Exercice 1 Partie I - mathematiques.ac.free.frmathematiques.ac.free.fr/IMG/pdf/Revision_Bac.pdf · Montrer que : si pour tout t ∈ [a ; b], f(t) 6g(t) alors Zb a f(t)dt 6 Zb a g(t)

http://mathematiques.ac.free.fr

Terminale S1(2014-2015) Revisions

Exercice 1 : Pondichery avril 2011

1

2

3

−1

1 2 3 4 5#”ı

#”

O

C1

C2

Partie I

Sur le graphique ci-contre, on a represente dans un repereorthonormal, les courbes C1 et C2 representatives de deuxfonctions f1 et f2 definies sur l’intervalle ]0 ; +∞[.On sait que :

– l’axe des ordonnees est asymptote aux courbes C1 etC2

– l’axe des abscisses est asymptote a la courbe C2– la fonction f2 est continue et strictement decrois-

sante sur l’intervalle ]0 ; +∞[– la fonction f1 est continue et strictement croissante

sur l’intervalle ]0 ; +∞[– la limite quand x tend vers +∞ de f1(x) est +∞.

Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat

indiquera sur la copie la reponse choisie. Aucune justification n’est demandee. Chaque reponse juste rapporte 0,5

point. Une reponse fausse ou l’absence de reponse n’est pas sanctionnee.

1 ) La limite quand x tend vers 0 de f2(x) est :

• 0 • +∞ • On ne peut pas conclure

2 ) La limite quand x tend vers +∞ de f2(x) est :

• 0 • 0,2 • On ne peut pas conclure

3 ) En +∞, C1 admet une asymptote oblique :

• Oui • Non • On ne peut pas conclure

4 ) Le tableau de signes de f2(x)− f1(x) est :

• x

f2(x) − f1(x)

0 +∞+

• x

f2(x) − f1(x)

0 +∞− • x

f2(x)− f1(x)

0 +∞0+ −

Partie II

On considere la fonction f definie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

f(x) = ln(x) + 1− 1

x.

1 ) Determiner les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de definition.

2 ) Etudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

3 ) En deduire le signe de f(x) lorsque x decrit l’intervalle ]0 ; +∞[.

4 ) Montrer que la fonction F definie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par

F (x) = xlnx− lnx est une primitive de la fonction f sur cet intervalle.

5 ) Demontrer que la fonction F est strictement croissante sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

6 ) Montrer que l’equation F (x) = 1− 1

eadmet une unique solution dans l’intervalle ]1 ; +∞[ qu’on note α.

7 ) Donner un encadrement de α d’amplitude 10−1.

Partie III

Soit g et h les fonctions definies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

g(x) =1

xet h(x) = ln(x) + 1.

1/23 7 juin 2015



1

2

3

−1

1 2 3 4 5#”ı

#”

O

Ch

CgA

P

t

Sur le graphique ci-contre, on a represente dans un re-pere orthonormal, les courbes Cg et Ch representatives desfonctions g et h.

1 ) A est le point d’intersection de la courbe Ch et del’axe des abscisses. Determiner les coordonnees dupoint A.

2 ) P est le point d’intersection des courbes Cg et Ch.Justifier que les coordonnees du point P sont(1 ; 1).

3 ) On noteA l’aire du domaine delimite par les courbesCg, Ch et les droites d’equations respectives x = 1

eet x = 1 (domaine grise sur le graphique).

a) Exprimer l’aire A a l’aide de la fonction f definie dans la partie II.

b) Montrer que A = 1− 1e .

4 ) Soit t un nombre reel de l’intervalle ]1 ; +∞[. On note Bt l’aire du domaine delimite par les droitesd’equations respectives x = 1, x = t et les courbes Cg et Ch (domaine hachure sur le graphique).

On souhaite determiner une valeur de t telle que A = Bt.

a) Montrer que Bt = tln(t)− ln(t).

b) Conclure.

Exercice 2 : Liban mai 2015

On considere la courbe C d’equation y = ex, tracee ci-dessous.

1

2

3

4

−1

−2

1 2−1−2−3−4−50

1

2

3

4

0 1 2

Pour tout reel m strictement positif, on note Dm la droite d’equation y = mx.

1. Dans cette question, on choisit m = e.

Demontrer que la droite De, d’equation y = ex, est tangente a la courbe C en son point d’abscisse 1.

2. Conjecturer, selon les valeurs prises par le reel strictement positif m, le nombre de points d’intersection de lacourbe C et de la droite Dm.

3. Demontrer cette conjecture.


On definit la suite (un) de la facon suivante :

pour tout entier naturel n, un =

∫ 1

0

xn

1 + xdx.

2/23 7 juin 2015



1. Calculer u0 =

∫ 1

0

1

1 + xdx.

2. (a) Demontrer que, pour tout entier naturel n, un+1 + un =1

n+ 1.

(b) En deduire la valeur exacte de u1.

3. (a) Recopier et completer l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche en sortie le terme de rang n de la suite(un) ou n est un entier naturel saisi en entree par l’utilisateur.

Variables : i et n sont des entiers naturelsu est un reel

Entree : Saisir nInitialisation : Affecter a u la valeur . . .Traitement : Pour i variant de 1 a . . .

|Affecter a u la valeur . . .Fin de Pour

Sortie : Afficher u

(b) A l’aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant :

n 0 1 2 3 4 5 10 50 100

un 0,693 1 0,306 9 0,193 1 0,140 2 0,109 8 0,090 2 0,047 5 0,009 9 0,005 0

Quelles conjectures concernant le comportement de la suite (un) peut-on emettre ?

4. (a) Demontrer que la suite (un) est decroissante.

(b) Demontrer que la suite (un) est convergente.

5. On appelle ℓ la limite de la suite (un). Demontrer que ℓ = 0.


Partie A - Restitution organisee de connaissances :

Soit a et b deux reels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ; b]. On suppose connusles resultats suivants :

•∫ b

a

[f(t) + g(t)] dt =

∫ b

a

f(t) dt+

∫ b

a

g(t) dt.

• Si pour tout t ∈ [a ; b], f(t) > 0 alors

∫ b

a

f(t) dt > 0.

Montrer que : si pour tout t ∈ [a ; b], f(t) 6 g(t) alors

∫ b

a

f(t) dt 6

∫ b

a

g(t) dt.

Partie B

Soit n un entier naturel non nul. On appelle fn la fonction definie sur [0 ; +∞[ par

fn(x) = ln (1 + xn)

et on pose In =

∫ 1

0ln (1 + xn) dx.

On note Cn la courbe representative de fn dans un repere orthonormal (O ; #”ı , #” ).

1. (a) Determiner la limite de f1 en +∞.

(b) Etudier les variations de f1 sur [0 ; +∞[.

(c) A l’aide d’une integration par parties, calculer I1 et interpreter graphiquement le resultat.

(Pour le calcul de I1 on pourra utiliser le resultat suivant :

pour tout x ∈ [0 ; 1],x

x+ 1= 1− 1

x+ 1)

2. (a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, on a 0 6 In 6 ln2.

3/23 7 juin 2015



(b) Etudier les variations de la suite (In)

(c) En deduire que la suite (In) est convergente.

3. Soit g la fonction definie sur [0 ; +∞[ par

g(x) = ln(1 + x)− x.

(a) Etudier le sens de variation de g sur [0 ; +∞[.

