégrales indéfinies immédiates :
=
=
+ ;
− = + − + ; > 1
+ = + +
+ + ;
≠ − ≠
+ ; ≠
Des Fiches mnémotechniques – Analyse réelle – Résumé du cours -
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034
+ = + +
+ −
+ + ;
−
+ +
+
≠ <
− − − + ; ≠
+
+
+ = + + +
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035
− = −
+
+
+ =
+ + +
− = + − + ; >
− = −
−
+ ; >
+ ; <
+ −
+
–
+
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036
+
Des Fiches mnémotechniques – Analyse réelle – Résumé du cours -
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038
Enoncés des
ROYAUME DU MAROC
Dimanche 20 Décembre 2020
.
.
.
12 .
- 30 .
- 36 .
.
36 - 41 - 34 - 60 - 06
Bac Publique
Bac Privé
Bac Libre
1
a
Soit (1) l’aire de la portion du plan délimitée par la courbe (E)
et les
droites (OA) et (OM1). Et soit S l’aire de la portion délimitée par
les
droites (OA) et (OB) et la courbe (E).
Soit (, ) un élément de ∗ × ∗ et soit = (, ).
On pose : = = .
On suppose que le couple (, ) est une solution de l’équation
(E).
Vérifier que : 2 22 + 7 = 2 + .
En déduire que : + 1 2 = 2 + 8 .
Résoudre dans l’ensemble ∗ × ∗ l’équation (E).
Exercice Numéro 2 : (03,50 points)
Le plan est muni d’un repère orthonormé (, , ).
On considère la courbe (E) d’équation : = 3
4 16 − 2 .
Montrer que (E) est une partie d’une ellipse qu’on
déterminera.
Tracer la courbe (E).
Soit A(4,0) et B(0,3) deux points du plan.
Soit 1(1) un point de la courbe (E) tel que 1 soit dans
[0,4].
On pose 1 = 4(1) avec 0 ≤ 1 ≤ /2.
Par le changement de variable = 4 ; 0 ≤ 1 ≤ /2 ;
Montrer que : 1 = 61 − 3 sin 21 .
Vérifier que l’ordonnée du point M1 est 3sin(t1).
Royaume du Maroc
Examen National du
Coefficient : 9
Durée : 4 heures Ministère de l’Education Nationale De la Formation
professionnelle
& de la Recherche scientifique de l’Eseignement supérieur
Propositions de correction – 2003 Normale – 2BAC-SM – Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
041
On aimerait bien résoudre dans ∗ × ∗ l’équation (E) définie ainsi
:
2 2 + 7 = 2 +
En déduire que : = 1.
En déduire l’existence d’un entier naturel tel que :
2 + = 2 22 + 7 =
On considère l’intégrale suivante : 1 = 3
4 16 − 2
II
Propositions de correction – 2003 Normale – 2BAC-SM – Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
042
0,25
c
I
2 +
En déduire l’aire S.
Montrer l’équivalence suivante : 1 = /2 1 = /4
Déterminer les coordonnées du point M1 dans le repère (, , )
dans
le cas où 1 = /4 .
1ère partie : Soit = , = + −
; , 2
Montrer que E est une partie stable dans 2 ,× et dans 2 , + .
Montrer que , +,× est un anneau commutatif et unitaire.
Monter l’équivalence suivante : 2 + + 2 = 0 = = 0
Déterminer les éléments inversibles de l’anneau , +,× .
En déduire que , +,× est un corps communtatif.
2ème partie : Soit un élément de \ .
Monter que (1, ) est une base de l’espace vectoriel , +, .
Montrer que l’application est un isomorphisme de (E,+) vers
(C,+).
On considère dans l’équation suivante : 2 − + 1 = 0.
Résoudre dans cette équation et donner les solutions sous la
forme
exponentielle.
Montrer que l’application est un homomorphisme de (E,x) vers
(C,x).
Soit la courbe représentative de la fonction dans un repère
orthonormé , , avec : = = 2.
