Examen de mcanique du bton

Licence L3 - Sciences pour l'Ingnieur - Gnie civil, Gnie de l'habitat.

Universit Paul Sabatier - Toulouse 3

Session 1 - 2010

Erick Ringot

introduction

Au Laboratoire Matriaux et Durabilit des Constructions de Toulouse, les chercheurs mnent

des exprimentations de longue dure sur des poutres en bton arm. Chaque bti d'essai est constitu de

deux poutres associes par le biais d'un chevtre de prcontrainte mis en tension par serrage de tiges letes

(g.0.0.1).

Figure 0.0.1 deux poutres et leur chevtre

En raison du caractre viscolastique du bton, la

prcontrainte diminue au cours du temps ; l'exp-

rimentateur est alors priodiquement conduit re-

mettre en charge le bti ds que la prcontrainte

initiale prsente une perte de 5%, ce qu'il contrle

l'aide de jauges de dformation qui instrumentent

les tiges letes.

Le but de cette tude est d'laborer un modle sim-

pli pour valuer la priode coule entre la mise

en charge initiale et le premier resserrage des tiges.

Le problme est modlis selon le schma (g.0.0.3

).

hypothses

Figure 0.0.2 section transver-

sale

- Le comportement du bton arm est celui d'un matriau viscolastique

linaire et homogne. Sa loi de relaxation est donne par la fonction

R (t) = Ev + (Ei Ev) et avec Ei = 25GPa (module instantat),Ev = 10GPa (module dir), =

175 jour

1(facteur de viscosit).

- Les poutres, de section rectangulaire, prsentent une inertie quadratique

I = 50 000 cm4. Elles ont une longueur L = 3.00m (mesure entre lescales incompressibles places aux extrmits).

- Les deux tiges d'acier ont un diamtre s = 16mm et ont une longueurinitiale utile (distance entre les extrados des deux chevtres) gale H0 =80 cm. Le module lastique de l'acier est Es = 200GPa.

- La force initiale de prcontrainte dans le ressort (somme des eorts

normaux dans les deux barreaux) est gale F0 = 50 kN .

1

2- Hypothse des petites perturbations : on supposera que la che impo-

se chaque poutre reste petite devant les dimensions transversales (et

notamment devant H).

- On ngligera les dformations induites par les eorts tranchants (les plans de section droite reste droits,

c'est dire plans et perpendiculaires la bre moyenne).

notations

Figure 0.0.3 modlisation schmatique du problme

- F (t) : diminution de la force de prcontrainte etF (t) : force rsiduelle l'instant t (F (t) = F0 F (t)).

- v0 (x) = u0. (x) : champ de dplacement trans-versal initial d'une poutre (rduite sa ligne

moyenne) ; la fonction (x) est une fonction adi-mensionnelle caractrisant la forme de la dforme

alors que u0 est la che au milieu de chaque poutre(au droit du chevtre). On notera que, compte tenu

de la symtrie, (L2

)= 1.

- v (x, t) = u(t). (x) est l'augmentation du champde dplacement au cours du temps, le dplacement

total tant v (x, t) = v0 (x) + v (x, t) = [u0 + u (t)] . (x)

- (x, t) : champ de courbure tel que (x, t) = 2vx2

- (y, t) : contrainte normale dans un plan de section droite l'ordonne y et (y, t) la vitesse de dformationcorrespondante.

questions

1. Qu'est-ce qu'un produit de convolution ? Rappeler le rle de la fonction de relaxation dans un matriau

viscolastique.

2. Quelle est la transforme de Laplace-Carson de la fonction de relaxation dans le cas de ce problme.

3. Calculer la raideur k du ressort quivalent aux deux barres letes.

4. Etablir la relation entre la force rsiduelle F (t) et u (t)

5. Supposant F (t) connue, tablir le diagramme de moment chissant M (x, t) dans chaque poutre (onpourra se restreindre au domaine

[0, L2

]compte tenu de la symtrie).

6. Montrer que la relation (y, t) = (y, t)R (t) se traduit en M (x, t) = I. (x, t)R (t)7. Appliquer la transforme de Laplace-Carson (f (t) f+ (p)) l'quation prcdente et dmontrerla relation suivante :

x

2 (x)=R+ (p) .I.u+ (p)

F0 2ku+ (p) = (0.0.1)

8. Dans l'quation 0.0.1 la constante dnote qu'on a aaire en ralit deux quations indpendantes(l'une en x, l'autre en p). Intgrer l'quation 2 (x) = x dans l'intervalle

[0, L2

]et dduire comptetenu des conditions aux limites et de la symtrie. Montrer que la che initiale de chaque poutre est

donne par le rsultat bien connu : u0 =F0L

3

48Ei I. Par la suite on posera K0 =

48Ei IL3 .

9. Montrer que :

u+ (p) =F0

2k + IR+(0.0.2)

10. On pose :

= ou` =EvEi

+ 2kK01 + 2kK0(0.0.3)

3En utilisant le formulaire en n de sujet, montrer que :

u (t) = u01

1 + 2kK0

1

(1 et) (0.0.4)11. Application numrique : calculer les grandeurs K0, u0, , , (prendre garde aux units) Dduire lafonction u (t).

12. Calculer F (t) et en tracer la courbe. Au bout de combien de temps devra t-on retendre les barreauxaprs que la force ait perdu 5% de son intensit initiale ?

formulaire

transforme de Laplace-Carson de fonctions standard :

Fonction Transforme Fonction Transforme

f(t) f+(p) t 1p.f(t) .f+(p) tn n!pnDfDt p.f

+(p) eat pp+aH(t) 1 1 eat ap+a

H(t ) ep cost p2p2+2f(t ) f+(p).ep sint pp2+2si f(t) = 0 pour t 0 f(t).eat pp+af+(a+ p)(

DfDt g

)(t) f+(p).g+(p) (t)m.f(t) p dmdpm

(f+(p)p

)