(b) En deduire le signe de g sur [0 ; +∞[. Montrer alors que pour tout entier naturel n non nul, et pourtout x reel positif, on a

ln (1 + xn) 6 xn.

(c) En deduire la limite de la suite (In).

Exercice 5 : Vrai ou Faux

Justifier la reponse.

1 ) e1

2ln4

+ e−ln 1

2 = 4 ;

2 ) Si, pour tout entier n > 100, un 6 5 alors la suite (un) est majoree.

3 ) Si

∫ 1

0f ′(x) dx = 0, alors f est constante sur [0 ; 1].

Exercice 6 :

1 ) Soit u la suite definie par :

u0 = 0

un+1 =1

2− un, pour tout entier naturel n

a) Calculer u1, u2 et u3. On exprimera chacun de ces termes sous forme d’une fraction irreductible.

b) Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w definie

sur N par wn =n

n+ 1.

c) A l’aide d’un raisonnement par recurrence, demontrer que, pour tout entier naturel n, un = wn.

2 ) Soit v la suite de terme general vn defini par vn = ln

(

n

n+ 1

)

ou ln designe la fonction logarithme neperien.

a) Montrer que v1 + v2 + v3 = −ln4.

b) Soit Sn la somme definie pour tout entier naturel non nul n par :

Sn = v1 + v2 + · · ·+ vn.

Exprimer Snen fonction de n.

Determiner la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.

Exercice 7 : Polynesie juin 2013

On considere la suite (un) definie par u0 =12 et telle que pour tout entier naturel n, un+1 =

3un

1+2un

.

1. (a) Calculer u1 et u2.

(b) Demontrer, par recurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < un.

2. On admet que pour tout entier naturel n, un < 1.

(a) Demontrer que la suite (un) est croissante.

(b) Demontrer que la suite (un) converge.

4/23 7 juin 2015



3. Soit (vn) la suite definie, pour tout entier naturel n, par vn = un

1−un

.

(a) Montrer que la suite (vn) est une suite geometrique de raison 3.

(b) Exprimer pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.

(c) En deduire que, pour tout entier naturel n, un = 3n

3n+1 .

(d) Determiner la limite de la suite (un).

Exercice 8 : Asie juin 2013

Partie A

On considere la suite (un) definie par : u0 = 2 et, pour tout entier nature n : un+1 =1+3un

3+un

On admet que tous les termes de cette suite sont definis et strictement positifs.

1. Demontrer par recurrence que, pour tout entier naturel n, on a : un > 1.

2. (a) Etablir que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 − un = (1−un)(1+un)3+un

.

(b) Determiner le sens de variation de la suite (un).

En deduire que la suite (un) converge.

Partie B

On considere la suite (un) definie par : u0 = 2 et, pour tout entier nature n :un+1 =1+0,5un

0,5+un

On admet que tous les termes de cette suite sont definis et strictement positifs.

1. On considere l’algorithme suivant :

Entree Soit un entier naturel non nul n

Initialisation Affecter a u la valeur 2

Traitementet sortie

POUR i allant de 1 a n

Affecter a u la valeur 1+0,5u0,5+u

Afficher uFIN POUR

Reproduire et completer le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour n = 3. Les valeurs deu seront arrondies au millieme.

i 1 2 3

u

2. Pour n = 12, on a prolonge le tableau precedent et on a obtenu :

i 4 5 6 7 8 9 10 11 12

u 1,008 3 0,997 3 1,000 9 0,999 7 1,000 1 0,999 97 1,000 01 0,999 996 1,000 001

Conjecturer le comportement de la suite (un) a l’infini.

3. On considere la suite (vn) definie, pour tout entier naturel n, par : vn = un−1un+1 .

(a) Demontrer que la suite (vn) est geometrique de raison −13 .

(b) Calculer v0 puis ecrire vn en fonction de n.

4. (a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : vn 6= 1.

(b) montrer que, pour tout entier naturel n, on a : un = 1+vn1−vn

.

(c) Determiner la limite de la suite (un).

Exercice 9 : Amerique du nord septembre 2010

PARTIE A - Restitution organisee des connaissances

On suppose connues la derivee de la fonction exponentielle et la formule de derivation de u v ainsi que sesconditions d’utilisation.On suppose savoir que la fonction ln est derivable sur ]0 ; +∞[ et que pour tout x de ]0 ; +∞[ on a : exp(lnx) = x.A partir de ces quatre arguments, montrer que la derivee de la fonction ln est la fonction definie sur ]0 ; +∞[qui a x associe 1

x.

5/23 7 juin 2015



PARTIE B - Etude de fonction

On considere la fonction f definie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x+lnx

x.

Le but du probleme est l’etude de cette fonction et le calcul d’une aire.On note C la courbe representative de la fonction f dans le plan muni d’un repere orthonormal (O ; #”ı , #” ) d’unitegraphique 3 cm.I - Etude d’une fonction auxiliaire

On considere la fonction g definie sur ]0 ; +∞[ par g(x) = x2 + 1− lnx.

1. Etudier les variations de g sur ]0 ; +∞[.

2. En deduire le signe de g sur ]0 ; +∞[.

II - Etude de la fonction f et trace de sa courbe representative C

1. Determiner la limite en 0 de la fonction f . Quelle est l’interpretation graphique de ce resultat ?

2. Determiner la limite en +∞ de f puis montrer que la droite D d’equation y = x est asymptote a la courbeC.

3. Soit f ′ la fonction derivee de la fonction f . Calculer f ′(x) pour tout reel x de ]0 ; +∞[.

4. En deduire le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[ puis dresser le tableau de variations de la fonction f .

5. Determiner le point A de la courbe C en lequel la tangente T est parallele a la droite D.

6. Dans le repere (O ; #”ı , #” ) tracer les droites D et T et la courbe C.III - Calcul d’une aire

1. Montrer que

∫ e

1

lnx

xdx =

1

2.

2. En deduire l’aire de la region du plan delimitee par les droites d’equation x = 1,

x = e, l’axe des abscisses et la courbe C. On exprimera cette aire en cm2. Hachurer cette region sur legraphique.


0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

−0,220 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

y = 2

temps t (en jours)

hauteur (en metres)Partie 1

On s’interesse a l’evolution de la hauteur d’un plantde maıs en fonction du temps. Le graphique ci-contre represente cette evolution. La hauteur esten metres et le temps en jours.On decide de modeliser cette croissance par une

fonction logistique du type : h(t) =a

1 + be−0,04t

ou a et b sont des constantes reelles positives, t estla variable temps exprimee en jours et h(t) designela hauteur du plant, exprimee en metres.On sait qu’initialement, pour t = 0, le plant mesure0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limitede 2 m.Determiner les constantes a et b afin que la fonc-tion h corresponde a la croissance du plant de maısetudie.

Partie 2

On considere desormais que la croissance du plant de maıs est donnee par la fonction f definie sur [0 ; 250] par

f(t) =2

1 + 19e−0,04t

6/23 7 juin 2015



1. Determiner f ′(t) en fonction de t (f ′ designant la fonction derivee de la fonction f). En deduire les variationsde la fonction f sur l’intervalle [0 ; 250].

2. Calculer le temps necessaire pour que le plant de maıs atteigne une hauteur superieure a 1,5 m.

3. (a) Verifier que pour tout reel t appartenant a l’intervalle [0 ; 250] on a f(t) =2e0,04t

e0,04t + 19.