On considère l’application définie ainsi :
, + , +
, +
Soit la fonction numérique définie sur l’intervalle 0, +∞ par
:
= 4 ln
2 −
1
2
Rappel : , +,× est un corps commutatif : 0 = 0 ; 1 = 1
2 , +,× est un anneau unitaire : = 0 0 0 0
; = 1 0 0 1
0,25
0,25
0,75
0,25
0,50
0,50
0,25
0,25
0,75
0,75
0,50
0,25
I
1
2
3
1
2
3
4
d
e
f
a
b
c
0,50
Propositions de correction – 2003 Normale – 2BAC-SM – Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
043
4
b
III Soit la fonction numérique définie sur l’intervalle 0, +∞ par
:
Dresser le tableau de variations de la fonction .
Montrer que l’équation = 0 admet exactement deux solutions
tels que : 1 < < < < 3 .
Déterminer l’équation de la tangente (T) de la courbe (C) en x0 =1
.
Tracer la courbe (C) dans le repère (, , ).
= ln
2 −
1
2 ; ≥ 4
Soit la courbe représentative de la fonction dans un repère
orthonormé , , avec : = = 2.
Étudier les variations de la fonction .
Étudier la concavité de la courbe et montrer qu’il admet un
point
d’inflexion dont l’abscisse est 5
6 .
Comparer les quantités +1 selon les valeurs de la variable x.
En déduire la position relative de la courbe par rapport à +1
.
Montrer que l’équation = 0 admet exactement deux solutions
notées telles que : 1 < < < .
Montrer que la suite ≥4 est strictement décroissante.
En déduire que la suite ≥4 est convergente et donner sa
limite.
Puis déterminer les branches infinies de la courbe .
Calculer les limites : lim →0+
lim →+∞
Montrer que : ∀ 0, +∞ ; ′ = 4 1 − 2 ln
3
+ 1 ≤ 1
2 ≤ ln + 1 ≤
Montrer que : ∀ ≥ 4 ; − 1 3 −
2 ≤ ln ≤ − 1
En déduire que : ∀ ≥ 4 ; 2
2 ≤ − 1 ≤
6
2 ≤ − 1 ≤
= +∞
R1 : « La boule tirée de l’urne U est rouge »
B1 : « La boule tirée de l’urne U est bleue »
R2 : « La boule tirée de l’urne V est rouge »
B2 : « La boule tirée de l’urne V est bleue »
Exercice Numéro 1 : (03,50 points)
On dispose de deux urnes : la première, notée U, contient 4
boules
rouges et 4 boules bleues. La 2ème , notée V, contient 2 boules
rouges et
4 boules bleues. On considère l’expérience aléatoire suivante : «
On tire
au hasard une boule de l’urne U ; si elle est rouge on la range
dans
l’urne V puis on tire une boule de l’urne V, sinon on la mit à part
puis on
tire au hasard une boule de l’urne V » Soient les événements
suivantes :
1
b
Montrer que Γ est une ellipse de foyers 4 ′ −4 .
Royaume du Maroc
Examen National du
Coefficient : 9
Durée : 4 heures Ministère de l’Education Nationale De la Formation
professionnelle
& de la Recherche scientifique de l’Eseignement supérieur
Propositions de correction–2003 Rattrapage – 2BAC-SM –Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
044
Calculer les probabilités p(R1) et p(B1).
Calculer la probabilité de l’événement B2 sachant que R1 est
vérifié.
Calculer la probabilité de l’événement B2 sachant que B1 est
vérifié.
Calculer les probabilités p(B2) et p(R2).
Exercice Numéro 2 : (04,50 points)
Soit : = 5 cos + 3 sin ; 0 ≤ ≤ 2 .
Soit l’équation : 2 − 2 + 16 = 0 ;
Vérifier que : 2 − 3 cos + 5 sin 2 = 16 .
Résoudre dans l’équation (). On pose : 1 < 2 .
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (, ,
).
Soient 1 1 2 2 deux points du plan complexe.
Montrer que si varie sur 0,2 alors M varie sur un cercle
qu’on
déterminera.
Montrer que : ∀ , \ 4 + 4
− 4 = −
+ 4
Examen National du BACCALAURÉAT – Session Rattrapage 2003
Propositions de correction–2003 Rattrapage – 2BAC-SM –Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
045
4
b
Soient = 3 2 2
2 2 3 =
3 −2 2
−2 2 3
Rappel : , +,× est un anneau unitaire commutatif : 0 = 0 ; 1 =
1.
2 , +,× est un anneau unitaire : = 0 0 0 0
; = 1 0 0 1
Soit la fonction numérique définie sur par :
Soit la courbe représentative de la fonction dans un repère
orthonormé , , avec : = = 2.