Montrer que la fonction F definie sur l’intervalle [0 ; 250] par

F (t) = 50ln(

e0,04t + 19)

est une primitive de la fonction f .

(b) Determiner la valeur moyenne de f sur l’intervalle [50 ; 100].

En donner une valeur approchee a 10−2 pres et interpreter ce resultat.

4. On s’interesse a la vitesse de croissance du plant de maıs ; elle est donnee par la fonction derivee de lafonction f .

La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de t.

En utilisant le graphique donne en annexe, determiner une valeur approchee de celle-ci. Estimer alors lahauteur du plant.

Exercice 11 : Polynesie juin 2009

Le plan est muni d’un repere orthogonal (O ; #”ı , #” ).

0.1

0.2

0.3

1 2

Ab

O

C

Partie A

La courbe (C), donnee ci-contre, est la courbe representatived’une fonction f derivable sur [0 ; +∞[, de fonction deriveef ′ continue sur [0 ; +∞[.

La courbe (C) passe par les points O et A

(

1 ;1

2e

)

et, sur

[0 ; 1], elle est au dessus du segment [OA].

1 ) Montrer que

∫ 1

0f ′(x) dx =

1

2e·

2 ) Montrer que

∫ 1

0f(x) dx >

1

4e·

Partie B

On sait desormais que la fonction f consideree dans la partie A est definie sur [0 ; +∞[ par :

f(x) =xe−x

x2 + 1.

1 ) Determiner la limite de f en +∞. Interpreter graphiquement le resultat obtenu.

2 ) On considere la fonction g definie sur [0 ; +∞[ par : g(x) = x3 + x2 + x− 1.

Etablir que l’equation g(x) = 0 admet une solution unique α dans l’intervalle [0 ; +∞[.

3 ) a) Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, f ′(x) et g(x) sont de signes contraires.

b) En deduire les variations de f sur [0 ; +∞[.

4 ) On considere la suite (un) definie pour tout entier naturel n par :

un =

∫ 2n

n

f(x) dx.

a) Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, 0 6x

x2 + 16

1

2.

b) Montrer que pour tout entier naturel n, 0 6 un 61

2

(

e−n − e−2n)

.

c) En deduire la limite de un quand n tend vers +∞.

7/23 7 juin 2015



Exercice 12 : Metropole septembre 2013

Soit f une fonction definie et derivable sur R. On note C sa courbe representative dans le plan muni d’un repere(O ; #”ı , #” ).Partie A

Sur les graphiques ci-dessous, on a represente la courbe C et trois autres courbes C1, C2, C3 avec la tangenteen leur point d’abscisse 0.

O #”ı

#”

C

O #”ı

#”d1

C1

O #”ı

#”d2

C2

O #”ı

#”d3

C3

1. Donner par lecture graphique, le signe de f(x) selon les valeurs de x.

2. On designe par F une primitive de la fonction f sur R.

(a) A l’aide de la courbe C , determiner F ′(0) et F ′(−2).

(b) L’une des courbes C1, C2, C3 est la courbe representative de la fonction F . Determiner laquelle enjustifiant l’elimination des deux autres.

Partie B

Dans cette partie, on admet que la fonction f evoquee dans la partie A est la fonction definie sur R parf(x) = (x+ 2)e

1

2x.

1. L’observation de la courbe C permet de conjecturer que la fonction f admet un minimum.

(a) Demontrer que pour tout reel x, f ′(x) =1

2(x+ 4)e

1

2x.

(b) En deduire une validation de la conjecture precedente.

2. On pose I =

∫ 1

0f(x) dx.

(a) Interpreter geometriquement le reel I.

(b) Soient u et v les fonctions definies sur R par u(x) = x et v(x) = e1

2x.

Verifier que f = 2 (u′v + uv′).

(c) En deduire la valeur exacte de l’integrale I.

3. On donne l’algorithme ci-dessous.

Variables : k et n sont des nombres entiers naturels.s est un nombre reel.

Entree : Demander a l’utilisateur la valeur de n.Initialisation : Affecter a s la valeur 0.Traitement : Pour k allant de 0 a n− 1

| Affecter a s la valeur s+ 1nf(

kn

)

.Fin de boucle.

Sortie : Afficher s.

8/23 7 juin 2015



1

1

C

On note sn le nombre affiche par cet algorithme lorsque l’utili-sateur entre un entier naturel strictement positif comme valeurde n.

(a) Justifier que s3 represente l’aire, exprimee en unites d’aire,du domaine hachure sur le graphique ci-dessous ou les troisrectangles ont la meme largeur.

(b) Que dire de la valeur de sn fournie par l’algorithme proposelorsque n devient grand ?


1. La formule donnant la derivee du produit de deux fonctions derivables est supposee connue. On a enonceci-dessous deux propositions designees par P et Q. Dire pour chacune d’elles si vraie ou fausse et justifier.

Dans cet exercice n designe un entier naturel strictement superieur a 1.

– P : Soit f la fonction definie sur R par f(x) = xn ; alors f est derivable sur R, de derivee f ′ donnee surR par : f ′(x) = nxn−1.

– Q : Soit u une fonction derivable sur R et soit f la fonction definie sur R par f = un ; alors f estderivable sur R, de derivee f ′ donnee par f ′ = nun−1.

2. On designe par g la fonction definie sur ]− 1 ; 1[ par g(0) = 0 et g′(x) =1√

1− x2ou g′ designe la derivee

de la fonction g sur ]− 1 ; 1[ ; on ne cherchera pas a expliciter g(x).

On considere alors la fonction composee h definie sur ]− π ; 0[ par

h(x) = g(cos x).

(a) Demontrer que pour tout x de ]− π ; 0[ on a h′(x) = 1, ou h′ designe la derivee de h.

(b) Calculer h(

−π

2

)

puis donner l’expression de h(x).

Exercice 14 : Guyane septembre 2013

Pour tout reel k strictement positif, on designe par fk la fonction definie et derivable sur l’ensemble des nombresreels R telle que : fk(x) = kxe−kx.On note Ck sa courbe representative dans le plan muni d’un repere orthogonal (O ; #”ı , #” ).Partie A : Etude du cask = 1

On considere donc la fonction f1 definie sur R par f1(x) = xe−x

1. Determiner les limites de la fonction f1 en −∞ et en +∞. En deduire que la courbe C1 admet une asymptoteque l’on precisera.

2. Etudier les variations de f1 sur R puis dresser son tableau de variation sur R.

3. Demontrer que la fonction g1 definie et derivable sur R telle que :g1(x) = −(x+ 1)e−x est une primitive dela fonction f1 sur R.

4. Etudier le signe de f1(x) suivant les valeurs du nombre reel x.

5. Calculer, en unite d’aire, l’aire de la partie du plan delimitee par la courbe C1, l’axe des abscisses et les droitesd’equation x = 0 et x = ln10.

0,2

0,4

0,6

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2−0,2

T

Ca

Cb

C2

Partie B : Proprietes gra-

phiques

On a represente sur le gra-phique ci-dessous les courbesC2, Ca et Cb ou a et b sontdes reels strictement positifsfixes et T la tangente a Cb aupoint O origine du repere.

1. Montrer que pour toutreel k strictement positif,les courbes Ck passent parun meme point.

9/23 7 juin 2015



2. (a) Montrer que pour tout reel k strictement positif et tout reel x on a f ′k(x) = k(1− kx)e−kx

(b) Justifier que, pour tout reel k strictement positif, fk admet un maximum et calculer ce maximum.

(c) En observant le graphique ci-dessus, comparer a et 2. Expliquer la demarche.

(d) Ecrire une equation de la tangente a Ck au point O origine du repere.

(e) En deduire a l’aide du graphique une valeur approchee de b.

Exercice 15 : France septembre 2006

La scene se passe en haut d’une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes

ne peuvent choisir qu’entre deux plages, l’une a l’Est et l’autre a l’Ouest.

A - Un touriste se retrouve deux jours consecutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasardl’une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilite qu’il choisisse une direction opposee a celleprise la veille vaut 0,8.Pour i = 1 ou i = 2, on note Ei l’evenement : « Le touriste se dirige vers l’Est le i-eme jour » et Oi l’evenement :« Le touriste se dirige vers l’Ouest le i-eme jour ».

1 ) Dresser un arbre de probabilites decrivant la situation.

2 ) Determiner les probabilites suivantes : p(E1) ; pE1(O2) ; p(E1 ∩ E2) .

3 ) Calculer la probabilite que ce touriste se rende sur la meme plage les deux jours consecutifs.

B - On suppose maintenant que n touristes (n > 3) se retrouvent un jour en haut de la falaise. Ces n touristesveulent tous se baigner et chacun d’eux choisit au hasard et independamment des autres l’une des deux directions.On note X la variable aleatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage a l’Est.

1 ) Determiner la probabilite que k touristes (0 6 k 6 n) partent en direction de l’Est.

2 ) On suppose ici que les deux plages considerees sont desertes au depart. On dit qu’un touriste est heureuxs’il se retrouve seul sur une plage.

a) Peut-il y avoir deux touristes heureux ?

b) Demontrer que la probabilite (notee p) qu’il y ait un touriste heureux parmi ces n touristes vaut :

p =n

2n−1.

c) Application numerique :

Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilite, arrondie au centieme, qu’il y aitun touriste heureux parmi les 10.


Un reparateur de velos a achete 30 % de son stock de pneus a un premier fournisseur, 40 % a un deuxieme et lereste a un troisieme.Le premier fournisseur produit 80 % de pneus sans defaut, le deuxieme 95 % et le troisieme 85 %.

1. Le reparateur prend au hasard un pneu de son stock.

(a) Construire un arbre de probabilite traduisant la situation, et montrer que la probabilite que ce pneusoit sans defaut est egale a 0,875.

(b) Sachant que le pneu choisi est sans defaut, quelle est la probabilite qu’il provienne du deuxiemefournisseur ? On donnera la valeur arrondie du resultat a 10−3.

2. Le reparateur choisit dix pneus au hasard dans son stock. On suppose que le stock de pneus est suffisammentimportant pour assimiler ce choix de dix pneus a un tirage avec remise de dix pneus.Quelle est alors la probabilite qu’au plus un des pneus choisis presente un defaut ? On donnera la valeurarrondie a 10−3.

10/23 7 juin 2015



3. On note X la variable aleatoire qui donne le nombre de kilometres parcourus par un pneu, sans crevaison.On fait l’hypothese que X suit une loi exponentielle de parametre λ.

On rappelle que, pour tout nombre reel k positif : P (X 6 k) =

∫ k

0λe−λx dx

(a) Montrer que P (500 6 X 6 1000) = e−500λ − e−1 000λ.

(b) Dans cette question, toute trace de recherche, meme incomplete, ou d’initiative meme non fructueuse,

sera prise en compte dans l’evaluation.

La probabilite que le pneu parcoure entre 500 et 1 000 kilometres sans crevaison etant egale a 14 ,

determiner la valeur arrondie a 10−4 du parametre λ.

Exercice 17 : Amerique du Nord mai 2013

Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne400 grammes. Pour etre vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes. Un pain dontla masse est strictement inferieure a 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse estsuperieure ou egale a 385 grammes est commercialisable.La masse d’un pain fabrique par la machine peut etre modelisee par une variable aleatoire X suivant la loi normaled’esperance µ = 400 et d’ecart-type σ = 11.Les probabilites seront arrondies au millieme le plus proche

Partie A

On pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millieme le plus proche.

x 380 385 390 395 400 405 410 415 420

P (X 6 x) 0,035 0,086 0,182 0,325 0,5 0,675 0,818 0,914 0,965

1. Calculer P (390 6 X 6 410).

2. Calculer la probabilite p qu’un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable.

3. Le fabricant trouve cette probabilite p trop faible. Il decide de modifier ses methodes de production afin defaire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ.

Pour quelle valeur de σ la probabilite qu’un pain soit commercialisable est-elle egale a 96% ? On arrondira leresultat au dixieme.

On pourra utiliser le resultat suivant : lorsque Z est une variable aleatoire qui suit la loi normale d’esperance0 et d’ecart-type 1, on a P (Z 6 −1,751) ≈ 0,040.

Partie B

Les methodes de production ont ete modifiees dans le but d’obtenir 96% de pains commercialisables.Afin d’evaluer l’efficacite de ces modifications, on effectue un controle qualite sur un echantillon de 300 painsfabriques.

1. Determiner l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion de pains commercialisablesdans un echantillon de taille 300.

2. Parmi les 300 pains de l’echantillon, 283 sont commercialisables.

Au regard de l’intervalle de fluctuation obtenu a la question 1, peut-on decider que l’objectif a ete atteint ?

Partie C

Le boulanger utilise une balance electronique. Le temps de fonctionnement sans dereglement, en jours, de cettebalance electronique est une variable aleatoire T qui suit une loi exponentielle de parametre λ.

1. On sait que la probabilite que la balance electronique ne se deregle pas avant 30 jours est de 0,913. En deduirela valeur de λ arrondie au millieme.

Dans toute la suite on prendra λ = 0,003.

2. Quelle est la probabilite que la balance electronique fonctionne encore sans dereglement apres 90 jours, sachantqu’elle a fonctionne sans dereglement 60 jours ?

3. Le vendeur de cette balance electronique a assure au boulanger qu’il y avait une chance sur deux pour que labalance ne se deregle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pour combien de jours est-ce vrai ?

11/23 7 juin 2015




L’entreprise Fructidoux fabrique des compotes qu’elle conditionne en petits pots de 50 grammes. Elle souhaiteleur attribuer la denomination « compote allegee ».La legislation impose alors que la teneur en sucre, c’est-a-dire la proportion de sucre dans la compote, soitcomprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.L’entreprise possede deux chaınes de fabrication F1 et F22.

Les parties A et B peuvent etre traitees independamment

Partie A

La chaıne de production F2 semble plus fiable que la chaıne de production F1. Elle est cependant moins rapide.Ainsi, dans la production totale, 70% des petits pots proviennent de la chaıne F1 et 30% de la chaıne F2.La chaıne F1 produit 5% de compotes non conformes et la chaıne F2 en produit 1%.On preleve au hasard un petit pot dans la production totale. On considere les evenements :E : « Le petit pot provient de la chaıne F2 »C : « Le petit pot est conforme. »

1. Construire un arbre pondere sur lequel on indiquera les donnees qui precedent.

2. Calculer la probabilite de l’evenement : « Le petit pot est conforme et provient de la chaıne de productionF1. »

3. Determiner la probabilite de l’evenement C.

4. Determiner, a 10−3 pres, la probabilite de l’evenement E sachant que l’evenement C est realise.

Partie B

1. On note X la variable aleatoire qui, a un petit pot pris au hasard dans la production de la chaıne F1, associesa teneur en sucre.