En déduire que : 2 + 4
2 − 4 = −
1 + 4
1 − 4
2
Soit la droite : 3 cos + 5 sin = 15 .
Montrer que () est tangente à (Γ) en .
Montrer que : () ⊥ 12 .
2 ; 2 − 22 = 1
Vérifier que : .
Montrer que est une partie stable de 2 ,× .
Puis Montrer que × est une loi commutative sur .
Montrer que toutes les matrices de E sont inversibles par la loi
×.
Montrer que (,×) est un groupe abélien (commutatif).
On pose : 0 = 1 0 0 1
+1 = × ; ∀
Soient : = ; = −1 ; .
Vérifier que : ⊆ .
Montrer que ∪ est un sous-groupe de ,× .
= + − ; ∗
0,50
0,50
0,50
0,25
0,50
0,50
0,50
0,25
0,50
0,50
0,50
0,50
I
1
2
3
1
c
a
b
a
b
c
a
b
c
a
Propositions de correction–2003 Rattrapage – 2BAC-SM –Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
046
2 a
II
Montrer que la fonction admet une valeur minimale en un
nombre
réel que l’on déterminera en fonction de n.
lim →+∞
Calculer chacune des limites :
Étudier la position relative des courbes 1 2 .
Déterminer les branches infinies de la courbe .
Tracer dans le même repère les courbes 1 2 .
Calculer en fonction de l’intégrale suivante : = −2
0
Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation
de
2 autour de l’axe des abscisses un tour complet sur l’intervalle 0,
ln 2 .
Montrer que ∗ ∗ sont adjacentes puis déterminer leur
limite. Avec : = ; ∀ ∗ .
Soit la fonction numérique définie sur par :
Soit Γ la courbe représentative de la fonction dans un repère
orthonormé , , avec : = = 2.
= + ;
Étudier les variations de la fonction .
En déduire que l’équation = 0 admet une seule solution .
Montrer que les quantités − 1 + 1 ont le même signe.
Montrer que : 1 – ln 2 ; −1
2
Soit la fonction numérique définie sur l’intervalle −∞ ; −1
2 par :
Montrer que la fonction est décroissante sur l’intervalle −∞ ;
−1
2 .
− 1
Soit la suite numérique définie ainsi :
Montrer l’existence d’un réel tel que : ∀ ; +1 − 1 ≤ − 1 .
Montrer que la suite est convergente puis déterminer sa
limite.
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
1,00
0,50
1,00
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
3
4
5
1
2
3
5
b
b
a
b
a
b
a
b
a
1
a
Coefficient : 9
Durée : 4 heures Ministère de l’Education Nationale De la Formation
professionnelle
& de la Recherche scientifique de l’Eseignement supérieur
Propositions de correction – 2004 Normale – 2BAC-SM – Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
047
Soit : = =
1
Rappel : , +,× est un corps commutatif : 0 = 0 ; 1 = 1.
2 , +,× est un anneau unitaire : = 0 0 0 0
; = 1 0 0 1
Montrer l’implication suivante : 2 ≡ 1 8 .
Montrer l’implication suivante : 2 ≡ 4 8 2 ≡ 0 8 .
Prouver : , , 2 + 2 + 2 ′ é .
Montrer que : , , 2 + + ≡ 6 8 .
On pourra remarquer : + + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + + .
Prouver : , , 2 + + ′ é
. Prouver : , , + + ′ é .
Exercice Numéro 2 : (03,50 points)
Soit : = =
1
∗,× ,×
On considère l’application suivante :
Montrer que : ∀ , 2∗ ; × = × .
Montrer que est un homomorphisme de ∗,× vers ,× .
En déduire la structure algébrique de l’ensemble ,× .
Montrer que : ∀ , 2∗ ; × =
.
Montrer que ,× est un groupe. Avec = ∪ .
Le groupe ,× est-il commutatif ?
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,75
0,50
0,50
0,50
0,75
0,50
2
a
b
b
c
d
Examen National du BACCALAURÉAT – Session Ordinaire 2004
Propositions de correction – 2004 Normale – 2BAC-SM – Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
048
0,75
1
a
I
Soit : = = cos + sin ; − ≤ ≤ ≠ 2
3 ≠
−2
3 .