On suppose que X suit la loi normale d’esperance m1 = 0,17 et d’ecart-type σ1 = 0,006.

Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.

α β P (α 6 X 6 β)

0,13 0,15 0,000 4

0,14 0,16 0,047 8

0,15 0,17 0,499 6

0,16 0,18 0,904 4

0,17 0,19 0,499 6

0,18 0,20 0,047 8

0,19 0,21 0,000 4

Donner une valeur approchee a 10−4 pres de la probabilite qu’un petit pot preleve au hasard dans laproduction de la chaıne F1 soit conforme.

2. On note Y la variable aleatoire qui, a un petit pot pris au hasard dans la production de la chaıne F2, associesa teneur en sucre.

On suppose que Y suit la loi normale d’esperance m2 = 0,17 et d’ecart-type σ2.

On suppose de plus que la probabilite qu’un petit pot preleve au hasard dans la production de la chaıne F2soit conforme est egale a 0,99.

Soit Z la variable aleatoire definie par Z =Y −m2

σ2.

(a) Quelle loi la variable aleatoire Z suit-elle ?

(b) Determiner, en fonction de σ2 l’intervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient a l’intervalle[0,16 ; 0,18].

(c) En deduire une valeur approchee a 10−3 pres de σ2.

On pourra utiliser le tableau donne ci-dessous, dans lequel la variable aleatoire Z suit la loi normaled’esperance 0 et d’ecart-type 1.

12/23 7 juin 2015



β P (−β 6 Z 6 β)

2,432 4 0,985

2,457 3 0,986

2,483 8 0,987

2,512 1 0,988

2,542 7 0,989

2,575 8 0,990

2,612 1 0,991

2,652 1 0,992

2,696 8 0,993

Exercice 19 : Liban 2015

En prevision d’une election entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de votede futurs electeurs. Parmi les 1 200 personnes qui ont repondu au sondage, 47% affirment vouloir voter pour lecandidat A et les autres pour le candidat B.Compte-tenu du profil des candidats, l’institut de sondage estime que 10% des personnes declarant vouloir voterpour le candidat A ne disent pas la verite et votent en realite pour le candidat B, tandis que 20% des personnesdeclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la verite et votent en realite pour le candidat A.On choisit au hasard une personne ayant repondu au sondage et on note :

• A l’evenement « La personne interrogee affirme vouloir voter pour le candidat A » ;• B l’evenement « La personne interrogee affirme vouloir voter pour le candidat B » ;• V l’evenement « La personne interrogee dit la verite ».

1. Construire un arbre de probabilites traduisant la situation.

2. (a) Calculer la probabilite que la personne interrogee dise la verite.

(b) Sachant que la personne interrogee dit la verite, calculer la probabilite qu’elle affirme vouloir voter pourle candidat A.

3. Demontrer que la probabilite que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est 0,529.

4. L’institut de sondage publie alors les resultats suivants :

52,9% des electeurs* voteraient pour le candidat A.*estimation apres redressement, fondee sur un sondage d’un echantillon representatif de 1 200

personnes.

Au seuil de confiance de 95%, le candidat A peut- il croire en sa victoire ?

5. Pour effectuer ce sondage, l’institut a realise une enquete telephonique a raison de 10 communications pardemi-heure. La probabilite qu’une personne contactee accepte de repondre a cette enquete est 0,4. L’institutde sondage souhaite obtenir un echantillon de 1 200 reponses.

Quel temps moyen, exprime en heures, l’institut doit-il prevoir pour parvenir a cet objectif ?

Exercice 20 : Polynesie septembre 2009

Pour chaque question, deux propositions sont enoncees.

Il s’agit de dire, sans le justifier, si chacune d’elles est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie le

numero de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE.Question A Proposition 1 Proposition 2

Une urne contient 4 boules noires et 3boules rouges indiscernables au toucher.On tire deux boules au hasard simultane-ment. On considere les evenements :A : « les deux boules tirees sont de lameme couleur » ;B : « une seule des deux boules tirees estrouge ».

La probabilite de A est egale a3

7. La probabilite de B est egale a

1

7.

13/23 7 juin 2015



Question B Proposition 3 Proposition 4

Soient A, B et C trois evenements d’unmeme univers Ω muni d’une probabiliteP .On sait que :

• A et B sont independants ;

• P (A) =2

5; P (A ∪ B) =

3

4;

• P (C) =1

2; P (A ∩ C) =

1

10·

P (B) =7

12P(

A ∪ C)

=2

5.

A ∪ C designe l’evenement contrairede A ∪ C.

Question C Proposition 5 Proposition 6

Une variable aleatoireX suit une loi bino-miale de parametres n et p ou n est egala 4 et p appartient a ]0 ; 1[.

Si P (X = 1) = 8P (X = 0) alors

p =2

3.

Si p =1

5alors

P (X = 1) = P (X = 0).

Question D Proposition 7 Proposition 8La duree de vie, exprimee en annees, d’unappareil est modelisee par une variablealeatoire X qui suit la loi exponentiellede parametre λ = 0,07 sur [0 ; +∞[.On rappelle que pour tout t > 0, la proba-bilite de l’evenement (X 6 t) est donneepar :

P (X 6 t) =

∫ t

0

λe−λx dx (avec λ =

0,07).

La probabilite que l’appareil ait uneduree de vie superieure a 10 ans est

egale a 0,5 a 10−2 pres.

Sachant que l’appareil a fonctionne10 ans, la probabilite qu’il

fonctionne encore 10 ans est egale a0,5 a 10−2 pres.

Exercice 21 : Centre etrangers juin 2014

On definit, pour tout entier naturel n, les nombres complexes z par z0 = 16 et zn+1 = 1+i2 zn, pour tout entier

naturel n.On note rn le module du nombre complexe zn : rn = |zn|.Dans le plan muni d’un repere orthonorme direct d’origine O, on considere les points An d’affixes zn.

1. (a) Calculer z1, z2 et z3.

(b) Placer les points A1 et A2 sur un graphique.

(c) Ecrire le nombre complexe 1+i2 sous forme trigonometrique.

(d) Demontrer que le triangle OA0A1 est isocele rectangle en A1.

2. Demontrer que la suite (rn) est geometrique, de raison√22 .

La suite (rn) est-elle convergente ? Interpreter geometriquement le resultat precedent.

On note Ln la longueur de la ligne brisee qui relie le point A0 au point An en passant successivement par lespoints A1, A2, A3, etc.

Ainsi Ln =n−1∑

i=0

AiAi+1 = A0A1 +A1A2 + . . .+An−1An.

3. (a) Demontrer que pour tout entier naturel n : AnAn+1 = rn+1.

(b) Donner une expression de Ln en fonction de n.

(c) Determiner la limite eventuelle de la suite (Ln).

Exercice 22 : Nouvelle-Caledonie mars 2014

Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, une seule des quatre reponses proposees est exacte. Le plancomplexe est rapporte au repere orthonormal direct (O ; #”u , #”v ). Soit z un nombre complexe de la forme x + iy,ou x et y sont des reels.