Soit la courbe représentative de la fonction dans un repère
orthonormé , , avec : = = 1.
Résoudre dans l’équation ainsi proposée : 2 + + 1 = 0 .
Vérifier que : 1 + + 2 = 1 + + .
On pose : ′ = 1
2 + + 1 = + ; , 2
Déterminer le module et un argument de ′ en fonction de .
Montrer que : 2 + 2 = 1 − 2 2 .
En déduire que ′ décrivent une hyperbole qu’on devrait
définir.
Exercice Numéro 4 : (10,00 points)
Soit la fonction numérique définie sur ∗ par : =
−
Calculer les limites de la fonction en +∞ ; −∞ ; 0− ; 0+
Étudier les variations de la fonction .
Déterminer les branches infinies de la courbe .
Tracer la courbe dans le repère , , .
+1 = 2 = − ; ∀
− 0 = 1
+ 1
+ 1
Montrer que la suite est convergente puis déterminer sa
limite.
Déterminer la limite de la suite ∗ .
Soit la suite suivante : =
−1
=0
0,75
0,75
0,75
0,50
0,50
0,50
0,50
0,25
0,25
0,25
0,50
0,75
0,75
0,50
II
2
b
c
d
2
a
1
3
1
2
3
4
b
a
b
a
b
Propositions de correction – 2004 Normale – 2BAC-SM – Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
049
1 a
− 0 = 2 ln 2
Soit la courbe représentative de la fonction dans un repère
orthonormé , , avec : = = 1.
Soit la fonction numérique définie sur 0, +∞ par :
∀ > 0 ; 1
= 2 ln 2 Vérifier que :
Montrer que : ∀ > 0 ; −32 ≤ − 2 ln 2 ≤ 0 .
∀ > 0 ; − < − − 1 ≤ 0 Montrer que :
= − ln 4
En déduire que est dérivable à droite en zéro.
Montrer que : ∀ ≥ 1 ; ≤ − .
Tracer la courbe dans le repère , , .
En déduire la limite suivante : lim →+∞
Montrer que est dérivable sur 0, +∞ puis calculer ′ () .
Dresser le tableau de variations de la fonction .
Soit la fonction numérique définie sur 0, +∞ par :
Montrer que : ∀ > 0 ; = − −4 ln 4 + − ln .
Calculer la limite suivante : lim →0+
− − − −4
0,25
0,50
0,50
0,25
0,25
0,50
0,75
0,50
0,50
0,50
0,50
0,25
III
2
3
4
5
b
a
b
a
b
a
b
c
a
b
c
Une urne contient dix boules blanches et dix boules rouges
indiscernable au toucher. On tire au hasard une boule de cette urne
; si
elle est rouge on la remet dans l’urne, et si elle est blanche on
la
substitue par trois boules rouges à rajouter dans l’urne à la place
de la
boule blanche exclue. Puis on tire une boule de l’urne.
1
a
Coefficient : 9
Durée : 4 heures Ministère de l’Education Nationale De la Formation
professionnelle
& de la Recherche scientifique de l’Eseignement supérieur
Propositions de correction–2004 Rattrapage –2BAC-SM– Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
050
Calculer la probabilité d’obtenir deux boules rouges.
Calculer la probabilité d’obtenir deux boules blanches.
Calculer la probabilité d’obtenir deux boules de couleurs
différentes.
Calculer la probabilité d’obtenir la 1ère boule tirée étant
blanche
sachant que la 2ème est de couleur blanche.
Exercice Numéro 2 : (03,00 points)
Résoudre dans × l’équation : 3 − 2 = 1 .
Montrer que le couple 14 + 3 ; 21 + 4 est une solution de
l’équation ; .
En déduire que les nombres 21 + 4 14 + 3 sont premiers
entre eux.
Soit : = 21 + 4 ∧ 2 + 1 , Montrer que : = 1 = 13 .
Montrer l’équivalence suivante : = 13 ≡ 6 13 .
On pose : ∀ ≥ 2 ; = 212 − 17 − 4 = 283 − 82 − 17 − 3 .
Montrer que les nombres A et B sont divisibles par − 1 .
Déterminer en fonction de n le , .