1. Soit z le nombre complexe d’affixe (1 + i)4. L’ecriture exponentielle de z est :

(a)√2eiπ

14/23 7 juin 2015



(b) 4eiπ

(c)√2ei

π

4

(d) 4eiπ

4

2. L’ensemble des points M du plan d’affixe z = x+ iy tels que |z − 1 + i| =∣

∣

√3− i

∣

∣ a pour equation :

(a) (x− 1)2 + (y + 1)2 = 2

(b) (x+ 1)2 + (y − 1)2 = 2

(c) (x− 1)2 + (y + 1)2 = 4

(d) y = x+√3−12

3. On considere la suite de nombres complexes (Zn) definie pour tout entier naturel n par Z0 = 1 + i etZn+1 =

1+i2 Zn. On note Mn le point du plan d’affixe Zn.

(a) Pour tout entier naturel n, le point Mn appartient au cercle de centre O et de rayon√2.

(b) Pour tout entier naturel n, le triangle OMnMn+1 est equilateral.

(c) La suite (Un) definie par Un = |Zn| est convergente.

(d) Pour tout entier naturel n, un argument deZn+1 − Zn

Znest π

2 .

4. Soit A, B, C trois points du plan complexe d’affixes respectives :

ZA = −1− i ; ZB = 2− 2i et ZC = 1 + 5i.

On pose Z =ZC − ZA

ZB − ZA.

(a) Z est un nombre reel.

(b) Le triangle ABC est isocele en A.

(c) Le triangle ABC est rectangle en A.

(d) Le point M d’affixe Z appartient a la mediatrice du segment [BC].

Exercice 23 : Nouvelle Caledonie novembre 2007

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numerode la question et la lettre correspondant a la reponse choisie. Aucune justification n’est demandee.Une reponse exacte rapporte 0,5 point ; une reponse inexacte enleve 0,25 point ; l’absence de reponse est comptee

0 point. Si le total est negatif, la note est ramenee a zero.

Le plan complexe est muni d’un repere orthonorme direct d’origine O.

1. Une solution de l’equation 2z + z = 9 + i est :

a. 3 b. i c. 3 + i

2. Soit z un nombre complexe ; |z + i| est egal a :

a. |z|+ 1 b. |z − 1| c. |iz + 1|

3. Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un argument de−1 + i

√3

zest :

a. −π

3+ θ b.

2π

3+ θ c.

2π

3− θ

4. Soit n un entier naturel. Le complexe(√

3 + i)n

est un imaginaire pur si et seulement si :

a. n = 3 b.n = 6k + 3, avec k relatif c. n = 6k avec k relatif

5. Soient A et B deux points d’affixe respective i et −1. l’ensemble des points M d’affixe z verifiant |z− i| =|z + 1| est :

a. la droite (AB) b. le cercle de diametre [AB] c. la droite perpendiculaire a(AB) passant par O

15/23 7 juin 2015



6. Soit Ω le point d’affixe 1− i. L’ensemble des points M d’affixe z = x+ iy verifiant |z − 1 + i| = |3− 4i| apour equation :

a. y = −x+ 1 b. (x− 1)2 + y2 =√5 c. z = 1− i+ 5eiθ avec θ reel

7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocele

avec(

# ”

AB,# ”

AC)

=π

2est :

a. 1− 4i b. −3i c. 7 + 4i

8. L’ensemble des solutions dans C de l’equationz − 2

z − 1= z est :

a. 1− i b. L’ensemble vide c. 1− i ; 1 + i

Exercice 24 : Antilles Guyane juin 2013

On considere la suite (zn) a termes complexes definie par z0 = 1 + i et, pour tout entier naturel n, par

zn+1 =zn + |zn|

3Pour tout entier naturel n, on pose : zn = an + ibn, ou an est la partie reelle de zn et bn est la partie imaginairede zn.Le but de cet exercice est d’etudier la convergence des suites (an) et (bn).Partie A

1. Donner a0 et b0.

2. Calculer z1, puis en deduire que a1 =1+

√2

3 et b1 =13 .

3. On considere l’algorithme suivant :

Variables : A et B des nombres reelsK et N des nombres en-

tiersInitialisation : Affecter a A la valeur 1

Affecter a B la valeur 1Traitement :Entrer la valeur de NPour K variant de 1 a N

Affecter a A la valeur A+√A2+B2

3Affecter a B la valeur B

3FinPourAfficher A

(a) On execute cet algorithme en saisissant N = 2. Recopier et completer le tableau ci-dessous contenantl’etat des variables au cours de l’execution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculees a 10−4 pres).

K A B

1

2

(b) Pour un nombre N donne, a quoi correspond la valeur affichee par l’algorithme par rapport a la situationetudiee dans cet exercice ?

Partie B

1. Pour tout entier naturel n, exprimer zn+1 en fonction de an et bn.

En deduire l’expression de an+1 en fonction de an et bn, et l’expression de bn+1 en fonction de an et bn.

2. Quelle est la nature de la suite (bn) ? En deduire l’expression de bn en fonction de n, et determiner la limitede (bn).

3. (a) On rappelle que pour tous nombres complexes z et z′ : |z + z′| 6 |z|+ |z′| (inegalite triangulaire)

Montrer que pour tout entier naturel n, |zn+1| 62 |zn|3

16/23 7 juin 2015



(b) Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn|.Montrer par recurrence que, pour tout entier naturel n, un 6

(

23

)n√2

En deduire que la suite (un) converge vers une limite que l’on determinera.

(c) Montrer que, pour tout entier naturel n, |an| 6 un. En deduire que la suite (an) converge vers une limiteque l’on determinera.


Le plan complexe est muni d’un repere orthonorme direct (O ; #”u , #”v ).On note i le nombre complexe tel que i2 = −1.On considere le point A d’affixe zA = 1 et le point B d’affixe zB = i.A tout point M d’affixe zM = x + iy, avec x et y deux reels tels que y 6= 0, on associe le point M ′ d’affixezM ′ = −izM .On designe par I le milieu du segment [AM ].Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point M n’appartenant pas a (OA), la mediane (OI) du triangleOAM est aussi une hauteur du triangle OBM ′ (propriete 1) et que BM ′ = 2OI (propriete 2).

1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend

zM = 2e−iπ3 .

(a) Determiner la forme algebrique de zM .

(b) Montrer que zM ′ = −√3− i.

Determiner le module et un argument de zM ′ .

(c) Placer les points A, B, M,M ′ et I dans le repere (O ; #”u , #”v ) en prenant 2 cm pour unite graphique.

Tracer la droite (OI) et verifier rapidement les proprietes 1 et 2 a l’aide du graphique.

2. On revient au cas general en prenant zM = x+ iy avec y 6= 0.

(a) Determiner l’affixe du point I en fonction de x et y.

(b) Determiner l’affixe du point M ′ en fonction de x et y.

(c) Ecrire les coordonnees des points I, B et M ′.

(d) Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM ′.

(e) Montrer que BM ′ = 2OI.


VRAI ou FAUX. Justifier

1. Dans l’espace rapporte a un repere orthonormal(

O ;#”

i ,#”

j ,#”

k)

, on considA¨re les droites D1 et D2 de

represenations parametriques respectives :

x = 4 + t

y = 6 + 2tz = 4− t

, t ∈ R, et

x = 8 + 5t′

y = 2− 2t′

z = 6 + t′, t′ ∈ R.