0,50
0,50
0,75
0,75
0,75
0,25
0,50
0,50
0,25
0,25
0,50
2
3
4
1
2
3
4
b
a
b
a
b
Examen National du BACCALAURÉAT – Session Rattrapage 2004
Propositions de correction–2004 Rattrapage –2BAC-SM– Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
051
1 a
Soit : =
−
Montrer que : ∀ ; ′ = 4 1 − ln 2 − ln 2 .
Soient les fonctions numériques définies respectivement
sur 0, +∞ par :
Soient les courbes représentatives des fonctions
resp dans un repère orthonormé , , avec : = = 4.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (, ,
).
Déterminer la nature de l’ensemble () .
Tracer l’ensemble () dans le cas où = 1 + .
Soit : = ; − − = 4 .
Déterminer la nature de l’ensemble () .
Tracer l’ensemble () dans le cas où = 1 + .
On considère le système suivant : 2 − 2 = 2 − 2
− − = 4 .
Montrer que si on pose = − alors le système () est équivalent à
:
′ = 4 + 2 3 − 8 2 = 0
Soit : = ; > 0 ; − ≤ ≤
Déterminer en fct de les points d’intersection de .
En déduire que l’intersection de contient trois points qui
forment un triangle équilatéral.
= 4 − ln 2 − 2 ; = ln 2
Calculer les limites suivantes :
Déterminer les branches infinies de la courbe .
0,50
0,50
0,75
0,25
0,75
0,75
0,50
0,75
0,50
0,75
2
3
I
b
a
b
a
b
c
a
1
2
a
b
0,75
Propositions de correction–2004 Rattrapage –2BAC-SM– Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
052
3
a
II
Tracer les courbes dans le même repère , , .
Dresser le tableau de variations de la fonction .
En déduire que 1 et 2 sont les seules solutions de l’équation =
0.
Étudier les branches infinies et la monotonie de la fonction
.
On considère l’équation = 0 < < 2
.
tels que : 1
2 < < .
Déterminer la valeur de k pour laquelle on ait : = = 0 .
Soit la fonction numérique définie sur par : = 4 − − 2
Vérifier que : ∀ ; ′ = 4 1 − − .
Dresser le tableau de variations de la fonction .
En déduire que l’équation = 0 admet exactement deux
solutions tels que : < 1
< .
0
.
En utilisant une intégration par parties, Montrer que :
Calculer l’intégrale en fonction de . =
∀ , + ∗ ;
0,75
0,50
0,75
0,75
0,50
0,50
0,50
0,75
0,75
0,75
0,50
0,75
4
1
2
3
4
5
b
b
a
b
a
b
a
b
c
Exercice Numéro 1 : (04,00 points)
Montrer que ∗ est une loi de composition sur l’ensemble E. 1
a
I
Coefficient : 9
Durée : 4 heures Ministère de l’Education Nationale De la Formation
professionnelle
& de la Recherche scientifique de l’Eseignement supérieur
Propositions de correction – 2005 Normale – 2BAC-SM – Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
053
Rappel : , +,× est un corps commutatif : 0 = 0 ; 1 = 1 .
2 , +, est un -espace vectoriel.
, ∗ , = +
2 ;
2 ; ∗
= , 2 ; 2 = 2 − 4 ≥ 2
∗,× ,∗
+ 1
Montrer que est un isomorphisme de ∗,× vers ,∗ .
En déduire que ,∗ est un groupe puis déterminer son élément
neutre.
Déterminer le symétrique de l’élément + 1
; −
; −
Montrer que ,∗ est un sous-groupe du groupe ,∗ .
Exercice Numéro 2 : (03,50 points)
Soit un entier naturel premier supérieur ou égal à 5.
Montrer que : 2 ≡ 1 3 .
Montrer que : ∃ ∗ ; 2 − 1 = 4 + 1 .
En déduire que : 2 ≡ 1 8 .
Montrer que : 2 ≡ 1 24 .
Soit ∗ ; ∧ 24 = 1 ; Montrer que : 2 ≡ 1 24 .
0,75
0,50
0,75
1,00
1,00
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
II
2
3
1
2
1
b
a
b
a
b
3
Examen National du BACCALAURÉAT – Session Ordinaire 2005
Propositions de correction – 2005 Normale – 2BAC-SM – Professeur
Badr Eddine ELFATIHI – +212660344136 – Ouarzazate 2020 – La page
054
0,50
Étudier la véracité du pr&eac