Affirmation : les droites D1 et D2 sont coplanaires.

2. Dans l’espace rapporte a un repere orthonormal(

O ;#”

i ,#”

j ,#”

k)

, on considere les points A(12; 7;−13) et

B(3; 1; 2) ainsi que le plan P d’equation 3x+ 2y − 5z = 1.

Affirmation : le point B est le projete orthogonal du point A sur le plan P.

3. On considere les suites u et v definies, pour tout entier naturel n, par : un = n+1n+2 et vn = 2 + 1

n+2Affirmation : ces deux suites sont adjacentes.

4. On considere la suite u definie par son premier terme u0 = 1 et la relation de recurrence :un+1 =

13un + 2, pour tout entiernaturel n.

Affirmation : cette suite est majoree par 3.

17/23 7 juin 2015




L’espace est muni d’un repere orthonormal(

O ;#”

i ,#”

j ,#”

k)

.

1 ) On considere le plan P passant par le point B(1 ; −2 ; 1) et de vecteur normal #”n(−2 ; 1 ; 5) et le planR d’equation cartesienne x+ 2y − 7 = 0.

a) Demontrer que les plans P et R sont perpendiculaires.

b) Demontrer que l’intersection des plans P et R est la droite ∆ passant par le point C(−1 ; 4 ; −1)et de vecteur directeur #”u (2 ; −1 ; 1).

c) Soit le point A(5 ; −2 ; −1). Calculer la distance du point A au plan P, puis la distance du point Aau plan R.

d) Determiner la distance du point A a la droite ∆.

2 ) a) Soit, pour tout nombre reel t, le point Mt de coordonnees (1 + 2t ; 3− t ; t).Determiner en fonction de t la longueur AMt. On note ϕ(t) cette longueur. On definit ainsi unefonction ϕ de R dans R.

b) Etudier le sens de variations de la fonction ϕ sur R ; preciser son minimum.

c) Interpreter geometriquement la valeur de ce minimum.

Exercice 28 : France septembre 2006

On considere dans l’espace un cube de 3 cm de cote et note ABCDEFGH .Soit I le barycentre des points ponderes (E ; 2) et (F ; 1), J celui de (F ; 1) et (B ; 2) et enfin K,celui de (G ; 2) et (C ; 1).

On veut determiner l’ensemble des points M equidistants de I, J et K. On note ∆ cet ensemble.

1 ) Placer les points l, J et K sur la figure .

2 ) Soit Ω le point de ∆ situe dans le plan (IJK). Que represente ce point pour le triangle IJK ?

Pour la suite de l’exercice, on se place dans le repere orthonormal suivant :

(

A ;1

3

# ”

AD ;1

3

# ”

AB ;1

3

# ”

AE

)

.

3 ) Donner les coordonnees des points l, J et K.

4 ) Soit P(2 ; 0 ; 0) et Q(1 ; 3 ; 3) deux points que l’on placera sur la figure. Demontrer que la droite (PQ) estorthogonale au plan (IJK).

5 ) Soit M un point de l’espace de coordonnees (x ; y ; z).

a) Demontrer que M appartient a ∆ si, et seulement si, le triplet (x ; y ; z) est solution d’un systemede deux equations lineaires que l’on ecrira. Quelle est la nature de ∆ ?

b) Verifier que P et Q appartiennent a ∆. Tracer ∆ sur la figure.

6 ) a) Determiner un vecteur normal au plan (IJK) et en deduire une equation cartesienne de ce plan.

b) Determiner alors les coordonnees exactes de Ω.

Exercice 29 : Antilles septembre 2009

L’espace est muni d’un repere orthonormal(

O ;#”

i ,#”

j ,#”

k)

.

On considere les points A(1 ; −1 ; 4), B(7 ; −1 ; −2) et C(1 ; 5 ; −2).

1. (a) Calculer les coordonnees des vecteurs# ”

AB,# ”

AC et# ”

BC.

(b) Montrer que le triangle ABC est equilateral.

(c) Montrer que le vecteur #”n(1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC).

(d) En deduire que x+ y + z − 4 = 0 est une equation cartesienne du plan (ABC).

18/23 7 juin 2015



2. Soit D la droite de representation parametrique

x = −2ty = −2t− 2z = −2t− 3

ou t ∈ R.

(a) Montrer que la droite D est perpendiculaire au plan (ABC).

(b) Montrer que les coordonnees du point G, intersection de la droite D et du plan (ABC) sont (3 ; 1 ; 0).

(c) Montrer que G est le centre de gravite du triangle ABC.

3. Soit S la sphere de centre G passant par A.

(a) Donner une equation cartesienne de la sphere S.(b) Determiner les coordonnees des points d’intersection E et F, de la droite D et de la sphere S.

Exercice 30 : Amerique du sud novembre 2009

L’espace est muni d’un repere orthonormal (O ; #”ı , #” ). On prend 1 cm comme unite.Partie A — Restitution organisee de connaissances

Soit D le point de coordonnees (xD, yD, zD) et P le plan d’equationax+ by + cz + d = 0, ou a, b et c sont des reels qui ne sont pas tous nuls.

Demontrer que la distance du point D au plan P est donnee par : d(D,P ) =|axD + byD + czD + d|√

a2 + b2 + c2

Partie B

On considere les points A de coordonnees (3 ; −2 ; 2), B de coordonnees (6 ; −2 ; −1), C de coordonnees(6 ; 1 ; 5) et D de coordonnees (4 ; 0 ; −1).

1. Demontrer que le triangle ABC est rectangle. En deduire l’aire du triangle ABC.

2. Verifier que le vecteur #”n de coordonnees (1 ; −2 ; 1) est normal au plan (ABC).

Determiner une equation du plan (ABC).

3. Calculer la distance du point D au plan (ABC).

Determiner le volume du tetraedre ABCD.

Partie C

Soit Q le plan d’equation x− 2y + z − 5 = 0.

1. Determiner la position relative des deux plans Q et (ABC).

2. Q coupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement en E, F et G.

Determiner les coordonnees de E et montrer que E appartient au segment [DA].

3. Dans cette question, toute trace de recherche, meme incomplete, ou d’initiative, meme non fructueuse, sera

prise en compte dans l’evaluation.

Determiner le volume du tetraedre EFGD.


L’espace est rapporte a un repere orthonorme(

O ;#”

i ,#”

j ,#”

k)

. Les points A, B, C et D ont pour coordonnees

respectives A(1 ; −1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(−3 ; 5 ; 4) et D(1 ; 2 ; 3).

On note D la droite ayant pour representation parametrique

x = t+ 1y = 2t− 1z = 3t+ 2

, t ∈ R

et D′ la droite ayant pour representation parametrique

x = k + 1y = k + 3z = −k + 4

, k ∈ R.

On note P le plan d’equation x+ y − z + 2 = 0.

Question 1 :

19/23 7 juin 2015



Proposition a. Les droites D et D′ sont paralleles.Proposition b. Les droites D et D′ sont coplanaires.Proposition c. Le point C appartient a la droite D.Proposition d. Les droites D et D′ sont orthogonales.

Question 2 :

Proposition a. Le plan P contient la droite D et est parallele a la droite D′.Proposition b. Le plan P contient la droite D′ et est parallele a la droite D.Proposition c. Le plan P contient la droite D et est orthogonal a la droite D′.Proposition d. Le plan P contient les droites D et D′.

Question 3 :

Proposition a. Les points A, D et C sont alignes.Proposition b. Le triangle ABC est rectangle en A.Proposition c. Le triangle ABC est equilateral.Proposition d. Le point D est le milieu du segment [AB].

Question 4 :

On note P ′ le plan contenant la droite D′ et le point A. Un vecteur normal a ce plan est :Proposition a. #”n(−1 ; 5 ; 4)Proposition b. #”n(3 ; −1 ; 2)Proposition c. #”n(1 ; 2 ; 3)Proposition d. #”n(1 ; 1 ; −1)

Exercice 32 : Antilles septembre 2009

VRAI OU FAUX. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la reponsedonnee.PARTIE A

Soit (un) la suite definie pour tout n ∈ N∗ par un = (−1)n.

1. La suite (un) est bornee.

2. La suite (un) converge.

3. La suite de terme generalun

nconverge.

4. Toute suite (vn) a termes strictement positifs et decroissante converge vers 0.

PARTIE B

1. Si A et B sont deux evenements independants avec P (B) 6= 0 et P (B) 6= 1, alors

P (A ∩B) = PB(A).

2. Si X est une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur [0 ; 1], alors

P (X ∈ [0,1 ; 0,6]) = 0,6.

3. Si X est une variable aleatoire suivant la loi binomiale de parametres 100 et1

3,

alors P (X > 1) = 1−(

2

3

)100

.

20/23 7 juin 2015




Partie A Soit f la fonction definie sur R par f(x) =3

1 + e−2x.

Sur le graphique ci-apres, on a trace, dans un repere orthogonal (O ; #”ı , #” ), la courbe representative C de lafonction f et la droite ∆ d’equation y = 3.

1

2

3

1 2 3 4-1-2#”ı

#”C

∆1. Demontrer que la fonction f est

strictement croissante sur R.

2. Justifier que la droite ∆ est asymp-tote a la courbe C.

3. Demontrer que l’equation f(x) =2,999 admet une unique solution α

sur R. Determiner un encadrementde α d’amplitude 10−2.

Partie B

Soit h la fonction definie sur R parh(x) = 3− f(x).

1. Justifier que la fonction h est positive sur R.

2. On designe par H la fonction definie sur R par H(x) = −32 ln(

1 + e−2x)

. Demontrer que H est uneprimitive de h sur R.

3. Soit a un reel strictement positif.

(a) Donner une interpretation graphique de l’integrale

∫ a

0h(x) dx.

(b) Demontrer que

∫ a

0h(x) dx =

3

2ln

(

2

1 + e−2a

)

.

(c) On note D l’ensemble des points M(x ; y) du plan defini par

x > 0f(x) 6 y 6 3

. Determiner l’aire, en unite d’aire, du domaine D.


Partie A Etude de la duree de vie d’un appareil electromenager

Des etudes statistiques ont permis de modeliser la duree de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par unevariable aleatoire X suivant une loi normale N

(

µ, σ2)

de moyenne µ = 84 et d’ecart-type σ. De plus, on aP (X 6 64) = 0,16. La representation graphique de la fonction densite de probabilite de X est donnee ci-dessous.

6410 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

16%

1. (a) En exploitant le graphique, determiner P (64 6 X 6 104).

(b) Quelle valeur approchee entiere de σ peut-on proposer ?

2. On note Z la variable aleatoire definie par Z =X − 84

σ.

(a) Quelle est la loi de probabilite suivie par Z ?

21/23 7 juin 2015



(b) Justifier que P (X 6 64) = P

(

Z 6−20

σ

)

.

(c) En deduire la valeur de σ, arrondie a 10−3.

3. Dans cette question, on considere que σ = 20,1.

Les probabilites demandees seront arrondies a 10−3.

(a) Calculer la probabilite que la duree de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans.

(b) Calculer la probabilite que le lave-vaisselle ait une duree de vie superieure a 10 ans.

Partie B Etude de l’extension de garantie d’El’Ectro

Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premieres annees. L’entreprise El’Ectro propose a sesclients une extension de garantie de 3 ans supplementaires. Des etudes statistiques menees sur les clients qui

prennent l’extension de garantie montrent que 11,5% d’entre eux font jouer l’extension de garantie.

1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix aun tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).

(a) Quelle est la probabilite qu’exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ?Detailler la demarche en precisant la loi de probabilite utilisee. Arrondir a 10−3.

(b) Quelle est la probabilite qu’au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondira 10−3.

2. L’offre d’extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplementaires, El’Ectro remboursera auclient la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irreparable survient entre le debut

de la troisieme annee et la fin de la cinquieme annee. Le client ne peut pas faire jouer cette extension degarantie si la panne est reparable. On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extensionde garantie, et on note Y la variable aleatoire qui represente le gain algebrique en euros realise sur ce clientpar l’entreprise El’Ectro, grace a l’extension de garantie.

(a) Justifier que Y prend les valeurs 65 et −334 puis donner la loi de probabilite de Y .

(b) Cette offre d’extension de garantie est-elle financierement avantageuse pour l’entreprise ? Justifier.

Exercice 35 : Amerique Du Nord juin 2015

On se place dans un repere orthonorme et, pour tout entier naturel n, on definit les points (An) par leurscoordonnees (xn ; yn) de la facon suivante :

x0 = −3y0 = 4

et pour tout entier naturel n :

xn+1 = 0,8xn − 0,6ynyn+1 = 0,6xn + 0,8yn

1. (a) Determiner les coordonnees des points A0, A1 et A2.

(b) Pour construire les points An ainsi obtenus, on ecrit l’algorithme suivant :

Variables :i, x, y, t : nombres reels

Initialisation :x prend la valeur −3y prend la valeur 4

Traitement :Pour i allant de 0 a 20

Construire le point de coordonnees (x ; y)t prend la valeur xx prend la valeur . . . .y prend la valeur . . . .

Fin Pour

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

bb

b

b

b

b

Completer cet algorithme pour qu’il construise les points A0 a A20.

22/23 7 juin 2015



(c) A l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points precedent. Identifier les points A0, A1 et A2.Quel semble etre l’ensemble auquel appartiennent les points An pour tout n entier naturel ?

2. Le but de cette question est de construire geometriquement les points An pour tout n entier naturel. Dansle plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn = xn + iyn l’affixe du point An.

(a) Soit un = |zn|. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 5. Quelle interpretation geometriquepeut-on faire de ce resultat ?

(b) On admet qu’il existe un reel θ tel que cos(θ) = 0,8 et sin(θ) = 0,6. Montrer que, pour tout entiernaturel n, eiθzn = zn+1.

(c) Demontrer que, pour tout entier naturel n, zn = einθz0.

(d) Montrer que θ +π

2est un argument du nombre complexe z0.

(e) Pour tout entier naturel n, determiner, en fonction de n et θ, un argument du nombre complexe zn.Representer θ sur la figure precedente. Expliquer, pour tout entier naturel n, comment construire lepoint An+1 a partir du point An.

23/23 7 juin 2015

Documents

Exercice 1 Partie I - mathematiques.ac.free.frmathematiques.ac.free.fr/IMG/pdf/Revision_Bac.pdf · Montrer que : si pour tout t ∈ [a ; b], f(t) 6g(t) alors Zb a f(t)dt 6 Zb a g(t)